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* * * UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS DA SAÚDE FACULDADE DE FARMÁCIA DISCIPLINA: INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS DE ANÁLISES DE DADOS Prof. Antonio dos Santos Silva Matemática Unidade III: Derivadas * * * Unidade III: Derivadas 1- O Problema da Reta Tangente P(x1,y1) Q(x2,y2) y1 y2 x1 x2 x x y s y A reta secante a um par de pontos P e Q de uma dada curva s pode ser genericamente representada como segue: O coeficiente angular da reta s é dado por: * * * Unidade III: Derivadas 1- O Problema da Reta Tangente A reta tangente a um ponto P da curva s pode ser tomada como uma reta secante que sofreu as seguintes operações: Mantém-se P fixo e se faz Q se mover no sentido anti-horário sobre a curva s em direção a P. A medida que Q vai se aproximando cada vez mais de P, a inclinação da secante tende para um valor limite. A inclinação da reta s irá variar. Esse valor limite, é chamado inclinação da reta tangente à curva s, no ponto P. * * * Unidade III: Derivadas 1- O Problema da Reta Tangente y1 y2 x1= x2 x y Assim, a reta tangente a uma curva em um ponto P pode ser encarada como o limite de uma reta secante a esta curava em dois pontos, P e Q, quando esses pontos tendem a serem coincidentes. * * * Unidade III: Derivadas 1- O Problema da Reta Tangente Pode-se definir formalmente a reta tangente a curva s da seguinte maneira: ▪ Dada uma curva y = f(x), seja P(x1,y1) um ponto sobre ela. A inclinação da reta tangente à curva no ponto P é dada por: Quando o limite existe. * * * Unidade III: Derivadas 1- O Problema da Reta Tangente ▪ Fazendo-se: ▪ Pode-se escrever a equação anterior como: ▪ A equação anterior é a definição matemática formal do coeficiente angular para a reta tangente. * * * Unidade III: Derivadas 1- O Problema da Reta Tangente Exemplo 1: Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = x2 – 2x + 1 no ponto (x1, y1). Solução * * * Unidade III: Derivadas 1- O Problema da Reta Tangente Solução ▪ Usando a definição de coeficiente angular de uma reta: * * * Unidade III: Derivadas 1- O Problema da Reta Tangente Exercitando-se 1- Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = x2 – 2x + 1 no ponto (1, 1). 2- Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = x2 no ponto (1, 1). 3- Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = 2/x no ponto (2, 1). 4- Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = x1/2 nos pontos (1, 9), (1, 4) e (1, 1). * * * Unidade III: Derivadas 2- Definição Formal de Derivada A derivada de uma função f(x) no ponto x1, simbolicamen-te designada por f’(x1), é definida pelo seguinte limite: O limite acima dá a inclinação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto (x1, f(x1)). Portanto, geometricamente, a derivada de uma função representa o coeficiente angular da reta tangente à curva neste ponto. * * * Unidade III: Derivadas 2- Definição Formal de Derivada Deve-se esta definição ao ilustre matemático Pierre de Fermat. Pierre de Fermat * * * Unidade III: Derivadas 2- Definição Formal de Derivada Exemplo 1: Determine a derivada da função y = 4,9. x2. Solução * * * Unidade III: Derivadas 2- Definição Formal de Derivada Exemplo 1: Determine a derivada da função y = 4,9. x2. Solução * * * Unidade III: Derivadas 2- Definição Formal de Derivada Solução * * * Unidade III: Derivadas 2- Definição Formal de Derivada Exercitando-se 1- Determine a derivada da função y = x + x2. 2- Determine a derivada da função f(x) = - x2. 3- Determine a derivada da função f(x) = - 2,5. x2. 4- Determine a derivada da função y = x1/2. 