material ondas Fisica experimental 2

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Ondas 
• São meios de transporte de energia e momento através do espaço. 
• Não transportam matéria. 
• A onda causa uma deformação no meio que se encontra e esta 
deformação se propagará. 
Classificações das Ondas 
• Quanto a sua natureza podem ser de três tipos: 
• Mecânica 
• Eletromagnética 
• De matéria 
• Quanto a sua forma podem ser: 
• Transversais 
• Longitudinais 
• Mistas 
Classificações das Ondas 
• Quanto a direção de propagação podem ser: 
• Unidimensional 
• Bidimensional 
• Tridimensional 
• Quanto a periodicidade pode ser: 
• Periódica 
• Não periódica 
• Quanto ao perfil da frente de onda pode ser: 
• Circular 
• Plana 
Propagação de onda Mecânica Transversal 
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚. 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 − 𝜙) 
Posição 
vertical 
Amplitude = Deslocamento máximo 
Frequência Angular 
Constante 
de Fase 
Número de onda 
T=1/f ω = 2π/T K = 2π/λ 
Propagação de onda Mecânica Transversal 
• Para tempo fixos, a função fornece um perfil real da onda naquele 
instante (foto). y(x) 
• Tomando um ponto fixo (x) na onda a função se assemelha as funções 
de oscilações do MHS. 
• Como a onda se desloca em x, haverá uma velocidade de propagação 
da onda e esta será dada por: 
v = λ/T  v = ω/k 
 
Equações da velocidade e aceleração 
transversal 
• Derivando a equação de onda em relação ao tempo.... 
 
 
𝑣𝑦 𝑥, 𝑡 = −𝑦𝑚𝜔. 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 − 𝜙) 
𝑎𝑦 𝑥, 𝑡 = −𝑦𝑚 𝜔
2. 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 − 𝜙) 
Exercício 
1. Uma onda que se propaga em uma corda é descrita pela 
equação: 𝑦(𝑥, 𝑡) = 0,00327 𝑠𝑒𝑛(72,1𝑥 − 2,72𝑡) , onde as 
constantes então em unidades do SI, e o ângulo em radiano. 
a) Qual é a amplitude da onda? 
b) Quais são o comprimento da onda, o período e a frequência da 
onda? 
c) Qual é a velocidade da onda? 
d) Qual é o deslocamento y para x = 22,5 cm e t = 18,9 s ? 
e) Qual a velocidade transversal do elemento de corda da letra d) 
neste instante t? 
Mudança de meio 
• A velocidade de propagação de uma onda é 
determinada pelas propriedades do meio (massa e 
elasticidade). 
• Assim, se a influencia externa que perturba o meio 
possuir uma frequência constante, a onda ao passar 
de um meio (1) para um meio (2), terá a seguinte 
característica: 
𝑓1 = 𝑓2 → 
𝑣1
λ1
=
𝑣2
λ2
 
Princípio da Superposição 
• Exemplos no dia-a-dia: concertos de 
musica, ondas eletromagnéticas de 
varias estações na TV e rádio, etc. 
• Ondas superpostas se somam 
algebricamente para produzir uma 
onda resultante. 
• Ondas superpostas não se afetam 
mutuamente 
Interferência de ondas 
• Considerando a interferência entre 
duas ondas de mesmo comprimento 
de onda e amplitude que se 
propagam no mesmo sentido em 
uma corda, a forma da onda 
resultante dependerá da fase 
relativa das duas ondas. 
• Em fase  o deslocamento será o 
dobro. 
• Fora de fase (ou totalmente defasadas) 
 o deslocamento será nulo. 
 
