348672181 Resolucao Braja Em Portugues 7 Edicao

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA 
PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO 
CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
MECÂNICA DOS SOLOS 
 
Lista de exercícios 
Braja M. Das – 7ª Edição 
Capítulo VIII 
Percolação 
 
Professora Doutora Gioconda Santos e Souza Martinez 
 
 
 
Nelson Poerschke 
UFRR- Boa Vista – RR 
2016
2 
Fundamentos de Engenharia Geotécnica – 7ª Edição – Braja M. Das – Cap VIII 
Disciplina: Mecânica dos Solos – Curso de Engenharia Civil – UFRR 
Mestre: Professora Doutora Gioconda Santos e Souza Martinez 
Acadêmico: Nelson Poerschke 
 
1) Equação da continuidade de Laplace: 
 
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
= 0 
 
 
2) Velocidades de percolação 𝑣𝑥 𝑒 𝑣𝑧 
 
𝑣𝑥 = 𝑘𝑥𝑖𝑥 = 𝑘𝑥
𝜕ℎ
𝜕𝑥
 
 e 
𝑣𝑧 = 𝑘𝑧𝑖𝑧 = 𝑘𝑧
𝜕ℎ
𝜕𝑧
 
Onde: 
 𝑘𝑥 𝑒 𝑘𝑧 são os valores da condutividade hidráulica nas direções horizontal e vertical, 
respectivamente. 
 
 
3) Equação da continuidade 
 
𝑘𝑥
𝜕2ℎ
𝜕𝑥2
+ 𝑘𝑧
𝜕2ℎ
𝜕𝑧2
= 0 
 
 
4) Equação da continuidade para solos isotrópicos 
 
𝜕2ℎ
𝜕𝑥2
+
𝜕2ℎ
𝜕𝑧2
= 0 
 
 
 
3 
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Acadêmico: Nelson Poerschke 
5) Equação da continuidade para escoamentos simples 
 
ℎ = ℎ1 (1 −
𝑘2𝑧
𝑘1𝐻2 + 𝑘2𝐻1
) 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝐻1 
 
ℎ = ℎ1 [(
𝑘1
𝑘1𝐻2 + 𝑘2𝐻1
) (𝐻1 + 𝐻2 + 𝑧)] 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐻1 ≤ 𝑧 ≤ 𝐻1 + 𝐻2 
Onde: 
 𝑘1 condutividade hidráulica da camada de solo nº 01; e 
 𝑘2 condutividade hidráulica da camada de solo nº 02; e 
 
 
6) Taxa de fluxo (∆𝑞) 
 
∆𝑞 = 𝑘
𝐻
𝑁𝑑
 
Onde: 
 𝐻 = diferença de carga entre os pontos à montante e à jusante; e 
 𝑁𝑑 = número de quedas de potencial. 
 
∆𝑞 = 𝑘𝐻 (
𝑛
𝑁𝑑
) 
 
 
7) Vazão (𝑞) 
 
𝑞 = 𝑘
𝐻𝑁𝑓
𝑁𝑑
 
 
𝑞 = 𝑘𝐻 (
𝑁𝑓
𝑁𝑑
) 𝑛 
 
Onde: 
 𝑁𝑓 = número de canais de fluxo. 
 
 
 
 
4 
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Disciplina: Mecânica dos Solos – Curso de Engenharia Civil – UFRR 
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Acadêmico: Nelson Poerschke 
8) Vazão total através da camada permeável por unidade de comprimento para solos isotrópicos. 
 
𝑞 = 2,38
𝑘(𝐻1 − 𝐻2)
𝑁𝑑
 
 
 
9) Queda de carga de cada queda de potencial. 
 
∆𝐻 =
𝐻1 − 𝐻2
𝑁𝑑
 
 
 
10) Gradiente hidráulico médio 
 
∆𝐻
∆𝐿
 
Onde: 
 ∆𝐻 = perda de carga; e 
 ∆𝐿 = comprimento médio do fluxo 
 
 
11) Vazão por unidade de comprimento para solos anisotrópicos 
 
𝑞 = √𝑘1𝑘2
𝐻𝑁𝑓
𝑁𝑑
 
 
Onde: 
 𝐻 = perda de carga total; e 
 𝑁𝑓 = número de canais de fluxo. 
 𝑁𝑑 = número de quedas de potencial. 
 