3- Taxas Instantâneas Como Derivadas A taxa de variação de uma função f(x) em um instante c qualquer é o valor numérico de sua derivada no ponto c considerado. * * * Unidade III: Derivadas 3- Taxas Instantâneas Como Derivadas Por essa razão, a velocidade é a derivada da função posição; a aceleração é a derivada da função velocidade; etc. 4- Significado do Sinal de f’(x) Se uma função f(x) é derivável em x = c, então: * * * Unidade III: Derivadas 4- Significado do Sinal de f’(x) * * * Unidade III: Derivadas 5- Notações Para Derivadas A derivada de uma função f(x) pode ser representada através de algumas simbologias. O valor numérico de uma derivada de uma função f(x), para um ponto c, pode ser representada através de algumas simbologias. * * * Unidade III: Derivadas 6- Regras de Derivação Regra 1: Função constante. Regra 2: Função de Potências Inteiras Positivas Se f tem o valor constante f(x) = c, então Se n for um positivo inteiro, então * * * Unidade III: Derivadas 6- Regras de Derivação Exemplo 1: Determine as derivadas das seguintes funções: a) f(x) = 8. b) f(x) = -π/2. c) f(x) = 31/2. Solução a) f(x) = 8. b) f(x) = -π/2. c) f(x) = 31/2. Pratique: d) f(x) = k2. e) y = a3 * * * Unidade III: Derivadas 6- Regras de Derivação Exemplo 2: Determine as derivadas das seguintes funções: a) f(x) = x2. b) f(x) = x7. c) f(x) = x1/2. Solução a) f(x) = x2 b) f(x) = x7. c) f(x) = x1/2. Pratique: d) f(x) = x5. e) y = x3 * * * Unidade III: Derivadas 6- Regras de Derivação Regra 3: Multiplicação Por Constante. Observação Se u é uma função derivável de x e c é uma constante, então: * * * Unidade III: Derivadas 6- Regras de Derivação Exemplo 3: Determine as derivadas das seguintes funções: a) f(x) = 2.x2. b) f(x) = - x7. c) f(x) = 2.x1/2. Solução a) f(x) = 2.x2 b) f(x) = - x7. c) f(x) = 2.x1/2. Pratique: d) f(x) = 3.x5. e) y = -2.x3 * * * Unidade III: Derivadas 6- Regras de Derivação Regra 4: Derivada da Soma Se u e v são funções deriváveis de x, então a soma das duas u + v é derivável em qualquer ponto onde ambas são deriváveis. Nesses pontos, Regra 5: Derivada da Subtração Se u e v são funções deriváveis de x, então a soma das duas u - v é derivável em qualquer ponto onde ambas são deriváveis. Nesses pontos, * * * Unidade III: Derivadas 6- Regras de Derivação Exemplo 4: Determine as derivadas das seguintes funções: a) f(x) = x4 + 12x. b) f(x) = x7 – 5x. c) f(x) = x2 + 2x - 3. Solução a) f(x) = x4 + 12x. * * * Unidade III: Derivadas 6- Regras de Derivação Solução b) f(x) = x7 – 5x. c) f(x) = x2 + 2x - 3. * * * Unidade III: Derivadas 6- Regras de Derivação Exemplo 5: Determine as derivadas das seguintes funções: a) f(x) = x5 + 2x. b) f(x) = x9 – 15x. c) f(x) = x12 + x - 3. d) f(x) = -x4 + 2x. e) f(x) = x2 + 3x. f) f(x) = x3 + 3x - 4. Pratique! Regra 6: Derivada do Produto de Funções Se u e v são funções deriváveis de x, então o produto das duas u . v é derivável em qualquer ponto onde ambas são deriváveis. Nesses pontos, * * * Unidade III: Derivadas 6- Regras de Derivação Regra 7: Derivada da Divisão de Funções Se u e v são funções deriváveis de x, então o quociente das duas u / v é derivável em qualquer ponto onde ambas são deriváveis e v 0. Nesses pontos, * * * Unidade III: Derivadas 6- Regras de Derivação Exemplo 6: Determine as derivadas das seguintes funções: a) f(x) = x3.senx b) f(x) = cosx.senx c) f(x) = cosx/senx Solução a) f(x) = x3.senx g(x) = x3 h(x) = sen x g’(x) = 3x2 h(x) = cos x * * * Unidade III: Derivadas 6- Regras de Derivação b) f(x) = cos x. sen x Solução g(x) = cos x h(x) = sen x g’(x) = - sen x h’(x) = cos x * * * Unidade III: Derivadas 6- Regras de Derivação Solução c) f(x) = cosx/senx g(x) = cos x h(x) = sen x g’(x) = - sen x h’(x) = cos x * * * Unidade III: Derivadas 6- Regras de Derivação Solução * * * Unidade III: Derivadas 6- Regras de Derivação Regra 8: Derivada da Função Seno A derivada da função seno é a função cosseno. Regra 9: Derivada da Função Cosseno A derivada da função cosseno é a função seno vezes -1. * * * Unidade III: Derivadas 6- Regras de Derivação Regra 10: Derivadas de Outras Funções Trigonométricas * * * Unidade III: Derivadas 6- Regras de Derivação Regra 11: Derivada da Função Exponencial Observação: Para a base dos números e: * * * Unidade III: Derivadas 6- Regras de Derivação Regra 12: Derivada da Função Logarítmica Observação: Para a base dos números e: * * * Unidade III: Derivadas 6- Regras de Derivação Exemplo 7: Determine as derivadas das seguintes funções: Solução * * * Unidade III: Derivadas 6- Regras de Derivação Exemplo 8: Determine as derivadas das seguintes funções: Solução * * * Unidade III: Derivadas 7- Regra da Cadeia Quando uma função f(x) é uma composição de duas ou mais funções, isto é, quando f(x) é uma função de função, se tem: * * * Unidade III: Derivadas 7- Regra da Cadeia Exemplo 9: Determine