MATEMATICA FINANCEIRA 2.1

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PROFESSOR: RAFAEL ANTONINI 
 
2 
 
SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 3 
2. CALCULADORA HP12C – NOÇÕES BÁSICAS ......................................................................... 3 
2.1. CONHECENDO A HP ................................................................................................................... 4 
2.2. OPERAÇÕES ARITMÉTICAS SIMPLES ............................................................................................ 6 
2.3. FUNÇÕES ESTATÍSTICAS ............................................................................................................. 6 
2.4. OPERAÇÕES COM PERCENTUAIS ................................................................................................. 7 
2.5. OPERAÇÕES COM EXPOENTES ..................................................................................................... 7 
3. CONCEITOS FINANCEIROS BÁSICOS ..................................................................................... 7 
3.1. CAPITAL .................................................................................................................................... 7 
3.2. FLUXO DE CAIXA ...................................................................................................................... 8 
3.3. JUROS ........................................................................................................................................ 9 
3.4. MONTANTE ......................................................................................................................... 10 
3.5. TAXA DE JUROS ................................................................................................................. 10 
4. REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO .............................................................................................. 11 
4.1. CAPITALIZAÇÃO SIMPLES ...................................................................................................... 11 
4.1.1. DESCONTO SIMPLES ............................................................................................................... 14 
4.1.1.1. RACIONAL OU POR DENTRO; ................................................................................................ 15 
4.1.1.2. DESCONTO COMERCIAL - POR FORA, BANCÁRIO .............................................................. 16 
4.2. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA ................................................................................................. 18 
4.3. COMPARAÇÃO ENTRE O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E COMPOSTO..................... 20 
5. ESTRUTURA DAS TAXAS DE JUROS ...................................................................................... 21 
5.1. REVISÃO DAS PROPRIEDADES DA RACIONALIZAÇÃO............................................................. 21 
5.2. TAXA PROPORCIONAL(TAXA LINEAR).................................................................................... 21 
5.3. TAXA NOMINAL ....................................................................................................................... 22 
5.4. TAXA EFETIVA ........................................................................................................................ 22 
5.5. TAXA EQUIVALENTE ............................................................................................................... 22 
5.6. TAXA OVER ANO ..................................................................................................................... 23 
5.7. TAXAS VARIÁVEIS ................................................................................................................... 23 
5.8. TAXA MÉDIA ( REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA) ..................................................... 24 
5.9. TAXA ACUMULADA ................................................................................................................. 26 
5.10. TAXA REAL .............................................................................................................................. 27 
6. RENDAS FINANCEIRAS ............................................................................................................. 29 
6.1. RENDAS CERTAS IMEDIATAS .................................................................................................... 31 
6.1.1. postecipada ......................................................................................................................... 31 
6.1.2. antecipada .......................................................................................................................... 33 
6.2. CÁLCULO DE TAXAS DE JUROS EM SÉRIES PERIÓDICAS UNIFORMES – MÉTODO DE BAILY-
LENZI. 34 
ANEXO I – TABELA PARA CONTAGEM DE DATAS ..................................................................... 35 
 
3 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
1. Introdução 
 
“Tempo é dinheiro” 
Benjamin Franklin 
 
Se algum amigo lhe pedisse R$ 1.000,00 emprestado hoje para lhe pagar o mesmo valor 
daqui a um ano, você acharia a proposta atraente? Por melhor que seja seu amigo, com 
certeza essa proposta não lhe agradaria. Algumas questões para reflexão: 
 
A. Será que ele me pagará na data combinada? 
B. Será que o poder de compra dos R$ 1.000,00 permanecerá inalterado ao longo do 
tempo do empréstimo? 
C. Contudo, se eu permanecesse com o dinheiro, poderia consumi-lo, satisfazendo a 
minhas necessidades, ou poderia aplicá-lo na caderneta de poupança, ganhando 
juros e rendimentos do período. 
 
 
Com base no exemplo anterior podemos definir a matemática financeira como sendo a 
parte das ciências matemáticas que estuda a equivalência do dinheiro ao longo do tempo. O 
teorema fundamental para o estudo desta ciência está baseado em que: 
 
A. Qualquer recurso (capital) será acrescido de juros sempre que for aplicado a uma taxa 
de juros durante um período de tempo; 
B. A capitalização dos juros deve ocorrer no mesmo período de tempo, ou seja: no 
mesmo dia, mês ou ano, conforme a escala de tempo que esteja utilizando; 
C. O valor do dinheiro muda ao longo do tempo. Uma quantidade de recursos hoje vale 
mais que esta mesma quantidade de recursos no futuro. Esta diferença deve-se a 
equivalência do dinheiro no tempo, que ocorre por se acrescentar juros em cada 
período; 
 
 
2. Calculadora HP12C – Noções Básicas 
 
 
Obs: para um melhor aproveitamento do curso recomenda-se a leitura do manual da HP-12C. 
 
 
A HP 12C, é a calculadora financeira programável mais conhecida e usada por 
pessoas que precisam de velocidade e precisão na execução de cálculos financeiros 
envolvendo juros compostos, taxas de retorno, amortização. A HP 12C foi lançada em 1981 
pela americana Hewlett-Packard em subistituição as calculadoras financeiras HP 38E e 38C. 
 
O grande desafio da HP foi desenvolver uma calculadora que ao mesmo tempo fosse 
eficiente na solução de calculos financeiros robustos bem como, pequena ao ponto de caber no 
bolso de uma camisa. Atualmente, existe uma série “platinum” que foi lançada em 
comemoração aos 20 anos de fabricação desta calculadora. As diferenças entre as duas são 
mínimas. 
 
As calculadoras financeiras da HP utilizam o método Notação Polonesa Inversa (RPN 
na sigla em inglês, de Reverse Polish Notation), que permite uma linha de raciocínio mais 
direta durante a formulação e melhor utilização da memória. Desta forma, introduzimos primeiro 
os dados, separados pela tecla ENTER e depois as operações. Tal sistema torna os cálculos 
extensos muito mais rápidos e simples. 
 
 Em uma calculadora convencional para realizarmosum calculo simples 5+6 
procedemos assim: “5” “+” “6” “=” na HP12C o procedimento de calculo fica assim: “5” “ENTER” 
“6” “+”. Em função do sistema RPN a HP12C não possui a tecla “=”. 
4 
 
 
2.1. Conhecendo a HP 
 
Teclado: 
 
As teclas da calculadora HP-12C realizam duas ou até três funções ao mesmo tempo. 
A função principal, é impressa no centro da tecla em “branco”. As funções alternativas são 
impressas em “dourado” ACIMA da tecla e azul impressa na parte inferior da tecla. 
 
As funções principais da calculadora são acessadas diretamente ao clicar nas teclas. 
No entanto, para utilizar as funções alternativas precisamos sinalizar com as teclas “f” – função 
em “dourado” e tecla “g” função em azul. Ou seja, se desejamos utilizar as funções impressas 
em dourado devemos antes clicar na tecla “f” que indica o uso de funções alternativas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Separadores de dígitos 
 
Ao digitar um número, cada grupo de três dígitos no lado esquerdo do ponto decimal é 
automaticamente separado no mostrador. Quando a calculadora é ligada pela primeira vez, 
depois de chegar da fábrica — ou depois de reinicializar a Memória Contínua — o ponto 
decimal nos números mostrados é um ponto e o separador entre cada grupo de três dígitos é 
uma vírgula. Se você desejar, pode configurar a calculadora para exibir uma vírgula para o 
ponto decimal e um ponto para o separador de três dígitos. 
 
Para efetuar essa configuração, desligue a calculadora. Depois, aperte e segure a tecla 
“." e aperte “ ; “ simultaneamente. Faça essa operação novamente para voltar à configuração 
original de separador de dígitos no mostrador. 
 
Casas Decimais 
 
Acesso as 
funções 
douradas 
Acesso as 
funções azul 
Função secundaria 
impressão em “dourado” 
Função primaria 
impressão em “branco” 
Função secundaria 
impressão em “azul” 
5 
 
 Para alterarmos o número de casas decimais basta clicar na tecla “f” e o número de 
casas desejadas. 
 
Ex.: 
 � uma casa após a virgula; 
 � duas casas após a virgula; 
� nove casas após a virgula; 
 
 
Indicador de troca de pilha 
 
 Quando a pilha de alimentação estiver gasta começará a piscar na direita do visor da 
HP-12C um asterisco - *. Este sinal indica que a pilha deve ser substituída. 
 
Números negativos 
 
 Para fazer com que o número que esteja no visor ( digitado ou resultado de cálculo) 
transforme-se em negativo basta clicar na tecla “CHS”. Se o número apresentado no visor for 
negativo para transforma-lo em positivo basta clicar na tecla “CHS”. 
 
Limpando os registradores 
 
 
Teclas de Memórias 
 
Além das pilhas de memória a HP-12C possui 9 memórias que podem ser utilizadas 
para armazenar um número digitado ou um resultado de uma operação. 
Utiliza-se a tecla “STO” seguida da tecla correspondente ao número da memória que 
você quer armazenar a informação. Para recuperar o valor gravado basta clicar na tecla “RCL” 
e o número que foi memorizado. 
 
Ex.: 
 
Guardar o número 25 
 
 
Recuperar o número gravado 
 
 
Pilhas Operacionais 
 
A HP-12C possui quatro pilhas operacionais. A máquina deveria ter quatro visores que 
nos possibilitariam ver o conteúdo de cada visor como indicado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
Teclas Significado 
CLX Limpa os valores contidos no visor 
f CLEAR REG (f CLX) Limpa “tudo”, exceto a memória de programação 
f CLEAR ( f SST) Limpa os registros estatísticos, os registros da pilha operacional e o visor 
f CLEAR FIN Limpa os registros financeiros 
f CLEAR PRGM Limpa a memória de programação (quando no modo PRGM) 
5 STO 
25 Enter STO 5 
f 9 
f 2 
f 1 
6 
 
 
Para efetuar qualquer cálculo, é fundamental saber como introduzir dados nestes 
registradores (compartimentos) e como eles se relacionam entre si. 
 
