Gabarito Objetiva 2 - Matemática Empresarial

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UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL 
EDUCAÇÃO A DISTANCIA 
 
Disciplina: Matemática Empresarial 
Professora: Magda Leyser 
Créditos: 4 Unidade/EAD:1000 
Horas/Aula totais:68 Ano/Sem:2020/1 
Prova Objetiva virtual 2 – Peso 10 (20% do G2) 
Orientação para solução 
 
Questão 1: O gráfico da figura representa a função de domínio no conjunto dos números reais 
da alternativa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o 𝑦 = 𝑓(𝑥) = (
1
3
)
𝑥
 
2 
 
o 𝑦 = 𝑓(𝑥) = (
2
3
)
𝑥
 
o 𝑦 = 𝑓(𝑥) = (
3
2
)
𝑥
 
o 𝑦 = 𝑓(𝑥) =
2𝑥
3
 
o 𝑦 = 𝑓(𝑥) =
3𝑥
2
 
Comentário 
O gráfico representa uma função decrescente, para uma função exponencial ser decrescente a 
base deve ser um número entre zero e 1. 
Assim, avaliando os valores do domínio indicados nos pares ordenados, 𝑥 = −3, 𝑥 = −1, 𝑥 =
0 , 𝑥 = 2, por exemplo temos que: 
 
3 
 
 
 
4 
 
 
 
Questão 2: 
 Anulada A derivada de primeira ordem da função 𝑦 = 𝑅(𝑥) = (5𝑥3 + 8)2 é: 
o 𝑦′ = 𝑅′(𝑥) = 10𝑥3 + 16 
o 𝑦′ = 𝑅′(𝑥) = 5𝑥3 + 8 
o 𝑦′ = 𝑅′(𝑥) = 30𝑥2(5𝑥3 + 8) 
o 𝑦′ = 𝑅′(𝑥) = 15𝑥(5𝑥3 + 8) 
o 𝑦′ = 𝑅′(𝑥) = 30𝑥2(5𝑥3 + 8)3 
Comentário 
A derivada da função R(x) segue as regras de derivação 
 
𝑦 = 𝑅(𝑥) = (5𝑥3 + 8)2 
 
𝑦′ = 𝑅′(𝑥) = 2(5𝑥3 + 8)2−1(5𝑥3 + 8)′ 
𝑦′ = 𝑅′(𝑥) = 2(5𝑥3 + 8)1(5𝑥3 + 8)′ 
 
𝑦′ = 𝑅′(𝑥) = 2(5𝑥3 + 8)((5𝑥3)′ + (8)′) 
 
5 
 
 
 
𝑦′ = 𝑅′(𝑥) = 2(5𝑥3 + 8)(5(𝑥3)′ + 0) 
 
𝑦′ = 𝑅′(𝑥) = 2(5𝑥3 + 8)(5 × 3𝑥3−1(𝑥)′ + 0) 
𝑦′ = 𝑅′(𝑥) = 2(5𝑥3 + 8)(15𝑥2 × (1)) 
𝑦′ = 𝑅′(𝑥) = 2(5𝑥3 + 8)(15𝑥2) 
𝑦′ = 𝑅′(𝑥) = 30𝑥2(5𝑥3 + 8) 
 
Questão 3: Para a função custo de produção 𝐶(𝑞) = 3𝑞3 − 60𝑞 + 6000 de q caixas contendo 
1000 pares de luvas, a função custo médio é: 
o 𝐶𝑚𝑒(𝑞) = 𝑞
2 − 20𝑞 +
3000
𝑞
 
o 𝐶𝑚𝑒(𝑞) = 6𝑞
2 − 60 
o 𝐶𝑚𝑒(𝑞) = 6𝑞
2 −
60
𝑞
 
o 𝐶𝑚𝑒(𝑞) = 3𝑞
2 − 60𝑞 
o 𝐶𝑚𝑒(𝑞) = 3𝑞
2 − 60 +
6000
𝑞
 
Comentário 
A função custo médio é: 
 
