cap13-tolerâncias dimensionais

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Capítulo x1 – Especificações dimensionais– Volnei Andersson – agosto de 2005�Página � PAGE �1� de � NUMPAGES �18���
X1. ESPECIFICAÇÕES DIMENSIONAIS
	
	
	De acordo com o que foi descrito em capítulo anterior, a Metrologia Dimensional é exercida com base nas seguintes ações fundamentais: comprovar, medir, verificar e controlar. Para a ação de verificar, é necessário conhecer as especificações dimensionais. Neste capítulo, são apresentadas especificações dimensionais referentes aos seguintes tópicos:
Dimensões nominais (dimensões normalizadas),
Tolerâncias dimensionais (sistemas de tolerâncias e ajustes);
Tolerâncias para desvios de forma e posição macro-geométricos;
Tolerâncias para desvios de forma micro-geométricos (rugosidade).
1. DIMENSÕES NOMINAIS
 
1.1 Introdução
	Os valores nominais de características de instrumentos, dispositivos, máquinas e equipamentos, que são quantificáveis e os identificam, devem ser escolhidos de modo racional para facilitar a fabricação, especificações, comercialização e conseqüentemente diminuir custos. Alguns exemplos de características são: faixas de medição, diâmetros de eixos e furos, potências de motores elétricos, relações de transmissão de redutores de rodas dentadas, velocidades de rotação, volumes ou massas de produtos embalados, correntes elétricas admissíveis em elementos elétricos e capacidade de canal de conversores A/D.
	Para a metrologia dimensional, o interesse é nas dimensões de peças, principalmente diâmetros nominais de eixos e de furos, ou de outras dimensões. Mas existem parâmetros geométricos como módulos de engrenagens, rugosidade superficial e passos de rosca que também podem ser especificados tendo diferentes valores nominais.
	Dimensão nominal pode ser entendida como o valor, acompanhado da unidade de comprimento, que serve, por exemplo, para especificar o tamanho de uma peça. A dimensão nominal é tomada como referência para as posições de campos de tolerâncias e ajustes. É ela que se representa nos desenhos de projeto e de fabricação.
	Ao especificar as dimensões nominais, é lógico pensar que os diferentes valores sejam escolhidos usando alguma série de números. Os livros de matemática fornecem exemplos tais como coeficientes de séries binomiais, séries aritméticas, séries geométricas, séries mistas aritméticas e geométricas, e termos de diversas outras séries.
	A geração de valores das dimensões nominais geralmente é explicada usando as séries aritméticas e as geométricas, como pode ser observado nos itens subseqüentes.
1.2 Dimensões de séries aritméticas
	O termo geral ai de uma série aritmética é determinado por
	
	(x1.1)
onde a1 é o primeiro termo, r a razão e i o número de ordem do termo geral.
	Considera-se o exemplo em que se quer construir uma série de cinco valores entre 1 e 10. Então, aplicando o termo geral, obtém-se 10 = 1+(5-1)r e r = 2,25 e, assim, os termos são 1 – 3,25 – 5,5 – 7,75 – 10. Para dez termos, os valores são: 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10. Nota-se que, se esta série for tomada como base para gerar números fora dessa faixa, multiplicando ou dividindo cada um de seus termos por 10, algumas faixas de valores serão excluídas e a seqüência quebrada (a razão mudará acentuadamente). 
	Uma série de diâmetros muito usada em engenharia mecânica é a seguinte: 10 – 20 – 30 – 40 - 50 – 60 – 70 – 80 – 90 – 100 – 110 – 120 – 130 – 140 – 150 – 160 – 170 – 180 – 190 – 200. Ela apresenta não uniformidade relativa entre certas faixas de valores. Na faixa de valores mais alta, a série é densa, ou seja, existe muita proximidade entre eles (são excessivos). Considerando o cociente de cada termo pelo seu antecessor, nota-se que o cociente do segundo termo pelo primeiro é 2, do décimo pelo nono é 1,1 e do vigésimo pelo décimo nono é 1,05. Existe, portanto, uma não uniformidade. Esta pode ser corrigida parcialmente, mudando a razão por trechos. Assim, se forem usadas as razões 5 para os diâmetros D < 50, 10 para 50 ≤ D ≤ 100, e 20 para D > 100, tem-se a seguinte série: 10 - 15 – 20 – 25 – 30 – 35 – 40 – 45 – 50 - 60 – 70 – 80 – 90 – 100 – 120 – 140 – 160 – 180 – 200. 
	Para especificações de áreas de secção transversal de vigas e momentos de inércia de área, a progressão aritmética não é conveniente porque, nas faixas de valores mais altos, fornece números excessivos, muito próximos entre si e até desnecessários. Já, para faixas de baixos valores, como módulos de engrenagens e dimensões de rolamentos, podem ser úteis. Portanto, as séries aritméticas de números têm uso nas especificações de dimensões nominais mas em faixas limitadas de valores. 
1.3 Dimensões de séries geométricas
	O termo geral ai de uma série geométrica é determinado por 
	
	(x1.2)
onde a1 é o primeiro termo, r a razão e i o número de ordem do termo geral.
	Considera-se novamente o problema de construir uma série de valores entre 1 e 10, mas agora de modo genérico e com restrições adicionais. O número 2 deve pertencer à série, de modo que seja o termo de ordem y+1 e o número 10, o de ordem z+1. Então, aplicando o termo geral, têm-se
	
	→ 
	
	→ 
 
 
Igualando as expressões das razões e aplicando logaritmo decimal, obtêm-se
	
	
	
