Dimnesionamento de Eestrutura ISELversao provisoria 08 06 2012

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ISEL
 
 
INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA 
 
ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
Mestrado em Engenharia Civil 
 
 
 
 
Dinâmica de Estruturas 
 
 
 
Prof. Paulo Mendes 
 
 
 
 
ISEL, Abril de 2012 
 
 
 
 
ii 
 
 
 
 
 
Resumo 
… 
 
 
iv 
 
 
 
v 
 
Abstract 
… 
 
 
 
vi 
 
 
 
 
i 
 
 
Índice 
 
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO À DINÂMICA DE ESTRUTURAS 
Introdução à dinâmica de estruturas
 ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 1 
1.1 Enquadramento geral..................................................................................................................... 1 
1.1.1 Breve apontamento sobre a história da dinâmica estrutural ................................................................ 3 
1.1.2 Porquê estudar dinâmica de estruturas? .............................................................................................. 5 
1.2 Objectivos ...................................................................................................................................... 8 
1.3 Conteúdos programáticos .............................................................................................................. 9 
1.3.1 Programa e conteúdos ......................................................................................................................... 9 
1.3.2 Conteúdos por capítulos ..................................................................................................................... 10 
1.4 Conceitos iniciais ......................................................................................................................... 12 
1.4.1 Tipos de análise .................................................................................................................................. 13 
1.4.2 Modelos de análise .............................................................................................................................. 13 
1.4.3 Abordagem para o estudo da dinâmica de estruturas ......................................................................... 16 
1.4.4 Qual a diferença entre estática e dinâmica ......................................................................................... 17 
 
CAPÍTULO 2 – SISTEMAS DE UM GRAU DE LIBERDADE (1 G.L.) 
Sistemas de um grau de liberdade (1 G.L.)
 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 19 
2.1 Caracterização de um sistema com 1 G.L. .................................................................................. 19 
2.1.1 Forças de equilíbrio dinâmico ............................................................................................................. 20 
2.1.2 Formulação das equações do movimento ............................................................................................ 22 
2.2 Associação de corpos em sistemas de 1 G.L. generalizado .......................................................... 23 
2.2.1 Sistemas com deformação elástica concentrada em elementos de mola ............................................... 23 
2.2.2 Sistemas com elasticidade distribuída ................................................................................................. 24 
2.3 Exemplo de um oscilador de 1 G.L.............................................................................................. 24 
2.4 Tipos de análises .......................................................................................................................... 25 
 
CAPÍTULO 3 – VIBRAÇÕES LIVRE DE SISTEMAS COM 1 G.L. 
Vibrações livres de sistemas com 1 G.L.
 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 27 
3.1 Vibrações livres sem amortecimento ........................................................................................... 27 
3.1.1 Análise na forma complexa ................................................................................................................. 30 
3.1.2 Exercícios............................................................................................................................................ 30 
3.2 Vibrações livres com amortecimento ........................................................................................... 34 
3.2.1 Análise (do movimento sub amortecido) na forma complexa.............................................................. 38 
3.2.2 Forma alternativa para a equação diferencial ..................................................................................... 38 
3.2.3 Determinação do coeficiente de amortecimento .................................................................................. 39 
3.2.4 Ensaio de vibração livre ...................................................................................................................... 40 
3.2.5 Energia na vibração livre .................................................................................................................... 41 
3.2.6 Exercícios............................................................................................................................................ 41 
 
 
 
ii 
 
CAPÍTULO 4 – RESPOSTA DE UM SISTEMA DE 1 G.L. A EXCITAÇÕES HARMÓNICAS E PERIÓDICAS 
Resposta de um sistema de 1 G.L. a excitações harmónicas e periódicas
 ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................43 
4.1 Considerações iniciais ................................................................................................................... 43 
4.2 Sistema não amortecido ............................................................................................................... 44 
4.2.1 Exercícios ........................................................................................................................................... 49 
4.3 Sistema com amortecimento ........................................................................................................ 50 
4.3.1 Factores de amplificação da resposta dinâmica .................................................................................. 54 
4.3.2 Resposta em ressonância e frequências de ressonância ....................................................................... 56 
4.3.3 Cálculo do amortecimento em sistemas de 1 G.L. (método da meia potência) ................................... 57 
4.3.4 Exercícios ........................................................................................................................................... 58 
4.4 Ensaios de vibração forçada ......................................................................................................... 59 
4.4.1 Avaliação experimental das frequências naturais e do amortecimento ............................................... 60 
4.5 Transmissão de força e isolamento de vibração ........................................................................... 60 
4.5.1 Resposta a movimentos harmónicos da base de fundação .................................................................. 62 
4.5.2 Instrumentos de medição de vibrações ............................................................................................... 64 
4.5.3 Exercícios ........................................................................................................................................... 64 
4.6 Resposta a excitações periódicas.................................................................................................. 66 
4.6.1 Representação das séries de Fourier ................................................................................................... 66 
4.6.2 Resposta a forças periódicas ............................................................................................................... 67 
4.6.3 Exercícios ........................................................................................................................................... 69 
 
CAPÍTULO 5 – RESPOSTA DE UM SISTEMA COM 1 G.L. A UMA ACÇÃO DINÂMICA QUALQUER 
Resposta de um sistema com 1 G.L. a uma acção dinâmica qualquer
 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 71 
5.1 Considerações iniciais ................................................................................................................... 71 
5.2 Conceito de impulso unitário ....................................................................................................... 72 
5.2.1 Resposta a uma força impulsiva ......................................................................................................... 74 
5.2.2 Resposta dinâmica a uma sequência de forças impulsivas .................................................................. 75 
5.3 Resposta a uma acção dinâmica qualquer. Integral de Duhamel ................................................ 76 
5.3.1 Cálculo numérico do integral de Duhamel pelo método dos trapézios ................................................ 77 
5.3.2 Alguns exemplos de aplicação ............................................................................................................ 78 
5.3.3 Exercícios ........................................................................................................................................... 81 
5.4 Cálculo numérico da resposta dinâmica ....................................................................................... 81 
5.4.1 Exercícios ........................................................................................................................................... 86 
 
CAPÍTULO 6 – ANÁLISE DA RESPOSTA NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA 
Análise da resposta no domínio da frequência
 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 87 
6.1 Considerações iniciais ................................................................................................................... 87 
6.2 Da série de Fourier à transformada de Fourier........................................................................... 88 
6.3 Análise da resposta dinâmica no domínio da frequência ............................................................. 92 
6.3.1 Cálculo da transformada discreta de Fourier através de módulos computacionais ............................. 95 
6.3.2 Exercícios ........................................................................................................................................... 97 
6.4 Aplicação das séries de Fourier na análise de resultados experimentais ..................................... 97 
6.4.1 Exercícios ........................................................................................................................................... 99 
 
 
iii 
 
CAPÍTULO 7 – RESPOSTA DE UM SISTEMA COM 1 G.L. A UMA ACÇÃO SÍSMICA 
Resposta de um sistema com 1 G.L. a uma acção sísmica
 .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 101 
7.1 Introdução ................................................................................................................................. 101 
7.2 Excitação sísmica .......................................................................................................................101 
7.2.1 Equação do movimento .................................................................................................................... 104 
7.3 Análise da resposta estrutural a eventos sísmicos ..................................................................... 105 
7.4 Conceito de espectro da resposta .............................................................................................. 108 
7.4.1 Espectro da resposta em deslocamentos, pseudo-velocidades e pseudo-acelerações ........................... 109 
7.4.2 Espectros de projecto ........................................................................................................................ 111 
 
CAPÍTULO 8 – OSCILADOR GENERALIZADO COM UM GRAU DE LIBERDADE 
Oscilador generalizado com um grau de liberdade
 .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 114 
8.1 Sistemas generalizados com um grau de liberdade .................................................................... 114 
8.2 Associação de corpos rígidos ...................................................................................................... 116 
8.2.1 Exemplo de aplicação ....................................................................................................................... 116 
8.2.2 Exercícios.......................................................................................................................................... 117 
8.3 Sistemas com rigidez e massa distribuída .................................................................................. 118 
8.3.1 Função de forma ............................................................................................................................... 119 
8.3.2 Equação do movimento .................................................................................................................... 120 
8.3.3 Exercícios.......................................................................................................................................... 122 
8.4 Sistemas com rigidez distribuída e massa concentrada ............................................................. 124 
8.4.1 Vector da função de forma ............................................................................................................... 124 
8.4.2 Equação do movimento .................................................................................................................... 125 
8.4.3 Análise da resposta ........................................................................................................................... 126 
8.4.4 Exercícios.......................................................................................................................................... 127 
8.5 Método de Rayleigh ................................................................................................................... 128 
8.5.1 Sistemas com massa e rigidez concentradas ...................................................................................... 128 
8.5.2 Sistemas com massa e rigidez distribuídas ........................................................................................ 130 
8.5.3 Sistemas com massas concentradas ................................................................................................... 131 
8.5.4 Coeficiente de Rayleigh .................................................................................................................... 132 
8.5.5 Selecção da função de forma ............................................................................................................. 133 
8.5.6 Exercícios.......................................................................................................................................... 135 
8.6 Forças de inércia de corpos rígidos............................................................................................ 136 
 
