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PROBABILIDADE ESTATÍSTICA PROFª IZABEL 1 Definição de probabilidade A probabilidade é a porcentagem (fração) de um evento ocorrer. 2 Introdução O Estudo dos métodos estatísticos permite partir de uma amostra obter conclusões sobre a população. No entanto, a tomada de decisões (após a aplicação dos métodos estatísticos) se baseia em probabilidades (chances) de os eventos ocorrerem. 3 Dados e informação Garimpando os dados … Para obter informação! 4 Conceitos básicos • Experimento: é qualquer processo que permite ao pesquisador fazer observações. Exemplos: a ocorrência de um raio, uma viagem aérea, o lançamento de uma moeda, temperatura de uma região, apólices vendidas por seguradoras; funcionários de uma empresa. • Evento: é um resultado ou, eventualmente, um conjunto de resultados ocorridos no experimento. Exemplo: o raio atingir (ou não) uma pessoa; o avião chegar (ou não) no horário correto; ao jogar a moeda o evento foi cara; a temperatura ser abaixo (ou acima) de 20ºc; a venda de passagens para Brasília ser maior que para o Rio de Janeiro; 5 Conceitos básicos • Evento Simples: é o resultado, ou um evento, que não comporta mais decomposições. Exemplo: ao jogar o dado, o evento simples foi o número cinco; • Evento não Simples: pode ser decomposto em dois (ou mais) eventos simples. Exemplo: ao jogar dois dados o evento foi o número oito; não é um evento simples, pois é composto por mais de um evento simples, tal como “ dois e seis” ou “três e cinco”; 6 Conceitos básicos • Espaço amostral de um experimento ou universo(S): é composto pelo conjunto de todos os eventos simples possíveis; o espaço amostral é também chamado de conjunto universo, sendo que n(S) é o número total de elementos que compõem o universo S. Ex: no lançamento de uma moeda, o espaço amostral é composto de dois eventos simples: cara e coroa. Neste caso: n(S) = 2 7 Conceitos básicos ....continuação • No lançamento de duas moedas, o espaço amostral é composto de quatro eventos: (cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara) e (coroa, coroa). Para esse exemplo n(S) = 4. • No lançamento de um dado o espaço amostral é composto de seis eventos ( n(S) = 6): 1;2;3;4;5 e 6. • No lançamento de dois dados, o espaço amostral é composto de trinta e seis eventos (n(S) = 36): (1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1); (2,2);.... 8 Experimentos aleatórios •Determinísticos •Aleatórios Fenômenos 9 Fenômenos determinísticos Conduzem sempre a um mesmo resultado, quando as condições iniciais são as mesmas. Exemplo: tempo de queda livre de um corpo. Mantidas as mesmas condições, as variações obtidas para o valor do tempo de queda livre de um corpo são extremamente pequenas ( em alguns casos desprezíveis) 10 Fenômenos aleatórios Os fenômenos aleatórios podem conduzir a diferentes resultados; mesmo quando as condições iniciais são as mesmas, existe a imprevisibilidade do resultado. Exemplo: lançamento de um dado. 11 • A teoria da Probabilidade não é aplicada a fenômenos determinísticos, mas, por outro lado, é extremamente útil para fenômenos aleatórios 12 Características dos experimentos aleatórios • Um fenômeno pode ser repetitivo quantas vezes se fizerem necessárias. Se não houver possibilidade de repetição, não o classificamos como experimento. REPETITIVIDADE • Um fenômeno apresenta igual possibilidade de ocorrência para resultados REGULARIDADE 13 TEORIA DA PROBABILIDADE • A Probabilidade P(A) é definida como a relação entre o número de possíveis resultados favoráveis do evento e todos os possíveis resultado do experimento. Sendo que: A é o evento favorável; n(A) é o número de elementos do evento favorável A; n (S) é o número total de elementos do Universo (S). 