	(x1.3)
Adotando a razão r = 101/z, o termo geral fica
	
	
(x1.4)
Arbitrando o valor z = 5, resultam: r = 1,585 ≈ 1,6; y = 1,5; a1 = 1; a2 = 1,585 ≈ 1,6; a3 = 2,512 ≈ 2,5; a4 = 3,981 ≈ 4,0; a5 = 6,309 ≈ 6,3; a6 = 10. Com estes resultados, pode-se observar o seguinte:
o número 2 teria ordem 2,5 e não ficou incluído na série;
a ordem do número 10 é 6º (sexto termo);
se fosse considerado um sétimo termo, o seu valor seria 15,85 ≈ 16 que é o segundo termo multiplicado por 10, do mesmo modo que o sexto termo é múltiplo decimal do primeiro termo;
z = 5 corresponde ao número de termos (cinco) da série: 1 – 1,6 – 2,5 – 4,0 - 6,3;
multiplicando ou dividindo estes termos por 10, a série mantém a razão e sua continuidade, ou seja, a seqüência não é quebrada.
CHARLES RENARD foi quem estudou as propriedades e as vantagens da aplicação desta série de razão 101/5. Pelo que se observou das deduções anteriores, a série é ilimitada, de submúltiplos a múltiplos decimais de seus valores. 
Outras séries ilimitadas foram desenvolvidas com base nos estudos de RENARD, empregando as razões 101/10, 101/20 e 101/40 e todas são denominadas como R5, R10, R20 e R40, conforme estabelecido na ABNT NBR 6403 – Séries de números normalizados (procedimento). 
1.4 Dimensões e números normalizados
	As dimensões normalizadas estão estabelecidas conforme ABNT NBR 6404 – Dimensões normalizadas (procedimento) e seus valores vão de 0,1 mm até 1000 mm. Eles devem ser utilizados preferencialmente para fins industriais e principalmente em peças prontas. Tais dimensões foram obtidas da NBR 6403 – Séries de números normalizados (procedimento). A preferência de uso dos valores tabelados é da série I até a série IV, transcritas como segue (unidades em mm). 
Série I: 0,1 – 0,16 – 0,25 – 0,4 – 0,6 – 1 – 1,6 – 2,5 – 4 – 6 – 10 – 16 – 25 – 40 – 63 – 100 – 160 – 250 – 400 – 630 – 1000. 
Série II: 0,1 – 0,12 - 0,16 – 0,2 - 0,25 – 0,3 - 0,4 – 0,5 - 0,6 – 0,8 - 1 – 1,2 - 1,6 – 2 - 2,5 – 3,2 - 4 – 5 - 6 – 8 - 10 – 12 - 16 – 20 - 25 – 32 - 40 – 50 - 63 – 80 - 100 – 125 - 160 – 200 - 250 – 320 - 400 – 500 - 630 – 800 - 1000.
Série III: 0,1 – 0,12 - 0,16 – 0,2 - 0,25 – 0,3 - 0,4 – 0,5 - 0,6 – 0,8 - 1 – 1,1 - 1,2 – 1,4 - 1,6 – 1,8 - 2 – 2,2 - 2,5 – 2,8 - 3,2 – 3,5 - 4 – 4,5 - 5 – 5,5 - 6 – 8 – 9 - 10 – 11 - 12 – 14 - 16 – 18 - 20 – 22 - 25 – 28 - 32 – 36 - 40 – 45 - 50 – 56 - 63 – 71 - 80 – 90 - 100 – 110 - 125 – 140 - 160 – 180 - 200 – 220 - 250 – 280 - 320 – 360 - 400 – 450 - 500 – 560 - 630 – 710 - 800 – 900 - 1000.
Série IV: 0,1 – 0,12 - 0,16 – 0,2 - 0,25 – 0,3 - 0,4 – 0,5 - 0,6 – 0,8 - 1– 1,1 - 1,2 – 1,4 – 1,5 - 1,6 – 1,8 - 2 – 2,2 - 2,5 – 2,8 – 3 - 3,2 – 3,5 - 4 – 4,5 - 5 – 5,5 - 6 – 8 – 9 - 10 – 11 - 12 – 13 - 14 – 15 - 16 – 17 - 18 – 19 - 20 – 21 - 22 – 23 – 24 - 25 – 26 - 28 – 30 - 32 – 34 – 35 - 36 – 38 - 40 – 42 44 - 45 – 46 – 48 - 50 – 52 – 53 – 55 - 56 – 58 – 60 – 62 - 63 – 65 – 67 – 68 – 70 - 71 – 72 – 75 – 78 - 80 – 82 – 85 – 88 - 90 – 92 – 95 – 98 - 100 – 105 - 110 – 115 – 120 - 125 – 130 – 135 - 140 – 145 – 150 – 155 - 160 – 165 – 170 – 175 - 180 – 185 – 190 – 195 - 200 – 210 - 220 – 230 – 240 - 250 – 260 – 270 - 280 – 290 – 300 – 310 – 315 - 320 – 330 – 340 – 350 – 355 - 360 – 370 – 375 – 380 – 390 - 400 – 410 – 420 – 430 – 440 - 450 – 460 – 470 – 480 – 490 - 500 – 520 – 530 – 550 - 560 – 580 – 600 - 630 – 650 – 670 – 700 - 710 – 750 - 800 – 850 - 900 – 950 - 1000.
	A NBR 6403 não se restringe às especificações dimensionais. Ela pode ser aplicada nas especificações nominais de outras grandezas, sempre que se fizer necessário o uso de valores em progressão geométrica. Na tabela x1.1, são apresentados os números normalizados extraídos da NBR 6403.
Para o uso dos números normalizados, é importante conhecer as definições apresentadas a seguir.
Séries de base. Séries ilimitadas denominadas por R5, R10, R20 e R40, cujos termos são submúltiplos e múltiplos decimais dos números normalizados da tabela x1.1. quando se trata de séries de base limitadas, as denominações devem ser expressas como nos seguintes exemplos:
R10 (1,25 ...) – série limitada ao termo inferior (inclusive) cujo valor é 1,25.
R20 (... 40) – série limitada ao termo superior (inclusive) cujo valor é 40.
 R40 (75 ... 300) – série limitada aos termos compreendidos entre 75 e 300 (inclusive).
	A escolha de uma série deve ser efetuada na seguinte preferência: R5, R10, R20 e R40.
Séries derivadas. Séries formadas a partir de um termo qualquer de uma série de base, mantido o primeiro de cada grupo de 2 ou mais termos. Exemplo:
R5/2 (1 ... 1 000 000) – série derivada da série R5, na qual foi mantido o primeiro de cada grupo de dois termos consecutivos e limitada por 1 e 1 000 000 (inclusive).
As séries derivadas podem ser justificadas considerando a razão da série R40. Assim, tem-se
As séries R5, R10 e R20 podem ser consideradas como derivadas da R40 pois suas razões são, respectivamente, 
Tabela x1.1 – números normalizados (extraídos da ABNT NBR 6403/1992).
	R5
	R10
	R20
	R40
	1,00
	1,00
1,25
	1,00
1,12
1,25
1,40
	1,00
1,06
1,12
1,18
1,25
1,32
1,40
1,50
	1,60
	1,60
2,00
	1,60
1,80
2,00
2,24
	1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
2,12
2,24
2,36
	2,50
	2,50
3,15
	2,50
2,80
3,15
3,55
	2,50
2,65
2,80
3,00
3,15
3,35
3,55
3,75
	4,00
	4,00
5,00
	4,00
4,50
5,00
5,60
	4,00
4,25
4,50
4,75
5,00
5,30
5,60
6,00
	6,30
	6,30
8,00
	6,30
7,10
8,00
9,00
	6,30
6,70
7,10
7,50
8,00
8,50
9,00
9,50
Nota: 
O termo geral, quando se lida com séries derivadas, trem a seguinte expressão
O símbolo p é o número de termos de cada grupo da série derivada. O valor de p identifica-se como na séria da forma R10/p(a1, ...an).
 
Assim, a série R5 pode ser derivada da R40 tomando o primeiro de cada grupo de oito, a R10 tomando o primeiro de cada grupo de quatro e a R20 tomando o primeiro de cada grupo de dois termos. De modo análogo, os expoentes 3, 6 e 9 correspondem a tomar o primeiro termo de cada grupo, respectivamente de 3, 6 e 9 termos, da R40.
As séries derivadas podem ser obtidas de qualquer uma das séries de base. Como exemplo, tomando os termos da R5 ao quadrado, obtêm-se os valores 1 – 2,5 – 6,3 - 16 – 40 que correspondem à serie derivada R5/2 (1 ... 40).
 