CAPÍTULO 9 – ANÁLISE DE SISTEMAS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE 
Análise de sistemas com Vários Graus de Liberdade
 .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 137 
9.1 Introdução ................................................................................................................................. 137 
9.2 Estabelecimento do equilíbrio dinâmico de sistemas com N G.L. ............................................. 138 
9.2.1 Matriz de massa ............................................................................................................................... 139 
9.2.2 Matriz de rigidez .............................................................................................................................. 141 
9.2.3 Matriz de amortecimento .................................................................................................................. 141 
9.2.4 Equação de equilíbrio dinâmico ........................................................................................................ 142 
9.3 Análise do movimento em vibração livre .................................................................................. 142 
9.3.1 Sistemas estruturais sem amortecimento .......................................................................................... 143 
 
iv 
 
9.3.2 Determinação de frequências e modos naturais de vibração ............................................................. 143 
9.3.3 Ortogonalidade dos modos de vibração ............................................................................................ 147 
9.3.4 Normalização dos modos de vibração ............................................................................................... 147 
9.3.5 Exercícios ......................................................................................................................................... 149 
9.3.6 Representação em coordenadas modais ............................................................................................ 150 
9.4 Vibração com amortecimento e forças aplicadas ....................................................................... 152 
9.5 Análise da resposta dinâmica no domínio do tempo .................................................................. 154 
9.5.1 Resposta a uma aceleração na base .................................................................................................. 154 
9.6 Análise da resposta dinâmica no domínio da frequência ...........................................................156 
9.6.1 Excitação determinística. Funções de resposta em frequência .......................................................... 156 
9.7 Excitação estocástica. ................................................................................................................. 158 
9.7.1 Conceitos de estatística e processos estocásticos .............................................................................. 159 
9.7.2 Funções de densidade espectral da resposta ..................................................................................... 163 
9.8 Aplicação à análise de resultados experimentais ....................................................................... 166 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
 
 
v 
 
 
 
 
vi 
 
Simbologia 
 
Latinas maiúsculas 
 
 
 
 
 
Latinas minúsculas 
 
c Constante de amortecimento 
f(t) História de uma força 
k Constante de rigidez 
m Massa de um corpo (estrutura) 
u(t) História de deslocamentos 
 
 
Gregas maiúsculas 
 
 
 
 
 
Gregas minúsculas 
 
 
 
 
 
Abreviaturas (siglas) 
 
 
 
 
 
vii 
 
 
 
 
1 
 
 
1 
 INTRODUÇÃO À DINÂMICA DE ESTRUTURAS 
 
 
 
 
1.1 Enquadramento geral 
As estruturas de engenharia civil são solicitadas por diversos tipos de acções, que podem 
introduzir comportamentos caracterizados por respostas estáticas e/ou dinâmicas. As acções que 
originam respostas estáticas, permanecem constantes ao longo do tempo (ex. acções gravíticas, 
como o peso próprio e cargas permanentes), enquanto as acções que provocam respostas 
dinâmicas variam, durante intervalos de tempo relativamente longos (ex. vento, tráfego 
rodoviário) ou por pequenos instantes de tempo (ex. sismos, explosões). 
Na realidade, todas as acções têm carácter dinâmico, uma vez que variam de grandeza, direcção 
ou sentido com o tempo, mas, de facto, em muitos casos o efeito dinâmico da acção pode ser 
desprezado. Todavia, há domínios da engenharia civil em que a consideração dos efeitos 
dinâmicos das acções é fundamental, nomeadamente em: estruturas situadas em zonas de risco 
sísmico; estruturas esbeltas sujeitas à acção do vento; estruturas que suportam equipamentos 
que provoquem vibrações; estruturas de grande risco potencial, mesmo em zonas de baixo risco 
sísmico, como são o caso dos grandes edifícios, das pontes de grande vão, das grandes barragens 
e das estruturas off-shore, sempre sujeitas a acções que induzem importantes efeitos dinâmicos. 
Durante muito tempo, o dimensionamento das estruturas de engenharia civil, bem como o 
acompanhamento do seu comportamento, ao longo da sua vida útil, foi efectuado recorrendo 
 
2 
 
apenas a análises estáticas. Este facto, deveu-se essencialmente à inexistência ou, à fraca 
capacidade computacional para resolver os algoritmos de análise dinâmica, bastante mais 
laboriosos e complexos que os da análise estática. Presentemente, para além de possível é mesmo 
necessário recorrer à análise dinâmica na realização de projectos correntes, obtendo-se, desta 
maneira, soluções mais realistas e económicas, enquanto no acompanhamento da evolução do 
comportamento estrutural, a análise dinâmica é fundamental para caracterizar 
convenientemente alguns dos fenómenos que originam as acções dinâmicas. 
Em termos académicos, a disciplina de dinâmica de estruturas é um dos últimos elos da cadeia 
de disciplinas da área das estruturas (Mecânica Aplicada, Mecânica dos Sólidos, Estruturas, 
Observação e Comportamento de Obras, Dinâmica das Estruturas, Engenharia Sísmica), trata-
se de uma disciplina abrangente na qual se abordam muitos dos conhecimentos apreendidos nas 
outras disciplinas da área das estruturas, generalizando-os mediante a incorporação da variável 
tempo. Por outro lado, a aprendizagem dos conceitos associados à dinâmica de estruturas 
apresenta aspectos de grande valor formativo, pois implica um olhar sobre a realidade física 
substancialmente diferente do que é inerente à compreensão dos fenómenos em regime estático. 
 
 
Figura 1.1 Esquema representativo da caracterização do comportamento dinâmico de uma estrutura. 
 
u (t)
t
u (t)
t
u (t)
t
Acção harmónica
(conhecida / desconhecida)
t0
f (t)
t0
f (t)
f
τ
Acção sísmica
(desconhecida)
Acção do tipo ruído ambiente
(desconhecida)
Acção do vento
(desconhecida)
Acção impulsiva
(conhecida / desconhecida)
f (t) = - m.u (t)
..
b
u (t) - aceleração da base de fundação
..
b
m u(t) + c u(t) + k u(t) = f(t)
Propriedades estruturais:
rigidez - k
massa - m
amortecimento - c
Características modais:
frequências naturais - f i
configurações modais - φφφφi
amortecimentos modais - ξi
Solicitações
Resposta estrutural
.. .
Equação do movimento
_ ~ _ ~ _ ~ ~
t0
f (t)
t0
f (t)
t0
f (t)
 
 
1.1.1 Breve apontamento sobre
A dinâmica estrutural é uma área do conhecimento transversal aos diversos campos d
engenharia dos tempos modernos, tendo evoluído a partir de disciplinas do campo da 
matemática aplicada, mecânica teórica e física experimental, apresentando por isso uma história 
complexa e diversificada dado que decorre de diversas fontes e sofreu influ
áreas do conhecimento. 
A sua origem, como disciplina de estudo, é apontada aos tempos de Galileu Galilei 
sendo nessa altura considerada como um ramo da filosofia natural (também conhecida por física 
associada aos fenómenos naturais), que se designava por dinâmica aplicada.
considera-se que o início da história da dinâmica remonta aos tempos de Aristóteles 
A.C.), que meditou sobre duas questões fundamentais, debatidas previamente por 
(século V A.C.) e Heráclito (c.550
2006). 
Embora o primeiro passo tenha sido dado por 
por outros filósofos e pensadores, que lhe seguiram, apenas após Galileu e sobretudo após 
Newton (1642-1727) se verificaram avanç
breve resumo dos principais autores e objetos que contribuíram 
estrutural (Clough & Penzien, 2003)
 