Ex.: (3+6)+(4-2)x(2) 
 
Se estivéssemos trabalhando com uma calculadora normal deveríamos resolver cada parte 
da equação, anotar o resultado e prosseguir os cálculos. Com as propriedades da pilha 
operacional este calculo é resolvido na HP-12C da seguinte forma: 
 
T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
Z 0 0 0 0 0 9 9 0 9 0 0 
Y 0 3 3 0 9 4 4 9 2 9 0 
X 3 3 6 9 4 4 2 2 2 4 13 
Teclas 3 ENTER 6 + 4 ENTER 2 - 2 X + 
 
 
2.2. Operações aritméticas simples 
 
 
 
Soma: 
Ex.: (5+8) � Visor: 13 
 
 
Subtração: 
Ex.: (9-7) � Visor: 2 
 
Multiplicação: 
Ex.: (3x9) � Visor: 27 
 
 
Divisão: 
Ex.: (8/2) � Visor: 4 
 
 
 
2.3. Funções estatísticas 
 
Com a calculadora HP-12C podemos realizar operações estatísticas simples como a obtenção 
da média e do desvio-padrão de uma série de dados. 
 
Ex.: Considerando a série numérica (10,12,8,9,11) obtenha a média e o desvio-padrão. 
 
 
 
Média: Visor: 10 
 
Desvio-Padrão: Visor: 1,5811 
 
g . 
g 0 
10 
 
Σ+ 12 
 
Σ+ 8 
 
Σ+ 9 
 
Σ+ 11 
 
Σ+ 
8 Enter 2 ÷ 
3 Enter 9 x 
9 Enter 7 - 
5 Enter 8 + 
7 
 
 
 
2.4. Operações com percentuais 
 
Valor percentual de um número. 
 
Ex.: 30% de 200 Visor: 60 
 
Pressionando a tecla na seqüência do cálculo acima, determina-se o valor acumulado. 
Visor: 260 
 
Pressionando a tecla no lugar de , obtém-se o valor descontado(líquido). Visor: 140 
 
Diferença percentual entre dois números. 
 
Ex. 1: Uma geladeira custava R$ 1.500,00, no final do mês seguinte o preço foi inflacionado 
para R$ 1.800,00. Determine o percentual de reajuste aplicado sobre o preço inicial. 
 
Visor: 20 (valor percentual) 
 
Ex. 2: Em uma certa data um investidor comprou R$ 15.780,30 em ações da Petrobras. 
Passando cinco dias, vendeu sua posição por R$ 14.980,00. Determine a variação percentual 
da operação. 
 
Visor: -5,07 (valor em percentual) 
 
 
Porcentagem do total. 
 
Ex.: em junho uma empresa vendeu 36 televisores e em julho 14. Calcule o percentual de 
participação de cada mês sobre o total das vendas. 
 
Visor: 50 Visor: 72 
 
 
 Visor: 28 
 
2.5. Operações com expoentes 
 
Potenciação 
 
Ex.: 43: Visor: 64 
 
 
3. CONCEITOS FINANCEIROS BÁSICOS 
 
 
 
 
 
 
3.1. Capital 
 
Do ponto de vista econômico, capital pode ser definido como um dos fatores de produção. 
É considerado, também, a expressão monetária de um bem ou serviço. 
4 Enter 3 Yx 
Enter 14 + 
15.780,30 Enter 14.980 ∆% 
1.500 Enter 1.800 ∆% 
200 Enter 30 % 
% 
∆% 
% T 
+ 
- 
+ 
36 36 % T 
CLx 14 % T 
Yx 
8 
 
 
Em matemática financeira, capital é a quantidade de moeda (ou dinheiro) que um indivíduo 
tem disponível e concorda em ceder a outro, temporariamente, mediante determinada 
remuneração. 
 
3.2. Fluxo de Caixa 
 
Fluxo de caixa é a representação gráfica do conjunto de entradas e saídas de recursos, ao 
longo do tempo, em um projeto de investimento. 
 
Convencionalmente, as entradas de caixa ou créditos são valores positivos (seta para 
cima) e as saídas de recursos ou débitos são negativas (seta para baixo). 
 
Dessa forma, graficamente o fluxo de caixa pode ser representado por meio do seguinte 
diagrama: 
 
 
 
Exemplo: 
 
1) Represente o diagrama de fluxo de caixa de uma aplicação no valor de R$ 
500,00 que será resgatado em três parcelas iguais, mensais, no valor de R$ 
200,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(+) 
Entradas 
(-) 
Saídas 
0 Tempo 
9 
 
Capital Inicial : 
R$ 100,000 
Valor Futuro: 
R$ 110,00 
1 
JUROS = Valor Futuro – Capital Inicial = R$ 110,00 – R$ 100,00 = R$ 10,00 
 
PVFVJ −=
3.3. Juros 
 
Juros é a remuneração sob o uso de um capital ao longo do tempo. Os juros são obtidos 
pela diferença entre o capital no final do período e o capital no início do intervalo. Eles 
equivalem ao aluguel do dinheiro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
J = Juros 
FV = Valor Futuro (future value) 
PV = Capital Inicial (present value) 
 
Ex.: João pediu emprestado a seu amigo Marcos a quantia de R$ 100,00. Após 30 dias João 
devolveu R$ 110,00. Determine o valor dos juros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A determinação dos juros considera três fatores: 
 
I. Oportunidade: a aplicação de recursos implica na indisponibilidade desse recurso 
para outro fim; 
II. Utilidade: ao realizar um investimento, o consumo estará sendo deslocado para o 
futuro, assim o consumo foi deslocado para a frente; 
III. Risco: é o aspecto da possibilidade dos recursos voltarem no futuro e este retorno 
pode ser diferente do valor esperado. 
JUROS 
CAPITAL INICIAL 
VALOR FUTURO 
10 
 
Documentos históricos redigidos pela civilização Suméria, por volta de 3000 a.C., revelam 
que o mundo antigo desenvolveu um sistema formalizado de crédito baseado em dois 
principais produtos, o grão e a prata. Antes de existirem as moedas, o empréstimo de metal era 
feito baseado em seu peso. Arqueólogos descobriram pedaços de metais que foram usados no 
comércio nas civilizações de Tróia, Babilônia, Egito e Pérsia. Antes do empréstimo de dinheiro 
ser desenvolvido, o empréstimo de cereal e de prata facilitava a dinâmica do comércio. Na 
Idade Média, considerava-se crime ( chamado crime de Usura ), alguém emprestar dinheiro, 
pretendendo receber uma quantia maior do que o valor emprestado após um tempo. 
Existem diversas teorias que tentam explicar porque os juros existem. Uma delas é a teoria 
da escola austríaca, primeiramente desenvolvida por Eugen von Boehm-Bawerk. Ela afirma 
que os juros existem por causa da manifestação das preferências temporais dos consumidores, 
já que as pessoas preferem consumir no presente do que no futuro. 
 
 
 
3.4. MONTANTE 
 
 
O montante ou valor futuro é o resultado da aplicação mdo capital inicial. 
Matematicamente, representa a soma do capital inicial mais os juros capitalizados durante o 
período. Em algumas situações, como nas operações de desconto, o valor futuro também é 
denominado valor nominal. É, portanto, a quantidade de moeda (ou dinheiro) que poderá ser 
usufruída no futuro. 
 
 
 
3.5. TAXA DE JUROS 
 
 
Taxa de juros é um percentual que remunera o capital. Para efeitos de calculo o valor deve 
ser puro, isto é: o percentual dividido por 100(cem). 
 
Indicamos a taxa de juros com a letra i (do inglês, interest rate, taxa de juros). 
Algebricamente, podemos definir a taxa de juros assim: 
 
 
 
 
C
Ji = onde: 
 
 
i =taxa de juros 
J = juros 
C ou PV = Capital Inicial (present value) 
 
 
É fundamental expressar claramente a unidade de tempo da taxa de juros pois, uma 
operação com prazo de 1 ano pode ser expressa em 12 meses, 360 dias (ano comercial), 252 
dias úteis, 4 trimestres, 3 quadrimestres, 6 bimestres ou 2 semestres. 
 
Exemplo Prático: 
 
Um indivíduo investe R$ 5.000,00 em um negócio pelo prazo de dois meses. No final do 
período ele recebe R$ 5.300,00. Determine a taxa de juros do negócio. 
 
 
 
 
11 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relacione as colunas 
 
1. Juros 
2. Montante 
3. Capital 
4. Taxa de juros 
5. prazo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) O tempo decorrido de uma 
aplicação; 
( ) Valor presente; 
( ) é o rendimento obtido por 
investimento; 
( ) valor futuro; 
( ) capital produzido; 
( ) A remuneração de um capital 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Regimes de Capitalização 
 
“Se quiseres ser rico, não aprende só o modo de ganhar, aprende, 
também, o modo de administrar a tua riqueza.” 
Benjamin Franklin 
 
Regime de capitalizações é o nome dado ao processo de formação de capital ao longo 
do tempo. Neste curso, estudaremos os regimes mais usuais em finanças, a saber: 
capitalização simples e capitalização composta. 
 
 
 
 
 
4.1. Capitalização Simples 
 
 
Os juros simples são utilizados em diversas oportunidades. Em países com economia 
estável, é comum a utilização de juros simples em operações com prazos de seis meses ou um 
ano, pois a inflação, além de ser relativamente baixa, é relativamente previsível e as regras do 
mercado financeiro não são abruptamente alteradas. O mesmo não ocorre em países com alto 
nível de inflação, pois qualquer desvio na taxa de juros esperada pode produzir diferenças 
significativas sobre o resultado final da operação. 
 
No Brasil, os juros simples são comumente utilizados em operações financeiras de 
curtíssimo e curto prazo (de um dia a um mês), desconto de duplicatas, hotmoney, juros do 
cheque especial e cobrança de juros de mora. As operações financeiras indexadas em dólar 
são também calculadas com taxa de juros simples. 
 
No regime de capitalização simples, os juros são gerados exclusivamente pelo capital 
inicial (pv) investido inicialmente. Podemos definir juros simples como a multiplicação do capital 
inicial pela taxa de juros e pelo prazo. 
 
© Professor Rafael Antonini CRA-RS:24.421 - 2011/Versão 2.1.2 12 
 
 
 
 
 
niCJ ××= onde: 
J=juros 
C ou PV = Capital Inicial (present value) 
i =taxa de juros 
 
O montante é definido pela soma do capital inicial com os juros. Logo, podemos definir 
a equação que representa o montante como: 
 
(1) JCM += 
 
(2) niCCM ××+= 
 
(3) ( )niCM ×+= 1 onde: 
M ou FV = Montante, valor futuro (future value) 
C ou PV = Capital Inicial (present value) 
i =taxa de juros 
n=prazo da operação 
 
 
Neste regime, os juros não são incorporados ao principal. Portanto, o capital crescerá a 
uma taxa linear e a taxa de juros terá um comportamento linear ao longo do tempo. 
 
