funcoes varias variaveis (2)

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Funções de Várias Variáveis
Função de duas variáveis: Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado de números reais (x, y) de um conjunto D um único valor real denotado por f(x, y). O conjunto D é o domínio de f, e sua imagem é o conjunto de valores possíveis de f, ou seja, 
.
Freqüentemente escrevemos 
 para tornar explícitos os valores tomados por f num ponto genérico.
As variáveis x e y são variáveis independentes, e z a variável dependente;
Uma função de duas variáveis é uma função cujo domínio é um subconjunto de 
 e cuja imagem é um subconjunto de 
.
Uma maneira de visualizar tal função é pelo diagrama de flechas, onde o domínio D é representado como um subconjunto do plano x y.
Se a função f é dada por sua fórmula e seu domínio não é especificado, fica entendido como domínio de f o conjunto de todos os pares (x, y) para os quais a expressão dada fornece um número real bem definido.
Exemplos:
Determine os domínios das seguintes funções e calcule f(3,2).
a) 
b) 
Determine o domínio e a imagem de 
.
Gráficos: Se f é uma função de duas variáveis com domínio D, então o gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) em 
 tal que 
 e (x, y) pertençam a D..
Exemplos:
Esboce o gráfico da função 
.
Desenhe o gráfico de 
.
Determine o domínio e a imagem de 
.
A figura abaixo mostra uma série de gráficos de diversas funções, gerados por computador.
Funções com três variáveis:
Uma função com três variáveis, f, é uma regra que associa a cada tripla ordenada (x, y, z) em um domínio 
 um único número real denotado por 
. 
É muito difícil visualizar uma função de três variáveis por seu gráfico, uma vez que teríamos de estar em um espaço de quatro dimensões. Entretanto ganhamos algum conhecimento de f desenhando suas curvas de nível, que são as superfícies com equação 
 onde k é uma constante. Se um ponto (x, y, z) se move ao longo de uma superfície de nível, o valor de 
 permanece fixo.
Exemplo: Determine o domínio de 
.
Curvas de nível: As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são as curvas com equação 
, onde k é uma constante (no domínio de f).
Uma curva de nível 
é o conjunto de todos os pontos do domínio de f nos quais o valor de f é k. Em outras palavras, mostra onde o gráfico f tem altura k.
Na figura abaixo você pode ver a relação entre curvas de nível e os traços horizontais. As curvas de nível 
 são apenas traços do gráfico de f no plano horizontal 
 projetado sobre o plano x y. Se você traçar as curvas de nível da função e visualizá-las elevadas para a superfície na altura indicada, poderá imaginar o gráfico da função colocando as duas informações juntas. A superfície será mais inclinada onde as curvas de nível estiverem mais próximas uma das outras. Ela é mais ou menos plana onde as curvas de nível estão distantes uma das outras.
Exemplos:
Esboce o gráfico das curvas de nível da função 
 para os valores 
Esboce o gráfico das curvas de nível da função 
.
Esboce algumas curvas de nível da função 
.
A figura abaixo mostra algumas curvas de nível geradas por computador juntamente com os gráficos correspondentes.
	As curvas de nível são utilizadas para a elaboração de MAPAS TOPOGRÁFICOS e MAPAS DE CONTORNO. Por exemplo, suponhamos que 
 represente a elevação (em metros) em um ponto 
 de latitude x e longitude y. Na colina da figura esboçamos (em três dimensões) correspondentes às elevações de 0, 100, 200, 300 e 400 metros. Podemos encarar essas curvas como tendo sido obtidas cortando-se a colina em fatias paralelas à base. Uma pessoa caminhando ao longo de uma dessas curvas permaneceria sempre na mesma elevação. Já a outra figura exibe as curvas de nível (bidimensionais) correspondentes às mesmas elevações. Elas representam a visão que teríamos olhando para a colina de um avião acima dela.
