Projeto de Automóvel - Encontrar a Equação de Movimento em Forma Matricial pelo Método Lagrangeano.

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO 
CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
 
VIBRAÇÕES MECÂNICAS 
 
PROJETO AUTOMOTIVO 
 
 
 
ALUNAS: Amanda Rodrigues Carneiro 
 Beatriz de Lima Rio 
 Emilly Cristine Pereira da Silva 
 Emilly Correa Santiago 
 Jéssica Monfort Pereira Câmara 
 Júlia Oliveira Pontual 
 Marilaine Moreira de Lima 
PROFESSOR: Everaldo Feitosa 
 
 
 
 
ABRIL DE 2014
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SUMÁRIO 
 
 
1. Sistema Mecânico......................................................................................................02 
1.1 Vibrações Mecânicas............................................................................................02 
1.2 Modelo 1/4 de Veículo.........................................................................................03 
2. Conceitos....................................................................................................................05 
2.1 Grau de Liberdade................................................................................................05 
2.2 Coordenadas Generalizadas.................................................................................06 
3. Equações de Movimento............................................................................................06 
3.1 Método Lagrangeano...........................................................................................06 
4. Problema Proposto....................................................................................................07 
5. Referências Bibliográficas..........................................................................................11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Projeto de Automóvel 
 
 
1. Sistema Mecânico 
Um sistema mecânico é composto por massas, molas e amortecedores, conectados entre si, 
ou a uma estrutura fixa. 
 
Mola 
Peça que possui flexibilidade elástica relativamente alta, isto é, que apresenta grandes 
deformações quando solicitada. A mola opõe-se à força que a ela está aplicada, 
armazenando energia potencial elástica. A rigor, no entanto, todas as peças possuem 
alguma flexibilidade, já que não existe o corpo totalmente rígido. 
 
Amortecedor 
Chama-se amortecimento o processo pelo qual a energia é retirada do sistema elástico. A 
energia é consumida por atrito entre as peças móveis do sistema e/ou pelo atrito interno 
entre as moléculas das peças do sistema, havendo uma dissipação de energia mecânica sob 
a forma de calor e/ou som. Um amortecedor é o componente do sistema mecânico que 
dissipa energia mecânica do mesmo. Na modelagem, consideramos que o amortecedor não 
tem nem massa e nem rigidez. 
 
Massa 
É considerada como um corpo rígido, podendo ganhar ou perder energia cinética conforme 
sua velocidade aumente ou diminua. 
 
1.1 Vibrações Mecânicas 
Vibração Mecânica é o resultado da transformação contínua de energia cinética, 
armazenada na massa, em energia potencial elástica, armazenada na mola, e vice-versa 
(Figura 1). Essa oscilação cíclica da energia pode ser explicada como o movimento periódico 
de uma massa. 
No sistema automotivo, dispomos de amortecedores para dissipar a energia armazenada no 
sistema de forma a eliminar as oscilações. 
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Figura 1: Representação Esquemática da Transformação Contínua de Energia. 
 
 
A exposição prolongada e repetida à vibração é nocivo à saúde humana, além de 
comprometer a segurança dos passageiros devido à redução da vida útil de diversos 
componentes mecânicos. 
 
 
1.2 Modelo 1/4 de Veículo , Quarter Car 
O Modelo ¼ de Veículo, Figura 2, é um modelo simplificado, ou clássico, linear de dinâmica 
vertical, que é utilizado como primeira aproximação em projeto de automóvel. 
Trata do comportamento do veículo e dos seus ocupantes quando submetidos a excitações 
provenientes do ambiente em que o veículo trafega - fontes externas como piso, 
movimentação de ar - ou provenientes de fontes embarcadas rotativas no veículo, fontes 
internas como motor, montagem pneu/roda, transmissão. Essas vibrações são filtradas pelo 
sistema de suspensão, resposta dinâmica do veículo, e chegam aos passageiros na forma de 
sensações tácteis, visuais e/ou audíveis. 
Energia 
Cinética 
Energia 
Potencial 
Transformação Contínua 
Massa Mola 
Vibração Mecânica 
 
Energia 
Dissipativa 
Amortecedor 
Equipamento Mecânico que Armazena Energia 
Equipamento Mecânico que Dissipa Energia 
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Figura 2: Modelo ¼ de Veículo 
 
 
Considerações 
 Existem três massas/corpos que se deslocam na posição vertical. Estas três funções 
deslocamento são independentes entre si e suficientes - quantidade mínima - para 
determinar completamente o estado físico deste sistema, ou seja, para estudar e 
caracterizar as vibrações que o sistema sofre quando é excitado. Logo, temos para 
este modelo três graus de liberdade; 
 Massa suspensa é representada por 1/4 do corpo do veículo e um ocupante; 
 Massa não suspensa é representada pela roda; 
 A roda está em contato direto com o solo por meio de uma mola, que representa a 
rigidez do pneu; 
 
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 Em certos estudos, um amortecedor é incluído para representar o pequeno 
amortecimento inerente à natureza visco-elástica dos pneus. Mas na maior parte 
dos estudos este é desprezado, pois sua magnitude é usualmente muito inferior a da 
suspensão, além de simplificar o processo de cálculo; 
 É assumida a condição de que a roda está sempre em contato com o piso, o que não 
é totalmente verdade, pois para frequências mais elevadas tal não acontece. E que 
este contato é pontual; 
 É adotado que o veículo desloca-se numa trajetória retilínea. 
 