 
A taxa de juros poderá ser convertida para outro prazo qualquer com base em 
multiplicações e divisões, sem alterar seu valor intrínseco, ou seja, mantém a 
proporcionalidade existente entre valores realizáveis em diferentes datas. 
 
Exemplos Práticos: 
 
1) Considerando uma aplicação de R$ 1.000,00 a uma taxa de juros simples de 10% a.m, 
complete o quadro e gráfico abaixo. 
 
 
PERÍODO CAPITAL TAXA DE JUROS JUROS CAPITAL + JUROS 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
 
 
 
 
 
 
© Professor Rafael Antonini CRA-RS:24.421 - 2011/Versão 2.1.2 13 
 
 
 
 
 
 
 
2) Qual os juros de R$ 10.000,00 aplicados por dois meses à taxa de juros simples de 36% 
a.a.? 
 
 
 
 
 
3) Um capital aplicado por três meses a juros simples de 4% a.m. rendeu R$ 360,00. 
Determinar o valor do capital. 
 
 
 
 
 
4) Em sete meses R$ 18.000,00 renderam R$ 4.000,00 de juros. Qual é a taxa anual simples 
ganha? 
 
 
 
 
5) Um título foi resgatado por R$ 3.000,00. Se a taxa de juros simples aplicada foi de 180% a.a. 
e os juros ganhos totalizaram R$ 1.636,36, quantos meses durou a aplicação? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Qual o valor futuro de R$ 500,00 aplicados por 16 meses à taxa de juros simples de 12% 
a.t.? 
 
 
 
 
 
 
1000
1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900
2000
2100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
FV
N
GRÁFICO - JUROS SIMPLES
© ProfessorRafael Antonini CRA-RS:24.421 - 2011/Versão 2.1.2 14 
 
D=N-A 
N A 
Data de emissão do título 
Data do desconto 
Data do vencimento 
t 
7) Em quantos meses um capital dobra a juros simples de 200% a.a.? 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.1.1. Desconto Simples 
 
E o adiantamento de recursos aos clientes, feito pelo banco, sobre valores 
referenciados em duplicatas de cobrança ou notas promissórias, para antecipar o fluxo de 
caixa do cliente. 
O cliente transfere o risco do recebimento de suas vendas a prazo ao banco e garante o 
recebimento imediato dos recursos que, teoricamente, só teria disponíveis no futuro. 
O banco deve selecionar cuidadosamente a qualidade de crédito das duplicatas ou NP, 
para evitar a inadimplência. 
Normalmente, o desconto de duplicatas é feito sobre títulos com prazo máximo de 
sessenta dias e prazo médio de trinta dias. 
A operação de desconto dá ao banco o direito de regresso, ou seja, no vencimento, caso 
o título não seja pago pelo sacado, o cedente assume a responsabilidade do pagamento, 
incluindo multa e/ou juros de mora pelo atraso. 
 
 Desconto é a diferença entre o valor nominal do título e o valor atual. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
N: Valor Nominal do Título: é a importância que está indicada no título, isto é, quantia a 
ser paga(resgatada) no seu vencimento. 
 
A: Valor Atual: é o valor líquido recebido pelo título ao efetuar uma operação de 
desconto. 
 
D: Desconto: é a quantia retida na operação, isto é, a diferença entre o valor nominal e 
o atual. 
 
t: prazo: corresponde ao período de tempo entre a data do desconto e data do 
vencimento. 
 
i: taxa de juros simples 
 
d: taxa de desconto simples. 
 
Didaticamente, podemos classificar os tipos de desconto conforme o quadro abaixo: 
 
 
© Professor Rafael Antonini CRA-RS:24.421 - 2011/Versão 2.1.2 15 
 
D=N-A 
N A 
Data de emissão do título 
Data do desconto 
Data do vencimento 
n 
 
 
 
 
 
Desconto Simples 
 
Neste tipo de desconto utilizamos a capitalização simples. Todos os conceitos 
trabalhados em juros simples podem ser aplicados ao desconto simples. 
 
Na prática de mercado, essa metodologia de cálculo é utilizada em operações de curto 
prazo. 
 
 
 
4.1.1.1. Racional ou por dentro; 
 
No método do desconto simples racional, também chamado por dentro ou matemático, 
o valor do desconto é calculado aplicando-se a taxa de juros simples sobre o valor atual do 
título. Podemos concluir, que o desconto corresponde ao juro simples produzido pelo valor 
líquido( atual) do título, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
inAD rr = 
 
Se: rr AND )(−= 
 
Então, substituindo na formula do desconto acima, teremos: 
 
 
Desconto 
Regime de Capitalização Simples: 
adotado em operações de curto prazo. 
Por dentro ou Racional. 
Por fora, bancário ou 
comercial. 
Regime de Capitalização Composta: 
adotado em operações de longo 
prazo. 
Por dentro ou Racional. 
Por fora, bancário ou 
comercial. 
© Professor Rafael Antonini CRA-RS:24.421 - 2011/Versão 2.1.2 16 
 
D=N-A 
N A 
Data de emissão do título 
Data do desconto 
Data do vencimento 
n 
 
itDND rr )( −= 
itDNinD rr −= 
NitinDD rr =+ 
 
 ( )it
NitDr +
=
1
 
 
 
Exemplos Práticos: 
Um título no valor nominal de R$ 1.000,00 que foi emitido em 01/12/2007 com vencimento para 
20/01/2008 e levado ao banco para descontar em 21/12/2007. Sabendo que o valor do 
desconto foi de R$ 100,00 determinar a taxa de juros utilizada na operação. Considerando a 
metodologia de cálculo de desconto racional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.1.1.2. Desconto Comercial - por fora, bancário 
 
 
Neste método, o valor do desconto é obtido aplicando-se a taxa de desconto simples 
sobre o valor nominal do título, isto é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NdtDc = 
dt
DN c=
 
 
Nt
Dcd =
 
 
Nd
D
t c=
 
 
Se: 
 
cccc DNAentãoAND −=−= : 
© Professor Rafael Antonini CRA-RS:24.421 
 
 
)1( dtNAc −= 
 
)1( dt
AN c
−
= 
 
Exemplos Práticos: 
 
Um título no valor nominal de R$ 1.000,00 que foi emitido em 01/12/2007 com vencimento para 
20/01/2008 e levado ao banco para descontar em 21/12/2007. Sabendo que o valor do 
desconto foi de R$ 100,00 determinar a taxa de desconto utilizada empregada na operação. 
Considerando a metodologia de cálculo de desconto por fora.
 
 
 
 
QUADRO RESUMO 
 
 
 
 
 
Data de Emissão do Título
Verificar se é taxa de 
juros(i) ou taxa de 
desconto(d)
RS:24.421 - 2011/Versão 2.1.2 
Um título no valor nominal de R$ 1.000,00 que foi emitido em 01/12/2007 com vencimento para 
20/01/2008 e levado ao banco para descontar em 21/12/2007. Sabendo que o valor do 
foi de R$ 100,00 determinar a taxa de desconto utilizada empregada na operação. 
Considerando a metodologia de cálculo de desconto por fora. 
 
 
Data de VencimentoData do Desconto
Verificar se é taxa de 
juros(i) ou taxa de 
desconto(d)
Taxa de juros(i) = desconto 
racional / por dentro
Taxa de 
desconto(d)=desconto 
comercial / por fora
 17 
Um título no valor nominal de R$ 1.000,00 que foi emitido em 01/12/2007 com vencimento para 
20/01/2008 e levado ao banco para descontar em 21/12/2007. Sabendo que o valor do 
foi de R$ 100,00 determinar a taxa de desconto utilizada empregada na operação. 
 
© Professor Rafael Antonini CRA-RS:24.421 - 2011/Versão 2.1.2 18 
 
 
Conversão de taxas: 
 
Tenho a taxa de juros (i) e quero a taxa de desconto � � � �
����.�	
 
 
Tenho a taxa de desconto (d) quero a taxa de juros � 
 � �
����.�	
 
 
 
4.2. Capitalização Composta 
 
 
 “Não sei quais são as sete maravilhas do mundo, mas 
certamente conheço a oitava: os juros compostos.” 
- Barão de Rothschild 
 
 
 O regime de capitalização composta é a forma de capitalização mais utilizada nas 
práticas financeiras no Brasil. 
 
 Juros Compostos é um regime de capitalização onde os juros produzidos em período 
de tempo são incorporados ao capital inicial do período de tempo subseqüente gerando novos 
juros. 
 
Esse raciocínio parte da premissa de que a taxa de juros é expressa na unidade de 
tempo correspondente ao período de capitalização, ao final do qual, os juros são pagos. Por 
exemplo, se a taxa de juros é expressa em período mensal, os juros são pagos mensalmente; 
se é expressa em período anual, os juros são pagos anualmente, e assim por diante. Caso os 
juros não sejam pagos, eles são incorporados ao capital existente no início do novo período de 
capitalização. 
 
 
O valor futuro ou montante é expresso pela expressão abaixo. 
 
1) JPVFV += 
 
(2) niPVPVFV ×+= 
 
(3) ( )niPVFV += 1 onde: 
 
FV ou M = Montante, valor futuro (future value) 
PV ou C = Capital Inicial (present value) 
i =taxa de juros 
n=prazo da operação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© Professor Rafael Antonini CRA-RS:24.421 - 2011/Versão 2.1.2 19 
 
Exemplos Práticos: 
 
1) Considerando uma aplicação de R$ 1.000,00 a uma taxa de juros compostos de 10% a.m, 
complete o quadro e gráfico abaixo. 
 
PERÍODO CAPITAL 
TAXA DE 
JUROS JUROS 
CAPITAL + 
JUROS 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Quanto rende um capital de R$ 4.000,00 aplicado por dez meses a juros efetivos de 2% a.m. 
 
 
 
 
 
3) Determinar o capital que, aplicado por sete meses a juros compostos de 4% a.m., rendem 
R$ 10.000,00.4) A juros compostos de 20% a.m., qual o montante de R$ 3.500,00 em 8 meses? 
 