	As séries derivadas são úteis quando se tem uma ampla faixa de valores a especificar mas em quantidade relativamente pequena. 
Série excepcional R80. Série de razão 101/80 e cujos termos incluem os termos das séries R5, R10, R20 e R40.
1.5 A escolha dos valores de uma série
	De acordo com as argumentações apresentadas, chega-se a conclusão de que os números das séries R5, R10, R20 e R40, gerados a partir de progressões geométricas, deverão ser usados como regra geral. Essa é a prática. No entanto, em determinados casos, é recomendável basear-se na freqüência de uso do parâmetro a ser normalizado. Um exemplo típico é o módulo de rodas dentadas. Sabe-se que, aproximadamente 90% dos módulos de rodas usadas em redutores, estão na faixa de 1mm a 5mm e que existe uma concentração maior de valores fracionados, na faixa de 2mm a 3mm. Então, a escolha dos valores a serem padronizados requer um maior número de valores numa faixa estreita de módulos. Assim, pode ser necessário usar termos de progressão geométrica misturados com termos de progressão aritmética.
	Como exemplo da escolha de valores de dimensões nominais, considera-se o problema de especificar 12 valores da abertura de chaves de boca, de modo que o menor valor seja 5mm e o maior 50mm. Após consulta à tabela x1.1, resulta a seguinte seqüência de valores obtidos da série R10: 5 – 6,3 – 8 – 10 – 12,5 – 16 – 20 – 25 – 31,5 – 40 – 50. Nota-se que os valores extremos estão incluídos, mas foram obtidos somente 11 valores. A solução recomendada é usar a série II das dimensões normalizadas, de onde se obtêm os valores: 5 - 6 – 8 - 10 – 12 - 16 – 20 - 25 – 32 - 40 – 50.
2. TOLERÂNCIAS E AJUSTES DIMENSIONAIS
2.1 Introdução
	Os métodos de fabricação de bens, principalmente peças da indústria metal-mecânica, provavelmente evoluíram do seguinte modo:
Sistema doméstico (produção de bens com muita improvisação e também criatividade, para consumo próprio).
Sistema artesanal (produção de bens com as mesmas características do sistema doméstico, para consumo de outros e visando a comercialização).
Sistema fabril (produção de bens em grande quantidade para consumo de terceiros e usando métodos organizacionais de trabalho).
Sistema de produção baseado na administração científica (emprego de técnicas de produção) aliado à automação.
A fabricação de bens em grande quantidade requer inevitavelmente uma padronização que é essencial no controle de qualidade e conseqüentemente na comercialização. A padronização facilita muito aos usuários que necessitam adquirir produtos de diferentes fornecedores, seja por motivo de preços competitivos ou porque nem todos os produtos provêm de um mesmo fabricante. No caso da construção mecânica, quando se deseja montar um equipamento cujos componentes são adquiridos com proveniência de diferentes fabricantes, é muito comum falar-se em intercambiabilidade. 
	Intercambiabilidade é um termo usado para denominar a ocorrência da montagem de peças ou partes de máquinas (ou equipamentos), sem a necessidade de ajustes adicionais, proporcionando, mesmo assim, operações seguras e confiáveis do sistema montado. As peças ou partes podem ser fabricadas independentemente, seja qual for o fabricante, sem necessidade de averiguações preliminares de funcionamento. Nas operações de manutenção, os custos também diminuem porque basicamente basta trocar as partes ou peças avariadas. 
	Devido às limitações inerentes aos processos de fabricação, as peças ou partes não podem ser produzidas absolutamente exatas e sempre apresentam algum desvio dimensional em relação ao seu tamanho nominal. Isso seria um problema para a intercambialidade. Então, requer-se o estabelecimento de uma padronização de tolerâncias e ajustes das dimensões das peças isoladas ou montadas entre si.
	Além do fato das peças não serem fabricadas com exatidão absoluta e também para permitir a intercambiabilidade, as tolerâncias dimensionais se justificam pelo fato de não haver necessidade de exatidão absoluta e porque os custos de fabricaçãoaumentam com o grau de exatidão cada vez mais fino. Assim, dependendo das exigências de projeto, podem ser especificados diferentes graus de tolerância. As tolerâncias dimensionais têm enorme significância nas operações de projeto, fabricação e manutenção.
	Para um entendimento conceitual do significado de tolerância dimensional, a título de exemplo, consideram-se as seguintes especificações que, intuitivamente, qualquer indivíduo com interesse no assunto, pensaria em propor: (100 ± 1)mm, (100 ± 0,1)mm, e (100 ± 0,01)mm. As dimensões das peças a serem fabricadas deverão ter dimensões, respectivamente, dentro das seguintes faixas: 99 mm a 101 mm, 99,9 mm a 100,1 mm, e 99,99 mm a 100,01 mm. A tolerância é a diferença entre os valores limites estabelecidos para cada especificação. Assim, têm-se respectivamente as seguintes tolerâncias: 2 mm, 0,2 mm e 0,02 mm. Nota-se que são tolerâncias de três graus de exigência, do mais grosseiro ao mais fino, para uma mesma dimensão nominal. 
	A especificação de tolerâncias é uma tarefa de projetistas. À metrologia dimensional cabe apenas medir e verificar se as peças ou partes atendem tais especificações. Mas, no curso de Engenharia Mecânica da FURG, o assunto é tratado unicamente na disciplina de Metrologia Mecânica. Então, nestas notas também são abordados alguns aspectos relativos às especificações de tolerâncias dimensionais.
	O estudo das tolerâncias pode ser formulado como um problema de otimização, na análise de dimensões, tendo custo mínimo por função critério e envolvendo conceitos probabilísticos. Nestas notas, apresenta-se a abordagem tradicional que consta nas normas técnicas. O conhecimento aqui transmitido inicialmente baseou-se nas seguintes normas da ABNT: TB-35/1961, NB-86/1969 e NB-185/1972. Agora estão sendo introduzidas as informações substitutas que constam nas normas da ABNT: NBR 6158/1995 e NBR ISO 2768-1/2001. A NBR 6158 trata da especificação de ajustes e tolerâncias para a fabricação de peças intercambiáveis, abrangendo dimensões nominais até 3150 mm. A NBR ISO 2768-1 trata da especificação de tolerâncias gerais para dimensões lineares e angulares, sem indicação individual de tolerância no desenho e as dimensões lineares nominais vão até 4000 mm.
 
 
2.2 Definições aplicáveis às tolerâncias
Dimensão nominal (Do, do). É a dimensão que resultou da especificação de projeto e normalmente consta no desenho de descrição da peça. Deve ser uma dimensão normalizada preferencialmente, desde que não altere significativamente o desempenho previsto no projeto. É a dimensão de referência para as demais especificações dimensionais.
Dimensão efetiva (D, d). É a dimensão obtida por medição. Observa-se que o resultado de medição pode depender das condições ambientais e está numa faixa de incerteza. Dependendo do grau de qualidade exigido, pode ser necessário explicitar as condições ambientais e as incertezas dos resultados de medição.
Dimensão máxima (Dmax, dmax). É a maior dimensão admissível para a dimensão efetiva.
Dimensão mínima (Dmin, dmin). É a menor dimensão admissível para a dimensão efetiva.
Na figura 2.1, representam-se essas dimensões definidas tanto para furos quanto eixos, e que não se restringem somente a furos e eixos, mas a dimensões internas e externas. Os símbolos D (letra maiúscula) e d (letra minúscula), com índices, são usados para designar genericamente dimensões respectivamente internas e externas. Os outros símbolos de letras maiúsculas e minúsculas, que aparecem no texto a seguir, também designam ou se referem a dimensões internas e externas. 
Linha zero. Linha reta que representa a dimensão nominal e que serve de referência para uma representação gráfica dos desvios dimensionais das dimensões efetivas e dos afastamentos limites correspondentes às dimensões máxima e mínima.
Desvio dimensional (E, e). É a diferença algébrica entre a dimensão efetiva e a dimensão nominal. Também pode ser chamado de afastamento efetivo. Suas expressões matemáticas são as seguintes:
	
�� EMBED Equation.3 
	(x2.1)
	
�� EMBED Equation.3 
	(x2.2)
Figura 2.1 – Dimensões de: a) furos e b) eixos.
Afastamento superior (ES, es). Diferença algébrica entre a dimensão máxima e a correspondente dimensão nominal. É também o desvio dimensional máximo admissível.
	
�� EMBED Equation.3 
	(x2.3)
	
�� EMBED Equation.3 
	(x2.4)
Afastamento inferior (EI, ei). Diferença algébrica entre a dimensão mínima e a correspondente dimensão nominal. É também o desvio dimensional mínimo admissível.
	
�� EMBED Equation.3 
	(x2.5)
	
�� EMBED Equation.3 
	(x2.6)
Tolerância (T, t). Diferença algébrica entre a dimensão máxima e a dimensão mínima. Para efeito de notação deste texto, definem-se as seguintes tolerâncias:
	
�� EMBED Equation.3 
	(x2.7)
	
�� EMBED Equation.3 
	(x2.8)
Observa-se que é possível expressar as tolerâncias em termos dos afastamentos superior e inferior. Assim, têm-se:
	
�� EMBED Equation.3 
	(x2.9)
	
�� EMBED Equation.3 
	(x2.10)
Outro ponto a observar é que o desvio dimensional resulta da medição e seu valor é considerado aceitável se estiver dentro da faixa de valores limitada pelos afastamentos superior e inferior, ou seja, se
EI ≤ E ≤ ES ou
ei ≤ e ≤ es
Estas expressões equivalem à afirmação da dimensão efetiva ser aceitável se 
Dmin ≤ D ≤ Dmax ou
dmin ≤ d ≤ dmax
Tolerância padrão (IT). Qualquer tolerância pertencente ao sistema de tolerâncias definido conforme a NBR 6158. As letras do símbolo IT significam “International Tolerance”.
Graus de tolerância padrão (IT7). Um dado grau de tolerância expressa a qualidade da peça e é representado por um símbolo como, por exemplo, IT7, ao qual se atribui uma determinada tolerância padrão, para cada uma das faixas de valores nominais estabelecidas na NBR 6158. Como nesta norma são estabelecidas várias faixas de valores nominais (são os grupos de dimensões nominais), têm-se vários valores de tolerâncias padrão, para um mesmo grau de tolerância padrão. A referida norma prevê um total de 20 graus de tolerâncias padrão, a saber: IT01, IT0, IT1, IT2, IT3, IT4, IT5, IT6, IT7, IT8, IT9, It10, IT11, IT12, IT13, IT14, IT15, IT16, IT17, IT18. Os graus IT1 até IT18 são de uso geral. A maior dimensão nominal prevista para estes graus de uso geral é de 3 150mm. Para uma orientação geral da escolha do grau de tolerância, na tabela x2.1, são apresentadas algumas aplicações.
Tabela x2.1 – Aplicações gerais dos graus de tolerância.
	Grau de tolerância
	Aplicações
	IT1
	Blocos padrão de comprimento.
	IT2
	Calibres passa-não-passa.
	IT3
	Instrumentos de medição e calibres passa-não-passa.
	IT4
	Mecânica de precisão (máquinas ferramenta, mecanismos de alta velocidade com operações sem ruído).
	IT5, IT6, IT7
	Construção mecânica (máquinas, rolamentos, eixos, rodas dentadas).
	IT8, IT9, IT10
	Aparelhos e máquinas mais grosseiras de baixas velocidades.
	IT11
	Pinos e material em barras trefiladas.
	IT12, IT13, IT14
	Hastes de parafusos, peças prensadas, laminadas e torneadas grosseiramente.
	IT15, IT16
	Peças laminadas, forjadas e soldadas.
	IT17, IT18
	Peças fundidas.
Na NBR ISO 2768-1, estão previstas classes de tolerâncias (equivalentes aos graus de tolerância IT da NBR 6158) designadas aqui conforme a tabela x2.2.
Tabela x2.2 – Designação das classes de tolerâncias gerais da NBR ISO 2768-1.
	Designação da classe
	 f
	m
	c
	 v
	Nome descritivo
	fino
	médio
	grosso
	muito grosso
 