	Mapa análogo é utilizado para indicar a profundidade da água em um lago. Um exemplo é o da figura abaixo, em que 
 é a profundidade da água no ponto 
. Esse mapa informa as partes do lago que devem ser evitadas por esquiadores aquáticos.
	Como outra ilustração das curvas de nível, a figura a seguir exibe um mapa meteorológico dos Estados Unidos, em que 
 denota a temperatura elevada em 
 durante certo dia. Ao longo das curvas e do nível, chamadas curvas isotérmicas, a temperatura é constante. Em outro mapa meteorológico 
 representaria a pressão barométrica em 
; as curvas de nível neste caso seriam chamadas isobáricas.
Se f é uma função de três variáveis x, y e z, então, por definição, as superfícies de nível de f são os gráficos de 
 para valores convenientes de k. Fazendo 
, os gráficos resultantes serão superfícies 
, ilustradas na figura. A função 
 não se altera quando um ponto 
 se move ao longo de uma dessas superfícies. Se 
 é a temperatura em 
, as superfícies de nível são superfícies isotérmicas, e a temperatura é constante em cada superfície. Se 
 representa o potencial elétrico, as superfícies de nível são superfícies equipotenciais, e a voltagem não se altera se 
 permanece em uma dessas superfícies.
Exemplo: Determine as curvas de superfície da função 
.
Derivadas Parciais
	Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais são as funções 
 e 
 definidas por 
.
Notações para Derivadas Parciais: Se 
, escrevemos:
.
Regra para determinar a derivada parcial de 
:
Para achar 
, olhe y como uma constante e diferencie 
 com relação a x.
Para achar 
, olhe x como uma constante e diferencie 
 com relação a y.
Exemplo: Se 
, determine 
 e 
.
Para dar uma interpretação geométrica para as derivadas parciais, lembremos que a equação 
 representa a superfície S (o gráfico de f). Se 
, então o ponto 
 pertence a S. Fixando 
, restringimos a nossa atenção à curva 
 na qual o plano vertical 
 intercepta S. Da mesma forma, o plano vertical 
 intercepta S na curva 
. As curvas 
 e 
 passam pelo ponto P.
As derivadas parciais 
 e 
 podem ser interpretadas geometricamente como as inclinações das retas tangentes em 
 aos traços 
 e 
 de S nos planos 
e 
.
	Se 
, então 
 representa a taxa de variação de z com relação a x quando y é mantido fixo. Da mesma forma, 
 representa a taxa de variação de z em relação a y quando x é mantido fixo.
Exemplos:
Se 
, ache 
 e 
 e interprete esses números como inclinações.
Se 
, calcule 
 e 
.
Determine 
 e 
 se z é definido implicitamente como uma função de x e y pela equação 
.
Função de mais do que duas variáveis:
	Derivadas parciais podem ser definidas para funções de três ou mais variáveis.
.
	Se u é uma função de n variáveis, 
, sua derivada parcial em relação a sua i-ésima variável é: 
 e podemos escrever 
.
Exemplo: Determine 
 se 
.
Derivadas de maior ordem: Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais 
 e 
 são funções de duas variáveis, de modo que podemos considerar novamente suas derivadas parciais 
, chamadas derivadas parciais de segunda ordem de f. Se 
 temos as seguintes notações:
Portanto a notação
 significa que primeiro derivamos com relação a x e depois em relação a y, ao passo que no cálculo de 
 ordem é invertida.
Exemplo: Determine as derivadas parciais de segundaordem de 
.
As derivadas parciais mistas 
 são iguais para a maioria das funções que encontramos na prática. (Teorema de Clairaut: se as funções 
 forem ambas contínuas em D, então 
).
As derivadas parciais de ordem três ou maior também podem ser definidas. Por exemplo, 
 e usando o Teorema de Clairaut podemos mostrar que 
 se essas funções forem contínuas.
Exemplo: Calcule 
 se 
.
Equações Diferenciais Parciais:
Derivadas parciais ocorrem em equações diferenciais parciais que exprimem algumas leis físicas. Por exemplo, a equação diferencial parcial 
é chamada equação de Laplace em homenagem a Pierre Laplace. Soluções dessa equação são chamadas funções harmônicas e são muito importantes no estudo de condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico.
