ALGAIM143 1516 exercicios

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A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica I - M143 - 2015/16 1
I - Sistemas de equac¸o˜es lineares
1. Represente as retas r1 e r2 no plano e encontre todos os pontos de intersecc¸a˜o das duas retas,
se existirem.
(a) r1 = {(x, y) : 3x− y = −1} e r2 = {(x, y) : 6x+ 2y = 4}.
(b) r1 = {(x, y) : 3x− y = −1} e r2 = {(x, y) : −6x+ 2y = 2}.
(c) r1 = {(x, y) : 3x− y = −1} e r2 = {(x, y) : 6x− 2y = 4}.
(d) r1 = {(x, y) : 3x− y = −1} e r2 = {(x, y) : 3x+ 3y = 5}.
(e) r1 = {(x, y) : 2x− y = 0} e r2 = {(x, y) : 6x+ 2y = 0}.
2. No exerc´ıcio anterior, para encontrar os pontos de intersecc¸a˜o de cada par de retas foi necessa´rio
resolver um sistema de equac¸o˜es lineares. Sobre estes sistemas:
(a) Quais sa˜o homoge´neos?
(b) Quais sa˜o imposs´ıveis?
(c) Quais sa˜o indeterminados?
(d) Quais sa˜o equivalentes?
(e) Escreva a matriz dos coeficientes e a matriz do sistema.
3. Resolva em R os sistemas que se seguem usando o me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss:
(a)
{
x+ y = 1
x− y = −1 (b)

2x+ y + z = 3
x− y + z = 0
3x− y + 2z = 2
(c)

x+ 2y + 4z = 1
x+ y + 3z = 2
2x+ 5y + 9z = 1
(d)

2x− 2y + t = −3
2x+ 3y + z − 3t = −6
3x+ 4y − z + 2t = 0
x+ 3y + z − t = 2
(e)

3x+ y − z + 2t = 7
2x− 2y + 5z − 7t = 1
−4x− 4y + 7z − 11t = −13
(f)

x+ y + z = 3
2x− y + 3z = 4
3x+ y − z = 3
2x− 2z = 0
(g)

x+ y + z = 6
x+ 2y + 2z = 9
x+ 2y + 3z = 10
(h)

x+ y + z + t = 0
y − t = 5
x+ z + 2t = 1
x+ 2y = 0
4. Resolva em C os seguintes sistemas nas inco´gnitas x, y, z:
(a)

ix− (1 + i)y = 0
x− 2y + z = 0
x+ 2iy − z = 0
(b)
{
ix− (2 + i)y = 1
x+ (2− i)y = 1 + i (c)

2x+ y + z = 3
x− iy + z = 0
3x− y + 2z = 2
5. Deˆ uma explicac¸a˜o geome´trica para a afirmac¸a˜o: “um sistema de duas equac¸o˜es lineares com
treˆs inco´gnitas ou na˜o tem soluc¸a˜o ou tem uma infinidade de soluc¸o˜es”. Encontre uma formulac¸a˜o
ana´loga para sistemas de treˆs equac¸o˜es lineares com treˆs inco´gnitas.
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6. Classifique para os diferentes valores dos paraˆmetros reais a e b os sistemas lineares que se
seguem:
(a)

x+ y + 2z = 2
2x− y + 3z = 2
5x− y + az = b
(b)

x− y + 2z = a
2y + 2z = b
x+ 3z = a
(c)

x− 2y = 1
x+ y = 4
ax+ by = 5
(d)

x+ y + z = 1
2x− y + 3z = 2
x+ ay + z = b
(e)

ax+ y + z + t = 1
x+ ay + z + t = a
x+ y + az + t = a2
7. Dos sistemas homoge´neos que se seguem, determine quais sa˜o aqueles que teˆm soluc¸a˜o ale´m
da soluc¸a˜o nula:
(a)

x− 2y + 3z − 2w = 0
3x− 7y − 2z + 4w = 0
4x+ 3y + 5z + 2w = 0
(b)

x+ 2y − 3z = 0
2x+ 5y + 2z = 0
3x− y − 4z = 0
(c)

x+ 2y − z = 0
2x+ 5y + 2z = 0
x+ 4y + 7z = 0
x+ 3y + 3z = 0
8. Problemas sobre determinac¸a˜o de curvas que passam por alguns pontos do plano.
(a) Para encontrar os coeficientes a, b, c ∈ R de uma para´bola y = ax2 + bx + c que contenha os
treˆs pontos P = (2, 4), Q = (−2, 1) e R = (6, 23) e´ preciso resolver um sistema de treˆs equac¸o˜es
lineares nas inco´gnitas a, b, c ∈ R. Escreva a matriz desse sistema e encontre a sua soluc¸a˜o. Ou
seja: encontre os coeficientes a, b, c ∈ R de uma para´bola y = ax2 + bx + c que contenha estes
treˆs pontos.
(b) Encontre os coeficientes a, b, c ∈ R de uma para´bola y = ax2 + bx + c que contenha os treˆs
pontos P = (2, 4), Q = (−2,−8) e R = (6, 16). O que pode dizer sobre a para´bola que conte´m
estes treˆs pontos?
(c) Encontre os coeficientes a, b, c ∈ R de uma curva da forma a(x2+y2)+bx+cy = 1 que contenha
os treˆs pontos P = (1, 0), Q = (−1, 2) e R = (3, 2). Mostre que a curva que obteve e´ uma
circunfereˆncia, calcule seu raio e as coordenadas do seu centro.
(d) Se uma curva da forma y = ax2 + bx + c contiver os treˆs os pontos do plano P = (p1, p2),
Q = (q1, q2) e R = (r1, r2), enta˜o as inco´gnitas a, b, c ∈ R satisfazem um sistema de treˆs
equac¸o˜es lineares. Escreva a matriz deste sistema. Mostre que se p1 6= q1, p1 6= r1 e r1 6= q1
enta˜o o sistema tem sempre soluc¸a˜o. Interprete este resultado geometricamente (na˜o se esquec¸a
do caso a = 0).
(e) Mostre que os pontos de uma circunfereˆncia no plano, que na˜o passe na origem, satisfazem
sempre uma equac¸a˜o da forma a(x2 + y2) + bx + cy = 1 e que ale´m disso b2 + c2 + 4a > 0 e
a 6= 0.
9. Considere cada um dos sistemas nas inco´gnitas x, y e z. Determine os valores reais de k para
os quais o sistema tenha: (i) soluc¸a˜o u´nica, (ii) nenhuma soluc¸a˜o, (iii) mais de uma soluc¸a˜o.
(a)

kx+ y + z = 1
x+ ky + z = 1
x+ y + kz = 1
(b)

x+ y + kz = 2
3x+ 4y + 2z = k
2x+ 3y − z = 1
(c)

kx+ y + z = 1
x+ y + z = 1
x+ y + kz = 2
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10. Dados a, b ∈ C, considere:
A =
(
a 1 2i
4 −a −4
)
, M =
(
a 1 2i 1
4 −a −4 b
)
, (∗)
{
az1 + z2 + 2iz3 = 1
4z1 − az2 − 4z3 = b .
(a) Para cada a, calcule a caracter´ıstica da matriz A.
(b) Para cada par (a, b), determine a caracter´ıstica da matriz M , e indique os valores de a e b para
os quais o sistema (*) tem alguma soluc¸a˜o.
11. Seja K = R ou C; sendo A ∈ Mm,n(K), X ∈ Mn,1(K) e B ∈ Mm,1(K) matrizes de
coeficientes em K , considere o sistema AX = B e o sistema homoge´neo associado AX = 0. Diga se
sa˜o verdadeiras ou falsas as seguintes afirmac¸o˜es e justifique:
(a) O sistema AX = B tem uma u´nica soluc¸a˜o se e so´ se o sistema homoge´neo associado so´ tiver
a soluc¸a˜o nula.
(b) Se m < n enta˜o o sistema homoge´neo e´ indeterminado.
(c) Se m > n enta˜o o sistema homoge´neo e´ imposs´ıvel.
(d) Se m > n enta˜o o sistema AX = B e´ imposs´ıvel.
(e) Se a caracter´ıstica da matriz A e´ inferior a m enta˜o o sistema AX = B e´ indeterminado.
12. Seja K = R ou C; considere A ∈ Mm,n(K), X ∈ Mn,1(K) e B ∈ Mm,1(K) matrizes de
coeficientes em K. Deˆ exemplo de matrizes A para as quais o nu´mero de soluc¸o˜es do sistema
AX = B e´:
(a) Zero ou um, dependendo de B. (b) Infinito, independentemente de B.
(c) Zero ou infinito, dependendo de B. (d) Um, independentemente de B.
II - Operac¸o˜es com matrizes
13. Calcule os produtos:
(a)
 2 1 0−1 0 3
1 1 2
 3−1
5
 ; (b) ( 1 −2 3 )
 21
1
 ; (c)
 2 1−1 0
1 1
( 1
4
)
;
(d)
(
1 0
0 −1
)(
3 0
0 i
)
; (e)
(
1 2 −1
3 0 1
) 12
−1
; (f) ( 0 −1
1 0
)(
0 −1
1 0
)
.
14. Calcule os produtos AB e BA sempre que poss´ıvel:
(a) A =
 1 0 01 −3 0
2 0 1
 , B =
 3 1 10 2 1
−1 1 2
; (b) A = ( 1 3i ) , B = ( −2
1 + i
)
;
(c) A =
 2 1−1 3
0 1
 , B = ( 1 1 0 1−1 2 1 0
)
; (d) A =
(
i 0 1 0
0 −i 0 1
)
, B =
( −i 0
0 i
)
.
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15. Deˆ exemplo de matrizes A e B tais que:
(a) A matriz AB esta´ definida, mas BA na˜o esta´ definida.
(b) As matrizes AB e BA esta˜o definidas mas AB 6= BA.
(c) As matrizes AB e BA esta˜o definidas e AB = BA.
(d) AB = 0, sendo A,B 6= 0.
16. Dada uma matriz quadrada A e um inteiro positivo k, designa-se por Ak o produto de A por
si pro´pria k vezes. Calcule Ak para:
(a) A =
(
1 0
0 1
)
; (b) A =
( −1 0
0 1
)
; (c) A =
(
2 0
0 3
)
; (d) A =
(
0 −1
1 0
)
;
(e) A =
(
0 0
1 0
)
; (f) A =
 0 0 01 0 0
0 1 0
; (g) A =