Campo de tolerância. É o espaço compreendido entre as dimensões máxima e mínima ou, da mesma forma, entre os afastamentos máximo e mínimo. Numa representação gráfica, é posicionado em relação à linha zero (figura 2.2). 
Figura 2.2 – Representação gráfica da posição do campo de tolerância.
Afastamento fundamental. Afastamento que define a posição docampo de tolerância em relação à linha zero e pode ser tanto um afastamento superior quanto um inferior. Observa-se que o campo de tolerância pode estar acima ou abaixo da linha zero. Assim, na NBR 6158, convenciona-se que o afastamento fundamental é aquele (superior ou inferior) mais próximo da linha zero. Na NBR ISO 2768-1, não se usam afastamentos fundamentais. Nesta, os afastamentos padronizados são simétricos em relação à linha zero (os superiores são positivos e os inferiores negativos). Os afastamentos fundamentais são designados pelas seguintes letras minúsculas para eixos: a, b, c, cd, d, e, ef, f, fg, g, h, js, j, k, m, n, p, r, s, t, u, v, x, y, z, za, zb, zc. Para furos, usam-se as mesmas letras, mas maiúsculas. Os afastamentos fundamentais de eixos e furos, de mesma letra, são simétricos em relação à linha zero. Para determinar a posição do campo de tolerância, basta conhecer o valor da tolerância e o afastamento fundamental. O outro afastamento é determinado em função destes. Se for dado que o afastamento fundamental de um eixo é o superior, então o inferior é determinado por
	
�� EMBED Equation.3 
	(x2.11)
Classe de tolerância. Combinação de uma letra, representando o afastamento fundamental, e de um número, representando o grau de tolerância padrão, como nos seguintes exemplos:
Classes de tolerância para furos: H7, G7, F8, B11.
 Classes de tolerâncias para eixos: h6, g6, f7, b11.
 	No item a seguir, são apresentadas tabelas de tolerâncias padrão e tabelas de afastamentos fundamentais, tanto para eixos quanto para furos. 
2.3 Tabelas de tolerâncias e afastamentos fundamentais
	Com o objetivo de melhor ilustrar o uso das tabelas de tolerâncias e de afastamentos padronizados pela ABNT, a seguir são mostradas partes de algumas delas. Na tabela x2.3, apresentam-se valores numéricos das tolerâncias para os graus IT1 até IT11 e dimensões até 500mm, extraídos da NBR 6158/1995. Afastamentos fundamentais superiores para eixos, de a até h, são mostrados na tabela x2.5 e, para furos, de A até H, na tabela x2.6. A tabela x2.4 contém os afastamentos admissíveis para dimensões lineares, no caso das aplicações previstas na NBR ISO 2768-1. 
Tabela x2.3 – Tolerâncias T ou t (em μm) para os graus IT1 até IT11.
	Dimensão nominal (mm)
	Graus de tolerância padrão
	
	IT1
	IT2
	IT3
	IT4
	IT5
	IT6
	IT7
	IT8
	IT9
	IT10
	IT11
	 - ≤ 3
	0,8
	1,2
	2
	3
	4
	6
	10
	14
	25
	40
	60
	> 3 ≤ 6
	1
	1,5
	2,5
	4
	5
	8
	12
	18
	30
	48
	75
	 > 6 ≤ 10
	1
	1,5
	2,5
	4
	6
	9
	15
	22
	36
	58
	90
	> 10 ≤ 18
	1,2
	2
	3
	5
	8
	11
	18
	27
	43
	70
	110
	> 18 ≤ 30
	1,5
	2,5
	4
	6
	9
	13
	21
	33
	52
	84
	130
	> 30 ≤ 50
	1,5
	2,5
	4
	7
	11
	16
	25
	39
	62
	100
	160
	> 50 ≤ 80
	2
	3
	5
	8
	13
	19
	30
	46
	74
	120
	190
	 > 80 ≤ 120
	2,5
	4
	6
	10
	15
	22
	35
	54
	87
	140
	220
	> 120 ≤ 180
	3,5
	5
	8
	12
	18
	25
	40
	63
	100
	160
	250
	> 180 ≤ 250
	4,5
	7
	10
	14
	20
	29
	46
	72
	115
	185
	290
	> 250 ≤ 315
	6
	8
	12
	16
	23
	32
	52
	81
	130
	210
	320
	> 315 ≤ 400
	7
	9
	13
	18
	25
	36
	57
	89
	140
	230
	360
	> 400 ≤ 500
	8
	10
	15
	20
	27
	40
	63
	97
	155
	250
	400
Tabela x2.4 – Afastamentos admissíveis para dimensões lineares, exceto raios externos e altura de chanfros (em mm).
	Classe de tolerância
	Intervalos de dimensões nominais (em mm)
	Designação
	Descrição
	≥ 0,5 ≤ 3
	> 3 
≤ 6
	> 6 
≤ 30
	> 30 
≤ 120
	> 120 ≤ 400
	> 400 ≤1000
	>1000 ≤2000
	>2000 ≤4000
	f
	fino
	± 0,05
	± 0,05
	± 0,1
	± 0,15
	± 0,2
	± 0,3
	± 0,5
	-
	m
	médio
	± 0,1
	± 0,1
	± 0,2
	± 0,3
	± 0,5
	± 0,8
	± 1,2
	± 2
	c
	grosso
	± 0,2
	± 0,3
	± 0,5
	± 0,8
	± 1,2
	± 2
	± 3
	± 4
	v
	muito grosso
	-
	± 0,5
	± 1
	± 1,5
	± 2,5
	± 4
	± 6
	± 8
	Para dimensões nominais abaixo de 0,5mm, o afastamento deve ser indicado junto à dimensão nominal correspondente.
Tabela x2.5 – Afastamentos fundamentais superiores es para eixos (em μm). 
	Dimensão nominal (mm)
	Todos os graus de tolerância padrão
	
	a
	b
	c
	cd
	d
	e
	ef
	f
	fg
	g
	h
	 - ≤ 3
	-270
	-140
	-60
	-34
	-20
	-14
	-10
	-6
	-4
	-2
	0
	> 3 ≤ 6
	-270
	-140
	-70
	-46
	-30
	-20
	-14
	-10
	-6
	-4
	0
	 > 6 ≤ 10
	-280
	-150
	-80
	-56
	-40
	-25
	-18
	-13
	-8
	-5
	0
	> 10 ≤ 14
	
-290
	
-150
	
-95
	
	
-50
	 
-32
	
	 
-16
	
	
-6
	
0
	> 14 ≤ 18
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	> 18 ≤ 24
	
-300
	
-160
	
-110
	
	
-65
	
-40
	
	
-20
	
	-7
	
0
	> 24 ≤ 30
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 > 30 ≤ 40
	-310
	-170
	-120
	
	
-80
	
-50
	
	
-25
	
	-9
	
0
	> 40 ≤ 50
	-320
	-180
	-130
	
	
	
	
	
	
	
	
	> 50 ≤ 65
	-340
	-190
	-140
	
	
-100
	
-60
	
	
-30
	
	
-10
	
0
	> 65 ≤ 80
	-360
	-200
	-150
	
	
	
	
	
	
	
	
	> 80 ≤ 100
	-380
	-220
	-170
	
	
-120
	
-72
	
	
-36
	
	
-12
	
0
	> 100 ≤ 120
	-410
	-240
	-180
	
	
	
	
	
	
	