Figura 1.2 Principais autores e objetos
de 
Breve apontamento sobre a história da dinâmica estrutural 
A dinâmica estrutural é uma área do conhecimento transversal aos diversos campos d
engenharia dos tempos modernos, tendo evoluído a partir de disciplinas do campo da 
matemática aplicada, mecânica teórica e física experimental, apresentando por isso uma história 
complexa e diversificada dado que decorre de diversas fontes e sofreu influ
A sua origem, como disciplina de estudo, é apontada aos tempos de Galileu Galilei 
sendo nessa altura considerada como um ramo da filosofia natural (também conhecida por física 
naturais), que se designava por dinâmica aplicada.
se que o início da história da dinâmica remonta aos tempos de Aristóteles 
), que meditou sobre duas questões fundamentais, debatidas previamente por 
c.550-480 A.C.): a realidade e os mecanismos 
Embora o primeiro passo tenha sido dado por Aristóteles e vários contributos tenham sido dados 
filósofos e pensadores, que lhe seguiram, apenas após Galileu e sobretudo após 
1727) se verificaram avanços decisivos, apresentando-se em
breve resumo dos principais autores e objetos que contribuíram o desenvolvimento
(Clough & Penzien, 2003). 
 
e objetos que contribuíram para a evolução histórica da dinâmica estrutural
de (Becchi, Corradi, Foce, & Pedemonte, 2006)). 
3 
A dinâmica estrutural é uma área do conhecimento transversal aos diversos campos da 
engenharia dos tempos modernos, tendo evoluído a partir de disciplinas do campo da 
matemática aplicada, mecânica teórica e física experimental, apresentando por isso uma história 
complexa e diversificada dado que decorrede diversas fontes e sofreu influências de diferentes 
A sua origem, como disciplina de estudo, é apontada aos tempos de Galileu Galilei (1564-1642), 
sendo nessa altura considerada como um ramo da filosofia natural (também conhecida por física 
naturais), que se designava por dinâmica aplicada. No entanto, 
se que o início da história da dinâmica remonta aos tempos de Aristóteles (384-322 
), que meditou sobre duas questões fundamentais, debatidas previamente por Parmênides 
 da dinâmica (Corradi, 
Aristóteles e vários contributos tenham sido dados 
filósofos e pensadores, que lhe seguiram, apenas após Galileu e sobretudo após 
se em (Corradi, 2006) um 
desenvolvimento da dinâmica 
que contribuíram para a evolução histórica da dinâmica estrutural (adaptado 
 
4 
 
No domínio de aplicações da dinâmica estrutural em problemas de engenharia civil, salientam-se 
as contribuições dadas por H. Reissner na análise de treliças e pórticos publicadas em 1899 e 
1903, também F. Bleich deu algumas contribuições no seu tratado para o estudo de pontes 
ferroviárias (Bleich 1924, pp 41-77). Salientam-se também as contribuições de F. Jodi, G. Krall, 
A. Galli, que aplicaram as formulações da dinâmica a vários problemas prácticos, enquanto 
Guido Alfani (1876-1940) desenvolveu importantes estudos sobre as vibrações mecânicas em 
edifícios (Alfani 1909, 1910). Importa ainda referir que A. Sommerfeld, A. Hertwig e H. Lorenz 
estudaram o problema da acção dinâmica em solos elásticos (Love 1911, Krall 1940). 
Todavia, em engenharia civil, os grandes contributos para o desenvolvimento da dinâmica 
estrutural foram muito motivados pela necessidade de compreender o comportamento das 
construções em relação à acção sísmica, que como é do conhecimento geral, a ocorrência deste 
tipo eventos tem, desde sempre, causado variados danos em estruturas de edifícios, pontes, 
barragens, monumentos históricos, etc. 
Por outro lado, a construção de estruturas cada vez com maiores dimensões e de grande 
esbelteza também impulsionou a necessidade de conhecer melhor o comportamento dinâmico das 
estruturas de engenharia civil, nem sempre pelas melhores razões, como é o caso bastante 
conhecido da ponte de Tacoma Narrows, ver Figura 1.3. 
 
 
a) b) 
Figura 1.3 Ponte Tacoma Narrows: a) Dia da abertura, 1 de Julho de 1940; b) Dia do colapso (associado à ocorrência 
de fenómenos de ressonância), 7 de Novembro de 1940. 
 
O exemplo apresentado na Figura 1.3 é um clássico neste domínio, essencialmente por ter 
contribuído decisivamente para a consciencialização dos engenheiros de estruturas em relação à 
necessidade de compreender adequadamente o comportamento dinâmico destas obras. 
 
 
 
 
5 
 
1.1.2 Porquê estudar dinâmica de estruturas? 
Como já foi referido anteriormente, na generalidade das estruturas de engenharia civil, a análise 
estática é suficiente para caracterizar e interpretar o seu comportamento estrutural, no entanto, 
a utilização de novos materiais de construção e a adopção de soluções estruturais inovadoras e 
cada vez mais arrojadas obriga a um melhor e maior conhecimento sobre o seu funcionamento 
estrutural, encontrando-se na dinâmica de estruturas ferramentas extremamente úteis para 
elaborar uma adequada caracterização do seu comportamento estrutural. 
A construção de edifícios cada vez mais altos (ver Figura 1.4), em que se têm batido 
consecutivamente recordes neste domínio, obriga a um adequado conhecimento sobre o seu 
comportamento dinâmico, nomeadamente em relação à acção do vento. 
 
 
Figura 1.4 Alguns dos edifícios com maior altura, construídos nos tempos mais recentes. 
 
No domínio das pontes também se têm batido sucessivamente, nos últimos anos, recordes ao 
nível dos máximos vãos, quer de pontes em tirantes, quer de pontes suspensas, obtendo-se obras 
surpreendentes, relativamente às quais é necessário prestar uma atenção especial em relação ao 
seu comportamento dinâmico, nomeadamente, em relação ao vento e a eventos sísmicos, 
apresentando-se na Figura 1.5 exemplos de pontes construídas com recurso a tirantes e na 
Figura 1.6 apresentam-se exemplos de pontes suspensas. 
 
 
6 
 
a) 
Figura 1.5 Pontes de tirantes: a) Ponte de Sutong, com um vão de 1088 metros, 
China desde 2008; b) Ponte Vasco da Gama, com um vão de 420 m, 
 
a) 
Figura 1.6 Pontes suspensas: a) Ponte de Akashi Kaikyo, com um vão central
Japão desde 1998; b) Ponte 25 de Abril
 
Também no domínio das barragens se têm construído obras exuberantes, 
Figura 1.7 exemplos de barragens abóbada, construídas em betão, que se evidenciam por serem 
as que atingem maiores alturas. Uma adequada caracterização do seu comportamento dinâmico 
é muito importante para as actividades de observação e para estudos sísmicos.
 
a) 
Figura 1.7 Barragens abóbada: a) Barragem
na República da China em 2012; b) Barragem do Cabril
 
b) 
onte de Sutong, com um vão de 1088 metros, em funcionamento
; b) Ponte Vasco da Gama, com um vão de 420 m, em funcionamento em Portugal 
 
b) 
Ponte de Akashi Kaikyo, com um vão central de 1991 metros, em funcionamento no 
25 de Abril, com um vão central de 1012 m, em funcionamento em Portugal desde
Também no domínio das barragens se têm construído obras exuberantes, 
exemplos de barragens abóbada, construídas em betão, que se evidenciam por serem 
res alturas. Uma adequada caracterização do seu comportamento dinâmico 
ito importante para as actividades de observação e para estudos sísmicos.
 
b) 
Barragem de Xiaowan, com uma altura de 294,5 metros, entrará em
Barragem do Cabril, com uma altura de 132 metros, em funcionamento em 
Portugal desde 1954. 
 
em funcionamento na República da 
em Portugal desde 1998. 
 
de 1991 metros, em funcionamento no 
m, em funcionamento em Portugal desde 1966. 
Também no domínio das barragens se têm construído obras exuberantes, apresentando-se na 
exemplos de barragens abóbada, construídas em betão, que se evidenciam por serem 
res alturas. Uma adequada caracterização do seu comportamento dinâmico 
ito importante para as actividades de observação e para estudos sísmicos. 
 
metros, entrará em funcionamento 
, em funcionamento em 
 
7 
 
A dinâmica de estruturas apresenta-se como uma disciplina que proporciona importantes 
ferramentas a utilizar no projecto de novas estruturas de engenharia civil, nomeadamente para 
evitar a ocorrência de fenómenos de ressonância, como os verificados no caso da ponte de 
Tacoma Narrows, que são perfeitamente ilustrados na Figura 1.8; para prevenir as situações de 
fadiga, especialmente em estruturas metálicas sujeitas a acções cíclicas; bem como para 
assegurar condições de conforto aos utentes destas estruturas. 
 
 
a) b) 
Figura 1.8 Fenómenos de ressonância na ponte de Tacoma Narrows: a) vista do tabuleiro central; b) vista ao nível do 
tabuleiro. 
 
