Aula 02 Dimensionamento de Elementos Lineares à Força Cortante

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Aplicações de Estruturas de Concreto Armado - Profª. Hileana Fernandes
Aplicações de Estruturas de 
Concreto Armado
Aula 02:
Dimensionamento de Elementos Lineares à
Força Cortante
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Conceito
• No dimensionamento de uma viga de Concreto Armado 
geralmente o primeiro cálculo feito é o de determinação das 
armaduras longitudinais de flexão. O dimensionamento 
da armadura transversal para resistência à força 
cortante é geralmente feito em seguida. 
• O dimensionamento à força cortante é muito importante, 
pois a ruptura de uma viga nunca deve ocorrer por efeito de 
força cortante, por ser freqüentemente violenta e frágil. 
Modelos de Cálculo
• Existe uma infinidade de teorias e modelos para análise de 
vigas de concreto sob força cortante, desenvolvidos 
geralmente com base na analogia de treliça ou de campos de 
compressão de concreto.
• Destaques:
– Modelo de treliça clássica;
– Modelo de treliça generalizada.
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• O modelo inicial de treliça, desenvolvido por RITTER e 
MÖRSCH, tem sido adotado pelas principais normas do 
mundo como a base para o projeto de vigas à força 
cortante. 
Modelos de Cálculo – Norma Brasileira
• No caso específico da norma brasileira NBR 6118, ela 
admite dois modelos para cálculo da armadura transversal 
resistente à força cortante nas vigas:
– Modelo de Cálculo I - treliça clássica de Ritter-Mörsch, que 
pressupõe ângulo fixo θ = 45° para a inclinação das diagonais 
comprimidas (bielas de concreto);
– Modelo de Cálculo II - admite a chamada “treliça 
generalizada”, onde o ângulo θ pode variar de 30° a 45.
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Regiões de análise
• As vigas usuais de concreto armado são constituídas, 
basicamente, por regiões contínuas (regiões B). Todavia, 
regiões descontínuas (regiões D) ocorrem nas 
proximidades dos pontos de aplicação de força (reações de 
apoio e forças concentradas).
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Comportamento resistente
• Considere a viga biapoiada 
submetida a duas cargas 
concentradas iguais e 
eqüidistantes dos apoios:
– Nos trechos entre as cargas 
o único esforço solicitante é
o momento fletor;
– Nos trechos de 
comprimento a atuam 
momento fletor e esforço 
cortante.
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• Elemento infinitesimal entre as 
cargas
– A tensão normal ssssx é obtida 
em função do momento fletor:
• Abaixo da LN: ssssx é positiva 
(tração);
• Acima da LN: ssssx é negativa 
(compressão).
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– A componente ssssy é
desprezada na teoria de vigas 
esbeltas. ssssx – tensão
principal.
• Nos trechos onde há esforço cortante:
– Surgem tensões de cisalhamento ttttxy=ttttyx;
– ssssx e ttttxy são obtidas em função do momento fletor e do 
esforço cortante com as fórmulas clássicas da Resistência dos 
Materiais;
– As tensões principais ssss1 e ssss2 estão inclinadas em relação ao 
eixo da viga.
– Na altura da LN, 
o ângulo de inclinação 
θ=45º.
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– Até a primeira fissura, a viga se encontra no Estádio I – Análise 
clássica;
– Quando a tensão principal ssss1 atinge a resistência à tração do 
concreto, surge uma fissura inclinada e a viga entra no
Estádio II.
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Trajetórias das 
tensões principais
– Trecho entre as cargas: fissuras verticais – cortante nulo;
– Trecho entre carga e apoio: fissuras inclinadas;
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Estádio I
Seções fissuradas – Estádio II
Perto dos apoios – Estádio I
Quase toda a extensão –
Estádio II
Modos de ruína
• Numa viga de concreto armado submetida a flexão 
simples, vários tipos de ruína são possíveis, entre as quais: 
1. ruínas por flexão; 
2. ruptura por falha de ancoragem no apoio;
3. ruptura por esmagamento da biela; 
4. ruptura da armadura transversal; 
5. ruptura do banzo comprimido devida ao cisalhamento;
6. ruína por flexão localizada da armadura longitudinal. 