 
5 
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12) Percolação através de barragem de terra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∆=
𝐻
𝑡𝑔 𝛽
 
 
𝑑 = 0,3∆ +
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑔𝑒𝑚
𝑡𝑔 𝛼
+ 𝐵 +
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑔𝑒𝑚 − 𝐻
𝑡𝑔 𝛽
 
 
ou 
 
𝑑 =
𝐻1
𝑡𝑔 𝛼2
+ 𝐿1 + (
𝐻1 − 𝐻
𝑡𝑔 𝛼1
) + 0,3∆ 
 
ou 
 
𝑑 = 𝐻1𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼2 + 𝐿1 + (𝐻1 − 𝐻)𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼1 + 0,3∆ 
 
𝐿 =
𝑑
cos 𝛼
− √
𝑑2
𝑐𝑜𝑠2𝛼
−
𝐻2
𝑠𝑒𝑛2𝛼
 (𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑑𝑒 𝑆𝑐ℎ𝑎𝑓𝑓𝑒𝑟𝑛𝑎𝑘) 
 
𝐿 =
𝑚𝐻
𝑠𝑒𝑛 𝑎2
=
0,245×7𝑚
𝑠𝑒𝑛 40°
= 2,668 𝑚 (𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑠𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒) 
 
13) Vazão de percolação sob barragem de terra (𝑞) 
 
𝑞 = 𝑘×𝐿×𝑡𝑔 𝛼×𝑠𝑒𝑛 𝛼 (𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑑𝑒 𝑆𝑐ℎ𝑎𝑓𝑓𝑒𝑟𝑛𝑎𝑘) 
 
𝑞 = 𝑘𝐿𝑠𝑒𝑛2𝛼2 (𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑠𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒) 
 
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 Consulte a figura. 
 Dados: 
• 𝐻1 = 305 𝑚𝑚; 𝑧 = 203 𝑚𝑚; 
• 𝐻2 = 508 𝑚𝑚; 𝑘1 = 0,066 𝑐𝑚 𝑠⁄ ; 
• ℎ1 = 610 𝑚𝑚; ℎ = 508 𝑚𝑚; 
• diâmetro da amostra do solo = 76 𝑚𝑚. 
 
 
 Determine o escoamento da água através de um solo com duas camadas (𝑐𝑚3 ℎ⁄ ). 
 
 
 Como 𝑧 = 203 𝑚𝑚 está localizado na camada de solo nº 1, a equação ℎ = ℎ1 (1 −
𝑘2𝑧
𝑘1𝐻2+𝑘2𝐻1
) 
é válida. Portanto: 
 
ℎ = ℎ1 (1 −
𝑘2𝑧
𝑘1𝐻2 + 𝑘2𝐻1
) = ℎ1 [1 −
𝑧
(
𝑘1
𝑘2
) 𝐻2 + 𝐻1
] 
 
508 = 610 [1 −
203
(
𝑘1
𝑘2
) 508 + 305
] → 1 −
508
610
=
203
(
𝑘1
𝑘2
) 508 + 305
 
 
0,1672 =
203
(
𝑘1
𝑘2
) 508 + 305
 → 0,1672 [(
𝑘1
𝑘2
) 508 + 305] = 203 
 
84,938 (
𝑘1
𝑘2
) + 50,996 = 203 → 84,938 (
𝑘1
𝑘2
) = 203 − 50,996 
 
𝑘1
𝑘2
=
152,004
84,938
= 1,7896 ≅ 1,8 
 
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𝑘2 =
𝑘1
1,8
=
0,066 𝑐𝑚/𝑠
1,8
= 0,0367 𝑐𝑚/𝑠 
 
 O escoamento é de: 
𝑞 = 𝑘𝑒𝑞𝑖𝐴 
 
𝑖 =
ℎ1
𝐻1 + 𝐻2
=
610
305 + 508
= 0,75 
 
𝐴 =
𝜋𝐷2
4
=
𝜋
4
(7,6 𝑐𝑚)2 = 45,36 𝑐𝑚2 
 
𝑘𝑒𝑞 =
𝐻1 + 𝐻2
𝐻1
𝑘1
+
𝐻2
𝑘2
=
30,54 𝑐𝑚 + 50,8 𝑐𝑚
30,5
0,066 +
50,8
0,037
= 0,0443 𝑐𝑚/𝑠 
 
