Lista de exercícios 3 Complementar

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Cieˆncias F´ısicas e Matema´ticas
Departamento de Matema´tica
MTM3100 - Pre´-ca´lculo
3a lista complementar de exerc´ıcios (14/08/2017 a 18/08/2017)
1. Usando as propriedades de potenciac¸a˜o, simplifique:
a5 · a7;(a) a3 · a−4;(b) 3
4
36
;(c) (72)3;(d) 72
3
;(e)
8−3 : 2−5;(f) 46 ÷ 165;(g) (24 · 2)/26;(h) (−5a3)7.(i)
2. Dizer, em cada caso, se a igualdade e´ verdadeira ou falsa:
142
72
= 4;(a) 53 · 23 = 103;(b) a3 · a2 = a6;(c) 73 · 43 = 283;(d)
x15 : x5 = x3;(e) (a2+b3)4 = a8+b12;(f) (2 + 5)2 = 22 + 52;(g) (94)6 = 924;(h)
a8
a4
= a4;(i) (5− 4)2 = 52 − 42;(j) 23 · 52 = 105.(k)
Observac¸a˜o. Alguns itens acima na˜o fazem sentido para situac¸o˜es particulares das varia´veis. Por
exemplo, o item (e) na˜o esta´ definido no caso x = 0. Nesses itens, fac¸a a ana´lise da igualdade nos casos
em que a expressa˜o faz sentido (por exemplo, em (e) diga se o item e´ verdadeiro ou falso ja´ assumindo
que x 6= 0).
3. Simplificar o quanto for poss´ıvel, dando as respostas na forma de poteˆncias de 10:
100;(a) 1003;(b) −0, 016;(c)
10002 · 0, 012;(d) (0, 001)−3 : (−100)−2.(e)
4. Simplifique a expressa˜o
1003 · (−0, 1)−3 · (−0, 001)−4 · [−(−1000)3]
−0, 016 · (−10000)−5 .
5. Tornar verdadeiras as igualdades seguintes, multiplicando os segundos membros por poteˆncias de 10
convenientes (seguir o modelo do item (a)):
0, 00092 = 0, 92 · 10−3(a) 5100 = 5, 1 ·(b) 0, 0483 = 483 ·(c)
127000 = 127 ·(d) 201 = 2, 01 ·(e) 80, 21 = 80210 ·(f)
6. Calcule o valor da expressa˜o
E =
0, 1 · 0, 001 · 10−1
10 · 0, 0001
e, a seguir, determine o valor de x em cada caso, sabendo que:
E = a · x e a = 10−3;(a) E = a : x e a = 10−5;(b)
E = x : a e a = 10000;(c) E = (x : a)2 e a = 1000.(d)
1
7. Efetuar as operac¸o˜es seguintes, dando as respostas em notac¸a˜o cient´ıfica (isto e´, com apenas um alga-
rismo na˜o nulo a` esquerda da v´ırgula):
25− 12 · 10−3;(a) 9, 43 · 10−13 − 0, 0001025 · 10−8;(b)
(1, 311 · 10−41) : (5700 · 10−30).(c)
8. Simplifique e deˆ as respostas na forma de poteˆncias de 2:
(−0, 1252)−3;(a) 84 · 0, 53;(b) (−0, 125)−3 : (−0, 25)−4.(c)
9. Simplifique e deˆ as respostas na forma de poteˆncias de 2:
x = (−1282)32 · (−642)(−3)2 · (5123)−32 ;(a)
y =
[
(0, 125−2)3 · (0, 0625−1)2
]2
: (0, 25)−2;(b)
z = (0, 0625)
1
4 :
[
(−0, 125)6 · (−1024)−2 · (0, 4853)0
]−2
.(c)
10. Simplifique a expressa˜o
(−273)5 · [(−243)−2]4 · 0, 0374
[−(−0, 1)−2]−3 · (−7292)−3 · [−(0, 34)−2]5 · 9
e deˆ a resposta na forma de poteˆncia de 3.
