ALGAI M143 1314teste2A

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Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143) 2013/14
Teste 2 – 18-12-2013 – Duração 2h
Nome completo: Número mecanográfico:
Curso:
Nas perguntas 1-6 deve apenas escolher a opção correcta sem justificar; à ausência de
resposta é atribuída a cotação de 0, a uma resposta errada é atribuída uma cotação de −0, 2
valores.
As respostas às perguntas 9 e 10 devem ser cuidadosamente justificadas.
1− 6 7a b c d 8a b c 9a b c 10a b c
1. (0, 6 val.) Considere os subespaços A = {p(x) ∈ R2[x] : p(−1) = p(1)} de R2[x] e B = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x− y + z =
0 e − x+ y − z = 0} de R4.
dimA = 3 e dimB = 2. dimA = 2 e dimB = 3. dimA = 3 e dimB = 3. dimA = 2 e dimB = 2.
2. (0, 6 val.) Em R3, considere o subespaço S = {(x, y, z) ∈ R3 : x− y+2z = 0} e os conjuntos A = {(1, 1, 0), (−2, 0, 1)}
e B = {(1, 1, 0), (2, 0,−1), (0, 2, 1)}.
A gera S e B não gera S. A e B são livres. B é uma base de R3. A e B geram S.
3. (0, 6 val.) Considere a matriz
(
1 3
−1 0
)
de passsagem da base canónica de R2 para uma outra base b de R2. Seja
u = (1, 2).
u = (7,−1)b u = (7, 1)b b = ((1,−1), (3, 0)) b = ((1, 3), (−1, 0))
4. (0, 6 val.) Seja f : R3 → R3 a função linear definida por f(x, y, z) = (x+ y + z, x− y, y + z) para (x, y, z) ∈ R3.
f é injetiva mas não é sobrejetiva. f não é injetiva. f tem inversa. det(f) = det(f ◦ f).
5. (0, 6 val.) Seja f : R3 → R2 a função linear definida por f(1, 0, 0) = (1, 1), f(0, 1, 0) = (1,−1) e f(0, 1, 1) = (2, 0).
f(x, y, z) = (x+ y + 2z, x− y) para (x, y, z) ∈ R3.
f(1, 2,−3) = (0,−4).
f(1, 1, 1) = (4, 0).
ker(f) = {(0, 0, 0)}.
6. (0, 6 val.) Considere as seguintes matrizes de entradas reais: A =
 1 1 10 2 1
0 0 1
 e B =
 1 1 10 2 0
0 0 1
.
A é diagonalizável e B não é diagonalizável.
B é diagonalizável e A não é diagonalizável.
A e B são diagonalizáveis.
A e B não são diagonalizáveis.
7. Sejam f, g : R3 −→ R3 as aplicações lineares tais que MBc,Bc(f) =
 1 1 01 −1 1
3 3 −3
 e MBc,Bc(g) =
 1 1 −10 1 0
1 1 −1

(onde Bc é a base canónica de R3). Indique sem justificar:
a) (0, 5 val.) f(1, 1,−1) = b) (0, 7 val.) f ◦ g(x, y, z) =
c) (0, 7 val.) ker(f ◦ g) = d) (0, 6 val.) um conjunto de geradores de Im g:
8. Em R3, considere o subespaço S = {(x, y, z) ∈ R3 : x+y+z = 0}, a base ortonormadaB =
(
1√
2
(1, 0,−1), 1√
6
(−1, 2,−1)
)
de S e os vetores u = (2,−1,−1), v = (−1,−1,−1); indique sem justificar:
a) (0, 6 val.) Coordenadas de u na base B: b) (0, 7 val.) A projeção ortogonal de v sobre S:
c) (0, 7 val.) O complemento ortogonal de S em R3:
9. Sejam f : R3 → R3 a função linear tal que f(x, y, z) = (x− y,−2x+ 2y,−3x+ 3y) e B = ((1, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0)).
a) (0, 8 val.) Determine a matriz de f relativamente à base B e à base canónica de R3.
b) (0, 8 val.) Determine as coordenadas de (x, y, z), para (x, y, z) ∈ R3, na base B de R3.
c) (0, 8 val.) Usando o produto de matrizes, determine a matriz de f relativamente à base B de R3.
10. a) (0, 7 val.) Mostre que se f é um endomorfismo de um espaço vectorial E, então ker(f) ⊆ ker(f ◦ f).
b) (0, 8 val.) Dê um exemplo de um endomorfismo f tal que ker(f) = ker(f ◦ f) e de um endomorfismo g tal que
ker(g) 6= ker(g ◦ g)
c) (1 val.) Mostre que se ker(f) = ker(f ◦ f), então ker(f ◦ f) = ker(f ◦ f ◦ f).