ECV5214 - Mecânica de Sólidos II - Poliana Dias de Moraes - AED01 resolvido - 2016/1

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UFSC - DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
ECV5214 – MECÂNICA DE SÓLIDOS II 
1a Atividade de ensino à distância – Semestre 2016-1 
 
1) O tanque cilíndrico de armazenamento 
despressurizado tem uma espessura de 
parede 4,8 mm e é feito de um aço com 
resistência de escoamento de 240 MPa à 
tração. Aplicando o Critério Máxima 
Energia de Distorção, determine a altura 
máxima (h) de água que pode ser suportada 
pelo tanque, se um coeficiente de segurança 
igual a 2,0 é desejado. 
 
 
 
Resposta: 
Considerações iniciais: 
a) reservatório com fundo apoiado; 
b) despreza-se o peso próprio do 
reservatório; 
c) casca fina → espessura << raio; 
d) γágua = 104 N/m³; 
e) r1 = ∝ 
f) r2 ≈ 3,8 m 
g) pressão na parede do reservatório 
varia diretamente com a altura da 
coluna d’água � pz = γágua h 
 
Equações de cascas: 
t
p
rr
z
=+
21
θϕ σσ
 ϕpi
σϕ hsenr
R
02
= 
 
O ponto mais crítico na parte cilíndrica do 
reservatório situa-se próximo ao fundo, pois 
a pressão hidrostática nesse local é máxima. 
A análise de tensões será efetuada nesse 
local. 
t
p
rr
z
=+
21
θϕ σσ
 
O carregamento normal à casca é ( )hNmpz 3410 −= . Substituindo essa 
expressão na 1ª equação de casca, tem-se 
( )
m
hNm
m 0048,0
10
8,3
34 −
=+
∞
θϕ σσ
 
 ( ) ( )
m
mhNm
0048,0
8,310 34 −
=θσ 
3
7107916,0
m
Nh⋅=θσ 
Cálculo da tensão meridional próxima ao 
fundo do reservatório (pressão hidrostática 
máxima) 
Considerando que o reservatório é 
despressurizado e apoiado no fundo, a 
resultante dos esforços internos axiais na 
parede do reservatório é nulo (R =0), logo 
 0=ϕσ 
Considerando que nos planos tangenciais 
e meridionais não atuam tensões de 
cisalhamento, esses planos são considerados 
planos principais. Logo: 
3
7
1 107916,0
m
Nh⋅== θσσ , 
02 == ϕσσ . 
 
O critério de falha da Máxima Energia de 
Distorção é dado por: 
( )2222121 yf≤+− σσσσ . Considerando que 
o coeficiente de segurança é igual a 2,0, 
tem-se: 
2
2
221
2
1 0,2 






≤+− y
f
σσσσ 
2
2
6
2
3
7 1012000107916,0 





⋅≤+−





⋅
m
N
m
Nh 
mh 15,15≤ 
 
O tanque pode sofrer transbordamento sem 
sofrer falha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) (2.5) Um estado plano de tensões ocorre 
em um ponto crítico de um componente 
estrutural feito em concreto. Uma série de 
ensaios mostrou, para o concreto 
empregado, que a tensão de ruptura à 
compressão é σUC = 60 MPa e a tensão de 
ruptura à tração é σUT = 10 MPa. 
Determinar, empregando o critério de 
Mohr, se a estrutura está segura. 
25 MPa
5 MPa
40 MPa
25 MPa
5 MPa
40 MPa
 
Pode-se resolver o problema de dois modos 
gráficos: o primeiro, determinando a 
envoltória de falha para o concreto a partir 
das suas resistências à compressão e à 
tração; e o segundo, usando determinando o 
espaço resistência no espaço das tensões 
principais. 
 