Exemplo: Mostre que a função 
é solução da equação de Laplace.
A equação da onda 
 descreve o movimento de uma onda, que pode ser uma onda domar, uma onda de som, uma onda luminosa ou uma onda se movendo numa corda vibrante. Por exemplo, se 
 representa o deslocamento da corda de violino no instante t e a distância x de um dos términos da corda vibrante, então 
 satisfaz a equação da onda. A constante a depende da densidade da corda e da tensão aplicada na corda.
Exemplo: Verifique que a função 
 satisfaz a equação da onda.
Regra da Cadeia
1º caso: Suponha que 
 seja uma função diferenciável de x e y, onde 
 e 
 são funções diferenciáveis em t. Então z é uma função diferenciável de t e 
.
Exemplos:
Se 
, onde 
 e 
, determine 
 quando t = 0.
A pressão P (em quilopascals), o volume V (em litros) e a temperatura T (em Kelvins) de um mol de um gás ideal estão relacionados por meio da fórmula 
. Determine a taxa de variação da pressão quando a temperatura é de 300 K e está aumentando com taxa de variação de 0,1K/s e o volume é de 100 l e está aumentando com a taxa de 0,2 l/s.
2° caso: Suponha que 
 seja uma função diferenciável de x e y, onde 
 e 
 são funções diferenciáveis em t. Então z é uma função diferenciável de s e de t. Então.
.
Exemplo: Se 
, onde 
 
, determine 
.
Versão Geral: Suponha que u seja uma função diferenciável de n variáveis 
, onde cada 
 é uma função diferenciável de m variáveis 
 e 
 para cada i = 1, 2,..., m.
Exemplos:
Escreva a regra da cadeia para o caso onde 
.
Se 
, onde 
, determine o valor de 
 quando r = 2, s = 1, t = 0.
Se z=f(x, y) tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas e 
 determine:
a) 
b) 
Diferenciação Implícita
Teorema da Função Implícita:
Exemplo: Determine y’ se 
.
Teorema da Função Implícita:
 e 
Exemplo: Determine 
 se 
.
Lista de Exercícios – Funções de Várias Variáveis
Determine e faça o esboço do domínio da função.
Seja 
. Determine:
�
�
Determine 
se 
.
Sejam 
. Determine 
.
5) Determine 
se 
.
Lista de Exercícios – Derivadas Parciais
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
�
1. 
 
2. 
 3. 
	4. 
	5. 
	6. 
	7. 
	8. 
	9. 
	10. 
	11. 
	12. 
	13. 
	14. 
	15. 
	�
Determine as derivadas parciais indicadas.
a) 
b) 
Use a definição de derivadas parciais como limites para achar 
.
�
a) 
b) 
�
Use diferenciação implícita para determinar 
.
�
a) 
b) 
c) 
d) 
�
Determine as derivadas parciais de segunda ordem:
�
a) 
b) 
c) 
d) 
�
Verifique se as conclusões do Teorema de Clairaut são verdadeiras, isto é, se
.
a) 
b) 
Determine as derivadas parciais indicadas:
Verifique se a função 
 é solução da equação de condução do calor 
.
Verifique se a função 
é solução da equação de Laplace 
.
Mostre que a função 
 é uma solução da equação 
A resistência total R produzida por três condutores com resistência 
 conectados em paralelo num circuito elétrico é dada pela fórmula 
. Determine 
.
 A lei dos gases para uma massa m de um gás ideal à temperatura absoluta T, pressão P e volume V é PV=mRT, onde R é a constante do gás. Mostre que 
 A energia cinética de um corpo com massa m e velocidade v é 
. Mostre que 
.
 A temperatura em um ponto (x, y) de uma placa de metal é dada por 
, onde T é medido em °C e x, y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura com relação à distância no ponto (2,1) em 
a direção do eixo x;
a direção do eixo y.
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