11. Simplifique a expresso˜es:{[
0, 1−2 ·
(
0, 0001−
1
4
)5]
:
1
(1000−2)
1
6
}
·
[
(100−2)3 · (0, 13)−4
]
;(a)
[
− (0, 037)−10] · (−0, 111...)−1
(−9)−32 · (0, 3)−18 · 729 13 ·

[(
−1
2
)−2]5
−3 ;(b)
5 · 8x−1 − 16 3x4 + 12
3 · 64x2− 56 − 3
4
· 512x+13
;(c)
2n+4 + 2n+2 + 2n−1
2n−2 + 2n−1
;(d)
3 · 2−2x+6 − 2−2x+5 − 9 · 2−2x+4
5 · 2−2x+2 − 2−2x+4 − 3 · 2−2x ;(e) (
1
8
)x
3
−1
− (4−1)x2−3
0, 0625
x
4
−1,5 + 30 · 0, 03125x5 +
(
1
2
)x−2 .(f)
12. Resolva as expresso˜es abaixo:∣∣0, 3∣∣;(a) |a− a| , com a ∈ R;(b) ∣∣2−√3∣∣;(c) ∣∣2 +√3∣∣;(d)∣∣√3− 2∣∣;(e) ∣∣−2−√3∣∣;(f) |a− b|, com a > b;(g) |a− b|, com a < b;(h)
|a− b|, com a = b;(i) ∣∣1
3
− 1
2
∣∣;(j) |pi − 3|;(k) |3− pi|;(l)
|√2− 1|;(m) |1−√2|.(n)
2
13. Simplifique as expresso˜es abaixo, indicando as que na˜o esta˜o definidas em R:
3
√−23;(a) 14√56;(b)
3
√
x3, com x ∈ R;(c) 5√25 · 23;(d)
3
√
56 · 5 · a9 · a2 · x15 · x3, com a, x ∈ R;(e) 21√128a14, com a ∈ R;(f)
5
√
(
√
8− 1)5;(g) 8√(a− b)8, com a ≥ b;(h)
3
√
m3;(i) n
√
an, com n ∈ N∗.(j)
14. Transformar os radicais a seguir em poteˆncias de expoentes fraciona´rios e, a seguir, simplificar quando
poss´ıvel:
30
√
x18, x ∈ R;(a) √7;(b)
6
√
1024.(c)
4
√
24 32 x8 x3, com x ≥ 0;(d)
7
√
256 a8 b5 c24;(e) 3
√
432.(f)
3
√
23a6;(g)
4
√
256a3, com a ≥ 0;(h)
4
√
512x6;(i)
3
√
6 a9b8c16;(j)√
27x2y5, com y ≥ 0.(k)
15. Simplifique e deˆ as respostas em forma de radicais:
256−
1
2 ;(a) (0, 111 . . . )−0,5;(b)
[(
− 1
64
)2]0,0625
;(c)
[
343(−3)
2]0,037
;(d)
[
5(−9)
2]−3−6
.(e)
16. Resolva as expresso˜es abaixo:
4 · (0.5)4 +√0.25 + 8− 23 ;(a) − 3√−8 + 16− 14 − (−1
2
)−2 + 8−
4
3 .(b)
17. Determine se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa. No caso de a afirmac¸a˜o ser falsa, deˆ um exemplo para
justificar.
√
64 +
√
36 =
√
100;(a)
√
a2 + b2 = a+ b, ∀ a, b ∈ R;(b)
12
√
a4b5 =
3
√
ab5, ∀ a, b ∈ R;(c) 10√25 = √5;(d)
3
√
a3 + b3 = a+ b, ∀ a, b ∈ R;(e) √(a+ b)2 = a+ b, se a+ b ≥ 0;(f)
4
√
x
16
=
4
√
x
2
, se x ≥ 0;(g) 5√a5 − b = a− 5√b, ∀ a, b ∈ R;(h)
20
√
28 x12 =
5
√
4x3, ∀x ∈ R;(i) 12√16 = 3√2;(j)
3
√
2a = 3
√
2 · 3√a, ∀ a ∈ R;(k) √ x
49
=
√
x
7
, se x ≥ 0;(l)
√
8 = 2
√
2;(m)
√
4 · 9 = √4 · √9;(n)√
(−4) · (−9) = √−4 · √−9;(o) √(−4) · (−9) = √4 · √9.(p)
3
18. Simplifique as expresso˜es abaixo:
5
√
2 +
5
√
26 − 3 5√211;(a) 6√3− 1
5
√
75 + 1
2
√
48− 4√12 + 1
3
√
27;(b)
−2 3√25− 0.4 3√625 + 3
4
3
√
320 + 1
3
3
√
675;(c)
2 4
√
512
3
− 3
4
√
1250
4
+
4
√
162
2
.(d)
19. Efetuar as multiplicac¸o˜es e diviso˜es seguintes, simplificando o resultado quando poss´ıvel. Observac¸a˜o.
Nos itens onde aparecem varia´veis, considere que elas assumem valores de modo que seja poss´ıvel efetuar
as operac¸o˜es indicadas.
