3a Lista de EDO e Séries Aplicações

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UNIFACS – Universidade Salvador 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Equações Diferenciais e Séries / Cálculo III 
 
3a Lista de Exercícios 
 
Algumas Aplicações de Equações Diferenciais 
 
Decaimento Radioativo 
 
O núcleo de um átomo é constituído por combinações de prótons e nêutrons e muitas dessas 
combinações são instáveis. Em muitos casos os átomos decaem e se transformam em átomos de outra 
substância e os núcleos são chamados de radioativos. Para modelar um decaimento radioativo vamos 
supor que a taxa segundo a qual o núcleo de uma substância decai é proporcional à quantidade de 
substância presente. 
Supondo que Q(t) é a quantidade de substância presente no instante t, temos que 
kQ
dt
dQ

, sendo k uma 
constante. 
 
A meia-vida de uma substância radiativa é o tempo que ela leva para chegar à metade do valor inicial. 
 
Veja na tabela a seguir alguns exemplos 
 
Substância Meia-vida 
Polônio 218 2 min 45 segundos 
Polônio 214 1,64 x 10 4 segundos 
Rádio 226 1620 anos 
Rádio 228 6,7 anos 
Rádio 223 11,68 dias 
Rádio 224 3,64 dias 
Estrôncio 90 28 anos 
 
 
1. Resolva a equação 
kQ
dt
dQ

, supondo que Q(0)=Q0. Mostre que se a meia vida de uma substância 
radioativa é tm, então 
mt
2ln
k 
 
 
2. Depois de três dias uma amostra de radônio-222 decaiu para 58% da sua quantidade original. Com base 
nesses dados, determine a meia-vida do radônio-222. 
 
3. Suponha que um acidente nuclear tenha elevado o nível de radiação por cobalto, em uma certa região, a 
100 vezes o nível aceito para a habitação humana, isto é, Qo = 100Qa, sendo Qa o nível aceito para a 
habitação humana. Ignorando a presença provável de outros elementos radioativos, determine quanto 
tempo deverá passar para que a região seja novamente habitável, sabendo que a meia-vida do cobalto 
radioativo é 5,27 anos. 
 
 
Datação por Radio Carbono 
 
Uma importante ferramenta na pesquisa arqueológica é a determinação da idade por radio carbono. Este é 
o modo de determinar a idade de certos restos de madeira, plantas, ossos humanos ou de animais, 
artefatos, etc. O procedimento foi desenvolvido pelo químico W. Libby (1908-1980) no início dos anos 50 e 
 2 
isso lhe deu o prêmio Nobel de Química em 1960. A determinação de idade por radio carbono está 
baseada no fato de que alguns restos de madeira ou plantas contém quantidades residuais de carbono 14 
– C14, isótopo radioativo de carbono. Este isótopo é acumulado durante a vida da planta e começa a decair 
com a sua morte. Uma vez que a meia vida do carbono 14 é longa (aproximadamente 5745 anos), 
quantidades mensuráveis de carbono 14 estão presentes após milhares de anos. Libby mostrou que se 
aproximadamente 0,002 ou mais da quantidade original de carbono 14 ainda está presente, então pode-se 
determinar precisamente a proporção de quantidade original de carbono 14 que resta, por dosagem de 
laboratório adequada. 
 
4. Suponha que se descubram certos restos arqueológicos em que a quantidade residual de carbono 14 
seja de 20% da quantidade original. Determine a idade desses restos. 
 
 
5. Em 1988 o Vaticano autorizou o Museu Britânico a datar a relíquia de pano conhecida como o Sudário 
de Turim, possivelmente o sudário de Jesus de Nazaré. Este pano que apareceu em 1356 contém o 
negativo da imagem de um corpo humano que se acreditava no mundo inteiro ser o de Jesus Cristo. O 
relatório do Museu Britânico mostrou que as fibras no pano continham aproximadamente 92% do carbono 
original. Estime a idade do sudário. 
 
6. Numa caverna da França, famosa pelas pinturas pré-históricas, foram encontrados pedaços de carvão 
vegetal nos quais a radioatividade do C14 era 0,145 vezes a radioatividade normalmente encontrada num 
pedaço de carvão feito hoje. Calcule a idade do carvão encontrado e com isto dê uma estimativa para a 
época em que as pinturas foram feitas. 
 
 
Lei do Resfriamento de Newton 
 
Conhecemos de observações experimentais, que a temperatura superficial de um objeto varia numa taxa 
proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a do meio ambiente. Esta é a lei do resfriamento 
de Newton. Portanto, se T(t) é a temperatura do objeto no tempo t e 
aT
 é a temperatura ambiente 
constante, temos a relação 
   k ,TTk
dt
dT
a
depende do material de que é constituída a superfície do 
objeto. 
 
