Funções Trigonométricas e suas inversas

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA PARAÍBA 
COORDENAÇÃO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA CAMPUS JOÃO PESSOA 
 
Curso: Engenharia elétrica / Licenciatura em Química 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I / Cálculo Aplicado à Química 
Professora: Kalina Aires 
 
 
Material de aula: funções trigonométricas e suas inversas 
 
Arcos e Ângulos: 
 
 
Definição: Dados dois pontos distintos A e B sobre uma circunferência, esta fica 
dividida em duas partes, chamadas arco de circunferência. 
Se os pontos A e B coincidem, eles determinam dois arcos: um deles é o ponto, 
chamado arco nulo, e o outro é a própria circunferência, denominado arco de uma volta. 
 
Medidas de arcos: 
 
 
Para medirmos dois arcos 
AB
 e 
CD
 usamos duas unidades: o grau e o radiano. 
 

Grau (símbolo 
o
): Dividindo a circunferência em 360 partes iguais, cada parte 
mede 1
o
. Ou seja, um arco de medida 1
o
 equivale a um arco unitário igual a 
360
1
 da 
circunferência. 
 

Radiano (símbolo rad): é um arco unitário que tem comprimento igual ao raio da 
circunferência que contém o arco a ser medido. Ou seja, dizer que um arco AB mede 1 
rad, é equivalente a dizer que “esticando” o arco sua medida é igual a medida do raio da 
circunferência que o contém. 
 
 
Ciclo trigonométrico: 
 
 
Definição: Consideremos um sistema cartesiano ortogonal uOv, e uma 
circunferência 

 de raio r =1, com origem no ponto A(1,0), e cujo sentido 
positivo, é o sentido anti-horário, a partir de A. Essa circunferência é denominada 
ciclo trigonométrico. Como o comprimento de uma circunferência qualquer é 
dado por 
r2C 
, temos que o comprimento dessa circunferência é igual a 
2
rad, que equivale a 
2
, já que 
rad1r 
. 
Vamos definir uma aplicação de IR sobre 

, de tal forma que, a cada 
número real x associemos um único ponto P da circunferência 

, da seguinte 
maneira: 
 

Se x = 0, então P coincide com A(1,0); 
 
2 
 

Se x > 0, então realizamos, a partir de A, um percurso de comprimento x, no sentido anti-horário, e marcamos 
P como ponto final do percurso. 
 

Se x < 0, então realizamos, a partir de A, um percurso de comprimento |x|, no sentido horário, e marcamos P 
como ponto final do percurso. 
 
Desta forma, temos que a cada número real x, é possível associar a sua imagem P no ciclo trigonométrico. 
Assim, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A imagem de 
2

 é B A imagem de 
2


 é 
B
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A imagem de 

 é 
A
 A imagem de 

 é 
A
 
 
 
Notemos ainda que, se P é a imagem do número 
0x
, então P é também a imagem dos números: 
,4x,2x,4x,2x,x 00000 
 etc. De uma forma geral, P é a imagem dos elementos do conjunto: 
 
 ZZk,k2xx;IRx 0 
 
 
 
Funções Circulares: 
 
Considerando 
ZZk
, temos: 
 

Se x pertence ao 1º quadrante, então 


 k2
2
xk20
; 

Se x pertence ao 2º quadrante, então 


k2xk2
2
; 

Se x pertence ao 3º quadrante, então 


 k2
2
3
xk2
; 
3 
 

Se x pertence ao 4º quadrante, então 


k22xk2
2
3
. 
 
Observação: No que segue, utilizaremos a notação 
1OP
 e 
2OP
, para representar, respectivamente, a ordenada 
e a abscissa de um ponto P, na circunferência trigonométrica. 
 
 
Seno e Cosseno de um número real: 
 
 
Dado um número real x, seja P a sua imagem no ciclo, como mostra a figura: 
 
Definição: Denominamos seno de x, e indicamos por 
)x(sen
, a 
ordenada 
1OP
. 
 
Definição: Denominamos cosseno de x, e indicamos por 
)xcos(
, a 
abscissa 
2OP
. 
 