Por outro lado, a dinâmica de estruturas também proporciona ferramentas muito interessantes 
para efectuar um adequado diagnóstico estrutural sobre o comportamento (“saúde”)1 de 
estruturas de engenharia civil, apresentando-se na Figura 1.9 um esquema ilustrativo da 
monitorização do comportamento estrutural dinâmico de uma ponte ferroviária. 
 
 
Figura 1.9 Esquema de monitorização do comportamento estrutural dinâmico de uma ponte ferroviária. 
 
1 O termo - “saúde estrutural” - é muito utilizado na literatura inglesa (“structural health”), pelo que se 
impõe esta referência, embora a tradução possa não ser a mais adequada! 
 
8 
 
Finalmente, uma das principais aplicações da dinâmica de estruturas está relacionada com o 
desenvolvimento de ferramentasque permitem aferir/avaliar o comportamento das construções 
perante diversos cenários associados à ocorrência de eventos sísmicos. A necessidade de 
continuar a desenvolver ferramentas deste tipo está patente na Figura 1.10. 
 
a) b) 
Figura 1.10 Efeitos da acção sísmica sobre edifícios: a) Sismo de L´Aquila (2009); b) Sismo de Sichuan (2008). 
1.2 Objectivos 
Para esta disciplina estabelecem-se como principais objectivos a apresentação dos fundamentos 
que regem o comportamento dinâmico das estruturas e a discussão dos métodos utilizados na 
determinação da resposta estrutural a acções dinâmicas. 
Consideram-se como objectivos parcelares, o estudo detalhado do comportamento de sistemas de 
um grau de liberdade (1GL), no qual se inclui o estabelecimento da equação de equilíbrio 
dinâmico, a análise das suas características e os métodos de resolução para diferentes hipóteses 
de solicitação. 
Outro objectivo parcelar é a generalização para o caso de sistemas com vários graus de 
liberdade, que é realizada expressando-se o sistema de equações de equilíbrio dinâmico no espaço 
modal, permitindo deste modo a utilização de ferramentas desenvolvidas para sistemas de um 
grau de liberdade. 
Será dedicada especial atenção à análise do comportamento dinâmico de estruturas quando 
solicitadas pela acção sísmica, uma vez que se trata da acção dinâmica mais frequentemente 
envolvida no dimensionamento de estruturas, apresentando-se os princípios expressos no 
Regulamento de Segurança e Acções para Estruturas de Edifícios e Pontes e o Eurocódigo 8. 
Assim, com esta disciplina espera-se dotar os alunos de um conjunto de conhecimento que os 
habilitem a entender o comportamento dinâmico das estruturas, a determinar os esforços 
devidos a acções com carácter dinâmico e a conceber sistemas estruturais eficientes e 
económicos. 
 
9 
 
1.3 Conteúdos programáticos 
Sendo a Dinâmica de Estruturas um dos últimos elos da cadeia de disciplinas da área das 
estruturas a sua organização apoia-se, necessariamente, num conjunto de conhecimentos 
anteriormente transmitidos, sobretudo nas disciplinas de Mecânica, Resistência de Materiais e 
Teoria de Estruturas. O desenvolvimento dos conceitos é efectuado de forma gradual e 
encadeada, desde o estabelecimento da equação de equilíbrio dinâmico, para sistemas com uma 
só incógnita, até à discussão de alguns aspectos práticos inerentes ao projecto de estruturas de 
edifícios. Pretende-se, deste modo, transmitir um conjunto de conhecimentos teóricos e práticos 
com uma estrutura coerente e lógica. 
 
1.3.1 Programa e conteúdos 
O programa encontra-se dividido em três partes: a primeira é dedicada à introdução dos 
conceitos sobre o comportamento dinâmico em sistemas com um grau de liberdade; a segunda 
corresponde à generalização dos sistemas com N graus de liberdade; e a terceira, com carácter 
mais prático, voltada para a análise dinâmica de estruturas de edifícios e pontes. 
Na primeira parte caracterizam-se os sistemas com um grau de liberdade, formulam-se as 
equações de equilíbrio dinâmico, para diversos sistemas estruturais, e apresentam-se os métodos 
de resolução da equação diferencial de equilíbrio para os diversos tipos de carga. Estudando-se 
os casos associados a movimento livre e forçado e discutindo-se o significado e a importância dos 
parâmetros envolvidos. 
Nesta primeira parte evidencia-se a importância dos sistemas de um grau de liberdade para a 
compreensão do comportamento dinâmico das estruturas e para a abordagem a sistemas com 
vários graus de liberdade. 
Na segunda parte abordam-se os sistemas com N graus de liberdade quem envolvem a sua 
caracterização, modelação matemática e respectiva resolução. A situação de vibração livre 
merece um destaque especial, permitindo a introdução dos conceitos de frequências e modos de 
vibração e respectivas propriedades, que estão na base dos procedimentos mais utilizados na 
obtenção da resposta de sistemas estruturais lineares a acções dinâmicas. Neste contexto é 
apresentado o método da sobreposição modal e a sua aplicação na determinação dos efeitos da 
acção dos sismos. 
 
10 
 
Nas duas primeiras partes, à medida que se introduzem os vários tópicos, são apresentados 
diversos exemplos, baseados em estruturas do tipo pórtico plano, com o objectivo de ilustrar e 
ajudar a compreender os conceitos fundamentais. 
Na terceira parte abordam-se aspectos com carácter mais prático com incidência no 
comportamento tridimensional de edifícios sujeitos à acção sísmica. São introduzidos os aspectos 
relativos à acção sísmica contidos na regulamentação portuguesa e europeia, o EC8, e discutidos 
os seus fundamentos. Tendo as acções dinâmicas mais correntes, sismos e ventos, 
predominantemente a direcção horizontal, são apresentadas metodologias para a sua distribuição 
pelos elementos estruturais constituintes dos edifícios e discutidas as suas hipóteses e campos de 
aplicação. 
O curso termina com a abordagem de alguns aspectos especiais da modelação estrutural, 
especialmente relevantes para a análise da resposta estrutural a acções dinâmicas, 
nomeadamente as que têm direcção horizontal. 
1.3.2 Conteúdos por capítulos 
Neste ponto apresenta-se uma descrição pormenorizada da arrumação das matérias contidas na 
disciplina de Dinâmica de Estruturas, em correspondência com os capítulos em que o programa 
se encontra organizado. 
O Capítulo 1 é um capítulo de introdução, no qual se apresenta o enquadramento da disciplina, 
os objectivos, a forma como os conteúdos programáticos estão organizados, os conceitos iniciais 
associados à dinâmica de estruturas e as metodologias a adoptar na formulação das equações do 
movimento. 
No Capítulo 2 procede-se ao estabelecimento da equação de equilíbrio para sistemas com um 
grau de liberdade, apresentam-se os métodos gerais para a sua formulação e mostram-se 
aplicações a diversos tipos de sistemas estruturais. Após a definição da equação de equilíbrio 
abordam-se os métodos utilizados na sua resolução e estudam-se os parâmetros envolvidos nas 
soluções obtidas. 
O Capítulo 3 é dedicado à análise do movimento em vibração livre, trata-se de um tema simples 
que permite extrair ensinamento de grande valia para a compreensão dos problemas de análise 
dinâmica para além de servir de base ao estudo de sistemas mais complexos (com vários graus 
de liberdade). Neste capítulo são introduzidos os conceitos de frequência de vibração e de 
coeficiente de amortecimento, que se obtêm a partir da resposta em movimento livre, discutindo-
se as situações associadas a diferentes valores de amortecimento. 
 
