APÊNDICE INVERSÃO DE MATRIZES

Prévia do material em texto

PROF. DR. LORENZO A. RUSCHI LUCHI 
lorenzo@rl.eng.br 
CENTRO TECNOLÓGICO 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
BRASIL, A. N. Matrizes – cap 2 
site http://alexbrasil.com.br/ 
 A-1 MATRIZ INVERSA DA MATRIZ [A] 
 
 
 
 
IAA  1







zy
xw
A 1 






dc
ba
A


















 
10
01
1 I
zy
xw
dc
ba
AA


















 
10
01
1 I
zy
xw
dc
ba
AA














10
01
dzcxdycw
bzaxbyaw





0
1
dycw
byaw





1
0
dzcx
bzax
Sistema de 
equações: 
 Escalonamos a matriz [A|In] e encontramos 
sua forma escalonada reduzida [R|S]. Se R = 
In, então a matriz A é invertível e a inversa 
 A-1=S. 
 
 Caso contrário a matriz A não é invertível. 
 
 
 
 











210
211
321
A
 Encontrar, se existir, a inversa de A. 
 Escalonar a matriz aumentada: 
 
 
 
 
 
 1ª eliminação: o pivô da 1ª linha é igual a 1. 
Logo, precisamos apenas “zerar” os outros 
elementos da coluna. Para isto, somamos à 2ª 
linha, -1 vezes a 1ª linha. 











100
010
001
210
211
321
A
 -1x 1ª linha + 2ª linha  2ª linha 
 
 
 
 
 
 Olhamos agora para a submatriz obtida 
eliminando-se a 1ª linha da matriz. Escolhemos 
como pivô um elemento não nulo da 1ª coluna 
não nula da submatriz. Escolhemos o elemento 
de posição 22. Temos que fazê-lo igual a 1. 
 (-1 x 2ª linha  2ª linha) 
 
 
 
 
 











100
011
001
210
110
321










100
010
001
210
211
321
 -1 x 2ª linha  2ª linha 
 
 
 
 
 











100
011
001
210
110
321











100
011
001
210
110
321
 Precisamos zerar os outros elementos da 2ª 
coluna. Para isso, somamos à 1ª linha, -2 
vezes a 2ª linha, e à 3ª linha, somamos -1 
vezes a 2ª linha. 
 -2 x 2ª linha + 1ª linha  1ª linha 
 -1 x 2ª linha + 3ª linha  3ª linha 
 
 
 













111
011
021
100
110
101











100
011
001
210
110
321
 Olhamos para a submatriz obtida 
eliminando-se as duas primeiras linhas. 
Escolhemos para pivô um elemento não nulo 
da primeira coluna não nula da submatriz. 
Elemento da posição 33. Como ele é igual a 
1, precisamos apenas “zerar” os outros 
elementos da coluna do pivô. 
 
 
 
 -1 x 3ª linha + 1ª linha  1ª linha 
 -1 x 3ª linha + 2ª linha  2ª linha 
 
 













111
011
021
100
110
101
 -1 x 3ª linha + 1ª linha  1ª linha 
 -1 x 3ª linha + 2ª linha  2ª linha 
 
 













111
011
021
100
110
101













111
122
110
100
010
001














111
122
110
1A











110
211
321
A
 Encontrar, se existir, a inversa de A. 
 Escalonar a matriz aumentada: 
 
 
 
 
 
 1ª eliminação: o pivô da 1ª linha é igual a 1. 
Logo, precisamos apenas “zerar” os outros 
elementos da coluna. Para isto, somamos à 2ª 
linha, -1 vezes a 1ª linha. 











100
010
001
110
211
321
A
 -1x 1ª linha + 2ª linha  2ª linha 
 
 
 
 
 
 Olhamos agora para a submatriz obtida 
eliminando-se a 1ª linha da matriz. Escolhemos 
como pivô um elemento não nulo da 1ª coluna 
não nula da submatriz. Escolhemos o elemento 
de posição 22. Temos que fazê-lo igual a 1. 
 
 
 
 











100
011
001
110
110
321










100
010
001
110
211
321
 -1 x 2ª linha  2ª linha 
 
 
 
 
 











100
011
001
110
110
321











100
011
001
110
110
321
 Precisamos zerar os outros elementos da 2ª 
coluna. Para isso, somamos à 1ª linha, -2 
vezes a 2ª linha, e à 3ª linha, somamos -1 
vezes a 2ª linha. 
 -2 x 2ª linha + 1ª linha  1ª linha 
 -1 x 2ª linha + 3ª linha  3ª linha 
 
 
 













111
011
021
000
110
101











100
011
001
110
110
321
 
 
 
 
 
 A matriz [A] não é invertível! 
 
 
 













111
011
021
000
110
101
 Digitar a matriz que se quer inverter 
 Selecionar um conjunto de células da mesma 
dimensão que a matriz 
 
 
 
 [A] 
 Digitar a fórmula na célula 
 =MATRIZ.INVERSO(A1:C3) 
 
 Após o segundo parênteses, finalizar com 
CTRL+SHIFT+ENTER 
 
 
Células com a matriz 
que se quer inverter 
 O resultado da fórmula será a matriz inversa. 
 
 
 [A]-1 
 Caso a matriz não seja invertível, o Excel 
retorna o resultado abaixo.