Função Seno: 
 
A função 
IRIR:f 
, que associa a cada número real x, o também real 
1OPsenx 
, representada por 
senx)x(f 
, denomina-se função seno. O quadro abaixo mostra algumas características dessa função: 
 
Quadrante 1º 2º 3º 4º 
Arco 
2
0


 


2
 
2
3

 


2
2
3
 
Sinal + + – – 
Variação 
10
 
01
 
10 
 
01
 
crescente decrescente decrescente crescente 
 
 
Gráfico: 
 
O gráfico dessa função é uma curva denominada senóide. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades: 
 
 
Em relação à função f(x)= sen(x), temos que: 
 
1) O D(f) = IR e Im(f) = [–1,1]. 
 
 
u 
x
 
P1 
P2 
P 
O 
v 
4 
 
2) Sempre que somamos 
2
 a um determinado valor de x, a função seno assume o mesmo valor. Como 
2
 é o 
menor número positivo para o qual isso acontece, dizemos que o seu período é 
2
, ou seja, 
 
.ZZke)f(Dx,)x(f)k2x(f 
 
 
3) A função f é ímpar, visto que 
senx)x(sen 
 
 
4) f é contínua em seu domínio. 
 
Função Cosseno: 
 
A função 
IRIR:f 
, que associa a cada número real x, o também real 
2OP)xcos( 
, representada por 
xcos)x(f 
, denomina-se função cosseno. O quadro abaixo mostra algumas características dessa função: 
 
Quadrante 1º 2º 3º 4º 
Arco 
2
0


 


2
 
2
3

 


2
2
3
 
Sinal + – – + 
Variação 
01
 
10 
 
01
 
10
 
decrescente decrescente crescente crescente 
 
 
Gráfico: 
 
 
O gráfico dessa função é uma curva denominada cossenóide. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades: 
 
 
Em relação a função f(x)= cosx, temos que: 
 
1) O D(f) = IR e Im(f) = [–1,1]. 
 
2) A função f é periódica e seu período P é 
2
. 
3) A função f é par, visto que cosx = cos(–x). 
 
4) f é contínua em seu domínio. 
 
 
Relação entre o seno e o cosseno: 
 
 
 
 
5 
 
Para todo x real, vale a relação: 
1)x(cos)x(sen 22 
 . 
 
Prova: 
 
a) Se 
2
k
x


, 
ZZk
, a imagem de x é distinta de A, B, 
A
 e 
B
. Então 
existe o triângulo retângulo OP2P. Portanto, 
 
2
2
2
1
2
OPOPOP 
, ou seja, 
1)x(cos)x(sen 22 
. 
 
b) Se 
2
k
x


, 
ZZk
, então: 
 
x sen(x) cos(x) sen
2
(x) + cos
2
(x) 
0 0 1 1 
2
 1 0 1 

 0 –1 1 
2
 –1 0 1 
2
 0 1 1 
 
 
Função Tangente: 
 
 
Definição: Dado um número real x, 


 k
2
x
, 
ZZk
, seja P sua 
imagem no ciclo. Consideremos a reta 
OP
 e seja T sua intersecção com o 
eixo das tangentes. Denominamos tangente de x, e indicamos por tg(x), a 
medida algébrica do segmento 
AT
, conforme mostra a figura ao lado. 
 
A função 
IRD:f 
 que associa a cada número real x, 


 k
2
x
, o 
real 
AT)x(tg 
, é denominada função tangente, e representada por 
)x(tg)x(f 
. 
Notemos que, para 


 k
2
x
, P está sobre B ou 
B
, e então, a reta 
OP
 fica paralela ao eixo das 
tangentes, logo, não existe o ponto T. Neste caso a tg(x) não é definida. 
 
Em relação a função f(x)= tg(x) , temos: 
 
Quadrante 1º 2º 3º 4º 
Arco 
2
0


 


2
 
2
3

 


2
2
3
 
Sinal + – + – 
Variação 
0
 
0
 
0
 
0
 
crescente crescente crescente crescente 
 
6 
 
 
Gráfico: 
 
 
O gráfico dessa função é uma curva 
denominada tangentóide.Propriedades: 
 
1) 








 ZZk,k
2
x;IRx)f(D
 e Im(f)=IR. 
 
2) A função tangente é periódica , e seu período é 

. 
 
3) A função tangente é ímpar, já que tg(–x)= –tg(x). 
 
4) f é contínua em seu domínio. 
 
