aprendizado de matematica 1

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O ensino da matema´tica I
Marcelo Carvalho ∗
Universidade Federal de Santa Catarina
Departmento de Matema´tica
June 12, 2007
1 Considerac¸o˜es ba´sicas sobre o aprendizado da matema´tica
E´ noto´rio que um nu´mero considera´vel de alunos enfrentam problemas nas disciplinas da matema´tica.
Tais dificuldades ocasionam, por vezes, um elevado ı´ndice de repeteˆncia principalmente nas mate´rias do
ciclo ba´sico. Faremos aqui uma ana´lise da situac¸a˜o e proporemos soluc¸o˜es.
O que e´ aprender matema´tica?
Quando um conceito matema´tico e´ aprendido? Tal questa˜o e´ essencial pois e´ o que distingue a matema´tica
das outras disciplinas. A seguir, apresentareiminha leitura de como a matema´tica e´ aprendida. Comec¸amos
definindo 1 o que e´ entender e compreender um conceito.
Um determinado conceito e´ entendido quando se consegue:
(i) enunciar o conceito a partir de conceitos anteriores, ou que remeta a uma axioma´tica.
(ii) exibir um exemplo onde o conceito se expressa.
O conceito e´ compreendido quando se consegue
(i) delimitar claramente onde o conceito se aplica, assinalando tambe´m onde ele na˜o se aplica.
(ii) relacionar o conceito com outros conceitos estendendo-o a situac¸o˜es mais amplas.
(iii) exibir variados exemplos e contra-exemplos onde o conceito respectivamente se aplica ou na˜o.
(iv) aplicar o conceito a outras situac¸o˜es, resolvendo novos problemas e consequentemente gerando novos
conceitos.
Dizemos que um conceito e´ aprendido quando, relativo a esse conceito, ocorre uma passagem do entendi-
mento a compreensa˜o. Isto e´, aprende-se um conceito quando consolida-se a compreensa˜o do conceito, o
que consiste em atingir o n´ıvel (iv) da compreensa˜o.
Aprender matema´tica e´ enta˜o a apreensa˜o de conceitos, entendido aqui como o processo de passagem
do entendimento a compreensa˜o realizando todas as etapas inerentes a cada esta´gio. Na˜o sera´ abordada
nenhuma considerac¸a˜o distinta dessa.
2 Como se da´ o aprendizado de matema´tica?
Durante um curso ba´sico como os de Ca´lculo verifica-se que muitos alunos conseguem entender o conceito
mas tem dificuldades em compreender o conceito. Isso e´ pro´prio da esseˆncia da matema´tica. A raza˜o esta´
∗e-mail: mcarvalho@mtm.ufsc.br
1Enfatizamos que essas definic¸o˜es podem diferir daquelas usadas pelos educadores. No nosso texto, o sentido exato
dessas definic¸o˜es devem ser tomadas exclusivamente pela forma com que as definimos.
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no fato de que a passagem do entendimento a compreensa˜o envolve a aquisic¸a˜o de um modo de pensar
matema´tico que muitos alunos ainda na˜o tem. A pra´tica de exerc´ıcios e´ a u´nica maneira de se passar do
n´ıvel do entendimento ao n´ıvel da compreensa˜o. Com efeito, muitos matema´ticos consideram que fazer
exerc´ıcios e´ a u´nica forma de se aprender matema´tica. Isto esta´ expl´ıcito nas seguintes passagens tiradas
de alguns livros textos cla´ssicos e.g.
Elon Lages Lima escreve: ... “Matema´tica na˜o se aprende passivamente. Os exerc´ıcios ensinam a
usar conceitos e proposic¸o˜es, desfazem certos mal-entendidos, ajudam a fixar na mente ide´ias novas,
da˜o oportunidade para explorar as fronteiras da validez das teorias expostas no texto e reconhecer a
necessidade das hipo´teses, apresentam aplicac¸o˜es dos teoremas demonstrados e informam o leitor sobre
resultados adicionais ...” [Curso de Ana´lise, vol.1].
