Lista de exercícios 2 Complementar

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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Cieˆncias F´ısicas e Matema´ticas
Departamento de Matema´tica
MTM3100 - Pre´-ca´lculo
2a lista complementar de exerc´ıcios (07/08/2017 a 11/08/2017)
1. Dizer se e´ verdadeira ou falsa cada uma das sentenc¸as abaixo:
−3 ∈ N;(a) 10
5
∈ N;(b) 0, 333 . . . ∈ N;(c)
√
2 ∈ N;(d) 0, 202002000 . . . ∈ N;(e) 0 ∈ N∗.(f)
2. Dizer se e´ verdadeira ou falsa cada uma das sentenc¸as abaixo:
−3 ∈ Z;(a) 10
5
∈ Z;(b) 0, 333 . . . ∈ Z;(c) 0, 999 . . . ∈ Z;(d)
√
4 ∈ Z;(e) 0 ∈ Z;(f) −3 ∈ Z+;(g) 0 ∈ Z−.(h)
3. Dizer se e´ verdadeira ou falsa cada uma das sentenc¸as abaixo:
−3 ∈ Q;(a) 10
5
∈ Q;(b) 0, 7 ∈ Q;(c)
−0, 131313 . . . ∈ Q;(d) √2 ∈ Q;(e) 0, 202002000 . . . ∈ Q;(f)
0 ∈ Q∗;(g) −2 ∈ Q−;(h)
√
9 ∈ Q−.(i)
4. Dizer se e´ verdadeira ou falsa cada uma das sentenc¸as abaixo:
N ⊂ Q;(a) N ⊂ Z∗;(b) R ⊂ Q;(c) Z+ = N;(d)
Z ⊂ Q;(e) Z ⊂ R;(f) Q ⊂ Z.(g)
5. Dizer se e´ verdadeira ou falsa cada uma das sentenc¸as abaixo:
−2 ∈ Z− N;(a) 0 ∈ Z− N;(b) √2 ∈ R−Q;(c) pi ∈ R−Q∗−;(d)
3
4
/∈ N− Z;(e) 0, 1717 . . . ∈ Q− Z;(f) −21
3
∈ Q− Z;(g) −10 ∈ N ∩Q;(h)
7
8
∈ Z ∪Q;(i) 1
6
∈ R−Q∗+;(j)
1
6
∈ R−Q−.(k)
6. Siga o modelo do item (a) para completar os pro´ximos itens.
Q+ = {x ∈ Q | x ≥ 0} = racionais na˜o negativos.(a)
Q− = {x ∈ Q | x ≤ 0} =(b)
Q∗+ = {x ∈ Q | x > 0} =(c)
Q∗− = { } = racionais negativos.(d)
Q∗ = { } = racionais na˜o nulos.(e)
1
R∗ = {x ∈ R | x 6= 0} =(f)
R+ = { } =(g)
R∗+ = { } = reais positivos.(h)
R− = { } =(i)
R∗− = { } =(j)
7. Reescrever os conjuntos abaixo usando a notac¸a˜o de intervalo e, a seguir, representa´-los graficamente.
B = {x ∈ R | 0 < x ≤ 3}.(a) D = {x ∈ R | 3
4
< x < 1}.(b)
F = {x ∈ R | √2 ≤ x < 3
2
}.(c) H = {x ∈ R | x < 7
3
ou x > 3}.(d)
J = {x ∈ R | 0 < x < 1 ou 2 ≤ x ≤ 3}.(e) L = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ −2}.(f)
8. Dados os conjuntos A = {x ∈ R | √2 < x < 3} e B = {x ∈ R | 3 ≤ x ≤ pi}, efetuar as operac¸o˜es
pedidas, dar as respostas na notac¸a˜o de intervalo e representar graficamente.
A ∩B.(a) A ∪B.(b) A−B.(c)
B − A.(d) {AR .(e) {BR .(f)
9. Repita o exerc´ıcio acima para os conjuntos A =
(
−3,−1
3
)
∪
[pi
5
,∞
)
e B =
(
−∞,−2
3
)
∪
(√
3
3
,
√
2
2
]
.
10. Dados os conjuntos A = [0, 2], B = (1, 4], C = (3, 4] e U = R, efetuar as operac¸o˜es pedidas, dar as
respostas na notac¸a˜o de intervalo e representar graficamente.