0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
;
(h) A =
(
0 1
1 1
)
; (i) A =
(
cos θ − sen θ
sen θ cos θ
)
.
17. Sejam A,B ∈M2,2(R).
(a) Mostre que para todas as matrizes A,B tem-se (A+B)(A−B) = A2 − AB +BA−B2 .
(b) Deˆ exemplo de duas matrizesA,B ∈M2,2(R), para as quais (A+B)(A−B) 6= A2 −B2.
(c) Obtenha uma fo´rmula correta para (A+B)2, va´lida para todas as matrizes A,B.
(d) Obtenha uma fo´rmula correta para (A−B)2, va´lida para todas as matrizesA,B.
18. Seja A =
(
0 1
−3 0
)
e X ∈M2,2(R). Resolva a seguinte equac¸a˜o:
(A+X)2 − (A−X)2 =
(
0 0
0 0
)
.
19. Sejam A =
(
3 2
4 3
)
e B =
(
8 −6
−4 3
)
matrizes em M2,2(R). Mostre pela definic¸a˜o que:
(a) A matriz A e´ na˜o-singular.
(b) A matriz B e´ singular.
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20. Sejam
M =
 1 0 10 2 0
0 0 1
 , B =
 1−1
0

e f : M3,1(R)→M3,1(R) tal que f(X) = MX.
(a) Determine a inversa N de M .
(b) Resolva a equac¸a˜o f(X) = B
21. Para cada uma das matrizes seguintes encontre a inversa ou mostre que na˜o existe:
A =
( −1 2
2 1
)
, B =
 1 1 −32 16 1
0 0 4
, C =
 −2 1 −51 1 4
0 3 3
,
D =
 −2 1 10 1 1
−3 0 6
, E =

−1 1 16 2
0 0 1 4
0 0 1 6
0 1 1 −3
, F =

3 1 0 5
1 1 0 3
1 6 1 16
−2 4 3 15
 ,
G =
 1 −1 02 1 i
3i 0 −1
, H = ( i 0
0 pi
)
, I =
(
1 0
0 1
)
,
J =
(
0 −1
1 0
)
, K =
(
0 0
pi 0
)
, L =
(
cos θ − sen θ
sen θ cos θ
)
.
22. Mostre que se uma matriz A ∈Mn,n(K) tiver inversa, enta˜o para α ∈ K, α 6= 0 a matriz αA
tambe´m tem inversa. Calcule a inversa de αA.
23. Uma matriz diagonal de n linhas e n colunas e´ uma matriz A = (aij), para a qual aij = 0
sempre que i 6= j.
(a) Se A e B sa˜o matrizes diagonais de n linhas e n colunas e α ∈ R mostre que A+B e αA e At
tambe´m sa˜o matrizes diagonais.
(b) Se A e B sa˜o matrizes diagonais de n linhas e n colunas mostre que AB e BA tambe´m sa˜o
matrizes diagonais.
(c) Encontre a forma geral de Ak para uma matriz A diagonal, k ∈ N.
(d) Mostre que se A e´ uma matriz diagonal enta˜o A tem inversa se e somente se aii 6= 0 para
i = 1, . . . , n. Determine a inversa de A neste caso.
III - Determinantes
24. Sabendo que z e´ uma raiz cu´bica da unidade em C, mostre que∣∣∣∣∣∣
z 1 z2
1 z2 z
z2 z 1
∣∣∣∣∣∣ = 0 .
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25. Supondo que
∣∣∣∣ a cb d
∣∣∣∣ = −2 e usando unicamente as propriedades da func¸a˜o determinante,
determine:
(a)
∣∣∣∣ a 2cb 2d
∣∣∣∣ ; (b) ∣∣∣∣ a− 3c cb− 3d d
∣∣∣∣ ; (c) ∣∣∣∣ 3a+ c 3c− a3b+ d 3d− b
∣∣∣∣ .
26. Sendo k um nu´mero real, considere M =
(
a c
b d
)
e N =
(
a+ ka c
b+ kb d
)
.
(a) Qual a relac¸a˜o entre |M | e |N |?
(b) Se k = 0 enta˜o |M | = |N |. Sera´ verdade que se |M | = |N |, enta˜o k = 0?
27. Determine o determinante de cada uma das seguintes matrizes:
A =
(
2 1
−1 −1
)
, B =
 0 −1 −23 0 1
2 1 4
, C =
 2 0 37 2 9
5 0 8
,
D =
 23 25 261 0 −1
32 33 34
, E =

1 2 8 −1
0 0 2 0
0 3 7 1
2 1 3 −3
, F =

2 4 −6 4
2 6 −1 7
6 0 3 6
1 2 0 2
,
G =
 2345 3456 45673456 4567 5678
4567 5678 6789
 .
28. Exprima
∣∣∣∣ a1 + b1 c1 + d1a2 + b2 c2 + d2
∣∣∣∣ como soma de quatro determinantes cujas entradas na˜o conteˆm
somas.
29. Seja A =
 a b cd e f
g h i
 e suponha que |A| = −7. Determine:
(a) |3A| (b) |A−1| (c) |2A−1| (d) |(2A)−1| (e)
∣∣∣∣∣∣
 a g db h e
c i f
∣∣∣∣∣∣
30. Determine os valores de k reais tais que existe A−1 sendo
(a) A =
(
k − 3 −2
−2 k − 2
)
(b) A =
 1 2 43 1 6
k 3 2

31. Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes quadradas de ordem n:
A =

0 1 1 · · · 1 1
1 0 1 · · · 1 1
1 1 0 · · · 1 1
· · ·
1 1 1 · · · 0 1
1 1 1 · · · 1 0
 , B =

0 3 3 · · · 3 3
3 0 1 · · · 1 1
· · ·
3 1 1 · · · 0 1
3 1 1 · · · 1 0
 , C =

0 1 1 · · · 1 1
1 0 3 · · · 3 3
1 3 0 · · · 3 3
· · ·
1 3 3 · · · 0 3
1 3 3 · · · 3 0
 .
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32. Averigue a veracidade das seguintes afirmac¸o˜es:
(a) Se A ∈M2,2(R) e |A| = 1, enta˜o A = Id2.
(b) Se A ∈M2,2(R) e G e´ a matriz de Gauss associada a A, enta˜o |A| = |G|.
(c) Se A ∈M2,2(R), G e´ a matriz de Gauss associada a A e |A| 6= 0, enta˜o |G| 6= 0.
33. Resolva cada um dos seguintes sistemas de equac¸o˜es pela regra de Cramer:
(a)
{
2x− 3y = 5
x+ 2y = 4
(b)

3x− 5y − 2z = 1
x+ y − z = 4
−x+ 2y + z = 5
(c)

