Apostila de Fenomenos de Transporte

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FENOˆMENOS DE TRANSPORTE - NOTAS DE AULA
LUCIANO GONC¸ALVES NOLETO
UNIVERSIDADE DE BRASI´LIA
FACULDADE UnB GAMA
SUMA´RIO
1 INTRODUC¸A˜O 1
1.1 Conceito de So´lido e Fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Meio Cont´ınuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Unidades e dimenso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Campo de velocidades de um escoamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Propriedades e adimensionais importantes . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5.1 Viscosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5.2 Nu´mero de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Te´cnicas de ana´lise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7 Propagac¸a˜o de erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 ESTA´TICA DE FLUIDOS 16
2.1 Pressa˜o em um Fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1 Equac¸a˜o Geral da Esta´tica de Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2 Distribuic¸a˜o de Pressa˜o em um Fluido sob ac¸a˜o da Gravidade . 20
2.1.3 Princ´ıpio de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.4 Pressa˜o Hidrosta´tica em Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Manometria e barometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Forc¸as hidrosta´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 Forc¸as Hidrosta´ticas em Superf´ıcies planas . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2 Forc¸as Hidrosta´ticas em Superf´ıcies curvas . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 FORMULAC¸A˜O INTEGRAL 43
3.1 Introduc¸a˜o a fluidos em movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Formas integrais para fluidos em movimento . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Derivada Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4 Leis ba´sicas para volumes de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5 Teorema Transporte de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
i
3.6 Vaza˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 EQUAC¸A˜O DE BERNOULLI E ESCOAMENTOS INTERNOS 58
4.1 Equac¸a˜o de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 Escoamentos internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.1 Escoamento incompress´ıvel e permanente . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.2 Escoamento laminar plenamente desenvolvido em dutos de sec¸a˜o
circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.3 Determinac¸a˜o da perda de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2.4 Difusores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5 MEDIDORES EM ESCOAMENTOS 84
5.1 Medic¸a˜o de propriedades do fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.1.1 Massa espec´ıfica e peso espec´ıfico . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.1.2 Viscosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2 Medic¸a˜o de grandezas do escoamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2.1 Pressa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2.2 Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6 TERMODINAˆMICA E TRANSFEREˆNCIA DE CALOR 92
6.1 Noc¸o˜es de Termodinaˆmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.1.1 Sistema compress´ıvel simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.1.2 Equil´ıbrio de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.1.3 T´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.1.4 Trabalho e calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.1.5 Primeira lei da termodinaˆmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.1.6 Segunda lei da termodinaˆmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.1.7 Enunciados da segunda lei da termodinaˆmica . . . . . . . . . . . 99
6.1.8 Ciclo de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.1.9 Relac¸o˜es de gases perfeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.2 Noc¸o˜es de Transfereˆncia de Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2.1 Equac¸a˜o geral da conduc¸a˜o de calor . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.2.2 Conduc¸a˜o unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2.3 Analogia com circuitos ele´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
ii
1 INTRODUC¸A˜O
O estudo de fenoˆmenos de transporte inclui treˆs to´picos intimamente relacionados:
• Mecaˆnica dos Fluidos: Transporte de quantidade de movimento (Momentum);
• Transfereˆncia de Calor: Transporte de energia te´rmica;
• Transfereˆncia de Massa: Transporte de concentrac¸a˜o de massa de va´rios compo-
nentes qu´ımicos;
Seu estudo, a n´ıvel introduto´rio, se deve a` sua ocorreˆncia em va´rias a´reas na indu´stria,
agricultura, meteorologia, etc. Ale´m disto, as equac¸o˜es governantes de cada to´pico
acima, bem como as ferramentas matema´ticas usadas e os mecanismos de transporte
molecular de cada to´pico acima sa˜o similares.
1.1 Conceito de So´lido e Fluido
Toma-se uma porc¸a˜o infinitesimal de um meio cont´ınuo. Aplica-se uma tensa˜o cisa-
lhante nesta porc¸a˜o, conforme figura1 1.1. Para ambas as situac¸o˜es onde o meio e´ so´lido
ou fluido, havera´ deformac¸a˜o com a aplicac¸a˜o desta tensa˜o.
Figura 1.1: Meio Cont´ınuo
1Adaptado de: White, F. Fluid Mechanics, 4a Edition
1
Se o meio cont´ınuo for so´lido, enta˜o ele ira´ se deformar de um valor determinado e
proporcional a` tensa˜o. Este fenoˆmeno e´ governado por relac¸o˜es tensa˜o-deformac¸a˜o,
onde dependendo da tensa˜o aplicada, a deformac¸a˜o pode ser revers´ıvel (Ela´stica) ou
irrevers´ıvel (Pla´stica). Interrompida a aplicac¸a˜o da tensa˜o, a deformac¸a˜o da porc¸a˜o
tambe´m e´ interrompida.
Se o meio cont´ınuo for fluido, enta˜o ele ira´ se deformar tambe´m, mas na˜o de um valor
determinado. Ele se deformara´ segundo uma taxa, que sera´ proporcional a` tensa˜o
aplicada. Para este caso, a deformac¸a˜o na˜o pode ser revertida. O fluido continuara´ a
se deformar mesmo com a interrupc¸a˜o da tensa˜o, segundo uma taxa de deformac¸a˜o.
Em outras palavras, um so´lido e´ capaz de resistir ao cisalhamento. Ja´ um fluido na˜o
possui esta capacidade. Um fluido e´ ta˜o sens´ıvel ao cisalhamento que a forma de
interromper sua deformac¸a˜o e´ conter seu movimento com paredes. Portanto, de acordo
com esta o´tica, definem-se gases como fluidos em fase gasosa.
Certos materiais que sa˜o caracterizados como so´lidos podem se comportar como fluidos.
Exemplos deste tipo de material sa˜o o asfalto, chumbo e vidro. Estes materiais, quando
submetidos a pequenas tenso˜es, se comportam como so´lidos e se deformam a um valor
determinada. Ja´ quando submetidos a altas tenso˜es, passam a se deformar a uma taxa
determinada, se comportando como fluidos.
1.2 Meio Cont´ınuo
Quando se estuda o escoamento de um fluido, a deformac¸a˜o de um so´lido, o transporte
de calor ou massa, e´ necessa´rio saber o que acontece a n´ıvel molecular? Em aplicac¸o˜es
de engenharia, a resposta, de uma forma geral, e´ na˜o. Para determinar se e´ necessa´rio
o conhecimento de movimento molecular, utiliza-se o conceito de meio cont´ınuo. Em
outras palavras, afirma-se que emaplicac¸o˜es de engenharia as dimenso˜es f´ısicas sa˜o
muito maiores do que as escalas de movimento molecular.
Logo, pode-se definir a massa espec´ıfica e a pressa˜o da seguinte forma:
ρ = lim
δV−→δV ∗
δm
δV
(1.1)
2
p = lim
δA−→δA′
|δF |
δA
(1.2)
Ambas as grandezas podem ser analisadas func¸o˜es de ponto, e portanto uma proprie-
dade termodinaˆmica do fluido, que pode variar de forma cont´ınua. Concluindo, define-
se um meio cont´ınuo como o meio onde as propriedades do meio variara˜o de forma
cont´ınua, sem descontinuidades ou singularidades, de tal modo que na˜o e´ necessa´rio
conhecimento de movimento molecular. As excec¸o˜es a esta regra sa˜o:
• Gases em baixa pressa˜o;
• Escoamentos hipersoˆnicos;
1.3 Unidades e dimenso˜es
Estes dois conceitos podem ser definidos da seguinte forma:
• Dimensa˜o: Medida pelo qual uma grandeza f´ısica e´ expressa quantitativamente;
• Unidade: Liga um nu´mero a uma dimensa˜o;
Para a obtenc¸a˜o destas dimenso˜es e´ necessa´rio um “padra˜o”e um conjunto u´nico de
unidades. A primeira convenc¸a˜o me´trica foi originada em 1872. Em 1860 o sistema
internacional de unidades foi criado, buscando uma padronizac¸a˜o u´nica. O sistema
internacional ainda na˜o e´ utilizado em todo mundo. O Brasil e´ signata´rio do sis-
tema internacional. Outros sistemas conhecidos sa˜o o sistema ingleˆs e o sistema CGS
(Centimeter-Gram-Second). Cada sistema de unidade deve ter as seguintes dimenso˜es
prima´rias:
massa M [kg]
comprimento L [m]
tempo t [s]
temperatura T [K]
3
A corrente ele´trica [I] e´ inclu´ıda caso o problema inclua grandezas ele´tricas ou magne´ticas.
Desta forma, podem-se obter outras grandezas atrave´s da combinac¸a˜o destas dimenso˜es
prima´rias:
A´rea A L2 Poteˆncia P ML2t−3
Volume V L3 Pressa˜o p ML−1t−2
Velocidade u Lt−1 Massa espec´ıfica ρ ML−3
Velocidade angular ω t−1 Viscosidade dinaˆmica µ ML−1t−1
Vaza˜o volume´trica Q L3t−1 Viscosidade cinema´tica ν L2t−1
Vaza˜o ma´ssica m˙ Mt−1 Tensa˜o superficial τs Mt−2
Forc¸a F MLt−2 Condutividade te´rmica K MLt2T
Torque T ML2t−2
Calor espec´ıfico
Cp
L2t2T−1
Energia E ML2t−2 Cv
Certas grandezas de aplicac¸o˜es de engenharia sa˜o muito pequenas ou muito grandes
para as unidades comuns. Exemplos:
• 101325 Pa: Pressa˜o atmosfe´rica;
• 11233000000 W: Poteˆncia instalada da usina de Tucuru´ı;
Para tornar a notac¸a˜o mais agrada´vel, usam-se prefixos para estas unidades:
4
Tera T 1012
Giga G 109
Mega M 106
Kilo k 103
Hecto h 102
Deca da 10
Deci d 10−1
Centi c 10−2
Mili m 10−3
Micro µ 10−6
Nano n 10−9
Pico p 10−12
Femto f 10−15
Atto a 10−18
1.4 Campo de velocidades de um escoamento
O campo de velocidades de escoamento e´ originado pela taxa de deformac¸a˜o, e costuma
ser a soluc¸a˜o em problemas de engenharia. Considera-se que o campo de velocidade
obedece a` hipo´tese do cont´ınuo. Em um sistema de coordenadas, este campo pode ser
definido como uma grandeza vetorial que varia no espac¸o (Definido em um sistema de
coordenadas cartesiano) e no tempo, tal que:
u = u(x, y, z, t)i+ v(x, y, z, t)j + w(x, y, z, t)k (1.3)
Ja´ a pressa˜o e´ definida como uma grandeza escalar que varia no espac¸o (Tambe´m
definido em um sistema de coordenadas cartesiano) e no tempo, tal que:
p = p(x, y, z, t) (1.4)
Neste texto, sera´ adotada a seguinte notac¸a˜o:
• Grandezas escalares sera˜o escritas em letras normais: a;
5
• Grandezas vetoriais sera˜o escritas em negrito: a;
1.5 Propriedades e adimensionais importantes
1.5.1 Viscosidade
Define-se viscosidade como uma medida quantitativa da resisteˆncia de um fluido a
deformar, e, portanto, a escoar. Logo esta grandeza determinara´ a taxa de deformac¸a˜o
gerada por uma tensa˜o cisalhante. Toma-se um elemento de fluido sob a ac¸a˜o de uma
tensa˜o cisalhante, conforme figura2 1.2:
Figura 1.2: Elemento de Fluido
A tensa˜o cisalhante e´ proporcional a` taxa de deformac¸a˜o tal que:
τ ∝ δθ
δt
(1.5)
Da figura, observa-se que:
tan δθ =
δuδt
δy
=⇒ tan δθ
δt
=
δu
δy
(1.6)
No limite de mudanc¸as infinitesimais, e admitindo que para aˆngulos muito pequenos,
tan θ ∼= θ:
dθ
dt
=
du
dy
(1.7)
2Adaptado de: White, F. Fluid Mechanics, 4a Edition
6
Da equac¸a˜o 1.5:
τ ∝ du
dy
=⇒ τ = µdu
dy
(1.8)
A equac¸a˜o 1.8 e´ a lei da viscosidade de Newton. A viscosidade dinaˆmica µ e´ uma
propriedade termodinaˆmica que varia com a pressa˜o e com a temperatura. Define-
se a viscosidade cinema´tica ν como a raza˜o entre a viscosidade dinaˆmica e a massa
espec´ıfica:
ν =
µ
ρ
(1.9)
1.5.2 Nu´mero de Reynolds
O nu´mero de Reynolds e´ dado por:
Re =
ρuD
µ
(1.10)
Onde D e´ um comprimento caracter´ıstico do escoamento. Este paraˆmetro adimensional
relaciona:
• Efeitos inerciais e difusivos;
• Tempos de transporte convectivo e difusivo;
• Regimes de escoamento (laminar ou turbulento);
1.6 Te´cnicas de ana´lise
Um problema de Fenoˆmenos de Transporte envolvendo escoamento fluido pode ser
abordado de treˆs formas:
• Ana´lise integral
• Ana´lise diferencial
7
• Ana´lise dimensional
Em qualquer uma destas formas, o fenoˆmeno em questa˜o atendera´:
• As 3 leis de Newton
• Uma relac¸a˜o de estado termodinaˆmico
• Condic¸o˜es de contorno estabelecidas
Logo o equacionamento inicial para modelar este problema deve ser:
• Equac¸a˜o da continuidade ou conservac¸a˜o da massa
• Equac¸a˜o da conservac¸a˜o da quantidade de movimento (1a. lei de Newton)
• Equac¸a˜o da conservac¸a˜o da energia te´rmica (1a. lei da termodinaˆmica)
• Relac¸a˜o de estado termodinaˆmico
• Condic¸o˜es de contorno para entrada e sa´ıda de fluidos, superf´ıcies so´lidas e inter-
faces.