	
	> 120 	≤ 140
	-460
	-260
	-200
	
	
-145
	
-85
	
	
-43
	
	
-14
	
0
	 > 140 ≤ 160
	-520
	-280
	-210
	
	
	
	
	
	
	
	
	 > 160 ≤ 180
	-580
	-310
	-230
	
	
	
	
	
	
	
	
	> 180 ≤ 200
	-660
	-340
	-240
	
	
-170
	
-100
	
	
-50
	
	
-15
	
0
	> 200 ≤ 225
	-740
	-380
	-260
	
	
	
	
	
	
	
	
	> 225 ≤ 250
	-820
	-420
	-280
	
	
	
	
	
	
	
	
	> 250 ≤ 280
	-920
	-480
	-300
	
	
-190
	
-110
	
	
-56
	
	
-17
	
0
	> 280 ≤ 315
	-1050
	-540
	-330
	
	
	
	
	
	
	
	
	> 315 ≤ 355
	-1200
	-600
	-360
	
	
-210
	
-125
	
	
-62
	
	
-18
	
0
	> 355 ≤ 400
	-1350
	-680
	-400
	
	
	
	
	
	
	
	
	> 400 ≤ 450
	-1500
	-760
	-440
	
	
-230
	
-135
	
	
-68
	
	
-20
	
0
	> 450 ≤ 500
	-1650
	-840
	-480
	
	
	
	
	
	
	
	
2.4 Designação das tolerâncias e indicação nos desenhos
	Quando for aplicável a NBR 6158, as dimensões com tolerâncias são designadas pela dimensão nominal, seguida da classe de tolerância estabelecida ou dos afastamentos em valores numéricos. Na figura 2.3, apresenta-se um exemplo para cada caso. Para o caso (a), especificação 70g6, com a dimensão nominal 70 mm e grau de tolerância IT6, na tabela x2.3 obtém-se t = 19 µm e, com a dimensão 70mm e o afastamento g, na tabela x2.5, obtém-se es = - 10 µm. Com estes dados, ei = es – t = -10 -19 = -29 µm e as dimensões limites são dmax = 69,990 mm e dmin = 69,971 mm. Para a especificação 30H7, as dimensões limites são Dmax = 30,021 mm e Dmin = 30,000 mm. O caso (b) corresponde à especificação 100g6. 
	Quando se trata da especificação de tolerâncias gerais, sem necessidade de indicação individual, aplica-se a NBR ISO 2768-1 que é bem mais simples do que a NBR 6158, pois prevê apenas a indicação das dimensões nominais no desenho. No entanto, a indicação das classes de tolerância deve ser representada por uma especificação como, por exemplo, “NBR ISO 2768-m”, onde a letra m refere-se à classe média de tolerância. Esta especificação deve ser representada na (ou próximo da) legenda do desenho. 
Tabela x2.6 – Afastamentos fundamentais inferiores EI para furos (em μm).
	Dimensão nominal (mm)
	Todos os graus de tolerância padrão
	
	A
	B
	C
	CD
	D
	E
	EF
	F
	FG
	G
	H
	 - ≤ 3
	+270
	+140
	+60
	+34
	+20
	+14
	+10
	+6
	+4
	+2
	0
	> 3 ≤ 6
	+270
	+140
	+70
	+46
	+30
	+20
	+14
	+10
	+6
	+4
	0
	 > 6 ≤ 10
	+280
	+150
	+80
	+56
	+40
	+25
	+18
	+13
	+8
	+5
	0
	> 10 ≤ 14
	
+290
	
+150
	
+95
	
	 
+50
	 
+32
	
	 
+16
	
	
+6
	
0
	> 14 ≤ 18
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	> 18 ≤ 24
	
+300
	
+160
	
+110
	
	
+65
	
+40
	
	
+20
	
	
+7
	
0
	> 24 ≤ 30> 30 ≤ 40
	+310
	+170
	+120
	
	
+80
	
+50
	
	
+25
	
	
+9
	
0
	> 40 ≤ 50
	+320
	+180
	+130
	
	
	
	
	
	
	
	
	> 50 ≤ 65
	+340
	+190
	+140
	
	
+100
	
+60
	
	
+30
	
	
+10
	
0
	> 65 ≤ 80
	+360
	+200
	+150
	
	
	
	
	
	
	
	
	> 80 ≤ 100
	+380
	+220
	+170
	
	
+120
	
+72
	
	
+36
	
	
+12
	
0
	> 100 ≤ 120
	+410
	+240
	+180
	
	
	
	
	
	
	
	
	120 	≤ 140
	+460
	+260
	+200
	
	
+145
	
+85
	
	
+43
	
	
+14
	
0
	 140 ≤ 160
	+520
	+280
	+210
	
	
	
	
	
	
	
	
	 160 ≤ 180
	+580
	+310
	+230
	
	
	
	
	
	
	
	
	180 ≤ 200
	+660
	+340
	+240
	
	
+190
	
+100
	
	
+50
	
	
+15
	
0
	200 ≤ 225
	+740
	+380
	+260
	
	
	
	
	
	
	
	
	225 ≤ 250
	+820
	+420
	+280
	
	
	
	
	
	
	
	
	250 ≤ 280
	+920
	+480
	+300
	
	
+170
	
+110
	
	
+56
	
	
+17
	
0
	280 ≤ 315
	+1050
	+540
	+330
	
	
	
	
	
	
	
	
	315 ≤ 355
	+1200
	+600
	+360
	
	
+210
	
+125
	
	
+62
	
	
+18
	
0
	355 ≤ 400
	+1350
	+680
	+400
	
	
	
	
	
	
	
	
	400 ≤ 450
	+1500
	+760
	+440
	
	
+230
	
+135
	
	
+68
	
	
+20
	
0
	450 ≤ 500
	+1650
	+840
	+480
	
	
	
	
	
	
	
	
Figura 2.3 – Exemplos de designação de tolerâncias e indicação nos desenhos.
 
2.5 Definições aplicáveis aos ajustes
	O termo ajuste refere-se à junção de duas peças que devem cumprir uma função conjunta numa montagem e concernente a uma mesma dimensão nominal. Desse modo, para uma mesma dimensão nominal, a função das peças pode requerer encaixe com folga, prensado ou uma situação intermediária. Então, um ajuste envolve a junção de um furo (dimensão interna) com um eixo (dimensão externa). A seguir, são apresentadas definições da NBR 6158 aplicáveis aos ajustes.
Ajuste. Relação resultante da diferença, antes da montagem, entre as dimensões de dois elementos a serem montados.
Folga (F). Para que ocorra a folga, a dimensão efetiva D do furo sempre deve ser maior do que a dimensão efetiva d do eixo, ou seja, a folga ocorre se 
	
d < D
	(x2.12)
Então, a folga F é definida como a diferença positiva entre as dimensões do furo e do eixo, antes da montagem.
	
F = D - d
	(x2.13)
 A folga medida na montagem é diferente da definição porque sofre a influência de outros elementos montados sobre eixo e furo.
Folga mínima (Fmin). Diferença entre a dimensão mínima do furo e a dimensão máxima do eixo.
	Fmin = Dmin - dmax
	(x2.14)
Lembrando que Dmin = D0 + EI, dmax = d0 + es e D0 = d0, tem-se que 
	
Fmin = EI - es
	(x2.15)
Folga máxima (Fmax). Diferença entre a dimensão máxima do furo e a dimensão mínima do eixo.
	
Fmax = Dmax - dmin
	(x2.16)
Em função dos afastamentos, 
	
Fmax = ES - ei
	(x2.17)
Interferência (I). Para ocorrer a interferência, a dimensão efetiva D do furo sempre deve ser menor do que a dimensão efetiva d do eixo. Assim, a interferência ocorre se
	
D < d
	(x2.18)
Na NBR 6158, define-se que a interferência é a diferença negativa entre as dimensões do furo e do eixo, antes da montagem.
	
I = - (D - d) = d - D
	(x2.19)
Interferência mínima (Imin). Diferença negativa entre a dimensão máxima do furo e a dimensão mínima do eixo.
 
	
Imin = - (Dmax – dmin) = dmin - Dmax
	(x2.20)
Substituindo os diâmetros em função dos afastamentos, tem-se
	
Imin = ei - ES
	(x2.21)
Interferência máxima (Imax). Diferença negativa entre a dimensão mínima do furo e a máxima do eixo.
	
