CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL LISTA 1 ESTACIO

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
 
1. C(x) = x
2
 – 80x + 3000 
 Custo mínimo: C’(x) = 0 
C(x) = x
2
 – 80x + 3000 
C’(x) = 2x – 80 
0 = 2x – 80 
2x – 80 = 0 
2x = 80 
x = 
 80 
2 
 C(x) = x
2
 – 80x + 3000 
C = 40
2
 – 80 . 40 + 3000 
C = 1600 – 3200 + 3000 
 C = 1400 reais 
 
 x = 40 unidades 
 
Resposta: Alternativa c. 
 
2. f(x) = x
2
 – 7x + 12 
Para x = 1: 
f(x) = x
2
 – 7x + 12 
f(1) = 1
2
 – 7 . 1 + 12 
f(1) = 1 – 7 + 12 
f(1) = 6 
f’(x) = 2x – 7 
f’(1) = 2 . 1 – 7 
f’(1) = 2 – 7 
f’(1) = – 5 
 
 Equação da reta tangente: 
xO = 1 e f(xO) = 6: 
y – f(xO) = f’(xO) . (x – xO) 
y – 6 = – 5 . (x – 1) 
y – 6 = – 5x + 5 
y = – 5x + 5 + 6 
 Equação da reta normal: 
y – f(xO) = – 
 1 
 f'(xO) 
 . (x – xO) 
y – 6 = – 
 1 
 – 5 
 . (x – 1) 
y – 6 = 
 1 
 5 . (x – 1) 
5 . (y – 6) = 1 . (x – 1) 
5y – 30 = x – 1 
5y = x – 1 + 30 
 y = – 5x + 11 
 
 5y = x + 29 
 
3. f(x) = ln (x
2
 – 3) 
Para x = 2: 
f(x) = ln (x
2
 – 3) 
f(2) = ln (2
2
 – 3) 
f(2) = ln (4 – 3) 
f(2) = ln (1) 
f(2) = 0 
f’(x) = 
 2x 
 x2 – 3 
 
f’(2) = 
 2 . 2 
 22 – 3 
 = 
 4 
 4 – 3 
 
f’(2) = 
 4 
 1 
f’(2) = 4 
 
Equação da reta tangente: 
xO = 2 e f(xO) = 0: 
y – f(xO) = f’(xO) . (x – xO) 
y – 0 = 4 . (x – 2) 
y = 4x – 8 
 
Resposta: Alternativa c. 
 
4. f(x) = 8x
4
 + 5x
3
 – x
2
 + 7 
f’(x) = 32x
3
 + 15x
2
 – 2x 
 
f’’(x) = 96x
2
 + 30x – 2 
 
f’’’(x) = 192x + 30 
 
f
(IV)
(x) = 192 
 
f
(V)
(x) = 0 
 
5. f(x) = x
3
 
Ponto de inflexão: f’’(x) = 0 
f’(x) = 3x
2
 
f’’(x) = 6x 
0 = 6x 
 6x = 0 
x = 
 0 
 6 
x = 0 
 f(x) = x
3
 
f(0) = 0
3
 
 O ponto (0, 0) é o ponto 
de inflexão. 
 f(0) = 0 
 
Resposta: Alternativa a. 
6. s(t) = 16t – 2t
2
 
a) Intervalo [1, 3]: 
Para tO = 1 s: 
s(t) = 16t – 2t
2
 
s(1) = 16 . 1 – 2 . 1
2
 
s(1) = 16 – 2 . 1 
s(1) = 16 – 2 
s(1) = 14 m 
Para t1 = 3 s: 
s(t) = 16t – 2t
2
 
s(3) = 16 . 3 – 2 . 3
2
 
s(3) = 48 – 2 . 9 
s(3) = 48 – 18 
s(3) = 30 m 
 
vm = 
 s(t1) – s(tO) 
 t1 – tO 
 = 
 30 – 14 
 3 – 1 
 = 
 16 
 2 
vm = 8 m/s 
 
b) Para t = 1: 
v = 
 ds 
 dt 
 = 16 – 4t = 16 – 4 . 1 = 16 – 4 
v = 12 m/s 
 
7. r: y = ax + b; s: y = cx + d e f’(1) = 1/2 = 0,5 
Reta r: 
y = ax + b 
f’(x) = a 
f’(1) = a 
0,5 = a 
a = 0,5 
O ponto (2, 0) pertence à reta r: 
y = ax + b 
0 = 0,5 . 2 + b 
0 = 1 + b 
b + 1 = 0 
b = – 1 
 