11 
 
No Capítulo 4 determina-se a resposta de sistemas de 1 GL a cargas harmónicas, evidenciando-
se as características associadas à parcela estacionária da resposta, nomeadamente a relação entre 
o coeficiente de amplificação dinâmica e a razão entre as frequências da acção e da estrutura. 
Este tipo de carga é também utilizado para ilustrar as situações em que pode ocorrer o 
fenómeno de ressonância. 
O Capítulo 5 aborda a determinação da resposta estrutural para uma acção dinâmica qualquer. 
Com esse objectivo começa-se por estudar a resposta a impulsos unitários e procede-se à 
dedução do integral de convolução, também conhecido por integral de Duhamel. Trata-se da 
metodologia vulgarmente utilizada para determinar a resposta estrutural a acções com variação 
arbitrária, usualmente com leis de variação complexa, ou de difícil tradução analítica, como é 
por exemplo o caso da acção sísmica. 
No Capítulo 6 apresenta-se uma outra via para obter a resposta estrutural para qualquer tipo de 
acção, utilizando-se para o efeito o desenvolvimento em séries de Fourier de uma forçaperiódica 
e a correspondente generalização para o caso geral de forças não periódicas. Neste capítulo 
procede-se ainda à introdução das metodologias de análise da resposta no domínio da frequência, 
expondo-se o seu interesse e complementaridade em relação às análises no domínio do tempo. 
Também se introduz a utilização do conceito de série de Fourier para a avaliação experimental 
do comportamento dinâmico de estruturas. 
O Capítulo 7 termina a abordagem a sistemas de 1 G.L. com a introdução da acção sísmica. 
Após uma breve referência à sismologia, estabelece-se a equação de equilíbrio dinâmico devida a 
movimento da base de fundação e, recorrendo à sua resolução, apresenta-se o conceito de 
espectro de resposta e a sua utilização na determinação do efeito da acção dos sismos. 
No capítulo 8 inicia-se a segunda parte da matéria que é dedicada aos sistemas estruturais com 
vários graus de liberdade. Em primeiro lugar introduzem-se os aspectos referentes à sua 
modelação matemática, seguindo-se uma revisão sobre o conceito de matriz de rigidez e 
introdução dos conceitos de matriz de massa e de amortecimento, prosseguindo com o 
estabelecimento do sistema de equações de equilíbrio dinâmico. Em segundo lugar, tal como nos 
sistemas de um grau de liberdade, analisa-se a resposta em movimento de vibração livre que 
permite introduzir os conceitos de frequências e modos de vibração, essenciais no contexto da 
análise dinâmica. Analisam-se as suas características e apresentam-se as suas propriedades, 
nomeadamente as condições de ortogonalidade. Segue-se a abordagem a métodos que permitem 
a determinação das frequências e dos modos de vibração. Finalmente, procede-se à determinação 
da resposta dinâmica para uma acção dinâmica qualquer recorrendo ao método da sobreposição 
 
12 
 
modal, sendo para o efeito definidas as coordenadas modais e estabelecido o sistema de equações 
de equilíbrio no espaço modal, base para a obtenção de um sistema de equações desligadas. 
O Capítulo 9 começa por abordar a aplicação do método da sobreposição modal à determinação 
da resposta à acção sísmica através de espectros de resposta, prosseguindo-se, neste contexto, 
com a discussão sobre o número de modos de vibração a considerar na análise dinâmica e as 
regras de combinação das contribuições modais, combinação quadrática simples e completa. Este 
capítulo termina com uma breve abordagem a assuntos com maior aplicação prática, no âmbito 
da análise dinâmica de estruturas de edifícios e pontes, começando-se por fazer breves 
referências aos aspectos regulamentares da acção sísmica, designadamente os contidos no 
RSAEEP e Eurocódigo 8. 
1.4 Conceitos iniciais 
Em termos gerais, a análise dinâmica de estruturas difere da análise estática pois tem em 
consideração a variação no tempo das solicitações, bem como a existência de movimentos2 
(associados ao comportamento dinâmico das estruturas) que induzem forças de inércia devidas à 
aceleração (ver Figura 1.11). 
Face a estas importantes particularidades, convém introduzir alguns conceitos iniciais que são 
essenciais para o estudo da dinâmica de estruturas, assim, define-se: 
• Acção dinâmica, como uma acção que varia de grandeza, direcção, e ponto de aplicação 
com o tempo; 
• Resposta dinâmica, como a resposta à acção dinâmica, usualmente expressa em termos 
de deslocamentos, velocidades, acelerações e tensões, que obviamente também variam 
com o tempo. 
 
 
a) b) 
Figura 1.11 Comparação entre: a) acção estática e b) acção dinâmica. 
 
 
2 Os movimentos associados ao comportamento dinâmico das estruturas são usualmente designados por 
vibrações. 
f
f (t)
forças de inércia
 
13 
 
Neste enquadramento inicial é ainda importante introduzir os tipos de análises usualmente 
utilizados na dinâmica de estruturas, bem como os modelos de análise. 
1.4.1 Tipos de análise 
A análise dinâmica de estruturas depende do conhecimento, ou não, da lei de variação da acção 
dinâmica no tempo, subdividindo-se por esta razão em: 
• Análise determinística, quando a lei de variação da acção dinâmica no tempo é 
conhecida (ver Figura 1.12 a); e 
• Análise estocástica, quando a lei de variação da acção dinâmica no tempo não é 
completamente conhecida, mas pode ser definida em termos estatísticos (ver Figura 
1.12). 
 
 
a) b) 
Figura 1.12 Tipos de análise dinâmica de estruturas: a) representação de várias realizações determinísticas; 
b) representação de realizações de um campo estocástico. 
 
Usualmente a resposta estrutural a uma carga dinâmica é expressa em termos dos deslocamentos 
da estrutura. Numa análise determinística, a análise estrutural é efectuada analisando em 
primeiro lugar a história de deslocamentos, obtida para a história de carga considerada, 
enquanto a análise utilizando as outras grandezas, como são o caso das tensões, deformações, 
esforços, etc., apenas é concretizada numa segunda fase da análise. 
1.4.2 Modelos de análise 
Geralmente, recorre-se à análise dinâmica de estruturas para efectuar verificações de segurança 
em projectos de novas estruturas e no controlo de segurança de estruturas existentes. Nestas 
tarefas a análise do comportamento dinâmico das estruturas pode ser assegurada por via 
analítica e/ou por via experimental (ver Figura 1.13), sendo que em qualquer uma destas vias é 
necessário utilizar modelos matemáticos que sejam adequados para idealizar o comportamento 
t
u (t)
1
u (t)
2
u (t)
3
t
t
t1 t2
t
u (t)
1
u (t)
2
u (t)
3
t
t
t1 t2
 
14 
 
estrutural do sistema físico real, para além de incluírem todas as hipóteses simplificativas 
necessárias. 
 
 
a) b) 
Figura 1.13 Análise dinâmica de estruturas por via: a) analítica; b) experimental. 
 
Os modelos matemáticos podem ser contínuos ou discretos (ver Figura 1.14), nos modelos 
contínuos é possível caracterizar a totalidade da deformada das estruturas, enquanto nos 
modelos discretos apenas é possível caracterizar os valores da deformada para os pontos 
considerados na discretização da estrutura. 
 
 
a) b) 
Figura 1.14 Tipos de modelos matemáticos: a) contínuos; b) discretos. 
 
Na designada via analítica (Clough & Penzien, 2003) são utilizados modelos analíticos apenas 
em algumas circunstâncias muito específicas, isto é, apenas em alguns casos simples em que é 
possível descrever analiticamente o comportamento de uma estrutura, sendo que na generalidade 
dos casos utilizam-se modelos numéricos (ver Figura 1.15), dos quais os (Cunha, Caetano, 
Moutinho, Magalhães, & Hu, 2010) mais usuais são os de elementos finitos (Clough & Penzien, 
2003). 
m , k , c1 1 1
m , k , c
2 2 2
m , k , c
3 3 3
u (t)
1
u (t)
2
u (t)
3
f1, φ1, ξ1 f2, φ2, ξ2 f3, φ3, ξ3
ü (t)
t
t
t
ü (t)
ü (t)
1
2
3
f1, φ1, ξ1
f2, φ2, ξ2
f3, φ3, ξ3
DEP
f
u (x,t)
u (t) u (t) u (t)
u (t)
u (t)
1
2
3
4
5
 
15 
 
 
 
a) b) 
Figura 1.15 Modelo numérico 3D de um edifício: a) Vista 3D; b) vista de topo. 
 
Na via experimental, recorre-se a diversos tipos de ensaios (ver Figura 1.1) para medir as 
grandezas físicas de interesse para caracterizar o comportamento dinâmico das estruturas, 
usualmente medem-se histórias de acelerações (também designadas por séries temporais de 
aceleração), a partir das quais se extraem as grandezas que mais facilmente se correlacionam 
com o comportamento dinâmico das estruturas, tais como frequências naturais, modos de 
vibração e estimativas de coeficientes de amortecimento modal. 
 
 
a) 
 
b) 
 
 
c) 
Figura 1.16Ensaios dinâmicos in situ: a) equipamentos utilizados para impor acções impulsivas; b) excitadores 
utilizados em vibração forçada; c) vibração livre da ponte Vasco da Gama (Cunha, Caetano, Magalhães, & Moutinho, 
2006). 
 
16 
 
1.4.3 Abordagem para o estudo da dinâmica de estruturas 
A grande motivação para estudar dinâmica de estruturas … 
 
 
a) b) 
Figura 1.17 Modelo numérico 3D de um edifício: a) Vista 3D; b) vista de topo. 
 
 
a) b) 
Figura 1.18 Modelo numérico 3D de um edifício: a) Vista 3D; b) vista de topo. 
 
 
a) b) 
Figura 1.19 Modelo numérico 3D de um edifício: a) Vista 3D; b) vista de topo. 
 
