exercc3adcios lista 02 com gabarito explicado

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EXERCÍCIOS- LISTA 02
Seja P = - x³ + 300x a função de produção que dá a quantidade produzida de certo bem agrícola em função da quantidade de fertilizante.
Determine a função Produto Marginal;
Qualquer função marginal é a derivada de sua função original. Assim, PMg = -3x² + 300
Atribua valores à função de produção e à função de produção marginal e interprete os resultados;
O gráfico abaixo mostra que quando o produto marginal é igual a zero, ou seja, no ponto em que x=10, o produto total é máximo.
Determine qual deverá ser o produto máximo.
O produto máximo ocorre quando o produto marginal for igual a zero, ou seja, quando a quantidade de insumo “X” for igual a dez. Dessa forma, o produto máximo será igual a 2000. (basta substituir 10 no lugar de “X”, na função produção).
Seja L = - q2 + 104q - 400 a função lucro total.
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função lucro;
Por Báskara descobrimos as raízes do gráfico que são 4 e 100. Entre esses valores sempre haverá lucro, porém, até o vértice, onde q = 52, temos crescimento (4<q<52) e de 52 a 100, decrescimento ( 52<q<100). Veja o gráfico abaixo:
Determine o lucro máximo e a quantidade correspondente.
Já sabemos, pelo cálculo do lucro marginal, que 52 é a quantidade que maximiza o lucro. Portanto, basta substituí-lo na função lucro, encontrando o valor máximo de 2304.
Faça o gráfico da função-lucro.O gráfico é o mesmo do item a)
Um empresário produz e vende certo produto, cujo custo médio de fabricação é dado por Cme = q+2. A demanda para esse produto obedece à relação P = 5 – 8q.
Determine as funções custo, receita e lucro;
C = Cme x q. Logo, C= q . (q+2). Portanto, C = q² + 2q
R = P.Q. Assim, R = (5 – 8q) . q. Logo, R = -8q² + 5q
Determine o lucro máximo;
A função lucro será R – C. L = -8q² + 5q – (q² + 2q). L = -9q² + 3q.
Derivando a função lucro e igualando a zero encontramos a quantidade que gera o lucro máximo. Temos, portanto: -18q + 3 = 0 q = 3/18 q = 0,17. Substituindo 0,17 na função lucro, temos: L = -9(0,17)² + 3(0,17) = 0,2499.
ATENÇÃO SENHORES ALUNOS. NÃO SE IMPORTEM COM ESSES VALORES TÃO BAIXOS, POIS A ESCALA PODE SER LOGARITMICA.
Faça o gráfico do lucro.
Do item b), encontramos a função lucro como L = -9q² + 3q. Para fazer o gráfico, descobrimos as raízes e os vértices e, depois, ligamos os pontos.
Um produtor utiliza um único insumo na fabricação de seu produto. O preço desse insumo é R$ 10,00/unidade e o produto é vendido a R$ 40,00/unidade. A função de produção obedece à relação y = x1/2, onde x é a quantidade de insumo e y a quantidade produzida.
Determine as funções receita, custo e lucro;
Quantas unidades deverão ser produzidas para que não haja prejuízo?
Determine a quantidade mínima de insumos necessária para que não haja prejuízo.
Receita (R) = P ▪ Q 	R = 40 ▪ x1/2
Custo = 10▪x
L = 40 ▪ x1/2 – 10▪x
L > 0. Então L = 40 ▪ x1/2 – 10▪x > 0. Resolvendo a inequação, temos:
Como y = x1/2, y² = x e podemos escrever L = 40y – 10y²
Resolvendo a equação de 2º grau, temos que as raízes são 0 e 4 e o gráfico é uma parábola cuja concavidade está voltada para baixo. Isso indica que o lucro crescerá a partir de uma quantidade 0 até a quantidade 2, decrescendo desse aponto até a quantidade 4. Portanto, em todo esse intervalo em que a produção se concentrar entre 0 e 4 unidades, haverá lucro. A resposta então é: 0 < q < 4.
A função-custo de determinado produto é C = q³ - 30q² + 400q.
Determine o Cme e o Cmg e trace seus gráficos no mesmo plano cartesiano;
Trace, em outro plano cartesiano, o gráfico da função-custo.
Cme = C/q. Daí, Cme = q² - 30q + 400
Cmg é a derivada do C. Assim, Cmg = 3q² - 60q + 400
OS GRÁFICOS DO ITEM A PODEM SER TRAÇADOS A PARTIR DA SIMPLES RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU. BASTA CALCULAR AS RAÍZES E O VÉRTICE DA FUNÇÃO, O QUE JÁ É SUFICIENTE PARA TRAÇAR OS GRÁFICOS.
LEMBREM-SE QUE O VÉRTICE É DADO POR ( xv; yv) = (-b/2a ; -∆/4a)
Para o gráfico do item b basta atribuir valores a q.