 
GRÁFICO - JUROS COM POSTOS
1000
1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900
2000
2100
2200
2300
2400
2500
2600
2700
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
N
FV
© Professor Rafael Antonini CRA-RS:24.421 - 2011/Versão 2.1.2 20 
 
GRÁFICO - COM PARAÇÃO ENTRE REGIM ES DE CAPITALIZAÇÃO
R$ 10.000,00
R$ 11.000,00
R$ 12.000,00
R$ 13.000,00
R$ 14.000,00
R$ 15.000,00
R$ 16.000,00
R$ 17.000,00
R$ 18.000,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
N
FV
 
5) Qual o capital que, em 6 anos à taxa de juros compostos de 15%a.a. transforma-se em R$ 
14.000,00 
 
 
 
 
 
6) A que taxa de juros um capital de R$ 2.000,00 obtém um rendimento de R$ 280,00 em dois 
meses? 
 
 
 
 
7) Em que prazo um empréstimo de R$ 55.000,00 pode ser quitado por meio de um único 
pagamento de R$ 110.624,80 se a taxa de juros compostos cobrada for de 15% a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
4.3. Comparação entre o regime de capitalização Simples e Composto 
 
José empresta para Salim a quantia de R$10.000,00 por 5 meses à taxa de 70% ao ano, 
no regime de juros compostos. Salim repassa a mesma quantia, nas mesmas condições, para 
Onofre, contudo no regime de juros simples. Determinar o quanto Salim ganhou ou perdeu. 
 
Sendo o regime de juros compostos, o montante que José receberá de Salim é expresso por: 
niPVFv )1( += 
42,474.12)70,01(000.10 12
5
=+=FV 
 
Analisaremos agora o empréstimo de Salim a Onofre. 
 
Juros Simples 
 
67,916.12)70,0
12
51(000.10 =×+=FV
 
 
Graficamente teríamos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© Professor Rafael Antonini CRA-RS:24.421 - 2011/Versão 2.1.2 21 
 
As diferenças entre os regimes de capitalização simples e composto são: 
 
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Estrutura das taxas de juros 
 
5.1. Revisão das propriedades da racionalização 
 
Para entender os cálculos de capitalização composta e taxas de juros, há necessidade de 
um conhecimento de propriedades de potenciação e radiciação. A seguir, são apresentadas 
algumas propriedades, em forma de exemplos. 
 
331,110,110,110,110,1 3 =××= 
3
3
10,1
110,1 =− 
24336 10,110,110,110,110,1 ×=×= 
36
3
6
10,1
10,1
10,1
−
= 
53232 10,110,110,110,1 ==× + 
3
1
3 88 =
 
 
 
5.2. Taxa proporcional(taxa linear) 
 
A maior parte dos juros praticados no sistema financeiro nacional e internacional 
encontram-se referenciada na taxa linear, como a remuneração linear da caderneta de 
poupança, as taxas internacionais libor e prime rate, o desconto bancário, entre outros. 
 
Duas taxas de juros, i1 e i2, expressas em unidades de tempo distintas, são ditas 
PROPORCIONAIS quando, incindindo sobre um mesmo principal, durante um mesmo prazo, 
produzem um mesmo montante, no regime de CAPITALIZAÇÃO SIMPLES. 
 
Exemplo Prático: 
Determinar a taxa trimestral proporcional à taxa de 21% a.a. 
 
 
 
Determinar a taxa mensal proporcional à taxa de 36% a.a 
 
 
 
Determinar a taxa diária proporcional à taxa de 2,7% a.m 
 
 
Determinar a taxa anual proporcional à taxa de 0,053% a.d. 
 
 
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5.3. Taxa nominal 
 
Freqüentemente, os juros são capitalizados mais de uma vez no período a que se refere a 
taxa de juros, ou seja, os juros são incorporados ao principal mais de uma vez no perído da 
taxa de juros. Quando isso ocorre, a taxa de juros é chamada de taxa nominal. Vejamos a 
seguir as características: 
 
Aplica-se diretamente em operações de juros simples. É suscetível de ser 
proporcionalizada (dividida ou multiplicada) “k” vezes em seu período referencial, de modo que 
possa ser expressa em outra unidade de tempo(caso dos juros simples) ou como unidade de 
medida para ser capitalizada em operações de juros compostos. É uma taxa referencial que 
não incorpora capitalizações. É calculada com base no valor nominal da aplicação ou 
empréstimo. 
 
Exemplos de taxas nominais: 
 
18% ao ano capitalizada mensalmente; 
5% ao mês capitalizada diariamente; 
8% ao semestre capitalizada mensalmente; 
Operações de overnight em que a taxa de juros é mensal com capitalizações diárias; 
Operações de cambio; 
 
 
5.4. Taxa efetiva 
 
A taxa efetiva é expressa numa unidade de tempo coincidente com o período de tempo em 
que os juros são capitalizados. 
 
Exemplos: 
 
5%a.m, com capitalização mensal; 
0,2% a.d., com capitalização diária; 
10% a.a., com capitalização anual; 
 
 
 
5.5. Taxa equivalente 
 
Duas taxas de juros i1 e i2, expressas em unidades de tempo distintas, são ditas 
EQUIVALENTES, quando, incidindo sobre um mesmo principal durante um mesmo prazo, 
produzem um mesmo montante, no regime de capitalização composta. 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3602346121 1111111 diasemestrerequadrimesttrimestrebimestremêsano iiiiiii +=+=+=+=+=+=+
 
Exemplos Práticos 
 
Determinar a taxa trimestral equivalente à taxa de 30% a.a. 
 
 
 
Determinar a taxa anual equivalente à taxa de 2,5% a.m. 
 
 
 
Determinar a taxa diária equivalente à taxa de 4%a.a. 
 
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Nota: A taxa diária equivalente é também conhecida como taxa por dia corrido. O 
mercado financeiro, visando equalizar os cálculos, utiliza com maior freqüência taxas baseadas 
na quantidade de dias úteis contida nos prazos das operações, como veremos mais adiante. 
 
Determinar a taxa por dia útil equivalente à taxa de 5,3% a.m (mês comercial com 21 
dias úteis). 
 
 
Num determinado investimento a taxa auferida foi de 18,7% a.p (período com 67 dias 
úteis). Determinar a taxa por dia útil equivalente. 
 
 
 
 
5.6. Taxa over Ano 
 
O cálculo da taxa over ano é definido pelo Banco Central do Brasil através da Circular 
n° 2.761/1997 que estabeleceu o ano-base em 252 dias úteis. 
 
Esta metodologia de cálculo é para se obter a taxa diária efetiva da meta da taxa Selic, 
a taxa básica de juros da economia brasileira, fixada periodicamente pelo COPOM - Comité de 
Política Monetária do Banco Central. 
 
Exemplo Prático: 
 
O Banco Central divulgou a taxa Selic( taxa básica de juros do Banco Central) para o 
período de dezembro 2007 em 11,25% a.a, calcular a taxa equivalente por dia útil. 
 
 
 
 
 
 
5.7. Taxas variáveis 
 
No regime de capitalização composta, a relação entre o principal, o montante, a taxa 
efetiva e o tempo é expressa, como foi visto nos capítulos anteriores por: 
 
 
 
Nessa expressão supõe-se que a taxa efetiva i seja constante em todos os períodos de 
capitalização, conforme o fluxo abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
niPVFV )1( +=
© Professor Rafael Antonini CRA-RS:24.421 - 2011/Versão 2.1.2 24 
 
Caso a taxa seja variável ao longo dos períodos de capitalização, a relação entre o 
principal, o montante e as taxas efetivas ao longo do tempo muda. 
 
O fluxo de caixa associado, nesse caso, seria o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: i1, i2, i3, ...., in são as taxas efetivas relativas aos intervalos unitários de tempo 1,2,3, ....., 
n, respectivamente. 
 
No fim do primeiro intervalo unitário de tempo, temos: 
)1(. 11111 iPJPeFiPJ +=+== 
 
No fim do segundo intervalo unitário de tempo, tempo: 
( )21212212 1)1(. iiPJFeFiFJ ++=+== 
 
No fim do terceiro intervalo unitário de tempo, tempo: 
( )( )321323323 11)1(. iiiPJFeFiFJ +++=+== 
 
Generalizando para o n-ésimo intervalo unitário de tempo,tem-se que: 
 
 
( )( ) )1...(11)1( 321 niiiiPVFV ++++= 
 
 
Exemplos Práticos: 
 
Uma pessoa investe R$ 50.000,00 no mercado financeiro por 3 meses, obtendo as seguintes 
rentabilidades efetivas mensais: 
 
 
Mês 1 Mês 2 Mês 3 
6 % 17 % 4 % 
 
 Determinar o montante do resgate 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.8. Taxa média ( Regime de capitalização composta) 
 
Consideremos o seguinte fluxo de caixa envolvendo taxas efetivas variáveis: 
 
© Professor Rafael Antonini CRA-RS:24.421 - 2011/Versão 2.1.2 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No qual o montante é obtido por meio da relação: 
 
 
( )( ) IiiiiPVFV n )1...(11)1( 321 ++++= 
 
Se admitirmos que haja uma taxa efetiva constante em todos os períodos unitários de 
capitalização que, incidindo sobre o mesmo principal durante o mesmo prazo, acarrete o 
mesmo montante, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a taxa efetiva é constante, podemos escrever: 
 
IIiPVFV n)1( += 
 
 
Da comparação das expressões (I) e (II) decorre: 
 
( )( ) )1...(11)1()1( 321 nn iiiiPViPV ++++=+ 
 
E obtemos então: 
 
( )( ) )1...(11)1()1( 321 nn iiiii ++++=+ 
 
E, também: 
 
( )( ) 1)]1...(11)1[( 1321 −++++= nniiiii 
 
A taxa efetiva i é denominada taxa média. 
 
Exemplos Práticos 
 
Uma pessoa investiu no mercado acionário e obteve as seguintes rentabilidades 
efetivas durante os meses de investimento: 
 
Mês 1 Mês 2 Mês 3 Mês 4 
© Professor Rafael Antonini CRA-RS:24.421 - 2011/Versão 2.1.2 26 
 
3,5% 5,2% -2,5% 18,7% 
 
Determinar a rentabilidade mensal média. 
 
