caderno de exercicios

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Universidade Nova de Lisboa
Faculdade de Economia
Universidade Nova de Lisboa
Semestre de Primavera 2011/2012
Cálculo I
Caderno de exercícios Três
Faculdade de Economia
Universidade Nova de Lisboa
Semestre de Inverno 2011/2012
Cálculo I
Caderno de exercícios Três
Sucessões
Faculdade de Economia
Universidade Nova de Lisboa
Semestre de Inverno 2011/2012
Cálculo I
Caderno de exercícios Dois
Sucessões
Faculdade de Economia 
Universidade Nova de Lisboa 
Semestre de Primavera 2010/2011 
 
 
Cálculo I 
 
Caderno de exercícios Três 
 
Sucessões 
 
 
 
 
 
 
 
Todos os exercicios não resolvidos nas aulas são considerados trabalhos de casa, 
endo os alunos convidados a resolverem-nos com o apoio dos docentes, se necessário. 
 
 
José António Pinheiro 
Ernesto Freitas 
Claudia Alves 
Todos os exercicios não resolvidos nas aulas são considerados trabalhos de casa, endo os alunos 
convidados a resolverem-nos com o apoio dos docentes, se necessário.
Maria Helena Almeida
Claudia Andrade
Guilherme Pereira
Ernesto Freitas
Claudia Alves
Todos os exercicios não resolvidos nas aulas são considerados trabalhos de casa, endo os alunos 
convidados a resolverem-nos com o apoio dos docentes, se necessário.
Maria Helena Almeida
Claudia Andrade
Guilherme Pereira
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Claudia Alves
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JJ
! "#!
4. SÉRIES 
 
Exercícios Resolvidos: 
 
1- Averigúe se as seguintes séries numéricas são séries geométricas. Em caso 
afirmativo, calcule a sua razão e, sempre que possível, a soma da série. 
 
a) !
"1 2
1
n
n 
Resolução: 
...
64
1...
8
1
4
12
1
2
1
1
+++++=!
"n
n 
Trata-se de uma série geométrica de razão:!!
2
1
2
2
2
1
2
1
1
1
1 ==== +
+
+
n
n
n
n
n
n
u
ur $!!
Significa que a constante pela qual temos de multiplicar um termo para obter o 
seguinte é 
2
1 , ou seja, o termo seguinte é sempre metade do anterior.!
Como ] [1;1
2
1 !"=r , a série geométrica é convergente e é possível calcular a sua 
soma pela fórmula: 1
2
11
2
1
1
1 =
!
=
!
=
r
uS 
 
b) !
"
=1
1
n n
 
 
Resolução: 
...
10
1...
3
1
2
1
1
11
1
+++++=!
"
=n n
 
! "%!
Para a série ser geométrica, teremos de encontrar a respectiva razão, que será a 
constante resultante da seguinte fórmula: 
11
1
1
1
+
=+== +
n
n
n
n
u
ur
n
n . Como se 
obteve uma expressão que depende de n não se trata de uma constante, logo não é uma 
série geométrica. O número pelo qual multiplicamos um termo para obter o seguinte não 
é sempre o mesmo, não é fixo! 
 
c) ( )[ ]!
"
##
1
2.4
n
n 
 
Resolução: 
( )[ ] ( )[ ][ ] ...
8
1...
4
1
2
112
2
1.42.42.4
11
1
1
+!!+!+!=
"
"
#
$
%
%
&
'
(
)
*+
,
-!=!=! ...
//
!
/
!
n
n
n
n
n
n 
Se a série for geométrica a razão resultará da fórmula: 
( )
( )
( )
2
12
2.4
2.4 )(1)1(1 !=!=
!
!== !!!!!
+!
+ nn
n
n
n
n
u
ur !
Trata-se de uma série geométrica de razão 
2
1! $ Como ] [1;1
2
1 !"!=r , a série 
geométrica é convergente e é possível calcular a sua soma: 
3
4
2
3
2
2
11
2
1
1 !=!=
"
#
$%
&
'!!
!=
!
=
r
uS 
 
d) ( )[ ]!
"
#
1
1.7
n
n 
 
Resolução: 
( )[ ] ...7...777771.7
1
+!+!+!+!=!"
#n
n 
Se a série for geométrica a razão (constante) resultará da fórmula: 
( )
( )
( ) 11
1.7
1.7 111 !=!=
!
!== !+
+
+ nn
n
n
n
n
u
ur !
! "&!
Trata-se de uma série geométrica de razão 1! $ Como ] [1;11 !"!=r , a série 
geométrica é divergente e não é possível calcular a sua soma (não terá soma 
finita). 
Nota: pelo Critério Geral de Convergência via-se logo que esta série numérica 
não era convergente pois o termo geral ( )nnu 1.7 != não tem limite 0. 
 
