1686822_EDO

Prévia do material em texto

Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem
Profa. Cláudia Silva Tavares
1) Equações Separáveis.
(a) xdt− tdx = 0 (b) (1 + u)vdu+ (1− v)udv = 0
(c) (1 + y)dx− (1− x)dy = 0 (d) (t2 − xt2)dx+ (x2 + t2)dt = 0
(e) (y − a)dx+ x2dy = 0 (f) zdt− (t2 − a2)dz = 0
(g) dxdy =
1+x2
1+y2 (h) (1 + s
2)dt−
√
tds = 0 (i) dρ+ ρtanρdρ = 0
(j) senθcosϕdθ − cosθsenϕdϕ = 0 (k) sec2θ tan ϕ dθ + sec2θ tan ϕ dϕ = 0
(l) (1 + x2)dy −
√
1− y2dx = 0 (m)
√
1− x2dy −
√
1− y2dx = 0
2) Equações de Bernoulli
(a) y(6x2y2−x+ 1) + 2xy′ = 0 (b) y′ = y+ e−3xy4 (c) 2x3y′ = y(y2 + 3x2)
(d) x3y′ = 2y( 3
√
y + 3x2) (e) y′ = 5y − (4x)/y (f) y′ = y − y3
(g) x2y′ + 2xy − y3 = 0, y(1) = 2
3)Equações Homogêneas
(a) x2y′ − x2 − 3xy − y2 = 0 (b) xy′ = y +
√
x2 + y2 (c) y′ = y
2−2xy
x2
(d) y′ = y
2
xy+y2 (e) (x+ ye
y/x)dx− xey/xdy = 0, y(1) = 0
4)Equações Exatas
1) Resolva as equações abaixo:
(a) cosxdy = (1− y − senx)dx (b) (x2 + y2)dx+ (x3 + 3xy2 + 2xy)dy = 0
(c) ex+y
2
dx+ 2yex+y
2
dy = 0 (d) (3x2tgy − 2y
3
x3 ) + (x
3sec2y + 4y3 + 3y
2
x2 )y
′ = 0
(e) (2y3+2)dx+3xy2dy = 0 (f) (y3−x)y′ = y (g) (bx+cx)dy+(ax+by)dx = 0
(h) (exsen(y)− 2ysen(x))dx+ (excos(y) + 2cos(x))dy = 0
2)Faça o que se pede nos itens abaixo.
a) Verificar se a equação xdy − (x3 − 2y)dx = 0 é exata. Multiplicar a
equação por µ(x) = x e verificar se a equação obtida é exata e em caso
afirmativo, encontre sua solução.
b) Verificar se a equação y′ = e2x + y− 1 é exata. Multiplicar a equação por
µ(x) = e−x e verificar se a equação obtida é exata e em caso afirmativo,
encontre sua solução.
3) Usando a idéia do exerćıcio anterior, vamos determinar como podemos obter
a função µ(x): Considere a equação diferencial
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0
Multiplicando a equação por uma função µ(x), obtemos
µ(x)M(x, y)dx+ µ(x)N(x, y)dy = 0
1
Para esta equação ser exata, devemos ter
(µ(x)M(x, y))y = (µ(x)N(x, y))x
a) Aplique as derivadas parciais na equação acima e em seguida demonstre
que a função µ(x) será determinada resolvendo-se a equação:
dµ
µ
=
My(x, y)−Nx(x, y)
N(x, y)
b) Use a fórmula do item a) para verificar as funções µ(x) dadas no exerćıcio 2.
Aplicações de EDO de Primeira Ordem
(1) O decaimento do isótopo radioativo plutônio 241 satisfaz a equação dife-
rencial Q′ = −0, 0525Q.
(a) Determine a meia-vida desta substância.
(b) Se hoje dispusermos de 50mg desta substância, quanto restarão dela de-
pois de decorridos 10 anos?
(2) A meia-vida do elemento rádio 226 é de 1620 anos. Determine o tempo
necessário para que uma amostra deste elemento tenha sua massa reduzida a
3/4 do original.
(3) Um determinado investidor deposita um capital inicial C0 no banco A, que
paga juros de 5% ao ano compostos continuamente.
(a) Determine quanto tempo para que o valor investido dobre.
(b) O banco B dispõe de uma linha de crédito que paga juros de 5, 5% com-
postos anualmente. Qual das aplicações financeiras é mais rentável?
(4) Num tanque há 100 litros de uma solução contendo 30 gramas de sal. Água
(sem sal) entra no tanque à uma razão de 6 litros por minuto e a mistura se
escoa à razão de 4 litros por minuto, conservando-se a concentração uniforme
por agitação.
(a) Determine uma expressão para a quantidade e para a concentração de sal
no tanque em um tempo t qualquer.
(b) Determinar qual a concentração de sal no tanque ao final de 35 minutos.
(4) Um tanque industrial para ĺıquidos contém 2000 litros de uma solução
contendo 40 kg de determinado soluto. É despejada no tanque a uma vazão
de 1 litro por minuto, uma solução do mesmo soluto com concentração de 100
gramas por litro. A mistura é mantida homogênea e simultaneamente reti-
rada, a vazão de 2 litros por minuto.
(a) Determine a quantidade e a concentração de soluto no tanque em um
tempo t qualquer.
(b) Verifique o comportamento da quantidade de soluto e da concentração ao
longo do tempo.
2
(6) A prefeitura de determinada localidade decidiu mudar a taxa de fluorização
da água que os habitantes usam. No reservatório local, que possui 300 mil me-
tros cúbicos de água, há 2000 kg de flúor. O consumo médio de água na cidade
é de 3 mil metros cúbicos por dia e a água utilizada é reposta com fluorização
de 100 gramas de flúor por m3.
(a) Determine a quantidade de flúor no reservatório em um tempo t qualquer.
(b) Determine o que ocorre com a concentração de flúor na água quando
t→∞.
(7) Um corpo a 100oC é posto numa sala onde a temperatura ambiente se
mantém constantemente 25oC. Após 5 minutos, a temperatura do corpo caiu
para 90oC. Depois de quanto tempo o corpo estará a 50oC?
(8) Em um circuito RC uma bateria gera uma diferença de potencial de 10
volts enquanto a resistência é de 103 ohms e a capacitância é de 10−4 farads.
Encontre a carga Q(t) no capacitor em cada instante t quando Q(0) = 0 e o
limite de Q(t) quando t tende a mais infinito.
(9) Considere o circuito elétrico formado por um resistor, um indutor e uma
fonte de tensão externa ligados em série. A bateria gera uma diferença de
potencial de 10 volts, enquanto a resistência é de 100 ohms e a indutância é
de 0,5 henrys. Sabendo-se que a queda de potencial em um indutor é igual a
LdIdt encontre a corrente I(t) em cada instante t, se I(0) = 0.
3