0,0443 𝑐𝑚
𝑠
×
3600 𝑠
1 ℎ
= 159,48 𝑐𝑚/ℎ 
 
 Assim: 
𝑞 = 𝑘𝑒𝑞𝑖𝐴 = 159,48 𝑐𝑚/ℎ×0,75×45,36 𝑐𝑚
2 
 
𝒒 = 𝟓𝟒𝟐𝟓, 𝟓𝟏 𝒄𝒎𝟑/𝒉 
 
 
 
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 A figura mostra uma rede de f luxo em torno de uma única cortina de estacas prancha em uma 
camada de solo permeável. Se 𝑘𝑥 = 𝑘𝑧 = 𝑘 = 5×10
−3 𝑐𝑚/𝑠, determine: 
a) A que altura (acima da superfície do solo) a água se elevará se os piezômetros forem 
posicionados nos pontos 𝑎 e 𝑏. 
b) A vazão total através da camada 
permeável por unidade de comprimento. 
c) O gradiente hidráulico médio 
aproximado em c. 
 
 
a) Altura que a água se elevará 
 Dados: 
 𝑁𝑑 = 6 ; 𝐻1 = 5,6 𝑚 ; 𝐻2 = 2,2 𝑚 
 
 Queda de carga de cada queda de potencial 
 
∆𝐻 =
𝐻1 − 𝐻2
𝑁𝑑
=
5,6 𝑚 − 2,2 𝑚
6
= 0,567 𝑚 
 
𝑎1) Altura que a água se elevará no ponto 𝑎. 
 
 No ponto 𝑎 passamos por apenas uma queda de potencial, logo a água no piezômetro se elevará 
até: 
𝐻1 − ∆𝐻 = 5,6𝑚 − 0,567 𝑚 = 𝟓, 𝟎𝟑𝟑 𝒎 𝒂𝒄𝒊𝒎𝒂 𝒅𝒐 𝒔𝒐𝒍𝒐 
 
𝑎2) Altura que a água se elevará no ponto 𝑏. 
 
 No ponto 𝑏 passamos por cinco quedas de potencial, logo a água no piezômetro se elevará até: 
 
𝐻1 − 5∆𝐻 = 5,6𝑚 − (5×0,567 𝑚) = 𝟐, 𝟔𝟕𝟓 𝒎 𝒂𝒄𝒊𝒎𝒂 𝒅𝒐 𝒔𝒐𝒍𝒐 
 
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 b) A vazãototal através da camada permeável por unidade de comprimento. 
 
𝑞 = 2,38
𝑘(𝐻1 − 𝐻2)
𝑁𝑑
 
 
𝑞 = 2,38
(5×10−5 𝑚 𝑠⁄ )(5,6 𝑚 − 2,2 𝑚)
6
= 𝟔, 𝟕𝟒× 𝟏𝟎−𝟓 𝒎 𝒔⁄ /𝒎 
 
 c) O gradiente hidráulico médio aproximado em c. 
 
𝑖 =
𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚é𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑜 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑑 e 𝑒
 
 
𝑖 =
∆𝐻
∆𝐿
=
0,567 𝑚
4,1 𝑚
= 𝟎, 𝟏𝟑𝟖 
 
 
 
 Uma seção de barragem é mostrada na figura. Os valores de condutividade hidráulica da 
camada permeável na vertical e na horizontal são, respectivamente: 2×10−2 𝑚𝑚/𝑠 e 4×10−2 𝑚𝑚/𝑠. 
Trace uma rede de fluxo e calcule a perda por percolação da barragem em 𝑚3 𝑑𝑖𝑎⁄ 𝑚⁄ . 
 
 
 
 
 
 
 𝑘𝑧 =
2×10−2 𝑚𝑚
𝑠
×
86400 𝑠
1 𝑑𝑖𝑎
×
1 𝑚
1000 𝑚𝑚
= 1,728 𝑚/𝑑𝑖𝑎 
 
 𝑘𝑥 =
4×10−2 𝑚𝑚
𝑠
×
86400 𝑠
1 𝑑𝑖𝑎
×
1 𝑚
1000 𝑚𝑚
= 3,456 𝑚/𝑑𝑖𝑎 
 
 ℎ = 6,1 𝑚 
 
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𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 = √
2×10−2
4×10−2
×𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
 
𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 = √
1
2
=
𝟏
√𝟐
 ×𝒆𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂 𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍 
 
 
 
 Com base nestes dados, a seção da barragem é traçada novamente e a rede de fluxo é esboçada, 
como mostra a figura acima. 
 A vazão é dada por: 
𝑞 = √𝑘1𝑘2
𝐻𝑁𝑓
𝑁𝑑
 
Dados com base na figura: 
 𝑁𝑑 = 8; e 
 𝑁𝑓 = 2,5. (Obs. que o canal de fluxo inferior possui uma proporção de 0,5 entre a largura e o 
comprimento. 
𝑞 = √𝑘1𝑘2𝐻
𝑁𝑓
𝑁𝑑
= √1,728×3,456×6,1 (
2,5
8
) = 𝟒, 𝟔𝟔 𝒎𝟑 𝒅𝒊𝒂⁄ /𝒎 
 
 
 
 Consulte a figura. Dados: 
• Largura da barragem 𝐵 = 6 𝑚. 
• Comprimento da barragem 𝐿 = 120 𝑚. 
• 𝑆 = 3𝑚; 𝑇’ = 6𝑚; 𝑥 = 2,4 𝑚; 𝐻1 − 𝐻2 = 5𝑚. 
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 Se a condutividade hidráulica da camada permeável é de 0,008 cm/s, calcule a percolação sob 
a barragem (𝑄), em 𝑚3 𝑑𝑖𝑎⁄ /𝑚. 
 
 
 
 Dado que 𝐵 = 6 𝑚, 𝑇’ = 6𝑚 e 𝑆 = 3𝑚, então 𝑏 =
𝐵
2
= 3 𝑚. 
𝑏
𝑇′
=
3
6
= 0,5 
 
𝑆
𝑇′
=
3
6
= 0,5 
 
𝑥
𝑏
=
2,4
3
= 0,8 
 
 Com base na figura, para 
𝑏
𝑇′
= 0,5 ; 
𝑆
𝑇′
= 0,5 𝑒 
 𝑥
𝑏
= 0,8, o valor de 
𝑞
𝑘𝐻
≈ 0,378, logo: 
 
𝑄 = 𝑞𝐿 = 𝑘𝐻𝐿 = (0,008×10−2×60×60×24 𝑚 𝑑𝑖𝑎⁄ )(5)(120) = 𝟒𝟏𝟒𝟕, 𝟐 𝒎𝟑 𝒅𝒊𝒂⁄ /𝒎 
 
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 Consulte a barragem de terra mostrada na figura. 
 Dado: 
 𝛽 = 45°; 𝛼 = 30°; 𝐵 = 3,0 𝑚; 𝐻 = 6 𝑚; altura da barragem = 7,6 𝑚; e 𝑘 =
61×10−6 𝑚/𝑚𝑖𝑛. 
 Calcule a vazão q, em 𝑚3 𝑑𝑖𝑎/𝑚⁄ de comprimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sabemos que 𝛽 = 45° e 𝛼 = 30°. Assim: 
 
 Cálculo de 0,3∆: 
 
∆=
𝐻
𝑡𝑔 𝛽
=
6 𝑚
𝑡𝑔 45°
= 6 𝑚 → 0,3∆ = 6𝑚×0,3 = 𝟏, 𝟖 𝒎 
 
 
 Cálculo de 𝑑: 
𝑑 = 0,3∆ +
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑔𝑒𝑚 − 𝐻
𝑡𝑔 𝛽
+ 𝐵 +
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑔𝑒𝑚
𝑡𝑔 𝛼
 
 
𝑑 = 1,8 𝑚 +
7,6 𝑚 − 6 𝑚
𝑡𝑔 45°
+ 3,00𝑚 +
7,6 𝑚
𝑡𝑔 30
= 𝟏𝟗, 𝟓𝟔 𝒎 
 
 
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 Cálculo de 𝐿: 
𝐿 =
𝑑
cos 𝛼
− √
𝑑2
𝑐𝑜𝑠2𝛼
−
𝐻2
𝑠𝑒𝑛2𝛼
 
 
𝐿 =
19,56
cos 30
− √
19,562
𝑐𝑜𝑠230
−
62
𝑠𝑒𝑛230
=
19,56
cos 30
− √(
19,56
cos 30
)
2
− (
6
𝑠𝑒𝑛 30
)
2
 