James Munkres escreve: “Working problems is a crucial part of learning mathematics. No one can learn
topology merely by poring over the definitions, theorems and examples that are worked out in the text. One
must work part of it out for oneself. To provide that opportunity is the purpose of the exercises.”[Topology]
E´ costume na matema´tica dizer que fazer exerc´ıcios e´ fazer matema´tica. 2
Uma vez esclarecida a importaˆncia dos exerc´ıcios no aprendizado da matema´tica podemos entender
agora o processo de aprendizado como um todo. Este se da´ de forma gradual e atinge n´ıveis diferenciados
dependendo de cada aluno. A situac¸a˜o e´ muito semelhante ao de uma pessoa que deseja aprender a tocar
piano. No processo de aprender a tocar piano ha´ va´rios n´ıveis que, por simplificac¸a˜o, restringiremos ao
mı´nimo. No n´ıvel (1) a pessoa se dedica a uma rotina dia´ria de exerc´ıcios que visa dar ao praticante
o domı´nio das te´cnicas ba´sicas fundamentais necessa´rias a boa utilizac¸a˜o do instrumento bem como ao
desenvolvimento de uma sensibilidade musical ainda latente. O n´ıvel (2) e´ atingido depois de muita
pra´tica sendo onde se consegue comec¸ar a tocar uma pec¸a, ainda assim longe de ser um mestre, condic¸a˜o
que corresponderia ao n´ıvel (3) e na qual nem todos chegara˜o, nem com muito esforc¸o, pois isso envolve
o conceito de aptida˜o inata, uma condic¸a˜o necessa´ria para se tornar um mestre. O que esperamos de um
aluno cursando qualquer disciplina de matema´tica na universidade e´ que ele atinja os n´ıveis (1) e (2).
Da mesma forma que um praticante de piano so´ aprende piano tocando o instrumento, so´ se aprende
matema´tica fazendo matema´tica. Isto envolve um considera´vel esforc¸o de cada aluno, esforc¸o esse que
sera´ maior ou menor dependendo de suas aptido˜es.
3 O ensino da matema´tica no ensino superior
No ensino superior, a instruc¸a˜o dada aos alunos em sala de aula deve funcionar como um guia do que
e´ necessa´rio aprender. Ha´ um mito, sustentado por alguns educadores, de que o fracasso dos alunos
em disciplinas da matema´tica sejam causados por aulas ruins (que muitos educadores frequentemente
associam a “ma´ formac¸a˜o pedago´gica” dos professores), ou por curr´ıculos inapropriados. O equ´ıvoco desse
discurso esta´ no desconhecimento que essas pessoas tem sobre como se da´ o aprendizado da matema´tica
(ver sec¸a˜o 2). Eis os equ´ıvocos:
(i) E´ iluso´rio acreditar que os alunos tenham que sair de cada aula tendo aprendido tudo que foi exposto.
Conforme explicamos, o que deve ocorrer em sala de aula e´ ta˜o somente o processo de entendimento do
conceito. Na˜o e´ poss´ıvel aprender o conceito sem antes fazer exerc´ıcios. Este e´ o u´nico meio que permite
o aluno passar para o n´ıvel da compreensa˜o que e´ onde finalmente se aprende o conceito. Negar tal
necessidade contradiz o que e´ sustentado pela comunidade dos matema´ticos. Note que quando Elon e
2E´ importante ter em mente o sentido amplo da pra´tica de exerc´ıcios conforme mencionado por Elon. Fazer exerc´ıcios
e´ uma pra´tica que envolve desde manipulac¸o˜es rotineiras a considerac¸o˜es conceituais profundas. Em suma, exerc´ıcios sa˜o
os instrumentos necessa´rios ao aprendizado da matema´tica.
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Munkres enfatizam a necessidade de se fazer exerc´ıcios esta´ impl´ıcito que isto se dara´ em grande parte
num trabalho fora da classe, o que se torna o´bvio dada a quantidade de exerc´ıcios contidos em ambos os
livros, o que inviabilizaria a totalidade de sua pra´tica em sala de aula. Dessa forma, sendo a pra´tica de
exerc´ıcios condic¸a˜o necessa´ria para se aprender matema´tica e, sendo essa pra´tica feita em parte fora da
sala de aula, conclui-se que o aluno na˜o aprende em sala de aula mas inicia o processo de aprendizado
na sala de aula e completa tal processo numa combinac¸a˜o de trabalho em sala de aula mais trabalho
extra-classe.
(ii) Outro equ´ıvoco, mais se´rio que o anterior, suscita um confronto entre a educac¸a˜o e a matema´tica.
