Relatório Colisões 2014

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RESUMO
O objetivo desta prática é de estudar-se uma colisão elástica bidimensional, medindo-se a energia e o momentum linear dos corpos antes e depois da colisão e averiguando-se se as mesmas são conservadas. Para isso, montou-se um módulo experimental composto por uma rampa, contendo um parafuso no final da mesma. Uma esfera estará em repouso em cima do parafuso, enquanto que a outra será lançada do começo da rampa, produzindo uma colisão entre as mesmas. O alcance das esferas e sua trajetória serão marcados em papel A3 utilizando-se uma folha de carbono. A partir do alcance e do tempo de vôo, calculou-se a energia cinética de ambas as esferas e o momentum linear das mesmas, bem como o ângulo formado entre a trajetória das duas esferas, a fim de atestar a conservação de energia e momentum do sistema.
Após a prática, pode-se concluir que houve perda de energia cinética, apesar de ser desprezível (em torno de 0,8%), e de momentum linear, que provavelmente foi causada pela transferência de momentum linear ao parafuso que sustentava uma das esferas, resultando em um ângulo de 89,0º entre as trajetórias. Por não ser um sistema ideal e isolado, as perdas de energia e momentum são aceitáveis, atingindo parcialmente o objetivo da prática.
INTRODUÇÃO.
Uma colisão é um processo isolado em que uma força age em dois ou mais corpos por um tempo relativamente curto, podendo trocar energia e momento devido a sua interação.
Quando existe uma colisão dois corpos exercem forças de grande intensidade um sobre o outro, por um intervalo de tempo relativamente curto. Tais forças são internas ao sistema de dois corpos e são significativamente maiores do que qualquer força externa durante a colisão.
Durante uma colisão, a intensidade da força impulsiva de interação entre as partículas é muito mais intensa que quaisquer forças internas quem possam existir. Então, as forças externas serão desprezíveis frente à força impulsiva de interação e a quantidade de movimento linear do sistema de partículas se conserva, ou seja, é a mesma imediatamente antes e logo após a colisão.
Com o objetivo de simplificar a análise da colisão elástica bidimensional de duas esferas idênticas, restringe-se ao caso em que o alvo está em repouso. O caso mais geral pode ser obtido transformando as velocidades para um referencial onde ambas as esferas estejam em movimento.
Para especificar se a colisão é frontal ou lateral entre as duas esferas de raio R1 e R2, é conveniente introduzir o parâmetro de choque b (Figura 1), que é a distância que a partícula incidente passaria da outra se não houvesse colisão.
Figura 1: Parâmetro de choque numa colisão não frontal. (ESPINOZA-QUIÑONES, 2011)
Se o valor de b for igual a 0, tem-se uma colisão frontal, essencialmente unidimensional; se b for maior do que R1+R2, não há colisão. Logo, para que haja uma colisão, b deve ser menor ou igual a soma de R1+R2.
Numa colisão bidimensional, os vetores momento linear de cada partícula, antes e após a colisão, pertencem ao mesmo plano, que é o plano de colisão.
Neste plano adota-se o sistema de referência cuja origem é a posição inicial do alvo e o eixo das abscissas é a própria direção da partícula incidente (Figura 2).
Figura 2: Colisão elástica entre duas partículas de mesma massa, que se afastam a 90º entre si. (ESPINOZA-QUIÑONES, 2011)
Para esse sistema de duas esferas que colidem elasticamente aplica-se a conservação do momento linear do sistema que leva a:
	
	(1)
Demonstrado vetorialmente pela Figura 3:
Figura 3: Representação vetorial das componentes da colisão. (ESPINOZA-QUIÑONES, 2011)
Como supõe-se que a colisão é elástica, tem-se também a conservação da energia cinética, em termos dos módulos dos momentos lineares de cada partícula do sistema, que leva a:
	
	(2)
Considerando que a colisão elástica é entre dois corpos de massas iguais, têm-se as equações de conservação de energia cinética e de momento linear, demonstradas pelas Equações (3) e (4).
		