 
𝐿 = 22,5859 − 19,1344 = 𝟑, 𝟒𝟓 𝒎 
 
 
 Cálculo da vazão: 
 
𝑞 = 𝑘×𝐿×𝑡𝑔 𝛼×𝑠𝑒𝑛 𝛼 
 
𝑞 = 61× 10−6 𝑚 𝑚𝑖𝑛⁄ ×3,45 𝑚×𝑡𝑔 30×𝑠𝑒𝑛 30×1 𝑚 
 
𝑞 = 6,07517 ×10−5 𝑚3 𝑚𝑖𝑛⁄ /𝑚 
 
6,07517 ×10−5 𝑚3
𝑚𝑖𝑛
×
1440 𝑚𝑖𝑛
𝑑𝑖𝑎
= 𝟎, 𝟎𝟖𝟕𝟓 𝒎𝟑 𝒅𝒊𝒂⁄ /𝒎 
 
 
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 Para calcular a condutividade hidráulica da camada de solo número-2, temos a expressão: 
 
ℎ2 =
ℎ1𝑘1
𝐻1 (
𝑘1
𝐻1
+
𝑘2
𝐻2
)
 
Onde: 
 𝐻1 = altura da camada de solo número 1; 
 𝐻2 = altura da camada de solo número 2; 
 𝑘1 = condutividade hidráulica do solo número 1; e 
 𝑘2 = condutividade hidráulica do solo número 2. 
 
 Substituindo as incógnitas com os valores dados, obtemos: 
8.1 
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8 𝑐𝑚 =
(20 𝑐𝑚)(0,004 𝑐𝑚/𝑠)
10 𝑐𝑚 (
0,004 𝑐𝑚/𝑠
10 𝑐𝑚 +
𝑘2
15 𝑐𝑚)
 → 8 =
(0,08)
10 (
0,004
10 +
10 𝑘2
15 )
 
 
8 =
0,08
0,004 +
10 𝑘2
15 
 → 0,004 +
10 𝑘2
15 
=
0,08
8
 
 
10 𝑘2
15 
= 0,01 − 0,004 → 10 𝑘2 = (0,01 − 0,004)15 
 
𝑘2 =
(0,01 − 0,004)15
10
= 𝟎, 𝟎𝟎𝟗 𝒄𝒎/𝒔 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑘 = 4×10−4 𝑐𝑚/𝑠 
 
 𝐻 = 𝐻1 − 𝐻2 = 6,0 𝑚 − 1,5 𝑚 = 4,5 𝑚 
 
 𝑁𝑓 = 4 ; 𝑁𝑑 = 8 
 
 
8.2 
17 
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𝑞 =
𝑘𝐻𝑁𝑓
𝑁𝑑
 
 
𝑞 =
4× 10−4𝑐𝑚 𝑠⁄
100
𝑐𝑚
𝑚
×
4,5 𝑚×4
8
= 9×10−6 𝑚3 𝑚⁄ /𝑠 
 
𝑞 (𝑚3 𝑚⁄ 𝑑𝑖𝑎⁄ ) =
9×10−6 𝑚3
𝑠
×
86400 𝑠
1 𝑑𝑖𝑎
= 
 
𝑞 = 𝟎, 𝟕𝟕𝟕𝟔 𝒎𝟑/𝒎/𝒅𝒊𝒂 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑘 = 4×10−4 𝑐𝑚/𝑠 
 𝐻 = 𝐻1 − 𝐻2 = 3,0 𝑚 − 0,5 𝑚 = 2,5 𝑚 
 𝑁𝑓 = 3 ; 𝑁𝑑 = 5 
 
𝑞 =
𝑘𝐻𝑁𝑓
𝑁𝑑
 
 
8.3 
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𝑞 =
4×10−4 𝑐𝑚/𝑠
100 𝑐𝑚/𝑚
×
2,50 𝑚×3
5
= 6×10−6 𝑚3 𝑚⁄ /𝑠 
𝑞 (𝑚3 𝑚⁄ 𝑑𝑖𝑎⁄ ) =
6×10−6 𝑚3
𝑠
×
86400 𝑠
1 𝑑𝑖𝑎
= 
 