14 Exemplo • Considere o lançamento de um dado. O espaço amostral é S = {1,2,3,4,5,6}. a) Qual a probabilidade de se obter um número ímpar na face superior do dado? Evento favorável: A número de elementos do evento favorável : n(A) Espaço amostral ( ou universo): S número de elementos do espaço amostral : n(S). 15 Exemplo • Considere o lançamento de um dado. O espaço amostral é S = {1,2,3,4,5,6}. a) Qual a probabilidade de se obter um número ímpar na face superior do dado? Evento favorável: A = { 1,3,5} número de elementos do evento favorável : n(A) = 3 Espaço amostral ( ou universo): S = {1,2,3,4,5,6} número de elementos do espaço amostral : n(S) = 6 16 Para pensar … Veja os exercícios!!! 17 Exemplo • Considere o lançamento de um dado. O espaço amostral é S = {1,2,3,4,5,6}. b) Qual a probabilidade de se obter o número 2 na face superior do dado? c) Qual a probabilidade de se obter o número 8 na face superior do dado? d) Qual a probabilidade de se obter um número múltiplo de 3? 18 Exemplo: Resposta • Considere o lançamento de um dado. O espaço amostral é S = {1,2,3,4,5,6}. b) Qual a probabilidade de se obter o número 2 na face superior do dado? Evento favorável: A: {2} número de elementos do evento favorável : n(A) = {1} Espaço amostral ( ou universo): S = {1,2,3,4,5,6} número de elementos do espaço amostral : n(S) = 6 19 Exemplo: Resposta • Considere o lançamento de um dado. O espaço amostral é S = {1,2,3,4,5,6}. c) Qual a probabilidade de se obter o número 8 na face superior do dado? Evento favorável: A: número de elementos do evento favorável : n(A) = {0} Espaço amostral ( ou universo): S = {1,2,3,4,5,6} número de elementos do espaço amostral : n(S) = 6 20 Exemplo: Resposta • Considere o lançamento de um dado. O espaço amostral é S = {1,2,3,4,5,6}. d) Qual a probabilidade de se obter um número múltiplo de 3? Evento favorável: A: { 3,6} número de elementos do evento favorável : n(A) = {2} Espaço amostral ( ou universo): S = {1,2,3,4,5,6} número de elementos do espaço amostral : n(S) = 6 21 Exemplo 2 • Uma pesquisa do PC World foi realizada com 4.000 proprietários de computadores pessoais, e verificou que 992 dos computadores apresentaram falhas num intervalo de dois anos após a compra. Tomando como base estes resultados, qual a probabilidade de você comprar um computador pessoal e ele apresentar problema nos próximos dois anos? 22 Resposta • Uma pesquisa do PC World foi realizada com 4.000 proprietários de computadores pessoais, e verificou que 992 dos computadores apresentaram falhas num intervalo de dois anos após a compra. Tomando como base estes resultados, qual a probabilidade de você comprar um computador pessoal e ele apresentar problema nos próximos dois anos? 23 Exemplo 3 O RH de uma empresa é composto de 15 homens e 35 mulheres. É feito o sorteio aleatório de um funcionário, qual a probabilidade de não ser mulher? 24 Exemplo 4 • A pesquisa de um jornal de São Paulo revelou que 200 brasileiros foram mortos por raios no período de um ano (ano 2000). qual a probabilidade de uma pessoa ser atingida por um raio, sabendo-se que a população brasileira está em torno de 170 milhões? 25 REGRAS PARA O CÁLCULO DAS PROBABILIDADES • Certo • Elementar • Impossível • Qualquer Evento Podemos estabelecer algumas regras relativas ao evento considerando em função do espaço amostral 26 Evento certo • Eventocerto: podemos dizer que o evento favorável (A) é um evento certo, se o número de elementos do evento favorável (A) for igual ao número de elementos do espaço amostral (S); • A probabilidade de um evento certo corresponder à probabilidade máxima: P(A)máxima = 1. n(A) = n(S) → P(A) =1 27 Evento elementar • Um evento é denominado elementar, se o evento favorável (A) for um conjunto unitário; n (A) = 1 • A probabilidade de um evento simples (ou elementar) é: 28 Evento impossível • Denomina-se evento impossível, se o evento favorável (A) for constituído por um conjunto vazio; nesse caso, o número de elementos de A é um conjunto nulo; A = ф → n(A) = 0 A probabilidade de um evento impossível sempre corresponde à probabilidade mínima: P(A) = 0 29 Evento qualquer • Como a menor probabilidade é zero e a probabilidade máxima é a unidade, a probabilidade de um evento favorável (A) qualquer é um número real, tal que: 0 ≤ P(A) ≤ 1. 