3a+ 2c = 5
4b+ 5d = 1
a− 2c+ d = 0
4b+ 8c = 5
34. Considere o seguinte sistema de equac¸o˜es lineares nas inco´gnitas x, y, z, w:
4x+ y + z + w = 6
3x+ 7y − z + w = 1
7x+ 3y − 5z + 8w = −3
x+ y + z + 2w = 3
(a) Sem resolver o sistema, verifique que e´ poss´ıvel e determinado.
(b) Seja (x, y, z, w) a soluc¸a˜o do sistema dado. Determine y (sem calcular x, z, w).
(c) Resolva o sistema pela regra de Cramer.
(d) Resolva o sistema pelo me´todo de Gauss.
35. Mostre que, dada uma matriz quadrada com inversa, toda a sua poteˆncia tem inversa e,
reciprocamente, se Ak e´ regular para k > 0, enta˜o A e´ regular.
36. Mostre que se A,B ∈Mn,n(R) e A e´ regular, enta˜o |B| = |ABA−1|.
37. Mostre que, sendo A ∈Mk,k(R) e B ∈Ml,l(R), enta˜o
∣∣∣∣∣∣
A 0k,l
0l,k B
∣∣∣∣∣∣ = |A||B|
IV - Espac¸os vectoriais
38. Nota. Este exerc´ıcio e´ trabalhoso e provavelmente na˜o quer verificar todos os detalhes, mas
deve convencer-se de que o sabe fazer. Para o efeito, deve verificar detalhadamente algumas das
propriedades envolvidas. Na˜o se esquec¸a de, em todos os casos, dizer qual e´ o vector nulo e ainda
qual e´ o sime´trico de um vector dado.
(a) Verifique que sa˜o espac¸os vectoriais reais os seguintes conjuntos, com as operac¸o˜es usuais de
adic¸a˜o e de multiplicac¸a˜o por escalar: Rn, R[x], Rn[x] (polino´mios de grau menor ou igual a n
em x), F(R,R) e Mm,n(R).
(b) Verifique que sa˜o espac¸os vectoriais complexos os seguintes conjuntos, com as operac¸o˜es usuais
de adic¸a˜o e de multiplicac¸a˜o por escalar: Cn, C[x], Cn[x], F(C,C) e Mm,n(C).
(c) Verifique que sa˜o espac¸os vectoriais reais os seguintes conjuntos, munidos das operac¸o˜es usuais
de adic¸a˜o e de multiplicac¸a˜o por escalar: Cn, C[x], Cn[x], F(C,C) e Mm,n(C).
39. Verifique algumas das propriedades ba´sicas dos espac¸os vectoriais enunciadas na aula teo´rica
e convenc¸a-se de que as sabe verificar todas. Por exemplo, sendo (E,+, .) um espac¸o vectorial sobre
K, mostre que:
(a) α · u = 0E ⇔ α = 0 ou u = 0E.
(b) α · u = α · v ⇔ α = 0 ou u = v.
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40. Exprima, quando poss´ıvel, os vectores seguintes como combinac¸a˜o linear dos vectores do
conjunto dado.
(a) (Em R3, com as operac¸o˜es usuais.) (2, 4, 5), {(1, 1, 0), (2, 0, 2), (1, 1, 1)}.
(b) (Em R3, com as operac¸o˜es usuais.) (2, 4, 5), {(1, 1, 0), (2, 0, 2), (1, 1, 1), (1, 0, 0)}.
(c) (Em C2, espac¸o vectorial complexo com as operac¸o˜es usuais.) (2, 4 + i), {(1, i), (i, 0)}.
(d) (Em R2[x], com as operac¸o˜es usuais.) 2 + 4x+ 5x2, {1 + x, 1 + x+ x2, x2}.
(e) (Em R2[x], com as operac¸o˜es usuais.) 2 + 4x+ 5x2, {1 + x, x+ x2, x2}.
41. Mostre que os seguintes espac¸os (E,+, ·) na˜o sa˜o espac¸os vectoriais:
(a) E = R2, + : E × E → E · : R× E → E
((a, b), (c, d)) 7→ (a+ b, c+ d) (α, (a, b)) 7→ (αa, αb)
(b) E = R2, + : E × E → E · : R× E → E
((a, b), (c, d)) 7→ (a+ c, b+ d) (α, (a, b)) 7→ (0, αb)
(c) E = R3, + : E × E → E · : R× E → E
((a, b, c), (d, e, f)) 7→ (a+ e, b+ f, c+ d) (α, (a, b, c)) 7→ (αa, αb, αc)
(d) E = R3, + : E × E → E · : R× E → E
((a, b, c), (d, e, f)) 7→ (a+ d, b+ e, c+ f) (α, (a, b, c)) 7→ (a, b, c)
V - Subespac¸os vectoriais
Observac¸a˜o: A partir de agora considere todos os espac¸os vectoriais munidos da sua estrutura
usual, excepto se algo for dito em contra´rio.
42. Diga quais dos seguintes elementos de R3 sa˜o combinac¸a˜o linear dos vectores
(1, 1, 1), (1, 0, 1), (−1, 1,−1):
(a) (2, 0, 2); (b) (−1, 0, 3); (c) (5,−3, 5).
43. Diga quais dos seguintes elementos de R[x] sa˜o combinac¸a˜o linear de x, x+ x2, 2x− x2:
(a) 1 + x+ x2 + x3; (b) 3x+ x2; (c) 0.
44. Para que valoresde a ∈ R e´ que o vector (3a, a2,−2) e´ combinac¸a˜o linear de (1, 2, 1), (1, 1, 0)?
45. Mostre que o conjunto das soluc¸o˜es do sistema de equac¸o˜es lineares{
x− y + 2z = 0
x+ y + 4z = 0
e´ um subespac¸o vectorial de R3.
46. O conjunto das soluc¸o˜es do sistema de equac¸o˜es lineares{
x− y + 2z = 0
x+ y + 4z = 3
e´ um subespac¸o vectorial de R3?
A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica I - M143 - 2015/16 9
47. Considere o espac¸o vectorial R2. Deˆ exemplo de um subconjunto desse espac¸o vectorial que
seja:
(a) Esta´vel para + e na˜o esta´vel para ·.
(b) Esta´vel para · e na˜o esta´vel para +.
(c) Esta´vel para + e para ·.
(d) Na˜o esta´vel para + nem para ·.
48. Determine quais dos seguintes conjuntos sa˜o subespac¸os vectoriais de E:
(a) {(x, y, z) ∈ R3 : x− y + 2z = 0}, E = R3;
(b) {(x, y, z) ∈ R3 : x− y = 0, z = 0}, E = R3;
(c) {(x, y, z) ∈ R3 : x = y = z}, E = R3;
(d) {(x, y) ∈ R2 : x− 1 = y}, E = R2;
(e) {(a, b, c, d) ∈ R4 : b+ c+ d = 3}, E = R4;
(f) {(a, b, c, d) ∈ R4 : a+ b = 0, c = 2d}, E = R4.
49. Determine quais dos seguintes conjuntos sa˜o subespac¸os vectoriais de E:
(a) {a+ bx+ cx2 ∈ R2[x] : a = b}, E = R2[x];
(b) {a+ bx+ cx2 ∈ R2[x] : a = b+ 1, c = 4a}, E = R2[x] ;
(c) {p(x) ∈ R3[x] : p(0) = 0}, E = R3[x];
(d) {p(x) ∈ R3[x] : p(x) = p(−x), ∀x ∈ R}, E = R3[x].
(e) {p(x) ∈ R3[x] : p(0) = 1}, E = R3[x].
50. Seja V = F(R,R) o conjunto das func¸o˜es reais de varia´vel real munido da estrutura usual de
espac¸o vectorial real. Indique, dos conjuntos a seguir, quais os que sa˜o subespac¸os vectoriais de V :
A = {f ∈ V : f e´ par}; B = {f ∈ V : f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R};
C = {f ∈ V : f e´ injetiva}; D = {f ∈ V : f(0) = f(1)};
E = {f ∈ V : f e´ par ou f e´ ı´mpar}; F = {f ∈ V : f(0) = 1};
G = {f ∈ V : f e´ bijetiva}; H = {f ∈ V : f(Q) ⊆ Q};
I = {f ∈ V : f(x+ y) = f(x) + f(y), ∀ x, y ∈ R}; J = {f ∈ V : f e´ cont´ınua};
K = {f ∈ V : f(x+ y) = f(x)f(y), ∀ x, y ∈ R}.
51. Mostre que os seguintes conjuntos sa˜o subespac¸os vectoriais de Mn,n(R):
(a) D = {[aij] ∈Mn,n(R) : aij = 0 se i 6= j};
(b) T = {[aij] ∈Mn,n(R) : aij = aji, ∀i, j};
(c) U = {[aij] ∈Mn,n(R) : aij = 0, se i > j};
(d) J = {[aij] ∈Mn,n(R) : aij = 0, se i < j}.
VI - Geradores; Dependeˆncia e independeˆncia linear
52. Diga se os vectores dos seguintes subconjuntos de R2 sa˜o linearmente dependentes ou inde-
pendentes:
(a) {(1, 1), (2, 2)}; (b) {(1, 0), (−2, 1)}; (c) {(0, 1), (1,−1)}.
53. Diga se os vectores dos seguintes subconjuntos de R3 sa˜o linearmente dependentes ou inde-
pendentes:
(a) {(1, 1, 0), (−1, 2, 1), (0, 3, 1)}; (b) {(1, 1, 0), (−1, 2, 1), (0, 3, 0)}; (c) {(1, 1, 0), (0, 0, 1)}.
54. Diga se os vectores dos seguintes subconjuntos de R2[x] sa˜o linearmente dependentes ou
independentes:
(a) {1 + x+ x2, 2− x, 1 + x}; (b) {4, 1− x− x2, 1 + 2x+ x2}.
A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica I - M143 - 2015/16 10
55. Relativamente a cada subconjunto de cada espac¸o vectorial que se segue, diga se os seus
vectores sa˜o linearmente independentes ou dependentes:
(a) {(1, i), (i,−1)} em C2 como espac¸o vectorial complexo;
(b) {(1, i), (i,−1)} em C2 como espac¸o vectorial real.
(c) {f, g, h} sendo f(x) = e2x, g(x) = x2 e h(x) = x em F(R,R) ;
(d) {f, g, h} sendo f(x) = sin2(x), g(x) = cos2(x) e h(x) = 2 em F(R,R).
56. Seja C(R,R) = {f ∈ F(R,R) : f e´ cont´ınua}. Considere as func¸o˜es exp, s de C(R,R)
definidas por: exp(x) = ex e s(x) = −x.
(a) Verifique que C(R,R) e´ um subespac¸o vectorial do espac¸o vectorial real F(R,R);
(b) Mostre que {exp, exp ◦s} e´ livre em C(R,R);
(c) Mostre que {cos, sen} e´ livre em C(R,R).
57. Determine o subespac¸o de R2 gerado por cada um dos seguintes conjuntos e represente-o
graficamente: (a) {(1, 2)}; (b) {(1, 1), (1,−1)}; (c) {(1, 0), (3, 0)}.
58. Determine o subespac¸o de R3 gerado por cada um dos seguintes conjuntos:
(a) {(1,−1, 1)};
(b) {(2, 1, 0), (1, 0, 1)};
(c) {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)};
