NOTAS DE AULA 06 DISTRIBUIÇÃO NORMAL 2014.1

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Distribuição Normal
Souza Neto, Prof.PhD.
 e-mail: jsneto.pro@pq.cnpq.br
 jsneto.pro@hotmail.com
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A Distribuição Normal 	
Esta é a mais importante distribuição de probablidade continua considerada em estatistica
Muitas distribuições podem ser construidas por aproximação à distibuição normal
A distribuição normal pode ser identificada por dois parametros: média e desvio padrão
Tem forma de sino e é unimodal e simetrica em relação a média.
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Distribuição Normal
É normalmente distribuida com média m e variancia s2 e sua função densidade de probabilidade é dada por
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 Como o desvio padrão afeta o formato de f(x)?
s= 2
s =3
s =4
m = 10
m = 11
m = 12
Como o valor esperado afeta a localização de f(x)?
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Dois fatos ajudam a calcular a probabilidade em relação a curva normal:
Ela é simetrica.
Qualquer distribuição normal pode ser transformada numa distribuição normal especifica chamada de 
 “Distribuição normal padrão”
Exemplo
O tempo tomado por um escritor para escrever um poema está normalmente distribuido com uma media de 60 minutos e um desvio padrão de 8 minutos.
Qual a probabilidade do poeta terminar o poema entre 60 e 70 minutos?
Calculando a probabilidade
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Solução 
Se X denota o tempo tomado para escrever o poema, nos temos que a probabilidade está no intervalo P(60<X<70).
Esta probabilidade pode ser calculada criando-se uma nova variavel normal - variavel normal padrão. 
E(Z) = 0
V(Z) = 1
Toda variavel normal
com media m e desvio s, 
pode ser transformada 
em Z.
Assim, probabilades Z
são calculadas, a partir da 
variavel normal encontrada.
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continuação
P(60<X<70) = P( < < )
60
X
70
- m
- 60
 - 60
s
8
8
= P(0<Z<1.25)
Para completar o calculo nós necessitamos encontrar a 
probabilidade na curva de distribuição normal padrão 
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Probalidades podem ser calculadas conforme se verifica
 na tabela abaixo 
As probabilidades calculadas correspondem
A area entre Z=0 e algum Z = z0 > 0
Z = 0
Z = z0
Sheet1
		z		0		0.1		…….		0.05		0.06
		0.0		0.0000		0.0040				0.0199		0.0239
		0.1		0.0398		0.0438				0.0596		0.636
		.		.		.				.		.
		.		.		.				.		.
		1.0		0.3413		0.3438				0.3531		0.3554
		.		.		.				.		.
		.		.		.				.		.
		1.2		0.3849		0.3869		…….		0.3944		0.3962
		.		.		.		.		.		.
		.		.		.		.		.		.
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continuação
= P(0<Z<1.25)
neste exemplo z0 = 1.25
0.3944
0.3944
0.3944
0.3944
0.3944
0.3944
= 0.3944
Sheet1
		z		0		0.1		…….		0.05		0.06
		0.0		0.0000		0.0040				0.0199		0.0239
		0.1		0.0398		0.0438				0.0596		0.636
		.		.		.				.		.
		.		.		.				.		.
		1.0		0.3413		0.3438				0.3531		0.3554
		.		.		.				.		.
		.		.		.				.		.
		1.2		0.3849		0.3869		…….		0.3944		0.3962
		.		.		.		.		.		.
		.		.		.		.		.		.
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A simetria da distribuição normal torna possivel calcular probabilidades para valores negativos de Z usando a tabela como segue:
-z0
+z0
0
P(-z0<Z<0) = P(0<Z<z0)
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Exemplo
Determine a seguinte probabilidade:
P(Z>1.47) = ? 
1.47
0.5
- P(0<Z<1.47)
= P(Z>1.47)
0
P(Z>1.47) = 0.5 - 0.4292 = 0.0708
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-2.25
1.85
P(-2.25<Z<1.85) = ?
P(-2.25<Z<0) = ?
0
2.25
P(0<Z<1.85) = .4678
P(0<Z<2.25) = .4878
.4878
P(-2.25<Z<1.85) = 0.4878 + 0.4678 = 0.9556
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P(.65<Z<1.36) = ?
.65
1.36
0
P(0<Z<1.36) = .4131
P(0<Z<.65) = .2422
P(.65<Z<1.36) = .4131 - .2422 = .1709
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Exemplo
A taxa de retorno (X) de um investimento está normalmente distribuido como média de 30% e desvio padrão de 10%
Qual a probabilidade que o retorno exceda a 55%?
0
Z =2.5
=.5 - P(0<Z<2.5) = .5 - .4938 = .0062
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Qual a probabilidade que o retorno seja menor que 22%?
.8
0
-.8
=P(Z>.8) = 0.5 - P(0<Z<.8) = 0.5 - .2881 = .2119
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Exemplo
Se Z é a variavel padrão normal, determine o valor de z para o qual P(Z<z) = .6331.
0.6331
.5
0
z 
z = .34
.1331
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Exemplo 
 Determine z.025
Solução
zA é definido como um valor z para o qual a area a direita de zA sob a curva normal padrão é A.
0.025
Z0.025
0
0.475
1.96
- Z0.025
-1.96
0.025
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Calculando a Probabilidade
Sendo dado um escore médio de 100 e o desvio padrão de 20, qual é a area entre a media e um escore de 120?
= +1.00
+1.00
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Calculando a Probabilidade
A média de salario é 100 com um desvio de 20, qual é a area acima de um salário de 130? 
= +1.50
+1.50
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Calculando a Probabilidade
Dado a média de 100 e um desvio padrão de 20, qual é a área acima de um escore de 85?
= -.75
 -.75
.2734 + .5 = .7734
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Calculando a Probabilidade
Dado a média de salario de 100 e um desvio padrão de 20, qual é a area entre um salario de 75 e de 90 ?
= -1.25
 -.50
 -1.25
= -.50
.3944 - .1915 =
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Estimando um escore quando 
a area é conhecida.
Sabendo que a media é 100 e o desvio padrão 20, qual é o escore (X) para que a probabilidade seja menor que 10% ?
-1.28
= (-1.28 x 20) + 100 = 74.4 
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Estimando um escore quando 
a area é conhecida.
 1.04
Dada a media 100 e um desvio padrão de 20, abaixo de qual escore, 85% dos casos estariam? 
= (1.04 x 20) + 100 = 120.8 
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