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CALCULADORA FINANCEIRA: HP-12C 
 
 
 
Instrutora: Gislene Garcia Nora de Oliveira 
 
 
 
 
 
 
 
 
Abril/2010 
Curso de Extensão: Matemática Financeira utilizando a Calculadora HP-12C 
Instrutor: Gislene Garcia Nora de Oliveira 
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SUMÁRIO: 
1. PROGRAMA DO CURSO 
1.1. Ementa ........................................................................ 3 
1.2. Carga-horária ................................................................ 3 
1.3. Objetivo ...................................................................... 3 
2. FUNÇÕES BÁSICAS 
2.1. Funções Secundárias ........................................................ 3 
2.2. Separadores de Dígitos ..................................................... 3 
2.3. Números negativos .......................................................... 4 
2.4. Armazenando Dados ........................................................ 4 
2.5. Pilha Operacional ........................................................... 4 
2.6. As teclas “clear” ............................................................ 5 
2.7. Número de casas decimais ................................................. 6 
3. FUNÇÃO CALENDÁRIO 
3.1. Variação entre duas datas ................................................. 7 
3.2. Datas: futura ou passada ................................................... 7 
4. FUNÇÕES MATEMÁTICAS 
4.1. O inverso de um número ( )
x
1 ............................................ 7 
4.2. A tecla xy .................................................................... 8 
4.3. Logaritmo natural o Neperiano )(Ln .................................... 8 
5. PORCENTAGEM 
5.1. Cálculo de porcentagem simples ......................................... 8 
5.2. Diferença Percentual ....................................................... 9 
5.3. Participação do percentual total ......................................... 9 
6. FUNÇÕES FINANCEIRAS 
7.1. Juros Simples ................................................................ 11 
7.2. Juros Compostos ............................................................ 12 
7.3. Séries de pagamentos ou anuidades ..................................... 15 
7.4. Fluxo de caixa descontado ................................................. 14 
7. EXERCÍCIOS PROPOSTOS .................................................................... 17 
8. GABARITO ......................................................................................... 23 
9. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................ 24 
APENDICE I: Criando um Programa .......................................................... 25 
 
 
 
 
Curso de Extensão: Matemática Financeira utilizando a Calculadora HP-12C 
Instrutor: Gislene Garcia Nora de Oliveira 
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1. PROGRAMA DO CURSO 
1.1. Ementa 
• Funções Básicas: Funções Secundárias, Separadores de Dígitos, Números negativos, 
Armazenando dados, Pilha operacional, As teclas “clear” (apagar), Número de casas 
decimais. 
 
• Função calendário: Variação entre duas datas, Datas futura ou passada. 
 
• Porcentagem: Cálculo de porcentagem simples, Diferença percentual, Participação do 
percentual em relação ao total. 
 
• Funções Financeiras: Juros Simples, Juros compostos, Séries de pagamento ou 
anuidades, Fluxo de caixa descontado. 
 
1.2. Carga Horária 
08 horas/aula 
 
1.3. Objetivo 
Este curso tem como objetivo proporcionar aos participantes atualização de conhecimento 
nas áreas de matemática financeira básica, utilizando a calculadora HP-12C. 
 
2. FUNÇÕES BÁSICAS DA CALCULADORA 
É preciso conhecer algumas funções básicas da calculadora HP-12c antes de iniciar a 
utilização de forma geral. 
 
2.1. Funções Secundárias F e G 
 
As teclas da HP-12C podem possuir até 03 funções: primária (representada pela cor branca), 
1ª secundária (representada pela cor laranja) e 2ª secundária (representada pela cor azul). 
 
Observem que acima de algumas teclas existem funções representadas pela cor laranja e 
abaixo de algumas teclas existem funções representadas pela cor azul. Para armazená-las 
utilizamos, respectivamente, as teclas F e G. 
 