as derivadas das seguintes funções: Solução * * * Unidade III: Derivadas 7- Regra da Cadeia * * * Unidade III: Derivadas 7- Regra da Cadeia Exemplo 10: Determine as derivadas das seguintes funções: Pratique! * * * Unidade III: Derivadas 8- Derivadas de Ordem Superior Se f’ for derivável, então sua derivada é denotada por f’’ e é denominada de derivada segunda de f. Essas derivadas em sucessão são denotadas por: A derivada f’ de uma função f é novamente uma função, que pode ter sua própria derivada. Enquanto tivermos diferenciabilidade, podemos conti-nuar o processo de derivação para obter as derivadas terceira, quarta, quinta, e até derivadas superiores de f. * * * Unidade III: Derivadas 8- Derivadas de Ordem Superior Exemplo 11: Determine as derivadas terceiras das seguintes funções: As regras para se determinar uma derivada de ordem superior são as mesmas para a derivada de 1ª ordem! * * * Unidade III: Derivadas 8- Derivadas de Ordem Superior Solução * * * Unidade III: Derivadas 8- Derivadas de Ordem Superior Solução * * * Unidade III: Derivadas 8- Derivadas de Ordem Superior Exemplo 12: Determine as derivadas quartas das seguintes funções: Pratique! * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.1- Velocidade Instantânea Em Física, define-se velocidade média como sendo a taxa temporal de variação da posição de um corpo: onde x é a posição do móvel e t o tempo considerado de movimento do corpo. Quando o interesse é a velocidade do móvel em um intervalo de tempo muito pequeno, isto é, quando t tende a zero, a velocidade média passa a ser a velocidade instantânea: * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.1- Velocidade Instantânea Exemplo 1: Seja x(t) = t3 – 6.t2 a função posição de uma partícula movendo-se ao longo de um eixo x, onde x está em metros, enquanto t é dado em segundos. Encontre a função velocidade instantânea para esse movimento. Solução * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.1- Velocidade Instantânea Exemplo 2: Seja x(t) = t5 – 4.t4 a função posição de uma partícula movendo-se ao longo de um eixo x, onde x está em metros, enquanto t é dado em segundos. Encontre a função velocidade instantânea para esse movimento. Exemplo 3: Seja x(t) = e-4.t a função posição de uma partí-cula movendo-se ao longo de um eixo x, onde x está em metros, enquanto t é dado em segundos. Encontre a fun-ção velocidade instantânea para esse movimento. Exemplo 4: Encontre a velocidade instantânea para t = 3 s para o móvel do exemplo 2 e para o móvel do exemplo 3. * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.2- Aceleração Instantânea Em Física, define-se aceleração média como sendo a taxa temporal de variação da velocidade de um corpo: onde v é a velocidade do móvel e t o tempo considerado de movimento do corpo. Quando o interesse é a aceleração do móvel em um intervalo de tempo muito pequeno, isto é, quando t tende a zero, a aceleração média passa a ser a aceleração instantânea: * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.2- Aceleração Instantânea Como a velocidade instantânea em sí já é a primeira derivada temporal da função posição, então a aceleração instantânea pode também ser vista como sendo a derivada segunda da posição em relação ao tempo. * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.2- Aceleração Instantânea Exemplo 1: Seja x(t) = t3 – 6.t2 a função posição de uma partícula movendo-se ao longo de um eixo x, onde x está em metros, enquanto t é dado em segundos. Encontre a função aceleração instantânea para esse movimento. Solução * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.2- Aceleração Instantânea Exemplo 2: Seja x(t) = t5 – 4.t4 a função posição de uma partícula movendo-se ao longo de um eixo x, onde x está em metros, enquanto t é dado em segundos. Encontre a função aceleração instantânea para esse movimento. Exemplo 3: Seja x(t) = e-4.t a função posição de uma partí-cula movendo-se ao longo de um eixo x, onde x está em metros, enquanto t é dado em segundos. Encontre a fun-ção aceleração instantânea para esse movimento. Exemplo 4: Encontre a aceleração instantânea para t = 3 s para o móvel do exemplo 2 e para o móvel do exemplo 3. * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.2- Aceleração