Imax = -( Dmin – dmax) = dmax - Dmin
	(x2.22)
Substituindo os diâmetros em função dos afastamentos, tem-se
	
Imax = es – EI
	(x2.23)
Ajuste com folga. Ajuste no qual sempre ocorre uma folga entre o furo e o eixo, quando montados, isto é, 
	
 Dmin ≥ dmax
	(x2.24)
Ajuste com interferência. Ajuste no qual ocorre uma interferência entre o furo e o eixo, quando montados, isto é,
	
Dmax ≤ dmin
	(x2.25)
Ajuste incerto. Ajuste no qual pode ocorrer uma folga ou uma interferência entre o furo e o eixo, quando montados, dependendo das dimensões efetivas do furo e do eixo, isto é,
	
D > d ou D < d
	(x2.26)
e os campos de tolerância do furo e do eixo se sobrepõem parcialmente ou totalmente. Na figura 2.4, representam-se campos de tolerâncias que caracterizam tais ajustes.
Variação de um ajuste (Taj). Soma das tolerâncias do furo e do eixo. Também é conhecida por “tolerância de ajuste” e pode ser definida como o valor absoluto da diferença entre folgas máxima e mínima ou entre interferências máxima e mínima.
	
Taj = T + t
	(x2.27)
ou
	Taj = Fmax – Fmin
	(x2.28)
ou
	Taj = Imax - Imin
	(x2.29)
Sistema de ajustes eixo-base. Sistema de ajustes no qual as folgas ou interferências exigidas são obtidas pela associação de furos de várias classes de tolerâncias com eixos de uma única classe de tolerâncias. Neste sistema, a dimensão máxima do eixo é igual à dimensão nominal, isto é, a posição do campo de tolerância é a letra h. As seguintes associações de classes de tolerâncias são exemplos de sistemas de ajustes eixo-base: G7/h6, H6/h5, F8/h7. 
Figura 2.4 – Ajustes: a) com folga, b) com interferência, c) incerto.
Sistema de ajustes furo-base. Sistema de ajustes no qual as folgas ou interferências exigidas são obtidas pela associação de várias classes de tolerâncias com furos de uma única classe de tolerâncias. Neste sistema, a dimensão mínima do furo é igual à dimensão nominal, isto é, a posição do campo de tolerância é a letra H. As seguintes associações de classes de tolerâncias são exemplos de sistemas de ajustes furo-base: H7/g6, H6/h5, H8/f7. Na figura 2.4, os sistemas de ajuste são furo-base.
2.6 Designação de ajustes e indicação nos desenhos
	Quando for aplicável a NBR 6158, os ajustes são designados por: a) dimensão nominal comum a eixo e furo, b) símbolo da classe de tolerância para furo e c) símbolo da classe de tolerância para eixo. Exemplos: 
	30H7/g6
	ou
	30H7-g6
	ou
	
 
Na figura 2.5, apresentam-se exemplos de indicação dos ajustes no desenho.
Figura 2.5 – Exemplos de indicação de ajustes no desenho.
2.7 Escolha de classes de tolerâncias e ajustes
	O primeiro problema a deparar-se na escolha da classe de tolerâncias é saber qual a norma que se aplica. Para o caso de peças isoladas e que não se tenha a necessidade de indicação individual da tolerância, usa-se a NBR ISO 2768-1.
	Nos casos em que se vise a fabricação de peças intercambiáveis, usa-se a NBR 6158 que, no seu anexo, apresenta as seguintes recomendações de escolha das classes de tolerâncias para uso geral:
Devem ser escolhidas as classes reproduzidas nas tabelas x2.7 e x2.8, preferencialmente as emolduradas.
Tabela x2.7 – Classes de tolerâncias recomendadas para eixos.
	
	
	
	
	
	
	g5
	h5
	js5
	k5
	m5
	n5
	p5
	r5
	s5
	t5
	
	
	
	
	
	
	f6
	g6
	h6
	js6
	k6
	m6
	n6
	p6
	r6
	s6
	t6
	
	
	
	
	
	e7
	f7
	
	h7
	js7
	k7
	m7
	n7
	p7
	r7
	s7
	t7
	u7
	
	
	
	d8
	e8
	f8
	
	h8
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	d9
	e9
	
	
	h9
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	d10
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	a11
	b11
	C11
	
	
	
	
	h11
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Decidir se o ajuste é do sistema furo-base ou eixo-base.
Escolher furo-base preferencialmente para uso geral.
Escolher eixo-base somente no caso de seu uso resultar em inquestionáveis vantagens econômicas. Exemplo: eixo de transmissão sobre o qual vários elementos serão montados.
Os outros afastamentos e campos de tolerância devem ser escolhidos de modo a satisfazer as condições de funcionamento. As tolerâncias devem ser as maiores possíveis, compatíveis com a condição de utilização. 
Como é mais difícil usinar a superfície internade um furo do que a superfície externa de um eixo, pode ser escolhido para o furo um grau de tolerância maior do que o do eixo. Exemplo: furo H8 e eixo f7.
Tabela x2.8 – classes de tolerâncias recomendadas para furos. 
	
	
	
	
	
	
	G6
	H6
	JS6
	K6
	M6
	N6
	P6
	R6
	S6
	T6
	
	
	
	
	
	
	F7
	G7
	H7
	JS7
	K7
	M7
	N7
	P7
	R7
	S7
	T7
	
	
	
	
	
	E8
	F8
	
	H8
	JS8
	K8
	M8
	N8
	P8
	R8
	
	
	
	
	
	
	D9
	E9
	F9
	
	H9
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	D10
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	A11
	B11
	C11
	
	
	
	
	H11
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	A escolha das classes de tolerâncias e ajustes requer experiência e conhecimentos sobre projeto de elementos de máquinas, sobre meios de fabricação e custos envolvidos. Quanto aos meios de fabricação é fundamental o conhecimento dos limites de qualidade possíveis de serem conseguidos com as instalações e máquinas operatrizes existentes.
	Na prática, o projetista depara-se com uma gama de peças ou partes disponíveis no comércio como rolamentos, retentores, acoplamentos, freios, rodas dentadas, chavetas, anéis elásticos e parafusos, cujas dimensões e tolerâncias são normalizadas e sobre as quais existem informações técnicas (catálogos, etc) dos fabricantes. Mas, em vários casos, deve-se projetá-las porque não se encontram a venda no comércio, devido à dificuldade do atendimento de requisitos muito específicos de projeto. Um exemplo típico é o projeto de um eixo de transmissão que requer o estabelecimento das classes de tolerâncias, considerando principalmente o funcionamento dos elementos sobre ele montados.
	Na escolha de um ajuste com folga, como em mancais de deslizamento, consideram-se requisitos relacionados à folga ótima para a lubrificação hidrodinâmica, temperatura de funcionamento, precisão de locação do eixo, vibrações auto-induzidas. No caso de ajustes com interferência (geralmente peças cilíndricas), os requisitos relacionam-se à capacidade de transmissão de potência e à força de montagem do ajuste. A interferência máxima é limitada pela resistência mecânica do material e as tensões atuantes são calculadas pelas equações de LAMÉ dos tubos de paredes espessas submetidos a pressões externas e internas.
	Recomendações práticas minuciosas para a escolha de tolerâncias e ajustes são encontradas no livro de AGOSTINHO et Al (1977). 
2.8 Montagem de ajustes interferentes com aquecimento ou resfriamento
	A montagem de ajustes intereferentes tem sido efetuada das seguintes maneiras: a) por ação mecânica com uso de prensas e b) com aquecimento ou resfriamento das partes. A primeira não é abordada neste texto porque envolve conhecimentos que fogem ao objetivo da metrologia e são mais pertinentes à área de projeto. A segunda pode ser encarada com uma abordagem simples e é muito utilizada em aplicações corriqueiras como na montagem de rolamentos. Aqui, apresenta-se apenas uma consideração elementar sobre a determinação da variação de temperatura necessária para a montagem.
Assim, denominando ΔD a variação do diâmetro nominal de um furo a ser aquecido, tem-se a seguinte condição de montagem:
	ΔD > Imax
	(x2.30)
	ΔD = D0 α Δθ
	(x2.31)
Imax é interferência máxima, D0 a dimensão nominal, α o coeficiente de dilatação térmica linear do material da peça com furo e Δθ = θ – θ0 (θ é a temperatura de aquecimento a determinar e θ0 a temperatura ambiente). No caso de resfriamento do eixo, a condição de montagem é a seguinte: 
	Δd > Imax
	(x2.32)
	Δd = d0 α Δθ
	(x2.33)
Neste caso, d0 é a dimensão nominal do eixo e Δθ = θ0 – θ (θ é a temperatura de resfriamento menor do que a ambiente θ0).
2.9 Calibres passa-não-passa
 