Com efeito, a educac¸a˜o/pedagogia se dedica, entre outras coisas, a questo˜es referentes ao ensino. Dessa
forma, a educac¸a˜o desenvolve suas pro´prias teorias estabelecendo paraˆmetros a partir dos quais pode-se
dizer se o ensino de uma disciplina esta´ sendo conduzido de maneira adequada. No entanto, o ensino
de qualquer disciplina envolve especificidades inerentes a pro´pria disciplina e isto tem que ser levado em
conta ao se caracterizar a maneira de se ensinar a disciplina como adequada ou na˜o. Afim de resolver a
questa˜o adotamos aqui o seguinte Princ´ıpioFundamental (PF):
Qualquer teoria que venha a ser usada no desenvolvimento de metodologias para o ensino da matema´tica
deve levar em conta as especificidades da matema´tica e, portanto, devem ser feitas por pessoas que
conhec¸am o assunto em profundidade.
O confronto entre educac¸a˜o e matema´tica surge exatamente pelo na˜o reconhecimento desse princ´ıpio.
Um educador na˜o pode dizer, por exemplo, que o ensino de Ca´lculo e´ ruim simplesmente porque ha´ um
grande ı´ndice de reprovac¸a˜o nesta disciplina. Acreditando que o ensino e´ ruim, alguns educadores tentam
criar novas formas de se ensinar a matema´tica. Nisso, por desconhecerem como se aprende matema´tica
(ver sec¸a˜o 2), criam verdadeiras anomalias como a contextualizac¸a˜o dos conceitos, ou acreditam em mitos,
por exemplo, que exista uma forma suave de se aprender matema´tica sem a frustac¸a˜o de ter que fazer
uma quantidade formida´vel de exerc´ıcios e se defrontar com a angu´stia de na˜o conseguir fazeˆ-los. No
entanto, a maior das anomalias vem daqueles que acreditam que todo mundo pode aprender qualquer
conceito matema´tico, seja este simples ou avanc¸ado, desde que se utilize metodologias adequadas. Na
analogia que fizemos do aluno com o iniciante no piano isso equivaleria a dizer que qualquer um pode
tornar-se um mestre do piano. Essa ide´ia tem contribu´ıdo para o desmonte da matema´tica pois ataca
diretamente o que ela tem de mais singular: o seu cara´ter abstrato.
O desmonte da abstrac¸a˜o matema´tica esta´ sendo realizado por educadores que sustentam que os
alunos na˜o aprendem porque a matema´tica ensinada e´ longe do senso comum dos alunos e desconectada
do seu dia-a-dia, sendo portanto desinteressante e complicada (complicac¸a˜o esta, dizem alguns educadores,
ocasionada por professores com formac¸a˜o pedago´gica deficiente e pela adoc¸a˜o de pra´ticas inadequadas
de ensino). Dessa forma, tentam retirar qualquer conteu´do abstrato do ensino da matema´tica. Ora, se a
esseˆncia da matema´tica e´ a abstrac¸a˜o, e´ natural que ela fuja do senso comum dos alunos. Assim, esta˜o
alguns educadores propondo que se deixe de ensinar conteu´dos abstratos porque os alunos acham dif´ıcil
e na˜o conseguem aprender? Assim fazendo, reduzir´ıamos o ensino da matema´tica as suas aplicac¸o˜es.
O problema na˜o e´ o de na˜o ensinar conteu´dos abstratos mas sim o de dar amplas condic¸o˜es para que
os alunos possam aprender tal conteu´do. Isso envolveria uma maior carga hora´ria, a adoc¸a˜o de cursos
preparato´rios do tipo pre´-ca´lculo (na universidade) e de cursos de reforc¸o em se tratando de alunos do
esnino fundamental, me´dio e infantil (me´todo Kumon, por exemplo). E´ preciso tambe´m se conscientizar
de que aprender matema´tica (da mesma forma que aprender a tocar piano) requer uma dose extrema de
esforc¸o pessoal e que e´ aprendida a custas de muito suor e la´grimas. Na˜o ha´ nenhuma pedagogia capaz
de fazer algue´m aprender matema´tica livre do desconforto e da frustrac¸a˜o de ter que passar inu´meras
horas fazendo exerc´ıcios, repensando conceitos, errando, revisando e ... finalmente aprendendo.
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Podemos estar caminhando para uma situac¸a˜o em que expor conceitos abstratos tornar-se-a´ um tabu
em nossas universidades onde, a semelhanc¸a do que ja´ ocorre no ensino fundamental, tudo tem que ser
feito de forma contextualizada de modo que o aluno consiga entender. E´ proibido ensinar qualquer coisa
que na˜o fac¸a refereˆncia a algo real vivenciado pelos alunos no seu dia-a-dia. E´ exatamente essa falta de
iniciac¸a˜o a um pensamento abstrato que impede o aluno de aprender matema´tica.