Instantânea Exemplo 5: Seja v(t) = t5 – 4.t4 a função velocidade de uma partícula movendo-se ao longo de um eixo x, onde v está em m/s, enquanto t é dado em segundos. Encontre a função aceleração instantânea para esse movimento. Exemplo 6: Seja v(t) = e-4.t a função velocidade de uma partícula movendo-se ao longo de um eixo x, onde v está em m/s, enquanto t é dado em segundos. Encontre a fun-ção aceleração instantânea para esse movimento. Exemplo 7: Encontre a aceleração instantânea para t = 3 s para o móvel do exemplo 2 e para o móvel do exemplo 3. * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.3- Esboço de Gráficos de Funções A construção do esboço de um gráfico de uma função segue, de forma rigorosa, os seguintes passos: 1º Passo: Determinar o domínio da função. 2º Passo: Calcular os pontos de interseção do gráfico com os eixos coordenados. 3º Passo: Calcular os pontos críticos. 4º Passo: Determinar se existem pontos de máximo e mínimo. 5º Passo: Estudar a concavidade e determinar os pontos de inflexão. * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.3- Esboço de Gráficos de Funções 6º Passo: Determinar se a curva possui assíntota. 7º Passo: Faça o esboço do gráfico. Exemplo 1: Esboce o gráfico da seguinte função: Solução 1º Passo: Determinar o domínio da função. * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.3- Esboço de Gráficos de Funções Solução 2º Passo: Calcular os pontos de interseção do gráfico com os eixos coordenados. Não ocorre interseção do gráfico com os eixos coordenados. 3º Passo: Calcular os pontos críticos. * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.3- Esboço de Gráficos de Funções Solução 3º Passo: Calcular os pontos críticos. Pontos de inflexão * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.3- Esboço de Gráficos de Funções Solução 4º Passo: Determinar se existem pontos de máximo e mínimo. * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.3- Esboço de Gráficos de Funções Solução 4º Passo: Determinar se existem pontos de máximo e mínimo. Mínimo relativo de f(x). Máximo relativo de f(x). 5º Passo: Estudar a concavidade e determinar os pontos de inflexão. * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.3- Esboço de Gráficos de Funções Solução 5º Passo: Estudar a concavidade e determinar os pontos de inflexão. Por outro lado: f é côncava para cima em A e côncava para baixo em B. O gráfico não possui pontos de inflexão. * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.3- Esboço de Gráficos de Funções Solução 6º Passo: Determinar se a curva possui assíntota. * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.3- Esboço de Gráficos de Funções Solução 7º Passo: Faça o esboço do gráfico. * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.3- Esboço de Gráficos de Funções Exemplo 2: Esboce o gráfico das seguintes funções: Pratique! * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.4- Maximização de Funções Exemplo 1: Quadrados iguais são cortados de cada canto de um pedaço retangular de cartolina, medindo 8 cm de largura e 15 cm de comprimento. Uma caixa sem tampa é construída virando os lados cima. Determine o comprimento dos lados dos quadrados que devem ser cortados para a produção de uma caixa de volume máximo. * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.4- Maximização de Funções ▪ A altura da caixa é x; ▪ A largura é 8 - 2x; ▪ O comprimento é 15 – 2x; ▪ Observa-se que: 0 < x < 4. ▪ O volume será dado por: * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.4- Maximização de Funções ▪ Derivando e igualando a zero: * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.4- Maximização de Funções ▪ Como 6 não pertence ao intervalo [0; 4], logo apenas a raiz 1,67 serve! Ponto de Máximo! ▪ O estudo do sinal de V’(x) para esse ponto será: ▪ Então: * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.4- Maximização de Funções O volume máximo conseguido será igual a 90,74 cm3 Exemplo 2: Um tanque cônico de aço, sem tampa, tem capacidade de 1000 m3. Determine as dimensões do tanque que minimiza a quantidade de aço usada na sua fabricação. * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.4- Maximização de Funções ▪ A figura a seguir