PRECALCULO SLIDE 2014

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUI
UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL/CAPES
CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA E A DISTÂNCIA
LICENCIATURA EM FÍSICA
COORDENADORA DA DISCIPLINA: ELYS RAQUEL
PRÉ-CÁLCULOPRÉ-CÁLCULO
 
FRAÇÕES
NÚMEROS NATURAIS: 
São todos os números inteiros positivos, incluindo o 
zero.
 A representação matemática deste conjunto é:
N = {0,1,2,3,4,....}
NÚMEROS INTEIROS:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 
...}
A representação matemática deste conjunto é:
 
N Z
A representação matemática deste conjunto através de 
digrama e feita desta maneira.
NÚMEROS RACIONAIS
Como dividir um osso para dois cachorros?
“Para resolver isso foram criados os 
números fracionários.”
 
N Z Q
A representação matemática deste conjunto é feita 
desta maneira:




≠∈∈= 0 q Z, q Z, p ;
q
pQ
 
...14159,3
...41421,12
=
=
pi
NÚMEROS IRRACIONAIS
Números decimais que não são exatos nem dízimas periódicas.
Máximo Divisor Comum (MDC) de dois ou mais 
números naturais é o maior natural que é divisor 
ao mesmo tempo de todos eles.
Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de dois ou mais 
números naturais é o menor natural não-nulo 
que é múltiplo ao mesmo tempo de todos eles.
MMC E MDC
 
FRAÇÕES
DEFINIÇÃO:
Sendo a e b números naturais e b ≠ 0 (b diferente de zero), 
indicamos a divisão de a por b com o símbolo a : b ou, ainda, a/b.
Chamamos o símbolo a/b de fração.
Numerador indica quantas partes são tomadas do inteiro e o 
Denominador indica em quantas partes dividimos o inteiro. Sendo que 
este número inteiro deve ser diferente de zero.
 
LEITURA DE FRAÇÃO
 
TIPOS DE FRAÇÕES
Fração própria: o numerador é menor que o denominador: 2/3
Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador. 9/5
Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador. 8/4
 
FRAÇÕES EQUIVALENTES
Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte
 do todo.
Para encontrar frações equivalentes devemos 
multiplicar o numerador e o denominador por um 
mesmo número natural, diferente de zero.
Exemplo: Encontrar frações equivalentes a 1/2.
 
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES
 
 
 
 
 
 
40 2 20 2 10 2 5
56 2 28 2 14 2 7
÷ ÷ ÷
= = =
÷ ÷ ÷
Uma fração que não pode mais ser simplificada é 
irredutível.
 
REDUÇÃO DE FRAÇÃO
Reduzir frações a um mesmo denominador
1) Calcular o mmc dos denominadores
2)Determinam-se as frações equivalentes
 
COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES
Quem é o maior 5/9 ou 4/9 ?
Observe o gráfico da expressão:
Concluimos que
1)Frações com denominadores iguais, a maior delas é a que tem maior numerador
2)Frações com denominadores diferentes, reduzimos ao mesmo denominador. 
 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
● Quando as frações possuem o mesmo 
denominador:
Gastei 2/4 do dinheiro que tinha em alimentos e 1/4 em 
material de limpeza. Qual a fração que representa o total que 
gastei?
Observando o gráfico concluimos que:
 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
● Quando as frações possuem o denominador 
diferente:
Por exemplo 
Temos que e obtidos pelo 
.
Então 
 
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
Multiplica os numeradores entre si e os denominadores entre si.
 E se necessário usa simplificação.
multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda 
fração.
 
2- NÚMEROS DECIMAIS
São todos aqueles quepodem ser escritos na forma 
 ± p/10n , com p e n inteiros tais que p, n ≥ 0.
 
FRAÇÃO DECIMAL E NUMERAL 
DECIMAL
0,4 = 4 (uma casa decimal após a vírgula então, 
 um zero no denominador da fração)
0,32 = 32 (duas casas decimais após a vírgula, então,
 2 zeros no denominador da fração)
Frações decimais Numeros decimais
 
1ª Propriedade:
Um numeral decimal não se altera quando retiramos ou acrescentamos
Um ou mais zeros à direita da sua parte.
2ª Propriedade:
Para multiplicar um numeral decimal por 10, por 100, por 1000, etc, basta 
Deslocar a vírgula uma, duas, três, etc, casas decimais para a direita.
3ª Propriedade:
Para dividir um número decimal por 10,por 100,por 1000, etc, basta 
deslocar a vírgula uma, duas, três, etc, casas decimais para a 
esquerda.
1) 34,1 = 34,10 = 34,100 = 34,1000
2) 4,181 = 4,1810 = 4,18100 = 4,181000
1) 13, 4 × 10 = 134
2) 431,45 × 100 = 43145
1) 5,21 : 10 = 0,521
2) 434,25 : 100 = 4,3425
 
NOTAÇÃO CIENTÍFICA
 É uma forma de representar números muito grandes ou 
muito pequenos, baseada no uso de potências de base 
10.
 Expoentes positivos
Exemplo: 103 = 10 x 10 x 10 = 1000
Expoentes negativos
Exemplo: 10-3 = 0,001
 
 
 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE 
NÚMEROS DECIMAIS
Igualamos o número de casas decimais (acrescentando zeros);
Colocamos vírgula em baixo de vírgula;
Adicionamos ou subtraímos como se fossem números naturais.
 
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE 
DECIMAIS
Multiplicamos os números decimais como se fossem números 
naturais (esquecendo as vírgulas);
No produto, separamos, da direita para a esquerda, o total de 
casas decimais dos dois fatores.
 