1.7 Propagac¸a˜o de erros
Todo processo experimental esta´ sujeito a erros, oriundos de diversas fontes. Estes
erros se propagam ao longo de operac¸o˜es matema´ticas. Parte deles na˜o so´ pode como
deve ser eliminada. Estatisticamente, a aquisic¸a˜o de dados em um experimento tera´ os
seguintes processos:
• Observac¸a˜o: A grandeza medida e´ encarada como o resultado da observac¸a˜o de
uma varia´vel
• Variabilidade: Define a natureza da grandeza, se ela e´ aleato´ria ou na˜o
8
Se a grandeza for aleato´ria, enta˜o ela tera´ natureza estoca´stica, oriunda de erros em
sua medic¸a˜o. Estes erros podem ser:
• Sistema´ticos ou determinados: Distorcera˜o as medidas sempre em um sentido
(Para mais ou para menos) em relac¸a˜o ao seu valor verdadeiro. Este erro e´ o
mais dif´ıcil de detectar, mas e´ o mais fa´cil de evitar, desde que se tomem os
cuidados necessa´rios. Suas causas sa˜o:
– Defeito do instrumento
– Defeito da metodologia
– Erro humano
• Acidentais ou aleato´rios: Causas desconhecidas, advindas de flutuac¸o˜es inerentes
a` realidade f´ısica do fenoˆmeno mensurado. Na˜o pode ser completamente elimi-
nado, mas pode ser mitigado. Sua avaliac¸a˜o consiste em analisar dois aspectos
importantes:
– Exatida˜o: Relacionada a` magnitude de erros sistema´ticos, no sentido de
dar confiabilidade a` metodologia experimental. Quanto menor e´ a diferenc¸a
entre medidas comparadas ao valor real, mais exata e´ a metodologia.
– Precisa˜o: Relacionada a` concordaˆncia entre medidas, obtidas de va´rias me-
didas de uma mesma grandeza. Este conceito reflete a reprodutibilidade de
resultados. Logo, quanto menos dispersos forem os valores mais precisos eles
sera˜o.
A figura 1.3 ilustra os conceitos de exatida˜o e precisa˜o para um caso onde medidas
hipote´ticas de uma grandeza x foram mensuradas:
9
(a) Preciso e Exato (b) Preciso e Inexato
(c) Impreciso e Exato (d) Impreciso e Inexato
Figura 1.3: Medidas da grandeza x
Toma-se um ensaio experimental onde y e´ a grandezaa ser obtida. Esta grandeza sera´
uma varia´vel aleato´ria indiretamente medida atrave´s de outras varia´veis x1 e x2:
y = f(x1, x2) (1.11)
Se apenas uma varia´vel for necessa´ria para obter y, ou seja, y = f(x), enta˜o se pode
expandir f em uma se´rie de Taylor em torno de um valor x0:
y = f(x) = f(x0) +
df
dx
(x− x0) + 1
2!
d2f
dx2
(x− x0)2 + 1
3!
d3f
dx3
(x− x0)3 + ... (1.12)
Fazendo ∆x = x− x0 → x = x0 + ∆x(Erro associado a x):
f(x0 + ∆x) = f(x0) +
df
dx
∆x+
1
2!
d2f
dx2
∆x2 +
1
3!
d3f
dx3
∆x3 + ... (1.13)
Descartando termos de expoente superior a 1 (Precisa˜o estabelecida):
10
f(x0 + ∆x) ∼= f(x0) + df
dx
∆x =⇒ df
dx
∆x = f(x0 + ∆x)− f(x0) (1.14)
Mas:
f(x0 + ∆x)− f(x0) = f(x)− f(x0) = y − y0 = ∆y (1.15)
Logo:
∆y =
df
dx
∆x (1.16)
Onde f e´ a dependeˆncia funcional entre x e y. Para o caso y = f(x1, x2), faz-se o
mesmo procedimento:
y = f(x1, x2) = f(x01, x02) +
2∑
i=1
[
∂f
∂xi
]
(xi − x0i) + 1
2!
2∑
i=1
[
∂2f
∂x2i
]
(xi − x0i)2 + ...
f(x01 + ∆x1, x02 + ∆x2) = f(x01, x02) +
2∑
i=1
[
∂f
∂xi
]
∆xi +
1
2!
2∑
i=1
[
∂2f
∂x2i
]
(∆xi)
2 + ...
f(x01 + ∆x1, x02 + ∆x2) = f(x01, x02) +
∂f
∂x1
∆x1 +
∂f
∂x2
∆x2
∆y = f(x01 + ∆x1, x02 + ∆x2)− f(x01, x02) = ∂f
∂x1
∆x1 +
∂f
∂x2
∆x2
∆y =
∂f
∂x1
∆x1 +
∂f
∂x2
∆x2 (1.17)
Generalizando:
y = f(x1, x2, ..., xn) (1.18)
∆y =
∂f
∂x1
∆x1 +
∂f
∂x2
∆x2 + ...+
∂f
∂xn
∆xn (1.19)
Ressalta-se que estas equac¸o˜es valem para uma precisa˜o de ordem 1. Para ordens
superiores, devem-se deduzir novas fo´rmulas de propagac¸a˜o.
11
1.8 Exerc´ıcios
1- No escoamento de a´gua por um tubo, o perfil de velocidades em um ponto do tubo
em questa˜o e´ dado pela equac¸a˜o:
u =
(
β
4µ
)(
d2
4− r2
)
(1.20)
Onde:
• u e´ a velocidade da a´gua em qualquer posic¸a˜o r;
• β e´ uma constante;
• µ e´ a viscosidade da a´gua;
• d e´ o diaˆmetro do tubo;
• r e´ a distaˆncia radial medida a partir da linha de centro do tubo;
Com estes dados:
• Deduza uma fo´rmula para a tensa˜o cisalhante na parede do tubo devido ao esco-
amento da a´gua;
• Calcule o valor da tensa˜o cisalhante em r = d/4;
• A aplicac¸a˜o desta tensa˜o na parede do tubo gerara´ uma forc¸a denominada forc¸a
de arrasto. Calcule esta forc¸a, que atuara´ na direc¸a˜o de aplicac¸a˜o da tensa˜o;
2- Toma-se um tanque de formato coˆnico, de acordo com a figura, com um volume de
a´gua de 1, 31 × 10−5m3. Determine a quantidade adicional de a´gua necessa´ria para
encher completamente o tanque.
12
Figura 1.4: Exerc´ıcio 2
3- Um bloco quadrado de peso de 1,1 kN e 250 mm de lado escorrega em uma superf´ıcie
inclinada em 20 graus. A superf´ıcie possui uma pel´ıcula de o´leo de espessura de 6 µm.
Assumindo um perfil de velocidade linear na pel´ıcula de o´leo, calcule a velocidade
terminal do bloco com a lei da viscosidade de Newton. Lembre que na condic¸a˜o de
velocidade terminal, o bloco se encontra em equil´ıbrio de forc¸as. Dado: µoleo = 7mPa.s
Figura 1.5: Exerc´ıcio 3
4- Um pista˜o de peso igual a 9,5 kg desliza em um tubo lubrificado, conforme mostra a
figura. A folga entre o tubo e o pista˜o e´ de 2, 54×10−5m e e´ completamente preenchida
com o´leo lubrificante. Se o pista˜o desacelera a 0,64 m/s2 no momento em que ele atinge
64 m/s, determine a viscosidade do o´leo.
Figura 1.6: Exerc´ıcio 4
13
5- Uma forma retangular macic¸a de 18 kg desliza em um plano inclinado de 15 graus.
O plano possui uma pel´ıcula de espessura igual a 3 mm de o´leo SAE 10 a 20 graus
Celsius. Determine a velocidade terminal da forma considerando que a a´rea de contato
dela com a pel´ıcula de o´leo e´ de 0,3 m2. Dado: µSAE10 = 8, 14× 10−2Pa.s
Figura 1.7: Exerc´ıcio 5
6- Ar a 20 graus celsius forma uma camada limite perto de uma parede, conforme a
figura. Neste ponto, o perfil de velocidade assume a forma de uma onda senoidal, tal
que:
u = umax sin
[piy
2δ
]
(1.21)
A espessura da camada limite δ e´ igual a 7 mm e a velocidade ma´xima e´ de 9 m/s.
Calcule a tensa˜o cisalhante na camada limite para (dado: µar = 1, 81× 10−5Pa.s):
• y = 0;
• y = 3, 5mm
• y = 7mm
14
Figura 1.8: Exerc´ıcio 6
7- O livre caminho me´dio L de um ga´s e´ definido como a distaˆncia me´dia percorrida
por mole´culas entre coliso˜es. De acordo com a teoria cine´tica dos gases, este caminho
pode ser calculado como:
L = 1, 26
(
µ
ρ
)
(RT )−0,5 (1.22)
Onde R e´ a constante universal dos gases e T e´ a temperatura absoluta. Qual e´ a
unidade da constante 1,26?
8- Para escoamento laminar em um tubo de sec¸a˜o circular, o perfil de velocidade e´
dado por:
u =
(
B
µ
)
(r20 − r2) (1.23)
Qual e´ a unidade da constante B?
15
2 ESTA´TICA DE FLUIDOS
2.1 Pressa˜o em um Fluido
A pressa˜o e´ definida como a forc¸a normal de compressa˜o, por unidade de a´rea, que um
fluido exerce sobre uma superf´ıcie com o qual esta´ em contato. Nesse sentido, dado um
elemento de a´rea de uma superf´ıcie imersa em um fluido, a forc¸a normal de compressa˜o
exercida pelo fluido sobre um elemento e´ dada por:
dFc = −pn̂dA (2.1)
Figura 2.1: Forc¸a de Compressa˜o
Onde n̂ e´ o vetor normal exterior unita´rio. Nota-se que a pressa˜o e´ uma grandeza
escalar:
p = lim
δA→δA′
‖δFc‖
δA
(2.2)
Onde δA′ e´ uma escala local. A pressa˜o e´ a combinac¸a˜o da forc¸a me´dia por unidade de
superf´ıcie oriunda das coliso˜es de mole´culas com a superf´ıcie e de ac¸a˜o do peso, tambe´m
por unidade de superf´ıcie, do fluido, naquela cota. Logo qualquer tena˜o normal aplicada
em um fluido sera´ a pressa˜o, onde o valor positivo e´ convencionado para compressa˜o.
