Exercícios_Aplicações_Uniftec

Prévia do material em texto

Aplicaçõ es de Equaçõ es Diferenciais 
 
 Desintegração Radioativa 
 A atividade de uma substância radioativa é medida pelo número de desintegrações por unidade 
de tempo. Experimentos mostram que a atividade é proporcional à quantidade de material radioativo 
a cada instante Q. Sabendo que inicialmente há certa quantidade Qo de material radioativo, qual é a 
quantidade Q(t) ao longo do tempo? 
 
 
 Crescimento e Decrescimento 
 A taxa de crescimento populacional de certa cidade é proporcional ao número de habitantes P. 
Qual é a expressão que representa o número de habitantes ao longo do tempo? 
 
 
 
EXEMPLO 1: Sabe-se que a população de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao 
número de pessoas presentes em qualquer instante. Se a população duplicou em 5 anos, quando ela 
triplicará sabendo que a população inicial é P0. (Resp.: 7,9 anos) 
 
EXEMPLO 2: Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se 
existem inicialmente 50 miligramas de material e se, após duas horas, o material perdeu 10% de sua 
massa original, determine: a) a expressão da massa remanescente em um instante arbitrário t; b) a 
massa de material após quatro horas; c) o tempo após o qual o material perde metade de sua massa 
original (meia-vida) 
 
 
 Resfriamento de Newton 
 A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura T(t) de um corpo 
em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante 
Tm do meio ambiente. Determine a expressão que representa a temperatura de um corpo em função 
do tempo. 
 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚) 
 
 
EXEMPLO 3: Um termômetro é remõvidõ de uma sala, em que a temperatura é de 70⁰F, e cõlõcadõ dõ 
ladõ de fõra, em que a temperatura é de 10⁰F. Após 0,5 minutõ, õ termômetrõ marcava 50⁰F. 
a) Qual será a temperatura marcada no termômetro no instante t=1 minuto? 
b) Quanto tempo levará para o termômetrõ marcar 15⁰F? 
 
 
 
 Circuito Fechado em Série 
 Em um circuito em série contendo um resistor e um indutor, a segunda lei de Kirchhoff diz que 
a soma da queda de tensão no indutor (L(di/dt)) e da queda de tensão no resistor (Ri) é igual à 
diferença de potencial elétrico (E(t)) no circuito. Expresse a equação diferencial linear para a corrente 
i(t). 
 
𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑅𝑖 = 𝐸(𝑡) 
Em um circuito RC, temos 
𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑞 = 𝐸(𝑡) 
Onde q(t) é a carga. 
 
 
EXEMPLO 4: Suponha que um circuito simples a resistência é 550  (ohms), a indutância é de 4 H 
(henry) e a pilha fornece uma voltagem constante de 110 V (volts). Determine a corrente I se a 
corrente inicial é zero. 
EXEMPLO 5: Uma força eletromotiva de 100 volts é aplicada a um circuito R-C em série no qual a resistência é 
de 200 ohms e a capacitância, 10-4 farad. 
a) Encontre a carga no capacitor se a carga inicial é nula. 
b) Encontre a corrente 
 Problemas de Mistura 
Em um problema típico de mistura, um tanque está cheio até um nível especificado com uma solução 
que contém uma quantidade conhecida de alguma mistura solúvel como sal. À solução completamente 
mistura é permitido fluir do tanque a uma taxa conhecida e, ao mesmo tempo, uma solução com uma 
concentração conhecida da substância solúvel é acrescentado ao tanque a uma taxa conhecida. 
Conforme o tempo passa a quantidade da substância varia, o problema consiste em determinar a 
quantidade de substância no tanque em um instante especificado. (Howard Anton., Irl Bivens, Stephen Davis, 
Cálculo. Vol II. 10 ed) 
 
EXEMPLO 6: Inicialmente um tanque contém 4 libras de sal dissolvido em 100 
galões de água. Suponha que água salgada contendo 2 libras de sal por galão 
seja acrescentada ao tanque a uma taxa de 5 galões por minuto e que a solução 
misturada seja drenada do tanque à mesma taxa. Encontre a quantidade de sal 
no tanque após 10 minutos. (Resp.: 81,1 lb) 
 
 
EXEMPLO 7: Inicialmente, 10 gramas de sal são dissolvidos em um tanque contendo 350 litros de 
água. Água pura começa a entrar no tanque à razão de 20 litros por minuto, enquanto a mistura bem 
 
homogeneizada sai do tanque à mesma taxa. Determine: a) a quantidade de sal no tanque no instante 
t; b) a quantidade de sal após 20 minutos. 
Exercícios: 
1. Em uma cultura, há inicialmente No bactérias. Uma hora depois, o número de bactérias passa a ser 
(3/2)No. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes, determine o 
tempo necessário para que o número de bactérias triplique. 
 
2. Uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é de 1/2 henry e a 
resistência 10 ohms. Determine a corrente elétrica i se a corrente inicial é zero. 
 
3. Um balão de ar furado esvazia, fazendo com que seu volume diminua com uma taxa igual à metade 
da raiz quadrada do volume. Sendo Vo o volume inicial do balão, determine o volume V(t) ao longo do 
tempo. 
 
4. Um estudo indica que daqui a t meses a população de uma certa cidade estará crescendo a uma taxa 
de 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 5 + 3𝑡2/3 habitantes por mês. Qual será o aumento da população da cidade nos próximos 8 
meses? (Suponha P(0) = 0) 
 
5. Um corpo está se movendo de tal forma que sua velocidade após t minutos é 𝑣(𝑡) = 3 + 2𝑡 + 6𝑡2 
metros por minuto. Que distância o corpo percorre no segundo minuto? (Suponha s(0) = 0) 
 
6. Uma peça é colocada num forno a 200°C. A experiência mostra que a peça se aquece a uma taxa 
proporcional à diferença entre a sua temperatura (T) e a do forno (TF). Quando a peça está a 120°C, ela 
esta se aquecendo a uma taxa de 20°C/min. Supondo que em t = 0, T = To, encontre a equação que 
descreve a temperatura da peça em função do tempo. 
 
7. Um carro move-se horizontalmente com uma aceleração proporcional ao quadrado da velocidade. 
Sabendo que v(0) = 5 m/s e v(1) = 2 m/s, calcule o valor da velocidade para t = 2 s. 
 
8. Uma substância radioativa se decompõe a uma taxa proporcional à massa presente em cada 
instante (m(t)). Sabendo que inicialmente (t = 0) tem-se 50 g de uma substância radioativa e que após 
2 h tem-se apenas 28 g desta substância, quanto da substância será decomposta em 5 horas? 
 
9. A taxa de crescimento da população de uma cidade é proporcional ao número de habitantes. Se a 
população em 1950 era de 50.000 e em 1980 de 75.000, qual é a população esperada para 2012? 
 
10. A variação da carga elétrica em um capacitor num circuito RC é 
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
𝑅𝐶
𝑞 =
𝐸
𝑅
 
a) Se E(t) = 0 e q(0) = Qo, então essa equação representa a descarga no capacitor. Com essas 
informações, encontre a função que fornece a carga em cada instante, em função de R e C. 
b) Considere R = 200  e C = 0,5 F e calcule o momento em que o capacitor perdeu 40% de sua carga 
inicial. 
 
c) Nas mesmas condições do item anterior, qual o valor de t onde a carga no capacitor é de 20% da 
inicial? 
 
11. O café está a 90⁰C lõgõ depõis de cõadõ e, um minutõ depõis, passa para 85⁰C, em uma cõzinha a 
25⁰C. 
a) Determine a temperatura do café em função do tempo. 
b) Em quantõ tempõ õ café chegará a temperatura de 60⁰C? 
 
12. Suponha que o sódio pentobarbital é usado para anestesiar um animal. Este está anestesiado 
quando a concentração de sua corrente sanguínea contém pelo menos 45 miligramas de sódio 
pentobarbital por quilo. Se essa droga é eliminada proporcionalmente a quantidade presente a cada 
momento, com meia vida de 5 horas, calcule que dose única é necessária dar a um animal de 15 quilos 
para anestesiá-lo por trinta minutos, considere m(0) = m0, ou seja o valor da massa inicial é m0. 
 
13. Um tanque contém inicialmente 350 litros de salmoura com 1 kg de sal. Em t=0, outra solução de 
salmoura de 1 kg de sal por litro começa a entrar no tanque à razão de 10 litros por minuto, enquanto 
a mistura bem homogeneizada sai do tanque à mesma taxa. Determine: 
a) A quantidade de sal no tanque no instante t. 
b) O instante emque a mistura no tanque contém 2 kg de sal. 
 
 
 
Gabarito: 
1. t = 2,71 h 2. 𝑖(𝑡) =
6
5
−
6
5
𝑒−20𝑡 3. 𝑉 = (
−𝑡
4
+√𝑉𝑜)
2
 
4. P = 97,6 habitantes/mês 5. ∆𝑠 = 20 m 6. 𝑇 = 200 + (𝑇𝑂 − 200)𝑒
−0,25𝑡 
7. v = 1,25 m/s 8. m = 38,27 g 9. P = 119.107 pessoas 
10. a) 𝑞 = 𝑒−𝑡/(𝑅𝐶)𝑄𝑜 b) t = 51,08 s c) t = 160,94 s 
11. a) 𝑇(𝑡) = 25 + 65 (
60
65
)
𝑡
 b) 8 min 
12. 723,33 mg 13. a) 𝑄(𝑡) = −349𝑒−
𝑡
35 + 350 b) 0,1 min