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1. Ruína por flexão
• Nas vigas dimensionadas nos domínios 2 ou 3, a ruína 
ocorre após o escoamento da armadura, ocorrendo 
abertura de fissuras e deslocamentos excessivos (flechas), 
que servem como “aviso” da ruína. 
• Nas vigas dimensionadas no domínio 4, a ruína se dá pelo 
esmagamento do concreto comprimido, não ocorrendo 
escoamento da armadura nem grandes deslocamentos, o 
que caracteriza uma “ruína sem aviso”. 
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2. Ruptura por falha de ancoragem no apoio
• A armadura longitudinal é altamente solicitada no apoio, em 
decorrência do efeito de arco. 
• No caso de ancoragem insuficiente, pode ocorrer o colapso 
na junção da diagonal comprimida com o banzo tracionado, 
junto ao apoio. 
• Ruptura brusca;
• O deslizamento da armadura, pode causar ruptura por 
cisalhamento da alma. No entanto, a ruptura não decorre 
da força cortante, mas sim da falha na ancoragem do 
banzo tracionado na diagonal comprimida, nas 
proximidades do apoio. 
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• Efeito de arco:
– O efeito de arco ocorre nas regiões D próximas aos apoios, 
para onde as forças (concentradas ou distribuídas) são 
conduzidas diretamente por um campo de tensões de 
compressão em forma de arco. 
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– Nas vigas usuais, o efeito de arco 
pode absorver então uma parcela das 
ações atuantes;
– Provoca um aumento da resistência 
ao cisalhamento em vigas compactas;
– Contudo, ressalta-se que o arco 
precisa se apoiar em um banzo 
tracionado bastante rígido.
3. Ruptura por esmagamento da biela
• No caso de seções muito pequenas para as solicitações 
atuantes, as tensões principais de compressão podem atingir 
valores elevados, incompatíveis com a resistência do 
concreto à compressão com tração perpendicular (estado 
duplo). Tem-se, então, uma ruptura por esmagamento do 
concreto (ver figura).
• A ruptura da diagonal comprimida determina o limite 
superior da capacidade resistente da viga à força 
cortante, limite esse que depende, portanto, da resistência 
do concreto à compressão. 
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4. Ruptura da armadura transversal
3. Ruptura por esmagamento da biela
4. Ruptura da armadura transversal
• Corresponde a uma ruína por cisalhamento, decorrente 
da ruptura da armadura transversal (ver figura slide 
anterior).
• Tipo mais comum de ruptura por cisalhamento, resultante 
da deficiência da armadura transversal para resistir às 
tensões de tração devidas à força cortante, o que faz 
com que a peça tenha a tendência de se dividir em duas 
partes. 
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5. Ruptura do banzo comprimido devida ao 
cisalhamento
• No caso de armadura de cisalhamento insuficiente, essa 
armadura pode entrar em escoamento, provocando intensa 
fissuração (fissuras inclinadas), com as fissuras invadindo 
a região comprimida pela flexão. 
• Isto diminui a altura dessa região comprimida e 
sobrecarrega o concreto, que pode sofrer esmagamento, 
mesmo com momento fletor inferior àquele que provocariaa ruptura do concreto por flexão (ver figura). 
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5. Ruptura do banzo comprimido
devida ao cisalhamento
6. Ruína por flexão localizada
da armadura longitudinal
6. Ruína por flexão localizada da armadura 
longitudinal
• A deformação exagerada da armadura transversal pode 
provocar grandes aberturas das fissuras de 
cisalhamento. O deslocamento relativo das seções 
adjacentes pode acarretar na flexão localizada da armadura 
longitudinal, levando a viga a um tipo de ruína que também 
decorre do cisalhamento (ver figura no slide anterior). 
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Modelo de treliça
• O modelo clássico de treliça foi idealizado por Ritter e 
Mörsch, no início do século XX, e se baseia na analogia 
entre uma viga fissurada e uma treliça. 
• Considerando uma viga biapoiada de seção retangular, 
Mörsch admitiu que, após a fissuração, seu comportamento 
é similar ao de uma treliça, formada pelos elementos:
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• Banzo superior – cordão de concreto comprimido; 
• Banzo inferior – armadura longitudinal de tração; 
• Diagonais comprimidas – bielas de concreto entre as fissuras; 
• Diagonais tracionadas – armadura transversal (de 
cisalhamento). 