16
Toma-se um elemento de fluido em forma de cunha, mostrado na figura abaixo:
Figura 2.2: Elemento de fluido em forma de cunha
Onde (b e´ a profundidade da cunha):
sin θ =
∆z
∆s
(2.3)
cos θ =
∆x
∆s
(2.4)
dW = ρg(
1
2
b∆x∆z), Peso do elemento (2.5)
O somato´rio de forc¸as neste elemento deve ser igual a zero para atender a condic¸a˜o
hidrosta´tica. Na direc¸a˜o x: ∑
Fx = px∆zb− pnb∆s sin θ = 0
pxb∆s sin θ − pnb∆s sin θ = 0 =⇒ px = pn (2.6)
O resultado obtido mostra que a pressa˜o na˜o varia na direc¸a˜o horizontal. Para a direc¸a˜o
y: ∑
Fy = pz∆xb− pnb∆s cos θ + ρg(1
2
b∆x∆z) = 0
= pzb∆s cos θ − pnb∆s cos θ + ρg1
2
b∆s cos θ∆z
pz − pn − 1
2
ρg∆z = 0, Tomando o limite para ∆z −→ 0
pz = pn (2.7)
17
O resultado obtido mostra que para um valor de θ arbitra´rio, a pressa˜o e´ func¸a˜o de
ponto em um fluido em repouso.
2.1.1 Equac¸a˜o Geral da Esta´tica de Fluidos
Consideremos um fluido em equil´ıbrio esta´tico sob a ac¸a˜o do campo gravitacional.
Nesse caso, a u´nica forc¸a de superf´ıcie que atua em uma porc¸a˜o arbitra´ria qualquer do
fluido e´ a pressa˜o:
Figura 2.3: Porc¸a˜o de Fluido em Equil´ıbrio Esta´tico
O somato´rio das forc¸as resultantes neste fluido em equil´ıbrio esta´tico sa˜o dadas por:
−
‹
S
pn̂dA︸ ︷︷ ︸
Forc¸as de superf´ıcie
+
˚
V
ρgdV︸ ︷︷ ︸
Forc¸as de campo
= 0 (2.8)
Onde g e´ a forc¸a de campo por unidade de massa. Do teorema da divergeˆncia:
˚
V
∇ · vdV =
¨
S
v · n̂dA (2.9)
Suponha v = φa, onde a e´ um vetor constante:
18
∇ · (φa) = ∇φ · a+ φ∇a︸︷︷︸
=0
(2.10)
Logo:
˚
V
∇ · (φa)dV =
˚
V
∇φ · adV = a ·
˚
V
∇φdV
‹
S
φa · n̂dA = a ·
‹
S
φn̂dA, aplicando o teorema da divergeˆncia nos dois lados:
a ·
˚
V
∇φdV = a ·
‹
S
φn̂dA
˚
V
∇φdV =
‹
S
φn̂dA (2.11)
Fazendo φ = p:
−
‹
S
pn̂dA = −
˚
V
∇pdV =
˚
V
ρgdV ⇔
˚
V
(∇p− ρg)dV = 0 (2.12)
Como dV e´ um volume arbitra´rio, aplica-se o teorema da localizac¸a˜o,obtendo:
∇p− ρg = 0 (2.13)
Corola´rio: Seja φ um campo ou escalar ou vetorial cont´ınuo e definido em um domı´nio
Ω. O teorema da localizac¸a˜o afirma que, para dV arbitra´rio:
˚
Ω
φdV = 0 =⇒ φ = 0, ∃Ω ⊂ Ω (2.14)
A equac¸a˜o 2.13 e´ denominada Equac¸a˜o geral da esta´tica de fluidos. Observa-se
que esta equac¸a˜o e´ va´lida somente para casos em que ρ e g sa˜o varia´veis (como func¸o˜es
de x). Do resultado obtido, define-se peso espec´ıfico como o produto entre a massa
espec´ıfica e a gravidade, γ = ρg.
19
2.1.2 Distribuic¸a˜o de Pressa˜o em um Fluido sob ac¸a˜o da Gravidade
Para este caso, g = −gk, logo:
∇p− ρgk = 0⇔ ∂p
∂x
=
∂p
∂y
= 0 (2.15)
Nota-se de 2.15 que a pressa˜o na˜o varia em planos perpendiculares a k. Portanto:
∂p
∂z
− ρg = 0⇒ p = p0 + ρgz (2.16)
A pressa˜o em um fluido sob a ac¸a˜o da gravidade depende apenas da profundidade
(coordenada z).
2.1.3 Princ´ıpio de Arquimedes
O princ´ıpio de Arquimedes versa sobre as forc¸as atuantes em corpos imersos em fluidos
em repouso, podendo estar flutuando ou na˜o:
Figura 2.4: Corpo imerso em um fluido em repouso
Neste sentido, o empuxo aplicado no corpo e´ dado pela condic¸a˜o de equil´ıbrio de forc¸as:
20
E =
˚
V
ρcgdV −
‹
S
pn̂dA , Aplicando a equac¸a˜o 2.12
= ρcg
˚
V
dV −
‹
S
∇pdV mas∇p = ρfg
= ρcgV −
‹
S
ρfgdV
= ρcgV − ρfg
‹
S
dV
E = ρcgV − ρfgV (2.17)
O resultado 2.17 denota o princ´ıpio de Arquimedes. O primeiro termo e´ relacionado
ao peso do corpo imerso no fluido. O segundo termo e´ relacionado ao peso do volume
de fluido deslocado. Logo o empuxo l´ıquido sera´ dado por:
E = (ρc − ρf )gV (2.18)
• Se ρc > ρf ⇒ Corpo afunda;
• Se ρc < ρf ⇒ Corpo flutua;
2.1.4 Pressa˜o Hidrosta´tica em Gases
Inicialmente, escrevemos a equac¸a˜o de estado:
P = ρRT ⇒ ρ = p
RT
(2.19)
Supondo que o ga´s em ana´lise sofra influeˆncia apenas da gravidade, ou seja, g = −gk,
temos:
∂p
∂x
=
∂p
∂y
= 0
∂p
∂z
= −ρg ⇒ ∂p
∂z
= − gp
RT
(2.20)
21
No caso da temperatura T ser constante, a equac¸a˜o 2.20 e´ separa´vel, de forma que:
dp
p
= − gp
RT
⇒ ln
(
p
p0
)
= −g(z − z0)
RT
⇒ p = p0e−
g
RT
(z−z0) (2.21)
Observa-se que a pressa˜o cresce exponencialmente com a temperatura!
2.2 Manometria e barometria
Estes dois conceitos podem ser definidos da seguinte forma:
• Barometria: Medic¸a˜o de pressa˜o atmosfe´rica local
• Manometria: Medic¸a˜o de pressa˜o local em relac¸a˜o a uma refereˆncia (Diferenc¸a
de pressa˜o)
Figura 2.5: Manoˆmetro diferencial
Um manoˆmetro diferencial em U (Figura1 2.5) pode ter as seguintes configurac¸o˜es:
• Dois ou mais fluidos: Alteram a sensibilidade do manoˆmetro. A determinac¸a˜o da
diferenc¸a de pressa˜o nas extremidades e´ feita tomando pontos de mesma pressa˜o
na horizontal2:
1Fonte: http://www.oficinadaciencia.com
2Figura 2.6 adaptada de: White, F. Fluid Mechanics, 4a Edition
22
Figura 2.6: Manoˆmetro de va´rios fluidos
(pa − pb) = (pa − p1) + (p1 − p2) + (p2 − p3) + (p3 − pb) (2.22)
• Um dos ramos inclinado: Mesmo objetivo, mas a pressa˜o deve levar em conta o
aˆngulo de inclinac¸a˜o 3:
Figura 2.7: Manoˆmetro inclinado
• Manoˆmetro de Bourdon: Um tubo flex´ıvel (Chamado de tubo Bourdon) e´ fixado
via solda num soquete, que estabelece a conexa˜o. O fluido passa pelo soquete e
enche o tubo. A outra extremidade e´ tampada, ficando livre. Com a alterac¸a˜o
de pressa˜o do processo e assim dentro do tubo, a expansa˜o do tubo muda, que
gera um movimento no final livre4. A extremidade mo´vel e´ interligada com o
movimento. Este transforma o movimento linear em uma rotac¸a˜o do ponteiro.
3Fonte: http://tw10.com.br/skilltech
4Da mesma forma que uma “lingua de sogra”
23
Figura 2.8: Manoˆmetro de Bourdon
2.3 Forc¸as hidrosta´ticas
As forc¸as hidrosta´ticas esta˜o presentes em estruturas de represamento e confinamento
de fluidos. Estas forc¸as se referem ao peso do fluido atuante na superf´ıcie. A forma da
superf´ıcie alterara´ a metodologia de ca´lculo das forc¸as, bem como a presenc¸a de mais
de um fluido. O ca´lculo de forc¸as hidrosta´ticas se subdivide em:
• Forc¸as em superf´ıcies planas
• Forc¸as em superf´ıcies curvas
• Camadas de fluido
A seguir sera´ abordada a formulac¸a˜o para as duas primeiras situac¸o˜es.
2.3.1 Forc¸as Hidrosta´ticas em Superf´ıcies planas
Toma-se uma superf´ıcie plana imersa em um fluido em repouso, conforme figura5 2.9:
5Adaptada de: White, F. Fluid Mechanics, 4a Edition
24
Figura 2.9: Superf´ıcie Plana
A forc¸a hidrosta´tica resultante exercida na superf´ıcie e´ calculada por:
F =
ˆ
pdA (2.23)
A pressa˜o e´ calculada pela equac¸a˜o da hidrosta´tica:
p = patm + γz (2.24)
Logo:
F =
ˆ
(patm + γz)dA = patmA+ γ
ˆ
zdA (2.25)
Mas, da figura, z = ξ sin θ Logo:
F = patmA+ γ
ˆ
ξ sin θdA = patmA+ γ sin θ
ˆ
ξdA (2.26)
No centroide da superf´ıcie:
ˆ
ξdA = ξctA (2.27)
F = patmA+ γ sin θξct︸ ︷︷ ︸
hct
A = patmA+ γhctA = (patm + γhct)A (2.28)
F = pctA (2.29)
25
Este resultado e´ fisicamente interpretado como a resultante de uma distribuic¸a˜o linear
de tensa˜o ao longo da a´rea de superf´ıcie. Esta distribuic¸a˜o adve´m do campo de pressa˜o
que induzira´ esforc¸os fletores e de compressa˜o. A forc¸a F na˜o necessariamente estara´ no
centroide, devido a estes efeitos fletores e compressivos. Estes efeitos necessitam serem
contrabalanc¸ados por F. Da´ı vem o conceito de centro de pressa˜o (CP), que sera´ o
ponto de aplicac¸a˜o da forc¸a F . As coordenadas do centro de pressa˜o sa˜o dadas pelo
somato´rio dos momentos oriundos das forc¸as elementais pdA e igualadas ao momento
da resultante F . Na direc¸a˜o y:
∑
My : Fycp =
ˆ
PydA =
ˆ
y(patm + γξ sin θξ)dA =⇒ˆ
y(patm + γξ sin θξ)dA = patm
ˆ
ydA︸ ︷︷ ︸
=0
+γ sin θ
ˆ
yξdA (2.30)
O valor nulo para a integral indicada na equac¸a˜o 2.30 e´ explicado pelo fato do centroide
estar situado em um eixo coordenado, na˜o gerando momento. Fazendo ξ = ξct − y,
tem-se:
Fycp = γ sin θ
ˆ
y(ξct − y)dA
= γ sin θ
ξct ˆ ydA︸ ︷︷ ︸
=0
−
ˆ
y2dA︸ ︷︷ ︸
=Ixx

Onde Ixx e´ o momento de ine´rcia de a´rea. Portanto:
Fycp = −γ sin θIxx ⇒ ycp = −γ sin θIxx
F
⇒ ycp = −γ sin θ Ixx
pctA
(2.31)
De forma similar:
26
∑
Mx : Fxcp =
ˆ
PxdA =
ˆ
x[patm + γ(ξct − y) sin θξ]dA =⇒ˆ
x[patm + γ(ξct − y) sin θξ]dA = γ sin θ
ˆ
xydA︸ ︷︷ ︸
=Ixy
xcp = −γ sin θ Ixy
pctA
(2.32)
Sinais negativos nestas fo´rmulas sa˜o oriundos de convenc¸o˜es (Localizac¸a˜o do centro de
pressa˜o acima ou abaixo do centroide). Logo o sinal negativo para ycp indica que ele
esta´ abaixo do centroide e sinal negativo para xcp indica que ele esta´ a` esquerda do
centroide. Se Ixy = 0, enta˜o xcp = 0, portanto, o centro de pressa˜o esta´ diretamente
abaixo do centroide. Este e´ o caso de superf´ıcies sime´tricas. Se a superf´ıcie estiver
completamente na horizontal, enta˜o a pressa˜o sera´ uniforme ao longo da superf´ıcie.
Portanto o centroide e o centro de pressa˜o sera˜o coincidentes. Em casos onde a pressa˜o
atmosfe´rica atua nos dois lados da superf´ıcie, seu efeito pode ser desprezado (Caso de
represas). Logo:
F = γhctA
xcp = −Ixy sin θ
hctA
ycp = −Ixx sin θ
hctA
(2.33)
2.3.2 Forc¸as Hidrosta´ticas em Superf´ıcies curvas
A estrate´gia de ca´lculo para superf´ıcies curvas consiste em decompor a forc¸a hidrosta´tica
em componentes horizontal e vertical, conforme figura6 2.10:
• Componente horizontal (a): Igual a` forc¸a aplicada na a´rea plana resultante da
projec¸a˜o da superf´ıcie curva em um plano vertical normal (Automaticamente
impondo θ = 90o para esta componente)a` componente;
6Adaptada de: White, F. Fluid Mechanics, 4a Edition
27• Componente vertical (b): Igual em magnitude e direc¸a˜o e contra´ria em sentido
ao peso da coluna de fluido mais o ar atmosfe´rico acima da superf´ıcie;
Figura 2.10: Superf´ıcie Curva
Dependendo da forma da superf´ıcie, pode ser necessa´rio integrar a a´rea de atuac¸a˜o da
forc¸a. Logo a metodologia de ca´lculo e´ igual a` de superf´ıcies planas para a componente
horizontal. Para mostrar este procedimento, sera´ feito o seguinte exemplo:
Uma dada represa possui uma forma parabo´lica. O fluido de trabalho e´ a a´gua e o efeito da
pressa˜o atmosfe´rica pode ser desprezado (A pressa˜o e´ aplicada nos dois lados da represa).
Determinar expresso˜es para as componentes da forc¸a F aplicada na represa.
Figura 2.11: Represa Parabo´lica
Dados:
28
• Largura da represa: l
• Altura da represa: hc
• A represa tem forma parabo´lica cuja a´rea de sec¸a˜o e´ 2xhc/3
Comec¸a-se pela determinac¸a˜o da componente horizontal. Considera-se que a para´bola,
quando projetada em um plano normal a` componente da forc¸a hidrosta´tica, sera´ um
retaˆngulo na vertical. A componente sera´ aplicada abaixo do centro´ide da projec¸a˜o,
conforme figura 2.12:
Figura 2.12: Vistas da Represa
A a´rea da projec¸a˜o e´ a a´rea do retaˆngulo delimitado pela figura, ou seja:
Ap = lhc (2.34)
A coordenada vertical do centroide e´ dada por (Metade da altura do retaˆngulo):
hct =
hc
2
(2.35)
Logo, a componente horizontal da forc¸a hidrosta´tica sera´ dada por:
FH = γhctAp =
γlh2c
2
(2.36)
29
As coordenadas do centro de pressa˜o sa˜o dadas por:
xcp = 0, Superf´ıcie sime´trica
ycp = −Ixx sin θ
hctAp
, Onde Ixx =
lh3c
12
, e sin θ = 1
=
h2c
6
(2.37)
Para a componente vertical, inicialmente determina-se seu ponto de aplicac¸a˜o na direc¸a˜o
vertical (Figura 2.10):
yap = hct + ycp =
hc
2
+
h2c
6
(2.38)
Agora, calcula-se a componente vertical, dada por (As e´ a a´rea de sec¸a˜o):
FV = γlAs =
2γlxhc
3
(2.39)
Onde As e´ a a´rea de sec¸a˜o, definida pela a´rea abaixo da para´bola dada acima. As
equac¸o˜es 2.36 e 2.39 sa˜o as respostas do problema proposto.
2.4 Exerc´ıcios
1- Para uma medic¸a˜o de pressa˜o em escoamento turbulento, deseja-se escolher entre
um manoˆmetro em U que usa mercu´rio (DR=13,6) e outro que usa a´gua (DR=1) como
fluido de trabalho. Ambos os manoˆmetros possuem altura ma´xima de um metro. Para
uma variac¸a˜o de pressa˜o de 70kPa, qual e´ o melhor fluido de trabalho?
2- Um tanque conte´m glicerina pressurizada a 50 kPa conforme a figura. Se a altura
da coluna de glicerina e´ de 2 m, calcule a pressa˜o no fundo do tanque (ρglicerina =
1260kg/m3).
30
Figura 2.13: Exerc´ıcio 2
3- Se a pressa˜o em um tanque fechado e´ de 344,7 kPa, encontre a altura de coluna de
fluido para os seguintes fluidos:
• A´gua (DR=1);
• Mercu´rio (DR=13,6);
• O´leo pesado (DR =0,92);
DR e´ a massa espec´ıfica relativa a` a´gua.
4- Um relato´rio de previsa˜o do tempo indica que a altura de coluna de fluido de um
baroˆmetro em um local e´ igual a 0,76 m de mercu´rio. Determine a pressa˜o atmosfe´rica
em Pascais.
5- Um procedimento muito comum adotado por pessoas ao acordar e´ levantar-se deva-
gar, de modo a evitar tonturas e desmaios. Estas tonturas sa˜o causadas pelo levanta-
mento ra´pido da pessoa, que altera a pressa˜o sangu´ınea. Quando uma pessoa sauda´vel
esta´ deitada, considera-se que a pressa˜o hidrosta´tica do sangue se mante´m constante
ao longo do corpo inteiro no valor da pressa˜o arterial (Pressa˜o na s´ıstole - Contrac¸a˜o
do mu´sculo card´ıaco - igual a 16kPa e na dia´stole - Relaxamento do mu´sculo card´ıaco
- igual a 10, 6kPa). Quando a pessoa esta´ sentada, ou em pe´, devido a` elevac¸a˜o da
31
cabec¸a em relac¸a˜o ao corac¸a˜o, a pressa˜o arterial decrescera´ na cabec¸a. Calcule com a
equac¸a˜o geral da hidrosta´tica:
• A queda de pressa˜o arterial na cabec¸a quando uma pessoa se levanta;
• O valor da pressa˜o na cabec¸a de uma pessoa em pe´ nas condic¸o˜es de s´ıstole e
dia´stole card´ıaca;
Para os ca´lculos estime que a altura me´dia entre a cabec¸a e o corac¸a˜o e´ de aproxima-
damente 30 cm. Considere a acelerac¸a˜o da gravidade e a massa espec´ıfica relativa a`
a´gua do sangue como 9, 81m/s2 e 1, 06 respectivamente.
6- O sistema na figura se encontra a temperatura ambiente. Se a pressa˜o atmosfe´rica
local e´ de 101,3 kPa e a pressa˜o no fundo do tanque e´ igual a 231,3 kPa, qual e´ a massa
espec´ıfica relativa do o´leo de oliva? (DRSAE30 = 0, 89)
Figura 2.14: Exerc´ıcio 6
7- Encontre as presso˜es nos pontos A, B, C e D na figura.
32
Figura 2.15: Exerc´ıcio 7
8- A leitura de um medidor de n´ıvel de combust´ıvel de um carro e´ proporcional a`
pressa˜o no fundo do tanque de gasolina, conforme mostra a figura. Se o tanque possui
32 cm de altura e conte´m a´gua a uma altura de coluna de 3 cm, quantos cent´ımetros
de ar tem no topo do tanque quando o medidor indicar que o tanque esta´ cheio? Use:
γgas = 6670N/m
3 e γar = 11, 8N/m
3
Figura 2.16: Exerc´ıcio 8
9- Encontre a diferenc¸a de pressa˜o entre os tanques A e B na figura abaixo. Considere:
• d1 = 330mm;
• d2 = 160mm;
• d3 = 480mm;
• d4 = 230mm;
• Massa espec´ıfica relativa do Mercu´rio: 13,6.
33
Figura 2.17: Exerc´ıcio 9
10- O macaco hidra´ulico da figura conte´m um determinado tipo de o´leo. Desprezando
os pesos dos pisto˜es, determine uma expressa˜o que calcule a forc¸a necessa´ria a ser
aplicada na alavanca para suportar o peso.
Figura 2.18: Exerc´ıcio 10
11- Um manoˆmetro e´ conectado no fundo de um tanque que conte´m treˆs tipos diferentes
de fluido, conforme a figura. Qual sera´ a diferenc¸a de altura da coluna de mercu´rio y
no manoˆmetro (ρagua = 1000kg/m
3)?
34
Figura 2.19: Exerc´ıcio 11
12- Um manoˆmetro de dois fluidos e´ mostrado na figura. Calcule a diferenc¸a de pressa˜o
entre os pontos A e B como func¸a˜o de x.
Figura 2.20: Exerc´ıcio 12
13- Para a configurac¸a˜o da figura, calcule o peso do pista˜o se o medidor de pressa˜o
35
indicar 70 kPa.
Figura 2.21: Exerc´ıcio 13
14- O porta˜o pivotado plano na figura a seguir pesa 350 N por metro do plano que sai
do papel. Na posic¸a˜o horizontal, seu centroide esta´ a 1,5 m abaixo da face superior
e a 2 m da face esquerda, conforme a figura. Partindo desta configurac¸a˜o, o n´ıvel de
a´gua (γ = 9790N/m3) e´ aumentado lentamente de modo a garantir comportamento
hidrosta´tico ate´ a altura h, onde o porta˜o abrira´ por completo e ficara´ na posic¸a˜o
vertical. Ao longo do aumento do n´ıvel, observa-se que no instante em que o centroide
estiver a uma profundidade ho/2, a forc¸a hidrosta´tica estara´ posicionada a uma altura
ho/3 da face inferior do porta˜o. Neste instante, fac¸a o somato´rio de momentos no pivoˆ
O e deduza uma equac¸a˜o para o n´ıvel de a´gua ho abaixo do pivoˆ O que fara´ o porta˜o
abrir no sentido anti-hora´rio. Considere que a pressa˜o atmosfe´rica atua nos dois lados
do porta˜o.
36
Figura 2.22: Exerc´ıcio 14
15- Se um triaˆngulo de altura d e base b e´ submerso em um l´ıquido, e um de seus ve´rtices
se encontra no mesmo n´ıvel que a superf´ıcie do fluido (ver figura), deduza uma expressa˜o
para a profundidade do seu centro de pressa˜o. Considere que a pressa˜o atmosfe´rica
atua nos dois lados do triaˆngulo (a` esquerda e a` direita do centro de pressa˜o).
37
Figura 2.23: Exerc´ıcio 15
16- Uma represa de 20 metros de largura conte´m a´gua a uma altura de 7 metros,
conforme a figura. Calcule a forc¸a resultante e a profundidade do centro de pressa˜o,
considerando que a pressa˜o atmosfe´rica atua nos dois lados da represa.
Figura 2.24: Exerc´ıcio 16
17- Uma quantidade de a´gua de 15 m de altura e´ represada por um bloco de concreto
38em equil´ıbrio, cuja forc¸a peso e´ igual a 3×108w, onde w e´ a espessura do bloco conforme
mostrado na figura. Este bloco esta´ em contato com uma superf´ıcie horizontal, cujo
fator de atrito entre esta e o bloco e´ de 0,42. Considere que a largura do bloco, na
direc¸a˜o que sai do plano do papel, e´ igual a 300 metros e que a pressa˜o atmosfe´rica atua
nos dois lados do bloco. Determine o valor necessa´rio de w para o bloco de concreto
na˜o deslizar com a forc¸a hidrosta´tica imposta pela a´gua. Lembre-se que a forc¸a de
atrito e´ calculada como o produto entre a forc¸a normal atuante (no caso, o peso do
bloco) e o fator de atrito. (Dado: γagua = 9810N/m
3)
Figura 2.25: Exerc´ıcio 17
18- Um porta˜o circular inclinado sob a ac¸a˜o de um carregamento de a´gua represada e´
mostrado na figura. Determine a forc¸a resultante total agindo no porta˜o e a profundi-
dade do centro de pressa˜o. Considere que a pressa˜o atmosfe´rica atua nos dois lados do
porta˜o.
39
Figura 2.26: Exerc´ıcio 18
19- Um porta˜o circular ABC mostrado na figura e´ articulado em B e possui 4 metros
de diaˆmetro. Deduza uma expressa˜o anal´ıtica para F como func¸a˜o de h. Considere
que a pressa˜o atmosfe´rica atua nos dois lados do porta˜o.