 
𝐶𝑚𝑒(𝑞) =
𝐶(𝑞)
𝑞
=
3𝑞3 − 60𝑞 + 6000
𝑞
 
 
𝐶𝑚𝑒(𝑞) =
3𝑞3
𝑞
−
60𝑞
𝑞
+
6000
𝑞
 
 
𝐶𝑚𝑒(𝑞) = 3𝑞
2 − 60 +
6000
𝑞
 
 
 
 
Questão 4: Anulada 
 
Considere a função 𝑦 = 𝑓(𝑥) = −3𝑥4 + 96𝑥2 + 59 . Avalie as afirmações a respeito dos 
valores críticos, mínimos e máximos locais, comportamento crescente e decrescente, positiva 
ou negativa dessa função, no intervalo [-10,10]. 
6 
 
 
A respeito do comportamento dessa função temos as seguintes afirmações: 
I. Os valores críticos da função são: −4, 0 𝑒 4. 
II. O máximo local da função ocorre quando 𝑥 = 0. 
III. O mínimo local da função ocorre quando 𝑥 = 4. 
IV. A função é decrescente para−4 < 𝑥 < 0. 
V. A função é positiva para todos os valores de x no intervalo]−4, 4 [. 
 
 
É correto apenas o que se afirma na alternativa: 
o I e III. 
o II e IV. 
o II e III. 
o I, IV e V 
o I, III e IV. 
Comentário 
Os valores críticos da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) = −3𝑥4 + 96𝑥2 + 59 são a solução da equação 
𝑓′(𝑥) = 0 
Avaliando a derivada da função f temos: 
𝑓′(𝑥) = (−3𝑥4 + 96𝑥2 + 59)′ 
 
𝑓′(𝑥) = (−3𝑥4)′ + (96𝑥2)′ + (59)′ 
𝑓′(𝑥) = −3(𝑥4)′ + 96(𝑥2)′ + 0 
 
𝑓′(𝑥) = −3(4𝑥4−1(𝑥)′) + 96(2𝑥2−1(𝑥)′) 
𝑓′(𝑥) = −12(𝑥3 × 1) + 192(𝑥1 × 1) 
𝑓′(𝑥) = −12𝑥3 + 192𝑥 
A solução da equação 
𝑓′(𝑥) = 0 
−12𝑥3 + 192𝑥 = 0 
𝑥(−12𝑥2 + 192) = 0 
Para que o produto resulte em zero, temos que um dos fatores deverá ser zero, portanto a 
solução é x=0 ou (−12𝑥2 + 192) = 0. 
Resolvendo a equação (−12𝑥2 + 192) = 0 
192 = 12𝑥2 
192
12
= 𝑥2 
7 
 
16 = 𝑥2 
√16 = 𝑥 
∓4 = 𝑥 
Portanto os valores críticos da função são: 0 , 4 e -4. 
A afirmação I é verdadeira. 
Avaliando a função nos valores críticos temos: 
 
II. O máximo local da função ocorre quando 𝑥 = 0. Afirmação falsa pois para x= 0 
temos a imagem f(0)=59 que é um mínimo local. 
III. O mínimo local da função ocorre quando 𝑥 = 4. Afirmação falsa pois para x= 4 
temos a imagem f(4)=827 que é um máximo local. 
IV. A função é decrescente para−4 < 𝑥 < 0. Afirmação é verdadeira pois para x=-4 
temos f(-4) < f(0), e analisando o sinal da derivada de primeira ordem da função 
𝑓′(𝑥) = −12𝑥3 + 192𝑥 
𝑓′(𝑥) = 𝑥(−12𝑥2 + 192)<0 pois 
Para −4 < 𝑥 < 0 temos que 0 < 𝑥2 < 16 
−12 × 0 > −12 × 𝑥2 > −12 × 16 
0 > −12𝑥2 > −192 
0 + 192 > −12𝑥2 + 192 > −192 + 192 
192 > −12𝑥2 + 192 > 0 
Como −4 < 𝑥 < 0 e 192 > −12𝑥2 + 192 > 0 
8 
 
Temos a derivada como multiplicação de um número negativo e um número 
positivo logo a derivada de primeira ordem tem resultado negativo nestes valores 
de x e portanto, a função tem comportamento decrescente. 
 