(d) {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1), (1,−1, 1)}.
59. Determine o subespac¸o de R2[x] gerado por cada um dos seguintes conjuntos:
(a) {1, x, x2};
(b) {1, 1 + x};
(c) {x+ 2x2, 3x+ x2};
(d) {1 + x2, x+ x2, 1 + x}
60. Sejam u, v, w treˆs vectores linearmente independentes de um espac¸o vectorial E real. Mostre
que enta˜o u+ v, u− v, u− 2v + w tambe´m sa˜o linearmente independentes.
61. Seja {u1, · · · , un} um conjunto formado por n vectores linearmente independentes de um
espac¸o vectorial E sobre um corpo K. Suponha que os vectores do conjunto {u1, · · · , un, w} sejam
linearmente dependentes. Mostre que enta˜o w e´ combinac¸a˜o linear dos vectores do primeiro conjunto.
62. Determine a ∈ R de modo que os vectores (a, 1, 0), (1, a, 1), (0, 1, a) de R3 sejam linearmente
independentes.
VII - Bases
63. Determine a dimensa˜o e uma base do subespac¸o vectorial {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0}.
64. Sejam U e W subespac¸os vectoriais de R4 definidos da seguinte forma:
U = {(a, b, c, d) ∈ R4 : b+ c+ d = 0}, W = {(a, b, c, d) ∈ R4 : a+ b = 0, c = 2d} .
Determine a dimensa˜o e uma base de: (a) U ; (b) W ; (c) U ∩W .
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65. Seja R[x] o conjunto dos polino´mios em x de coeficientes reais munido da estrutura usual de
espac¸o vectorial real e sejam
A = {a+ bx+ ax2 : (a, b) ∈ R2} e B = {λ+ µx+ (λ+ µ)x2 : (λ, µ) ∈ R2}.
(a) Determine, explicitamente, o conjunto A ∩B;
(b) Indique uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente que deve satisfazer um polino´mio para pertencer a
A ∪B;
(c) Determine as dimenso˜es de A, de B e de A ∩B.
66. Determine a dimensa˜o e uma base dos seguintes subespac¸os vectoriais do espac¸o vectorial E
sobre K:
(a) {(x, y, z) ∈ R3 : x− y + 2z = 0}, E = R3, K = R;
(b) {(x, y, z) ∈ R3 : x− y = 0, z = 0}, E = R3, K = R;
(c) {(x, y, z) ∈ R3 : x = y = z}, E = R3, K = R;
(d) {(x, y) ∈ R2 : x = y}, E = R2, K = R;
(e) {a+ bx+ cx2 ∈ C2[x] : a = b}, E = C2[x], K = C;
(f) {a+ bx+ cx2 ∈ R2[x] : a = b, c = 4a}, E = R2[x], K = R ;
(g) {p(x) ∈ R3[x] : p(x) = p(−x), ∀x ∈ R}, E = R3[x], K = R;
(h) {p(x) ∈ R3[x] : p(0) = 0}, E = R3[x], K = R;
(i) {p(x) ∈ C3[x] : p(0) = 0}, E = C3[x], K = C;
(j) {p(x) ∈ C3[x] : p(0) = 0}, E = C3[x], K = R.
67. Mostre que os seguintes conjuntos sa˜o subespac¸os vectoriais de Mn,n(R) e determine a sua
dimensa˜o:
(a) D = {[aij] ∈Mn,n(R) : aij = 0 se i 6= j}
(b) T = {[aij] ∈Mn,n(R) : aij = aji, ∀i, j}
(c) U = {[aij] ∈Mn,n(R) : aij = 0, se i > j}
(d) J = {[aij] ∈Mn,n(R) : aij = 0, se i < j}
68. Considere o seguinte subconjunto de R2[x]:
C = {1 + x− 2x2, 3x+ 3x2} .
(a) Mostre que C e´ livre.
(b) Acrescente elementos aos de C de forma a obter uma base de R2[x].
69. Considere o espac¸o vectorial R3.
(a) Prove que (0,−4, 3) ∈ G ({(1, 2,−1), (2, 0, 1), (1, 3,−2)}).
(b) Sera´ verdade que G ({(0,−4, 3), (2, 6,−4)}) ⊂ G ({(1, 2,−1), (2, 0, 1), (1, 3,−2)})?
70. Considere o seguinte sistema linear nas inco´gnitas (x, y, z):
x+ y + z = 1
2x− y + 3z = 2
x+ ay + z = b
(a) Encontre condic¸o˜es sobre (a, b) ∈ R2 para que o sistema tenha mais do que uma soluc¸a˜o.
(b) Resolva o sistema para os valores de (a, b) encontrados na al´ınea anterior.
(c) Encontre os valores de b para os quais o vector (1, 2, b) na˜o pertence ao subespac¸o
G ({(1, 2, 1), (1,−1, 1), (1, 3, 1)}).
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71. Considere o espac¸o vectorial R3.
(a) Encontre vectores linearmente independentes que gerem o subespac¸o E = {(x, y, z) ∈ R3 :
x− 2y + 5z = 0}.
(b) Seja X = {(α, 2α, 3α) : α ∈ R}. Obtenha uma base de G(X).
(c) Verifique que a base de G(X) pode ser completada para uma base de R3 com os vectores
encontrados na al´ınea (a).
72. Determine a dimensa˜o e uma base para o espac¸o das soluc¸o˜es reais do sistema:
x1 − x2 + 5x3 − x4 = 0
x1 + x2 − 2x3 + 3x4 = 0
3x1 − x2 + 8x3 + x4 = 0
x1 + 3x2 − 9x3 + 7x4 = 0
.
73. No espac¸o vectorial R3 considere os subespac¸os X = {(x, y, z) ∈ R3 : x − y +3z = 0} e
Y = {(α + 4γ, α + 3β + γ, β − γ) : α, β, γ ∈ R}.
(a) Determine dimY .
(b) Mostre que X ⊆ Y .
(c) Sera´ verdade que X = Y ? Justifique.
(d) Determine uma base de X.
(e) Complete a base encontrada na al´ınea (d) de modo a obter uma base de R3.
74. Mostre que B = (t3, t3 + t, t2 + 1, t+ 1) e´ uma base de V = R3[t], e determine as coordenadas
dos seguintes vectores relativamente a esta base:
(a) t2 + 1; (b) t3; (c) t2; (d) t3 − t2; (e) t2 − t.
75. Determine as coordenadas de (3, 4) relativamente a cada uma das seguintes bases ordenadas
de R2: (a) B1 = ((6,−5), (2, 5)); (b) B2 = ((3, 1), (−2, 6)).
76. Seja V = C o espac¸o vectorial dos nu´meros complexos sobre o corpo dos reais. Mostre que
B = (1− 2i, 3− i) e´ uma base de V . Determine as coordenadas dos seguintes vectores relativamente
a B: (a) 3− i; (b) i; (c) −5; (d) 1 + 3i.
77. Encontre uma base B de R2 tal que o vector (1, 0) tenha coordenadas (5,−8)B e o vector
(0, 1) tenha coordenadas (−1, 2)B.
78. Determine as coordenadas do vector (2,−3, 5) relativamente a cada uma das seguintes bases
do espac¸o vectorial R3:
(a) B1 = ((1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1));
(b) B2 = ((1,−1, 0), (−4, 6,−10), (−1, 3,−9));
(c) B3 = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0,−5,−5)).
79. Mostre que os seguintes epac¸os vectoriais na˜o teˆm dimensa˜o finita:
(a) O conjunto C[x] dos polino´mios em x de coeficientes complexos munido da estrutura usual de
espac¸o vectorial complexo.
(b) O conjunto F(R,R) das func¸o˜es reais de varia´vel real, munido da estrutura usual de espac¸o
vectorial real.
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80. Sejam u, v e w vectores em R3.
(a) Mostre que se u 6= 0 e se v na˜o pertencer a` reta passando pela origem que conte´m u enta˜o {u, v}
e´ livre.
(b) Mostre que se u e v forem linearmente independentes e se w na˜o pertencer ao plano pela origem
que conte´m u e v enta˜o {u, v, w} e´ livre.
81. Mostre que os u´nicos subespac¸os vectoriais de R3 sa˜o: {(0, 0, 0)}; as retas pela origem na
direc¸a˜o de u 6= (0, 0, 0); os planos pela origem que conte´m u, v linearmente independentes; R3.
VIII - Aplicac¸o˜es lineares, nu´cleo, imagem
82. Para os espac¸os vectoriais V e W indicados, decida quais das aplicac¸o˜es F : V −→ W sa˜o
lineares e, caso sejam, encontre o seu nu´cleo e a sua imagem e calcule as respectivas dimenso˜es.
(i) V = R3, W = R2 como espac¸os vectoriais sobre R:
(a) F (x, y, z) = (x, y) (b) F (x, y, z) = (x− y, 2x− 2y) (c) F (x, y, z) = (x sen y, y).
(ii) V = C2, W = C3 como espac¸os vectoriais sobre C:
(d) F (x, y) = (x¯, iy, 0) (e) F (x, y) = (x, y, 0) (f) F (x, y) = (2x, 3x+ y, 2)
(g) F (x, y) = (x+ y, x− y, x) (h) F (x, y) = (x, y, xy)
(iii) V = W = R como espac¸o vectorial sobre R:
(i) F (x) = ex (j) F (x) = 3x+ 1 (k) F (x) = 3x (l) F (x) = 0
(iv) V = W = C como espac¸o vectorial sobre R, x, y ∈ R:
(m) F (x+ iy) = (x+ y) + iy, (n) F (x+ iy) = i(x+ iy)
(o) F (x+ iy) = (1 + 2i)(x+ iy) (p) F (x+ iy) = i(x+ iy)
(v) V = R2[x], W = R3 como espac¸os vectoriais sobre R:
(q) F (a+ bx+ cx2) = (a+ b, b, a− 3c)
(vi) V = W = R2[x] como espac¸o vectorial sobre R:
(r) F (a+ bx+ cx2) = (a+ b) + cx+ 2x2 (s) F (a+ bx+ cx2) = d
dx
(a+ bx+ cx2)
(vii) V = R2[x], W = R3[x] como espac¸os vectoriais sobre R:
(t) F (a+ bx+ cx2) = (a− 2b) + cx+ bx2 + ax3 (u) F (a+ bx+ cx2) = ax+ b
2
x2 + c
3
x3
(viii) V = W = M3,1(R) como espac¸o vectorial sobre R:
F
 xy
z
 = A ·
 xy
z
 para: (v) A =
 1 2 30 pi 1
0 0 1
 (w) A =
 √2 √2 √2√3 √3 √3√
5
√
5
√
5