Reta s: 
y = cx + d 
f’(x) = c 
f’(1) = c 
0,5 = c 
c = 0,5 
O ponto (0, 3) pertence à reta s: 
y = cx + d 
3 = 0,5 . 0 + d 
3 = 0 + d 
d = 3 
a + b + c + d = 0,5 – 1 + 0,5 + 3 
a + b + c + d = 3 
 
Resposta: Alternativa c. 
 
8. 
 dL 
 dt 
 = 2 cm/s 
Área do triângulo equilátero: A = 
 L2√3 
 4 
Para L = 15 cm: 
 dA 
 dt 
 = 
 dA 
 dL 
 . 
 dL 
 dt 
 (Regra da cadeia) 
 dA 
 dt 
 = 
 2L√3 
 4 . 2 = 
 4 . 15√3 
 4 = 
 60√3 
 4 
 dA 
 dt 
 = 15√3 cm
2
/s 
 
Resposta: Alternativa a. 
 
9. f(x) = e
sen x 
f(x) = e
sen x
 
f’(x) = (e
sen x
) . (sen x)’ 
f’(x) = (e
sen x
) . cos x 
 
Resposta: Alternativa d. 
 
10. x
4
 + y
4
 = 16 
x
4
 + y
4
 = 16 
y
4
 = 16 – x
4
 
4y
3
dy = – 4x
3
dx 
 dy 
 dx 
 = – 
 4x3 
 4y3 
 
 dy 
 dx 
 = – 
 x3 
 y3 
 
 
 
Resposta: Alternativa a. 
 
11. 
 dr 
 dt 
 = 4 m/h; π = 3,1415 
Área do círculo: A = πr
2
 
Para r = 100 m: 
 dA 
 dt 
 = 
 dA 
 dr 
 . 
 dr 
 dt 
 (Regra da cadeia) 
 dA 
 dt 
 = 2πr . 4 = 2 . 3,1415 . 100 . 4 
 dA 
 dt 
 = 2313,2 m
2
/h 
 
Resposta: Alternativa a. 
 
12. P = 50 m 
Perímetro do retângulo: P = 2x + 2y 
Área do retângulo: A = xy 
P = 2x + 2y 
50 = 2x + 2y 
2x + 2y = 50 (÷ 2) 
x + y = 25 
y = 25 – x 
 Área máxima: A’ = 0 
A = xy 
A = x . (25 – x) 
A = 25x – x
2
 
A’ = 25 – 2x 
0 = 25 – 2x 
2x = 25 
 x = 
 25 
 2 
 x = 12,5 m 
 
 y = 25 – x 
y = 25 – 12,5 
 y = 12,5 m 
 
 
A = xy = 12,5 . 12,5 
A = 156,25 m
2
 
 
Resposta: Alternativa c. 
 
13. 5y
2
 + sen (3y) = x
2
 
5y
2
 + sen (3y) = x
2
 
[10y + 3cos (3y)]dy = 2xdx 
 dy 
 dx 
 = 
 2x 
 10y + 3cos (3y) 
 
y’ = 
 2x 
 10y + 3cos (3y) 
 
 
Resposta: Alternativa a. 
 
14. f(x) = 
 1 
 √x2 + x + 1
3
 
 = (x2 + x + 1)
– 1 
3 
f(x) = (x2 + x + 1)
– 1 
3 
f’(x) = – 
 1 
 3 . (x
2 + x + 1)
– 1 
3
 – 1
 . (2x + 1) 
f’(x) = – 
 1 
 3 (x
2 + x + 1)
– 4 
3 (2x + 1) 
 
Resposta: Alternativa a. 
 