7. Considere uma substância posta numa corrente de ar. Sendo a temperatura do ar 30oC e resfriando a 
substância de 100oC para 70oC em 15 minutos, encontre o momento em que a temperatura da substância 
será de 40oC. 
 
8. O corpo de uma vítima de assassinato foi descoberto. O perito da polícia chegou à 1:00h da madrugada 
e, imediatamente, tomou a temperatura do cadáver, que era de 34,8oC. Uma hora mais tarde ele tomou 
novamente a temperatura e encontrou 34,1oC. A temperatura do quarto onde se encontrava a vítima era 
constante a 20oC. Use a lei do resfriamento de Newton para estimar a hora em que se deu a morte, 
admitindo que a temperatura normal de uma pessoa viva é 36,5oC. 
 
9. Um termômetro é retirado de uma sala e colocado do lado de fora em que a temperatura é de 10C. 
Depois de 1 minuto a leitura do termômetro é de 15C e após 2 minutos 12C. Use a “Lei do resfriamento 
de Newton” para determinar qual a temperatura da sala onde se encontrava o termômetro inicialmente. 
 
10. Um objeto com temperatura desconhecida é colocado em um quarto que é mantido à temperatura 
constante igual a 20C. Se, após 10 minutos, a temperatura do objeto é de 30C e após 20 minutos a 
temperatura é de 25C, determine a temperatura inicial do corpo, supondo válida a Lei do Resfriamento de 
Newton: 
 
 
 3 
 
A 2ª Lei de Newton 
 
Consideremos um corpo de massa m em queda vertical influenciada apenas pela gravidade g e pela 
resistência do ar proporcional à velocidade do corpo. Admitamos que tanto a gravidade como a massa 
permaneçam constantes e, por conveniência, escolhemos o sentido “para baixo” como sentido positivo. 
De acordo com a Segunda Lei de Newton do Movimento, a força resultante que atua sobre o corpo é 
dt
dv
mF 
, onde v é a velocidade do corpo, no instante t. 
 
Neste modelo, há duas forças atuando sobre o corpo: (1) a força devido à gravidade, dada pelo peso do 
corpo que é igual a mg; e (2) a força devido à resistência do ar, dada por kv, onde 
0k
 é uma constante 
de proporcionalidade. O sinal negativo se torna necessário por que esta se opõe à velocidade; isto é, atua 
no sentido “para cima”, ou seja, no sentido negativo. Desta forma, a força resultante é 
kvmgF 
. 
Obtemos então: 
 
 
dt
dv
mkvmg 
 ou 
gv
m
k
dt
dv

 
como equação diferencial do movimento do corpo. 
 
 
11. Lança-se uma pedra do solo, verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 20m/s. Considere 
nula a resistência do ar e g=10m/s. Observe que, neste caso, usaremos a equação 
g
dt
dv

 ( Justifique!) 
a) Quanto tempo levará e qual será sua velocidade quando a pedra atingir novamente o solo? 
b) Quanto tempo levará a pedra para atingir altura máxima e qual será essa altura? 
 
12. Um homem usando pára-quedas salta de uma grande altura. A massa do conjunto do homem e do 
pára-quedas é de 80Kg. Seja v(t) sua velocidade no instante t (segundos) depois de começar a queda. 
Durante os primeiros 16 segundos, a resistência do ar é de v/2. Posteriormente, enquanto o pára-quedas 
está aberto, a resistência do ar é de 8v. Encontre uma expressão para v(t) em qualquer instante t maior que 
16s. (use g=10m/s²). 
 
 
 
Problema de Mistura 
 
Consideremos um tanque com uma solução ( soluto + solvente ) (por exemplo, sal e água ) de volume 
inicial Vo, com fluxo de entrada e saída.. Mantendo-se essa solução uniformementemisturada vamos 
calcular a quantidade Q(t) de soluto no tanque no instante t. 
A variação da quantidade de soluto no tanque é obtida pela diferença entre a quantidade de soluto que 
entra e que sai do tanque 
Por outro lado, se V(t) é o volume no instante t, temos que 
dt
dV
dV
dQ
dt
dQ

 
dV
dQ
 é a variação da concentração e 
dt
dV
é a taxa de variação do volume, ou seja, a vazão 
Assim, 
dt
dV
dV
dQ
dt
dQ

 = concentração x vazão. Logo, se há um fluxo de entrada e saída temos 
ssee vcvc
dt
dQ

 
ec
 = concentração de entrada; 
ev
= vazão de entrada 
 4 
sc
= concentração de saída ; 
sv
= vazão de saída 
sc
= 
tvtvV
Q(t)
V(t)
Q(t)
seo 

 (Vo + vet – vs t = volume inicial + volume que entra – volume que sai) 
 
A equação final fica: 
s
seo
ee v
tvtvV
Q(t)
vc
dt
dQ


 
 
Se a vazão de entrada for igual à vazão de saída ou a concentração de entrada for zero então a equação 
acima é de variáveis separáveis. 
 