 
 
 
5.9. Taxa acumulada 
 
Considere um capital inicial P aplicado durante n períodos unitário de tempo, nos quais 
vigoram as taxas efetivas i1,i2,i3,.....in, no regime de capitalização composta: 
 
 
 
 
Podemos, então deduzir: 
 
Taxa efetiva no período da aplicação (iac) 
 
P
jiac = )(1 IP
Fi
P
PFi ACAc −=→
−
=
 
 
 
Montante da aplicação no fim do período 
 
Do exposto anteriormente: 
 
( )( ) )1...(11)1( 321 niiiiPF ++++= 
 
Logo, 
 
( )( ) )1...(11)1( 321 niiiiPP
F
++++=
 
 
 
Substituído: 
 
( )( ) 1)1...(11)1( 321 −++++= nAC iiiii 
 
Exemplo Prático: 
 
Um investidor aplicou R$ 300.000,00 na bolsa de valores durante 5 meses 
consecutivos, nos quais obteve as seguintes rentabilidades efetivas mensais: 
 
Mês 1 Mês 2 Mês 3 Mês 4 Mês 5 
6,5% 3,2 % 5,7 % -4,8% 10,8% 
 
 
 
 
© Professor Rafael Antonini CRA-RS:24.421 - 2011/Versão 2.1.2 27 
 
Determinar o montante do investimento e a taxa acumulada no período: 
 
Montante: 
 
 
 
 
Taxa efetiva: 
 
 
 
 
5.10. Taxa real 
 
No mundo dos negócios as decisões que tomamos estão envoltas pela incerteza – em 
maior ou menor grau – e, de certa forma, vivemos administrando o risco. 
 
Entretanto, o risco de um modo geral, é indesejável. E, assim sendo, o risco só é assumido 
se a ele corresponder um certo prêmio. Ou seja, em circunstâncias normais quanto maior o 
risco associado a um negócio maior deverá ser o retorno esperado dele para compensar o 
risco assumido. 
 
No mundo prático, o nível de risco associado a um evento de acordo com as informações 
disponíveis a seu respeito e com a forma de utilização dessas informações por parte dos 
agentes econômicos. 
 
Fórmula de Fischer 
 
A inflação, caracterizada pelo crescimento do nível geral de preços dos bens e serviços 
causa o fenômeno da ilusão monetária nas práticas financeiras e é um dos principais tipos de 
riscos a que estamos sujeitos em finanças. 
 
A formula de Fischer estabelece o efeito da inflação sobre as taxas de juros e é expressa 
através da relação: 
 
)1)(1()1( ri ++=+ θ 
 
Onde: 
i= taxa efetiva 
Θ: taxa de inflação, obtida através de um índice de preços; 
R: taxa real 
 
As taxas i, Θ e r são relativas a um mesmo período de tempo. 
 
Consideramos uma instituição financeira que deseja obter uma remuneração real de 2% 
a.m nos empréstimos liberados a seus clientes, numa conjuntura econômica em que a inflação 
prevista é de 1,5% a.m. 
 
mai .%53,3)02,01)(015,01()1( =++=+ 
 
Ou seja, a instituição financeira deve cobrar de seus clientes 3,53% a.m de modo a 
repassar-llhe o risco de uma inflação de até 1,5%a.m, auferindo um ganho real de 2% a.m. 
 
Formula de Fischer Generalizada 
 
Como se pode perceber, a idéia central da formula de Fischer é obter a taxa efetiva i que 
garanta ganho real r após o repasse do risco da inflação Θ. 
 
© Professor Rafael Antonini CRA-RS:24.421 - 2011/Versão 2.1.2 28 
 
Se fizermos, agora, uma extensão de raciocínio considerando outros tipos de risco aos 
quais o capital esteja sujeito, além do risco inflacionário, o problema se torna mais abrangente. 
 
Nesse caso, então, a taxa efetiva i deve ser suficiente repassar os custos dos diversos 
tipos de risco envolvidos numa dada operação financeira e ainda garantir a remuneração real r. 
 
A obtenção da formula de Fischer generalizada parte do pressuposto de que o capital está 
sujeito a uma série de riscos independentes com taxas associadas: 
 
Risco 1 � Θ1 
Risco 2 � Θ2 
Risco 3 � Θ3 
. 
. 
. 
. 
Risco n � Θn 
 
As taxas Θ1, Θ2, Θ3 e Θn devem ser relativas ao mesmo período e expressas na mesma 
unidade de tempo. 
 
A formula de Fischer generalizada pode ser obtida pela expressão abaixo: 
 
( ) ( )( )( ) ( )( )ri n +Θ+Θ+Θ+Θ+=+ 11....1111 321 
 
Exemplos Práticos 
 
1) Uma loja de eletrodomésticos opera no segmento de vendas a prazo. Ela opera 
basicamente com três tipos de riscos: inflação, inadimplência e atrasos nos pagamentos. A sua 
taxa efetiva operacional deve, portanto, cobrir esses riscos e proporcionar um determinado 
retorno real. 
As premissas que a loja está trabalhando são: 
a) taxa de inflação prevista para os próximos meses: 1% a.m. 
b) taxa de inadimplência, baseada em levantamento de dados históricos recentes: 
3% a.m. 
c) taxa de atrasos nos pagamentos, baseada em levantamento de dados 
históricos recentes: 2% a.m 
d) a taxa real pretendida é 1% a.m 
 
( )( )( )( ) mai .%1717,7101,0102,0103,0101,01)1( =−++++=+ 
 
2) Uma pessoa investiu no mercado acionário num dado período e obteve a 
rentabilidade efetiva de 20%a.p. No período considerado, a taxa de inflação foi de 
30% a.p. Determinar a taxa real propiciada pelo investimento no período 
considerado. 
3) Um indivíduo aplicou no mercado financeiro, no início de janeiro de um determinado 
ano, a quantia de R$ 500.000,00 e resgatou, no final de abril do mesmo ano, o 
montante de R$ 1.200.000,00. As taxas de inflação mensal foram as seguintes: 
 
Jan Fev Mar Abr 
16,51% 17,96% 16,01% 19,28 
 
Determinar: 
 
a) a taxa efetiva obtida pelo indivíduo no período da aplicação; 
b) a taxa de inflação acumulada no período da aplicação; 
c) a taxa real de retorno do indivíduo no período da aplicação. 
 
 
© Professor Rafael Antonini CRA-RS:24.421 - 2011/Versão 2.1.2 29 
 
1
1 
2 3 4 0 
1° pgto no momento 
zero 
IMEDIATAS ANTECIPADA 
1
1 
2 3 4 0 
1° pgto no final do 
período inicial 
IMEDIATAS POSTECIPADA 
Resolução: 
 
a) 
 
 
b) 
 
c) 
 
 
 
 
6. Rendas Financeiras 
 
 
 
A capitalização múltipla aparece quando uma pessoa tem que efetuar uma série de 
pagamentos em datas previamente estabelecidas e que se destina a constituir um capital 
(montante/FV) ou amortizar uma dívida (valor presente PV) também pode ser utilizada em uma 
sucessão de depósitos. 
 
RENDAS: 
 
CERTAS: São aquelas onde a sua duração não depende de nenhumaeventualidade 
externa, mas obedece a um acordo previamente estabelecido. Ex.: Pagamento de salários. 
 
ALEATÓRIAS: São aquelas em que o início da série ou o final da série dependem de um 
acontecimento externo (aleatório). Ex.: Aposentadoria por tempo de serviço. 
 
TEMPORÁRIAS: São aquelas séries que possuem um número limitado de termos. 
 
PERPÉTUAS: Possuem um número ilimitado de termos. 
 
IMEDIATAS: São aquelas onde os termos de renda são exigidos a partir (dentro) do 
primeiro período do prazo da série. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© Professor Rafael Antonini CRA-RS:24.421 - 2011/Versão 2.1.2 30 
 
1
1 
2 3 4 0 
Carência 
DIFERIDAS 
1
1 
2 3 4 0 
1° pgto no momento 
zero 
IMEDIATAS ANTECIPADA 
 
DIFERIDAS: quando os termos da renda são exigidos em uma data futura.( dois ou mais 
períodos) � Carência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANTECIPADAS: quando os termos exigidos são pagos no início de cada período 
financeiro. 
 
Na HP 12-C � Begin 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POSTECIPADAS: são aquelas rendas onde os termos exigidos, são pagos no final de cada 
período financeiro. 
 
Na HP 12-C � end 
 
© Professor Rafael Antonini CRA-RS:24.421 - 2011/Versão 2.1.2 31 
 
1 2 3 4 
0 
SÉRIE POSTECIPADA 
 
n-2 n-1 n 
FV 
PV 
pmt pmt pmt pmt pmt pmt pmt 
 
 
 
 
 
 
6.1. Rendas certas imediatas 
6.1.1. postecipada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rendas 
Certas 
Mat. Financeira 
Aleatórias 
Mat. Atuarial 
Temporárias 
Perpétuas 
Imediatas 
Diferidas 
Antecipadas 
Postecipada
s 
Antecipadas 
Postecipada
s 
Imediatas 
Diferidas 
Postecipada
s 
Antecipadas 
Postecipada
s 
Antecipadas 
Antecipadas 
Temporárias 
Vitalícias 
Imediatas 
Diferidas 
Postecipada
s 
Antecipadas 
Postecipada
s 
Imediatas 
Diferidas 
Postecipada
s 
Antecipadas 
Postecipada
s 
Antecipadas 
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Cálculo do valor presente em uma série uniforme e postecipada: 
 
O valor presente representa a soma das parcelas atualizadas para a data inicial de fluxo (data 
0), considerando a mesma taxa de juros. Quando a série é uniforme e postecipada (termos 
vencidos), o valor presente corresponde à soma dos valores atuais dos termos as séries. O 
diagrama a seguir mostra o processo de desconto. 
 
 
O somatório entre colchetes representa a soma dos termo de uma progressão geométrica 
finita. Utilizando a formula conhecida do somatório da progressão obtemos a expressão abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O valor futuro pode ser obtido pela expressão abaixo: 
 
 
 
 
 
 
Exemplos Práticos: 
 
Uma mercadoria esta a venda na seguinte condições: entrada de R$ 500,00 e mais 6 
prestações mensais no valor de R$ 500,00 cada vencíveis em 30,60,..., 180 dias. Utilizando 
uma taxa de juros compostos de 3,5% a.m com capitalização mensal determinar o preço a 
vista desta mercadoria. 
 