Figura 2.27: Exerc´ıcio 19
20- A represa de concreto da figura abaixo tem uma base de um triaˆngulo retaˆngulo.
Ela possui 38 m de largura (Saindo do plano do papel) e possui um peso por unidade de
40
volume de 22kN/m3. Fac¸a o somato´rio de momentos em torno do ponto C e determine
se a forc¸a hidrosta´tica da a´gua represada pode derrubar a barragem.
Figura 2.28: Exerc´ıcio 20
21- Calcule a forc¸a hidrosta´tica atuante na forma ABC definida na figura. O compri-
mento da forma, entrando no papel, e´ de 1 metro.
Figura 2.29: Exerc´ıcio 21
22- Um tanque cil´ındrico de 3 metros de diaˆmetro cheio de a´gua consiste em dois
meio-cilindros de peso igual a 3,5kN/m, parafusados conforme a configurac¸a˜o disposta
41
na figura. Determine a forc¸a que cada parafuso ira´ receber considerando que o meio-
cilindro de baixo esteja devidamente suportado por um apoio.
Figura 2.30: Exerc´ıcio 22
23- O porta˜o mostrado na figura e´ um quarto de cilindro pivoteado em O. Qual e´ a
forc¸a necessa´ria para abri-lo, considerando que este porta˜o na˜o tenha peso algum?
Figura 2.31: Exerc´ıcio 23
42
3 FORMULAC¸A˜O INTEGRAL
O transporte das grandezas mencionadas anteriormente (quantidade de movimento,
energia te´rmica e concentrac¸a˜o de massa) deve envolver:
• Escoamento de um fluido a temperatura constante;
• Escoamento de um fluido a temperatura varia´vel;
• Escoamento de uma mistura de fluidos de diferentes concentrac¸o˜es;
Embora a maioria dos problemas de fenoˆmenos de transporte envolvam escoamento
fluido, alguns destes fenoˆmenos podem ocorrer em so´lidos ou em fluidos em repouso.
Um exemplo e´ a conduc¸a˜o de calor. O transporte de uma grandeza envolvendo escoa-
mento pode ocorrer nas seguintes formas:
• Difusivas: Vinculada ao transporte molecular de propriedades de transporte;
• Convectivas: Vinculadas aos efeitos de velocidade e/ou flutuac¸o˜es de velocidade
de um escoamento;
Logo, neste cap´ıtulo sera´ desenvolvida a teoria em torno do transporte de quantidade
de movimento.
3.1 Introduc¸a˜o a fluidos em movimento
Um escoamento fluido pode ter as seguintes classificac¸o˜es:
• Nu´mero de dimenso˜es:
– Unidimensional: As grandezas que regem o escoamento variam em uma
dimensa˜o;
43
– Bidimensional: As grandezas que regem o escoamento variam em duas di-
menso˜es;
– Tridimensional: As grandezas que regem o escoamento variam em treˆs di-
menso˜es;
• Variac¸a˜o no tempo:
– Permanente ou estaciona´rio: As grandezas do escoamento se mante´m cons-
tantes com o tempo;
– Transiente: As grandezas do escoamento variam com o tempo;
• Trajeto´ria:
– Uniforme: Todos os pontos de uma mesma trajeto´ria no escoamento tera˜o
a mesma velocidade;
– Variado: Todos os pontos de uma mesma trajeto´ria no escoamento na˜o tera˜o
a mesma velocidade;
• Regime de escoamento:
– Laminar: As part´ıculas fluidas descrevem trajeto´rias comportadas e parale-
las entre si, configurando laˆminas de fluido;
– Turbulento: As part´ıculas fluidas descrevem trajeto´rias erra´ticas, podendo
na˜o mostrar comportamento definido;
– Transic¸a˜o: Regime de passagem entre laminar e turbulento e vice-versa
• Quanto a` massa espec´ıfica:
– Compress´ıvel: Massa espec´ıfica varia com a pressa˜o;
– Dilata´vel: Massa espec´ıfica varia com a temperatura;
– Incompress´ıvel: Na˜o ha´ variac¸a˜o de massa espec´ıfica;
Ja´ fluidos podem ser classificados da seguinte forma:
• Newtonianos: Seguem a lei da viscosidade de Newton;
• Na˜o-Newtonianos: Na˜o seguem a lei da viscosidade de Newton;
44
3.2 Formas integrais para fluidos em movimento
As seguintes grandezas de engenharia podem ser expressas em termos de formas inte-
grais:
• Vaza˜o;
• Fluxo de Calor;
• Forc¸a e momento resultante;
Para calcular estas grandezas usando formas integrais, fazem-se as seguintes definic¸o˜es:
• Sistema de controle: Quantidade arbitra´ria de massa de identidade fixa. Tudo
externo a este sistema e´ chamado de vizinhanc¸a do sistema. Ja´ o contorno
geome´trico que separa o sistema de sua vizinhanc¸a e´ chamado de fronteira do
sistema.
• Volume de controle: E´ o volume arbitra´rio onde o fluido escoara´.
Neste texto, sera´ considerado que escoamento esta´ associado ao movimento de part´ıculas
fluidas1.
Figura 3.1: Mapeamentos do Domı´nio
1Onde se define part´ıcula fluida ou material como um ponto material, de modo a respeitar a
hipo´tese de meio cont´ınuo
45
Nesse sentido, define-se um escoamento como uma sequeˆncia cont´ınua de transformac¸o˜es
de ponto, ou simplesmente como um mapeamento no qual na˜o ha´ criac¸a˜o ou destruic¸a˜o
de part´ıculas materiais. O escoamento pode ser descrito a partir de dois referenciais
diferentes, a saber.
3.3 Derivada Material
Toma-se um sistema de coordenadas cartesiano onde ocorre um escoamento. A part´ıcula
descrita na figura pode ser vista sob uma descric¸a˜o espacial (Observador em terceira
pessoa) ou sob uma descric¸a˜o material (Observador em primeira pessoa). Logo, dentro
do contexto de escoamento de fluidos, uma grandeza G que varia no espac¸o e no tempo
e´ dada por:
G = G(x, y, z︸ ︷︷ ︸
x
, t) (3.1)
dG =
∂G
∂x
dx+
∂G
∂y
dy +
∂G
∂z
dz +
∂G
∂t
dt
dG
dt
=
(
∂G
∂x
,
∂G
∂y
,
∂G
∂z
)
·
(
dx
dt
,
dy
dt
,
dz
dt
)
+
∂G
∂t
dG
dt
= u · ∇G+ ∂G
∂t
(3.2)
O resultado 3.2 representa a conexa˜o entre a derivada material e as derivadas eulerianas
convencionais:
Du
Dt
=
∂u
∂t
+ u · ∇u
D
Dt
=
∂
∂t
+ u · ∇() (3.3)
Logo a derivada em relac¸a˜o ao referencial Euleriano e´ dada por:
∂G
∂t
⇒ Derivada Espacial ou Euleriana (3.4)
46
Em relac¸a˜o ao referencial Lagrangeano:
DG
Dt
⇒ Derivada Material ou Lagrangeana (3.5)
A definic¸a˜o 3.3 estabelece uma conexa˜o entre a derivada material2 e as derivadas eu-
lerianas. Nas passagens anteriores u e´ o vetor velocidade, se referindo a` velocidade da
part´ıcula (medida segundo um referencial lagrangeano).
3.4 Leis ba´sicas para volumes de controle
As leis ba´sicas para volume de controle sa˜o:
• Conservac¸a˜o da massa: A massa de um sistema deve permanecer constante:
Dm
Dt
= 0⇒ D
Dt
˚
SC
ρdV = 0 (3.6)
• Conservac¸a˜o da quantidade de movimento (Ou momento linear): 2a lei de New-
ton: ∑
F =
D
Dt
˚
SC
uρdV (3.7)
• Conservac¸a˜o do momento da quantidade de movimento (Ou momento angular):∑
M =
D
Dt
˚
SC
(r × u)ρdV (3.8)
• Conservac¸a˜o da energia te´rmica: 1alei da termodinaˆmica:
Q˙− W˙ = D
Dt
˚
SC
eρdV, e = h+
1
2
u2 + gz (3.9)
Em cada equac¸a˜o, o termo nas derivadas materiais sa˜o propriedades extensivas, que de-
pendem da quantidade de massa. Como consequeˆncia, as derivadas materiais tambe´m
sa˜o expressas de forma extensiva. Ja´ as grandezas dentro das integrais sa˜o propriedades
intensivas, que na˜o dependem da quantidade de massa. Quando se trata de equac¸o˜es de
conservac¸a˜o, considera-se que o sistema de controle tem seu contorno fechado, fazendo
2No ca´lculo, esta derivada e´ chamada de derivada total. A literatura tambe´m traz o termo derivada
substantiva
47
com que a conservac¸a˜o da propriedade seja avaliada no sistema. Quando o sistema de
controle tem seu contorno aberto, a ana´lise a ser feita e´ do balanc¸o da propriedade, ou
seja, as quantidades que entram e saem do sistema sa˜o avaliadas.
Logo, e´ poss´ıvel fazer uma generalizac¸a˜o destas leis, tal que:
N =
˚
SC
ηρdV (3.10)
DN
Dt
=
D
Dt
˚
SC
ηρdV (3.11)
Portanto, e´ necessa´rio encontrar uma transformac¸a˜o que expresse a derivada material
(Dada em um referencial Lagrangeano) em termos de quantidades associadas a volume
de controle (Dados em um referencial Euleriano).
3.5 Teorema Transporte de Reynolds
Para se obter esta transformac¸a˜o, e´ necessa´rio inicialmente determinar os fluxos que
entram e saem do volume de controle. Para um escoamento arbitra´rio, observam-se
fluxos de N pela superf´ıcie de controle. Cada vetor velocidade na superf´ıcie estara´ em
uma a´rea elemental dA, fazendo um aˆngulo θ com o vetor normal unita´rio n em cada
a´rea elemental, conforme mostra a figura 3.1.
48
Figura 3.2: Volume e superf´ıcie de controle. Adaptado de: White, F. Fluid Mechanics, 4a
Edition
Observa-se da figura que fluxos que entram tera˜o sinais negativos, como consequeˆncia
do produto escalar entre o vetor velocidade e o vetor normal unita´rio na situac¸a˜o onde
a direc¸a˜o e´ a mesma e os sentidos sa˜o opostos entre estes vetores. E sinais positivos
indicara˜o fluxos de sa´ıda.
Deseja-se avaliar a taxa de variac¸a˜o das propriedades de um certo volume de part´ıculas
de um escoamento. A equac¸a˜o 3.11 expressa uma lei f´ısica, va´lida para um volume
material3. Deseja-se agora transpor essa lei para um referencial Euleriano (Fixo ao
laborato´rio). Nesse sentido, considera-se a definic¸a˜o de derivada:
D
Dt
˚
V (t)
G(x, t)dV = lim
δt→0
[
1
δt
(˚
V (t+δt)
G(x+ δx, t+ δt)dV −
˚
V (t)
G(x, t)dV
)]
= lim
δt→0
[
1
δt
(˚
V (t+δt)
G(x+ δx, t+ δt)dV −
˚
V (t)
G(x+ δx, t+ δt)dV
+
˚
V (t)
G(x+ δx, t+ δt)dV −
˚
V (t)
G(x, t)dV
)]
3Ou seja, que e´ sempre formado pelo mesmo conjunto de part´ıculas.
49
D
Dt
˚
V (t)
G(x, t)dV = lim
δt→0
[
1
δt
(˚
V (t+δt)−V (t)
G(x+ δx, t+ δt)dV
)]
+ lim
δt→0
[
1
δt
(˚
V (t)
G(x+ δx, t+ δt)−G(x, t)
δt
dV
)]
Logo, tem-se dois limites distintos:
lim
δt→0
˚
V (t)
G(x+ δx, t+ δt)−G(x, t)
δt
dV =
˚
V (t)
∂G(x, t)
∂t
dV (3.12)
lim
δt→0
˚
V (t+δt)−V (t)
G(x+ δx, t+ δt)dV (3.13)
O volume de integrac¸a˜o, nesse caso, e´ a interface entre V (t+ δt) e V (t).
