Artigo Modelagem Matemática

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MODELAGEM NUMÉRICA DE SISTEMAS DE PRODUÇÃO:
 A MODELAGEM MATEMÁTICA NA RECUPERAÇÃO DE UM SISTEMA DE OLEODUTOS.
Guilherme S. Barrucho1, Adalto O. Silva1, Yasmin N. Alves2
1Faculdade Cenecista de Rio das Ostras, Rio das Ostras, Rio de Janeiro (RJ), Brasil 
2Faculdade Cenecista de Rio das Ostras, Rio das Ostras, Rio de Janeiro (RJ), Brasil 
Resumo
A matemática e suas vertentes possibilitam a projeção e resolução de problemas, quer sejam eles de natureza simples ou complexa. Quando há a necessidade não somente da matemática, mas, o auxílio de técnicas de computação para resolução de problemas, as buscas operacionais podem ser dadas através de softwares onde os resultados podem ser obtidos de forma rápida e eficaz. O presente trabalho mostra a possibilidade de aplicação da modelagem matemática em diversos setores, tais como o petrolífero. Não só é possível a aplicação, mas também, a determinação de parâmetros importantes de otimização de processos, satisfação de objetivos econômicos e implementação de processos produtivos. Os modelos trabalhados propostos por Gauss-Seidel e Gauss-Jacobi, mostram que os resultados de aplicações do campo da álgebra linear são satisfatórios tendo em vista seus resultados aproximados da realidade.
Palavras-chave: Gauss-Seidel, Gauss-Jacobi, Sistemas Lineares.
Abstract
Mathematics and its aspects enable the projection and resolution of problems, whether of a simple or complex nature. When there is a need not only for mathematics, but for the aid of computational techniques to solve problems, operational searches can be given through softwares where results can be obtained quickly and effectively. The present work, based on bibliographic materials, shows the possibility of application in several sectors, such as the petroleum industry. Not only is the application possible, but also the determination of important parameters of process optimization, satisfaction of economic objectives and implementation of productive processes. The work models proposed by Gauss-Seidel and Gauss-Jacobi show that the results of linear algebra field applications are satisfactory in view of their approximate results of reality.
Keywords: Gauss-Jacobi, Gauss-Seidel, Linear Systems.
INTRODUÇÃO
A relação da matemática direta ou indiretamente com diversas áreas de conhecimento segue, desde muito tempo, se destacando no que diz respeito ao quesito da evolução de tecnologias. Seja em áreas exatas ou não, seu papel é fundamental para que a maioria dos processos quantitativos e qualitativos sejam executados de maneira rápida e eficaz (PESCADOR e POSSAMAI, 2011).
Em se tratando da história da matemática, pode-se afirmar que esta é uma área de estudo que dedica-se à investigação das descobertas bem como, especificamente, dos métodos matemáticos e registros ou notações matemáticas feitas no passado. A maneira a qual se é passada adiante, diz muito à respeito sobre o ensino da matemática, ou, ensino sistematizado da matemática (FRIBERG, 1981).
O ensino sistematizado da Matemática, provavelmente, surgiu na Mesopotânia (Babilônia, Nipur, Susa, Nívine e Behistun), uma vez que, mesmo antes da escrita (3000 a.C.), já havia o ensino institucionalizado naquela região. Por volta de 2500 a.C., surgiram os escribas�, que ganharam certa autonomia comprovada pelos seus trabalhos de álgebra relativamente abstratos (GOMES, 2005).
Os registros oriundos desta cultura são abundantes e estudos comprovam que a temática principal era a resolução de problemas práticos com destaque dos cálculos aritméticos e, embora fundamentada por diversas culturas, dentre elas, a egípcia e grega, todos os objetivos giravam e continuam girando em torno de uma proposta: a resolução de problemas; isto é: aquilo que ela trata (HEATH, 1963).
O presente trabalho trata de uma simulação considerando a utilização completa de bancadas de manutenção nas quais os dutos petrolíferos são submetidos a processos de reparos. Foi utilizada a modelagem matemática aplicada às técnicas de resolução de sistemas lineares, com o objetivo de resolver possíveis problemas gerados no processo real tendo como instrumento de simulação, o software computacional Matlab.
Na modelagem de situações que realizam a avaliação de tendências a partir de dados reais, nas áreas de finanças e criação de softwares, observa-se o papel fundamental que a matemática desempenha em termos tecnológicos e na sociedade, e é a partir dessa proposta, que de acordo com a utilização dos métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel, apresentam-se os resultados aproximados de uma projeção de otimização em uma linha de produção do setor petrolífero a fim da recuperação de um sistema de oleodutos.
A escolha do objeto de análise baseia-se na importância da cadeia petrolífera para a região Norte Fluminense.
 