	São instrumentos sem escala utilizados para verificar se dimensões, formas e posições relativas de peças, ou conjuntos montados de peças, atendem as limitações de tolerância especificadas. Dependendo das aplicações, podem ser encontrados calibres para partes cilíndricas (furos e eixos), partes cônicas, superfícies com rosca, dimensões lineares, localização de furos, formas diversas, engrenagens, etc. Os mais empregados na prática são os que possuem dois tamanhos de limites de tolerância: um correspondendo ao limite superior e o outro ao inferior. Nas verificações, um serve ao tamanho passa e o outro ao não passa. Uma peça é considerada boa se entrar no lado “passa” e não entrar no lado “não passa”. 
	Associados a esses limites, estão os seguintes termos definidos na NBR 6158:
Limite de máximo material (MML). Designação aplicada a cada uma das duas dimensões limites e que corresponde à dimensão de máximo material: a) no caso de um elemento externo (eixo), corresponde à dimensão máxima e, b) no caso de um elemento interno (furo), corresponde à dimensão mínima. O limite de máximo material anteriormente era chamado de “limite passa”.
 
Limite de mínimo material (LML). Designação aplicada a cada uma das duas dimensões limites e que corresponde à dimensão de mínimo material: a) no caso de um elemento externo (eixo), corresponde à dimensão mínima e, b) no caso de um elemento interno (furo), corresponde à dimensão máxima. O limite de mínimo material anteriormente era chamado de “limite não passa”.
	Quanto à qualidade das dimensões limites e também das aplicações, os calibres passa-não-passa podem ser classificados em:
Calibres de trabalho (usados para verificações na fabricação de peças).
Calibres de inspeção (usados para inspecionar peças acabadas).
Calibres de aceitação (usados pelos clientes).
Calibres de referência (usados para verificar calibres de trabalho e de aceitação).
O controle de calibres de inspeção ou de referência é realizado utilizando blocos padrão de comprimentos.
Os calibres podem ser construídos para verificar uma dimensão de cada vez ou várias simultaneamente. Nestas notas, consideram-se somente os usados para verificação de uma dimensão.
Os primeiros calibres eram feitos em forma de anéis (para verificar eixos) ou tampões (para verificar furos) e duas peças para cada forma (uma com a dimensão mínima e outra com a dimensão máxima). Uma vantagem desses calibres é que a dimensão passa também pode detectar desvios de forma (como ovalização). Por outro lado, a dimensão não-passa não permite detectar desvios de forma. Na figura 2.6, mostra-se um calibre tampão.
Figura 2.6 – Calibre tampão.
Os calibres planos freqüentemente substituem anéis e tampões e com eles é possível inspecionar eixos e furos em várias posições diametrais. Além disso, outras dimensões externas e internas podem ser inspecionadas. No entanto, não detectam certos desvios de forma como isoespesso. Os aplicáveis a eixos são conhecidos como “calibres de boca” e têm as formas básicas apresentadas na figura 2.7. As superfícies de medição que entram em contato com as peças são temperadas e podem ser fixas ou ajustáveis.
Figura 2.7 – Calibres de boca: a) ferradura dupla, b) ferradura progressiva.
Uma combinação muito usada para verificação de furos é calibre tampão no lado passa e um calibre plano interno para o lado não-passa (figura 2.8), apresentado assim as vantagens de cada um de tais tipos de calibres.
Figura 2.8 – Calibre passa tampão e não-passa plano.
	Os calibres passa-não-passa devem atender os seguintes requisitos de qualidade:
exatidão;
alta rigidez (para diminuir erros por deformação) e baixo peso (para facilitar o manuseio);
resistência ao desgaste (as superfícies de medição devem ser tratadas termicamente);
alta taxa de verificação (velocidade de operação);
estabilidade dimensional (baixa taxa de variação dimensional com o tempo);
resistência à corrosão.
2.10 Escolha do instrumento de medição
	Conhecida a especificação de tolerância para a dimensão nominal de uma peça (eixo), obtém-se por medição a dimensão efetiva, cujo resultado expressa-se como:
	d = db ± U
	(x2.34)onde db é o valor básico (a média de várias leituras ou um único valor) e U a incerteza do resultado. Para a verificação, normalmente seria averiguado se é atendida a condição
	dmin ≤ db ≤ dmax
	(x2.35)
Usando os afastamentos limites, essa condição é estabelecida como
	ei ≤ eb ≤ es
	(x2.36)
onde eb = db – d0 é o desvio dimensional básico.
Lembrando que d = e + d0 e como db = eb + d0, a expressão (x2.34) é reescrita como
	e = eb ± U
	(x2.37)
	Dependendo do valor da incerteza de medição, as condições de verificação podem não ser atendidas. Considera-se, por exemplo, a especificação 70g6, para a qual t = 19μm, es = -10 μm, ei = -29 μm, dmax = 69,990 mm e dmin = 69,971 mm. Supõe-se que o resultado de medição seja d = 69,988 ± 0,005 mm. Observa-se que o valor verdadeiro da dimensão medida está entre 69,993 mm e 69,983 mm. Neste caso, o valor 69,993 mm é maior do que a dimensão máxima permitida de 69,990 mm. Então, não se pode afirmar com segurança que a peça atende a especificação (ela poderá atender). Por outro lado, se a incerteza fosse 0,002 mm, o maior valor do resultado de medição seria 69,990 mm e assim ter-se-ia uma segurança em afirmar que a especificação é atendida dentro da confiabilidade do resultado de medição.
	Logo, é muito importante escolher um instrumento e o procedimento de medição que proporcionem incertezas insignificantes em relação à tolerância dimensional. A experiência tem recomendado a seguinte regra prática (“regra de ouro” da metrologia dimensional): 
	U ≤ t/10
	(x2.38)
onde t (ou T) é a tolerância dimensional.
	Uma expressão alternativa, quando não se conhece a priori a incerteza U, é a seguinte:
	v ≤ t/10 
	(x2.39)
onde v é o valor da divisão de escala (ou a resolução) do instrumento de medição.
	É importante salientar que, mesmo obedecendo à regra prática, não se tem 100% de segurança da peça estar no intervalo de tolerância. Daí, é recomendável mudar os limites de aceitação, criando uma tolerância de aceitação ta definida por
	ta = esa – eia 
	(x2.40)
e onde esa = es – U e eia = ei + U (ver figura 2.9). Com isso, a condição confiável para verificação é 
Figura 2.9 – Campo de tolerância de aceitação.
	ei + U ≤ eb ≤ es - U ou 
	(x2.41)
	dmin + U ≤ db ≤ dmax – U
	(x2.42)
	Na verificação do exemplo descrito, os instrumentos recomendáveis a usar são calibre passa-não-passa (com grau de tolerância IT2) ou comparador com resolução de 2 μm ou menor. Para ambos, recomenda-se o uso dos limites determinados em função da tolerância de aceitação. No caso dos calibres passa-não-passa, deve-se considerar a sua própria tolerância IT e também uma margem adicional para o desgaste das superfícies de medição.
2.11 Um exemplo de seleção de ajuste
	Para ilustrar os conhecimentos apresentados, descreve-se um procedimento de seleção de ajuste, mediante um problema didático formulado como segue.
Problema. Ao efetuar o dimensionamento de um eixo, em conjunto com os elementos sobre ele montados, concluiu-se que o diâmetro nominal dos mancais é de 50 mm e as melhores condições de funcionamento que corresponde a uma folga entre 0,02 mm e 0,1 mm. Pede-se então a especificação do ajuste para mancal e ponta do eixo.
Solução. No problema, não se informa se o ajuste aplica-se a peças isoladas ou a uma produção de várias peças. Mas, adota-se a NBR 6158, visando a intercambiabilidade, porque se trata de uma aplicação típica de enquadramento a essa norma. Escolhe-se sistema eixo-base porque é mais prática e menos onerosa a substituição do mancal. Assim, já se tem a seguinte especificação:
50 ? ? / h ?
As informações de folga do problema proporcionam estabelecer que
0,02 mm ≤ Fmin ≤ F ≤ Fmax ≤ 0,1 mm
Fazendo uso da definição de variação de um ajuste, tem-se
Taj = T + t = Fmax – Fmin ≤ (0,1 – 0,02) mm
ou
T + t ≤ 80 μm
Consultando a tabela x2.3 de tolerâncias, selecionam-se
T = 39 μm (IT8, para furo)
t = 25 μm (IT7, para eixo)
Assim, 
T + t = 64 μm < 80 μm
Agora, a especificação de ajuste já pode se escrita como
50 ? 8 / h 7
Para a determinação da posição do campo de tolerância do furo, consideram-se novamente as folgas limites do problema, quais sejam:
Fmin = EI – es ≥ 20 μm
Fmax = ES – ei ≤ 100 μm
 