Antes de se avançar para o estudo dinâmico de estruturas com vários graus de liberdade é 
importante estudar com detalhe o caso mais simples, correspondente ao comportamento 
dinâmico de modelos de 1 G.L., designados usualmente por osciladores de 1 G.L. De facto, o 
estudo destes modelos mais simples, para além de permitir introduzir os principais conceitos 
envolvidos na análise dinâmica de estruturas, permite também obter resultados que podem ser 
 
17 
 
utilizados directamente na análise de modelos de vários G.L., dado que a resposta dinâmica 
destes modelos mais complexos pode ser estudada através da sobreposição da resposta de 
modelos de 1 G.L., se for utilizada uma transformação de coordenadas adequada (transformação 
de coordenadas estruturais, correspondentes aos deslocamentos nos diversos graus de liberdade, 
para a denominadas coordenadas modais). 
1.4.4 Qual a diferença entre estática e dinâmica 
Revisões de análise estática necessárias para a análise dinâmica! 
 
 
 
18 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
2 
 SISTEMAS DE UM GRAU DE LIBERDADE (1 G.L.) 
 
 
 … 
 
2.1 Caracterização de um sistema com 1 G.L. 
Os sistemas de um grau de liberdade (1 G.L.), também conhecidos por osciladores de 1 G.L. 
encontram-se usualmente idealizados na literatura como sistemas constituídos por uma massa, 
uma mola e um amortecedor, tal como se mostra na Figura 2.1. 
 
 
 
a) b) 
Figura 2.1 Esquema usualmente utilizado para representar um sistema de 1 G.L (vibração de translação). 
 
Neste tipo de esquema é ainda usual representar a aplicação de forças, dependentes do tempo, 
f(t), e os deslocamentos originados pela aplicação dessas forças u(t). Na Figura 2.1 b) mostra-se 
o equilíbrio (dinâmico) das forças que actuam o corpo, a partir do qual se pode escrever a 
equação seguinte: 
 
f (t)
u(t)
k
c
m f (t)
u(t)
Fi (t)
Fe (t)
Fa (t)
 
20 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )+ + =i a eF t F t F t f t (2.1) 
 
Sendo que, nesta fase importa caracterizar as forças que intervêm no equilíbrio (dinâmico) 
expresso pela equação anterior, bem como abordar a equação diferencial que daí resulta, a 
denominada equação diferencial do movimento. 
2.1.1 Forças de equilíbrio dinâmico 
Como já se referiu anteriormente, os principais aspectos que diferenciam os problemas de análise 
dinâmica dos problemas de análise estática são a variação das solicitações no tempo e a 
existência de movimento oscilatório (usualmente designado por vibrações). O movimento 
oscilatório é usualmente caracterizado através das grandezas posição (deslocamento), velocidade 
e aceleração, às quais são associadas as forças que asseguram o designado equilíbrio dinâmico 
(contrapondo-se às forças externas), designadas respectivamente por forças elásticas, forças de 
amortecimento e forças de inércia, 
Assim, para analisar convenientemente o movimento oscilatório de uma estrutura é necessário 
caracterizar adequadamente as diferentes forças que ajudam a equilibrar as forças externas, as 
quais são apresentadas na Figura 2.1 b). Neste sentido, apresentam-se de seguida os principais 
aspectos físicos associados a cada uma das referidas forças. 
As forças elásticas são proporcionais aos deslocamentos e em termos matemáticos representam-se 
por 
 
 ( )= ⋅ef k u t (2.2) 
 
em que 
e
f representa a designada força elástica, k é usualmente conhecida por constante 
elástica ou rigidez, enquanto ( )u t representa a componente de deslocamento em função do 
tempo. Na Figura 2.2 a) apresenta-se um esquema representativo do conceito físico associado a 
este tipo de força. 
As forças de amortecimento (viscoso) são proporcionais à velocidade, na usual hipótese de 
amortecimento viscoso, e representam-se matematicamente por 
 
 ( )= ⋅ ɺaf c u t (2.3) 
 
 
21 
 
em que 
a
f representa a força de amortecimento, c a constante de amortecimento e ( )ɺu t a 
componente de velocidade em função do tempo (ver Figura 2.2 b). 
As forças de inércia são proporcionais à aceleração, representando-se matematicamente na 
seguinte forma 
 
 ( )= ⋅ ɺɺif m u t (2.4) 
 
Na expressão anterior 
i
f representa a força de inércia, m a massa e ( )ɺɺu t a componente de 
aceleração em função do tempo (ver Figura 2.2 c). 
 
 
a) b) c) 
Figura 2.2 Forças de equilíbrio dinâmico: a) Força elástica; b) Força de amortecimento; c) Força de inércia. 
 
Relativamente às forças apresentadas existe um interesse particular em caracterizar um pouco 
melhor a força elástica, a qual se considera, nas situações correntes, como apresentando um 
comportamento linear, no entanto, podem ocorrer cenários em que exista necessidade de 
considerar situações com comportamento não linear (ver Figura 2.3), nas quais a lei de variação 
é forçosamente diferente da apresentada pela expressão (2.2), podendo-se representar 
matematicamente na forma seguinte: 
 
 ( )= ⋅edf k u du (2.5) 
 
Fextk u
u
k
Posição
deformada
Força
exterior
(acção)
Força interior
elástica
(reacção)
Fe
u
k
1
Fextc u
u
Força exterior
constante
(acção)
Fa
u
c
1
.
.
.
Velocidade
constante
Força de
amortecimento
(reacção)
campo
magnético
Electroíman
campo
magnético
Fextm u
u
Força exterior
constante
(acção)
Fi
u
m
1
..
..
..
Aceleração
constante
Força de
inércia
(reacção)
Electroíman
 
22 
 
 
Figura 2.3 Comportamento típico dos materiais em engenharia civil. 
 
Um outro aspecto importante relativo à abordagem às forças … é a energia de deformação 
 
 
Figura 2.4 Energia de deformação. 
 
2.1.2 Formulação das equações do movimento 
A formulação das equações do movimento, para um sistema estrutural dinâmico, é considerada 
como um dos aspectos fundamentais da análise dinâmica de estruturas, apresentando-se de 
seguida uma das metodologias usualmente utilizadas no estabelecimento da formulação das 
equações do movimento. 
As equações do movimento de um sistema dinâmico qualquer representam expressões da 
segunda lei de Newton do movimento, que relacionam a força que é necessário aplicar a um 
corpo de massa m para este resistir a uma força fictícia usualmente conhecida por força de 
inércia, que resulta do produto da massa do corpo pela aceleração a que este está sujeito. 
Admitindo que na generalidade dos problemas de dinâmica de estruturas, a massa do corpo não 
varia com o tempo, então, a relação anterior pode ser expressa matematicamente pela seguinte 
equação diferencial 
 
 ( ) ( )= ⋅ ≡ ⋅ ɺɺ2 2d uf t m m u tdt (2.6) 
 
Fe (t)
u
Comportamento linear
Comportamento
não linear
Fe (t)
udu
F
D
 
23 
 
O conceito expresso anteriormente é usualmente conhecido como o princípio de D’Alembert. 
Trata-se de um conceito muito interessante em problemas de dinâmica de estruturas, pois 
permite que as equações do movimento possam ser expressas como equações de equilíbrio 
dinâmico. Nesta perspectiva, pode igualmente considerar-seque a força ( )f t equilibra os outros 
tipos de forças que actuam sobre a massa do corpo: como as forças elásticas que se opõem aos 
deslocamentos e as forças viscosas de amortecimento que resistem às velocidades. Assim, na 
generalidade dos problemas mais simples, a forma mais directa e conveniente de formular as 
equações do movimento baseia-se no estabelecimento destes equilíbrios directos, obtendo-se 
desta maneira a conhecida equação do movimento 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )
�
⋅ + ⋅ + ⋅ =ɺɺ ɺ
����� ����� �����
Força Força de Força de Força 
exteriorinércia amortecimento elástica
m u t c u t k u t f t (2.7) 
 
A formulação das equações do movimento pode ser obtida recorrendo a diversas vias, as quais se 
encontram bem explicitadas na bibliografia da especialidade (Clough & Penzien, 2003), das 
quais se evidenciam as seguintes: 
• Equações do movimento de Newton; 
• Princípio de d’Alembert; 
• Princípio do trabalho virtual; 
• Princípio de Hamilton ou princípio da variação; 
• Equações do movimento de Lagrange; 
2.2 Associação de corpos em sistemas de 1 G.L. generalizado 
 
• Sistemas em que a deformação elástica está concentrada em elementos de mola; 
• Sistemas com elasticidade distribuída e em que as deformações podem ser contínuas 
através de toda a estrutura. 
 