 
2- Indique, justificando, quais das seguintes séries numéricas são séries geométricas 
convergentes. 
 
a) 
n
n n
n 2
1 2
1!
"
#
$
%&
'
(
+
+ 
 
Resolução: 
 
Antes de estudar se a série é geométrica, verifiquemos à partida se o Critério 
Geral de Convergência é respeitado. Parece ser uma boa ideia! Se não for 
respeitado temos o trabalho facilitado pois podemos imediatamente concluir que 
a série não é convergente. Estudemos assim o limite do termo geral. 
( ) 221
2
2
222 1
2
11lim
2
11lim
2
1limlim
e
e
nnn
nu
n
n
nnn
n ==
!
!
"
#
$
$
%
&
'
(
)*
+
,
+
-+='
(
)*
+
,
+
-='
(
)*
+
,
+
+= -
++
 
Como 01lim 2 != e
un , a série não é convergente. Logo nunca será uma série 
geométrica convergente. Não são necessários cálculos adicionais de modo a 
perceber se a série é, ou não, geométrica. 
 
b) !
"
+
1
8
n n
n 
Resolução: 
Verifiquemos à partida se o Critério Geral de Convergência é respeitado. 
181lim8limlim =!
"
#$
%
& +=+=
nn
nun 
Como 01lim !=nu , a série não é convergente. Logo nunca será uma série 
geométrica convergente. 
! "'!
c) !
" +1 )2(
1
n nn
 
Resolução: 
Verifiquemos à partida se o Critério Geral de Convergência é respeitado. 
01
)2(
1limlim =
!+
=
+
=
nn
un 
Como o limite do termo geral é 0 o critério é respeitado, logo nada podemos 
concluir à partida sobre a natureza da série. Tanto pode ser convergente ou 
divergente. Verifiquemos então se a série é geométrica. 
( )
( ) )3(1
)2(
)2(
1
)21(1
1
1
++
+=
+
+++== +
nn
nn
nn
nn
u
ur
n
n !
Não é série geométrica. A expressão depende de n . Logo é falso que esta série 
numérica seja uma série geométrica convergente. 
 
d) ( )!
"
#
1
5.7
n
n 
Resolução: 
Verifiquemos à partida se o Critério Geral de Convergência é respeitado. 
( ) 05
7
5lim5.7limlim =
!+
=== " n
n
nu , logo a série tanto pode ser convergente 
como divergente. Não foi muito conclusiva a aplicação do Critério Geral de 
Convergência, mas poderia ter sido! 
Verifiquemos se é série geométrica. 
7
17
7
7
7
5
7
5
)1(
1
1
1 ===== +!+
+
+ nn
n
n
n
n
n
n
u
ur 
Trata-se de uma série geométrica de razão 
7
1
$! Como ] [1;1
7
1 !"=r , a série 
geométrica é convergente. Seria até possível calcular a sua soma, mas tal não é 
pedido no exercício. 
! "(!
Exercícios Propostos: 
 
1- Averigúe se as seguintes séries numéricas são séries geométricas. Em caso 
afirmativo, calcule a sua razão e, sempre que possível, a soma da série. 
a) !
"
#
1
2
n
n 
b) !
"1 4
3
n
n
n
 
c) !
+"
=
#
$
%
&'
(
)
2
1
5
2
n
n
 
d) !
=
"
6
1
13
k
k 
e) !
"
=1
2
1
k n
 
f) !
"
+
1
16
1
n
n 
g) !
"
+
0
45
5
n
n
n
 
h) !
"
#
1n
nne $ 
i) !
"
+#
1
1)1(
n
n 
j) !
+"
=
+#
1
)1(
7
4
n
n
 
k) !
"
##
1
1
3
2)1(
n
n
nn
 
l) !
+"
=
#
1
2
n
nn e 
m) !
+"
=1
33
8
n
n
n
 
n) !
+"
=
#
1
2
8
)1(5
n
n
nn
 
o) !
+"
=
#
1
2
1
3
5
n
n
n
 
p) ( )!
+"
=
+##
###
1
)12(1
1
35
2
n
nn
n
 
! #)!
q) ( ) inteiro,com,cos
0
kk
n
n !"" #$
%
 
r) !
"0 2n n
n xsen 
s) ( )!
"1
cos
n
n# 
t) !
"
#
$
%&
'
( ++
1 3
2
cos4
n
n
n n))
 
 
 
 
2- Considere as seguintes séries. Determine os valores de x para os quais as séries 
são convergentes. 
 
a) !
"
=1 4n n
nx 
b) ( )!
"
=
+
1 3
12
n
n
nx 
c) ( )!
"
=
#
#
1
12
3
n
n
nx 
d) !
"
=
+
1
25
n
nn x 
e) ( )!
"
##
1 2
0,
n
n xxtg $ 
f) ( )!
"
=
#
0
21
n
nn x 
 
 
3- Será possível garantir que as séries são convergentes? Se sim, indique as suas 
somas. 
a) !
+"
=
+
1 7
52
n
n
nn
 
b) 
( )
!
"+
=
+
1
2
2
3
2
9
n
n
n
 
c) !
"+
=
+ +
1
21 92
n
n
n
n
e
 
 
! #*!
4- Mostre que as seguintes séries divergem. 
a) !
+"
= +1
3
15
2
n
n
n
 
b) !
+"
= +
#
1 46
2
n n
n 
c) !
"+
=
#
$
%&
'
(
1
1
3
1
n
n
n
 
d) !
+"
=2 )ln(n n
n 
e) !
+"
= +
#
1
5
n en
en
$
 
 
 
5- Sendo ! na e ! nb duas séries convergentes de termos positivos, mostre 
porque razão se pode afirmar que a série ! ""#
$
%%&
'
+
nn ba
11 diverge. 
!
! "#!
!"#$%$&'()*+,-$&./0,-$
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
!
!
!
!
!
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