V. A função é positiva para todos os valores de x no intervalo]−4, 4 [. Afirmação é 
verdadeira, conforme a avaliação dos pontos no gráfico da imagem da afirmação I. 
 
Questão 5: Seja a função lucro 𝑦 = 𝐿(𝑥) = −2𝑥2 + 92𝑥 − 780. O intervalo do domínio da 
função onde a imagem da função tem comportamento crescente e positiva é: 
o ]0 ; 11,21 [ 
o ]0 ; 23 [ 
o ]11,21 ; 23[ 
o ]11,21 ; 34,79[ 
o ]23; 34,79 [ 
 
Comentário 
A função 𝑦 = 𝐿(𝑥) = −2𝑥2 + 92𝑥 − 780 é de segundo grau, logo tem um vértice que é o valor 
crítico da função 
𝐿′(𝑥) = (−2𝑥2 + 92𝑥 − 780 )′ 
𝑓′(𝑥) = (−2𝑥2)′ + (92𝑥)′ − (780 )′ 
𝑓′(𝑥) = −2(𝑥2)′ + 92(𝑥)′ + (0) 
𝑓′(𝑥) = −2 × 2𝑥2−1 + 92 × 1 
𝑓′(𝑥) = −4𝑥 + 92 
A solução da equação 𝑓′(𝑥) = 0 , significa que: 
−4𝑥 + 92=0 
4𝑥 = 92 
𝑥 =
92
4
 
𝑥 = 23 
A solução da equação 𝑓′(𝑥) = 0 é x=23 significa que o valor crítico (vértice) ocorre nesse valor 
do domínio, e como a concavidade da parábola é negativa, temos que o vértice é máximo. 
9 
 
Para determinar os valores em que a função 𝐿(𝑥) = −2𝑥2 + 92𝑥 − 780 corta o eixo x temos 
que resolver a equação 𝐿(𝑥) = −2𝑥2 + 92𝑥 − 780 = 0 
Aplicando a fórmula de Báscara temos: 
 
Assim o gráfico da função 
 
Nesse gráfico a imagem da função é crescente e positiva na parte correspondente em laranja 
10 
 
 
 
Questão 6: Anulada 
Um empresário produz e vende certo produto, cujo o custo de fabricação é determinado por 
𝐶(𝑞) = 4𝑞2 − 3460𝑞 + 900000 e a receita é 𝑅(𝑞) = 1460𝑞 para q litros desse produto. 
Avalie as seguintes afirmações: 
I. A função lucro da venda e produção desse produto é 𝐿(𝑞) = −4𝑞2 − 1970𝑞 + 900000. 
II. A função custo marginal da produção é 𝐶𝑚𝑔(𝑞) = 8𝑞 − 3460. 
III. O lucro é máximo na venda de 615 litros do produto. 
IV. O custo é mínimo na produção de 615 litros do produto. 
V. A função receita tem comportamento crescente. 
É correto somente as afirmações da alternativa: 
o I e V. 
o II e IV. 
o I, III e IV. 
o II, IV, V. 
o II, III e V. 
Comentário 
A função lucro é obtida pela diferença entre receita e custo portanto 
𝑦 = 𝐿(𝑞) = 𝑅(𝑞) − 𝐶(𝑞) 
𝐿(𝑞) = 1460𝑞 − (4𝑞2 − 3460𝑞 + 900000 ) 
11 
 