	
	(3)
	
	(4)
Igualando as equações (3) e (4), obtêm-se a condição entre os momentos lineares finais, demonstrada pelas Equações (5) e (6):
	
	(5)
	= 90º
	(6)
Assim, as direções de movimento de dois corpos de massas iguais, após uma colisão elástica, com uma delas inicialmente em repouso, fazem um ângulo de 90 graus, independente do valor do parâmetro de impacto.
O objetivo desta prática é de estudar uma colisão elástica unidimensional, medindo-se a energia cinética e o momentum linear iniciais e finais do sistema e averiguar-se se há a conservação de ambas, medindo-se também o ângulo entre as esferas após a colisão. 
MATERIAIS E MÉTODOS.
Materiais empregados.
	O módulo experimental utilizado foi o Conjunto de Lançamentos Horizontais Moller composto por um tripé e três sapatas niveladoras amortecedoras, uma rampa de lançamentos com escala de posicionamento vertical, haste, suporte regulável de apoio da esfera alvo, primo removível e mufla abraçante, uma chave inverso normalmente aberta e um conjunto fixador e alinhador com bobina e conexão elétrica polarizada.
	Além disso, foram empregadas duas esferas idênticas metálicas; duas folhas de papel carbono e duas folhas de papel ofício; fita adesiva, lápis, régua e transferidor.
Método aplicado.
Condições iniciais.
Fez-se uso da rampa de lançamentos horizontal de projéteis a fim de definir as condições iniciais no momento antes da colisão elástica bidimensional. Assim, definiu-se o plano de colisão como aquele paralelo à base da rampa de lançamento e que passa necessariamente pelo nível zero da rampa e pela posição do alvo.
Com o intuito de simplificar a análise da colisão, considerou-se o caso de duas esferas idênticas e metálicas. Uma esfera ficou inicialmente em repouso no suporte regulável perto da saída da rampa de lançamentos. Como origem de coordenadas, define-se a posição da esfera em repouso. Marcou-se no papel de registro a origem de coordenadas.
Medidas pré-colisão.
	A esfera 1 foi inicialmente solta de uma altura h acima do nível zero da rampa, ou seja, tinha sua energia mecânica totalmente na forma potencial. Ao descer pela rampa, foi ganhando energia cinética até a posição de contato com a esfera 2. O módulo da velocidade inicial da esfera 1 no momento antes da colisão pode ser estimado medindo seu alcance e o tempo de voo sem obstáculo. Repetiu-se o procedimento acima 10 vezes, obtendo um aglomerado de pontos.
	Mediu-se, então, o alcance médio D e o seu desvio longitudinal e transversal. A partir dos pontos registrados no papel, obteve-se o vetor velocidade e momento linear, e a energia cinética, assim como seus respectivos desvios para a esfera 1.
Medidas pós-colisão.
	Ajustou-se o parâmetro de choque a ser menor que duas vezes o raio da esfera, fazendo-se o teste parâmetro de impacto de modo a minimizar perdas de energia ou momento durante a colisão. 	A condição experimental que foi observada após a colisão para verificar a colisão elástica entre corpos idênticos, foi de que o ângulo resultante entre as direções de movimento deveria ser de 90º, independente do valor do parâmetro de impacto.
	Marcou-se no papel a projeção da posição de saída da rampa e a projeção da posição da esfera em repouso. Estimou-se no papel a projeção da posição do ponto de colisão. Então, acertou-se corretamente a posição do suporte, colocou-se uma esfera na parte superior da rampa numa altura h e a outra perto da saída da rampa numa distancia X0. Mediu-se h e X0.
	Utilizou-se o método da medida do alcance das duas esferas lançadas após a colisão, para determinar as velocidades das esferas após terem colidido, lembrando que as velocidades finais de cada esfera são diferentes tanto em modulo como em direção.
Figura 3: Esquema de montagem do procedimento e representação da colisão entre as esferas 1 e 2. (ESPINOZA-QUIÑONES, 2011)
	As componentes das velocidades, após a colisão, podem ser inferidas via a medida das componentes do vetor alcance dacada esfera no papel de registro. Nas mesmas condições, repetiu-se 10 vezes o procedimento acima. Obteve-se um aglomerado de pontos tanto para a esfera 1 como para a esfera 2. Mediu-se então o ângulo médio e o desvio que fizeram as direções dos vetores velocidades após a colisão.
	A folha contendo o perfil de distribuição das esferas marcado durante o experimento segue em anexo.
 RESULTADOS E DISCUSSÃO.
Conservação da energia cinética.
	Utilizando-se uma régua, mediu-se os alcances médios e os desvios longitudinais de cada região de pontos registrados no papel, montando-se a Tabela 1 a seguir.
Tabela 1: Medida de alcance médio das esferas.
	Inicial (x10-3 m)
	Final (x10-3 m)
	