DIVISÃO EXATA
Quando o numerador é maior que o denominador:
Efetua-se a divisão. Se houver resto, colocamos 0 do lado direito 
do resto para que ele fique maior que o divisor e colocamos 
vírgula a direita do quociente;
Seguimos a divisão normalmente.
 
Quando o numerador é menor que o denominador:
Acrescenta-se 0 do lado direito do dividendo (que é o 
nosso numerador) para que ele fique maior que o divisor 
(que é o denominador);
No quociente colocamos “0,”;
Agora com o dividendo maior que o divisor, seguimos a 
divisão normalmente.
 
POTENCIAÇÃO
a) Base positiva: potência positiva
b) Base negativa:
b.1) expoente par: potência positiva
b.2) expoente ímpar: potência negativa
81
16
3
2
3
2
4
44
==


813)3).(3).(3).(3()3( 44 ==−−−−=−
8
1
2
1
2
1.
2
1.
2
1
2
1 33
−=


−=


−


−


−=


−
Nota: caso em que a≠0, assumimos que,
a0 = 1
 
PROPRIEDADES DAS 
POTÊNCIAS
● Potência de mesma base:
P/ multiplicar, mantém-se a base e somam-se os expoentes
P/dividir, mantém-se a base e subtraem-se os expoentes
Potência de mesmo expoente:
an · bn = (ab)n .P/ multiplicar, mantém-se o expoente e multiplicam-se as bases
 
P/dividir, mantém-se o expoente e dividem-se as bases
Potência de Potência:
Mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes:
(am)n = am·n .
RADICIAÇÃO
É a operação inversa da potenciação
 
008,0)2,0(2,0
10
2
10
2
1000
8008,0
32)2(2)2(32
33
3
3
33
55 55
=→====
−=−→−=−=−
)R N, a(n 
aa
a *n
n
n ∈∈=


=
− 11
Expoente inteiro negativo
3
5
3
5
5
3
9
1
3
1
3
1)3(
11
2
2
2
−=


−=


−
==


=
−
−
 
Expoente Fracionário Racional
Z) m N R, n (a aa *n mn
m
∈∈∈= e 
27399
9
1
244)4(
32 32
32
3
2 12
1
====


===
−
 
Propriedades da Radiciação
a ) n√a⋅n√b=n√ab
b )
n√a
n√b
=n√ ab ( b≠0 )
c ) ( n√a )m= n√am
d ) n√m√ a=m n√a
e ) n√am=n p√ am p
 
SIMPLIFICANDO RADICAIS
Simplificar um radical é reduzir o radicando à sua expressão mais 
simples. Exemplos:
23632233223 
32233232883 b)
2222 8 a)
224
2425
236 336 36
=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅
=⋅⋅=⋅=
====
÷ ÷
 
RACIONALIZANDO 
DENOMINADORES
O processo geral consiste em multiplicar-se numerador e 
denominador por um mesmo fator (o que não altera a 
fração), chamado fator racionalizante.Ele é escolhido de 
forma a desaparecer a raiz do denominador.
( ) ( )
2
153
15
156
15
15
15
6
15
6
23
2
26
2
26
2
2
2
6
2
6
2
+
=
−
+
=
+
+
⋅
−
=
−
−=−=−=⋅−=−
)
)
b
a
Exemplos:
 
FATORAÇÃO
.
Fatorar é transformar uma soma ou diferença de duas ou mais 
parcelas como produto de dois ou mais fatores.
FATOR COMUM
Ax + bx + cx = x . (a + b + c)
O x é fator comum e foi colocado em evidência.
AGRUPAMENTO
ax + bx + ay + by
x( a + b) + y ( a+ b)
(a + b) .( x +y)
Nos dois primeiros temos “x em evidencia”
Nos dois últimos fomos “y em evidência”
 
DIFERENÇA DE QUADRADO
A diferença entre dois quadrados a2 -b2 é igual ao produto 
da soma a+b pela diferença a-b. Assim,
a2- b2 = (a+b)(a-b) 
 QUADRADO PERFEITO
O desenvolvimento da expressão (a + b)2,resulta no 
quadrado da primeira parcela, a2,somado com o dobro do 
produto das duas parcelas, 2ab, somado com o quadrado 
da segunda parcela, b2 , portanto,
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .
 
SOMA E DIFERENÇA DE CUBOS
A soma de dois cubos é igual ao produto do fator a + b 
pelo fator a2 − ab + b2 , isto é,
 
 a3 + b3 = (a + b) (a2 − ab + b2) 
 DIFERENÇA DE CUBOS
A diferença entre dois cubos é igual ao produto do 
fator a − b pelo fator a2 + ab + b2 ,isto é,
 
 a3 − b3 = (a − b) (a2 + ab + b2) 
 
 CUBO PERFEITO
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 
 
(a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 
O cubo da soma de duas parcelas é igual ao cubo da primeira parcela,
a3 , mais três vezes o quadrado da primeira pela segunda, 3a2 b, mais 
três vezes a primeira pelo quadrado do segundo, 3ab2 , mais o cubo da 
segunda parcela, b3 , portanto,
O cubo da diferença entre duas parcelas, (a − b)̧ 3, é igual ao cubo da
primeira parcela, a3 , menos três vezes o quadrado da primeira pela 
segunda,3a2 b, mais três vezes a primeira pelo quadrado do segundo, 
3ab2 , menos o cubo da segunda parcela, b3 , portanto,
 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
0=+ bax
bax −=
a
bx −= Raiz da equação de 1º grau.
 
Ex. 1) 2x + 10 = 0
 2x = - 10 
 x = - 10 / 2
 x = - 5 → Resposta: x = - 5
 2) 3x + 8 = 15
 3x = 15 – 8
 3x = 7
 x = 7 / 3 → Resposta: x = 7 / 3
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