2.2. Separadores de Dígitos 
Ao digitar um número, cada grupo de três dígitos no lado esquerdo do ponto decimal é 
automaticamente separado no mostrador. Esse separador pode estar no formato americano, 
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ou seja, separando as unidades de milhar com vírgula, ou no formato brasileiro, separando as 
unidades de milhar com ponto. 
 
Você pode alterar a configuração para o formato brasileiro ou americano realizando o 
seguinte comando: 
Desligue a calculadora. Depois, aperte e segure as teclas • e ON 
simultaneamente. Em seguida, solte a tecla ON e depois a tecla • ; 
Siga este mesmo procedimento para retornar à configuração anterior. 
 
2.3. Números Negativos 
Muitas vezes, em cálculos financeiros é necessária a representação de um número na forma 
negativa. A tecla que troca o sinal de um número que acabou de ser digitado, ou até mesmo 
o resultado de um cálculo é a CHS . Essa tecla, também, pode ser utilizada para positivar o 
resultado negativo de um determinado cálculo. 
 
2.4. Entrando com números 
Para entrar com números na calculadora, devemos armazená-los em seqüência. 
 
É importante, ressaltar também, que o formado dos cálculos realizados na HP é diferente 
daquele realizado nas demais calculadoras, pois, lançamos: 
NÚMERO NÚMERO 
 
OPERAÇÃO 
 
 
CUIDADO! A tecla • é utilizada para separar números decimais e não o separador de 
unidades de milhar. Portanto, ao digitar, por exemplo, o número: 5.000, não devemos 
pressionar a tecla • , mas sim, digitar o número direto, pois a calculadora irá separar 
automaticamente as unidades de milhar. Já a digitação do número 0,525 deve ser da 
seguinte forma: 5250 • e será exibido no visor 525,0 ou 525.0 dependendo do formato 
que a mesma estiver programada. 
 
 
2.5. Pilha Operacional 
De forma básica, para se entender a pilha operacional da calculadora, basta que saibamos o 
seguinte: 
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A mesma armazena até três valores via tecla ENTER , portanto, para armazená-los, basta 
pressionar a tecla ENTER . No entanto, se você armazenar o quarto valor, o primeiro será 
excluído da memória. 
 
Para se realizar cálculos complexos é interessante que se inicie a realização do cálculo da 
esquerda para a direita. 
 
Além disso, sugiro que utilizem a tecla ENTER , somente, quando realmente necessitar 
deste valor para cálculos futuros. Caso contrário utilize direto a tecla com a respectiva 
operação que se deseja realizar. 
 
Para melhor entendimento, veja a representação “por empilhamento”: 
 
Onde, T foi o primeiro valor armazenado, Z o segundo e Y o terceiro. Já o valor de X, não foi 
armazenado, ele simplesmente foi digitado e, portanto está aparecendo no visor. 
 
Exemplo 1: [ ])13(725 −+ 
3 ENTER 1 − 7 x 2 + 5 x 
Resultando: 80 
 
 
2.6. As teclas “CLEAR” (apagar)/ Limpar registradores e memórias 
 
 
 
 
Vejam abaixo para que servem e como devem ser utilizados cada comando: 
 
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TECLAS 
 
COMANDO 
 
CLx 
 
 
 
f CLEAR REG 
 
f CLEAR FIN 
 
f ∑ 
 
f CLEAR PRGM 
 
Apaga valores no visor ainda não armazenados,ou 
seja, antes de se pressionar a tecla ENTER . 
Essa tecla, também zero o visor 
 
Apaga todos os registros 
 
 
Apaga somente os registros financeiros 
 
 
Apaga registros estatísticos 
 
Apaga programações realizadas 
 
2.7. Número de casas decimais 
Você pode visualizar até 9 casas decimais. Para alterar o número de casas decimais que 
deseja visualizar, basta pressionar: f número de casas que deseja visualizar. Exemplo: 4f , 
9f . 
 
Você pode optar, também por visualizar os números em notação científica, ou seja, em 
potência de 10 pressionando •f , para retornar basta realizar, novamente o comando 
supracitado, ou seja, f e a quantidade de casas que deseja visualizar. 
 