83. Mostre que as aplicac¸o˜es de R2 em R2 definidas pelas expresso˜es abaixo sa˜o lineares, com
nu´cleo dado por {(0, 0)} e imagem R2.
(a) H1(x, y) = (3x, 3y) (b) R1(x, y) = (−y, x) (c) R2(x, y) = (x,−y)
(d) H2(x, y) = (−x,−y) (e) F (x, y) = (x, x+ y) (f) R3(x, y) =
√
2
2
(x− y, x+ y)
(g) R4(x, y) =
1
2
(x+
√
3y,
√
3x− y) (h) R5(x, y) = 1
2
(x−
√
3y,
√
3x+ y)
(i) Rθ(x, y) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ), θ ∈ R
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84. Represente graficamente cada um dos subconjuntos de R2 abaixo, bem como sua imagem
por cada uma das aplicac¸o˜es do exerc´ıcio anterior.
(i) Q = {(1, 0), (0, 1), (1, 1)}; (ii) E1 = {(t, 0), t ∈ R};
(iii) E2 = {(t, t), 0 ≤ t ≤ 1}; (iv) C = {(cos t, sen t), 0 ≤ t ≤ 2pi}.
85. Se f : R2 −→ R2 for uma aplicac¸a˜o linear tal que f(3, 1) = (1, 0) e f(−2, 2) = (3, 0), quanto
vale f(1, 0)?
86. Sejam f e g : R3 −→ R3 as aplicac¸o˜es lineares
f(x, y, z) = (z, y, x) e g(x, y, z) = (x, x+ y, x+ y + z).
(a) Determine a imagem de um vector (x, y, z) pelas seguintes func¸o˜es: f ◦ g, g ◦ f e f ◦ g − g ◦ f .
(b) Mostre que f e g sa˜o injectivas, e defina as func¸o˜es: f−1, g−1 e (f ◦ g)−1.
87. Seja f : R2 → R2 a aplicac¸a˜o linear tal que f(1, 1) = (1, 0) e f(−1, 1) = (1, 2). Determine:
(a) f(0, 2);
(b) f(x, y), ∀(x, y) ∈ R2;
(c) ker(f) e Im(f);
(d) Mostre que f e´ um isomorfismo e defina f−1.
88. Considere os subespac¸os vectoriais de R3: W = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0} e
V = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y = z}. Mostre que existe uma aplicac¸a˜o linear f : R3 → R3 tal que
ker(f) = V e Im(f) = W .
89. Determine f(x, y) ou f(x, y, z) sabendo que f e´ uma aplicac¸a˜o linear:
(a) De R2 em R2 tal que f(1, 0) = (2, 3) e f(0, 1) = (−5, 1);
(b) De R2 em R2 tal que f(1, 1) = (1, 0) e f(0, 1) = (1, 1);
(c) De R3 em R2 tal que f(1, 1, 1) = (2,−3), f(1, 1, 0) = (1, 0) e f(1, 0, 0) = (0, 0);
(d) De R3 em R2 tal que ker(f) = G({(1, 0, 1), (0, 0, 1)}) e f(0, 1, 1) = (3, 3);
(e) De R3 em R2 tal que ker(f) = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0 e x − 2z = 0}, f(1, 0, 0) =
(2,−1), f(1, 1, 0) = (−5, 0).
90. Determine f(a+ bx+ cx2) sabendo que f : R2[x]→ R e´ uma aplicac¸a˜o linear tal que:
(a) f(1) = 3, f(x) = −2, f(x2) = −3;
(b) f(−1 + x) = 2, f(−x+ x2) = 5, f(1 + 2x2) = 0;
(c) ker(f) = {p(x) ∈ R2[x] : p(2) = 0} e f(1 + x2) = 3.
91. Sejam V e W espac¸os vectoriais de dimensa˜o finita n e f : V → W uma aplicac¸a˜o linear.
Mostre que ker(f) = {0V } se e so´ se Im(f) = W .
92. Sejam E,F espac¸os vectoriais sobre um corpo K, E1 um subespac¸o vectorial de E, e f :
E → F uma aplicac¸a˜o linear. Que relac¸a˜o existe entre ker(f) e ker(f |E1)?
93. Seja E um espac¸o vectorial e f : E −→ E uma aplicac¸a˜o linear. Prove que as condic¸o˜es
seguintes sa˜o equivalentes:
(a) Im(f) ∩ ker(f) = {0E}
(b) ker(f ◦ f) = ker(f)
94. Considere C como espac¸o vectorial real. Descreva explicitamente um isomorfismo entre este
espac¸o e R2.
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95. Diga, justificando, se as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras ou falsas:
(a) Existe uma aplicac¸a˜o linear injetiva f : R3 → R10.
(b) Existe uma aplicac¸a˜o linear sobrejetiva f : R3 → R10.
(c) Existe uma aplicac¸a˜o linear f : R3 → R3 cujo nu´cleo e´ N = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y − z = 0} e
cuja imagem e´ I = {(x, y, z) ∈ R3 : 2y + 11z = 0}.
(d) A func¸a˜o f : R2[x]→ R2[x] definida por f(a+ bx2 + cx2) = a− b+ (b− c)x+ (c−a)x2 e´ injetiva.
(e) Uma func¸a˜o f : R2 → R2 e´ linear se e so´ se existirem nu´meros reais a, b, c, d tais que f(x, y) =
(ax+ by, cx+ dy).
IX - Matrizes de aplicac¸o˜es lineares
96. Considere as seguintes aplicac¸o˜es lineares:
f : R2 → R2
(x, y) 7→ (x+ 3y,−x− 2y)
g : R2 → R3
(x, y) 7→ (x− y, x+ y, 3x)
h : R3 → R3
(x, y, z) 7→ (x+ y − 2z,−2x+ y + z, x− 2y + z)
Considere as bases B = ((0,−1), (1, 1)) de R2 e B1 = ((1, 0,−1), (1, 0, 0), (0, 1,−2)) de R3. Determine
a matriz de:
(a) f relativamente a` base cano´nica de R2.
(b) f relativamente a` base cano´nica de R2 e a B.
(c) f relativamente a` base B.
(d) g relativamente a` base cano´nica de R2 e a` base cano´nica de R3.
(e) g relativamente a`s bases B e B1.
(f) h relativamente a` base cano´nica de R3.
(g) h relativamente a` base B1.
97. No espac¸o vectorial real V = R3[x], considereo endomorfismo f , definido por
f(1) = 1, f(1 + x) = x, f(1 + x+ x2) = x+ x2, f(1 + x+ x2 + x3) = 1 + 2x+ x2,
e as bases B = (1, x, x2, x3) e B1 = (1, 1 + x, 1 + x+ x
2, 1 + x+ x2 + x3).
(a) Determine a matriz de f relativamente:
(i) a` base B e a` base B1 (ii) a` base B1 e a` base B (iii) a` baseB (iv) a` base B1
(b) Determine f(a+ bx+ cx2 + dx3), ∀a, b, c, d ∈ R.
98. Considere a base b = ((0,−1), (1, 2)) de R2 e f o endomorfismo de R2 definido por f(0,−1) =
(−2, 3) e f(1, 2) = (1, 0). Determine:
(a) A matriz de f relativamente a` base b e a` base cano´nica de R2.
(b) A matriz de f relativamente a` base b.
(c) f(x, y), ∀(x, y) ∈ R2.