	Esfera 1
	Esfera 2
	232 ± 4
	173 ± 6
	150 ± 6
	Sabendo-se que a altura relativa do final da rampa é de 22,8 cm e que a aceleração da gravidade é de 9,81 m/s², calculou-se o tempo de vôo a partir da equação (7) no anexo. Assim, a partir do alcance médio e do tempo de vôo, calculou-se as velocidades médias das esferas pela equação (8) em anexo, segundo a Tabela 2. O tempo de vôo encontrado foi de 4,648 x10-2 s.
Tabela 2: Medida das velocidades médias das esferas calculadas.
	Inicial (m/s)
	Final (m/s)
	
	Esfera 1
	Esfera 2
	4,99 ± 0,09
	3,75 ± 0,11
	3,26 ± 0,13
	A partir das velocidades médias, aplicando a equação (9) do anexo, calcula-se o a energia cinética das esferas, antes e depois da colisão. Considera-se que as esferas possuem a mesma massa m = 16,4 ± 0,05 g. A Tabela 3 expressa os valores de energia cinética calculada. Os erros foram calculados segundo a equação (10).
Tabela 3: Medidas calculadas de energia cinética.
	Inicial (x10-3 J)
	Final (x10-3 J)
	
	Esfera 1
	Esfera 2
	204,0 ± 1,9
	115,1 ± 1,7
	87,1 ± 1,7
	Analisando-se os valores de energia cinética encontrados, percebe-se que não há a conservação total de energia cinética na colisão. Uma vez que o sistema não é ideal, pode-se atribuir a energia dissipada por causa do atrito da esfera com a rampa. Entretanto, essa discrepância pode ter ocorrido devido à imprecisão no módulo experimental, nos equipamentos de medida, ou ainda possíveis erros de operador.
	Entretanto, pode-se desprezar esse efeito, uma vez que a energia cinética inicial está contida no intervalo de erro da soma das energias cinéticas finais.
Ki = Kf
204,0 ± 1,9 x10-3 J ≈ 202,2 ± 0,24 x10-3 J
	A energia cinética dissipada (Kd) na colisão pode ser calculada fazendo-se a diferença matemática entre as energias cinéticas inicial e final, calculando-se, inclusive, o percentual de energia cinética perdida, pela equação (11).
Kd = 1,8 x10-3 J
Conservação do momentum linear.
	Uma vez que o momentum linear é um vetor, faz-se o tratamento vetorial dos alcances inicial e final das esferas, montando-se a Tabela 4.
Tabela 4: Vetor alcance médio medido para as esferas.
	Inicial (x10-3 m)
	Final (x10-3 m)
	
	Esfera 1
	Esfera 2
	(0 ± 4) î + (232 ± 4) j
	(103 ± 6) î + (109 ± 6) j
	(-123 ± 6) î + (121 ± 6) j
	Tendo o tempo de vôo calculado anteriormente, calculou-se, então, as velocidades vetoriais médias de cada esfera, antes e depois da colisão, a partir da equação (8) descrita anteriormente, e exprimindo os valores encontrados na Tabela 5.
Tabela 5: Vetor velocidade média calculado.
	Inicial (m/s)
	Final (m/s)
	
	Esfera 1
	Esfera 2
	(0 ± 0,08) î + (4,99 ± 0,08) j
	(2,21 ± 0,12) î + (2,34 ± 0,12) j
	(-2,44 ± 0,12) î + (2,60 ± 0,12) j
	A partir do vetor velocidade média e da massa das esferas (m = 16,4 ± 0,05 g), calcula-se o vetor momentum linear para cada esfera, utilizando-se a equação (12). O erro foi calculado segundo a equação (13) no anexo.
Tabela 6: Vetor momentum linear calculado.
	Inicial (x10-3 kg.m/s)
	Final (x10-3 kg.m/s)
	
	Esfera 1
	Esfera 2
	(0 ± 0,01) î + (81,8 ± 1,34) j
	(36,2 ± 1,97) î + (38,3 ± 1,97) j
	(-40,0 ± 1,97) î + (42,6 ± 1,97) j
	