13. Um tanque de 400 litros enche-se com uma solução de 60kg de sal em água. Depois faz-se entrar água 
nesse tanque à razão de 8L/min e a mistura, mantida homogênea por agitação, sai na mesma razão. Qual 
a quantidade de sal existente no tanque ao fim de 1 hora? 
 
14. Um tanque com capacidade de 1000 galões contém, inicialmente, 500 galões de água poluída com 100 
galões de poluentes. No instante t = 0, água pura é acrescentada a uma taxa de 10 galões por minuto e a 
solução misturada é drenada a uma taxa de 5 galões por minuto. Determine quanto poluente haverá no 
tanque no instante do transbordamento. 
 
15. Uma solução de 60kg de sal em água enche um tanque de 400L. Outra solução em que cada 5L 
contém 1kg de sal é lançada no tanque a uma razão de 10L/min e a mistura, mantida homogênea por 
agitação, sai na razão de 15L/min. Ache a quantidade de sal existente no tanque ao fim de 1 hora. 
 
 
16. Um reservatório de 500 galões contém inicialmente 100 galões de água fresca. Começando no instante 
t = 0 escoa para o reservatório água contendo 50% de poluidores, à taxa de 2 gal/min e a mistura bem 
agitada deixa-o à taxa de 1 gal/min. Determine a concentração de poluidores no reservatório no instante do 
transbordamento 
 
17. Uma bebida contendo 5% de álcool por litro é bombeada em um tonel que contém inicialmente 200 
litros de bebida com 10% de álcool. A taxa de bombeamento é de 2 litros por minuto, enquanto o líquido 
misturado é drenado a uma taxa de 3 litros por minuto. Determine 
a) Quantos litros de álcool Q(t) há no tanque num instante t qualquer 
b) Quando o tanque estará vazio 
 
 
 
Circuitos Elétricos 
 
 
 
Se i(t) é a corrente elétrica em um circuito em série LRC, então a queda de voltagem através do indutor, 
resistor e capacitor é apresentada no quadro abaixo 
 
 Indutor Resistor Capacitor 
 Indutância: L henrys Resistência: R ohms Capacitância: C farads 
Queda de voltagem 
dt
di
L
 iR
 
q
C
1
 
 5 
 
Pela 2a Lei de Kirchoff, a soma dessas voltagens é igual à voltagem E(t) impressa no circuito, isto é, 
 
)t(Eq
C
1
Ri
dt
di
L 
 ( I ) 
 
Por outro lado, a carga q(t) no capacitor está relacionada com a corrente i(t) por 
dt
dq
i 
 ( 1 ) 
 
 
 
 
 
 
Consideremos os casos particulares 
 
 
 
 
 
 
A equação básica que rege a quantidade de corrente i (em ampères) em um circuito simples do tipo RL 
(figura 1), consistindo de uma resistência R (em ohms), um indutor L (em henries) e uma força eletromotriz 
(fem) E (em volts) é 
L
E
i
L
R
dt
di

 (2) 
 
Para um circuito do tipo RC (figura 2) consistindo de uma resistência R, um capacitor C (em farads), uma 
força eletromotriz E, a equação que rege a quantidade de carga elétrica q (em coulombs) no capacitor é 
R
E
q
RC
1
dt
dq

 (3) 
 
 
No caso em que a força eletromotriz E(t) é constante as equações (2) e (3) são equações a variáveis 
separáveis 
 
 
Considerando 
dt
dq
i 
 temos 
2
2
dt
qd
dt
di

 ( 2 ) 
Substituindo ( 1 ) e ( 2 ) em ( I ) obtemos a equação diferencial linear de 2a ordem 
 
)t(Eq
C
1
dt
dq
R
dt
qd
L
2
2

 ( 4) 
 
Derivando ( I ) obtemos a equação tendo a corrente como incógnita: 
 
Figura 1: circuito RL Figura 2: circuito RC 
 6 
dt
dE
i
C
1
dt
di
R
dt
id
L
2
2

 (5) 
 
 
A depender das raízes da equação característica correspondente o circuito será 
 Superamortecido ( raízes reais e distintas) 
 Criticamente amortecido ( raízes reais e iguais ) 
 Subamortecido ( raízes complexas ) 
 
 
 
 
18. Um circuito RL tem fem de 5 volts, resistência de 50 ohms e indutância de 1 henry. A corrente inicial é 
zero. Determine a corrente no circuito no instante t. 
 