4 Sugesto˜es para atenuar o problema
Os problemas da educac¸a˜o superior no Brasil, no que diz respeito as disciplinas da matema´tica, e´ oriundo
da situac¸a˜o de penu´ria do ensino pre´-universita´rio, hoje dividido em ensino fundamental, me´dio e infantil.
O problema vem la´ de tra´s com as sucessivas reformas da educac¸a˜o engendradas pelo MEC e levadas a
cabo por diretores de escolas e especialistas das mais variadas a´reas da educac¸a˜o e pedagogia que, por na˜o
terem uma formac¸a˜o matema´tica adequada, impedem qualquer movimento em direc¸a˜o a uma matema´tica
abstrata. Tolhe-se assim toda uma gerac¸a˜o de jovens ao direito que eles tem de desenvolver abstrac¸a˜o
matema´tica sob o pretexto de que como os alunos na˜o conseguem aprender e´ necessa´rio reformular o
ensino da matema´tica bem como os curr´ıculos.
Tal fenoˆmeno na˜o ocorreu somente no Brasil, tendo-se verificado tambe´m nos EUA e Canada´. O
fracasso do programa da matema´tica moderna nesses pa´ıses, devido em parte a ma´ vontade e a inter-
pretac¸o˜es tendenciosas de educadores como Morris Kline 3, repercute ate´ hoje visto que, no lugar da
matema´tica moderna, o que se tem nas escolas de la´ e´ uma matema´tica contextualizada, desinteressante
e med´ıocre. Digo isso com propriedade pois tive uma breve experieˆncia de ensino em escolas de Toronto
e do Brooklyn (NY). A ana´lise do curr´ıculo de matema´tica adotados nas cidades de Toronto e New York
esta˜o muito longe de dar aos alunos uma formac¸a˜o matema´tica so´lida, situac¸a˜o bem similar a nossa. O
que esperar enta˜o do desempenho dos nossos alunos universita´rios quando o que se da´ a eles na educac¸a˜o
fundamental e´ uma formac¸a˜o matema´tica med´ıocre?
Acredito que a formac¸a˜o dos nossos jovens no ensino pre´-universita´rio deva ser centrada no ensino do
portugueˆs e da matema´tica. O ensino da l´ıngua ma˜e, com uma pra´tica intensa de interpretac¸o˜es de texto,
e o ensino da matema´tica com a devida atenc¸a˜o dada a abstrac¸a˜o sa˜o as condic¸o˜es necessa´rias para o
sucesso em qualquer outra disciplina. Dessa forma, torna-se urgente que a comunidade dos matema´ticos
advogue mais tempo para o ensino de matema´tica nas escolas. Isso e´ o que ocorre nas escolas do Brooklyn
(NY) onde os alunos da se´tima e oitava se´ries tem aulas dia´rias de matema´tica com tempo de 90 minutos.
La´, o tempo alocado as outras disciplinas fica subordinado as necessidades do ensino do ingleˆs e da
matema´tica.
Voltando ao ensino superior, na˜o fac¸o concluso˜es mas deixo a discussa˜o em aberto a aqueles que real-
mente conhecem a matema´tica e esta˜o dispostos a melhorar seu ensino sem que se retire da matema´tica
o que ela tem de mais prazeiroso: a abstrac¸a˜o. Como linhas ba´sicas nessa discussa˜o apontaria
(i) a necessidade de se observar o que os matema´ticos consideram como condic¸a˜o necessa´ria para se apren-
der matema´tica, i.e. a pra´tica de exerc´ıcios e a consequente aquisic¸a˜o de uma maturidade matema´tica.
(ii) o reconhecimento de que o processo de aprender matema´tica e´ a´rduo, dif´ıcil e necessita grande ded-
icac¸a˜o e esforc¸o dos alunos. Qualquer me´todo de ensino que se proponha a tornar o ensino da matema´tica
mais ameno a custas de negligenciar a abstrac¸a˜o matema´tica leva a um ensino med´ıocre desta disciplina.
(iii) o reconhecimento que quaisquer reviso˜es ou mudanc¸as que afetem o ensino das disciplinas da
3Ver Why Johnny Can’t Add? : The Failure of the New Math. Saint Martin Press, New York, 1973
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matema´tica devem ser feitas observando o pr´ıncipio fundamental da sec¸a˜o 3. Afinal, quem estabelece
o que e´ a matema´tica e o que e´ relevante de ser aprendido e´ unicamente a comunidade dos matema´ticos.
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