Figura 3.3: Volume de Integrac¸a˜o
Aqui, V (t+ δt)− V (t) corresponde a` integral de G(x, t) em um volume dV (x, t). Este
volume pode ser parametrizado como dV = u · n̂δtdA, o que permite afirmar:
⇒ lim
δt→0
1
δt
˚
V (t+δt)−V (t)
G(x+ δx, t+ δt)dV = lim
δt→0
1
δt
‹
A(t)
G(x+ δx, t+ δt)u · n̂δtdA
=
‹
A(t)
G(x, t)u · n̂dA (3.14)
Portanto a equac¸a˜o 3.12 se torna:
50
D
Dt
˚
V (t)
G(x, t)dV =
˚
V (t)
∂G
∂t
dV︸ ︷︷ ︸
1
+
‹
A(t)
Gu · n̂dA︸ ︷︷ ︸
2
(3.15)
Analisando cada termo da equac¸a˜o 3.15:
1. Integral da taxa de variac¸a˜o de G em pontos fixos do escoamento. Este termo e´
associado apenas a variac¸o˜es transientes;
2. Integral de fluxo l´ıquido da quantidade G pela superf´ıcie do volume de controle;
De outra forma, usando o teorema da divergeˆncia:
D
Dt
˚
V (t)
G(x, t)dV =
˚
V (t)
∂G
∂t
dV +
˚
V (t)
∇ · (Gu)dV
D
Dt
˚
V (t)
G(x, t)dV =
˚
V (t)
(
∂G
∂t
+∇ · (Gu)
)
(3.16)
Portanto, as leis ba´sicas mostradas anteriormente podem ser reescritas com o Teorema
Transporte de Reynolds:
• Equac¸a˜o da Continuidade (Conservac¸a˜o da massa):
Dm
Dt
=
˚
V (t)
∂
∂t
ρdV +
‹
A(t)
ρu · n̂dA = 0 (3.17)
• Equac¸a˜o da Conservac¸a˜o da Quantidade de Movimento:∑
F =
˚
V (t)
∂
∂t
uρdV +
‹
A(t)
u(ρu · n̂)dA (3.18)
• Equac¸a˜o da Conservac¸a˜o do Momento da Quantidade de Movimento:∑
M =
˚
V (t)
∂
∂t
(r × u)ρdV +
‹
A(t)
(r × u)(ρu · n̂)dA (3.19)
• Equac¸a˜o da Conservac¸a˜o da Energia Te´rmica:
Q˙− W˙ =
˚
V (t)
∂
∂t
eρdV +
‹
A(t)
e(ρu · n̂)dA, e = h+ 1
2
u2 + gz (3.20)
Outras grandezas podem ser descritas pelo teorema transporte de Reynolds.
51
3.6 Vaza˜o
Considera-se uma superf´ıcie de a´rea A onde o fluido atravessa sem resisteˆncia, conforme
figura 2.10:
Figura 3.4: Superf´ıcie A
Deseja-se saber a quantidade volume´trica de fluido que atravessa a superf´ıcie por uni-
dade de tempo:
Q˙ =
‹
A
(u · n̂)dA =
‹
A
un̂ cos θdA = uA (3.21)
Adota-se a mesma convenc¸a˜o do teorema transporte de Reynolds. Quando o vetor
velocidade e o vetor normal unita´rio tem mesma direc¸a˜o:
• Fluxo entrando: Sinal negativo (Sentidos opostos);
• Fluxo saindo: Sinal positivo (Mesmo sentido);
Portanto Q˙ e´ chamado de vaza˜o volume´trica. A vaza˜o ma´ssica e´ definida como a
quantidade de massa de fluido que atravessa a mesma a´rea A por unidade de tempo:
m˙ = ρuA (3.22)
52
3.7 Exerc´ıcios
1- Uma sala qualquer possui concentrac¸a˜o de poeira C e a massa espec´ıfica da poeira
ρd. Quando uma janela e´ aberta, uma rajada de vento entra na sala em condic¸o˜es
ρ, A1 e u1, onde A e´ a a´rea e u e´ a velocidade. Nota-se que o ar que entra e´ livre
de poeira. Uma rajada de ar sai por outra janela em condic¸o˜es ρ, A2 e u2. Sabendo
que a concentrac¸a˜o de poeira e´ uma raza˜o da massa espec´ıfica da poeira e a massa
espec´ıfica do ar, e a mesma pode ser considerada como conservativa, utilize o teorema
do transporte de Reynolds para encontrar uma expressa˜o que denote a taxa de troca
de massa de poeira na sala.
2- Um bocal de Laval, muito utilizado em propulsores de oˆnibus espaciais, consiste
em uma sec¸a˜o convergente-divergente, ou seja, o diaˆmetro da entrada e´ menor que
o diaˆmetro da sa´ıda. A intenc¸a˜o e´ que ocorra a expansa˜o do escoamento de ar em
velocidade supersoˆnica. Na entrada ou garganta do bocal, o ar esta´ a uma pressa˜o de
284 KPa, temperatura de 665 K e velocidade de 517 m/s, e o diaˆmetro e´ de 0,01m.
Na sa´ıda, o ar esta´ a uma pressa˜o de 8 KPa e temperatura de 240 K, com diaˆmetro
de 0,025m. Considerando o escoamento como compress´ıvel e em regime permanente,
calcule:
• A vaza˜o ma´ssica;
• A velocidade da sa´ıda;
• O nu´mero de Mach na sa´ıda, considerando que a velocidade do som local e´ de
310 m/s;
Para calcular a massa espec´ıfica, utilize a seguinte equac¸a˜o de estado (R = 0, 287KJ/KgK):
p = ρRT (3.23)
3- Quando se deseja coletar sangue para fazer exames laboratoriais de sau´de, usa-se
uma seringa acoplada com uma ampola, que ira´ armazenar o sangue coletado conforme
figura esquema´tica abaixo:
53
Figura 3.5: Exerc´ıcio 3
Para a coleta, a ampola e´ dotada de um orif´ıcio que e´ aberto para extrair ar. Considere
que no momento em que o sangue e´ extra´ıdo, ar vaza por um orif´ıcio lateral a` ampola a
uma vaza˜o volume´trica conhecida Q˙ar. Utilizando a equac¸a˜o da conservac¸a˜o da massana forma integral em regime permanente, determine uma expressa˜o para a velocidade
do escoamento de sangue pela agulha da seringa. Considere que tanto a agulha quanto
a ampola possuam a´rea de sec¸a˜o circular.
4- Um peso de 700 N se encontra em um estado de equil´ıbrio devido a um jato de a´gua
ascendente que o sustenta. Considerando que o diametro me´dio do jato de a´gua e´ de
5 cm calcule a velocidade necessa´ria do jato de a´gua para manter o peso equilibrado.
5- Um escoamento de ar a pressa˜o e temperatura ambiente no interior de uma cana-
lizac¸a˜o e´ estrangulado por um cone reto (Aˆngulo da ponta do cone que esta´ voltada
para o escoamento igual a 90o), conforme a figura abaixo. Este estrangulamento di-
vide o escoamento em duas partes iguais. O escoamento antes do cone tem velocidade
igual a 15m/s. Considerando que a variac¸a˜o de velocidade du/dy na parede do cone
(Devido a` tenso˜es cisalhantes) seja aproximadamente igual a` terc¸a parte da velocidade
de sa´ıda, estime a forc¸a resultante no cone na direc¸a˜o x. Desconsidere quaisquer forc¸as
oriundas da pressa˜o do escoamento no cone.
Dados:
• Massa espec´ıfica do ar: ρar = 1, 2Kg/m3
54
• Viscosidade dinaˆmica do ar: µ = 17, 4× 10−6Pa.s
Figura 3.6: Exerc´ıcio 5
6- A figura abaixo e´ o desenho CAD de uma bomba centr´ıfuga de a´gua contendo suas
vistas de lado e de frente. A a´gua entra axialmente e passa pelas pa´s da bomba, que
giram a uma velocidade angular ω. A velocidade da bomba varia de u1 a u2 e a pressa˜o
varia de p1 a p2. Admitindo escoamento incompress´ıvel:
• Utilizando a equac¸a˜o do momento da quantidade de movimento, encontre uma
expressa˜o para o torque no ponto 0 que mantera´ este escoamento.
• Calcule este torque em uma situac¸a˜o ideal (velocidade tangencial da pa´ igual
a velocidade tangencial do fluido) Utilize r1 = 0, 2m, r2 = 0, 5m, b = 0, 15m,
ω = 600rpm, Q = 2, 5m3/s e ρ = 1000kg/m3;
55
Figura 3.7: Exerc´ıcio 6
7- Uma ma´quina te´rmica operando em regime permanente admite ar na sec¸a˜o 1 e
descarrega nas sec¸o˜es 2 e 3, distintas. As condic¸o˜es de operac¸a˜o sa˜o dadas pela tabela
abaixo:
Sec¸a˜o a´rea(m) vaza˜o (m3/s) Temperatura (oC) pressa˜o (kPa)
1 371,6 2,832 21 137,9
2 929 1,133 38 206,84
3 232,6 1,416 93
Fornece-se 150 W de poteˆncia para esta ma´quina. Admitindo que o ar se comporta
como um ga´s perfeito e os fluxos de energia potencial e cine´tica sa˜o desprez´ıveis, calcule
o calor transferido por esta ma´quina. Em seus ca´lculos use a seguinte equac¸a˜o de estado
para a entalpia:
h = cpT (3.24)
Onde T e´ a temperatura e cp = 1, 0035KJ/KgK para o ar.
8- Em um motor a diesel, o combust´ıvel deve passar por um filtro para eliminar im-
purezas. Para isto uma bomba e´ utilizada. Utilizando a forma integral da equac¸a˜o da
56
energia (primeira lei da termodinaˆmica) em regime permanente, calcule a poteˆncia ne-
cessa´ria que a bomba precisa fornecer para o biodiesel para mover 0, 3Kg/s de biodiesel,
inicialmente em repouso, a uma velocidade de 2, 5m/s por uma altura de um metro.
Este processo e´ adiaba´tico (sem troca de calor) e a entalpia constante. Considere a
acelerac¸a˜o gravitacional igual a 9, 81m/s2
57
4 EQUAC¸A˜O DE BERNOULLI E ESCOAMENTOS
INTERNOS
4.1 Equac¸a˜o de Bernoulli
A equac¸a˜o de Bernoulli pode ser entendida como uma releitura da primeira lei da
termodinaˆmica, onde afirma que todas as formas de energia ao longo de uma linha de
corrente devera˜o se conservar. A sua deduc¸a˜o pode comec¸ar de va´rias formas. Aqui,
escolhe-se a equac¸a˜o de Euler1, partindo da premissa de que o escoamento e´ inv´ıscido
(Sem efeitos viscosos):
ρ
Du
Dt
= −∇p+ ρg ⇒ ρ
(
∂u
∂t
+ u · ∇u
)
= −∇p+ ρg (4.1)
Para dar continuidade a` deduc¸a˜o da equac¸a˜o de Bernoulli, introduz-se o conceito de
pressa˜o modificada, que e´ uma modificac¸a˜o da pressa˜o para incluir efeitos de forc¸as de
campo gravitacional. Este conceito so´ pode ser usado nas seguintes circunstaˆncias:
• Massa espec´ıfica uniforme;
• A forc¸a gravitacional por unidade de volume deve poder ser representada como
um campo conservativo;
Nota sobre campos conservativos: Uma forc¸a conservativa F e´ definida como uma
forc¸a cujo trabalho realizado em qualquer caminho fechado e´ sempre nulo. Em outras
palavras:
˛
C
F dx = 0 (4.2)
1A deduc¸a˜o desta equac¸a˜o sera´ vista no curso de Dinaˆmica dos Fluidos
58
Do teorema de Stokes, sabemos que:
˛
C
F dx =
ˆ
S
(∇× F ) · n̂dS (4.3)
Este resultado e´ va´lido para qualquer superf´ıcie S do domı´nio fluido, ou seja, ∇×F =
0,∀x ∈ V . Sabe-se das propriedades do produto vetorial que ∇ × ∇φ = 0. Logo,
sempre e´ poss´ıvel escrever F na forma de gradiente de uma func¸a˜o escalar φ, ou seja
F = −∇φ. O sinal negativo e´ uma convenc¸a˜o bastante utilizada, mas rigorosamente
desnecessa´ria.