ilustra a geometria do problema. ▪ A área A do cone é: * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.4- Maximização de Funções ▪ A área A do cone é: ▪ O volume do tanque é: * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.4- Maximização de Funções ▪ Substituindo-se h na equação da área A: * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.4- Maximização de Funções ▪ Elevando-se ao quadrado A: * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.4- Maximização de Funções ▪ Derivando f(r) e igualando a zero: Ponto de Mínimo! * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.4- Maximização de Funções ▪ O valor da altura h correspondente será: Prove! ▪ As dimensões do tanque serão: r ≈ 8,773 m e h ≈ 12,407 m e A ≈ 418,8077 m2. Prove! * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.4- Maximização de Funções Exemplo 3: Implante de Vasos Sanguíneos. Suponha que um cirurgião necessite implantar um vaso sanguíneo em uma artéria, a fim de melhorar a irrigação em uma certa área. Como as quantidades envolvidas são pe-quenas, podemos considerar que vasos e artérias tem for-mato cilíndrico não elástico. Denotemos por A e B o início e o final da artéria e suponhamos que se deseje implantar o vaso em um ponto da artéria, de modo que a resistência ao fluxo sanguíneo entre A e B seja a menor possível. A lei de Poiseuille afirma que a resistência R do sangue no vaso é dada por: * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.4- Maximização de Funções onde d é o comprimento do vaso, r é o raio do vaso e k é uma constante positiva que depende da viscosidade do sangue. Qual o melhor ângulo para o implante? * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.4- Maximização de Funções Solução ▪ Sem que haja perda de generalidade, pode-se supor que r1 > r2 e α pertença ao intervalo [0, π/2]. ▪ Considerando d0 o comprimento do segmento BD, d1 o comprimento do segmento AC, d2 o comprimento do segmento CD, x o comprimento do segmento CB e β o ângulo < CAD: * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.4- Maximização de Funções ▪ A resistência total será: ▪ Observa-se que d0, r1, r2 e β são constantes. ▪ Considerando-se o desenho ilustrativo e se escrevendo R em função de α: * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.4- Maximização de Funções e ▪ Logo: ▪ Então: * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.4- Maximização de Funções ▪ Onde: e ▪ Então: Ponto crítico * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.4- Maximização de Funções ▪ Encontrando a 2ª derivada de R: ▪ Sabendo que: ▪ Tem-se que: * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.4- Maximização de Funções ▪ Onde: ▪ Logo, o melhor ângulo para se fazer o implante é: * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.5- Teorema de L’Hôpital ▪ Comumente, ao se estudar limites, aparecem expressões indeterminadas, como, por exemplo: ▪ Tal expressão apresenta a indeterminação do tipo 0/0. ▪ O teorema de L’Hôpital indica um método possível para se fazer tal tipo de indeterminação e se calcular o limite da expressão. * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.5- Teorema de L’Hôpital ▪ Sejam f e g duas funções deriváveis em um domínio D que pode ser um intervalo aberto ou uma reunião de intervalos abertos, exceto possivelmente em um ponto a e g(x) 0, para todo x a. 1- Se: e então: * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.5- Teorema de L’Hôpital 2- Se: e então: ▪ Este teorema também é válido para os limites laterais e para os limites no infinito. ▪ Este teorema também é válido as sucessivas derivadas das funções. * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.5- Teorema de L’Hôpital Exemplo 1: Calcule o seguinte limite: Solução * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.5- Teorema de L’Hôpital Exemplo 2: Calcule o seguinte limite: Solução * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.5- Teorema de L’Hôpital Exemplo 3: Calcule o seguinte limite: Solução * * * Unidade III: Derivadas 9- Aplicações de Derivadas 9.5- Teorema de L’Hôpital Exemplo 4: Calcule os seguintes limites: * * * Unidade III: Derivadas Prof. Antonio dos Santos Silva
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