Interferência de ondas 
• Diferença de fase: ∆𝜙 = 𝜙2 − 𝜙1 
• Se ∆𝜙 = 180˚ = π rad, ou múltiplos ímpares de π rad  Destrutiva 
• Se ∆𝜙 = 0 ou múltiplos pares de 2π rad  Construtiva 
Ondas estacionárias 
• Superposição de duas ou mais ondas senoidais de mesmo 
comprimento de onda e mesma amplitude que se propagam em 
sentido oposto em uma corda. 
• Pontos de nós e antinós. 
Ondas estacionárias 
• Leva o nome de estacionária porque a forma da onda 
não se move para a esquerda nem para direita; as 
posições de máximos e mínimos não variam com o 
tempo. 
• Devido a interferência entre as duas ondas tem-se que 
a equação de uma onda estacionária será dada por: 
𝑦′ = 𝑦1 + 𝑦2 → 𝒚 𝒙, 𝒕 = 𝟐𝒚𝒎𝒔𝒆𝒏 𝒌𝒙 𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 
• Note que esta equação não descreve uma onda 
progressiva. 
• Agora a amplitude varia com a posição. Cada posição x 
terá sua própria amplitude fixa. 
Ondas estacionárias 
𝒚′ 𝒙, 𝒕 = 𝟐𝒚𝒎𝒔𝒆𝒏 𝒌𝒙 𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 
• Amplitude zero (nós) sen(kx) = 0 
Kx = nπ, para n = 0, 1, 2,... 
K = 2 π/ λ  x = n. λ/2 
 
• Amplitude máxima (antinós)  |sen(kx)| = 1 
Kx = (n + ½ ) π, para n = 0, 1, 2,... 
K = 2 π/ λ  x = (n + ½ ). λ/2 
 
Ondas estacionárias e Ressonância 
• Diferente da progressiva, na estacionária a energia não flui através 
dos nós, porque estes eztão permanentemente em repouso. 
• A energia permanece estacionária apesar de alterar sua forma entre 
cinética e potencial. 
• Apenas para certas frequencias a interferência produz uma onda 
estacionária (modo de oscilação) numa corda fixa nas duas pontas. 
• Uma onda estacionária é gerada quando existe ressonância e as 
frequencias onde isso ocorre chamamos frequencias de ressonância. 
Caso a a excitação ocorra em uma frequencia diferente destas não se 
forma a onda estacionária. 
Frequencia de Ressonância 
• Para encontrarmos a expresão para as frequencias de 
ressonância, observemos primeiro que numa corda fixa 
nas duas extremidades é necessário que no mínimo 
haja um nós em cada extremidade pois nestes pontos a 
corda não poderá oscilar. Assim, teremos: 
𝐿 = 𝑛
λ
2
 , para n = 1, 2, 3,... 
 
𝑓 =
𝑣
λ
= 𝑛
𝑣
2𝐿
 , para n = 1, 2, 3,... 
 
Frequencia de Ressonância 
𝑓 =
𝑣
λ
= 𝑛
𝑣
2𝐿
 , para n = 1, 2, 3,... 
• Note que as frequências de ressonância são 
multiplos inteiros da menor frequencia (f para 
n=1). 
• A menor frequencia é chamada de modo 
fundamental ou primeiro harmônico (f1 = v/2L) 
• O conjunto de todos os modos de oscilação 
possível é chamado de série harmônica e ‘n’ é o 
número harmônico. 
Velocidade de onda em uma corda esticada 
• Para resolver o problema das frequencias de ressonância em uma 
corda fixa, por vezes podemos utilizar uma expressão que relaciona a 
velocidade de propargação da onda com as grandezas que 
determinam as propriedades do meio onde ela se propaga (neste 
caso, a corda) 
𝑣 =
𝜏
𝜇
 
Onde 𝜏 é a tensão da corda e 𝜇 a massa específica linear da corda, ou 
seja: 𝜇 = 𝑚/𝐿 
Exercícios 
1. A figura mostra a oscilação ressonante de uma corda de massa m = 
2,500 g e comprimento L = 0,800 m sob uma tensão 𝜏 = 325,0 N. 
a) Qual é o comprimento de onda λ das ondas transversais responsáveis pela 
onda estacionária da figura e qual é o número harmônico n? 
b) Qual é a frequencia f das ondas transversais e das oscilações dos elementos 
de corda? 
c) Qual é a equação da velocidade transversal da corda? 
d) Qual é o módulo máximo da amplitude e da velocidade do elemento de 
corda que escila no ponto de coordenada x = 0,180 m?