15. f(x) = 3x
2
 – 12x + 8 
Para x = 3: 
f(x) = 3x
2
 – 12x + 8 
f(3) = 3 . 3
2
 – 12 . 3 + 8 
f(3) = 27 – 36 + 8 
f(3) = – 1 
f’(x) = 6x – 12 
f’(3) = 6 . 3 – 12 
f’(3) = 18 – 12 
f’(3) = 6 
 
 Equação da reta tangente: 
xO = 3 e f(xO) = – 1: 
y – f(xO) = f’(xO) . (x – xO) 
y – (– 1) = 6 . (x – 3) 
y + 1 = 6x – 18 
y – 6x + 1 + 18 = 0 
 Equação da reta perpendicular: 
y – f(xO) = – 
 1 
 f'(xO) 
 . (x – xO) 
y – (– 1) = – 
 1 
 6 . (x – 3) 
y + 1 = – 
 1 
 6 . (x – 3) 
6 . (y + 1) = – 1 . (x – 3) 
6y + 6 = – x + 3 
6y + x + 6 – 3 = 0 
 y – 6x + 19 = 0 
 
 6y + x + 3 = 0 
 
Resposta: Alternativa b. 
 
16. L = 40 cm e C = 52 cm 
Lado do quadrado de cada canto: x 
Comprimento da caixa: a = C – 2x = 52 – 2x 
Largura da caixa: b = L – 2x = 40 – 2x 
Altura da caixa: c = x 
Volume da caixa: V = abc 
Os lados da caixa devem ser positivos: 
a > 0 
52 – 2x > 0 
– 2x > – 52 . (– 1) 
2x < 52 
x < 
 52 
2 
x < 26 cm (I) 
b > 0 
40 – 2x > 0 
– 2x > – 40 . (– 1) 
2x < 40 
x < 
 40 
2 
x < 20 cm (II) 
c > 0 
x > 0 (III) 
 
Das condições I, II 
e III, temos que: 
0 < x < 20 cm 
 
Volume máximo da caixa sem tampa: V’ = 0 
V = abc 
V = (52 – 2x) . (40 – 2x) . x 
V = (52 – 2x) .(40x – 2x
2
) 
V = 2080x – 104x
2
 – 80x
2
 + 4x
3
 
V = 2080x – 184x
2
 + 4x
3
 
V’ = 2080 – 368x + 12x
2
 
0 = 2080 – 368x + 12x
2
 
2080 – 368x + 12x
2
 = 0 (÷ 4) 
3x
2
 – 92x + 520 = 0 
Δ = (– 92)
2
 – 4 . 3 . 520 
Δ = 8464 – 6240 
Δ = 2224 
 
x = 
– (– 92) ± √2224 
2 . 3
 
x = 
 92 ± 47,16 
6 
x’ = 
 92 + 47,16 
6 = 
 139,16 
6 
x’ = 23,19 cm > 20 (Não convém) 
 
x’’ = 
 92 – 47,16 
6 = 
 44,84 
6 
x’’ = 7,47 cm < 20 
 
  x = 7,47 cm 
 
 
 
Resposta: Alternativa d. 
 
17. x
2
 = y
3
(2 – y) 
Para x = 1 e y = 1: 
x
2
 = y
3
(2 – y) 
x
2
 = 2y
3
 – y
4
 
2xdx = (6y
2
 – 4y
3
)dy 
(6y
2
 – 4y
3
)dy = 2xdx 
 dy 
 dx 
 = 
 2x 
 6y2 – 4y3 
 
f’(x, y) = 
 2x 
 6y2 – 4y3 
 
f’(1, 1) = 
 2 . 1 
 6 . 12 – 4 . 13 
 
f’(1, 1) = 
 2 
 6 – 4 
 = 
 2 
 2 
f’(1, 1) = 1 
 
Equação da reta tangente: 
xO = 1 e yO = 1: 
y – yO = f’(xO, yO) . (x – xO) 
y – 1 = 1 . (x – 1) 
y – 1 = x – 1 
– x + y – 1 + 1 = 0 
– x + y = 0 . (– 1) 
x – y = 0 
 
Resposta: Alternativa b. 
 
18. f(x) = x
3
 – 12x + 1 
f(x) = x
3
 – 12x + 1 
f’(x) = 3x
2
 – 12 
Para f’(x) = 0: 
3x
2
 – 12 = 0 
3x
2
 = 12 
x
2
 = 
 12 
 3 
x
2
 = 4 
x = ± √4 
x = ± 2 
 Para x = 2: 
f’’(x) = 6x 
f’’(2) = 6 . 2 
f’’(2) = 12 >0 é ponto de mínimo local. 
 
f(x) = x
3
 – 12x + 1 
f(2) = 2
3
 – 12 . 2 + 1 = 8 – 24 + 1 
 f(2) = – 15 
 
y = – 15 é o valor mínimo local. 
 