Primeiro modo de resolução. 
No espaço das tensões normais e de 
cisalhamento, traçam-se os círculos de Mohr 
para o ensaio à compressão (σUC = 60 MPa), 
em vermelho, e o para o ensaio de tração 
(σUT = 10 MPa), em azul escuro. Após, 
define-se a envoltória de falha para o 
concreto (reta tangente aos dois círculos). 
Finalmente, traça-se o círculo de Mohr para 
o estado de tensões do ponto, em azul claro: 
X = (5;-25) MPa, Y = (-40;25) MPa. 
Constata-se que o círculo de Mohr para o 
estado de tensões do ponto está fora da 
envoltória de falha, portanto a estrutura não 
está segura. 
 
Segundo modo de resolução gráfico 
Traça-se o círculo de Mohr para o estado de 
tensões dado. Determinam-se as tensões 
principais σ1 e σ2, as quais são desenhadas 
no espaço definido pelo critério de 
segurança. 
 
Cálculo das tensões principais: 
Rméd += σσ1 
Rméd −= σσ 2 
MPaméd 5,222
540
−=
−−
=σ 
( ) ( ) MPaR 51,30255,2240 2 =+−= 
MPa01,851,305,221 +=+−=σ 
MPa01,5351,305,222 −=−−=σ 
O ponto relativo às tensões principais σ1 e 
σ2 está fora do hexágono de segurança 
relativo ao critério de Mohr-Coulomb, 
conforme ilustra a figura abaixo. Portanto o 
ponto não está seguro. 
 
 
3) Chapas quadradas, com espessura de 15,9 
mm, podem ser ligadas por solda de uma das 
duas maneiras indicadas para formar um 
tanque de ar comprimido. Determinar a 
pressão interna admissível em cada caso, se 
a tensão admissível perpendicular à solda é 
de 62 kPa. 
 
 
Na primeira configuração, as tensões 
normais atuantes nos planos de solda 
coincidem com as tensões tangencial e 
meridional do tanque de ar comprimido. 
Considerando-se que: 
a) casca fina → espessura << raio; 
b) r1 = ∝ 
c) r2 ≈ 2,28 m 
d) vaso de pressão 
e) pressão na parede do reservatório é 
uniforme → pz 
 
Equações de cascas: 
t
p
rr
z
=+
21
θϕ σσ
 ϕpi
σϕ hsenr
R
02
= 
Cálculo da tensão tangencial 
t
p
rr
z
=+
21
θϕ σσ
 
0159,028,2
zp
m
=+
∞
θϕ σσ
 
z
z pm
m
p 39,14328,2
0159,0
=→= θθ σσ 
Cálculo da tensão meridional 
( ) zz pmprR 222 28,2pipi =⋅= 
( )
( )( ) zpmm
m 7,71
10159,028,22
28,2 2
=
⋅
=
pi
pi
σϕ . 
A tensão admissível na solda é 
23 /1062 mNadm ⋅=σ , portanto 
23 /106239,143 mNp admz ⋅=≤= σσθ e 
33 /10627,71 mNp admz ⋅=≤= σσϕ . Então, 
a pressão interna deve satisfazer as duas 
inequações abaixo, concomitantemente. 
PamNpz 3,43339,143
/1062 33
=
⋅≤ 
PamNpz 71,8647,71
/1062 33
=
⋅≤ . 
Dessa forma, a máxima pressão interna a ser 
aplicada na primeira configuração de 
soldagem é Papz 3,433= . 
 
Na segunda configuração de soldagem, os 
planos apresentam 45º com a direção dos 
paralelos. Assim sendo, pode-se empregar o 
círculo de Mohr para determinar as tensões 
atuantes nesses planos. 
 
Deve-se fazer uma rotação de 90° com a 
direção θ, visto que a normal ao plano da 
solda faz 45° com a referida direção. Pelo 
Círculo de Mohr, constata-se que a tensão 
atuante no plano é a tensão média. 
2
2
2
h
pr
h
pr
méd
+
=
+
=
ϕθ σσσ 
h
prh
pr
méd 4
3
2
2
3
==σ . 
23 /1062
4
3
mN
h
pr
admméd ⋅=≤= σσ 
23 /1062
0159,0
28,2
4
3
mN
m
mp
⋅≤⋅ 
2/49,576 mNp ≤ . 
5) São usados postes de madeira de 7,62 cm 
de diâmetro para conter um muro. Se a 
pressão do solo ao longo do poste varia de 
zero, no topo, ao máximo de 14,37 kN/m na 
extremidade B. Quais são a inclinação e o 
deslocamento no topo? Emad = 11031 MPa. 
(integração direta) 
 