Fundamentação Teórica
Um modelo matemático, nada mais é que um sistema axiomático consistindo de termos indefinidos que são obtidos pela abstração e qualificação de ideias essenciais do mundo real (MAKI e THOMPSON, 1988, apud GAZZETA). Pode também ser definido como uma estrutura ou entidade de cunho matemático que deve descrever de forma aproximada as características de um fenômeno em questão (SWETS, 1992). E que também pode ser denominado, de forma simples, pueril e banal, como uma abstração matemática de um processo verídico (SEBORG, et al. 1989 apud AMINTAS).
Pode-se afirmar então, que a modelagem, nada mais é que o processo para desenvolvimento da construção de tais modelos matemáticos, tendo em vista o longo e necessário caminho a ser percorrido e que, muitas das vezes, um cientista se vale de ideias que não foram criadas por ele mas, que a partir delas, propõe e desenvolve um novo modelo resultante de ideias e experimentos (MARTINS, 2007).
De acordo com essa afirmação, não há dúvidas de que a matemática não deve e não pode ser vista aos olhos daqueles que a usam como referência absoluta, como uma ciência pronta e acabada. As modificações, mesmo que de acordo com estudos já realizados, podem agregar valores significativos em sua literatura e/ou fazer com que estes sejam revalidados.
Um modelo simples e comumente utilizado é o que refere-se à modelagem “caixa cinza”, conforme pode ser visto na figura 1. O modelo abrange um processo de modelagem matemática tomado a partir de variáveis de decisões de entrada.
Figura 1 - Fluxograma ilustrativo de um procedimento iterativo.
Fonte: BOHLIN e GRAEBE, 1995. Modificado pelo autor.
No modelo caixa cinza, o usuário especifica uma estrutura inicial e o software realiza a implementação e a estimação de parâmetros bem como sua validação (BOHLIN e GRAEBE, 1995).
Modelos qualitativos foram propostos como estrutura unificada para modelagem caixa cinza com diferentes níveis de precisão e esses modelos são compostos de equações algébricas diferenciais e equações algébricas de diferenças qualitativas (CORRÊA e AGUIRRE, 2004; JORGENSEN e HANGOS, 1995).
À medida que um processo torna-se mais complexo, haverá uma maior necessidade de técnicas de análise dos problemas associados com seu projeto e operação, e essas análises modernas de problemas de processos, envolvem de alguma forma a modelagem matemática (SECCHI, 1995).
2.1 Álgebra Linear
A Álgebra Linear é o estudo dos espaços vetoriais e das transformações lineares definidas entre eles. Surgiu a partir do estudo específico e detalhado de sistemas de equações lineares, quer sejam algébricas ou diferenciais. Quando os espaços têm dimensões finitas, as transformações lineares podem ser representadas por meio de matrizes. As situações, em que aplicam-se são numerosas e variadas (BEAN e KOZAKEVICH, 2011).
A álgebra ocupa lugar de destaque em diversas áreas matemáticas e sua importância tem crescido exponencialmente nas últimas décadas. Os modelos matemáticos lineares assumiram um importante papel juntamente com o desenvolvimento da informática e a sua visibilidade criou grande crescimento de interesse (PESCADOR e POSSAMAI,2011).
Algumas aplicações dos conteúdos implícitos nessa disciplina podem ser empregadas a partir da modelagem matemática de problemas reais ou hipotéticos:
Resolução de circuitos elétricos (através de sistemas lineares);
Balanceamento de equações químicas (através de sistemas lineares);
Sistemas de votação (através de matrizes);
Cadeias de Markov (através de matrizes).
Apesar da linguagem matemática aplicada ser específica, problemas simples podem ser resolvidos de forma rápida e prática. Basta a aplicação direta baseada em aplicações matriciais, por exemplo.
2.2 Método de Gauss-Jacobi
O método de Jacobi é um algoritmo que propõe a resolução de sistemas de equações lineares de forma simplificada.
A forma como o método de Jacobi transforma o sistema linear Ax = b em x = Cx + g é descrito conforme a série de equações abaixo. (LOPES e RUGGIERO,1996).
 
Considerando-se o sistema original: 
E supondo 
n, isola-se o vetor x mediante a separação pela diagonal da matriz de coeficientes, assim:
Desta forma, tem-se que x = Cx + g, onde:
E por fim,
Dado uma aproximação inicial 
, o Método de Gauss-Jacobi consiste em obter uma sequência 
, 
, 
, ......, 
, por meio da relação recursiva: 
 