𝒒 = 𝟎, 𝟓𝟏𝟖𝟒 𝒎𝟑 𝒎⁄ /𝒅𝒊𝒂 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑘 = 4×10−4 𝑐𝑚/𝑠 
 𝐻 = 𝐻1 − 𝐻2 = 4,0 𝑚 − 1,5 𝑚 = 3,0 𝑚 
 𝑆 = 𝐷 = 3,6 𝑚 
 𝑇’ = 𝐷1 = 6𝑚 
 
𝑆
𝑇′=
3,6
6
= 0,6 
 Da figura temos: 
𝑞
𝑘𝐻
≈ 0,44 
 
𝑞 = 0,44 𝑘𝐻 
 
𝑞 (𝑚3 𝑚⁄ 𝑑𝑖𝑎⁄ ) = 0,44 ×2,5𝑚 ×
4×10−4 𝑐𝑚/𝑠
100 𝑐𝑚/𝑚
×
86400 𝑠
1 𝑑𝑖𝑎
= 𝟎, 𝟑𝟖𝟎𝟐 𝒎𝟑 𝒎⁄ 𝒅𝒊𝒂⁄ 
 
8.4 
19 
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𝑞 = 𝑘𝐻 (
𝑁𝑓
𝑁𝑑
) 
 
𝑞 =
0,002 𝑐𝑚/𝑠
100 𝑐𝑚/𝑚
 ×
86400 𝑠
1 𝑑𝑖𝑎
×10 𝑚 (
5
12
) 
 
𝒒 = 𝟕, 𝟐 𝒎𝟑 𝒎⁄ /𝒅𝒊𝒂 
 
 
 
 
 
 
 A rede de fluxo tem 12 quedas de potencial. 
 
 𝐻 = 10 𝑚 
 
 
 
 
 
 
8.5 
8.6 
20 
Fundamentos de Engenharia Geotécnica – 7ª Edição – Braja M. Das – Cap VIII 
Disciplina: Mecânica dos Solos – Curso de Engenharia Civil – UFRR 
Mestre: Professora Doutora Gioconda Santos e Souza Martinez 
Acadêmico: Nelson Poerschke 
 
21 
Fundamentos de Engenharia Geotécnica – 7ª Edição – Braja M. Das – Cap VIII 
Disciplina: Mecânica dos Solos – Curso de Engenharia Civil – UFRR 
Mestre: Professora Doutora Gioconda Santos e Souza Martinez 
Acadêmico: Nelson Poerschke 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo dos pontos de pressão: 
 𝐷 = 10 𝑚 + 3,34 𝑚 − 2 (
10 𝑚
12
) = 11,67 𝑚 
 𝐸 = 10 𝑚 + 3,34 𝑚 − 3 (
10 𝑚
12
) = 10,84 𝑚 
 𝐹 = 10 𝑚 + 1,67 𝑚 − 3,5 (
10 𝑚
12
) = 8,75 𝑚 
 𝐺 = 10 𝑚 + 1,67 𝑚 − 8,5 (
10 𝑚
12
) = 4,59 𝑚 
 𝐻 = 10 𝑚 + 1,67 𝑚 − 9 (
10 𝑚
12
) = 5,84 𝑚 
 𝐼 = 10 𝑚 + 3,34 𝑚 − 10 (
10 𝑚
12
) = 5,01 𝑚 
 
 𝐴1 =
11,67 𝑚+10,84 𝑚
2
×1,67 𝑚 = 18,80 𝑚2 
 𝐴2 =
10,84 𝑚+8,75
2
×1,67 𝑚 = 16,36 𝑚2 
 𝐴3 =
8,75+4,59
2
×18,32 𝑚 = 122,19 𝑚2 
 𝐴4 =
4,59+5,84
2
×1,67 𝑚 = 8,71 𝑚2 
 𝐴5 =
5,84+5,01
2
×1,67 𝑚 = 9,06 𝑚2 
 
 Força hidráulica de levantamento (𝐹𝐻𝐿) 
 
𝐹𝐻𝐿 = 𝛾𝑤×∑𝐴 
 
𝐹𝐻𝐿 = 9,81 𝑘𝑁 𝑚
3(18,80 𝑚 + 16,36 + 122,19 + 8,71 + 9,06)𝑚2⁄ 
 
𝐹𝐻𝐿 = 𝟏𝟕𝟏𝟕, 𝟗𝟑 𝒌𝑵/𝒎 
 
22 
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Mestre: Professora Doutora Gioconda Santos e Souza Martinez 
Acadêmico: Nelson Poerschke 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑞 = 𝑘𝐻 (
𝑁𝑓
𝑁𝑑
) 
 