 
Para a determinação da inclinação da linha 
elástica e o deslocamento na extremidade A, 
usa-se a equação da curvatura (Eq. 1) 
( )
EI
xM
dx
vd
=2
2
. (1) 
Neste exemplo, não é necessário calcular as 
reações no engaste B, pois pode-se analisar 
o segmento da extremidade A para a 
determinação do momento fletor interno. 
Então, para a determinação do momento 
interno no poste, faz-se uma seção fictícia, 
conforme ilustrado a seguir. 
Efetuando o equilíbrio de momentos na 
seção, tem-se 
( ) 3
3
4
xxM −= (2) 
Substituindo a Eq. (2) do momento interno 
na Eq. (1) da curvatura da linha elástica, 
tem-se 
EI
x
dx
vd
3
4 3
2
2
−= . (3) 
Integrando uma vez a Eq. (3) tem-se: 
1
4
3
Cx
dx
dvEI +−= . (4) 
Integrando uma vez a Eq. (4), resulta: 
21
5
15
CxCxEIv ++−= . (5) 
Com a integração, surgiram 2 constantes que 
precisam ser determinadas. Elas o serão, 
usando-se as condições de contorno na 
extremidade B. 
( ) 08,1 == mLθ . (6) 
( ) 08,1 == mLv . (7) 
Aplicnado a condição de contorno da Eq. (6) 
na Eq. (4), encontra-se C1. 
0
3 1
4
=+− CL 
( ) 5,3
3
8,1
3
44
1 ===LC . (8) 
Aplicnado a condição de contorno da Eq. (7) 
na Eq. (5), encontra-se C2. 
0
15 21
5
=++− CxCL 
15
4
15
5
315
55545
2
LLLLLLC −=−=−= . 
( )
.04,5
15
8,14
15
4 55
2 −=−=−=
mLC (9) 
Substituindo as constantes de integração nas 
equações (4) e (5), tem-se 






+−== 5,3
3
1 4x
EIdx
dv θ e (10) 
.04,55,3
15
1 5






−+−= x
x
EI
v (11) 
Na extremidade A, x = 0, logo: 
( )
EIEI
5,335,3
3
010
4
=





+−=θ e (12) 
( ) .04,504,50
15
010
5
EI
x
EI
v −=





−+−= (13) 
 
O momento de inércia I de uma seção 
transversal circular é dada por 
26
4
10655,1
4
m
rI −⋅== pi . 
22 2563,183,18256 mkNmNEI ⋅=⋅= 
Substituindo nas equações (12) e (13), 
resulta 
( ) rad192,00 =θ e 
 
( ) .6,270 cmv −= 
 
 
 
6) As barras prismáticas AD e BD são 
ligadas para formar a viga em balanço ADB. 
A rigidez flexional no trecho AD é EI e no 
trecho DB é 2EI. Calcular a declividade e a 
flecha na extremidade A. 
 
 
A resolução deste problema será efetuada 
pelo Método da Viga Conjugada. 
Inicialmente, determina-se o DMF da viga 
real: 
 
Com o DMF real dividido pela rigidez do 
respectivo trecho, constrói-se o 
carregamento da viga fictícia: 
 
Para determinar a declividade e a flecha da 
viga real em A deve-se encontrar, 
respectivamente, o esforço cortante e o 
momento fletor da viga conjugada, os quais 
têm valores iguais às reações em A. 
 
 
Portanto, 
( ) ( )
EI
PaAMAv
392,1
== . 
Momento da viga conjugada é positivo, 
significa que o deslocamento é para baixo. 
( ) ( )
EI
PaAVA
2
2
3
−==θ . 
O esforço cortante da viga conjugada é 
negativo, portanto o a rotação da tangente à 
linha elástica é negativa (sentido anti-
horário).