 
 
Relação entre tangente, seno e cosseno: 
 
Para todo x real, 


 k
2
x
, 
ZZk
, vale a relação: 
)xcos(
)x(sen
)x(tg 
. 
Prova: 
 
a) Se 
ZZk,kx 
, a imagem de x é distinta de A, B, 
A
 e 
B
. 
Então, temos: 
 
|)xcos(|
|)x(sen|
|)x(tg|
OP
PP
OA
AT
OPP~OAT
2
2
2 
 (1) 
Analisando o sinal, temos: 
 
 (2) 
Quadrante Sinal de tg(x) Sinal de 
)xcos(
)x(sen
 
1º + + 
2º – – 
3º + + 
4º – – 
 
 
7 
 
De (1) e (2) concluímos que 
)xcos(
)x(sen
)x(tg 
. 
 
b) Se 
ZZk,kx 
, temos: 
)xcos(
)x(sen
)xcos(
0
0)x(tg 
 
 
 
Função Cotangente: 
 
 
 
Definição: Dado um número real x, 
 kx
, 
ZZk
, seja P sua 
imagem no ciclo. Consideremos a reta 
OP
 e seja H sua intersecção com o 
eixo das cotangentes. Denominamos cotangente de x, e indicamos por 
cotg(x), a medida algébrica do segmento 
BH
, conforme mostra a figura 
ao lado. 
 
A função 
IRD:f 
 que associa a cada número real x, 
 kx
, o 
real 
BHgxcot 
, é denominada função cotangente, e representada por 
f(x)= cotg(x). 
Notemos que, para 
 kx
, P está em A ou 
A 
e então, a reta 
OP
 fica paralela ao eixo das cotangentes, 
logo, não existe o ponto H. Neste caso, a cotg(x) não é definida. 
Em relação a função f(x)=cotg(x) , temos: 
 
 
Quadrante 1º 2º 3º 4º 
Arco 
2
0


 


2
 
2
3

 


2
2
3
 
Sinal + – + – 
Variação 
0
 
0
 
0
 
0
 
decrescente decrescente decrescente decrescente 
 
 
Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
Propriedades: 
 
1) 
 ZZk,kx;IRx)f(D 
 e Im(f)=IR. 
2) A função cotangente é periódica , e seu período é 

. 
3) A função cotangente é ímpar e contínua em seu domínio. 
 
 
Relação entre cotangente, seno e cosseno: 
 
 
Para todo x real vale a relação: 
)x(sen
)xcos(
)x(gcot 
. 
Prova: 
 
a)Se 


 k
2
x
, a imagem de x é distinta de A, B, 
A
 e 
B
.Então, 
|)x(sen|
|)xcos(|
|)x(gcot|
OP
PP
OB
BH
OPP~OBD
1
1
1 
 (1) 
 
Analisando o sinal, temos: 
 
 
 (2) 
Quadrante Sinal de cotg(x) Sinal de 
)x(sen
)xcos(
 
1º + + 
2º – – 
3º + + 
4º – – 
 
 
Por (1) e (2), concluímos que: 
)x(sen
)xcos(
)x(gcot 
. 
b) Se 


 k
2
x
, temos: 
)x(sen
)xcos(
)x(sen
0
0)x(gcot 
. 
 
 
Função Secante: 
 
 
Definição: Dado um número real x, 
ZZk,k
2
x 


. Seja P a sua 
imagem no ciclo e s a reta tangente ao ciclo em P. Considere S a interseção 
da reta s com o eixo dos cossenos. Denominamos secante de x, e indicamos, 
sec(x), a abscissa 
OS
 do ponto S. 
 
 
 
 
 
 
S 
P2 u 
P 
O 
v 
s 
A 
B 
B
 
x 
A 
 
9 
 
 
A função 
IRD:f 
 que associa a cada número real x, 


 k
2
x
, o real 
OS)xsec( 
, é denominada 
função secante, e representada por 
)xsec()x(f 
. 
Notemos que, para 


 k
2
x
, P está em B ou 
B
e então, a reta s fica paralela ao eixo dos cossenos. 
Neste caso, não existe o ponto S e a sec(x) não é definida. 
 
Em relação a função f(x) = sec(x) , temos: 
 
 
Quadrante 1º 2º 3º 4º 
Arco 
2
0


 


2
 
2
3

 


2
2
3
 
Sinal + – – + 
Variação 
1
 
1
 
1
 
1
 
crescente crescente decrescente decrescente 
 
 
Propriedades: 
 
1) 








 ZZk,k
2
x;IRx)f(D
 e Im(f)=IR – ] –1, 1 [. 
 
2) A função secante é periódica , e seu período é 
2
. 
 
3) A função f é par e contínua em seu domínio. 
 
 
Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
Relação entre sec(x) e cos(x): 
 
 
Para todo x real, 
ZZk,k
2
x 


, vale a relação: 
)xcos(
1
)xsec( 
. 
 