19. Um circuito RC tem fem de 5 volts, resistência de 10 ohms, capacitância de 10-2 farads e inicialmente 
uma carga de 5 coulombs no capacitor. Determine a carga no capacitor num instante qualquer 
 
. 
20. Suponha num circuito RC que R= 20 ohms, C = 0,01 farad, E(t) decaindo exponencialmente, ou seja, 
E(t) = 60 e 2t volts e q(0) = 0. Determine: 
a) q(t) 
b) O instante em que q(t) atinge um máximo e a carga máxima. 
 
 
21. Suponha num circuito RL que R = 12 ohms; L = 4 henrys; i(0) = 0 e que um gerador produza uma 
voltagem variável de E(t) = 60 sen30t volts. Encontre i(t) 
 
22) Encontre a carga no capacitor em um circuito em série LRC no instante t = 0,01 segundo quando L = 
0,05 henry, R = 2 ohms, C = 0,01 farad, E(t) = 0, q(0) = 5 coulombs e i(0) = 0 ampère. 
 
23) Encontre a carga no capacitor em um circuito em série LRC quando L = 1/4 henry, R = 20 ohms, C = 
1/300 farad, E(t) = 0, q(0) = 4 coulombs e i(0) = 0 ampère. A carga no capacitor se anula em algum 
instante? 
 
24) Encontre a carga no capacitor e a corrente no circuito em série LRC, considerando L = 5/3 henrys, R = 
10 ohms, C = 1/30 farad, E(t) = 300 volts, q(0) = 0 coulombs e i(0) = 0 ampères. 
 
25) Encontre a carga e a corrente em um circuito em série LRC quando L = 1 henry, R = 2 ohms, C = 0,25 
farad e E(t) = 50cost 
 
26) Um circuito em série LC consiste em um indutor com L = 4 H; um capacitor com C = 0,01 F e um 
gerador produzindo uma voltagem de E(t) = 24t volts. Sabendo que q(0) = 0 e i(0) = 0, encontre q(t) e 
i(t). 
 
 
 
 
Respostas 
1. 
  ktoeQtQ 
; 2. a) Aproximadamente 3,8 dias. b) 694; 3. 

2ln
100ln)27,5(
t
 35 anos 
 
 7 
4. 
 
5745
2ln
k


; 
 
 
t
5745
2ln
oeQtQ





 

; 
 
 
 5745
2ln
5ln
t 
 anos; 5. Aproximadamente 604 anos; 
6.
 
 
.5745
2ln
0,145ln
t 
 (aproximadamente 16000 anos atrás); 7. t  52 min; 8. t  2,24 horas, 
 9. 22,5. 10. 40 C; 11. a) t = 4s; v = 20m/s; b) t = 2s; smax = 20m. 
12. 
  10
t
10
1
e1600e1500100tv










; 13. Q = 60e6/5 kg; 14. 50 galões; 15. Q = 315/16 kg; 
16. 48%; 17. a) 
3
3
)t200(
)200(
10
20
t200
)t(Q 


; b) Após 200 minutos; 
 
18. Resp.: 
10
1
e
10
1
)t(i t50 

 
 amp. A quantidade 
t50e
10
1 
 é chamada corrente transitória, pois tende 
a zero (se desvanece) quando t. A quantidade 
1
10
 é chamada corrente estacionária. Quando t a 
corrente i(t) tende para a corrente estacionária. 
 
19. 
t10e
20
99
20
1
)t(q 
 coulombs; 20. a) q(t) = e2t e5t; b) 
3
)2/5ln(
t 
 e a carga máxima é 
3/2
5
2
5
3
q 






coulombs; 21. 
t3e
101
50
)t30cos10t30sen(
101
5
)t(i 
 
 
22. 






  t40sen
2
5
t40cos5e)t(q t20
; 






  )5/2(sen
2
5
)5/2cos(5e)01,0(q 5/1
 4,568 coulombs 
23. 
t60t20 e2e6)t(q  
; A carga no capacitor não se anula 
 
24. a) 
)t3sent3(cose1010)t(q t3  
; 
t3sene60)t(i t3
; 
 
25. 
  sent
13
100
tcos
13
150
t3senCt3cosCe)t(q 21
t  
. 
26. 
25
6
t5cos
25
6
)t(i ;t
25
6
t5sen
125
6
)t(q 