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99. Considere o espac¸o vectorial real V = C. Seja z ∈ V . Considere fz : V → V e gz : V → V ,
as aplicac¸o˜es lineares definidas por fz(x) = zx e gz(x) = −zx. Sejam B = (i, 1) e B1 = (1 + i, 1− i)
bases de V . Determine:
(a) A matriz de fz relativamente a` base B.
(b) A matriz de fz relativamente a` base B e a` base B1.
(c) A matriz de gz relativamente a` base B1.
100. Considere o espac¸o vectorial real V = M2,2(R), os vectores N =
(
1 1
1 1
)
e P =
(
0 −1
1 0
)
desse espac¸o e as aplicac¸o˜es f, g, h : V → V definidas por:
f(M) = NM g(M) = MN h(M) = PM.
(a) Verifique que f, g, h sa˜o aplicac¸o˜es lineares.
(b) Verifique que h e´ um isomorfismo. Qual a inversa de h?
(c) Determine as matrizes de f e g relativamente a` base
B =
((
1 0
0 0
)
,
(
0 1
0 0
)
,
(
0 0
1 0
)
,
(
0 0
0 1
))
de V .
(d) Determine ker(f), Im(f), ker(g), Im(g) e as respectivas dimenso˜es.
(e) Verifique que a aplicac¸a˜o ϕ : V → R4 definida por ϕ(M) = (a, b, c, d) se M =
(
a b
c d
)
e´ um
isomorfismo.
101. Seja f o endomorfismo do espac¸o vectorial real R3 cuja matriz relativamente a` base b =
((1, 0, 0), (1,−1, 0), (0, 1, 1)) e´
 1 0 10 1 1
−1 1 0
 . Determine f(x, y, z), ∀x, y, z ∈ R.
102. Seja f um endomorfismo de R2 caracterizado por f(x, y) = (x−y, x+y). Determine a base
B de R2 tal que a matriz de f relativamente a` base b = ((1,−1), (2, 1)) e a` base B e´
(
1 0
2 1
)
.
103. Seja f : U → V uma aplicac¸a˜o linear e B = {b1, b2, . . . , bn} uma base de U . Mostre que:
(a) A func¸a˜o f e´ injectiva se e so´ se {f(b1), f(b2), . . . , f(bn)} e´ livre.
(b) A func¸a˜o f e´ sobrejectiva se e so´ se G({f(b1), f(b2), . . . , f(bn)}) = V.
104. Seja f : R2[x]→ R3 a aplicac¸a˜o linear definida por:
f(a+ bx+ cx2) = (a+ b− c,−2b, 3c)
(a) Determine a matriz de f relativamente a`s bases cano´nicas de R2[x] e R3.
(b) Determine uma base B do domı´nio tal que a matriz de f relativamente a B e a` base cano´nica de
R3 e´
 1 0 00 2 0
0 0 3
 .
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105. Determine a composta Si ◦ Ti para as seguintes aplicac¸o˜es lineares:
T1(a, b) = (2a− b, 3b), S1(x, y) = (y − x, 4x),
T2(a, b, c) = (a− b+ c, a+ c), S2(x, y) = (x, x− y, y),
T3(a+ bt) = 2a− bt2, S3(a+ bt+ ct2) = c+ bt2 − 3at2
(a) Usando a definic¸a˜o de func¸a˜o composta.
(b) Usando o produto de matrizes.
106. Sejam f : R3 → R3 e g : R3 → C duas aplicac¸o˜es lineares assim definidas:
f(1, 0, 0) = (−1, 0, 0), f(0, 1, 0) = (−1, 1, 0), f(0, 0, 1) = (1, 1, 1),
g(x, y, z) = x+ (x+ y − z)i
(a) Determine a matriz de g ◦ f relativamente a` base cano´nica de R3 e a` base b = (1, i) de C, sem
recorrer a` definic¸a˜o da aplicac¸a˜o g ◦ f .
(b) Calcule (g ◦ f)(1,−1, 2).
(c) Determine o nu´cleo de g ◦ f .
107. Seja f um endomorfismo de R3 tal que:
f(1, 1,−1) = f(1,−1, 1) = (−1, 1, 1), f(−1, 1, 1) = (1, 1,−1)
(a) Estas condic¸o˜es sa˜o suficientes para definir o endomorfismo? Porqueˆ? Calcule f(3, 1, 2).
(b) Determine uma base para o nu´cleo do endomorfismo f ◦ f .
(c) Sendo V o nu´cleo de f , determine um subespac¸o vectorial W de R3 tal que R3 = V ⊕W .
108. Seja V um espac¸o vectorial real de dimensa˜o 3 e seja {v1, v2, v3} uma base de V . Seja W
um espac¸o vectorial real de dimensa˜o 2 e {w1, w2} uma base de W . Considere f : V → W definida
por f(λ1v1 + λ2v2 + λ3v3) = (λ1 + µ)w1 + (λ2 + λ3)w2.
(a) Determine os valores de µ para os quais f e´ linear.
(b) Para os valores de µ encontrados na al´ınea (a), determine uma base de Ker(f).
109. Dados x = (x1, x2, x3) e y = (y1, y2, y3) vectores em R3, definamos o produto x ⊗ y de x
por y por x ⊗ y = (x2y3 − x3y2, x3y1 − x1y3, x1y2 − x2y1). Seja fy : R3 → R3 a func¸a˜o definida por
fy(x) = x⊗ y.
(a) Mostre que fy e´ linear.
(b) Prove que, se y 6= 0, enta˜o Ker(fy) = G({y}).
110. Diga se as afirmac¸o˜es seguintes sa˜o verdadeiras ou falsas e justifique a sua resposta:
(a) Seja f um endomorfismo do espac¸o vectorial V . Enta˜o f ◦ f = 0 se e so´ se Im(f) ⊆ Ker(f).
(b) Existe uma u´nica aplicac¸a˜o linear p : R3 → R3 cujo nu´cleo e´ N = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 2y− z =
2x+ y + z} e cujo conjunto imagem e´ I = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x− y + 3z = 0}.
(c) Sejam b e B duas bases de um espac¸o vectorial V de dimensa˜o 2 e seja f : V → V um
endomorfismo.
Se MB,B(f) =
(
2 −1
1 3
)
e Mb,B(Id) =
(
1 0
1 1
)
, enta˜o Mb,b(f) =
(
3 −1
1 2
)
(c) Se f : V → V e´ uma aplicac¸a˜o linear tal que f ◦ f = f , enta˜o a aplicac¸a˜o g : V → V definida
por g(x) = 2f(x)− x e´ um endomorfismo involutivo, isto e´, g ◦ g = IdV .
(d) Sejam U, V espac¸os vectoriais tais que dimU < dimV . Enta˜o existe uma aplicac¸a˜o linear
sobrejectiva de U em V .
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111. Seja f : R2 → R2 a aplicac¸a˜o linear definida por f(x, y) = (x + y, x). Seja A uma certa
matriz que representa f relativamente a uma base B de R2. Qual e´ a caracter´ıstica de A?
112. Considere o espac¸o vectorial V = R3[x]. Seja f : V → V o endomorfismo de V cuja matriz
relativamente a`s bases b = (1, 1 + x, 1 + x+ x2, 1 + x+ x2 + x3) e B = (1, x, x2, x3) e´
A =