Prova: 
 
a) Se 
 kx
, a imagem de x é distinta de A, B, 
A
 e 
B
. Então, 
 
|)xcos(|
1
|)xsec(|
OP
OP
OP
OS
POP~OPS
2
2 
 (1) 
Analisando o sinal, temos: 
 
 (2) 
Quadrante Sinal de sec(x) Sinal de cos(x) 
1º + + 
2º – – 
3º – – 
4º + + 
 
 
Por (1) e (2), concluímos que: 
)xcos(
1
)xsec( 
. 
 
 
b) Se 
 kx
, então: 
)xcos(
1
1)xsec( 
, se k for par ou 
)xcos(
1
1)xsec( 
, se k for ímpar. 
 
 
Função Cossecante: 
 
 
Definição: Dado um número real x, 
ZZk,kx 
. Seja P a sua imagem no 
ciclo e s a reta tangente ao ciclo em P. Considere C a interseção da reta s com o 
eixo dos senos. Denominamos cossecante de x, e indicamos, cossec(x), a ordenada 
OC
 do ponto C. 
 
A função 
IRD:f 
 que associa a cada número real x, 
 kx
, o real 
OC)xsec(cos 
, é denominada função cossecante, e representada por 
f(x)= cossec(x). 
 
 
Notemos que, para 
 kx
, P está em A ou 
A
e então, a reta s fica paralela ao eixo dos senos. Neste caso, 
não existe o ponto C e a cossec(x) não é definida. 
Em relação a função f(x)=cossec(x) , temos: 
 
C 
P1 
u 
P 
O 
v 
s 
A 
B 
B
 
A 
 
x 
11 
 
Quadrante 1º 2º 3º 4º 
Arco 
2
0


 


2
 
2
3

 


2
2
3
 
Sinal + + – – 
Variação 
1
 
1
 
1
 
1
 
decrescente crescente crescente decrescente 
 
 
Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades: 
 
1) 
 ZZk,kx;IRx)f(D 
 e Im(f) = IR – ] –1, 1 [. 
 
2) A função cossecante é periódica , e seu período é 
2
. 
3) A função f é ímpar e contínua em seu domínio. 
 
Relação entre cossec(x) e sen(x): 
 
 
Para todo x real, 
ZZk,kx 
, vale a relação: 
)x(sen
1
)xsec(cos 
. 
 
Prova: 
 
a) Se 


 k
2
x
, então a imagem de x é distinta de A, B, 
A
 e 
B
.Logo, 
 
|)x(sen|
1
|)xsec(cos|
OP
OP
OP
OC
POP~OPC
1
1 
 (1) 
 
Analisando o sinal, temos: 
 
 
 
 
12 
 
 (2) 
Quadrante Sinal de sec(x) Sinal de cos(x) 
1º + + 
2º + + 
3º – – 
4º – – 
 
 
Por (1) e (2), concluímos que: 
)x(sen
1
)xsec(cos 
. 
 
 
b) Se 


 k
2
x
, então: 
)x(sen
1
1)xsec(cos 
, se k for par ou 
)x(sen
1
1)xsec(cos 
, se k for ímpar. 
 
Outras relações entre as funções trigonométricas: 
 
 
Para todo x real, 
2
k
x


, valem as relações: 
 
a)
)x(tg
1
)x(gcot 
 b)
)x(sec1)x(tg 22 
 c)
)x(seccos)x(gcot1 22 
 
 
 
 
Prova: 
 
a)
)x(tg
1
)xcos(
)x(sen
1
)x(sen
)xcos(
)x(gcot 
 . 
 
 
b)
)x(sec
)x(cos
1
)x(cos
)x(cos)x(sen
1
)x(cos
)x(sen
1)x(tg 2
22
22
2
2
2 

 . 
 
c) 
)x(seccos
)x(sen
1
)x(sen
)x(cos)x(sen
)x(sen
)x(cos
1)x(gcot1 2
22
22
2
2
2 


 
 
 
 
Funções Trigonométricas Inversas: 
 
 
Função Inversa: 
 
 
Definição: Uma função f com domínio D e contradomínio R é uma função injetora, se, para todo 
21 xx 
 em D, temos 
)x(f)x(f 21 
 em R. 
 
13 
 
Definição: Uma função f com domínio D e contradomínio R é uma função sobrejetora, se, para todo 
IRy
, existe um 
Dx
 tal que y = f(x). 
 
Definição: Uma função f com domínio D e contradomínio R é uma função bijetora, se é injetora e 
sobrejetora, isto é, se, para todo 
IRy
 , existe um único 
Dx 
 tal que y = f(x). 
 