30 EVENTOS MUTUALMENTE EXCLUSIVO EVENTOS COMPLEMENTARES EVENTOS NÃO MUTUALMENTE EXCLUSIVOS PROBABILIDADE CONDICIONAL REGRA DO PRODUTO EVENTOS INDEPENDENTES REGRA DE BAYES 31 • Dois eventos são mutuamente exclusivos se A∩ B = ф, neste caso: EVENTOS MUTUALMENTE EXCLUSIVO P(A υ B) = P(A+B) = P(A) + P(B) Se A ∩ B = ф; A ∩ C = ф e B ∩ C = ф então P(A υ B υ C ) = P(A) + P(B) + P(C) 32 • Exemplo: no lançamento de um dado, considera-se o evento A= {1,5} e o evento B = {2,4,6}. EVENTOS MUTUALMENTE EXCLUSIVO 33 Se Ᾱ é o evento complementar de A→P(Ᾱ)=1–P(A). os eventos complementares também podem ser tratados como probabilidade contrária. A probabilidade contrária e a probabilidade favorável são eventos mutuamente exclusivos, pois a ocorrência de um evento impede a ocorrência do outro evento, ou seja, A∩Ᾱ=ф. A é um evento favorável; Ᾱ é o evento complementar de A ( ou evento contrário) P(A) é a probabilidade de ocorrência do evento favorável A P(Ᾱ) é a probabilidade de ocorrência do evento complementar Ᾱ; EVENTOS COMPLEMENTARES P(A) + P(Ᾱ) = 1 34 • Exemplo: Num evento, foram vendidos 50 bilhetes, e será sorteado um premio. Qual a probabilidade de uma pessoa, que tenha adquirido 4 bilhetes, ganhar o prêmio? Qual a probabilidade dessa pessoa não ganhar (probabilidade contrária)? EVENTOS COMPLEMENTARES 35 Exemplo: Num evento, foram vendidos 50 bilhetes, e será sorteado um premio. Qual a probabilidade de uma pessoa, que tenha adquirido 4 bilhetes, ganhar o prêmio? Qual a probabilidade dessa pessoa não ganhar (probabilidade contrária)? EVENTOS COMPLEMENTARES Solução: a) Probabilidade da pessoa ganhar o prêmio Evento favorável A: GANHAR O PRÊMIO n(A) = 4 é o número de bilhetes adquiridos ( número de eventos favoráveis); n(S) = 50 é o número total de bilhetes (número total de elementos do universo). A probabilidade é expressa em valores percentuais. 36 Qual a probabilidade dessa pessoa não ganhar (probabilidade contrária)? EVENTOS COMPLEMENTARES Solução: a) Probabilidade da pessoa não ganhar o prêmio Evento favorável A: GANHAR O PRÊMIO Evento complementar Ᾱ: NÃO GANHAR O PRÊMIO A probabilidade contrária pode ser calculada por mais de uma forma: Primeira solução P(A) = 0,08 (probabilidade favorável) 0,08 + P(Ᾱ) = 1 P(Ᾱ) = 1 – 0,08 = 0,092 A probabilidade da pessoa não ganhar o prêmio ( probabilidade contrária) é de 0,92 ou 92%. 37 Qual a probabilidade dessa pessoa não ganhar (probabilidade contrária)? EVENTOS COMPLEMENTARES Solução: a) Probabilidade da pessoa não ganhar o prêmio Evento favorável A: GANHAR O PRÊMIO Evento complementar Ᾱ: NÃO GANHAR O PRÊMIO Segunda solução Se a pessoa adquiriu 4 bilhetes, significa que existem 50 – 4 = 46 bilhetes que se forem sorteados não darão o prêmio a essa pessoa. A probabilidade da pessoa não ganhar o prêmio ( probabilidade contrária) é de 0,92 ou 92%. 38 • No lançamento de um dado, consideramos o evento A={1,2,5,6} e o evento B={2,4,6}. • Os eventos não são mutuamente exclusivos, pois a intersecção de A e B não é um conjunto vazio: A ∩ B = {2,6}. • P(A)= 4/6 • P(B)=3/6 • P(A∩B)=2/6 EVENTOS NÃO MUTUALMENTE EXCLUSIVOS – exemplo 1 P(A υ B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) P(A υ B) = 4/6 + 3/6 – 2/6 P(A υ B) = 5/6 39 • Num grupo de 300 empresários cadastrados por uma agência de viagens, 100 visitarão Fortaleza e 80 visitarão Manaus (os empresários restantes viajarão para outras cidades). Esses dados incluem 30 empresários que visitarão as duas cidades (ou seja, visitarão tanto fortaleza como Manaus). • Qual a probabilidade de um empresário