CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III Aula 09

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Cálculo Diferencial e Integral III
Prof(a): Ana Lucia de Sousa
Aula 9
Objetivos
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Definir da Transformada de Laplace
Conhecer a Tabela 
Encontrar a Transformada Inversa
Resolver Problema de Valor Inicial
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TRANSFORMADA DE LAPLACE
Eq. diferencial Linear
Equação algébrica
Solução da eq. algébrica
Solução da eq. diferencial Linear
L
L-1
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Definição:
Seja f(t) uma função definida para todos os valores positivos de t e s um parâmetro real positivo. A transformada de Laplace da função f(t) é denotada e definida por:
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A função F(s) é chamada de a Transformada de Laplace da função original f(t).
Ela é representada por L[f(t)] ou L {f(t)}. 
A função f(t) é chamada de a transformada inversa
 de F(s) é será representada por
 L-1(F) → f(t) = L-1 {F(s)}. 
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Veja que calcular a transformada de uma função f(t) significa resolver uma integral imprópria da função f(t) multiplicada por uma exponencial.
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Exemplo usando a definição
Determine a Transformada de Laplace da função f(t)=1.
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Agora vamos calcular o limite
Cálculo da integral:
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Cálculo do limite:
0
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Tabela com algumas transformadas importantes
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Como calcular a Transformada de Laplace utilizando a tabela?
1. Determine a Transformada de Laplace da função
f(t) = 4t2 + 5t – 8.
L {f(t)} = L{4t2} + L{5t} – L{8}
L {f(t)} = L{4t2} + 5L{t} – L{8}
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F(s) = L {f(t)} = L{4t2} + 5L{t} – L{8}
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2. Determine a Transformada de Laplace da função
f(t) = 5cos2t + sen3t/4.
L {f(t)} = 5L{cos2t} + 1/4L{sen3t}
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3. Determine a Transformada de Laplace da função
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TRANSFORMADA INVERSA
Veja!
Já sabemos determinar a Transformada de Laplace de uma função, isto é, transformar uma função f(t) em outra função F(s). 
Agora vamos determinar a transformada inversa.
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Vamos determinar a transformada inversa do seguinte modo: Dada a função F(s) encontraremos uma função f(t) tal que a Transformada de Laplace seja a função F(s).
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Como calcular a Transformada inversa?
Notação: L-1 [F(s)] = f(t)
Determine a Transformada inversa da função
Vamos olhar na tabela a seguinte função:
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PROBLEMA DE VALOR INICIAL
Seja a equação diferencial ay”(t) + by’(t) + cy(t) = f(t).
Considere y(0) = α e y`(0) = β.
Precisamos da Transformada da derivada para determinarmos a transformada da equação diferencial. 
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TRANSFORMADA DA DERIVADA
Definição:
L[f`(t)] = s.L[f(t)] – f(0)
L[f”(t)] = s2.L[f(t)] – s.f(0) – f`(0)
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Vejamos um exemplo
Resolver a equação diferencial através de Laplace.
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Isolar na equação Y(s)
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Agora vamos determinar a transformada inversa da função Y(s).
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Fundamentos de Análise
Prof(a): Ana Lucia de Sousa
Atividade
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Determine a Transformada inversa da função
Vamos usar o método das funções racionais por frações parciais!
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