 
 
 
 
 
Um bem cujo preço a vista é de R$ 4.000,00 será pago em oito prestações mensais iguais 
pagas ao fim de cada mês. Considerando que o juro composto cobrado é de 5%a.m, calcular o 
valor das prestações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma pessoa pode abater R$ 7.500,00 se entregar seu carro usado na compra de um veículo 
novo, cujo valor à vista é de R$ 18.500. O saldo será pago por meio de uma determinada 
nnn iPMTiPMTiPMTiPMTiPMTiPMTPV −−−−−−−− +++++++++++= )1()1()1()1()1()1( )1()2(321






+
−+
=
1.)1(
1)1(
n
n
i
iPMTPV
Fator de redução ao valor presente da série postecipada 






−+
=
i
iPMTFV
n 1)1(
© Professor Rafael Antonini CRA-RS:24.421 - 2011/Versão 2.1.2 33 
 
entrada, mais 18 prestações mensais postecipadas de R$ 350. Considerando que foram 
aplicados juros nominais de 72%a.a. capitalizados mensalmente, calcular o valor da entrada. 
 
 
 
 
 
 
 
Quanto uma pessoa acumularia no fim de 15 meses se depositasse todo final de mês R$ 350 
em uma aplicação que paga juros efetivos de 5% ao mês? 
 
 
 
 
Um equipamento cujo valor à vista é de R$ 5.000,00 é comprado em 26 de maio pagando-se 
uma entrada de R$ 2.000,00 e prestações de R$ 1.000,00 a cada 30 dias. Em que data será 
pago totalmente o equipamento considerando que o banco financiador cobra uma taxa efetiva 
de 5% a.a.? 
 
 
 
 
 
 
6.1.2. antecipada 
 
O valor presente de uma série de pagamentos antecipados pode ser obtido pela expressão 
abaixo: 
 
 
 
 
 
Já o montante pode ser definido pela expressão: 
 
 
 
 
 
 
OBS: na calculadora HP 12C alterar para o modo Begin 
 
 
 
Exemplos Práticos: 
 
 
Uma pessoa deve pagar por um financiamento 6 prestações mensais antecipadas de R$13.000 
cada uma. Calcular o valor do financiamento efetivo se a taxa de juros cobrada for de 15% a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
pmt
ii
iPMTPV
n
n
+





×+
−+
=
−
−
)1(
1
)1(
1)1(
)1(1)1( i
i
iPMTFV
n
+





−+
=
© Professor Rafael Antonini CRA-RS:24.421 - 2011/Versão 2.1.2 34 
 
Uma compra no valor de R$ 50.000 foi financiada em 12 prestações mensais antecipadas, 
considerando que o credor aplica juros efetivos de 8% a.m, calcular o valor das prestações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.2. Cálculo de taxas de juros em séries periódicas Uniformes – Método de Baily-
Lenzi. 
 
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ANEXO I – TABELA PARA CONTAGEM DE DATAS 
 
JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ 
1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 
2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 
3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 
4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 
5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 
6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 
7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 
8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 
9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 
10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 
11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 
12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 
13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 
14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 
15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 
16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 
17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 
18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 
19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 
20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 
21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 
22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 
23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 
24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 
25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 
26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 
27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 
28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 
29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 
30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 
31 90 151 212 243 304 365 
 
Esta tabela é utilizada da seguinte forma: subtrair, do número de dias correspondente à data 
posterior, o número de dias correspondente à data anterior. Se for ano bissexto acrescentar 1 
ao resultado. 
 
ex.: diferença entre os dias 12/02 e 02/05. 
 
 número de dias da data posterior:(02/05)= +122 
 número de dias da data anterior:(12/02)= -43 
 Prazo = 79© Professor Rafael Antonini CRA-RS:24.421 - 2011/Versão 2.1.2 36 
 
 EXERCÍCIOS JUROS SIMPLES - PROFESSOR RAFAEL ANTONINI 
1. O capital de R$ 2.500,00 foi investido a taxa de juros simples de 6% a. a., durante 4 
meses. Quanto foi recebido de juros no término do prazo?R$ 50,00 
 
2. O capital de R$ 1.650,00 foi aplicado em período de 10 meses e recebidos R$ 55,00 de 
juros. Quanto foi a taxa anual de juros simples utilizada? 4% a.a 
 
3. O capital de R$ 900,00 foi aplicado a uma taxa de juros simples de 5% a.a., tendo sido 
obtidos juros de R$ 15,00. Qual foi o tempo da operação? 4 meses 
 
4. Um capital foi aplicado a uma taxa de juros simples de 6% a. a., durante um período de 
8 meses, rendendo um juro de R$ 48,00. Qual foi o capital empregado? R$ 1.200,00 
 
5. À taxa de juros simples de 10% ao trimestre, em quanto tempo um capital triplica de 
valor? 5 anos 
 
6. Qual o tempo necessário para que o capital de R$ l .000,00 produza juros simples de 
R$ 81,00, à taxa de 18% a.a.? R => 5 meses e 12 dias 
 
7. Quanto tempo deve permanecer aplicado um capital para que o juro seja igual a 5 
vezes o capital, se a taxa de juros simples foi de 25% a.a. R => 20 anos. 
 
8. Determinado capital de R$ 32.000,00, aplicado à taxa de juros simples de 30% a.a. 
produziu no dia 08/10/94 num montante de R$ 34.920,00. Qual a data da aplicação? R 
=> 20/06/94 
 
9. Qual é a taxa anual de juros simples ganha por uma aplicação de $ 1.300 que produz 
após um ano um montante de $ 1.750? 34,61% 
 
10. Qual é a remuneração obtida por um capital de $ 2.400 aplicado durante 17 meses à 
taxa de juros simples de 60% a.a.? R$ 2.040,00 
 
11. Calcular o rendimento de um capital de $ 80.000 aplicado durante 28 dias à taxa de 
juros simples de 26% a.m. R$ 19.413,33 
 
12. Aplicando $80.000 durante 17 meses, resgatamos $140.000. Qual é a taxa anual de 
juros simples ganha na operação? 52,94 % a.a 
 
13. Em quantos meses um capital de $28.000 aplicado à taxa de juros simples de 48% a.a. 
produz um montante de $38.080? 9 meses 
© Professor Rafael Antonini CRA-RS:24.421 - 2011/Versão 2.1.2 37 
 
 
14. Um capital aplicado transformou-se em $13.000. Considerando uma taxa de juros 
simples de 42% a.a. e uma remuneração de $4.065,29, determinar o prazo da 
aplicação. 13 meses 
 
15. Um capital de $ 135.000 transformou-se em $ 180.000 após 44 dias de aplicação. 
Calcular a taxa de juros ganha na operação. 22,73% a.m 
 
16. Dois capitais, um de $2.400 e outro de $ 1.800, foram aplicados a uma mesma taxa de 
juros simples. Calcular a taxa considerando que o primeiro capital em 48 dias rendeu 
$17 a mais que o segundo em 30 dias.0,833% a.m (10%a.a) 
 
17. Um capital foi aplicado a juros simples de 42% a.a. durante 50 dias. Calcular o capital, 
sabendo-se que, se a diferença entre ele e os juros ganhos fosse aplicada à mesma 
taxa, renderia $988,75 em um trimestre.R$ 10.000,00 
 
18. Certo capital foi aplicado a juros simples de 30% a.a. durante 50 dias. Calcular o capital 
e o rendimento obtido, sabendo-se que, se a diferença entre ambos, acrescida de 
$10.000, fosse aplicada à mesma taxa, renderia $95.000 no prazo de um ano.R$ 
320.000,00; R$ 13.333,33 
 
19. Uma pessoa aplicou dois capitais a juros simples, o primeiro a 33% a.a. e o segundo a 
45% a.a Se o rendimento de ambas as aplicações totalizou $52.500 no prazo de um 
ano, Determinar o valor dos capitais, sabendo-se que o primeiro é 37,5% menor que o 
segundo. R$ 50.000,00 R$ 80.000,00 
 
20. Uma pessoa tomou um empréstimo a juros simples de 9% a.a.; quarenta e cinco dias 
depois pagou a dívida e contraiu um novo empréstimo duas vezes maior que o 
primeiro, pelo prazo de dez meses a juros simples de 6% a.a. Sabendo-se que pagou 
ao todo $ 111.250 de juros, calcular o valor do primeiro empréstimo.R$ 1.000.000,00 
 
21. Dois capitais foram colocados a juros simples, o primeiro à taxa de 20% a.a. e o 
segundo a 40% a.a. Calcular os capitais sabendo-se que somados montam $500 e que 
os dois em um ano renderam juros totais de $ 130 R$ 350; R$ 150 
 
22. Um pessoa levantou um empréstimo de S 3.000 a juros simples de 18% a.a. para ser 
liquidado daqui a 270 dias. Se a pessoa amortizou S 1.000 no 75º dia, quanto deverá 
pagar na data de vencimento para liquidar a dívida? (data focal: 270º dia) R$ 2.307,50 
 
 
© Professor Rafael Antonini CRA-RS:24.421 - 2011/Versão 2.1.2 38 
 
EXERCÍCIOS JUROS SIMPLES II - PROFESSOR RAFAEL ANTONINI 
 
1) Uma pessoa aplica 2/5 de seu capital a 6% ao mês e o restante a 5% ao mês,recebendo 
um juro mensal de R$ 324,00. Qual o capital aplicado?R$ 6.000,00 
 
2) Dois capitais C' e C", sendo C' < C", colocado o primeiro a 4% ao mês, durante 8 meses, 
e o segundo a 3% ao mês, durante 9 meses, rendem juros iguais. Determine os capitais, 
sabendo-se que a diferença entre eles é de R$ 12.500,00.C' = R$ 67.500,00 e C" = R$ 
80.000,00 
 
3) Uma pessoa empregou seu capital à taxa de juros simples de 5% a.a. Retirou, no fim de 6 
meses, capital e juros e os colocou à taxa de juros simples de 6% a.a. durante 4 meses 
recebendo no fim desse prazo, o montante de R$ 20.910,00. Calcular o capital primitivo. R 
=> R$ 20.000,00 
 
4) Uma pessoa deposita num banco um capital que, no fim de 3 meses se eleva juntamente 
com o juro produzido, a R$ 18.180,00. Este montante, rendendo juro, a mesma taxa, 
produz no fim de 6 meses, o montante de R$ 18.543,60. Calcular a taxa de juros simples 
utilizada e o valor do capital inicial. R => i = 4% a.a. e C = R$ 18.000,00 
 