aleatoriamente escolhido visitar: a) Fortaleza b) Manaus c) Fortaleza ou Manaus . EVENTOS NÃO MUTUALMENTE EXCLUSIVOS exemplo 2 40 • Solução: F: empresários que visitarão Fortaleza; n(S)=300(Nº total de empresários); n(F)=100 (Nº de empresários que visitarão Fortaleza); M: empresários que visitarão Manaus; n(M) = 80 (Nº de empresários que visitarão Manaus); F∩ M = 30 (Nº de empresários que visitarão as duas cidades, tanto Fortaleza como Manaus); a) P(F) = 100/300 = 0,33 b) P(M) = 80/300=0,27 c) P(FυM) = P(F) + P(M) – P(F∩M) = 100/300 + 80/300 - 30/300 = 150/300 = 0,50 EVENTOS NÃO MUTUALMENTE EXCLUSIVOS exemplo 2 41 P(FυM) = P(F) + P(M) – P(F∩M) • Um grupo de 15 pessoas preencheu uma ficha de solicitação de emprego no RH de uma empresa. As fichas continham as seguintes opções: – ( ) Analista administrativo – ( ) Assistente de compras – ( ) Assistente financeiro • Cada candidato podia assinalar uma ou mais opções de cargos, de acordo com a competência e experiência de cada um. EVENTOS NÃO MUTUALMENTE EXCLUSIVOS exemplo 3 42 • Resultado: – A = Analista administrativo: 7 candidatos – B = Assistente de compras: 9 candidatos – C = Assistente financeiro: 8 candidatos – 5 pessoas de candidataram simultaneamente aos cargos de analista adm ou assistente de compras A ordem das entrevistas será determinada por sorteio, qual a probabilidade que o primeiro sorteado tenha escolhido o cargo de: a) Analista administrativo (A); b) Assistente de compras (B); c) Analista administrativo ou assistente de compras (A ou B). EVENTOS NÃO MUTUALMENTE EXCLUSIVOS exemplo 3 43 • Solução a) P(A) = 7/15 = 0,4667 b) P(B) = 9/15 = 0,6000 c) P(A υ B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = P(A υ B) = 7/15 + 9/15 – 5/15 = 11/15 = 0,7333 EVENTOS NÃO MUTUALMENTE EXCLUSIVOS exemplo 3 44 • É a avaliação da probabilidade da ocorrência de um evento (A) condicionada à ocorrência de outro evento (B). Parte-se do princípio e do conhecimento de que o evento (A) vai ocorrer anteriormente e, de forma atrelada à ocorrência de A, calcula-se a probabilidade de (B) ocorrer. PROBABILIDADE CONDICIONAL 45 Notação: P(B/A) Lê-se “probabilidade de B dado A”, ou ainda, “ probabilidade de B condicionada à ocorrência de A” Na verdade, é calculada a probabilidade de B ocorrer supondo que A tenha ocorrido. PROBABILIDADE CONDICIONAL 46 • Considere o conjunto de números inteiros {1,2,3,.....19,20}, e, por meio de um sorteio aleatório, seja selecionado um número. Se o número sorteado for ímpar, qual a probabilidade de o número sorteado ser o número 13? PROBABILIDADE CONDICIONAL exemplo 1 47 • Considere o conjunto de números inteiros {1,2,3,.....19,20},e, por meio de um sorteio aleatório, seja selecionado um número. Se o número sorteado for ímpar, qual a probabilidade de o número sorteado ser o número 13? PROBABILIDADE CONDICIONAL exemplo 1 (Resposta) 48 • Solução: • Conjunto Universo: S= • Nº de elementos do conjunto universo: n(S) = • Evento B = • Nº de elementos do evento B: n(B) = • Evento A= • Nº de elementos do evento A: n(A) = • Interseção: A∩B = • Número de elementos da interseção: n(A∩B)= • A definição do produto é obtida a partir da definição de probabilidade condicional. REGRA DO PRODUTO 49 • São retiradas sem reposição duas cartas de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de que as duas cartas sejam de ouros? REGRA DO PRODUTO (EXEMPLO 1) 50 • São retiradas sem reposição duas cartas de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de que as duas cartas sejam de ouros? REGRA DO PRODUTO (EXEMPLO 1 - Resposta) 51 • Solução: Total de cartas do baralho: n(S) = Total de cartas de ouro do baralho: n(A) = P(A)= (n(A)/n(S) • Como não há reposição de cartas, a primeira retirada é de ouro e fica fora do baralho. • Para o cálculo de P(B/A): n(S) = n(B/A) = P(B/A) = • Num evento beneficente, foram vendidos 20 números, e serão sorteados