𝐿(𝑞) = 1460𝑞 − 4𝑞2 + 3460𝑞 − 900000 
𝐿(𝑞) = −4𝑞2 + 4920𝑞 − 900000 
Portanto a afirmação 
I. A função lucro da venda e produção desse produto é 𝐿(𝑞) = −4𝑞2 − 1970𝑞 +
900000. É falsa 
A função custo marginal 
 
Assim a derivada de primeira ordem da função custo 
𝐶𝑚𝑔(𝑞) = (4𝑞
2 − 3460𝑞 + 900000)′ 
𝐶𝑚𝑔(𝑞) = (4𝑞
2)′ − (3460𝑞)′ + (900000)′ 
𝐶𝑚𝑔(𝑞) = 4 × 2 × 𝑞 − 3460 + 0 
𝐶𝑚𝑔(𝑞) = 8𝑞 − 3460 
Assim, a afirmação 
II. A função custo marginal da produção é 𝐶𝑚𝑔(𝑞) = 8𝑞 − 3460. É verdadeira. 
O lucro máximo ocorre num valor crítico da função lucro descrita por 
𝐿(𝑞) = −4𝑞2 + 4920𝑞 − 900000 
Mas como essa função é de segundo grau e a sua concavidade é negativa pois o coeficiente 
de x2 é negativo temos que o vértice dessa parábola é máximo. Calculando o vértice 
𝑎 = −4 , 𝑏 = 4920 O vértice será: 𝑞𝑣 = −
𝑏
2𝑎
= −
4920
2×(−4)
= 615 
𝑦𝑣 = 𝐿(𝑞𝑣) = 𝐿(615) = −4(615)
2 + 4920 × 615 − 900000 = 612900 
 
12 
 
 
Assim, a afirmação 
III. O lucro é máximo na venda de 615 litros do produto. É verdadeira. 
 
A função custo 𝐶(𝑞) = 𝟒𝑞2 − 3460𝑞 + 900000 temcomo gráfico uma parábola de 
concavidade positiva pois o coeficiente de 𝑞2 é um número positivo, quatro. 
Logo o vértice é mínimo da função 𝑎 = 4 , 𝑏 = −3460 O vértice será: 
 𝑞𝑣 = −
𝑏
2𝑎
= −
−3460
2×(4)
= 432,5 
𝑦𝑣 = 𝐶(432,5) = 4(432,5)
2 − 3460 × 432,5 + 900000 = 151775 
13 
 
 
Assim a afirmação 
IV. O custo é mínimo na produção de 615 litros do produto. É Falsa. 
A função receita 𝑅(𝑞) = 𝟏𝟒𝟔𝟎𝑞 é uma função linear (primeiro grau) tem como gráfico uma 
reta crescente pois o seu coeficiente angular é um número positivo. 
 
Portanto a afirmação 
V. A função receita tem comportamento crescente. É verdadeira. 
 
 
 
14 
 
Questão 7: Um produto, a demanda é 𝐷(𝑝) = 500 − 2𝑝 , no intervalo 0 ≤ 𝑝 ≤ 250 . O 
intervalo de preço para os quais a demanda é elástica é: 
 
o 0 ≤ 𝑝 ≤ 250 
o 125 < 𝑝 ≤ 250 
o 100 ≤ 𝑝 < 150 
o 0 ≤ 𝑝 ≤ 125 
o 100 < 𝑝 ≤ 250 
 
Comentário 
A elasticidade de demanda a um preço p para a função demanda D(p) é 
 
𝐸(𝑝) =
𝑝 × 𝐷′(𝑝)
𝐷(𝑝)
 
No caso 
𝐷(𝑝) = 500 − 2𝑝 
𝐷′(𝑝) = (500 − 2𝑝)′ 
𝐷′(𝑝) = (500)′ − 2(𝑝)′ 
 
𝐷′(𝑝) = 0 − 2 × 1 
𝐷′(𝑝) = −2 
Portanto 
𝐸(𝑝) =
𝑝 × (−2)
500 − 2𝑝 
 
𝐸(𝑝) =
−2𝑝
500 − 2𝑝 
 
 
Relembrando: 
Se |𝐸(𝑝)| < 1 a demanda é dita inelástica em relação ao preço; 
Se |𝐸(𝑝)| > 1 a demanda é dita elástica em relação ao preço; 
Se|𝐸(𝑝)| = 1 a demanda tem elasticidade unitária em relação ao preço. 
 
