AREA 1 Exercicios 1 COM RESPOSTAS (1)

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Como resolver um SELA por eliminação gaussiana
1) Escreve a matriz completa do sistema.
2) Aplica a parte progressiva do algoritmo do escalonamento obtendo uma matriz
escada.
3) Se a matriz escada tem a última linha não nula da forma
00. . . 00 ∗
com ∗ ≠ 0 o sistema é impossível.
4) Caso contrário o sistema tem solução e prosseguimos com o escalonamento até
obter uma matriz escada reduzida. As variáveis associadas as colunas pivô desta matriz
são chamadas variáveis pivô; as restantes variáveis livres.
5) Escreve o sistema linear associado a matriz escada reduzida que, como
sabemos, tem o mesmo conjunto de soluções que o sistema inicial.
6) Se não existem variáveis livres o sistema original tem solução única exibida pelo
sistema.
7) Se existem variáveis livres o sistema original tem infinitas soluções dadas
expressando se as variáveis pivô em função das váriaveis livres.
Exercicios
I) Resolva os sistemas cujas matrizes completas são:
1)
1 0 3 −2 2
1 1 4 −4 −2
0 −1 0 3 7
0 0 1 2 5
Solução: x1 = 3,x2 = −1,x3 = 1,x4 = 2
2)
2 1 7 −6 34
1 1 4 −4 18
0 −1 0 3 1
1 0 4 0 19
Solução: x1 = 7,x2 = −1,x3 = 3,x4 = 0
3)
2 1 −4 7 −6
1 1 −1 4 −4
0 −1 −2 0 3
1 0 −3 4 0
Solução: impossível
4)
2 −6 1 −1 7
1 −3 1 −4 4
0 0 −1 7 0
1 −3 0 3 4
Solução: impossível
5)
2 −4 1 7 34
1 −2 1 4 18
0 0 −1 0 1
1 −2 0 4 19
Solução: x1 = 7 + 2x2,x3 = −1,x4 = 3
6)
2 1 −9 7 72
1 1 −4 4 41
0 −1 −1 0 1
1 0 −5 4 42
Solução: x1 = −2 + 5x3,x2 = −1 − x3,x4 = 11
7)
2 1 −9 5 −5
1 1 −4 2 −3
0 −1 −1 1 1
1 0 −5 3 −2
Solução:x1 = −2 + 5x3 − 3x4,x2 = −1 − x3 + x4
8)
2 −4 1 5 −2
1 −2 1 2 −3
0 0 −1 1 4
1 −2 0 3 1
Solução:x1 = 1 + 2x2 − 3x4,x3 = −4 + x4
9)
2 −4 1 7 −2
1 −2 1 4 −3
0 0 −1 0 4
1 −2 0 4 1
Solução:x1 = 1 + 2x2,x3 = −4,x4 = 0
10)
2 1 7 12
1 1 4 5
0 −1 0 4
1 0 4 9
Solução:x1 = 1,x2 = −4,x3 = 2
11)
1 0 −1 3
1 1 1 4
0 −1 −2 0
0 0 0 1
Solução:Impossível
12)
2 1 1 −2
1 1 1 −3
0 −1 −1 4
2 1 1 −2
Solução:x1 = 1,x2 = −x3 − 4
13)
2 −4 2 7 −6
1 −2 1 4 −3
1 −2 −1 3 5
Solução:x1 = 1 + 2x2,x3 = −4,x4 = 0
14)
1 0 −3 −1 3
1 1 −2 0 4
0 −1 −1 −1 0
Solução: Impossivel
15)
1 3 0 3 1
1 3 1 4 −3
1 3 −1 3 5
Solução:x1 = 1 − 3x2,x3 = −4,x4 = 0
II) Supondo que as matrizes do exercício anterior são matrizes de sistemas lineares
homogeneos, resolva estes sistemas.
Respostas:
1) x1 = −3x5,x2 = x5,x3 = −x5,x4 = −2x5
2) x1 = −7x5,x2 = x5,x3 = −3x5,x4 = 0
3) x1 = 3x3,x2 = −2x3,x3 = x4 = 0
4) x1 = 3x2 − 3x4,x3 = 7x4,x5 = 0
5) x1 = 2x2 − 7x5,x3 = x5,x4 = −3x5
6) x1 = 5x3 + 2x5,x2 = −x3 + x5,x4 = −11x5
7)x1 = 5x3 − 3x4 + 2x5,x2 = −x3 + x4 + x5
8)x1 = 2x2 − 3x4 − x5,x3 = x4 + x5
9)x1 = 2x2 − x5,x3 = 4x5,x4 = 0
10)x1 = −x4,x2 = 4x4,x3 = −2x4
11) x1 = x3,x2 = −2x3,x4 = 0
12) x1 = −x4,x2 = −x3 + 4x4
13) x1 = 2x2 − x5,x3 = 4x5,x4 = 0
14) x1 = 3x3 + x4,x2 = −x3 − x4,x5 = 0
15)x1 = −3x2 − x5,x3 = 4x5,x4 = 0
III) Encontre as matrizes escadas reduzidas linha equivalentes as matrizes do
exercício I)
Respostas:
1)
1 0 0 0 3
0 1 0 0 −1
0 0 1 0 1
0 0 0 1 2
2)
1 0 0 0 7
0 1 0 0 −1
0 0 1 0 3
0 0 0 1 0
3)
1 0 −3 0 0
0 1 2 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
4)
1 −3 0 3 0
0 0 1 −7 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
5)
1 −2 0 0 7
0 0 1 0 −1
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
6)
1 0 −5 0 −2
0 1 1 0 −1
0 0 0 1 11
0 0 0 0 0
7)
1 0 −5 3 −2
0 1 1 −1 −1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
8)
1 −2 0 3 1
0 0 1 −1 −4
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
9)
1 −2 0 0 1
0 0 1 0 −4
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
10)
1 0 0 1
0 1 0 −4
0 0 1 2
0 0 0 0
11)
1 0 −1 0
0 1 2 0
0 0 0 1
0 0 0 0
12)
1 0 0 1
0 1 1 −4
0 0 0 0
0 0 0 0
13)
1 −2 0 0 1
0 0 1 0 −4
0 0 0 1 0
14)
1 0 −3 −1 0
0 1 1 1 0
0 0 0 0 1
15)
1 3 0 0 1
0 0 1 0 −4
0 0 0 1 0