Ao analisar-se os valores de momentum linear encontrados, percebe-se que não há conservação total do momentum linear, provavelmente pelos mesmos motivos citados anteriormente. Entretanto, percebe-se que o valor inicial do momentum linear está dentro do intervalo de erro do momentum final para a direção y.
(pi)x = (pf)x
0 ± 0,01 ≈ -3,8 ± 2,8
(pi)y = (pf)y
81,8 ± 1,34 ≈ 80,9 ± 2,8
	Percebe-se que houve perda de momentum linear em relação ao eixo x. A explicação mais plausível para esse fato é a possível transferência de momentum linear para o parafuso no qual a esfera 2 estava apoiada.
Determinação do ângulo de colisão.
	Calculou-se o valor dos ângulos formados entre as trajetórias das esferas 1 e 2 após a colisão com a trajetória da esfera 1 antes da colisão, utilizando-se para isso a equação (14) no anexo. Encontrou-se então os ângulos θ1 e θ2, em graus, com seu erro associado.
θ1 = 43,4º ± 1,65º
θ2 = 45,6º ± 1,59º
	Somou-se, então, os ângulos θ1 e θ2, a fim de encontrar-se o ângulo de colisão entre a trajetória das duas esferas, θ.
θ = θ1 + θ2
θ = 89,0º ± 2,29º
	Percebe-se que o ângulo de colisão formado é de 89,0º, e que o valor esperado de 90º está dentro do intervalo de erro da medida do ângulo.
Discussão dos resultados.
	Ao final do experimento, percebeu-se que não houve a conservação total de energia cinética na colisão, causada provavelmente por erros de operador ou de instrumentação. Entretanto, considerando-se o intervalo de erro, podemos afirmar que houve conservação de energia durante a colisão.
	Quanto ao momentum linear, ocorreu-se a perda de momentum em relação ao eixo x, provocado provavelmente pela transferência de momentum linear para o parafuso que sustentava a esfera 2. No eixo y, houve a conservação do momentum linear, se considerar o intervalo de erro nas medidas.
	A pequena dissipação de energia cinética e o momentum linear dissipado foram refletidos na medida do ângulo de colisão, que não atingiu exatamente 90º. Todavia, o valor está dentro do intervalo de erro para a medida do ângulo, o que indica que as perdas de momentum e de energia cinética podem ser consideradas pequenas.
	Para obter-se melhores resultados, recomenda-se utilizar esferas perfeitamente lisas, uma superfície de apoio para a esfera 2 com menor contato e a utilização de um equipamento, tal como uma chave inversora magnética, para o lançamento da esfera.
CONCLUSÃO.
	A partir dos dados obtidos, dos cálculos feitos e das considerações tomadas, pode-se concluir que não ocorreu a transferência total de energia cinética e de momentum linear na colisão experimental. Conclui-se, ainda, que os erros influenciaram nos resultados, e que sem eles, provavelmente se encontrariam resultados mais exatos e que comprovariam a teoria.
	O fato de não se ter feito o experimento em um sistema ideal (fato que nunca poderá ser alcançado) e a presença de erros de instrumentação, de operador e erros propagados nos cálculos influenciaram no resultado. Entretanto, o resultado encontrado não é totalmente descartável, uma vez que os valores encontrados estão inclusos nos intervalos de erro.
	Assim, conclui-se que o experimento atingiu o seu objetivo parcialmente, ajudando na compreensão do sistema físico estudado e bem demonstrado em sala de aula, embora não se tenha atingindo resultados excelentes, mas sim apenas aceitáveis.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.
DA SILVA, D. N. Física Mecânica. Vol 1, Editora Ática, 2010.
ESPINOZA-QUIÑONES, F. R. Apostila de Aula prática: Colisão elástica bidimensional. Centro de engenharias e ciências exatas, UNIOESTE. Paraná, 2011.
NUSSENZVEIG, H.M. Curso de Física Básica, 4ª edição, Editora Edgard Blücher, São Paulo, 2002.
SILVA, N. C. Colisões Bidimensionais. Versão Preliminar, Santa Catarina, 2010.
ANEXOS
Anexo I – Equações empregadas nos cálculos.
	
	(7)
	
	(8)
	
	(9)
	
	(10)
	Kd = |Kf – Ki|
	(11)
	
	(12)
	
	(13)
	
	(14)