Devemos estudar quando demanda é dita elástica, portanto 
 
|𝑬(𝒑)| = |
−2𝑝
500 − 2𝑝 
| > 1 
Temos duas situações 
Primeira situação: 
−2𝑝
500 − 2𝑝 
> 𝟏 
−2𝑝 > 𝟏 × (𝟓𝟎𝟎 − 𝟐𝒑) 
 
−2𝑝 > (𝟓𝟎𝟎 − 𝟐𝒑) 
 
−2𝑝 + 2𝑝 > 𝟓𝟎𝟎 
0 > (𝟓𝟎𝟎) Impossível!!! 
 
 
Segunda situação: 
15 
 
− (
−2𝑝
500 − 2𝑝 
) > 𝟏 
(
2𝑝
500 − 2𝑝 
) > 𝟏 
2𝑝 > 𝟏 × (500 − 2𝑝) 
2𝑝 > 500 − 2𝑝 
 
2𝑝 + 2𝑝 > 500 
4𝑝 > 500 
 
𝑝 >
500
4
 
𝑝 > 125 
Como no enunciado especifica que o intervalo 0 ≤ 𝑝 ≤ 250, então a função demanda é 
elástica para intervalo 125 < 𝑝 ≤ 250 
 
Questão 8: A integral indefinida ∫(−32𝑥3 + 81𝑥2 − 8𝑥 + 1)𝑑𝑥 é 
 
o 96𝑥4 + 162𝑥3 + 16𝑥2 + 𝑥 + 𝑐 
o −8𝑥4 + 27𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 𝑐 
o 8𝑥4 − 27𝑥3 + 4𝑥2 − 𝑥 + 𝑐 
o −96𝑥2 + 162𝑥 − 8 + 𝑐 
o −8𝑥4 + 23𝑥3 − 16𝑥2 + 2𝑥 + 𝑐 
 
Comentário 
 
A integral indefinida ∫(−32𝑥3 + 81𝑥2 − 8𝑥 + 1)𝑑𝑥 é 
 
 
 
∫(−32𝑥3 + 81𝑥2 − 8𝑥 + 1)𝑑𝑥 = ∫ −32𝑥3𝑑𝑥 + ∫ 81𝑥2 𝑑𝑥 − ∫ 8𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 1 𝑑𝑥 
 
 
16 
 
∫(−32𝑥3 + 81𝑥2 − 8𝑥 + 1)𝑑𝑥 = −32 ∫ 𝑥3𝑑𝑥 + 81 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 − 8 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 1 𝑑𝑥 
= −32 × (
𝑥3+1
3 + 1
+ 𝑐) + 81 × (
𝑥2+1
2 + 1
+ 𝑐) − 8 × (
𝑥1+1
1 + 1
+ 𝑐) + (1 × 𝑥 + 𝑐) 
 
= −32 × (
𝑥4
4
+ 𝑐) + 81 × (
𝑥3
3
+ 𝑐) − 8 × (
𝑥2
2
+ 𝑐) + (𝑥 + 𝑐) 
 
Juntando todas as constantes como uma constante geral C temos: 
= −8𝑥4 + 27𝑥3 − 4𝑥2 + (𝑥 + 𝐶) 
Portanto 
∫(−32𝑥3 + 81𝑥2 − 8𝑥 + 1)𝑑𝑥 = − 8𝑥4 + 27𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 𝐶 
 
Questão 9: A área da região sombreada em vermelho na figura, entre o gráfico da função 𝑦 =
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 24𝑥 + 144 e o eixo x, no intervalo delimitado pelo valor mínimo da função e 30 
conforme a imagem é: 
 