𝑞 =
10−3𝑐𝑚 𝑠⁄
100 𝑐𝑚/𝑚
×8,5 𝑚 (
4
14
) ×
86400 𝑠
𝑑𝑖𝑎
 
 
𝑞 = 𝟐, 𝟏𝟎 𝒎𝟑 𝒅⁄ /𝒎 
 
 
8.7 
23 
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Mestre: Professora Doutora Gioconda Santos e Souza Martinez 
Acadêmico: Nelson Poerschke 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para esta questão: 
 
 𝑇′ = 8 𝑚; 
 𝑆 = 4 𝑚; 
 𝐻 = 𝐻1 − 𝐻2 = 6 𝑚 − 0 = 6 𝑚; 
 𝐵 = 8 𝑚; 
 𝑏 =
𝐵
2
= 4𝑚 
 
 a) 𝒙′ = 𝟏𝒎 
 
𝑆
𝑇′
=
4
8
= 0,5 
 
𝑥 = 𝑏 − 𝑥′ = 4𝑚 − 1𝑚 = 3 𝑚 
 
𝑥
𝑏
=
3
4
= 0,75 
 
8.8 
24 
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Mestre: Professora Doutora Gioconda Santos e Souza Martinez 
Acadêmico: Nelson Poerschke 
𝑏
𝑇′
=
4
8
= 0,5 
 Com os dados 
𝑥
𝑏
= 0,75; 
𝑆
𝑇′
= 0,5 e 
𝑏
𝑇′
= 0,5, consulta-se a tabela e chega-se ao 
seguinte dado: 
𝑞
𝑘𝐻
= 0,37 
 
𝑞 = 0,37 𝑘𝐻 = 0,37×
10−3𝑐𝑚/𝑠
100𝑐𝑚/𝑚
×6 𝑚×
86400 𝑠
1 𝑑𝑖𝑎
= 𝟏, 𝟗𝟏𝟖 𝒎𝟑 𝒎⁄ /𝒅𝒊𝒂 
 
 
 𝒃) 𝒙′ = 𝟏𝒎 
𝑆
𝑇′
=
4
8
= 0,5 
 
𝑥 = 𝑏 − 𝑥′ = 4𝑚 − 2𝑚 = 2 𝑚 
 
𝑥
𝑏
=
2
4
= 0,50 
 
𝑏
𝑇′
=
4
8
= 0,5 
 
 Com os dados 
𝑥
𝑏
= 0,75; 
𝑆
𝑇′
= 0,5 e 
𝑏
𝑇′
= 0,5, consulta-se a tabela e chega-se ao 
seguinte dado: 
𝑞
𝑘𝐻
= 0,40 
 
𝑞 = 0,40 𝑘𝐻 = 0,40×
10−3𝑐𝑚/𝑠
100𝑐𝑚/𝑚
×6 𝑚×
86400 𝑠
1 𝑑𝑖𝑎
= 𝟐, 𝟎𝟕𝟑𝟔 𝒎𝟑 𝒎⁄ /𝒅𝒊𝒂 
 
 
 
25 
Fundamentos de Engenharia Geotécnica – 7ª Edição – Braja M. Das – Cap VIII 
Disciplina: Mecânica dos Solos – Curso de Engenharia Civil – UFRR 
Mestre: Professora Doutora Gioconda Santos e Souza Martinez 
Acadêmico: Nelson Poerschke 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• 𝛼1 = 35° 
• 𝛼2 = 40° 
• 𝐻 = 7,0 𝑚 
• ∆= 7,0 𝑚 𝑐𝑜𝑡𝑔 35 =
1
𝑡𝑔 35
×7 𝑚 = 10 𝑚 → 0,3 ∆= 0,3×10 = 3 𝑚 
 
𝑑 = 𝐻1𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼2 + 𝐿1 + (𝐻1 − 𝐻)𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼1 + 0,3∆ 
ou 
𝑑 =
𝐻1
𝑡𝑔 𝛼2
+ 𝐿1 + (
𝐻1 − 𝐻
𝑡𝑔 𝛼1
) + 0,3∆ 
 