Exemplos: 
 
a) f(x)= x
2
 não é bijetora, visto que, f(2) = f(–2) e 
22 
, por exemplo. 
 
b) f (x) = x
3
 é uma função bijetora. 
 
Graficamente, temos que, se qualquer reta horizontal interceptar o gráfico da função f em mais de um 
ponto, então f não é bijetora. 
Se f é uma função bijetora com domínio D e contradomínio R, então, para cada número y em R, existe 
exatamente um número x em D tal que y = f(x). Como x é único, podemos definir uma função g de R em D tal 
que x = g(y), como mostra a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: Seja f uma função bijetora com domínio D e contradomínio R. Uma função g com domínio R 
e contradomínio D é a função inversa de f, desde que a seguinte condição seja satisfeita: 
 
y = f(x) se, e somente se, x = g(y). 
 
Se uma função g é a função inversa de f então são válidas: 
 
a) g(f(x)) = x, para todo x em D; 
 
b) f(g(y)) = y, para todo y em R. 
 
Uma função bijetora f só pode ter uma função inversa. Se g é a função inversa de f, então f é a função 
inversa de g. Dizemos que f e g são funções inversas uma da outra. Costumamos representar g por 1f  . O –1 
usado nessa notação não é expoente, isto é, 
)x(f
1
)x(f 1 
. Além disso, temos: 
 

domínio de 1f  = contradomínio de f. ; 

contradomínio de 1f  = domínio de f ; 

x))x(f(f 1 
 para todo x no domínio de f; 

x))x(f(f 1 
 para todo x no domínio de 1f  . 
14 
 
 
Há uma relação interessante entre os gráficos de duas funções inversas. Notemos que, b=f(a) equivale a 
)b(fa 1
. Assim, o ponto (a,b) pertence ao gráfico de f, enquanto que, (b,a) pertence ao gráfico de 1f  . Com 
isso, temos que os gráficos de f e 1f  são reflexões um do outro em relação à reta y = x. Isto é característica de 
toda função f que tem uma função inversa 1f  . A figura abaixo mostra os gráficos de duas funções inversas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema: Se f é contínua e crescente em [a,b], então f admite uma função inversa 1f  que é contínua e 
crescente em [f(a), f(b)]. (O mesmo vale substituindo crescente por decrescente). 
 
Funções Trigonométricas Inversas: 
 
 
Como as funções trigonométricas não são bijetoras, não admitem funções inversas. Mas, restringindo 
convenientemente os seus domínios, podemos obter funções bijetoras que tenham os mesmos valores das 
funções trigonométricas e que tenham funções inversas nesses domínios restritos. 
 
A inversa da Função Seno: 
 
 
Sabemos que o domínio da função seno é o conjunto IR e o conjunto imagem é o intervalo [–1,1]. Mas 
essa função não é bijetora, visto que, uma reta como 
2
1
y 
 intercepta o gráfico em mais de um ponto. 
Restringindo o seu domínio a 
 2,2 
, como mostra a parte sólida do gráfico, obtemos uma função 
crescente que toma cada valor da função seno somente uma vez. Esta nova função, com domínio 
 2,2 
 e 
contradomínio [–1,1], é contínua e crescente, logo, admite uma função inversa, que também é contínua e 
crescente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
Esta função inversa tem domínio [–1, 1] e contradomínio 
 2,2 
. 
 
Definição: A função inversa do seno, denotada arcsen , ou 1sen é definida como: 
 
y = arcsen(x) se, e somente se, x = sen y, para 
2y2e1x1 
. 
 
Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, temos: 
 

Se 
2
1
arcseny 
, então 
2
1
seny 
 e 
2
y
2




. Logo, 
6
y


. 

Se 







2
1
arcseny
, então 
2
1
seny 
 e 
2
y
2




. Logo, 
6
y


. 
 
Propriedades do arcsen(x): 
 
 
Das relações 
x))x(f(f 1 
 e 
x))x(f(f 1 
, válidas para qualquer função inversa 1f  , decorrem as 
seguintes propriedades: 
 
1) sen(arcsenx) = x , se 
1x1 
. 2) arcsen(senx) = x , se 
2
x
2




. 
 
Exemplos: 
 
a)
2
2
2
2
arcsensen 

















, pois 
1
2
2
1 
; 
 
b)
66
senarcsen












 

 , pois 
262






; 
 
16 
 
c)
3
5
2
3
arcsen
3
4
senarcsen




















 
, pois 
3
4
 não está entre 
2
e
2


, logo, não podemos usar a 
propriedade 2 acima. 
 