Nestas condic¸o˜es, existira´ um vetor potencial Φ que se relacionara´ com a gravidade na
seguinte forma:
g = −∇Φ, Φ = gz (4.4)
Inserindo na equac¸a˜o de Euler (Equac¸a˜o 4.1):
ρ
Du
Dt
= −∇p− ρ∇Φ, Para ρ constante
ρ
Du
Dt
= −∇p−∇(ρΦ) = −∇(p+ ρΦ)
ρ
Du
Dt
= −∇(p+ ρgz), Substituindo Φ (Equac¸a˜o 4.4) (4.5)
Agora, aplica-se a seguinte identidade vetorial na equac¸a˜o de Euler:
u · ∇u = −u× (∇× u) +∇
(
1
2
u2
)
⇒
⇒ ρ
[
∂u
∂t
− u× (∇× u) +∇
(
1
2
u2
)]
= −∇(p+ ρgz) (4.6)
Admitindo:
59
• Massa espec´ıfica constante;
• Regime permanente;
Tem-se que a massa espec´ıfica pode entrar dividindo no gradiente:
u× (∇× u) = −∇(p
ρ
+ gz)−∇
(
1
2
u2
)
= ∇
[
p
ρ
+
1
2
u2 + gz
]
︸ ︷︷ ︸
H
(4.7)
Fazendo o produto escalar com o vetor velocidade em ambos os lados da igualdade
significa fisicamente projetar esta equac¸a˜o na direc¸a˜o das linhas de corrente do escoa-
mento:
u · (u× (∇× u)) = u · ∇H (4.8)
Como os vetores u e u × (∇ × u) sa˜o ortogonais, o lado esquerdo da equac¸a˜o 4.7 e´
igual a zero, levando a:
u · ∇H = 0 (4.9)
Conclui-se da soluc¸a˜o trivial da equac¸a˜o 4.9 que H = cte, chegando na equac¸a˜o de
Bernoulli:
p
ρ
+
1
2
u2 + gz = cte (4.10)
As condic¸o˜es de aplicac¸a˜o da equac¸a˜o de Bernoulli sa˜o:
• Escoamento incompress´ıvel;
• Regime permanente;
• Escoamento inv´ıscido;
• Va´lida ao longo de uma linha de corrente;
60
Cada termo da equac¸a˜o de Bernoulli pode ser analisado como:
p
ρ︸︷︷︸
1
+
1
2
u2︸︷︷︸
2
+ gz︸︷︷︸
3
= cte (4.11)
1. Termo de pressa˜o esta´tica: Ligada a` variac¸a˜o termodinaˆmica da propriedade e
avaliada via manoˆmetros e sensores de pressa˜o;
2. Termo de pressa˜o dinaˆmica: Ligada a` velocidade do escoamento;
3. Termo de pressa˜o hidrosta´tica: Ligada a` coluna de altura de fluido que atuara´
no escoamento;
A equac¸a˜o de Bernoulli e´ uma equac¸a˜o dimensionalmente homogeˆnea, o que significa
que seus termos sempre tera˜o a mesma unidade. Ainda, a equac¸a˜o de Bernoulli pode
tambe´m ser escrita em unidades ou de pressa˜o ou de comprimento:
p+ ρ
u2
2
+ ρgz = cte, Unidades de Pressa˜o
p
γ
+
u2
2g
+ z = cte, Unidades de Comprimento
Dentro do contexto da equac¸a˜o de Bernoulli, e dado um escoamento qualquer, e´ poss´ıvel
fazer as seguintes definic¸o˜es:
• Gradiente de pressa˜o favora´vel: A pressa˜o ira´ diminuir ao longo do escoamento;
• Gradiente de pressa˜o adverso: A pressa˜o ira´ aumentar ao longo do escoamento;
• Montante: Dado um ponto qualquer do escoamento, a regia˜o de montante sera´ a
regia˜o anterior a` este ponto;
• Jusante: Dado um ponto qualquer do escoamento, a regia˜o de jusante sera´ a
regia˜o posterior a` este ponto;
4.2 Escoamentos internos
Define-se escoamento interno como todo escoamento que e´ contido ou confinado por
paredes. O exemplo mais diretodeste escoamento e´ o escoamento em tubos e condutos.
61
Este tipo de escoamento apresenta efeitos viscosos crescentes devido ao confinamento.
Estes efeitos sa˜o oriundos das camadas limite2 existentes nas paredes. Estas camadas
limite aumentam de espessura ao longo do escoamento, causando desacelerac¸a˜o do
escoamento axial na regia˜o da parede e acelerac¸a˜o do escoamento axial na regia˜o central.
Esta caracter´ıstica sustentara´ a incompressibilidade do escoamento.
Figura 4.1: Escoamento interno
Todo escoamento interno apresentara´ perda de pressa˜o. A uma distaˆncia Le da entrada
(Figura3 4.1), as camadas limite se unificam, e os perfis de velocidade se ajustara˜o
ate´ este ponto. A partir deste ponto, a velocidade na˜o mais varia na direc¸a˜o axial,
tornando-se apenas func¸a˜o da coordenada radial (No caso de tubos de sec¸a˜o circular).
Esta condic¸a˜o e´ chamada de escoamento plenamente desenvolvido, onde o perfil de
velocidade e´ constante na direc¸a˜o axial, bem como a tensa˜o cisalhante nas paredes do
tubo. Outra caracter´ıstica e´ o decaimento linear da pressa˜o com a direc¸a˜o axial. Logo,
chama-se Le de comprimento de desenvolvimento, ou seja, o comprimento necessa´rio
2Este texto na˜o ira´ explorar a teoria da camada limite a fundo, limitando a abordagem apenas
aos efeitos no escoamento em questa˜o. Um curso de dinaˆmica dos fluidos abordara´ este assunto com
maior profundidade
3Adaptada de: White, F. Fluid Mechanics, 4a Edition
62
para o escoamento atingir a condic¸a˜o de desenvolvimento pleno. A literatura traz
correlac¸o˜es para Le como func¸a˜o do nu´mero de Reynolds baseado no diaˆmetro do tubo
ReD:
Le
D
∼= 0, 06ReD, Escoamento Laminar (4.12)
Le
D
∼= 4, 4Re0,16D , Escoamento Turbulento (4.13)
4.2.1 Escoamento incompress´ıvel e permanente
Escoamentos em tubos podem ser estudados via ana´lise de volume de controle. Logo,
toma-se um volume de controle na entrada e sa´ıda de um tubo de sec¸a˜o circular:
Figura 4.2: Volume de controle - Tubo de sec¸a˜o circular
A equac¸a˜o da continuidade pode ser escrita na seguinte forma:
˚
V (t)
∂
∂t
ρdV +
‹
S(t)
ρu · n̂dA = 0 (4.14)
Para escoamentos em regime permanente e incompress´ıveis:
‹
S(t)
ρu · n̂dA = 0⇒ ρu2A2 − ρu1A1 = 0 (4.15)
63
Para escoamentos plenamente desenvolvidos:
u2 = u1 = u, logo Q˙2 = Q˙1 = Q˙ (4.16)
Agora, aplica-se a primeira lei da termodinaˆmica na forma integral:
Q˙− W˙ =
˚
V (t)
∂
∂t
eρdV +
‹
S(t)
e(ρu · n̂)dA, e = h+ 1
2
u2 + gz (4.17)
Com as mesmas considerac¸o˜es:
Q˙− W˙ =
‹
S(t)
e(ρu · n̂)dA = e2 ρu2A2︸ ︷︷ ︸
m˙2
−e2 ρu1A1︸ ︷︷ ︸
m˙1
= m˙2
(
h2 +
1
2
u22 + gz2
)
− m˙1
(
h1 +
1
2
u21 + gz1
)
(4.18)
Onde o fluxo de trabalho pode ser escrito como:
W˙ = W˙e︸︷︷︸
1
+ W˙esc︸︷︷︸
2
+ W˙v︸︷︷︸
3
(4.19)
1. Fluxo de trabalho de eixo;
2. Fluxo de trabalho de escoamento;
3. Fluxo de trabalho viscoso;
Para escoamentos incompress´ıveis:
Q˙2 = Q˙1 = Q˙ ⇒ m˙2 = m˙1 = m˙, logo
Q˙− W˙ = m˙

h2 + 1
2
u22︸︷︷︸
∗
+gz2
−
h1 + 1
2
u21︸︷︷︸
∗
+gz1

 (4.20)
O escoamento na entrada de um tubo pode apresentar variac¸a˜o de velocidade na a´rea
de sec¸a˜o. Para contabilizar esta variac¸a˜o, os termos marcados com ∗ na equac¸a˜o 4.20
64
e´ modificado por um fator adimensional α de modo a que a integral de superf´ıcie seja
proporcional ao quadrado da velocidade me´dia na sec¸a˜o, ou seja:
‹
S(t)
(
1
2
u2
)
ρu · n̂dA = α
(
1
2
u2m
)
m˙ (4.21)
Onde a velocidade me´dia um e´ dada por:
um =
1
A
‹
S(t)
udA (4.22)
Para escoamentos incompress´ıveis e considerando o vetor velocidade normal a` su-
perf´ıcie:
1
2
ρ
‹
S(t)
u3dA =
1
2
ραu3mA (4.23)
Logo:
α =
1
A
‹
S(t)
(
u
um
)3
dA (4.24)
Onde α e´ chamado de fator de correc¸a˜o de energia cine´tica:
• α=2 - Escoamento laminar
• α=1,04 a 1,11 - Escoamento turbulento
Reescrevendo a equac¸a˜o 4.20:
Q˙− W˙ = m˙
[(
h2 +
α
2
u22 + gz2
)
−
(
h1 +
α
2
u21 + gz1
)]
(4.25)
Para a entalpia h, utiliza-se uma relac¸a˜o termodinaˆmica:
h = a+
p
ρ
, Se a = 0, h =
p
ρ
(4.26)
Onde a e´ a energia interna. Logo:
Q˙− W˙ = m˙
[(
p2
ρ
+
α
2
u22 + gz2
)
−
(
p1
ρ
+
α
2
u21 + gz1
)]
(4.27)
65
Admitindo que na˜o haja transfereˆncia de calor e rearranjando a equac¸a˜o:
m˙
[(
p2
ρ
+
α
2
u22 + gz2
)
−
(
p1
ρ
+
α
2
u21 + gz1
)]
+ W˙ = 0, Dividindo por m˙g(
p1
γ
+
α
2g
u21 + z1
)
=
(
p2
γ
+
α
2g
u22 + z2
)
+
w˙
g︸︷︷︸
+
= 0 (4.28)
Observa-se que a equac¸a˜o acima possui unidade de comprimento. O termo marcado
com + pode ser entendido como todas as energias inseridas e/ou retiradas do escoa-
mento por ma´quinas de fluxo ou como as energias retiradas por efeitos viscosos. Para
escoamentos internos, este termo pode ser denominado como a perda de carga hf , que
representa a energia perdida pela pressa˜o durante este escoamento. Esta perda pode
ser localizada ou distribu´ıda.
Se considerarmos escoamento plenamente desenvolvido:
u2 = u1 = u, e Q˙2 = Q˙1 = Q˙ (4.29)
A equac¸a˜o 4.28 se torna:
hf = (z1 − z2) +
(
p1
γ
− p2
γ
)
= ∆z +
∆p
γ
(4.30)
Aplicando agora a equac¸a˜o integral da conservac¸a˜o da quantidade de movimento:∑
F =
˚
V (t)
∂
∂t
uρdV +
‹
S(t)
u(ρu · n̂)dA = m˙(u2 − u1) (4.31)
Como o escoamento e´ plenamente desenvolvido, a equac¸a˜o 4.31 sera´ igual a zero. Logo
o somato´rio de forc¸as resultantes e´ igual a zero, configurando um equil´ıbrio dinaˆmico.