6
√
a 6
√
b;(a) 3
√
144÷ 3√6;(b)
5
√
2x · 5√3x2 · 5√x;(c) ( 4√8a3 · 4√4a3)÷ 4√2a;(d)(√
162 · 1600÷√12)÷√15.(e)
20. Reduzir o radicais ao mesmo ı´ndice (e que este seja o menor poss´ıvel):
6
√
a ,
4
√
a3;(a)
3
√
a2b ,
15
√
2a4b3;(b)
12
√
4x2y ,
10
√
x5 , 24
√
9x2y4 , 18
√
12x4y3;(c)
3
√
a2 ,
4
√
b3 ,
12
√
c5 , 6
√
d;(d)
√
2 , 3
√
2 , 4
√
2;(e)
√
3 ,
8
√
a3b4;(f)
10
√
a2b2 , 3
√
ab ,
15
√
a3b2.(g)
21. Coloque em ordem crescente os nu´meros: 1, 2, 3, 4,
√
2, 3
√
2,
√
3, 3
√
3,
√
5,
√
13 e
√
23.
22. Passe os coeficientes (fatores) para dentro dos radicais (observe o item (a)):
2
√
5 =
√
22 · √5 = √22 · 5 = √20;(a) a 4√x;(b)
1
a
3
√
b;(c) a3
5
√
b2;(d)
a2
b3
√
b5
a3
;(e)
4
5
5
√
625
8
;(f)√
8 · 3
√
5
2
;(g) 2 · 3
√
3
4
·
√
2
3
;(h)
2
√
2
√
2
√
2−7.(i)
23. Racionalize os denominadores das seguintes frac¸o˜es:
7
3
√
49
;(a)
6
√
3√√
3
;(b)
1
5
√
ab2
;(c)
120√
2 3
√
3
;(d)
15
10 3
√
3
;(e)
−30
3
√
18
;(f)
9
√
2
2
√
2 +
√
5
;(g)
10
3
√
5 + 3
√
7
;(h)
2
2− 3√7.(i)
4
24. Racionalize os denominadores e efetue as multiplicac¸o˜es nos numeradores:
1
4
√
3 + 4
√
2
;(a)
12
4
√
10− 4√4;(b)
1
4
√
2 + 1
;(c)
121
− 4√3−√5;(d)
3
4
√
5− 4√2;(e)
1√
3 +
√
2−√6;(f)
−31
2−√5 +√2;(g)
11
4
√
6−√3−√2;(h)
1√
6 + 2−√2−√3;(i)
−2
6
√
3− 6√5;(j)
1
6
√
2 + 1
;(k)
1
3
√
2− 6√3;(l)
−21
6
√
4 + 3
√
5
;(m)
1
3
√
4 + 3
√
2 + 1
;(n)
14
3
√
25− 3√10 + 3√4;(o)
1
3
√
2 + 6
√
2 + 1
;(p)
1
3
√
4− 6√12 + 3√3.(q)
25. Observe os exemplos nos itens (a), (b) e (c) e fatores as expresso˜es dadas:
5 + 2
√
6 = 3 + 2
√
6 + 2 = (
√
3 +
√
2)2;(a)
7− 4√3 = 7− 2√12 = 4− 2√12 + 3 = (2−√3)2;(b)
3−√5 = 1
2
(6− 2√5) = 1
2
(5− 2√5 + 1) = 1
2
(
√
5− 1)2;(c)
8 + 2
√
15;(d) 3 + 2
√
2;(e) 9− 4√5;(f)
4−√7;(g) 7 + 3√5;(h) 8− 4√3.(i)
26. Transforme as expresso˜es abaixo em radicais simples como no item (a) (verifique na calculadora que a
igualdadedo item (a) realmente e´ verdadeira):√
5 + 2
√
6 =
√
3 +
√
2;(a)
√
8− 2√15;(b)
√
8 + 2
√
12;(c)√
9− 6√2;(d)
√
25 + 10
√
6;(e)
√
9− 4√5.(f)
Dica. Observe com atenc¸a˜o o exerc´ıcio anterior.
Lista de exerc´ıcios retirada e adaptada de
A. Z. Aranha e M. B. Rodrigues – Exerc´ıcios de Matema´tica - vol. 1, Revisa˜o de 1o grau. Segunda
edic¸a˜o, Editora Policarpo, Sa˜o Paulo, 1998.
5