3. FUNÇÃO CALENDÁRIO 
A HP fornece dois formatos de data o americano (mês/dia/ano) e o brasileiro (dia/mês/ano). 
Para ativar o formato brasileiro, basta pressionar: g MYD. ; O D.MY aparecerá no canto 
inferior do visor. Esse comando deve ser acionado para definir a forma como as datas 
deverão ser digitadas na calculadora. 
 
Para entrar com uma data no formato D.MY, temos que: 
a) Digitar o dia com dois dígitos; 
b) Apertar a tecla • ; 
c) Digitar o mês com dois dígitos; 
d) Digitar o ano com quatro dígitos. 
 
Podemos realizar dois cálculos utilizando a função calendário, são eles: DYS∆ e DATE . 
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3.1. Número de dias entre datas DYS∆ 
Para calcular o número de dias entre duas datas: 
a) Digite a data mais antiga e aperte ENTER ; 
b) Digite a data mais recente e aperte DYS∆ . 
 
Observação: caso entre com a data mais recente antes da mais distante, o resultado no visor 
será negativo. A leitura, neste caso, deverá desconsiderar o sinal. 
 
3.2. Datas futuras ou passadas DATE 
Para calcular a data e o dia da semana que um determinado evento (passado ou futuro) 
aconteceu ou acontecerá: 
a) Digite a data fornecida e pressione ENTER ; 
b) Digite o número de dias; 
c) Se a data que deseja determinar estiver no passado, aperte CHS ; 
d) Pressione g DATE . 
 
A resposta calculada fornece, além da data, o dia da semana, sendo: 
 1: Segunda-feira 
 2: Terça-feira 
 3: Quarta-feira 
 4: Quinta-feira 
 5: Sexta-feira 
 6: Sábado 
 7: Domingo 
É importante ressaltar que a HP fornece o cálculo de datas que esteja no período de 15 de 
outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046. 
 
4. CÁLCULOS MATEMÁTICOS 
4.1. A tecla 
x
1
 
Essa é uma tecla de atalho para resolver cálculo de frações cujo denominador é sempre 1, ou 
também, chamado de inverso do número. Essa operação é o mesmo que dividir o número 1 
por x , uma vez que toda fração corresponde a uma divisão. 
 
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4.2. A tecla xy 
Essa tecla é muito utilizada em matemática financeira para o cálculo de taxas equivalentes, 
pois, viabiliza o cálculo de potências em qualquer base e com qualquer expoente. Portanto, 
x pode assumir valores inteiros (0, 1, 10, 1.000, etc), mas também, fracionários ou decimais 
(¼, ¾, ½, dentre outros). 
Exemplo 2: 49,25754
3
= 
75 ENTER 3 ENTER 4 ÷ xy 
 
Como as raízes enésimas podem ser representadas por expoentes fracionários, essa tecla nos 
possibilita realizar o cálculo de qualquer raiz, seja ela quadrada, cúbica ou centésima. 
xxx yyy ÷== 1
1
 
4.3. Logaritmo Natural ou Neperiano 
A calculadora financeira possibilita o cálculo de logaritmos somente na base e , ou seja, 
lnlog =xe . Isso porque a base e é muito utilizada em conceitos que envolvem a 
capitalização contínua. 
 
Para acessá-la, basta utilizar a função secundária G. 
 
Porém, com a utilização de mudança de base, conseguimos realizar o cálculo de logaritmos 
em qualquer base, o mesmo consiste em: 
b
a
a
c
c
b log
loglog = 
Então, para calcularmos, por exemplo, o 2log , ou seja, logaritmo de 2 na base 10, fazemos: 
30,0
30,2
69,0
10ln
2ln2log === 
 
5. PORCENTAGEM 
A HP tem três teclas para solucionar problemas de percentagem, são elas: % , %∆ e T% . 
5.1. Para determinar o valor que corresponde à percentagem de um dado valor: 
a) Digite o número base; 
b) Pressione a tecla ENTER ; 
c) Digite a percentagem que deseja calcular; 
d) Pressione a tecla % . 
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Para obter o valor líquido (somado ou subtraído da percentagem), o mesmo pode ser 
facilmente calculado, uma vez que a HP retém o valor base na sua memória após o cálculo 
da percentagem, então, depois do cálculo da percentagem, basta pressionar a tecla + ou 
− . 
 
