Funcoes de Varias Variaveis

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Funções de Várias Variáveis
Funções de Várias Variáveis
Uma função f de duas variáveis é uma
regra que associa, a cada par ordenado de
números reais (x,y) de um conjunto D,
um único valor real denotado por f(x,y).
Funções de Várias Variáveis
Domínio
O conjunto D é o domínio de f(domínio de 
existência da função), e sua imagem o 
conjunto de valores de f, ou seja, 
{f(x,y)|(x,y)∈D}.
Exemplo 1
Determine os domínios das seguintes 
funções e calcule f(3,2).
1
) ( , )
1
x y
a f x y
x
+ +
=
−
2) ( , ) ln( )b f x y x y x= −
Solução
a)
Solução
b)
Exemplo 2
Determine o domínio e a imagem de 
2 2( , ) 9g x y x y= − −
Solução
Gráficos Definição
Gráficos
Gráficos-Construções
Exemplo 3
Esboce o gráfico da função ( , ) 6 3 2f x y x y= − −
Exemplo 4
Desenhe o gráfico da função 
2 2( , ) 9g x y x y= − −
Exemplo 5
Determine o domínio, a imagem e o gráfico 
de 2 2( , ) 4h x y x y= +
Existem programas de computador
desenvolvidos para traçar os gráficos de
funções de duas variáveis. Na maioria desses
programas, são desenhados os cortes nos
planos verticais x=k e y=k para os valores de
k igualmente espaçados, e as linhas do gráfico
que estariam escondidas são removidas. As
figuras a seguir mostram alguns gráficos de
funções gerados por computador.
Mais exemplos
Mais exemplos
Mais exemplos
Mais exemplos
Gráficos-Construções
Gráficos-Construções
Curvas de Nível
Exemplo 1
Um exemplo comum de curvas de nível
ocorre e mapas topográficos de regiões
montanhosas, como exemplo da figura a
seguir. As curvas de nível são aquelas em
que a elevação em relação ao nível do mar
é constante. Se você andar sobre um
desses contornos, nem descerá nem subirá.
Exemplo 2
Outro exemplo comum é a função
temperatura. Aí as curvas de nível são
chamadas isotérmicas e ligam localidades
que tem a mesma temperatura. A figura
a seguir mostra o exemplo de um mapa
de clima indicando as temperatura médias
do mês de janeiro.
Curvas isotérmicas
Exemplo 3
A figura a seguir mostra um mapa da 
função f. Utilize-o para estimar os valores 
de f(1, 3) e f(4, 5).
(1,3) 73f ≈
(4,5) 56f ≈
Exemplo 4
Esboce o gráfico das curvas de nível da 
função f(x,y) = 6 – 3x – 2y para os 
valores k = -6, 0, 6, 12. 
Exemplo 5
Esboce o gráfico das curvas de nível das 
funções 
2 2( , ) 9 , para 0,1, 2,3.g x y x y k= − − =
Exemplo 6
Esboce algumas curvas de nível da função
2 2( , ) 4h x y x y= +
Exemplo 7
Exemplo 8
Funções com três variáveis
Exemplo 9
Determine o domínio de
( , , ) ln( ) sen .f x y z z y xy z= − +
( ){ }3, , |D x y z z y= ∈ >R
Superfície de nível
São as superfícies com equação f(x,y,z) = k , 
onde k é uma constante.
Se um ponto (x,y,z) se move ao longo de uma 
superfície de nível, o valor de f(x,y,z) 
permanece fixo.
Exemplo 10
Determine as superfícies de nível da função 
2 2 2( , , ) .f x y z x y z= + +
LIMITES
	Funções de Várias Variáveis
	Funções de Várias Variáveis
	Funções de Várias Variáveis
	Domínio
	Exemplo 1
	Solução
	Solução
	Exemplo 2	
	Solução
	Gráficos Definição
	Número do slide 11
	Número do slide 12
	Número do slide 13
	Gráficos
	Gráficos-Construções
	Exemplo 3
	Exemplo 4
	Número do slide 18
	Exemplo 5
	Número do slide 20
	Mais exemplos
	Mais exemplos
	Mais exemplos
	Mais exemplos
	Gráficos-Construções
	Número do slide 26
	Número do slide 27
	Número do slide 28
	Número do slide 29
	Número do slide 30
	Número do slide 31
	Número do slide 32
	Número do slide 33
	Número do slide 34
	Gráficos-Construções
	Curvas de Nível
	Exemplo 1
	Número do slide 38
	Exemplo 2
	Número do slide 40
	Curvas isotérmicas
	Exemplo 3
	Exemplo 4
	Exemplo 5
	Exemplo 6
	Exemplo 7
	Exemplo 8
	Funções com três variáveis
	Exemplo 9
	Número do slide 50
	Superfície de nível
	Exemplo 10
	Número do slide 53
	Número do slide 54
	Número do slide 55
	Número do slide 56
	Número do slide 57
	Número do slide 58
	LIMITES
	Número do slide 60
	Número do slide 61
	Número do slide 62
	Número do slide 63
	Número do slide 64
	Número do slide 65
	Número do slide 66