Funções Duas ou Mais Variáveis

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Funções de duas ou mais variáveis 
 
Podemos entender uma função de duas variáveis como uma máquina: 
 
Em muitas situações práticas, uma variável dada depende de duas ou mais variáveis. Por 
exemplo: 
- A área A de um triângulo depende do comprimento x da base e da altura y. 
- O volume V de uma caixa retangular depende do comprimento l, da largura w e da altura h. 
- A média aritmética x de n números reais x1, x2, x3,...,xn depende desses números. 
 
DEFINIÇÃO: 
1. Uma função f de duas variáveis, x e y, é uma regra que associa um único número real f(x,y) 
a cada ponto (x,y) de algum conjunto D no plano xy. 
2. Uma função f de três variáveis, x, y e z, é uma regra que associa um único número real 
f(x,y,z) a cada ponto (x,y,z) de algum conjunto D no espaço tridimensional. 
 
DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO: 
Para cada função, é essencial estabelecer, quais os valores que podem ser atribuídos às 
variáveis independentes para os quais a função (variável dependente) resulte em um valor 
real. O domínio D da função é o conjunto formado por esses valores. 
 
EXEMPLO 1: 
Determinar, para cada função dada, (a) )2,3(f e )2,3( f , (b) O domínio da função e fazer o 
esboço do seu gráfico. 
1. 1),(  yxyxf 
2. 1),(  yxxyxf 
3. 
1
1
),(


yx
yxf 
 
 
 
 Cálculo Diferencial e Integral III 
Profª. Vera Nunes 
 
 
 
2 
 
EXEMPLO 2: 
É possível calcular )
2
1
,0,
2
1
( f para 2221),,( zyxzyxf  ? Qual o domínio da f ? 
 
EXERCÍCIOS: 
1. Seja 22),( yxyxf  . Determine: 
a) )2,1(f b) )0,0(f c) )4,3( f d) Dom f 
 
2. Seja 
xy
x
yxf


3
),( . Determine: 
a) )0,1(f b) )7,3( f c) )1,1( f d) Dom f e) o gráfico do Dom f 
 
3. Seja 
yx
yxf


2
1
),( . Determine: 
a) )0,1(f b) )7,3( f c) )1,1( f d) Dom f e) o gráfico do Dom f 
 
4. Determine o domínio de cada função: 
a) 
3
4
),(
2
2



y
x
yxf 
b) y
ayx
yxf 


222
1
),( 
c) 
xyz
zyxf
1
),,(  
 
5. Represente graficamente o domínio de cada função: 
a) )1ln(),( 2  yxyxf 
b) 12),(
2  yxyxf 
c) 
12
1
),,(


yx
zyxf 
 
6. Seja 229),( yxyxf  . 
a) Para que valores de ),( yx é possível calcular ),( yxf ? 
b) Expresse graficamente o domínio da f . 
 
7. Responda os itens do exercício anterior para: 
a) 
x
yx
yxf
229
),(

 b) 229
1
),(
yx
yxf

 
 
 
3 
 
Gráficos de funções de duas variáveis 
 
A representação gráfica de funções reais de duas variáveis gera superfícies no IR3. Em geral, essa 
representação pode se tornar bastante complexa sem o auxílio de uma ferramenta computacional. No 
entanto, há alguns casos que são importantes de serem lembrados: 
Equação Superfície gerada Exemplo 
cbyaxz  Plano 
 
2
2
2
2
b
y
a
x
z  Parabolóide elíptico 
 
2
2
2
2
a
x
b
y
z  Parabolóide hiperbólico 
 
222 yxrz  
Metade de uma superfície 
esférica de raio r. 
 
22 yxz  
Metade de uma superfície 
cônica. 
 
4 
 
EXEMPLOS: 
Descreva o gráfico da função num sistema de coordenadas xyz. 
a) yxyxf
2
1
1),(  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 221),( yxyxf  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 22),( yxyxf  
 
 
 
 
 
 
 
 
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Curvas de nível 
 
Uma outra forma de se visualizar funções de duas variáveis é um método semelhante ao da 
representação de uma paisagem tridimensional por meio de um mapa topográfico 
bidimensional. Vamos supor que a superfície z = f(x,y) seja interceptada por um plano z = k , 
e a curva de intersecção seja projetada no plano xOy. Essa curva tem equação f(x,y) = k e é 
chamada de curva de nível da função f em k . 
 
As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são gráficos no plano xOy de equações 
da forma f(x,y) = k. 
O conjunto de curvas de nível é chamado mapa de contornos. 
Todos os pontos (x,y) que estão na mesma curva de nível têm a mesma imagem z. 
No caso de f(x,y) representar uma grandeza física, as curvas de nível ganham particular 
importância, recebendo inclusive denominações específicas. 
Se f(x,y) é a temperatura no ponto (x,y) de uma chapa plana, as curvas f(x,y) = k são chamadas 
de isotérmicas ou isotermas; se f(x,y) é a pressão de um gás de volume x e temperatura y, as 
curvas são chamadas de isobáricas ou isóbaras; se f(x,y) é o potencial (elétrico ou 
gravitacional) na região D do plano xOy então as curvas f(x,y) = k são chamadas 
equipotenciais. 
 
EXEMPLO 1: 
Seja a função dada por 22),( yxyxfz  . As curvas de nível para z = 0, z =1, z = 2 e 
z = 4 são: 
z = 0 ⇒ 
z = 1 ⇒ 
z = 2 ⇒ 
z = 4 ⇒ 
z=f(x,y) 
z=k 
f(x,y)=k 
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Gráfico da Função: 
 
 
 
Mapa de contornos: 
EXEMPLO 2: 
Esboce o mapa de contornos de yxyxf  2),( usando as curvas de nível de altura k = -6, 
-4, -2, 0, 2, 4, 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: As curvas de nível nunca se interceptam. 
 
EXERCÍCIOS: 
1. Esboce as curvas de nível das funções: 
a) 2xyz  , para z = 0, z = 1 e z = 2 
b) xyz  , para z = 0, z = 2 e z = 4 
c) xyz ln , para z = 0, z = 1 e z = 2 
 
2. Seja a função dada por 224 yxz  . 
a) Faça as curvas de nível para z = 0, z = 1 e z = 2. 
b) Represente graficamente a função.