02 MÉTODO DA FLEXIBILIDADE

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PROF. DR. LORENZO A. RUSCHI LUCHI
lorenzo@rl.eng.br
CENTRO TECNOLÓGICO
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
GERE, J. M.; WEAVER Jr., W. Análise de 
Estruturas Reticuladas. Ed. Guanabara. 
Rio de Janeiro, 1987. 
 Também chamado de Método das Forças ou 
Método dos Esforços
Viga sobre 3 apoios
nest = 1 (estaticamente indeterminada de 1º grau)
• 4 reações
• 3 equações de equilíbrio
 Se retirarmos a reação RB (redundante 
estática), teremos a estrutura liberada (ou 
isostática:
 Aplicando-se o carregamento externo na 
estrutura liberada:
EI
wL
B
384
5 4

 Aplicando-se uma força unitária 
(correspondente a RB) na estrutura liberada, 
temos:
EI
L
B
48
3

 Mas para a estrutura inicial, por 
compatibilidade, sabemos que o 
deslocamento vertical em B = 0:






EI
L
EI
wL
R
R
B
B
B
BBB
48
384
5
0
3
4


wLRB
8
5

Viga sobre 3 apoios
nest = 2 (estaticamente indeterminada de 2º grau)
• 5 reações
• 3 equações de equilíbrio
LIBERAR 2 AÇÕES REDUNDANTES
A
P1 P2 P3M
B C
L/2 L/2 L/2 L/2
 Diversas opções de estrutura liberada:
 Ações redundantes escolhidas:
◦ Q1 e Q2
 Estrutura liberada:
A
P1 P2 P3
Q1 Q2
M
B C
L/2 L/2 L/2 L/2
 Ações externas na estrutura liberada:
 Coeficientes de flexibilidade (Fij):
 Condições de compatibilidade:
 2 equações com 2 incógnitas (Q1 e Q2)
 Demais reações  estática
0
0


C
B
0
0
2221212
2121111


QFQFD
QFQFD
QL
QL
 RECALQUES DE APOIO:
 Caso os pontos B e C sofram deslocamentos 
impostos verticais, teremos:
 Caso DQ1=DQ2=0  caso original
22212122
21211111
QFQFDD
QFQFDD
QLQ
QLQ


 As equações anteriores podem ser escritas na 
forma matricial:
       QFDD QLQ   






2
1
Q
Q
Q D
D
D  






2
1
QL
QL
QL D
D
D  






2221
1211
FF
FF
F  






2
1
Q
Q
Q
 As redundantes podem ser obtidas:
 Quando os recalques de apoio forem 0, 
temos:
       QFDD QLQ 
        QLQ DDFQ 
1
     QLDFQ 
1
A
2P P PPL
B C
L/2 L/2 L/2 L/2
D
E
 [DQT]  vetor dos deslocamentos devido a 
variação de temperatura na estrutura 
liberada correspondente às redundantes Q;
 [DQP]  vetor dos deslocamentos devido a 
deformação inicial correspondente às 
redundantes Q;
 [DQR]  vetor dos deslocamentos devido a 
recalques dos apoios na estrutura liberada 
correspondente às redundantes Q.
             QFDDDDD QRQPQTQLQ 
             QFDDDDD QRQPQTQLQ 
         QRQPQTQLQS DDDDD        QFDD QSQ         QSQ DDFQ 
1
T2
L L
T1
T2
T1
T (variação de temperatura)
A B
C
D
T (variação de temperatura)
somente a barra BD sofre variação de comprimento
A B
C D
Deslocamento na estrutura liberada
b
s
B
L L
CA
 b  rotação do nó A;
 s  recalque do apoio B.
 [DJ]  deslocamento de nós;
 [AM]  ações de extremidade;
 [AR]  reações de apoio.
 Estrutura liberada:
◦ CARGAS REAIS:
 Estrutura liberada:
◦ CARGAS UNITÁRIAS CORRESPONDENTES ÀS 
REDUNDANTES:
       QDDD JQJLJ  22212122
21211111
QDQDDD
QDQDDD
JQJQJLJ
JQJQJLJ


       QAAA MQMLM        QAAA RQRLR 
  






2
1
J
J
J
D
D
D  






2
1
JL
JL
JL
D
D
D  






2221
1211
JQJQ
JQJQ
JQ DD
DD
D  






2
1
Q
Q
Q
A
2P P PPL
B C
L/2 L/2 L/2 L/2
D
E