8.9 
26 
Fundamentos de Engenharia Geotécnica – 7ª Edição – Braja M. Das – Cap VIII 
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Mestre: Professora Doutora Gioconda Santos e Souza Martinez 
Acadêmico: Nelson Poerschke 
𝑑 =
10 𝑚
𝑡𝑔 40°
+ 5 𝑚 +
(10 𝑚 − 7 𝑚)
𝑡𝑔 35°
+ 3 𝑚 → 
10 𝑚
𝑡𝑔 40°
+ 5 𝑚 +
(3 𝑚)
𝑡𝑔 35°
+ 3 𝑚 
 
𝑑 = 11,918 𝑚 + 5 𝑚 + 4,284 𝑚 + 3 𝑚 = 24,202 𝑚 
 
𝒅 = 𝟐𝟒, 𝟐𝟎 𝒎 
 
𝐿 =
𝑑
cos 𝛼2
− √
𝑑2
𝑐𝑜𝑠2𝛼2
−
𝐻2
𝑠𝑒𝑛2𝛼2
 
 
𝐿 =
24,20 𝑚
cos 40°
− √(
24,20 𝑚
cos 40°
)
2
− (
7 𝑚
sen 40°
)
2
= 31,59 − 29,65 
 
𝑳 = 𝟏, 𝟗𝟒 𝒎 
 
 Vazão em 𝑚3 𝑚⁄ /𝑑𝑖𝑎. 
 
𝑞 = 𝑘×𝐿×𝑡𝑔 𝛼2×𝑠𝑒𝑛 𝛼2 
 
𝑞 =
3×10−4𝑐𝑚/𝑠
100 𝑐𝑚/𝑚
×1,94 𝑚×𝑡𝑔 40°×𝑠𝑒𝑛 40°×
86400 𝑠
𝑑𝑖𝑎
 
 
𝑞 = 3× 10−6𝑚 𝑠⁄ ×1,94𝑚×0,8391×0,6428×86400 𝑠/𝑑𝑖𝑎 
 
𝒒 = 𝟎, 𝟐𝟕𝟏 𝒎𝟑 𝒅𝒊𝒂⁄ /𝒎 
 
 
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• 𝛼1 = 35° 
• 𝛼2 = 40° 
• 𝐻 = 7,0 𝑚 
• ∆= 7,0 𝑚 𝑐𝑜𝑡𝑔 35 =
1
𝑡𝑔 35
×7 𝑚 = 10 𝑚 → 0,3 ∆= 0,3×10 = 3 𝑚 
 
𝑑 = 𝐻1𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼2 + 𝐿1 + (𝐻1 − 𝐻)𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼1 + 0,3∆ 
ou 
𝑑 =
𝐻1
𝑡𝑔 𝛼2
+ 𝐿1 + (
𝐻1 − 𝐻
𝑡𝑔 𝛼1
) + 0,3∆ 
 
𝑑 =
10 𝑚
𝑡𝑔 40°
+ 5 𝑚 +
(10 𝑚 − 7 𝑚)
𝑡𝑔 35°
+ 3 𝑚 → 
10 𝑚
𝑡𝑔 40°
+ 5 𝑚 +
(3 𝑚)
𝑡𝑔 35°
+ 3 𝑚 
 
𝑑 = 11,918 𝑚 + 5 𝑚 + 4,284 𝑚 + 3 𝑚 = 24,202 𝑚 
 
𝒅 = 𝟐𝟒, 𝟐𝟎 𝒎 
 
8.10 
28 
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𝑑
𝐻
=
24,20
7
= 3,46 
 
 Com 
𝑑
𝐻
= 3,46 e 𝑎2 ≈ 40 obtém-se, 
no gráfico ao lado: 
𝑚 ≈ 0,245 
 
𝐿 =
𝑚𝐻
𝑠𝑒𝑛 𝑎2
=
0,245×7𝑚
𝑠𝑒𝑛 40°
= 2,668 𝑚 
 
𝑞 = 𝑘𝐿𝑠𝑒𝑛2𝛼2 =
3×10−4𝑐𝑚/𝑠
100 𝑐𝑚/𝑚
×2,6687×𝑠𝑒𝑛 40°×
86400 𝑠
𝑑𝑖𝑎
= 𝟎, 𝟐𝟗𝟏 𝒎𝟑 𝒅𝒊𝒂⁄ /𝒎 
 
29 
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Engenharia civil