As forc¸as resultantes neste escoamento sa˜o:
• Forc¸a de pressa˜o: ∆p(piR2), onde R e´ o raio do tubo;
• Forc¸a gravitacional: ρgL sin θ(piR2), onde L e´ o comprimento do tubo e θ e´ a
inclinac¸a˜o do tubo em relac¸a˜o a direc¸a˜o axial;
66
• Forc¸a de cisalhamento na parede: −τwL(2piR);
Fazendo o somato´rio destas forc¸as e igualando a zero:∑
F = 0 = ∆p(piR2) + ρgL sin θ(piR2)− τwL(2piR), dividindo por piR2
= ∆p+ ρgL sin θ − 2τw L
R
∆p
ρg
=
2τwL
R
− L sin θ (4.32)
Inserindo na equac¸a˜o 4.30 e usando a definic¸a˜o de peso espec´ıfico:
hf = ∆z +
∆p
ρg
= ∆z +
2τwL
R
− L sin θ (4.33)
Das relac¸o˜es trigonome´tricas de triaˆngulo retaˆngulo, pode-se afirmar:
∆z = L sin θ (4.34)
Logo:
hf =
2τwL
ρgR
=
4τwL
ρgD
(4.35)
Onde D e´ o diaˆmetro do tubo. Este resultado mostra que, independente da forma da
sec¸a˜o, a perda de carga e´ sempre proporcional a` tensa˜o cisalhante na parede. Julius
Weisbach, em 1850, propoˆs uma correlac¸a˜o para a perda de carga:
hf = f
L
D
u2
2g
(4.36)
Onde f e´ o fator de atrito, que e´ func¸a˜o do nu´mero de Reynolds, da rugosidade relativa4
e da forma do tubo. Combinando estes resultados:
f =
8τw
ρu2
(4.37)
Para tubos de sec¸a˜o na˜o-circular, e´ preciso definir uma forma de se avaliar a tensa˜o
cisalhante como func¸a˜o do per´ımetro do tubo.
4Raza˜o entre rugosidade e diaˆmetro do tubo
67
4.2.2 Escoamento laminar plenamente desenvolvido em dutos de sec¸a˜o cir-
cular
Este escoamento tambe´m e´ chamado de escoamento de Hagen-Poiseville. As premissas
deste escoamento sa˜o:
• Escoamento unidimensional: u = u(r) (Condic¸a˜o de escoamento plenamente
desenvolvido)
• Escoamento unidirecional: u = u(r, θ, z)i
• Regime permanente
Aplica-se a equac¸a˜o de Navier-Stokes5 em coordenadas cil´ındricas, ja´ usando as pre-
missas acima:
−∂p
∂z
+ µ
[
1
r
∂
∂r
(
r
∂uz
∂r
)]
= 0 (4.38)
Fazendo a seguinte aproximac¸a˜o:
∂p
∂z
= −∆p
L
(4.39)
Inserindo da equac¸a˜o 4.38:
−∆pr
µL
=
d
dr
(
r
duz
dr
)
(4.40)
Ondez e´ a coordenada axial do tubo. Integrando esta equac¸a˜o:
−∆pr
2
2µL
+ C1 = r
duz
dr
⇒ duz
dr
= −∆pr
2µL
+
C1
r
(4.41)
Integrando novamente:
uz(r) = −∆pr
2
4µL
+ C1 ln(r) + C2 (4.42)
5Este texto na˜o pretende explorar a fundo a equac¸a˜o de Navier-Stokes. Este assunto sera´ abordado
em um curso mais voltado para a dinaˆmica dos fluidos
68
Observa-se uma singularidade em r = 0. Se esta singularidade na˜o for eliminada, o
resultado carecera´ de consisteˆncia f´ısica. Logo, sera´ considerado que C1 = 0, levando
a:
uz(r) = −∆pr
2
4µL
+ C2 (4.43)
Aplicando a condic¸a˜o de na˜o escorregamento na parede:6
uz(r = R) = 0⇒ C2 = ∆pr
2
4µL
(4.44)
Resultando em:
uz(r) =
∆pr2
4µL
[
1−
( r
R
)2]
(4.45)
Nota-se do resultado que o perfil de velocidade e´ parabo´lico. Portanto o valor ma´ximo
da velocidade acontecera´ em r = 0, ou seja:
umax =
∆pr2
4µL
⇒ uz(r) = umax
[
1−
( r
R
)2]
(4.46)
Ca´lculo da vaza˜o:
Q˙ =
‹
S
un̂ cos θdA =
ˆ R
0
u(r)2pirdr
=
2pi∆pR2
4µL
ˆ R
0
[
1−
( r
R
)2]
rdr︸ ︷︷ ︸
R2
4
Q˙ =
2pi∆pR4
8µL
(4.47)
Ca´lculo da velocidade me´dia:
u =
Q
A
=
2pi∆pR4
8µL
1
piR2
=
2pi∆pR2
8µL
=
umax
2
(4.48)
6Esta condic¸a˜o estabelece que o fluido na˜o escorrega na parede, impondo sua velocidade na su-
perf´ıcie da parede como nula
69
Ca´lculo da tensa˜o cisalhante na parede:
τw(r = R) = µ
du
dr
(4.49)
du
dr
(r = R) =
∆pR2
2µL
=
4u
R
(4.50)
τw(r = R) =
4µu
R
(4.51)
Ca´lculo da perda de carga:
hf =
32µLu
ρgD2
=
128µLQ˙
piρgD4
(4.52)
Ca´lculo do fator de atrito:
f =
8τw
u2
=
8
u2
(
8µu
D
)
=
64µ
ρuD
=
64
Re
(4.53)
Observa-se que neste escoamento o fator de atrito e´ inversamente proporcional ao
nu´mero de Reynolds. Para este escoamento especificamente, a transic¸a˜o a` turbuleˆncia
se da´ em torno de um valor do nu´mero de Reynolds igual a 2300. Para escoamen-
tos turbulentos, na˜o existe soluc¸a˜o anal´ıtica, demandando assim experimentac¸a˜o em
laborato´rio ou simulac¸a˜o nume´rica.
4.2.3 Determinac¸a˜o da perda de carga
A rugosidade de um tubo afeta os efeitos de atrito do escoamento. Para escoamentos
laminares este efeito e´ desprez´ıvel. Para escoamentos turbulentos, este efeito torna-
se significativo. E´ poss´ıvel encontrar na literatura estudos para observar este efeito
em escoamentos turbulentos. Destes estudos, correlac¸o˜es que determinam o fator de
atrito como func¸a˜o da rugosidade do tubo podem ser determinadas. Um exemplo e´ a
correlac¸a˜o de Colebrook (1938):
1
f 0,5
= −2 log
(
�/D
3, 7
+
2, 51
ReDf 0,5
)
(4.54)
Baseado nesta correlac¸a˜o trac¸ou-se um gra´fico denominado diagrama de Moody (Figura
4.3):
70
Figura 4.3: Diagrama de Moody. Fonte: White, F. Fluid Mechanics, 4a Edition
Em problemas de escoamentos em tubos, pode acontecer de na˜o se ter alguns dados,
resultando em soluc¸o˜es iterativas. Este tipo de problema e´ caracterizado de quatro
tipos diferentes:
• Dados D, L, u ou Q˙, ρ, µ e g, calcular hf ;
• Dados D, L, hf , ρ, µ e g, calcular u ou Q˙;
• Dados Q˙, L, hf , ρ, µ e g, calcular D;
• Dados Q˙, D, hf , ρ, µ e g, calcular L;
As perdas distribu´ıdas sa˜o determinadas usando o fator de atrito, conforme formulac¸a˜o
ja´ mostrada. Ja´ as perdas localizadas hl ocorrem devido a` presenc¸a de curvas, va´lvulas,
registros ou qualquer dispositivo instalado na tubulac¸a˜o que afete o escoamento. Seu
ca´lculo e´ feito atrave´s do somato´rio das perdas de cada dispositivo na tubulac¸a˜o. A
perda de carga total e´ feita somando todas as perdas (locais e distribu´ıdas), conforme
mostra a equac¸a˜o 4.55:
∆h = hf +
∑
hl (4.55)
71
Tanto a literatura quanto os fabricantes destes dispositivos fornecem fo´rmulas de
ca´lculo para as perdas localizadas.
4.2.4 Difusores
Sa˜o dispositivos de expansa˜o do escoamento. Seu objetivo e´ causar aumento de pressa˜o
e diminuic¸a˜o da velocidade. Caso o difusor tenha uma expansa˜o dimensionada equivo-
cadamente, o escoamento sofrera´ perdas de energia desnecessa´rias, conforme mostra a
figura7 4.4:
Figura 4.4: Difusor sem descolamento (a) e com descolamento de camada limite (b)
E´ poss´ıvel encontrar na literatura curvas de correlac¸o˜es entre perdas energe´ticas e o
aˆngulo de abertura do difusor, conforme mostra a figura8 4.5:
7Adaptada de: White, F. Fluid Mechanics, 4a Edition
8Fonte: http://personalpages.manchester.ac.uk/staff/john.chinn/b3fluids/
72
Figura 4.5: Curva de recuperac¸a˜o de pressa˜o
Sua performance e´ mapeada atrave´s de experimentac¸a˜o em laborato´rio e/ou simulac¸a˜o
nume´rica. Utilizando a equac¸a˜o de Bernoulli, e´ poss´ıvel determinar o coeficiente de
recuperac¸a˜o de pressa˜o. Considera-se um difusor qualquer, e aplica-se a equac¸a˜o de
Bernoulli considerando:
• Mesma altura;
• Existeˆncia de um ponto de estagnac¸a˜o a jusante, cuja pressa˜o e´ p0; (Ponto onde
a velocidade e´ nula9)
Logo:
p+
1
2
ρu2 = p0 = cte (4.56)
O coeficiente de recuperac¸a˜o de pressa˜o e´ dado por:
Cp =
pe − pg
p0g − pg (4.57)
9Ao considerar um ponto de estagnac¸a˜o, admite-se que se obtera´ a maior diminuic¸a˜o de velocidade
poss´ıvel, e como consequeˆncia, o maior aumento de pressa˜o
73
Onde:
• pe e´ a pressa˜o na entrada;
• pg e´ a pressa˜o na garganta;
• p0g e´ a pressa˜o de estagnac¸a˜o na garganta;
Para um difusor que na˜o apresenta descolamento da camada limite:
p0e = pe +
1
2
ρu2e = ps +
1
2
ρu2s = p0s (4.58)
Desconsiderando atrito, o coeficiente de recuperac¸a˜o de pressa˜o sera´:
C
′
p = 1−
(
us
ue
)2
(4.59)
Da equac¸a˜o da continuidade:
u1A1 = u2A2 (4.60)
Definindo a raza˜o de a´rea do difusor como:
RA =
A2
A1
(4.61)
Tem-se:
C
′
p = 1−RA (4.62)
Ressalta-se que existe discrepaˆncia entre os valores experimentais e estas fo´rmulas.
Isto se deve a` presenc¸a de efeitos viscosos, efeitos de gradientes de pressa˜o adversos
e a presenc¸a de turbuleˆncia e vorticidade intensas. A literatura apresenta gra´ficos
experimentais da performance do difusor em recuperar pressa˜o.
4.3 Exerc´ıcios
1- Um sifa˜o de 50 mm escoa o´leo (DR=0,82) de um reservato´rio, conforme a figura.
Encontre a velocidade em 3 e a pressa˜o em 2.
74
Figura 4.6: Exerc´ıcio 1
2- Um bocal e´ conectado a um tubo, conforme mostra a figura. O diaˆmetro do tubo e´
igual a 100 mm, e o jato de a´gua que sai do bocal tem um diaˆmetro de 50 mm. Se a
pressa˜o em 1 e´ igual a 500 kPa, determine a velocidade do jato de a´gua.
Figura 4.7: Exerc´ıcio 2
3-Um zeppelin (dirig´ıvel) tem um tubo de pitot localizado na regia˜o frontal do bala˜o
do dirig´ıvel, tambe´m chamada de nariz do dirig´ıvel. O nariz e a cabine de pilotagem,
localizada no meio do bala˜o, sa˜o conectadas por um transdutor de pressa˜o diferencial.
Este transdutor marca 950 Pa. Calcule a velocidade no meio do bala˜o do dirig´ıvel e a
pressa˜o de estagnac¸a˜o, sabendo que a velocidade do escoamento em torno do dirig´ıvel
e´ de 33,5 m/s. Considere a massa espec´ıfica do ar como ρ = 1, 22kg/m3 e a pressa˜o
atmosfe´rica como P = 101325Pa.
4- Para testes de propulsores de foguetes, utilizam-se treno´s com os propulsores em
sua traseira, colocados em trilhos, conforme as fotos abaixo. Para sua frenagem, o
treno´ passa por um tanque de a´gua parada e, neste instante, uma parte mecaˆnica do
treno´ se move para baixo de modo a defletir a´gua, criando um escoamento que freara´
75
o treno´. Tomando a figura esquema´tica abaixo, que observa a regia˜o atra´s do treno´,
aplique a equac¸a˜o de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 para deduzir uma equac¸a˜o para a