0 0 0 0
−1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0

(a) Determine:
(i) f(a+ bx+ cx2 + dx3), ∀a, b, c, d ∈ R
(ii) f−1({x+ x2 + x3}).
(iii) A dimensa˜o da imagem de f e do nu´cleo de f .
(b) Seja U um subespac¸o vectorial de V , de dimensa˜o 2, ao qual pertence um vector na˜o nulo do
nu´cleo de f . Que pode afirmar acerca da dimensa˜o de f(U)? Justifique a resposta.
(c) Suponha que g e´ o endomorfismo de V definido por
g(a+ bx+ cx2 + dx3) = −bx− cx2 (∀ a, b, c, d ∈ R)
Determine a matriz de g ◦ f relativamente a`s bases b e B.
(d) Indique, se existir, uma base b
′
de V tal modo que a matriz de g ◦ f relativamente a` base b′ e´ a
matriz 
0 0 0 1
−1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 0 0

ou prove que na˜o existe.
113. Seja (e1, e2) uma base de um espac¸o vectorial real V e T : V → V a aplicac¸a˜o linear tal
que T (e1) = 3e1− e2 e T (e2) = e1 + 4e2. Seja ainda (f1, f2) uma base de V , para a qual f1 = e1 + e2
e f2 = 2e1 + 3e2. Encontre a matriz de T na base (f1, f2).
114. Considere as seguintes bases de R3:
b = ((2, 0, 0), (3, 3,−1), (4, 0, 4)) B = ((1, 0, 1), (3, 0,−1), (−1, 2, 1))
(a) Determine a matriz da identidade relativamente a` base cano´nica de R3 e a` base b.
(b) Determine a matriz da identidade relativamente a` base cano´nica de R3 e a` base B.
(c) Determine as coordenadas de (3, 1, 4) na base B.
(d) Determine a aplicac¸a˜o linear f : R3 → R3 tal que a matriz relativamente a`s bases b e B e´ dada
por:  0 1 21 0 2
1 2 0
 .
(e) Determine MB,B(f) e Mb,b(f).
(f) Calcule as coordenadas de f(1, 1, 0) na base B.
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(g) Mostre que f e´ um isomorfismo. Determine a func¸a˜o inversa de f .
(h) Existe alguma base B
′
de R3 tal que
MB′ ,B(f) =
 1 0 00 1 0
0 0 1
?
115. Sejam B = (1, i) e B
′
= (1+i, 1+2i) bases de C, espac¸o vectorial real. Seja T (z) = z, z ∈ C.
Determine:
(a) A matriz de T relativamente a` base B
′
.
(b) A matrizde T relativamente a`s bases B e B
′
.
116. Considere as bases Bc = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)), B = ((2, 0,−1), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) de
R3, e bc = ((1, 0), (0, 1)), b = ((3,−1), (1, 0)) de R2. Seja f : R2 → R3 a aplicac¸a˜o linear definida
por f(x, y) = (x+ 3y,−x− y, 2x+ y). Determine:
(a) Mbc,Bc(f).
(b) Mb,bc(Id) e Mbc,b(Id).
(c) MB,Bc(Id) e MBc,B(Id).
(d) Mbc,B(f), Mb,Bc(f) e Mb,B(f).
117. Seja f : R3 → R3 um endomorfismo definido por f(1, 0, 0) = (1, 2, 3), f(0, 1, 0) =
(0, 1, 2), f(0, 0, 1) = (1, 0, 1), e seja B = ((1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)) uma base de R3.
(a) Mostre que f e´ um automorfismo.
(b) Defina a inversa f−1 de f .
(c) Determine a matriz de f relativamente a` base B e a` base cano´nica de R3.
(d) Calcule as coordenadas de f−1(x, y, z) na base B.
118. Considere as seguintes matrizes de entradas reais:
A =
(
3 0 −6 0
1 0 −2 0
)
, B =
 −1 3 0 20 2 2 0
−1 3 0 2
 , C =
 0 1 0 00 0 1 0
0 0 0 1
 ,
D =

1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
 , E =
 2 5 83 6 9
4 7 0
 , F =

−2 5 0 1/3
0 −3 4 0
−6 12 4 1
1 0 1 0
 .
Para cada uma destas matrizes:
(a) Determine a dimensa˜o e indique uma base para o espac¸o vectorial gerado pelas linhas e para o
espac¸o vectorial gerado pelas colunas.
(b) Diga se o sistema homoge´neo que lhe esta´ associado e´ indeterminado ou se tem uma u´nica soluc¸a˜o.
(c) Diga se, para qualquer matriz coluna Y de termos independentes, o sistema MX = Y tem uma
u´nica soluc¸a˜o, mais do que uma soluc¸a˜o, ou na˜o tem soluc¸a˜o.
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X - Valores pro´prios
119. Em cada um dos seguintes casos, seja f o endomorfismo de Rn representado pela matriz
A, relativamente a` base cano´nica de Rn. Determine os valores pro´prios e uma base do subespac¸o
associado a cada valor pro´prio.
(a) A =
(
3 0
8 −1
)
(b) A =
(
10 −9
4 −2
)
(c) A =
(
0 3
4 0
)
(d) A =
( −2 −7
1 2
)
(e)A =
(
0 0
0 0
)
(f)A =
(
1 0
0 1
)
(g)A =
 4 0 1−2 1 0
−2 0 1
 (h)A =
 3 0 −51/5 −1 0
1 1 −2

(i) A =
 −2 0 1−6 −2 0
19 5 −4
 (j) A =
 −1 0 1−1 3 0
−4 13 −1
 (2 e´ valor pro´prio).
120. Determine uma matriz P e uma matriz diagonal D tal que P−1AP = D, em que A e´:
(a)
(
3 1
−5 −3
)
(b)
( −4 −3
8 7
)
(c)
 2 0 63 3 2
1 0 3
 (d)
 3 2 −1−2 −2 1
3 6 −3

121. Verifique se as seguintes matrizes sa˜o diagonaliza´veis (sobre R):
(a)
(
1 −4
2 5
)
(b)
 2 1 23 5 0
0 0 6
 (c)

5 0 −3 1
8 1 −6 2
4 0 −2 1
0 0 0 1
 (d)
 1 0 13 2 4
1 0 1

122. Determine o polino´mio caracter´ıstico do endomorfismo de R3 dado por
g(a, b, c) = (a+ 3b− 2c, 2a+ b, 4b− 4c).
123. Seja Mθ =
(
cos θ − sen θ
sen θ cos θ
)
a matriz que representa, na base cano´nica de R2, a rotac¸a˜o
de um aˆngulo θ em torno da origem. Mostre que Mθ so´ e´ diagonaliza´vel se θ = kpi, com k ∈ Z.
124. Seja Rθ : R2 −→ R2 a reflexa˜o na reta que faz um aˆngulo θ com a semi-reta {(a, 0), a > 0},
representada, na base cano´nica de R2, pela matriz
(
cos 2θ sen 2θ
sen 2θ − cos 2θ
)
. Encontre uma base de R2
na qual Rθ seja representada por uma matriz diagonal.
125. Determine os valores pro´prios e respectivos subespac¸os pro´prios de cada um dos seguintes
endomorfismos:
f : R2 −→ R2 f(x, y) = (2y, x− y);
g : R2 −→ R2 g(1, 0) = (2, 5) g(1, 1) = (1, 3).
126. Seja f : R3 → R3 um endomorfismo tal que os subespac¸os pro´prios, associados respectiva-
mente aos valores pro´prios λ1 = 1 e λ2 = 2, sa˜o
E1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y = z}, E2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x− y + z = 0}
Determine f(x, y, z) para um elemento (x, y, z) qualquer de R3.
127. (a) Diga se e´ diagonaliza´vel f : R2 −→ R2 dada por (x, y) 7→ (x+ y, y − x).
(b) Considerando C2 como espac¸o vectorial complexo, diga se e´ diagonaliza´vel f : C2 −→ C2
dada por (x, y) 7→ (x+ y, y − x).
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128. Considere a matriz sime´trica (de entradas reais) S =
(
1 −1
−1 1
)
.
(a) Determine os valores pro´prios de S.
(b) Determine, para um inteiro positivo qualquer n, a n-e´sima poteˆncia de S.
129. Seja A ∈M2,2(R). Mostre que:
(a) det (A− αId2) = α2 − tr(A)α + det(A), onde tr(A) e´ a soma dos elementos da diagonal de A,
denominada o trac¸o da matriz A.
(b) Se A e´ sime´trica, enta˜o A e´ diagonaliza´vel.
(c) Se todas as entradas de A forem positivas, enta˜o A admite uma base de vectores pro´prios (isto
e´, A e´ diagonaliza´vel).
130. Mostre que, se λ for um valor pro´prio de um endomorfismo f : V → V associado a um
vector pro´prio x, enta˜o para todo inteiro positivo k tem-se que λk e´ valor pro´prio e x e´ um vector
pro´prio correspondente de fk = f ◦ f · · · ◦ f︸ ︷︷ ︸
k
.
131. Diga, justificando, quais das seguintes afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras:
(a) Uma aplicac¸a˜o linear f : R4 → R4 que tenha apenas dois valores pro´prios na˜o e´ diagonaliza´vel.
(b) Para A,B ∈Mn,n(R), se A e´ diagonal, enta˜o AB = BA.
(c) Para f : V → V um endomorfismo de um espac¸o vectorial real V , se f ◦ f = IdV e se λ for
valor pro´prio de f , enta˜o λ = 1 ou λ = −1.
(d) Para f : V → V um endomorfismo de um espac¸o vectorial real V , se f ◦ f = IdV , enta˜o 1 e -1
sa˜o valores pro´prios de f .
XI - Produto escalar e produto vectorial
132. Determine A|B e ‖A− 3B‖ em cada um dos seguintes casos:
(a) A = (3, 4), B = (−2, 5);
(b) A = (3, 4, 1), B = (−2, 3,−1).
133. Calcule os aˆngulos entre cada um dos pares de vectores das seguintes listas:
(a) u = (0, 1, 0), v =
(√
3/2, 1/2, 0
)
, w =
(√
3/6, 1/2,
√
6/3
)
.
(b) u = (1, 1, 1, 1) e os vectores da base cano´nica de R4.
134. Calcule a norma do vector (1, 1, 1) e o comprimento da sua projec¸a˜o ortogonal sobre cada
um dos vectores u, v e w do exerc´ıcio anterior.
135. Seja (e1, e2, e3) a base cano´nica de R3. Use a identidade (e1 + e2 + e3)|e1 = 1 para encontrar
o aˆngulo entre a diagonal de um cubo e as suas arestas.
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136. Neste exerc´ıcio iremos mostrar que a rotac¸a˜o do plano de um aˆngulo θ em torno da origem
e a reflexa˜o na reta que faz um aˆngulo θ com o vector (0, 1) preservam distaˆncias e aˆngulos. Para
isto considere as matrizes que representam, na base cano´nica de R2, estas transformac¸o˜es:
Mθ =
(
cos θ − sen θ
sen θ cos θ
)
Nθ =
(
cos 2θ sen 2θ
sen 2θ − cos 2θ
)
.
(a) Mostre que, Mθu|Mθv = u|v, para todos os u, v ∈ R2.
(b) Mostre que ‖Mθu‖ = ‖u‖, para todo u ∈ R2 e conclua que ‖Mθ(u− v)‖ = ‖u− v‖, para todos
os u, v ∈ R2.
(c) Mostre que Nθu|Nθv = u|v, para todos os u, v ∈ R2.
(d) Mostre que ‖Nθu‖ = ‖u‖ para todo u ∈ R2 e conclua que ‖Nθ(u− v)‖ = ‖u− v‖, para todos
os u, v ∈ R2.
137. Sejam u e v ∈ Rn. Prove cada uma das afirmac¸o˜es abaixo e interprete-a geometricamente
no caso de u e v ∈ R2.
(a) (u+ v)|(u+ v) = u|u+ 2u|v + v|v.
(b) (u− v)|(u− v) = u|u− 2u|v + v|v.
(c) u|v = 0 se e somente se ‖u+ v‖2 = ‖u− v‖2.
(d) u|v = 0 se e somente se ‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2.
(e) (u+ v)|(u− v) = 0 se e somente se ‖u‖ = ‖v‖.
(f) u|v = 0 se e somente se ‖u+ cv‖ ≥ ‖u‖ para todo c ∈ R.
138. Determine uma base ortonormada do subespac¸o S de R3 (munido do produto escalar usual)
definido por:
S = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ 2y + 2z = 0} .
139. Considere os seguintes subconjuntos de Rn:
A = {(1,−1, 1), (2, 1, 5)}, B = {(1, 1, 0, 0), (0, 1, 2, 0), (0, 0, 3, 4)},
C = {(2, 0, 0, 0), (1, 3, 3, 0), (0, 4, 6, 1)}, D = {(2, 2, 2, 2), (3, 2, 0, 3), (0,−2, 0, 6)}.
Usando o produto escalar usual de Rn:
(a) Use o me´todo de ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormada dos
subespac¸os gerados por cada um dos conjuntos acima;
(b) Encontre a projec¸a˜o ortogonal de u = (2, 1, 3) no subespac¸o de R3 gerado por(1, 0, 1);
(c) Encontre a projec¸a˜o ortogonal de u = (2, 1, 3) no subespac¸o de R3 gerado por A;
(d) Encontre a projec¸a˜o ortogonal de v = (0, 0, 0, 3) em cada um dos subespac¸os de R4 gerados por
B, C e D;
(e) Encontre o complemento ortogonal dos subespac¸os gerados por cada um dos conjuntos acima.
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140. Mostre que para S e T subespac¸os vectoriais de Rn:
(a)
(
S⊥
)⊥
= S.
(b) (S + T )⊥ = S⊥ ∩ T⊥.
(c) (S ∩ T )⊥ = S⊥ + T⊥.
141. Seja g : R4 → R4 a aplicac¸a˜o linear cuja matriz na base cano´nica e´
−1 3 0 −3
0 2 0 0
0 1 1 1
0 0 0 2