2.2.1 Sistemas com deformação elástica concentrada em elementos de mola 
 
 
 
24 
 
2.2.2 Sistemas com elasticidade distribuída 
Consideram-se estruturas contínuas mas em que a deformada é de determinado tipo. 
 
Caracteriza-se a deformada da estrutura num instante t, por um parâmetro (coordenada 
generalizada) que multiplica a função de forma que se admitiu para a deformada. 
 
 ( ) ( ) ( )= ⋅ ψu x, t u t x (2.8) 
 
 
2.3 Exemplo de um oscilador de 1 G.L. 
Na abordagem que se apresenta neste documento, por uma questão prática/pedagógica, o 
sistema de 1 G.L. é idealizado como o modelo físico de um edifício de 1 piso (ver Figura 2.5), o 
qual se entende como o mais adequado para introduzir os conceitos fundamentais da dinâmica 
de estruturas na óptica da engenharia civil. 
 
 
Figura 2.5 Modelo físico do edifício de um piso. 
 
O modelo físico apresentado na Figura 2.5 é constituído por uma chapa de aço, que assume o 
papel do piso do edifício, enquanto os pilares são lâminas de alumínio, que conferem uma grande 
flexibilidade na direcção perpendicular ao seu plano, quando comparada com a flexibilidade na 
direcção perpendicular. O modelo é ainda constituído por uma outra chapa de aço (com maior 
dimensão em planta e espessura que a primeira) que funciona como base do modelo e por 
cantoneiras que ajudam a estabelecer a conexão entre as chapas de aço e as lâminas de alumínio, 
através de ligações aparafusadas. Na Figura 2.6 apresentam-se as principais características 
geométricas do modelo físico e uma idealização estrutural plana do modelo, na sua direcção mais 
flexível. 
 
25 
 
 
 
a) b) 
Figura 2.6 a) Esquema geométrico do modelo físico do edifício de 1 piso; b) Idealização plana do modelo. 
 
Na idealização estrutural plana do modelo físico, apresentada na Figura 2.6, assume-se que a 
placa de aço é responsável pela massa do sistema (uma vez que a massa das lâminas de alumínio 
é praticamente desprezável) e funciona como um elemento estrutural que se pode considerar 
como infinitamente rígido (podendo assim desprezar-se os efeitos de flexão no seu plano). Por 
outro lado, a consideração de pilares com geometria de lâmina confere ao sistema uma 
flexibilidade muito maior na direcção perpendicular ao plano das lâminas, evidenciando-se assim 
a importância do estudo da estrutura na sua direcção mais flexível, ficando a rigidez do modelo 
apenas a depender da rigidez dos pilares, nessa direcção, tal como se mostra na Figura 2.7. 
 
 
a) b) 
Figura 2.7 …: a) b). 
 
2.4 Tipos de análises 
Para sistemas de 1 G.L. 
 
 
Secção transversal
dos pilares
Y
[mm]
3
18
u(t)
[m]
0.20
0.20
0.25
u(t)
X
X
Z
Z
0.015
k - rigidez
 da estrutura
 (pilares)
m - massa do piso
u(t)
f = kpilar
u = 1
k =pilar
12EI
L
3
 
26 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
⋅ + ⋅ + ⋅ =
⋅ + ⋅ + ⋅ =
⋅ + ⋅ + ⋅ =
⋅ + ⋅ + ⋅ =
ɺɺ ɺ
ɺɺ ɺ
ɺɺ ɺ
ɺɺ ɺ
Vibração livre sem amortecimento
m u t c u t k u t f t
Vibração livre com amortecimento
m u t c u t k u t 0
m u t c u t k u t f t
Vibrações devidas a forças aplicadas
m u t c u t k u t f t
Vibrações devidas a m
( ) ( )( ) ( ) ( )


















⋅ + + ⋅ + ⋅ =
ɺɺ ɺ
b
ovimentos da 
base de fundação
m a t u t c u t k u t 0
 (2.9) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
3 
 VIBRAÇÕES LIVRES DE SISTEMAS COM 1 G.L. 
 
 
 O Capítulo 3 é dedicado à análise do movimento em vibração livre, trata-se de um 
tema simples que permite extrair ensinamentos de grande valia para a 
compreensão dos problemas de análise dinâmica para além de servir de base ao 
estudo de sistemas mais complexos (com vários graus de liberdade). Neste capítulo 
são introduzidos os conceitos de frequência de vibração e de coeficiente de 
amortecimento, que se obtêm a partir da resposta em movimento livre, discutindo-
se as situações associadas a diferentes valores de amortecimento. 
 
3.1 Vibrações livres sem amortecimento 
No capítulo anterior apresentou-se a equação diferencial do movimento de um sistema estrutural 
usualmente designado como do tipo massa-mola com amortecimento, o qual é expresso pela 
equação diferencial do movimento 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )⋅ + ⋅ + ⋅ =ɺɺ ɺm u t c u t k u t f t (3.1) 
 
Nesta fase o problema será abordado na sua forma mais simples, isto é, começa-se por se admitir 
que não existem forças externas aplicadas (f(t)=0) e considera-se que a componente de 
amortecimento é nula, pelo que a expressão anterior assume a seguinte forma 
 
 
28 
 
 ( ) ( )⋅ + ⋅ =ɺɺm u t k u t 0 (3.2) 
 
Esta equação diferencial corresponde à situação de vibração livre sem amortecimento, para a 
qual facilmente se pode verificar que as funções do tipo “onda” sinusoidal3 de frequência ω
N
, 
dadas pela expressão 
 
 ( ) ( ) ( )= ⋅ ω ⋅ + ⋅ ω ⋅N Nu t a cos t b sen t (3.3) 
 
são soluções, desde que 
 
 ω =
N
k
m
 (3.4) 
 
O que significa que um oscilador de massa m e rigidez k tende a oscilar naturalmente com uma 
frequência, usualmente designada por frequência angular natural de vibração. A este conceito 
encontram-se associados outros dois, o de frequência natural ou frequência própria de vibração, 
N
f , e o de período natural de vibração, 
N
T , que se obtêm pelas expressões seguintes 
 
 
ω
= =
pi
N
N N
N
1
f , T
2 f
 (3.5) 
 
A equação (3.3) é uma solução geral da equação diferencial (3.2). Para se obter uma solução 
particular é necessário conhecer, neste caso, duas condições iniciais, para se poder determinar os 
valores das constantes a e b que surgem na solução geral (que resulta da combinação linear das 
funções ( )ω ⋅Nsen t e ( )ω ⋅Ncos t ). Nestas condições é necessário ter-se conhecimento sobre o 
deslocamento inicial, u0, e a velocidade inicial, v0, do movimento, que permite obter 
 
3 É importante notar que as funções complexas 
⋅ω ⋅
N
i te e − ⋅ω ⋅Ni te , que formam um espaço mais alargado de 
soluções (complexas) que contém o subespaço das soluções reais que interessam para análise deste 
problema, ( ) ( ) ( )= ⋅ ω ⋅ + ⋅ ω ⋅N Nu t a cos t b sen t . 
De facto é possível combinar linearmente as soluções complexas⋅ω ⋅
N
i te e − ⋅ω ⋅Ni te , para obter as funções 
( )ω ⋅Ncos t e ( )ω ⋅Nsen t que formam o subespaço das soluções reais, recorrendo à formula de Euler, 
( ) ( )⋅ω ⋅ = ω ⋅ + ⋅ ω ⋅Ni t N Ne cos t i sen t , verificando-se facilmente que 
( ) ( )⋅ω − ⋅ω ⋅ω − ⋅ω⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ω ⋅ = ω ⋅+ −
⋅
N N N N
i t i t i t i t
N N
e e e e
cos t sen t
2 2 i
 
 
29 
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
= ⇔ ⋅ ω ⋅ + ⋅ ω ⋅ = ⇔ =
= = ⇔ − ⋅ ω ⋅ ω ⋅ + ⋅ ω ⋅ ω ⋅ = ⇔ =
ω
����� �����
ɺ
ɺ ɺ ɺ
����� �����
0 N N 0 0
1 0
0
0 0 N N N N 0
N
0 1
u 0 u a cos 0 b sen 0 u a u
u
u 0 v u a sen 0 b cos 0 u b
 (3.6) 
 
Assim, para estas condições iniciais obtém-se a seguinte solução particular 
 
 ( ) ( ) ( )= ⋅ ω ⋅ + ⋅ ω ⋅
ω
ɺ
0
0 N N
N
u
u t u cos t sen t (3.7) 
 
Importa agora referir que a expressão (3.3) também pode ser escrita na forma seguinte 
 
 ( ) ( )= ⋅ ω ⋅ − φNu t A cos t (3.8) 
 
em que, 
 
 
  
> >  
 
  
= + φ = + pi > <  
 
  
+ pi <  
 
2 2
b
arctg a 0, b 0
a
b
A a b ; arctg 2 a 0, b 0
a
b
arctg a 0
a
 (3.9) 
 
Na Figura 3.1 apresenta-se uma representação gráfica da equação (3.7), na qual se pode ver o 
movimento de vibração livre de um oscilador de 1 G.L. sem amortecimento, também designado 
por movimento harmónico simples. 
 
