Prova 1 Téorica

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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Engenharias da Mobilidade
Gabarito - Prova 1TA - Ca´lculo Nume´rico - 2015/1
Nome:
Nota
Obs: Escreva sua resposta de maneira leg´ıvel, clara e objetiva. (001)
1. Sobre os me´todos nume´ricos para encontrar ra´ızes reais de func¸o˜es reais, some as alternativas
corretas: [2.0 Pts]
(01) Umas das caracter´ısticas do me´todo da bissec¸a˜o e´ a convergeˆncia incondicional, ou seja, o
me´todo sempre converge. (Certo)
(02) Uma das vantagens do me´todo da bissec¸a˜o sobre o me´todo de newton e´ sua ra´pida convergeˆncia.
(Errado)
(04) O me´todo de Newton torna-se insta´vel (diverge) se a derivada da func¸a˜o tiver valor elevado na
proximidade do chute inicial. (Errado)
(08) Para toda func¸a˜o f(x) sempre existe um chute inicial tal que o me´todo de Newton converge
para sua raiz. (Certo)
(16) O me´todo da secante e´ um aprimoramento do me´todo de Newton-Raphson com o intuito de
melhorar a velocidade de convergeˆncia. (Errado)
(32) E´ garantida a existeˆncia de um u´nico ponto fixo de uma func¸a˜o g(x) em um intervalo [a, b] se
esta e´ continua nesse intervalo e se a < g(x) < b. (Errado)
(64) Se uma func¸a˜o f(x) possuir uma descontinuidade no intervalo [a, b] enta˜o o me´todo da bissec¸a˜o
na˜o pode ser aplicado para este intervalo. (Certo)
2. Sobre a aritme´tica de ponto flutuante, some as alternativas corretas. [2.0 Pts]
(1) A falha no sistema anti-a´reo Patriot ocorreu pois os engenheiros na˜o consideraram a perda de
precisa˜o na conversa˜o de um nu´mero de 32 para 16 bits. (Errado)
(2) Os nu´meros 0, 3 e 0, 4 na˜o podem ser armazenados exatamente em uma ma´quina bina´ria.
(Certo)
(4) Overflow ocorre quando somente uma pequena quantidade de bits e´ utilizada para armazenar
a mantissa do e´ insuficiente para armazenar o nu´mero. (Errado)
(8) Underflow ocorre quando o nu´mero se torna muito pequeno (pro´ximo de zero) para ser arma-
zenado no sistema de ponto flutuante. (Certo)
Obs: Em func¸a˜o do erro no item (4) acrescentei 1/2 ponto em todas as provas
3. Sobre me´todos nume´ricos para soluc¸a˜o de sistemas lineares::
a) Enuncie as operac¸o˜es permitidas em um sistema linear, ou seja, que na˜o alteram a soluc¸a˜o do
mesmo. Indique a fo´rmula para cada operac¸a˜o. [0.5 Pts]
R: Sa˜o treˆs operac¸o˜es ba´sicas
• Multiplicac¸a˜o de uma equac¸a˜o por uma constante: λEi → Ei
• Troca de duas equac¸o˜es: Ei ↔ Ej
• Soma de um mu´ltiplo de uma equac¸a˜o em outra equac¸a˜o: Ej + λEi → Ej
b) Explique o funcionamento do me´todo de Eliminac¸a˜o Gaussiana. [0.5 Pts]
R: O me´todo da Eliminac¸a˜o Gaussiana consiste em duas etapas: Escalonamento e Substituic¸a˜o
Regressiva. Na etapa de escalonamento utiliza-se as operac¸o˜es acima citadas para transformar o
sistema original em um sistema triangular superior, o que permite que as varia´veis sejam calculadas
atrave´s de uma substituic¸a˜o regressiva. Nesta segunda etapa encontra-se o valor da u´ltima varia´vel
ate´ primeira, usando respectivamente a u´ltima equac¸a˜o ate´ a primeira
c) Discuta em que circunstaˆncias o me´todo de Eliminac¸a˜o Gaussiana deixa de ser vantajoso e por
que? [1.0 Pts]
R: Em um sistema n× n o nu´mero de operac¸o˜es requeridas pela eliminac¸a˜o gaussiana e´ da ordem
de n3. Logo para sistemas grandes o me´todo torna-se invia´vel pois o nu´mero de operac¸o˜es e´ muito
elevado, o que acarreta em um grande tempo de computac¸a˜o. Adicionalmente, como o computador
utiliza nu´mero em ponto flutuante, um grande nu´mero de operac¸o˜es acarreta em uma quantidade
razoa´vel de erros de arredondamento.
4. Demonstre como o me´todo de Newton pode ser obtido como um caso particular do me´todo do
ponto fixo, onde |g′(x)| ≈ 0, sendo g(x) a func¸a˜o auxiliar. [2.0 Pts]
R: Ver slides 55 ate´ 58 da aula sobre Me´todo de Newton-Raphson e Me´todo da Secante.
5. O me´todo babiloˆnico, um antigo me´todo para aproximac¸a˜o da raiz quadrada de qualquer nu´mero
positivo a, pode ser formulado como xi+1 = (xi + a/xi)/2. Mostre que essa fo´rmula e´ baseada no
algoritmo do me´todo de Newton-Raphson. [2.0 Pts]
R: Queremos encontrar a raiz quadrada do nu´mero a. Chamando esse valor de x temos:
x =
√
a
Ou analogamente,
x2 = a
x2 − a = 0
Aplicando o me´todo de Newton para a func¸a˜o f(x) = x2 − a
xi+1 = xi − f(xi)
f ′(xi)
xi+1 = xi − x
2
i − a
2xi
xi+1 =
xi + a/xi
2