 
 
 
o ∫ (𝑥2 − 24𝑥 + 144)𝑑𝑥 = 1944 𝑢. 𝑎.
30
12
 
o ∫ (𝑥2 − 24𝑥 + 144)𝑑𝑥 = 2520 𝑢. 𝑎.
30
0
 
17 
 
o ∫ (𝑥2 − 24𝑥 + 144)𝑑𝑥 = 576 𝑢. 𝑎.
12
0
 
o ∫ (𝑥2 − 24𝑥 + 144)𝑑𝑥 = 3888 𝑢. 𝑎.
30
12
 
o ∫ (𝑥2 − 24𝑥 + 144)𝑑𝑥 = 10121832 𝑢. 𝑎.
324
30
 
 
Comentário 
 
A área em vermelho corresponde a integral entre o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 24𝑥 +
144 que é uma parábola de concavidade positiva e vértice é mínimo da função 𝑎 = 1 , 𝑏 =
−24 O vértice será: 
 𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
= −
−24
2×(1)
= 12 
𝑦𝑣 = 𝑓(12) = (12)
2 − 24 × (12) + 144 = 144 − 288 + 144 = 0 
 
A integral definida conforme os limites de integração da figura são o vértice da parábola, x=12 
e o valor indicado x=30 assim a área será: 
 
∫ (𝑥2 − 24𝑥 + 144)𝑑𝑥 =
𝑥3
3
− 24 ×
𝑥2
2
+ 144𝑥 + 𝐶]
12
30
 
30
12
 
=
𝑥3
3
− 12𝑥2 + 144𝑥 + 𝐶]
12
𝟑𝟎
 
= (
303
3
− 12(30)2 + 144 × 30 + 𝐶) − (
123
3
− 12(12)2 + 144 × 12 + 𝐶) 
= (2520 + 𝐶) − (576 + 𝐶) = 2520 − 576 + 𝐶 − 𝐶 = 1944𝑢. 𝑎 
 
 
Questão 10: Anulada 
 
Para um determinado produto a receita marginal 𝑅𝑚𝑔(𝑞) = −12𝑞 + 1292 e o custo marginal 
é 𝐶𝑚𝑔(𝑞) = 26𝑞 . Para o intervalo 9 ≤ 𝑞 ≤ 34 . A variação total do lucro no intervalo é: 
 
o ∫ (−38𝑞 + 1292)𝑑𝑞 = 11875 
34
9
 
o ∫ (38𝑞 − 1292)𝑑𝑞 = −11875 
34
9
 
18 
 
o ∫ (12𝑞 + 1292)𝑑𝑞 = 25850 
34
9
 
o ∫ (−6𝑞2 + 1292𝑞)𝑑𝑞 = 617300 
34
9
 
o ∫ (6𝑞2 + 1292𝑞)𝑑𝑞 = 875 
34
9
 
Comentário 
A variação total no lucro no intervalo definido entre uma produção de 9 a 34 é a integral 
definida nestes limites da função lucro marginal. 
A função lucro marginal é: 
𝐿𝑚𝑔(𝑞) = 𝑅𝑚𝑔(𝑞)−𝐶𝑚𝑔(𝑞) = (−12𝑞 + 1292) − 26𝑞 = −38𝑞 + 1292 
 
∫ (−38𝑞 + 1292)𝑑𝑞 = −38 ×
𝑞2
2
+ 1292𝑞 + 𝐶]
9
34
= −19𝑞2 + 1292𝑞 + 𝐶]9
34
34
9
 
 
∫ (−38𝑞 + 1292)𝑑𝑞 = (−19(34)2 + 1292 × 34 + 𝐶) − (−19(9)2 + 1292 × 9 + 𝐶)
34
9
 
∫ (−38𝑞 + 1292)𝑑𝑞 = (21964 + 𝐶) − (10089 + 𝐶) = 11875
34
9