Como es = 0 e ei = - t = - 25 μm, então
EI ≥ 20 μm
ES + 25 μm ≤ 100 μm
Para eixo-base, folgas são obtidas com posições de campos de tolerância de furos de A até H. Na tabela x2.6, constam afastamentos inferiores. Assim, com ES = EI + 39 μm, as condições anteriores ficam
EI ≥ 20 μm
EI ≤ 36 μm
Na tabela x2.6, a solução corresponde à letra F, para a qual EI = 25 μm. Portanto, o ajuste selecionado é
50 F 8 / h 7
Com este ajuste, as folgas limites são Fmax = 89 μm e Fmin = 25 μm.
2.12 Análise de tolerâncias na cotagem de peças
	Nos itens anteriores, as tolerâncias foram aplicadas apenas a dimensões individuais de peças ou, em outras palavras, a cotas individuais de desenhos de peças e de partes. No entanto, um desenho contém mais de uma cota e conseqüentemente a atribuição das tolerâncias não pode ser desvinculada das relações entre as cotas. Com o uso das normas NBR 6158 e NBR ISO 2768-1, nenhuma cota deve ficar sem especificação de tolerância. Então, é necessário estudar as tolerâncias dos conjuntos de cotas.
	As informações sobre as cotas, com as respectivas tolerâncias que os projetistas colocam num desenho, devem levar em conta os meios de fabricação das peças ou partes. Consideram-se duas situações típicas: a) informações vagas (insuficientes) e b) informações supérfluas (excessivas). Informações vagas impedem a fabricação pela ausência ou falta de clareza. Mas informações excessivas causam dificuldades porque geram decisões de fabricação que podem produzir demasiado refugo. Na figura 2.10, tem-se um exemplo de cotas supérfluas. 
	Supõe-se que, na fabricação, decidiu-se fixar a cota AD em 90,00 mm, a cota AB em 24,87 mm e a cota BC em 50,00 mm. Então, a cota CD é igual a 15,13 mm e excede o limite superior especificado de 15,00mm. Neste caso, a peça deveria ser refugada. Se fosse aproveitada, causaria uma montagem problemática ou o sistema do qual faz parte não funcionaria.
	Esse método de cotagem é conhecido como cadeia de dimensões com acumulação de tolerâncias (na bibliografia em inglês é denominado de tolerance stack-up). Para o melhor uso desse método, deve-se diminuir o número de cotas e reservar uma delas (a inicial ou a final) a qual atribuir-se-á uma tolerância compatível com o funcionamento do sistema que contém a peça. Na figura 2.11, apresenta-se a mesma peça com cotas modificadas, uma delas reservada (cota CD) e uma solução de tolerância não acumulada (a cota BC foi omitida).
Figura 2.10 – Peça com cotas supérfluas.
Figura 2.11 – Peça com cotas sem tolerância acumulada.
	Para a análise de tolerâncias das cadeias de dimensões que se abordam neste texto, são necessárias ao menos as seguintes definições:
Cadeia de dimensões. Série consecutiva de dimensões lineares, angulares ou de forma e posição, que constitui um conjunto fechado, referido a uma peça ou conjunto de peças montadas. Uma condição obrigatória é que as dimensões inter-relacionadas formem um contorno fechado.
 
Componente final. É aquele que, sendo o último da construção da cadeia, liga as superfícies ou eixos da peça cuja posição deva ser especificada ou verificada. Os componentes finais são designados por símbolos tais como Aδ, Bδ, aδ, bδ, etc.
As cadeias de dimensões são classificadas em:
Cadeia de dimensões com componentes paralelos (figura 2.12a).
Cadeia de dimensões com componentes não paralelos (figura 2.12b).
Cadeia de dimensões com componentes angulares (figura 2.12c).
Cadeia de dimensões no espaço (reduzida a um dos casos anteriores).
	Figura 2.12 –
	Cadeias de dimensões: a) componentesparalelos, b) componentes não paralelos, c) componentes angulares.
	A análise de tolerâncias para um conjunto de cotas, neste texto, é simplificada e restringe-se à cadeia com componentes paralelos.
	Considera-se a cadeia da figura 2.12a. O componente final (cota reservada para atribuir uma tolerância compatível ao funcionamento após montagem) é determinado por
cδ = a – b
A cota a é denominada crescente e a b decrescente. No caso de uma cadeia com mais componentes, a cota final é determinada por
	
	
(x2.43)
Portanto, a cota final é a soma das cotas crescentes menos a soma das cotas decrescentes.
	Admite-se que os afastamentos superior e inferior do componente final sejam dependentes das dimensões limites de a e b. Assim, usando as expressão (x2.43), primeiro para o afastamento superior e depois para o inferior, têm-se:
	
	
	
	
	
	
(x2.44)
O afastamento superior do componente final, de uma cadeia de dimensões, é a soma dos afastamentos superiores das cotas crescentes menos a soma dos afastamentos inferiores das cotas decrescentes.
De modo similar, 
	
	
(x2.45)
O afastamento inferior do componente final, de uma cadeia de dimensões, é a soma dos afastamentos inferiores das cotas crescentes menos a soma dos afastamentos superiores das cotas decrescentes.
	A tolerância do componente final é determinada por
tδ = esδ - eiδ
Substituindo (x2.43) e (x2.54), tem-se
	
	
	
	
ou, sendo n+m=p,
	tδ = t1 + t2 + ... + tp-1
	(x2.46)
A tolerância do componente final é a soma das tolerâncias dos demais componentes da cadeia de dimensões.
	Para exemplificar, considera-se o caso da figura 2.10, cujo arranjo vetorial das cotas crescentes e decrescentes é mostrado na figura 2.13.
	Figura 2.13 –
	Arranjo vetorial de cotas crescentes (para a direita) e decrescentes (para a esquerda).
Usando as expressões (x2.43), (x2.44), (x2.45) e (x2.46), obtêm-se:
	cδ 
	=
	a1 – (b1 + b2) = 90 – (25 + 50) = 15 mm
	tδ 
	=
	ta1 + tb1 + tb2 = 0,54 + 0,13 + 0,25 = 0,92 mm
	esδ 
	=
	esa1 – (eib1 + eib2) = 0 – (- 0,13 + 0) = 0,13 mm 
	eiδ 
	=
	eia1 – (esb1 + esb2) = -0,54 – (0 + 0,25) = - 0,79 mm
Observa-se que, com estas especificações, a cota CD figura 2.11) seria aprovada e a peça não rejeitada. No entanto, a sua tolerância é grande e corresponde a um grau IT bem inferior às das demais cotas.
Considerando o exemplo da figura 2.11, tem-se tδ = 0,84 mm, esδ = 0 e eiδ = -0,84mm. Neste caso, a tolerância é menor e corresponde a um grau IT de melhor qualidade do que o anterior.
	A análise de tolerâncias baseada na intercambiabilidade total evidencia que a tolerância do componente final é bem maior do que a dos demais componentes. Para diminuí-la deve-se:
diminuir a tolerância dos demais componentes (cotas);
diminuir o número de componentes (cotas) da cadeia de dimensões;
usar a experiência;
usar outros métodos (baseados em estatística ou derivados da experiência).
O método da intercambiabilidade total é útil quando se fazem poucas montagens de partes. Entretanto, quando se lida com grandes quantidades de peças ou partes, é impossível que sempre ocorra o valor extremo da tolerância acumulada (soma de todos tolerâncias). Neste caso, usa-se um controle estatístico (por amostras) e a tolerância mais provável do componente final é estimada por
	
	(x2.47)
Agora, a tolerância do componente final da figura 2.10 é tδ = 0,61 mm. Houve uma redução para 66% da tolerância calculada anteriormente. Usando essa mesma redução para os afastamentos, têm-se que esδ = 0,09 mm e eiδ = - 0,52 mm.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
BIBLIOGRAFIA
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