Onde:
X corresponde às aproximações;
C corresponde à uma constante atribuída à X;
g corresponde à um termo finito.
2.3 Método de Gauss-Seidel
Da mesma forma que no método de Gauss-Jacobi, no método de Gauss-Seidel, o sistema linear Ax = b é escrito na forma equivalente x = Cx + g por separação da diagonal.
O processo iterativo consiste em, sendo 
 uma aproximação inicial, calcular 
,
,...,
,... conforme equações abaixo (LOPES e RUGGIERO, 1996).
Portanto, no processo iterativo de Gauss-Seidel, no momento de se calcular 
 usam-se todos os valores 
,..., 
-1
que já foram calculados e os valores 
+1
..., 
 restantes.
2.4 Dutos petrolíferos
Os dutos petrolíferos ou tubos de perfuração têm importante função nas indústrias de extração de petróleo e fazem parte da linha de tubulares. Também conhecidos como “drill pipes”, há duas funções que destacam seu uso: extração e transporte. Possuem diversos tamanhos, pesos e formas para facilitar o processo de extração e têm o interior oco que permite a passagem do fluido de extração que deve ser bombeado até o reservatório.
Os tubos de perfuração consistem na maior parte de uma coluna de perfuração. Um drill pipe é feito de aço por extrusão e para sua proteção recebem aplicações de resinas para que se tenha a diminuição de corrosão e desgaste interno. Em alguns casos (como as perfurações com grandes alcances) pode-se utilizar o material de alumínio ou titânio (MATHIAS, 2016). 
A figura 2 ilustra um drill pipe.
Figura 2 - Drill pipe.
Fonte: Petrobras, 2016.
Metodologia
A análise da problemática em questão foi dada a partir de um estudo bibliográfico, tendo como base os processos aos quais são submetidos dutos petrolíferos.
A modelagem matemática utilizada no estudo baseou-se na metodologia de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel para resolução de problemas de álgebra linear.
O software utilizado para fins de cálculo, foi o Matlab que consiste em realizar cálculos em tempo real e de maneira rápida e prática. As soluções retornadas a partir do software, apesar de hipotéticas, são consideradas pela comunidade acadêmica mais próximas possíveis da realidade.
Na situação hipotética em questão, o objetivo é a utilização plena das bancadas onde os dutos encontram-se para serem reparados de modo que o sistema produtivo de manutenção seja otimizado ao máximo. Com esse intuito, considera-se a reciclagem de três tipos de dutos: D-01, D-02 e D-03. Cada duto D-01 leva 15 minutos para ser lixado, 6 minutos para ser pintado e 9 minutos para ser envernizado. Cada duto D-02 leva 5 minutos para ser lixado, 10 minutos para ser pintado e 8 minutos para ser envernizado. Cada duto D-03 leva 7 minutos para ser lixado, 3 minutos para ser pintado e 18 minutos para ser envernizado. A bancada para lixar fica disponível 16 horas por semana, a bancada para pintura, 11 horas por semana, e a bancada para envernizar, 18 horas por semana. Lembrando que esta é a situação hipotética criada com o intuito de obter o quantitativo aproximado de dutos de cada tipo que podem ser reciclados por semana para que as bancadas sejam plenamente utilizadas.
A organização dos dados segue conforme a tabela 1 abaixo.
Tabela 1: Dados do processo de manutenção
	Tipos de Duto
	Tempo para
 Lixar
	Tempo para 
Pintar
	Tempo para
envernizar
	D-01
	15
	6
	9
	D-02
	5
	10
	8
	D-03
	7
	3
	18
 Fonte: Autoria própria
Sejam:
• : o número de dutos do tipo D-01;
• : o número de dutos do tipo D-02;
• : o número de dutos do tipo D-03;
Tem-se que 16 h = 960 minutos; 11 h = 660 minutos e 18 h = 1080 minutos.
4. Resultados e discussão
Como a manutenção dos dutos deve ser feita semanalmente, de forma que as bancadas sejam plenamente utilizadas, a partir do item 3, montou-se o sistema linear:
O sistema foi organizado de acordo com os métodos de eliminação de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel:
Inicialmente, o sistema é organizado de forma que as aproximações iniciais correspondam à zero e é atribuído de forma aleatória um valor para o erro de precisão ε. O erro de precisão, segundo a bibliografia matemática e citada por Ruggiero (1996), corresponde ao número do teste de parada que o valor mais se aproxima da realidade. Portanto, serve como parâmetro para determinação de iteração final da resolução do sistema. Será observado que o erro relativo dr diz respeito ao erro real que é comparado com o erro de precisão ε.
Com a aplicação dos sistemas foi possível gerar no Matlab, a tabela 2 que corresponde aos resultados definitivos após os processos de iteração do sistema.
 