5) Um capital de R$ 2.500,00 foi aplicado à taxa de juros de 25% a.a., em 12/02. Se o resgate 
for efetuado em 02/05 do mesmo ano, qual será o juro recebido pelo aplicador? R=>137,15 
 
6) Dois capitais de valores diferentes foram investidos, simultaneamente, a juros simples e à 
mesma taxa. Ao final de 6 meses constatou-se que o primeiro capital rendeu a quantia de 
R$ 43.200,00 e o segundo capital rendeu a quantia de R$ 97.200,00 de juros. Determine o 
valor desses capitais sabendo-se que o segundo é de R$ 75.000,00 maior que o primeiro. 
R => Cl = R$ 60.000,00 e C2 = RS 135.000,00 
 
7) Um capital acrescido de seus juros de 21 meses soma $156.400. O mesmo capital 
diminuído de seus juros de nove meses é reduzido a $88.400. Calcular o capital e a taxa 
de juros simples R$ 108.800,00;25%a.a 
 
8) Um capital foi dividido em duas parcelas e aplicado a taxas e prazos diferentes. A primeira 
foi aplicada a juros simples de 10% a.m. durante seis meses, e a segunda a juros simples 
de 2% a.m. durante 12 meses. Se a primeira parcela for $50 maior e render $60 a mais que 
a segunda, determinar os valores de ambas as parcelas. R$ 133,33; R$ 83,33 
 
9) Calcular: 
 
© Professor Rafael Antonini CRA-RS:24.421 - 2011/Versão 2.1.2 39 
 
a) O valor do capital que aplicado a juros simples de 24% a.a. rende $300 em 126 dias; 
b) O valor do capital que aplicado a juros simples de 26% a.a. rende $ 800 em 7 
trimestres; 
c) O rendimento de uma aplicação de $ 10.000 por 446 dias a juros simples de 24% a.a. 
R$ 3.571,43; R$ 1.758,24; R$ 2973,33 
 
10) Determinar o rendimento de um capital de $2.000 aplicado desde o dia 3 de março até o 
dia 28 de junho do corrente ano. A taxa de juros simples inicialmente contratada foi de 3% 
a.m., mas posteriormente teve uma queda para 2,8% a.m. no dia 16 de abril e para 2,6% 
a.m. no dia 16 de junho. R$ 222,67 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – EXERCÍCIOS DESCONTO SIMPLES 
PROF. Rafael Antonini 
 
1. Um título de R$ 10.000,00 com vencimento em 23/09/95 foi resgatado em 15/06/95. Qual 
foi o desconto recebido se a taxa de juros contratada foi de 27% a.a.? R => R$697,67 
 
2. O desconto de um título foi de R$ 750,00, adotando-se uma taxa de desconto simples de 
5% ao bimestre. Quanto tempo faltaria para o vencimento do título,se o seu valor nominal 
fosse R$ 20.000,00? R => 45 dias 
 
3. Numa operação de desconto de um título a vencer em 5 meses, o desconto comercial é de 
R$ 140,00 maior que o desconto racional. Qual será o valor nominal do título, se a taxa 
empregada nos descontos for de 24% ao ano? R => 15.400,00 
 
4. Qual a taxa de juros mensal que equivale à taxa de descontos de 20% ao mês? R => 25% 
ao mês 
 
5. Um título foi descontado com 40 dias de antecipação à taxa de desconto de 5% ao mês, e 
na mesma data, o valor atual foi aplicado à taxa de juros simples de 8% ao mês durante 90 
dias. Sabendo-se que o montante dessa aplicação foi de R$ 173.600,00, determine o valor 
nominal do título na operação de descontos. R => 150.000,00 
 
6. Uma nota promissória no valor de R$ 52.400,00 foi descontada à taxa de juros simples de 
5 % ao trimestre, faltando 4 meses e 20 dias para o seu vencimento. Qual o valor do 
desconto e o valor recebido pela nota promissória? R => Desconto = R$ 3.781,44; Valor 
atual = R$ 48.618,56. 
 
© Professor Rafael Antonini CRA-RS:24.421 - 2011/Versão 2.1.2 40 
 
7. Uma nota promissória foi emitida no dia 20/02/95 com seu vencimento marcado para o 
prazo de 5 meses (20/07/95). No dia 12/05/95 foi descontada por R$ 28.300,00. Qual o 
valor do desconto, sabendo-se que a taxa de desconto simples utilizada era de 10% ao 
quadrimestre? R => 1.726,53 
 
8. Um título no valor de R$ 120.000,00 foi descontado por R$ 108.380,00, faltando 95 dias 
para o seu vencimento. Qual a taxa de juros simples semestral utilizada? R =i> i = 20,31% 
ao semestre 
 
9. Utilizando os dados do problema anterior, determine a taxa de desconto simples 
equivalente. R => d = 18,34% ao semestre 
 
10. Uma nota promissória foi descontada por R$ 25.000,00 no dia 10/10, à taxa de desconto 
simples de 15% ao semestre, sabendo-se que o desconto foi de R$ 2.930,00. Qual a data 
do vencimento da nota promissória e qual o seu valor? R => 13/02 e R$ 27.930,00 
 
11. Uma nota promissória no valor de R$ 40.000,00 foi descontada faltando 129 dias para o 
seu vencimento, à taxa de desconto simples de 10% ao bimestre. Determine a taxa de 
juros simples equivalente e o valor recebido pela nota na data do desconto. R =i> i = 
12,73% ao bimestre e R$ 31.400,00 
 
12. Determine a taxa de juros simples, equivalente à taxa de desconto simples de 15% ao mês 
num prazo de 82 dias.R => i = 25,42 ao mês 
 
13. um título no valor de R$ 12.415,00 emitido em 10/08/94, com seu vencimento marcado 
para o dia 20/12/94 foi descontado em 12/11/94, à taxa de desconto simples de 12% ao 
mês. Determine o valor recebido pelo título na data do desconto e a taxa de juros simples 
equivalente? R => 10.527,92 e i = 14,15% ao mês 
 
14. Qual o valor da taxa de desconto simples, equivalente à taxa de juros simples de 30% ao 
semestre, num período de 90 dias. R => d = 26,08 ao semestre 
 
15. Uma nota promissória de R$ 30.000,00 vencível em 45 dias, será substituída por outra nota 
promissória vencível em 25 dias. Determine o valor da nova nota promissória, sabendo-se 
que a taxa de desconto simples é de 30% ao ano. R => N = R$ 29.489,36 
 
16. Um título de R$ 28.450,00, vencível em 38 dias, será substituído por outro no valor de R$ 
32.500,00. Se a taxa de desconto simples utilizada foi de 40% ao ano, determine o prazo 
do vencimento do título de R$ 32.500,00. R => t = 145 dias 
 
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EXERCÍCIOS JUROS COMPOSTOS - PROFESSOR RAFAEL ANTONINI 
 
1. Um capital de R$ 12.500,00 foi aplicado a juros compostos à taxa de 20% ao ano com 
capitalização anual. Determine o montante, avaliando-o no prazo de 13 anos. R => 
R$133.741,51 
 
2. Qual o valor que aplicado a juros compostos à taxa de 17% ao ano, com capitalização 
anual, produziu no prazo de 6 anos o montante de R$ 22.500,00? R => R$ 8.771,37 
 
 
3. Determine o prazo necessário para que o capital de R$ 15.000,00 venha produzir o 
montante de R$ 27.576,88, sabendo-se que a taxa de juros compostos é de 7% ao ano 
com capitalização anual. R => n = 9 anos 
 
4. Determine a taxa anual, capitalizada anualmente, necessária para que o capital de R$ 
12.800,00 venha a produzir, no prazo de 18 anos, um montante de R$ 55.583,41.R =* i = 
8,5% a.a./a 
 
5. Determine o prazo necessário para que o capital de R$ 2.850,00 venha a produzir o 
montante de R$ 48.450,18, sabendo-se que a taxa de juros compostos é de 12% ao ano 
com capitalização anual. R => n = 25 anos 
 
6. Determine a taxa anual, capitalizada anualmente, necessária para que o capital de R$ 
5.458,00 venha a produzir, no prazo de 7 anos, um montante de R$ 7.552,86.R => i = 
4,75% a.a./a 
 
7. Qual o valor, que aplicado a juros compostos à taxa de 14% ao ano com capitalização 
anual, produz no prazo de 18 anos, o montante de R$ 48.722,80? R => R$ 4.607,28 
 
8. Um capital de R$ 22.845,70, foi aplicado, a juros compostos, à taxa de 8,5% ao ano com 
capitalização anual. Determine o montante avaliando-o no prazo de 21 anos. R =>R$ 
126.715,27 
 
9. Um capital de R$ 2.850,00 foi aplicado a juros compostos à taxa de 2,25% ao ano com 
capitalização anual. Determine o prazo necessário para produzir o montante de R$ 
4.068,72. R => n = 16 anos 
 
10. Determine o valor do capital, que foi aplicado a juros compostos à taxa de 15% ao ano com 
capitalização anual, sabendo-se que produziu o montante de R$ 7.820,00 no prazo de oito 
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anos. R => R$ 2.556,37 
 
11. O capital de R$ 1.425,00 foi aplicado a juros compostos durante o prazo de 7 anos. 
Determine a taxa anual, capitalizada anualmente, necessária para produzir o montante de 
R$2.214,43. R => i = 6,5% a.a./a 
 
12. Determine o valor da taxa anual, capitalizada anualmente, necessária para que o capital de 
R$ 7.800,00 se transforme no montante de R$ 114.767,88 no prazo de 22 anos. R=> i = 
13% a.a./a 
 
13. Um capital de R$ 3.780,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa de 9% a.a., com 
capitalização anual. Determine o montante produzido no prazo de 22 anos. R => R$ 
25.169,51 
 
14. Determine o valor do capital, sabendo-se que foi aplicado a juros compostos, à taxa de 
18% ao ano, com capitalização anual, tendo produzido, no prazo de 30 anos, o montante 
de R$ 25.748,00.R => R$ 179,59 
 
15. Qual o prazo necessário para que o capital de R$ 228,79 se transforme no montante de R$ 
30.658,48, sabendo-se que a taxa de juros compostos utilizada foi de 16% ao ano com 
capitalização anual? R => n = 33 anos 
 