A ∩B.(a) A ∪B.(b) A−B.(c) B − A.(d)
{AR .(e) A ∩ C.(f) A ∪ C.(g) A− C.(h)
C − A.(i) B.(j) B ∩ C.(k) B ∪ C.(l)
B − C.(m) C −B.(n) C ′.(o) C − A ∩B.(p)
11. Dados os conjuntos A =
{
x ∈ R ∣∣ x ≥ 17
10
}
, B = {x ∈ R | √5 < x ≤ e ou x > pi}, C ={
x ∈ R ∣∣ √3 < x ≤ √5 ou 5
2
< x < pi
}
e U = R, escreva na notac¸a˜o de intervalo e represente gra-
ficamente o conjunto M = {CA − {BA.
12. Representar graficamente, no plano cartesiano, os seguintes pares ordenados:
B = (−1, 4);(a) D = (4,−2);(b) F = (3, 3);(c) H = (4,−4);(d)
J = (−2, 0);(e) L = (0, 3);(f) N = (0,−9
2
);(g) P = (−3, 7 , 2, 45).(h)
13. Representar graficamente, no plano cartesiano, o produto cartesiano A×B nos seguintes casos:
A = {−3,−1, 2} e B = {1, 2, 3, 4};(a) A = {−1, 1, 3} e B = {−4,−2, 0};(b)
A =]− 1, 1[ e B =]− 2, 2[;(c) A =]− 1, 1[ e B = [−2, 2];(d)
A =]− 1, 1] e B = [−2, 2[;(e) A = {−1, 2, 3} e B = [−1, 4];(f)
A =
[
−3
2
, pi
[
e B = {−3,−1, 1, 3, 5};(g) A = [−2, 3] e B = {x ∈ R | x > 1};(h)
A = {x ∈ R | x ≥ −2} e B = {x ∈ R | x < 3};(i) A = {−1, 1, 2} e B = {x ∈ R | x < 2};(j)
A = [−2,−1] e B = R;(k) A = R e B = [1, 4[;(l)
A = R e B = (−∞, 1);(m) A = R∗+ e B = {−3,−2,−1, 0}.(n)
2
14. Representar graficamente, no plano cartesiano, os conjuntos abaixo:
B = {(x, y) ∈ R2 | x = −3};(a) D = {(x, y) ∈ R2 | x ≥ −2};(b)
F = {(x, y) ∈ R2 | − 1 < x ≤ 2}.(c)
15. Dados os conjuntos A = [1, 3], B = (1, 5], C = [2, 4[, D =]3, 6[, represente graficamente, no plano
cartesiano:
(C ×D)− (A×B);(a) (A×B) ∪ (C ×D).(b)
Observac¸a˜o: a partir daqui, todos os exerc´ıcios sa˜o testes de habilidade com as operac¸o˜es ba´sicas.
Se alguns exerc´ıcios forem imediatos para voceˆ, sinta-se a` vontade para passar para o pro´ximo. Mas
lembre-se de que esse assunto so´ pode ser considerado aprendido quando voceˆ se sentir conforta´vel para
manipular todas as expresso˜es abaixo.
16. Resolva as expresso˜es abaixo:
35− 18;(a) −9 + 2;(b)
+7− 3;(c) +9− 9;(d)
2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7;(e) −1− 2− 3 + 4 + 5 + 6;(f)
−11 + 8− 13 + 7− 15 + 9;(g) +(−5)− (−8);(h)
(−6) + (−10);(i) (−5)− (−3) + (−2)− (+7);(j)
+(−2) + (−7)− (−3)− (+8);(k) −(−3 + 4)− (−5 + 6);(l)
−3−2−(−4+2−(3−1−(+5−6)+2)−5)−6.(m)
17. Resolva as expresso˜es abaixo:
(−8)(+6);(a) −5(−3);(b)
−5 · 5;(c) +8(+9);(d)
13 · 17;(e) −2 · 5(−3);(f)
(−2 + 9)(−1− 7);(g) −2(−1 + 3)(−5 + 1)(7− 5).(h)
18. Resolva as expresso˜es abaixo (observac¸a˜o: os s´ımbolos /, : e ÷ representam divisa˜o):
(−20) : (+5);(a) 32/(−4);(b)
−8
−4;(c)
48
−16;(d)
72
18
;(e)
100/(−5)
−4 ;(f)
−54/(−27)
−17/17 ÷
60/(−5)
−216/36;(g) (−5− 7)/(−5 + 1);(h)
− 5− 7−3 + 1.(i)
19. Resolva as expresso˜es abaixo:
−2− (−3− 2(2− 3)− 2(−3(−2 + 4)− 4(−5 + 6)− 5)− 3(−2 + 6)− 2)− 2(5− 3);(a)
−216
12
/74
37
144
−24/
−102
51
÷ 12/(−8/2)−27
9
/3
.(b)
3
20. Fatore em primos os nu´meros abaixo:
720;(a) 546;(b) 9009.(c)
21. Encontre todos os divisores positivos de:
18;(a) 90;(b) 150.(c)
22. Calcule o que se pede:
mdc(70, 99);(a) mdc(504, 540);(b) mdc(150, 180, 240);(c)
mmc(70, 99);(d) mmc(504, 540);(e) mmc(150, 180, 240).(f)
23. Simplifique as frac¸o˜es abaixo ate´ que o numerador e o denominador na˜o possuam fatores comuns:
8
20
;(a)
36
45
;(b)
54
72
;(c)
138
46
;(d)
−51
153
.(e)
24. Resolva as expresso˜es abaixo:
5
9
− 1
9
;(a) − 7
15
− 2
15
;(b) 3 +
1
4
;(c)
−2− 2
3
;(d) −3
4
− 2;(e) 5
9
− 7
12
;(f)
1
2
− 3
4
+
2
3
− 5
6
;(g) 3− 1
2
− 1
4
− 1
5
− 1
6
.(h)
25. Resolva as expresso˜es abaixo:
2
9
· 4
3
;(a) −7
6
· 6
7
;(b) 5 · 2
3
;(c)
1
2
· 3
4
· 5
6
· 7
8
· 9
10
;(d)
(
2
3
− 3
4
)
·
(
1
2
+
3
4
)
;(e)
(
2
5
− 3
)(
8
13
− 1
)
.(f)
26. Resolva as expresso˜es abaixo:
6
5
/
21
5
;(a) 12/
16
7
;(b)
12
8
3
;(c)
−10
19
15
38
;(d)
(
5
8
+
7
16
)
/
(
−5
6
− 5
8
)
;(e)
−2− 3
4
−4− 3
2
.(f)
27. Resolva a expressa˜o
2
3
÷ 4
9
1
3
÷ 5
6
÷
1÷ 5
4
6
10
÷ 5
2
23
÷ 1
46
7÷ 7
2
÷
3÷ 1
17
2÷ 1
34
÷ 9
64
.
28. Resolva as expresso˜es abaixo:
132, 5− 3, 143;(a) 5 + 3, 142;(b) 5− 2, 132;(c) 1, 7− 13, 17;(d)
0, 0132 · 1000;(e) 0, 34 · 1000;(f) 0, 75 · 32;(g) 12, 5 · 2, 2;(h)
10, 03 · 5, 2;(i) 234, 5/10;(j) 345/100;(k) 12, 5/2;(l)
17, 1/5;(m) 12, 8/0, 4;(n) 2/0, 05;(o) 3/0, 6;(p)
21, 528/1, 04.(q)
4
29. Utilize uma calculadora para resolver as expresso˜es abaixo:
(
6− 9
2
)
÷ 0, 003((
61
20
− 2, 65
)
4
)
÷ 1
5
−
(
0, 3− 3
20
)
· 3
2(
1, 88 + 2 +
3
25
)
· 1
8
÷ (62 + 120
)
+
17, 81
0, 0137
;(a)
36/0, 18−
1− 1− 0, 1
0, 6
0, 43
+
8
25
÷ 0, 02
0, 083−
1, 6
(
1
2
+ 0, 25
)
− 0, 249(
0, 05− 1
0, 583− 0, 3
)
÷ 71
−
46
(
0, 416− 0, 5÷ 6
7
)
0, 83−
(
2
5
− 0, 3
) .(b)
Observac¸a˜o: ha´ softwares matema´ticos (e algumas calculadoras) que sa˜o capazes de resolver uma
expressa˜o grande de uma u´nica vez (basta digitar corretamente). Ale´m de resolver na calculadora, seria
interessante voceˆ aprender a mexer em algum software e resolver as expresso˜es acima pelo software.
Como sugesto˜es, esta˜o o Wolfram Alpha, o Scilab e o Matlab. Estas ferramentassera˜o u´teis no decorrer
da sua graduac¸a˜o.
Lista de exerc´ıcios retirada e adaptada de
A. Z. Aranha e M. B. Rodrigues – Exerc´ıcios de Matema´tica - vol. 1, Revisa˜o de 1o grau. Segunda
edic¸a˜o, Editora Policarpo, Sa˜o Paulo, 1998.
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