Tabela 2: Resultados finais após processo de iteração
	Gauss-Jacobi
Iteração: k = 27
x1 = 42.2651 
x2 = 34.2284
x3 = 24.2161
Erro relativo: dr = 0.0494
	
	Gauss-Seidel
Iteração: k = 4
x1 = 41.7728
x2 = 33.8747
x3 = 24.0582
Erro relativo: dr = 0.0280
 
Fonte: Autoria própria.
A partir dos resultados obtidos no estudo, foi possível observar que:
O processo iterativo de Gauss-Jacobi toma mais tempo para ser resolvido, mas seu erro relativo dr é mais próximo do erro ε de aproximação.
O processo iterativo de Gauss-Seidel toma menos tempo para ser resolvido, mas seu erro relativo dr é mais distante do erro ε de aproximação.
Com os cálculos propostos pelos modelos de Gauss-Seidel e Gauss-Jacobi, o número de dutos que devem ser reciclados (por semana) de cada tipo, para que as bancadas sejam plenamente utilizadas, é:
• D-01 = 42 (aproximadamente)
• D-02 = 34 (aproximadamente)
• D-03 = 24 (aproximadamente) 
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
De acordo com a proposta do tema, a pesquisa realizada em materiais bibliográficos mostrou que a Álgebra Linear tem amplo campo de aplicações.
O estudo realizado demonstrou que simultaneamente, em uma semana, a maneira ótima de pleno aproveitamento das bancadas de manutenção de acordo com as restrições de tempo impostas pelo sistema bem como diferentes parâmetros dimensionais entre os dutos, foram respectivamente de manutenção de 42 dutos (tipo D-01), 34 dutos (tipo D-02) e 24 dutos (tipo D-03). Os resultados provenientes dos cálculos, demonstram que essa é a quantidade máxima a ser atendida pelo sistema de forma que melhor atende à demanda.
 Por meio do uso da teoria dos Sistemas Lineares e dos Métodos Numéricos, nota-se que é possível calcular parâmetros no sistema de produção como níveis de produção para satisfazerem um objetivo econômico desejado e a viabilização e otimização de linhas produtivas.6. AGRADECIMENTOS
À Prof. Drª Zulmira Guimarães, pela tamanha dedicação e boa vontade em disponibilizar seu tempo e conhecimento em prol de que este trabalho fosse realizado da melhor maneira possível e principalmente, pela excelência em ser docente.
Ao Prof. Dr. Adalto Oliveira por fomentar a pesquisa e disponibilizar as ferramentas necessárias durante o compartilhamento de seu conhecimento matemático e orientação.
7. REFERÊNCIAS
BEAN, C. P. E. S.; KOZAKEVICH, N. D. Álgebra Linear I. Universidade Federal de Santa Catarina. 2ª Edição. Florianópolis, 2011. 
BOHLIN, T.; GRAEBE, S.T. “Issues in nonlinear stochastic grey box identification, International. Journey of Adaptative Control and Signal Processing. 1995
CORRÊA, V. M; AGUIRRE, A. L. Identificação não-linear caixa-cinza: uma revisão e novos resultados. Centro Universitário do Leste de Minas Gerais e Universidade Federal de Minas Gerais. Minas Gerais, 2004.
FRIBERG, J. "Methods and traditions of Babylonian mathematics. Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations", História Matemática. Chalmers Tekniska Högskola-Göteborgs Universitet. Suécia, 1981.
GAZZETA, M. A Modelagem como Estratégia de Aprendizagem em Cursos de Aperfeiçoamento de Professores. São Paulo, 1988.
GOMES, B. E. A História da Matemática Como Metodologia de Ensino da Matemática: Perspectivas Epistemológicas e Evolução de Conceitos. Universidade Federal do Pará. Belém, 2005.
HEATH, L. T. “A Manual of Greek Mathematics, Dover, 1963, p. 1: "In the case of mathematics, it is the Greek contribution which it is most essential to know, for it was the Greeks who first made mathematics a science."
JORGENSEN, S. B; HANGOS, K. M. “Grey Box Modelling for Control: Qualitative models as a unifying framework, International Journey of Adaptative Control and Signal Processing. 1995.
LOPES, L. R. V; RUGGIERO, G. A. M. Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais. 2ª Edição. Editora Makron. São Paulo, 1996.
MARTINS, R. A. O Uso da Modelagem Matemática em Sala de Aula na Universidade. Universidade Federal de Minas Gerais. Minas Gerais, 2007.
MATHIAS, M. V. Coluna de Perfuração em Poços de Petróleo. Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Natal, 2016.
PESCADOR, A.; POSSAMAI, P. J.; POSSAMAI, R. C. Aplicação de Álgebra Linear na Engenharia. Congresso Brasileiro de Educação em Engenharia – COBENGE. Santa Catarina, 2011.
SEBORG. et al. 1989 apud. AMINTAS, P. A. Modelagem Matemática na Engenharia. São Paulo, 2014.
SECCHI, R. A. Modelagem e Simulação de Processos. Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Rio Grande do Sul, 1995.
SWETS, F. Quando e como Podemos usar Modelação? Portugal, 1992.
� Por essência, aquele que dominou os segredos da escrita.
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