Para x = – 2: 
f’’(x) = 6x 
f’’(– 2) = 6 . – 2 
f’’(– 2) = – 12 < 0 é ponto de máximo local. 
 
f(x) = x
3
 – 12x + 1 
f(– 2) = (– 2)
3
 – 12 . (– 2) + 1 = – 8 + 24 + 1 
f(– 2) = 17 
 
y = 17 é o valor máximo local. 
 
Ponto de Inflexão: f’’(x) = 0 
f’’(x) = 0 
6x = 0 
x = 
 0 
 6 
x = 0 
 f(x) = x
3
 – 12x + 1 
f(0) = 0
3
 – 12 . 0 + 1 
f(0) = 0 – 0 + 1 
f(0) = 1 
 Ponto (0, 1) 
 
O ponto (0, 1) é o ponto de inflexão. 
 
19. P = 1200 m 
Medida de frente para o rio: x 
Medida de profundidade para o rio: y 
Perímetro do campo retangular: P = x + 2y 
Área do campo retangular: A = xy 
P = x + 2y 
1200 = x + 2y 
x + 2y = 1200 
x = 1200 – 2y 
 Área máxima: A’ = 0 
A = xy 
A = (1200 – 2y) . y 
A = 1200y – 2y
2
 
A’ = 1200 – 4y 
0 = 1200 – 4y 
4y = 1200 
 y = 
 1200 
 4 
 y = 300 m 
 
 x = 1200 – 2y 
x = 1200 – 2 . 300 
x = 1200 – 600 
 x = 600 m 
Resposta: Alternativa b. 
 
20. y = x
4
 – 4x
3
 
y = x
4
 – 4x
3
 
f’(x) = 4x
3
 – 12x
2
 
Para f’(x) = 0: 
4x
3
 – 12x
2
 = 0 
x
2
 . (4x – 12) = 0 
x
2
 = 0 
x = ± √0 
x = ± 0 
x = 0 
4x – 12 = 0 
4x = 12 
x = 
 12 
 4 
x = 3 
 
 Para x = 0: 
f’’(x) = 12x
2
 – 24x 
f’’(0) = 12 . 0
2
 – 24 . 0 
f’’(0) = 12 . 0 – 0 
f’’(0) = 0 – 0 
f’’(0) = 0 é ponto de 
inflexão. 
 
f(x) = x
4
 – 4x
3
 
f(0) = 0
4
 – 4 . 0
3
 
f(0) = 0 – 4 . 0 
f(0) = 0 – 0 
 Para x = 3: 
f’’(x) = 12x
2
 – 24x 
f’’(3) = 12 . 3
2
 – 24 . 3 
f’’(3) = 12 . 9 – 72 
f’’(3) = 108 – 72 
f’’(3) = 36 > 0 é ponto de 
mínimo. 
 
f(x) = x
4
 – 4x
3
 
f(3) = 3
4
 – 4 . 3
3
 
f(3) = 81 – 4 . 27 
f(3) = 81 – 108 
 f(0) = 0 f(3) = – 27 
 
 O ponto (0, 0) é o ponto de 
inflexão. 
 O ponto (3, – 27) é o ponto de 
mínimo. 
 
Ponto de Inflexão: f’’(x) = 0 
f’’(x) = 0 
12x
2
 – 24x = 0 
x . (12x – 24) = 0 
x = 0 
12x – 24 = 0 
12x = 24 
x = 
 24 
 12 
x = 2 
 
 Para x = 0: 
f(x) = x
4
 – 4x
3
 
f(0) = 0
4
 – 4 . 0
3
 
f(0) = 0 – 4 . 0 
f(0) = 0 – 0 
 Para x = 2: 
f(x) = x
4
 – 4x
3
 
f(2) = 2
4
 – 4 . 2
3
 
f(2) = 16 – 4 . 8 
f(2) = 16 – 32 
 f(0) = 0 f(2) = – 16 
 
Os pontos (0, 0) e (2, – 16) são os pontos de inflexão. 
 
Resposta: Alternativa a.