Exercícios de Cálculo I para Processos Químicos

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1º. Trabalho de Cálculo I – Valor: 4,0 pontos – entregar dia 27/03/2017 
Turma: Processos Químicos – grupos de 3 a 4 alunos – Prof. Aurimar. 
 
Limites e Derivadas 
1)Calcule os seguintes limites: 
i) lim
𝑥→ 
1
2
 4𝑥2 − 1 = 
ii) lim𝑥→−∞(𝑥
4 + 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1) = 
iii) lim𝑥→ 4 
𝑥2−16
𝑥−4
 = 
iv) lim𝑥→ 9 
𝑥−9
 𝑥−3
 = 
v) lim𝑥→5 
𝑥2−10𝑥+25
𝑥−5
 = 
vi) lim𝑥→∞ 
3𝑥2−𝑥+4
3𝑥2+2𝑥−2
 = 
vii) lim𝑥→∞ 
2𝑥2+100
3𝑥3−2𝑥
 = 
viii) lim𝑥→0− 
1−𝑥
3𝑥2
 = 
ix) lim𝑥→−∞ 
𝑥2−𝑥+1
8𝑥−3
 = 
x) lim𝑥→−1− 
𝑥−1
𝑥+1
 = 
2) Um governo determina que o custo para despoluir x% de metais pesados que contaminam uma reserva de água doce é dado 
por: 
𝐶 𝑥 = 
125000𝑥
100 − 𝑥
, 
medido em dólares. 
(a) Qual é o custo para eliminar a metade (50%) dos metais pesados? 
(b) Com US$ 1.250.000,00, que percentual da reserva fica despoluída? 
(c) Calcule: lim𝑥→100% 𝐶(𝑥). É viável economicamente despoluir totalmente a reserva? 
 
3) A temperatura T de um forno, ao ser desligado, tem uma temperatura inicial de 350oC. Ao fim de 25 minutos sua 
temperatura é de 40oC. 
a) Qual a derivada (taxa de variação) da temperaturaT em relação ao tempo t? 
b) Admitindo que T é uma função linear do tempo t, ache a expressão para T(t). 
c) Depois de quanto tempo é atingida a temperatura ambiente (Tamb = 20
oC)? 
 
4) Determine as equações das retas tangentes (y = ax + b) aos gráficos de cada uma das funções abaixo no pontoxo = 1. 
a) 𝑓 𝑥 = 4𝑥2 − 1; 
b) 𝑓 𝑥 = 3 𝑥. 
 
5) Ache as derivadas das seguintes funções: 
a) 𝑓 𝑥 = −3𝑥3 + 5𝑥2 − 𝑥 + 1 
b) 𝑓 𝑡 = 5𝑡−4 − 6𝑡 +
1
4𝑡2
 
c) 𝑓 𝑥 = 4 𝑥2
3
−
3
2 𝑥3
4 
d) 𝑓 𝑥 = 7 − 3(𝑒−𝑥 − 2𝑥 + ln 𝑥) 
e) 𝑓 𝑥 = 4𝑒−𝑥 sen 𝑥 − cos𝑥 . 
 
Nomes: ________________________________________________________________________ 
______________________________________________________________________________ 
______________________________________________________________________________ 
Professor: Aurimar________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal de acordo com a equação abaixo, onde s é a posição da partícula 
(em metros) e t é o tempo (em segundos) 
s(t) = 2t3 – 4t2 + 2t– 1 
a) Determine a equação da velocidade instantânea v(v = ds/dt= s’ = derivada da posição s em relação ao tempo t) e o valor da 
velocidade quando t = 1,0 s e t = 2,0 s. 
b) Ache a equação da aceleração instantânea a(a=dv/dt =v’ = derivada da velocidade v em relação ao tempo t) e o valor da 
aceleração quando t = 1,0 s e t = 2,0 s. 
 
 
Fórmulas: 
𝑎 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
=
𝑓 𝑥2 −𝑓(𝑥1)
𝑥2−𝑥1
; 𝑓′ 𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑓 (𝑥)
𝑑𝑥
= limℎ→0
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
; 𝑓′ 𝑥0 = lim𝑥→ 𝑥0
𝑓 𝑥 −𝑓(𝑥0)
𝑥−𝑥0
 
𝑥−𝑛 =
1
𝑥𝑛
; 𝑥𝑚𝑥𝑛 = 𝑥𝑚+𝑛 (𝑥 ± 𝑎)2 = 𝑥2 ± 2𝑎𝑥 + 𝑎2 𝑥2 − 𝑎2 = (𝑥 − 𝑎)(𝑥 + 𝑎) 𝑥𝑚/𝑛 = 𝑥𝑚
𝑛
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções básicas: f(x) Derivadas: f ’(x) Funções básicas: f(x) Derivadas: f ’(x) 
Linear: f(x) = ax + b f ’(x) = a Cosseno: 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑓′ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝑥 
Constante: f(x) = c f ’(x) = 0 Tangente: f(x) = tg(x) f ’(x) = sec2(x) 
Potência:f(x) = xn (n real) f ’(x) = nxn-1 f(x) = c∙g(x)(c = constante) f ’(x) = c∙g’(x) 
Exponencial: 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑎𝑥 𝑓′ 𝑥 = 𝑎𝑒𝑎𝑥 Produto: f(x) = u(x).v(x) f ’(x) = u’(x)∙v(x)+u(x)∙v’(x) 
Logarítmica: 𝑓 𝑥 = ln⁡𝑥 𝑓′ (𝑥) = 1/𝑥 Divisão: 𝑓 𝑥 =
𝑢(𝑥)
𝑣(𝑥)
 𝑓′ 𝑥 =
𝑢′ 𝑥 𝑣 𝑥 − 𝑢 𝑥 𝑣 ′(𝑥)
𝑣2(𝑥)
 
Seno: 𝑓 𝑥 = sen𝑥 𝑓′ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 Cadeia: f(x) = f(y(x)) f ’(x) = f ’(y)∙y’(x) ou
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
=
𝑑𝑓
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