(a) Mostre que o polino´mio caracter´ıstico de A e´ p(λ) = (λ− 2)2(λ− 1)(λ+ 1) e indique os valores
pro´prios de g.
(b) Determine o espac¸o pro´prio associado ao valor pro´prio 2 e determine uma base ortonormada
desse subespac¸o.
(c) Diga, justificando, se g e´ diagonaliza´vel.
(d) Considere em R4 o produto escalar usual. Diga, justificando, se existe uma base ortonormada
de R4 composta por vectores pro´prios de g.
142. Considere Rn munido do produto escalar usual. Em cada um dos seguintes casos, determine
uma base ortonormada de Rn de vectores pro´prios do endomorfismo de Rn que e´ representado pela
matriz A relativamente a` base cano´nica de Rn
(i) A =
(
3 1
1 3
)
(ii) A =
(
6 −2
−2 3
)
(iii) A =
 −2 0 −360 −3 0
−36 0 −23

(iv) A =
 1 1 01 1 0
0 0 0
 (v) A =

3 1 0 0
1 3 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

143. Seja U = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ 2y + z = 0}. Com o produto escalar usual de R3:
(a) Determine a projec¸a˜o ortogonal de (4, 0, 2) sobre U ;
(b) Mostre que U = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ 2y+ z = 0} e´ ortogonal a V = {(x, y, z) ∈ R3 : y = 2x =
2z}.
144. Calcule: (1,−1, 1)× (0, 1,−1) e (1, 0, 0)× (0, 1,−1).
145. Calcule a a´rea do paralelogramo determinado pelos seguintes pares de vectores:
(a) (1,-2,1) e (1,1,1)
(b) (1,-1,0) e (1,1,0)
(c) (1,0,0) e (1,-2,0)
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146. Encontre um vector unita´rio ortogonal aos seguintes pares de vectores:
(a) (1,0,0) e (1,1,1)
(b) (1,-1,0) e (2,-2,1)
(c) (1,0,0) e (1,-2,0)
147. Para u = (0, 1, 0), v =
(√
3/2, 1/2, 0
)
, w =
(√
3/6, 1/2,
√
6/3
)
:
(a) Calcule u×v, v×w, (u×v)×w e u×(v×w). Conclua que o produto vectorial na˜o e´ associativo.
(b) Mostre que os treˆs paralelogramos definidos por u e v, por v e w e por u e w teˆm a mesma
a´rea.
(c) Calcule o seno e o cosseno do aˆngulo entre u e w e do aˆngulo entre v e w.
(d) Compare seus resultados com os que obteve no exerc´ıcio 134.
148. Use o produto vectorial para calcular a a´rea do triaˆngulo cujos ve´rtices sa˜o u = (2, 1, 3),
v = (3, 2, 4) e w = (1, 1, 1).
Sugesta˜o: a a´rea e´ a mesma que a do triaˆngulo cujos ve´rtices sa˜o a origem, (u−w) e (v−w). Qual
a relac¸a˜o entre esta a´rea e a do paralelogramo definido por (u− w) e (v − w)?
Use o mesmo me´todo para calcular a a´rea do triaˆngulo cujos ve´rtices sa˜o u, v e w do exerc´ıcio 134.
149. Mostre que ‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ com u, v ∈ R3 se e somente se u e v sa˜o ortogonais.
150. Seja V um espac¸o vectorial munido de um produto escalar ?. Sejam u, v, w ∈ V tais que:
u ? v = 2 v ? w = −3 u ? w = 5 ‖u‖ = 1 ‖v‖ = 2 ‖w‖ = 7
Determine:
(a) (u+ v) ? (v + w); (b) (2v − w) ? (3u+ 2w); (c) (u− v − 2w) ? (4u+ v);
(d) ‖u+ v‖; (e) ‖2w − v‖; (f) ‖u− 2v + 4w‖ .
151. Sejam u = (u1, u2) e v = (v1, v2) vectores de R2. Mostre que as seguintes func¸o˜es definem
produtos escalares em R2:
(a) f(u, v) = 3u1v1 + 5u2v2; (b) g(u, v) = 4u1v1 + u2v1 + u1v2 + 4u2v2.
152. Seja u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) vectores de R3. Determine quais das seguintes func¸o˜es
definem produtos escalares em R3:
(a) g(u, v) = u21v
2
1 + u
2
2v
2
2 + u
2
3v
2
3; (b) h(u, v) = 2u1v1 + u2v2 + 4u3v3.
153. Seja R2 onde se encontra definido um produto escalar tal que
(1, 0) ? (1, 0) = x, (1, 0) ? (0, 1) = y (0, 1) ? (0, 1) = z
Mostre que
(a, b) ? (c, d) = xac+ yad+ ybc+ zbd
154. Seja f((a, b), (c, d)) = [a, b]
(
4 2
2 3
)(
c
d
)
, sendo (a, b) e (c, d) vectores de R2.
(a) Determine f((1,−2), (1,−2)) e f((5,−3), (−1, 14)).
(b) Mostre que f e´ bilinear.
(c) Verifique se f define um produto escalar em R2.
155. Seja A uma matriz quadrada de ordem n e entradas reais tal que A2 = A. Prove que enta˜o
ou A = Idn ou A na˜o tem inversa.