5.2. Diferença Percentual %∆ 
Para achar a diferença percentual entre dois números: 
a) Digite o número base; 
b) Aperte a tecla ENTER para separar o outro número do número de base; 
c) Digite o outro número; 
d) Aperte %∆ . 
OBS: Se o valor que se está determinando a diferença percentual for maior que o número de 
base, o resultado será positivo. E consequentemente, se o valor que se está determinando a 
diferença percentual for menor que o número de base, o resultado será negativo. Portanto, 
uma resposta positiva indica um aumento, enquanto uma resposta negativa indica uma 
redução. 
 
Exemplo 3: 
Em janeiro/2007 o preço de custo de um determinado produto era de R$5,25. Em maio deste 
mesmo ano o preço de custo desse produto apontava R$6,30. Qual a diferença percentual 
durante esse período? A empresa está lucrando ou perdendo com esse produto, 
desconsiderando o preço de venda? 
 
5,25 ENTER 6,30 %∆ ⇒ Aparecerá no visor: 20. Como o preço de custo teve um 
aumento de 20% então, desconsiderando o preço de venda, este produto estará resultando 
em prejuízo para a empresa. 
 
5.3. Participação do Percentual em relação ao Total T% 
Para calcular qual percentagem um número é de outro: 
a) Calcule o valor total somando os valores individuais, como em um cálculo aritmético 
complexo. 
b) Digite o número cujo equivalente em percentagem deseja achar. 
c) Pressione T% . 
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Você poderá calcular, também, o percentual em relação ao total de somente um número (e 
não um somatório de números) em relação a outro. 
 
Utilizando o exemplo acima, temos: 
5,25 ENTER 6,30 T% ⇒Aparecerá no visor: 120. Ou seja, 6,30 representa 120% de 5,25. 
 
 Vejam a seguir, algumas teclas importantes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. FUNÇÕES FINANCEIRAS 
A calculadora HP-12c nos oferece soluções imediatas a questões que envolvem 
capitalização composta, tanto em problemas financeiros de único pagamento 
como nos de séries de pagamentos iguais e consecutivos. (Bertucci, 2000, p. 10) 
 
Segue abaixo uma tabela com Funções Financeiras Básicas e de grande utilidade: 
 
CCCOOOMMMAAANNNDDDOOO 
 
FFFUUUNNNÇÇÇÃÃÃOOO 
n Período (dia, mês, ano, trimestre, ...) 
i Taxa de Juros (%) 
PV Valor Presente, Capital ou Principal 
PMT Valor das prestações (iguais e consecutivas) 
FV Valor Futuro ou Montante 
7g Aciona a tecla BEGIN (início), indica a antecipação da 1ª parcela 
8g Aciona a tecla END (fim), indica pagamentos postecipados 
Funções secundárias 
Mudança de Sinal 
Zerar o visor Separador de casas 
decimais 
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 110CF Fluxo de Caixa no período zero 
jCF Fluxo de Caixa no período j 
Nj Número de vezes que um valor qualquer se repete 
IRR TIR (Taxa Interna de Retorno) 
 
Normalmente, para resolvermos problemas por intermédio das funções financeiras da HP, 
devemos fornecer três itens e a HP determinará o quarto. 
 