dois prêmios. Qual a probabilidade de uma pessoa que tenha adquirido quatro números ganhar os dois prêmios? REGRA DO PRODUTO (EXEMPLO 2) 52 • Num evento beneficente, foram vendidos 20 números, e serão sorteados dois prêmios. Qual a probabilidade de uma pessoa que tenha adquirido quatro números ganhar os dois prêmios? REGRA DO PRODUTO (EXEMPLO 2) 53 • Solução: • Total de bilhetes: n(S) = • Total de bilhetes adquiridos pela pessoas (evento favoráveis): n(A) = P(A) = n(A)/n(S) = P(B/A) = • Dois eventos são independentes quando a realização (ou não) de um evento não interfere na ocorrência (ou não) do evento seguinte. EVENTOS INDEPENDENTES Se dois eventos são independentes: Se “n” eventos são independentes: 54 Com a introdução do imposto sobre o lixo, uma empresa encomendou uma pesquisa de opinião junto a parlamentares da Câmara Municipal. Segundo essa pesquisa, a probabilidade de a empresa vencer a licitação para coleta de lixo no bairro de Sérvia amarela é de 60%. A pesquisa revelou ainda que a probabilidade de a empresa ganhar a licitação para coleta de lixo no bairro conceição é de 90%. Qual a probabilidade de essa empresa vencer as duas concorrências? EVENTOS INDEPENDENTES (exemplo 1) 55 São retiradas, com reposição, duas cartas de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de que as duas cartas sejam de ouro? EVENTOS INDEPENDENTES (exemplo-2) 56 São retiradas, com reposição, duas cartas de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de que as duas cartas sejam de ouro? EVENTOS INDEPENDENTES (exemplo-2) 57 Solução: P(A) = n(A)/n(S) P(B) = n(B)/n(S) • Um lote é formado por um total de 80 peças, sendo 45 peças perfeitas, 30 com pequenos defeitos e 5 com defeitos graves. Pretende-se retirar 4 peças ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de que as 4 peças retiradas sejam: a) Todas as 4 perfeitas; b) Duas perfeitas e duas com pequenos defeitos; c) Nenhuma das 4 peças com pequenos defeitos. EVENTOS INDEPENDENTES (exemplo -3) 58 • Um lote é formado por um total de 80 peças, sendo 45 peças perfeitas, 30 com pequenos defeitos e 5 com defeitos graves. Pretende-se retirar 4 peças ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de que as 4 peças retiradas sejam: a) Todas as 4 perfeitas; b) Duas perfeitas e duas com pequenos defeitos; c) Nenhuma das 4 peças com pequenos defeitos. EVENTOS INDEPENDENTES (exemplo -3 - Resposta) 59 • Consideram-se n eventos mutuamente exclusivos, tais que a união desses eventos resulte igual ao espaço amostral. REGRA DE BAYES A1 υ A2 υ A3...υ An = S • Supondo conhecidas as probabilidades de cada um dos n eventos, e considerando um evento B de S, tal que sejam conhecidos todas as probabilidades condicionais em relação a cada um dos n eventos P(B/Ai). Para cada uma das probabilidades condicionais P(Ai/B), temos: 60 • Um baralho foi separado em três montes, supondo as seguintes distribuições: REGRA DE BAYES (Exemplo-1) Naipes 1º monte (A ₁) 2º monte (A₂) 3º monte (A₃) Ouros Copas Espadas Paus 4 6 2 5 4 3 5 7 5 4 6 1 17 19 16 Tabela 1 Distribuição das cartas de um baralho em três montes • Escolhemos um monte ao acaso e retiramos aleatoriamente uma carta. Tendo sido retirada uma carta de copas, qual a probabilidade de ela ter sido extraída do terceiro monte? 61 Exercícios • De um baralho de 52 cartas, determine a probabilidade de ser retirada: a) Um ás (A) b) Uma carta de ouro. c) Um ás (A) de ouro. d) Um ás (A) ou uma carta de ouro. e) Uma carta com figura (J, Q ou K). f) Três reis em seguida, sem reposição. g) Uma carta que não seja ouro. h) Três cartas em seguida, com reposição, e todas não serem de ouro. i) Três cartas em seguida, com reposição, e pelo menos uma delas ser de ouro. j) Um rei (K), dado que a carta é de ouro. k) Uma carta de ouro, dado que a carta retirada é um rei(K). 62
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