16. Um capital de R$ 12.500,00 foi aplicado a juros compostos à taxa de 12% ao ano com 
capitalização anual. Determine o montante avaliando-o no prazo de 5 anos, 8 meses e 10 
dias.R => R$ 23.833,03 conv. exponencial e R$ 23.865,04 conv. Linear 
 
17. Determine o valor do capital que, aplicado a juros compostos à taxa de 10% ao ano com 
capitalização anual, produziu o montante de R$ 23.850,00 no prazo de 3 anos e 9 meses. 
R => R$ 16.682,68 conv. exponencial e R$ 16.668,71 conv.Linear 
 
18. Qual o valor do capital que no prazo de 4 anos, 8 meses e 16 dias produziu o montante de 
R$ 51.300,00, sabendo-se que a taxa de juros compostos utilizada é de 5,5% ao ano com 
capitalização anual ? R => R$ 39.863,23 conv. exponencial e R$ 39.851,58 conv. 
Linear 
 
19. Determine o prazo (anos, meses e dias. se for o caso) necessário para que o capital de R$ 
5.000,00 produza o montante de R$ 7.646,29, sabendo-se que a taxa de juros compostos 
utilizada é de 8% ao ano com capitalização anual. Utilizar a convenção exponencial. R => n 
= 5 anos, 6 meses e 7 dias conv. Exponencial 
 
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20. Um capital de R$ 7.800,00foi aplicado a juros compostos à taxa de 15% ao ano com 
capitalização anual. Qual o prazo (anos, meses e dias, se for o caso) para produzir o 
montante de R$ 16.824,13? Utilizar a convenção exponencial. R ==> 5 anos e 6 meses 
 
21. Determine a taxa anual, capitalizada anualmente, que equivale à taxa de 30% ao ano com 
capitalização mensal. R ==> i = 34,48% a.a./a 
 
22. Determine a taxa anual, capitalizada anualmente, que equivale à taxa de l ,5% ao mês com 
capitalização mensal. R => i = 19,56% a.a./a 
 
23. Determine a taxa trimestral, com capitalização trimestral, que equivale à taxa de 15% ao 
ano, com capitalização anual. R => i = 3,5558% ao trim. com capitalização trim 
 
24. Qual a taxa anual, capitalizada mensalmente, que equivale à taxa de 22% ao ano com 
capitalização anual? R => i = 20,05% ao ano com capitalização mensal 
 
25. Determine o valor da taxa semestral capitalizada semestralmente, que equivale à taxa de 
16% ao ano com capitalização anual. R => i = 7,7033% ao sem. com cap. sem. 
 
26. Determine a taxa anual, capitalizada anualmente, que produz o mesmo rendimento do que 
a taxa de 5% ao bimestre com capitalização bimestral.R => i = 34% a.a. com 
capitalização anual 
 
27. Calcule a taxa anual, capitalizada anualmente, que equivale à taxa de 28% ao ano com 
capitalização semestral.R => i = 29,96% ao ano com capitalização anual 
 
28. Determine a taxa anual, capitalizada trimestralmente, que produz o mesmo rendimento que 
a taxa de 28% ao ano com capitalização anual.R => i = 25,46% a.a. com capitalização 
trimestral. 
 
29. Determine a taxa quadrimestral, capitalizada quadrimestralmente, que equivale à taxa de 
12% ao ano com capitalização anual. R => i = 3,8498% ao quadr. com cap. quadr. 
 
30. Qual é o valor da taxa anual, com capitalização bimestral, que equivale à taxa de 2% ao 
mês com capitalização mensal? R => i = 24,24% a.a. com capitalização bimestral 
 
31. Conhecendo-se a taxa de 40% a.a. com capitalização trimestral, determine a taxa anual 
capitalizada bimestralmente equivalente. R => i = 39,3613% a.a. com capitalização 
bimestral 
 
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32. Qual é a taxa semestral, capitalizada bimestralmente, que equivale à taxa de juros 
compostos de 28% ao trimestre com capitalização mensal? R => i = 58,6133% ao 
semestre com capitalização bimestral 
 
 
Matemática Financeira – Exercícios Taxas de Juros. 
Prof. Rafael Antonini 
 
1. Dada a taxa efetiva de 48% a.a., determinar a taxa equivalente ao mês, ao trimestre e 
ao semestre. R:3,32%a.m./10,2974%a.t/21,6552%a.s 
 
2. Calcular as taxas de juros efetivas mensal, trimestral e semestral, equivalentes à taxa 
nominal de 60% a.a. capitalizada mensalmente. R: 5%a.m/15,76%a.t/34,01%a.s 
 
 
3. Calcular a taxa nominal anual equivalente à taxa efetiva de 40% a.a. nas seguintes 
hipóteses de capitalização dos juros da taxa nominal: mensal, trimestral e semestral. 
R:34,12%a.a / 35,10%a.a / 36,64%a.a 
 
4. A que taxa nominal anual capitalizada mensalmente uma aplicação de $13.000 resulta 
em um montante de $23.000 em sete meses?R:101,9%a.a 
 
 
5. Se uma aplicação de $18.000 à taxa nominal de 180% a.a. capitalizada 
mensalmente resultou em um montante de $36.204,48, quantos meses o capital ficou 
aplicado? R:5meses 
 
 
6. Quanto devemos aplicar em um CDB que paga uma taxa nominal de 84% a.a. 
capitalizada mensalmente de modo que obtenhamos um montante de $76.000 após quatro 
meses?R:57.980,04 
 
 
 
 
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7. Calcular o montante para .um capital de $2.000 aplicado conforme as hipóteses a seguir: 
 
prazo Taxa capitalização 
a) 3 48% a.s. mensal 
b) 2 anos 18% a.a. mensal 
c) 17 dias 35% a.m. diária 
R:2.519,42/ 2.859,01 /2.435,94 
8. A juros nominais de 48% a.a. capitalizados mensalmente, determinar em quantos meses 
um capital de $ 10.000 rende juros de $3.685,69.R: 8 meses 
 
 
9. Qual é a melhor alternativa: investir à taxa nominal de 240% a.a. capitalizada 
mensalmente ou a 264% a.a. capitalizada bimestralmente? 
 
 
10. O Produto Interno Bruto (PIB) de um país cresceu 200% em dez anos. Qual foi a taxa 
de crescimento anual média? R:11,6123%a.a 
 
 
11. Em 12/10/1997 um capital de $2.300 foi aplicado à taxa nominal de 36% a.a 
capitalizada diariamente. Calcular os juros acumulados em 24/11/1999 (trabalhar com o 
ano civil).R:2.628,05 
 
 
12. Um capital de $4.000 foi aplicado por 11 meses. Nos primeiros três meses à taxa de 
24% a.a. capitalizada mensalmente e nos oito últimos meses à taxa de 36% a.s. 
capitalizada trimestralmente. Calcular o rendimento da aplicação.R:6.600,00 
 
13. Um capital de $6.000 foi aplicado por 27 meses. Nos primeiros 11 meses à taxa de 
48% a.a. capitalizada mensalmente, nos seguintes 13 meses à taxa de 40% a.s. 
capitalizada trimestralmente e nos últimos 3 meses à taxa de 36% a.a. capitalizada 
bimestralmente. Calcular o montante final.R:22.212,39 
 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA – EXERCÍCIOS RENDAS FINANCEIRAS 
PROF. RAFAEL ANTONINI 
 
 
1. Determinada pessoa depositou R$ 870,00 no final dos meses de janeiro até agosto do 
mesmo ano, à taxa de juros compostos de 5% ao mês com capitalização mensal. 
Determine o montante, avaliando-o na data do último investimento. R => R$ 8.307,72 
 
2. Qual a importância que depositada trimestralmente, durante 3 anos à taxa de 28% ao 
ano com capitalização trimestral, produz o montante de R$ 28.350,00 na data do último 
depósito? R => R$ 1.584,82 
 
 
3. Depositando-se a importância de R$ 8.000,00 no final de cada mês, durante 6 meses, 
tem-se um montante de R$ 55.104,41. Qual a taxa mensal de juros compostos 
capitalizada mensalmente? R => 5,5% ao mês com capitalização mensal 
 
4. Foram depositados R$ 3.500,00 no fim de cada mês, a taxa de 18% ao mês com 
capitalização mensal. Determine o número de investimentos sabendo-se que produzem 
um montante de R$ 722.206,75. R => n. = 22 depósitos 
 
 
5. Determinada pessoa, depositou R$ 15.000,00 em uma conta remunerada. Em seguida, 
efetuou 10 depósitos mensais de R$ 2.500,00 cada um. Qual o valor acumulado na 
data do último investimento, sabendo-se que a taxa de juros compostos utilizada é de 
12% ao mês com capitalização mensal? R => R$ 90.459,56 
6. Um aparelho está à venda por R$ 2.520,00 à vista. A prazo, poderá ser adquirido com 
R$ 800,00 de entrada e mais 12 prestações mensais de R$ 199,57. Determine a taxa 
mensal capitalizada mensalmente utilizada pela loja. R => i = 5,5 am/m 
 
7. Determinada pessoa planejando a construção de uma casa prevê dispêndios mensais 
de R$ 752.450,00 nos meses de outubro, novembro e dezembro. Quanto deverá 
depositar mensalmente, nos meses de janeiro até setembro do mesmo ano, para que 
seja possível efetuar aquelas retiradas? Utilizar a taxa de 3,25% ao mês com 
capitalização mensal. R => R$ 206.387,94 
 
8. Uma mercadoria está à venda na seguinte condição: 10 prestações mensais, vencíveis 
em 30, 60, ... 300 dias, no valor de R$ 2.500,00 cada uma. Sabendo-se que a taxa de 
juros compostos utilizada é de 12% ao mês com capitalização mensal, determine o 
preço à vista desta mercadoria. R => R$ 14.125,56 
© Professor Rafael Antonini CRA-RS:24.421 - 2011/Versão 2.1.2 47 
 
 
9. Um eletrodoméstico está à venda por R$ 25.850,00 à vista. Sabendo-se que a loja o 
coloca à venda a prazo mediante 8 prestações mensais, sem entrada, qual o valor das 
prestações, admitindo-se uma taxa de juros compostos de 18% ao mês com 
capitalização mensal. R => R$ 6.339,57 
 
10. Um empréstimo no valor de R$ 230.000,00 será amortizado no