Vantagens 
 Simples, permitindo trabalhar o modelo de forma a compreender o fenômeno; 
 Possui boa representação quando há simetria; 
 Fornece informações qualitativamente corretas. 
 
Limitações 
 Estudos de dinâmica somente na direção vertical, não oferecendo qualquer 
possibilidade de estudo longitudinal ou lateral; 
 Não contém nenhuma representação dos efeitos geométricos do veículo; 
 Devido às simplificações, dificilmente oferece condições para implicações em projeto 
de engenharia, sendo normalmente utilizado como ferramenta de pré-projeto. 
 
 
2. Conceitos 
2.1 Grau de Liberdade 
Grau de Liberdade, Degrees of Freedom, é o número mínimo de coordenadas 
cinematicamente independentes requeridas para determinar completamente as posições 
de todas as partes de um sistema a qualquer instante. 
 
 
 
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2.2 Coordenadas Generalizadas 
As equações de movimento de um sistema vibratório podem ser formuladas em vários 
sistemas de coordenadas diferentes. Como explicado no item anterior, são necessárias n 
coordenadas independentes para descrever um modelo com n graus de liberdade. Qualquer 
conjunto de n coordenadas independentes é denominado coordenadas generalizadas, as 
quais podem ser: comprimentos, ângulos ou qualquer outro conjunto de números de defina 
a configuração do sistema a qualquer instante. Elas também são independentes das 
condições de restrição. 
Deve ficar claro que a escolha de um conjunto de coordenadas generalizadas não é única. 
Quantidades cinemáticas como deslocamento, velocidade e aceleração são escritas em 
função das coordenadas generalizadase de suas derivadas temporais. 
 
 
3. Equações de Movimento 
3.1 Método Lagrangeano 
As equações de movimento de um sistema vibratório frequentemente podem ser deduzidas 
de uma maneira simples com a utilização de equações de Lagrange. Em muitos casos, a 
utilização das equações de Lagrange é mais vantajosa para o trabalho analítico, pois evita a 
construção de diagramas de corpo livre para cada elemento do sistema. 
Para um sistema com n graus de liberdade, as equações de Lagrange podem ser escritas 
como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Equação (1) representa um sistema de n equações diferenciais, cada uma correspondente 
a uma coordenada generalizada. Onde: 
 
 
 
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 : Coordenada generalizada; 
 : Velocidade generalizada; 
T: Energia Cinética Total 
U: Energia Potencial Total 
D: Função Dissipação de Energia 
 : força aplicada na coordenada do sistema; 
 
 
Nas Equações (2), (3) e (4), encontramos as fórmulas da Energia Cinética Total, Energia 
Potencial Total e Função Dissipação de Energia, respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4. Problema Proposto 
Encontrar a Equação de Movimento em Forma Matricial da figura abaixo pelo Método 
Lagrangeano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerações 
 Temos o modelo estrutural de um ¼ de automóvel ou quarter car, com três graus de 
liberdade, visto que precisamos de três coordenadas para descrever o movimento. 
 = 0 pois não há forças externas neste modelo. 
 A equação de movimento será descrita por um sistema de equações diferencias do 
tipo: , sendo M, C e K as matrizes de massa, amortecimento e 
rigidez do sistema. 
 
 
 
 
 
 
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Formulação das Equações de Energia 
Energia Cinética Total 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Energia Potencial Total 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dissipação de Energia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilização da Equação de Lagrange 
 
 
 
 
Coordenada x1 
 
 
 
Coordenada x2 
 
 
 
Coordenada x3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Simplificando, temos que: 
 
MW. 1 + (KT+KP).x1 – KP.x2 – CP. 2 + CP 1 = 0 
MB. 2 – KP.x1 + (KP+KS).x2 - KS.x3 – CP 1 + (CP+CS). 2 – CS. 3 = 0 
MD. 3 + KS.x3 – KS.x2 + CS. 3 – CS. 2 = 0 
 
Equação de Movimento na Forma Matricial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 + 
 – 
– 
 – 
 
 
 
 
 + 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS 
 
[1] SILVA, Samuel. Notas de Aulas de Vibrações Mecânicas. Foz do Iguaçu: 
Universidade Estadual do Oeste do Pará, 2008. 132 p. 
[2] Luís Mauro Pereira Freitas Jr. Estudo da Dinâmica Vertical de uma 
Suspensão Veicular do tipo Macpherson. São Carlos: USP, 2006. 139 p. 
Dissertação (Mestrado). 
[3] GONÇALVES, Humberto Filipe da Costa. Análise de Vibrações de Sistemas 
Integrados para Veículos Elétricos. Universidade do Minha, 2012. 139 p. 
Dissertação (Mestrado). 
[4] S. Rao. Vibrações Mecânicas. Prentice Hall, 4º editição, 2008.