 
A inversa da Função Cosseno: 
 
 
Restringindo o domínio da função cosseno ao intervalo 
 ,0
, obteremos uma função contínua 
decrescente que tem uma função inversa contínua e decrescente. Observe a parte sólida do gráfico abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: A função inversa do cosseno, denotada arccos, ou cos
-1
 , é definida como: 
 
y = arccos(x) se, e somente se, x = cos y, para 
 y0e1x1
. 
 
O domínio da função arco cosseno é [–1,1] e o contradomínio é o intervalo 
 ,0
. 
 
 
Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, temos: 

Se 
2
3
arccosy 
, então 
2
3
ycos 
 e 
 y0
. Logo, 
6
y


. 

Se 







2
1
arccosy
, então 
2
1
ycos 
 e 
 y0
. Logo, 
6
5
y


. 
 
Propriedades do arccos(x): 
 
 
Sendo cos e arccos funções inversas uma da outra, valem as seguintes propriedades: 
 
 
1) cos(arccosx) = x , se 
1x1 
. 2) arccos(cosx) = x , se 
 x0
. 
 
17 
 
 
 
Exemplos: 
 
a)
2
2
2
2
arccoscos 

















, pois 
1
2
2
1 
; 
 
b)
6
5
6
5
cosarccos












 
 , pois 



6
5
0
; 
 
c) 
32
1
arccos
3
cosarccos


















 

, pois 
3


 não está entre 
e0
, logo, não podemos usar a propriedade 
acima. 
 
 
A inversa da Função Tangente: 
 
 
Restringindo o domínio da função tangente ao intervalo 





 

2
,
2
, obteremos uma função contínua 
crescente que tem uma função inversa contínua e crescente. 
 
Definição: A função inversa da tangente, denotada arctg, ou tg
-1
, é definida como: 
 
y = arctg(x) se, e somente se, x = tg y, para todo x e
2y2 
. 
O domínio da função arco tangente é IR e o contradomínio é o intervalo aberto 





 

2
,
2
.18 
 
Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades do arctg(x): 
 
São válidas as seguintes propriedades: 
 
 
1) tg(arctgx) = x , para todo x 2) arctg (tgx) = x , se 
2
x
2




. 
 
 
 
Exemplos: 
 
a) 
   1717arctgtg 
 
b) 
33
tgarctg












 

 , pois 
232






. 
 
c) 
 
4
7
1arctg
4
3
tgarctg












 
 . 
 
 
A inversa da Função Secante: 
 
 
Existem muitas maneiras de restringir o domínio da função 
secante, de forma a obter uma função bijetora que tome os 
valores da função secante. Vamos restringir x aos intervalos 
   23,e2,0 
, conforme mostra a parte sólida do gráfico, 
por tornar a fórmula de diferenciação da função inversa da 
secante mais simples. 
 
 
 
Definição: A função arco secante, denotada por arcsec (ou 
19 
 
sec
–1
 ), é definida como: 
 
y = arcsec x se, e somente se, x = sec y para 
1x 
 e y em 
   23,emou2,0 
. 
 
Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades do arcsec(x): 
 
1) sec(arcsecx) = x , se 
1x 
. 2) arcsec(secx) = x , se 
2
3
xou
2
x0




. 
 
Exemplos: 
 
a)
  2)2sec(arcsec 
, pois | 2 |= 2 > 1. 
 
b)
6
7
6
7
secsecarc












 
 , pois 
2
3
6
7 



. 
 
c) 
3
)2sec(arc
3
2
secsecarc












 
. 
 
Observação: As funções inversas da cotangente e cossecante, representadas por arccotg e arccossec, 
respectivamente, podem se definidas de maneira análoga, bastando restringir os domínios da seguinte forma: 
 

o domínio da função cotangente ao intervalo 
 ,0
; 

o domínio da função cossecante ao intervalo 





 





 

2
,00,
2
. 
 
Bibliografia: 
 
 
IEZZI, Gelson ... [et al ] – Fundamentos de Matemática Elementar, volume 3 – São Paulo: Editora Atual, 1985. 
 
GIOVANNI, José Ruy ; José Roberto Bonjorno – Matemática:uma nova abordagem, vol. 2 – São Paulo : FTD, 2000. 
 
SWOKOWSKI. Earl W.,Cálculo com Geometria Analítica–Volume 1. São Paulo: Makron Books, 1994.