 
Figura 3.1 Resposta em vibração livre de um sistema de 1 G.L. sem amortecimento. 
 
u (t)
t
u0
u0
.
φ
ωN
___
TN
TN
A
A
 
30 
 
Apresenta-se agora na Figura 3.2 uma outra representação gráfica da resposta em vibração livre 
de um sistema de 1 G.L. sem amortecimento, em que se evidencia a representação dos termos a, 
b e A dados pelas equações (3.3) e (3.8). 
 
 
Figura 3.2 Representação gráfica dos vários parâmetros associados à resposta em vibração livre de um sistema de 1 
G.L. sem amortecimento. 
 
 
3.1.1 Análise na forma complexa 
A equação diferencial (3.2) contém soluções complexas … 
 
 
 
Figura 3.3 Representação gráfica no plano de D’Argrand. 
 
 
 
3.1.2 Exercícios 
Exercício 3.1.1 
Para o exemplo apresentado em 2.3 despreze os efeitos de amortecimento e determine o valor da frequência angular 
natural, da frequência natural e do período natural de vibração. 
 
Exercício 3.1.2 
A estrutura apresentada na Figura 3.4 representa um depósito 
de água elevado, com capacidade para 100 000 litros de água. A 
 
u (t)
t
a
TN
TN
_
_
_
2
TN
_
_
_
4
3TN
_
_
_
4
A
b
φ
ωN
___
A
b
a
φ
a
b
 
31 
 
estrutura vertical de suporte tem uma rigidez de flexão EI=640 
000 kN.m2 e uma altura de h = 10 m. Considerando somente a 
massa de água, determinar: 
i) A frequência natural da estrutura? 
ii) O período natural da estrutura? 
iii) Admitindo que no topo é imposto um deslocamento 
horizontal de 1 cm a uma velocidade de 20 cm/s, 
determine os valores dinâmicos máximos do deslocamento, 
velocidade e aceleração no topo da estrutura em regime 
livre? 
iv) Trace o andamento do deslocamento horizontal do topo da 
estrutura? 
v) Compare o momento flector estático na base provocado 
pela força necessária para impor o deslocamento de 1 cm 
com o momento dinâmico máximo verificado quando a 
estrutura está a vibrar em regime livre? 
 
 
Figura 3.4 Esquema da estrutura de um depósito 
de água elevado. 
 
 
Exercício 3.1.3 
As vigas rígidas apresentadas na Figura 3.5 têm um peso de 40 N e estão vinculadas a uma mola de constante 
elástica k = 500 N/m. Impondo um deslocamento vertical de 0,05 m em A e depois libertado, determine: 
i) O período de vibração? 
ii) A máxima velocidade na extremidade A. 
 
 
a) b) 
Figura 3.5 Vigas rígidas com apoios elásticos. 
 
 
Exercício 3.1.4 
Para a estrutura do pórtico apresentado na Figura 3.9, admita-se que a força de 50 kN é libertada repentinamente 
ficando a estrutura a vibrar em regime livre. Considerando que o peso efectivo do pórtico relativamente ao 
deslocamento horizontal concentrado no ponto representado e com um valor de W = 490 kN, determinar: 
10,0
100 000 litros
EI = 640 000 kN.m2
[m]
0,9 0,3 0,9 0,3
A A
[m]
 
32 
 
i) A frequência própria (angular e ciclíca) e o período de vibração do pórtico? 
ii) As amplitudes máximas do movimento, em deslocamento, velocidade e aceleração, traçar graficamente o 
andamento da resposta nestas três grandezas, para as condições iniciais u
0
 devido à força de 50 kN e v
0
 = 0 
m/s? 
iii) O mesmo que em ii) para as condições iniciais u
0
 = 0,8 cm e v
0
 = 20 m/s? 
iv) O mesmo que em ii) para as condições iniciais u
0
 = 1 cm e v
0
 = -10 m/s? 
 
Considere que o pórtico é em estrutura de betão armado com E = 30,5 GPa. 
 
Figura 3.6 Estrutura de um pórtico de 1 piso. 
 
 
Exercício 3.1.5 
Determine as frequências naturais de vibração da coluna-viga em consola, representada na Figura 3.7, relativamente 
aos graus de liberdade indicados. Considere para a resolução do problema E = 30 GPa; = 0,25; = 25 kN/m3; G 
= E/(2×(1+)) = 12 GPa. 
 
 
Figura 3.7 Coluna-viga em consola. 
 
 
Exercício 3.1.6 (adaptado de (Chopra, 2001)) 
Para o edifício industrial de 1 piso que se indica na Figura 3.8 considere que os pilares são perfis em I (com I
X
 = 3450 
cm4 e I
Y
 = 762 cm4) e os elementos de contraventamento são barras circulares com um diâmetro ø25 mm, ambos em 
aço; a cobertura é constituída por uma treliça com um peso de 1,5 kN/m2. 
7,0
3,5
0,35
0,20
0,35
0,20
0,40
0,20
[m]
F = 50 kN
W
3,0
φ0,20
0,3
φ1,0
[m]
uh
uv
θh
θv
 
33 
 
 
 
a) b) c) 
Figura 3.8 Edifício industrial de 1 piso: a) planta; b) pórtico na direcção N-S; c) pórtico na direcção E-O. 
 
Determine a frequência angular natural, a frequência natural e o período natural de vibração: 
i) Na direcção N-S; 
ii) Na direcção E-O. 
 
 
Exercício 3.1.7 (adaptado de (Chopra, 2001)) 
Na Figura 3.9 apresenta-se o perfil longitudinal de uma ponte com 3 vãos de 40 m. Dos 4 apoios, dois são encontros 
móveis e os outros dois são, cada um, constituídos por 3 pilares com 8 m de altura que têm ligação monolítica ao 
tabuleiro. O tabuleiro tem uma secção transversal de 12 m2, enquanto os pilares são circulares e têm I
Y
 = I
Z
 = 65 m4. 
A ponte é de betão armado e apresenta E=40 GPa e =25kN/m3. 
Determine a frequência angular natural, a frequência natural e o período natural de vibração na direcção 
longitudinal da ponte. 
 
 
Figura 3.9 Perfil longitudinal de uma ponte com 3 vãos. 
 
 
9,0 6,0
3,6
1,2
Y
X
N
N - S E - O
Y
X
[m]
40,040,0 40,0
8,0
[m]
 
34 
 
3.2 Vibrações livres com amortecimento 
Considere-se agora a situação mais geral da vibração livre, isto é, a vibração livre de forças 
exteriores aplicadas (f(t)=0) e com amortecimento não nulo (c≠ 0), o que corresponde a analisar 
a seguinte equação diferencial 
 
 ( ) ( ) ( )⋅ + ⋅ + ⋅ =ɺɺ ɺm u t c u t k u t 0 (3.10) 
 
Também neste caso, a solução geral pode ser obtida admitindo que podem existir funções 
exponenciais, do tipo λ⋅te , que são solução da equação em análise. Assim, substituindo na 
expressão (3.10), ( ) λ⋅= tu t e , ( ) λ⋅= λ ⋅ɺ tu t e e ( ) λ⋅= λ ⋅ɺɺ 2 tu t e , obtém-se 
 
 ( ) ( )⋅ λ + ⋅ λ + ⋅ =2m c k u t 0 (3.11) 
 
o que conduz à seguinte equação algébrica do 2º grau, cujas raízes λ
1
 e λ
2
, correspondem aos 
valores pretendidos para λ 
 
 
− ± − ⋅ ⋅
⋅ λ + ⋅ λ + = ⇔ λ =
⋅
2
2
1,2
c c 4 m k
m c k 0
2 m
 (3.12) 
 
Analisando as soluções