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Modelo de treliça – Hipóteses básicas
• Essa analogia de treliça clássica considera as seguintes 
hipóteses básicas: 
– fissuras, e portanto as bielas de compressão, com inclinação 
de 45°; 
– banzos paralelos; 
– treliça isostática; portanto, não há engastamento nos nós, ou 
seja, nas ligações entre os banzos e as diagonais; 
– armadura de cisalhamento com inclinação entre 45° e 90°. 
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Modelo de treliça – imperfeições da analogia
• Porém, resultados de ensaios comprovam que há
imperfeições na analogia e treliça clássica. Isso se deve 
principalmente a três fatores: 
– a inclinação das fissuras é menor que 45°; 
– os banzos não são paralelos; há o arqueamento do banzo 
comprimido, principalmente nas regiões dos apoios; 
– a treliça é altamente hiperestática; ocorre engastamento das 
bielas no banzo comprimido, e esses elementos comprimidos 
possuem rigidez muito maior que a das barras tracionadas. 
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Modelo de treliça
• Para um cálculo mais refinado, tornam-se necessários 
modelos que considerem melhor a realidade do problema. 
Por esta razão, como modelo teórico padrão, adota-se a 
analogia de treliça, mas a este modelo são introduzidas 
correções, para levar em conta as imprecisões verificadas. 
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Dimensionamento ao esforço cortante –
Treliça de Mörsch
• Nesse modelo imagina-se que, após a fissuração, o esforço 
cortante é equilibrado pela associação:
– bielas comprimidas de concreto;
– diagonais tracionadas acompanhando as trajetórias das 
tensões principais – estribos;
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• No modelo original, Mörsch admitiu que as bielas de 
compressão estivessem inclinadas a 45º em relação ao eixo 
da viga – Treliça Clássica:
– sabe-se que a teoria clássica da treliça fornece uma armadura 
transversal superior à necessária.
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Estribos
inclinados
Estribos
verticais
Treliça generalizada de Mörsch
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• Na figura indica-se um trecho de viga submetido ao esforço 
cortante V
d
e a treliça em seu interior:
– Ângulo de inclinação das bielas – θ;
– Ângulo dos estribos – α; 
– Braço de alavanca obtido no dimensionamento à flexão 
simples – z;
– Distância entre duas bielas sucessivas:
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Região fissurada por ação de MSd e VSd
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• Considerando o equilíbrio da seção:
– a força resultante das tensões e compressão na diagonal 
comprimida pode ser escrita como :
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– A tensão na diagonal comprimida:
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Reescrevendo:
A ruína da viga, no caso de ruptura da diagonal comprimida, 
pode ocorrer de modo típico à ruína por força cortante-tração, 
com a tração provocada pela aderência com os estribos. 
Considerando: 
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Fator de redução da resistência de cálculo do concreto
indicado no CM – CEB-FIP (1990), em virtude das
tensões no concreto não serem uniformes.
Coeficiente que leva em conta a redução de resistência
do concreto em região com tração na direção 
perpendicular, que é o caso da diagonal comprimida. 
• No caso de se adotar o Modelo Clássico da Treliça, com o 
ângulo de inclinação da diagonal comprimida θ = 45º e 
estribos perpendiculares ao eixo longitudinal do elemento 
estrutural (α = 90º), resulta: 
• A equação é a indicada na ABNT NBR 6118:2003 para a 
verificação da compressão da diagonal comprimida quando 
se adota o Modelo de Cálculo I. 
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Equação para cálculo da área da armadura transversal
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• Analisando o polígono de força em equilíbrio e observando 
que a força Rsw é a resultante das tensões de tração nos 
estribos inclinados de ângulo α em relação ao eixo 
longitudinal da viga, distribuídos no comprimento indicado, 
pode-se escrever: 
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• A força resistente de um estribo é calculada por: 
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• Pelo esquema de distribuição das barras da armadura 
transversal, o número de barras da armadura transversal 
distribuídas no trecho de comprimento ac pode ser calculado 
por: 
– sendo que s é o espaçamento entre os estribos medido ao 
longo do eixo do elemento estrutural linear. 
• Considerando:
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• A força resistente resultante é dada:
• Manipulações matemáticas:
• No caso do Modelo I no qual se adota θ = 45º a equação 
pode ser escrita como: