MecA l2

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MECAˆNICA ANALI´TICA
Lista de Exerc´ıcios no 2 – (2004/2)
1. [Gol81] Prove que a distaˆncia mais curta entre dois pontos no espac¸o euclideano e´ uma linha
reta.
2. [Gol81] Rederive a soluc¸a˜o do problema da braquisto´crona. Descreva o movimento para uma
part´ıcula lanc¸ada com energia cine´tica inicial de mv20/2.
3. [Gol81] Uma part´ıcula de massa m e´ colocada no ponto mais alto de um cilindro circular cuja
secc¸a˜o circular esta´ no plano vertical. O movimento e´ restrito ao plano vertical. Calcule a reac¸a˜o
do cilindro sobre a part´ıcula a` medida que a u´ltima se move. Use o me´todo dos multiplicadores
de Lagrange. Encontre o ponto onde a part´ıcula perde o contato com o cilindro.
4. [Gol81] Um aro circular de massa m e raio r rola sem deslisar sobre a superf´ıcie de um cilindro
de raio R. O cilindro esta´ fixo e sua secc¸a˜o circular esta´ no plano vertical. Inicialmente o aro
esta´ posicionado no ponto mais alto do cilindro. A u´nica forc¸a externa e´ a gravidade. Se o aro
comec¸a a rolar sobre o cilindro a partir do repouso, encontre o ponto no qual os dois perdem o
contato. Use o me´todo dos multiplicadores de Lagrange.
5. [LL78] Escreva a func¸a˜o de Lagrange para uma part´ıcula de massam que se desloca na superf´ıcie
de um cone (com abertura angular no ve´rtice igual a 2α). O eixo de simetria do cone esta´
posicionado verticalmente com o ve´rtice para baixo. A acelerac¸a˜o da gravidade e´ g. Integre
as equac¸o˜es de movimento (se a integral for muito “complicada”, deixe indicado) e descreva
qualitativamente o movimento. [Sugesta˜o: use coordenadas esfe´ricas.]
6. [Gol81] Uma part´ıcula de massa m se move sob a ac¸a˜o de um campo gravitacional constante
sob a curva definida por y = ax4, onde y e´ a direc¸a˜o vertical. Encontre a equac¸a˜o de movimento
para pequenas oscilac¸o˜es em torno da posic¸a˜o de equil´ıbrio.
7. Considere um oscilador harmoˆnico linear de dois graus de liberdade cuja matriz Λ e´ dada por
Λ =
[
13 −6
−6 8
]
.
Encontre os modos normais e as frequ¨eˆncias normais. Obtenha a soluc¸a˜o particular para o caso
onde as condic¸o˜es iniciais sa˜o x1 = 1 e x2 = x˙1 = x˙2 = 0.
8. [Gol81] Obtenha os modos normais de vibrac¸a˜o do peˆndulo duplo descrito na lista n0 1, supondo
comprimentos iguais e massas diferentes. Mostre que quando a massa de baixo (inferior) e´
muito pequena comparada com a de cima (superior), as duas frequ¨eˆncias de oscilac¸a˜o sa˜o muito
parecidas. Descreva o movimento quando inicialmente a massa superior e´ deslocada ligeiramente
da vertical e solta desta posic¸a˜o.
9. Uma barra r´ıgida uniforme de massa M e comprimento L esta´ suspensa horizontalmente equili-
brada por duas molas, cada uma conectada a um dos extremos da barra. A constante das molas
e´ k e suas massas sa˜o desprez´ıveis. O movimento da barra e´ tal que seu centro de massa se
move apenas na direc¸a˜o paralela ao eixo vertical. Encontre os modos normais e as frequ¨eˆncias
de vibrac¸a˜o do sistema, quando o movimento esta´ restrito ao plano vertical.