O sinal negativo apresentado para o valor futuro resulta do fato de que a calculadora trabalha 
com a idéia de fluxo de caixa, ou seja, o que é entrada armazena-se positivamente e o que for 
saída armazena-se negativamente. Na prática, despreze o sinal, utilize somente o valor 
absoluto. A não ser quando, na entrada de dados, tiver dois valores monetários (por exemplo, o 
capital, o montante ou o valor das parcelas), nesses casos, deve-se atribuir a um deles o sinal 
negativo, o que é viabilizado pela tecla CHS que significa “mudar sinal”, do inglês change sign. 
 
IMPORTANTE! Antes de iniciarmos os cálculos com a HP é necessário ativar a função “c”, que é 
uma função específica para o cálculo de juros compostos. Vocês, certamente, devem estar se 
perguntando; mas, a calculadora financeira foi “programada” para realizar cálculos no regime 
de juros compostos, porque, então, devemos ativar a função “c”? A resposta é simples, pois caso 
contrário, quando realizarmos cálculos em que o período seja fracionário, a mesma utilizará o 
método de regressão linear e não exponencial. 
Para ativar tal comando, basta pressionar: STO EEX . Aparecerá no canto inferior do visor um 
“c”. 
 
7.1. Juros Simples 
A calculadora HP é muito utilizada para o cálculo de juros compostos, porém, também é possível 
realizar o cálculo de juros e, consequentemente do montante (capitalização) ou do valor atual 
(desconto) em juros simples, conforme orientações descritas abaixo: 
Período ( )n : deve ser expresso em dias; 
Taxa de juros ( )i : deve ser expressa ao ano; 
Valor presente ou principal ( )PV : deve ser armazenada com o sinal negativo. 
 
Para melhor entendimento do processo a ser utilizado, vamos ver um exemplo: 
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Exemplo 4: Calcular o montante de uma aplicação, considerando o regime de juros simples, em 
que foi aplicada a quantia de R$5.000,00 a uma taxa de 2,5%a.m, durante 15 meses. 
 
Primeiramente, para resolução do que se pede utilizando a HP, devemos transformar a taxa que 
foi fornecida para uma taxa proporcional ao ano e o período expresso em dias, então, temos: 
Taxa ( )i = 2,5%a.m. = 2,5% x 12 = 30%a.a.; 
Período ( )n = 15 meses = 15x30= 450 dias. 
Em seguida, armazenamos os valores na HP: 
a) f CLX (limpar a memória); 
b) 450 pressiona a tecla ( )n ; 
c) 30 pressiona a tecla ( )i ; 
d) 5.000 CHS ( )PV ; 
e) Para obter o valor dos juros pressiona-se a tecla f INT , como queremos o montante 
basta pressionar a tecla +, obtendo: R$6.875,00. 
 
OBSERVAÇÃO: o comando f INT calcula o valor dos juros considerando o calendário comercial, 
para considerar o calendário civil devemos acrescentar o comando: ↓R yx <> . 
 
Portanto, no exemplo acima, após ter determinado o valor dos juros de R$1.875,00, 
considerando o calendário civil, bastava pressionar o comando ↓R yx <> , obtendo: R$1.849,32. 
 
7.2. Juros Compostos 
Para o cálculo envolvendo o regime de juros compostos (único) utilizamos basicamente as teclas: 
 
Onde, 
→n Período; 
→i Taxa de Juros (em %); 
→PV Valor presente ou principal (present value); 
→PMT Valor de uma parcela de pagamento, quando uma dívida é paga em parcelas fixas; 
→FV Valor Futuro ou Montante (future value). 
 
Conforme descrito acima, para realizar cálculos financeiros, utilizando a HP, basta fornecermos 
03 dados e solicitar o cálculo do quarto. É importante, no entanto, que vocês atentem-se para 
que a taxa de juros e o período estejam na mesma unidade de tempo. 
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Exemplo 5: Calcular os juros de uma aplicação financeira de R$12.500,00 pelo prazo de 5 meses, 
à taxa de 3,1%a.m, considerando o regime de juros compostos. 
Precisamos determinar o valor dos juros, porém, nas teclas de atalho não tenho nenhuma 
referente aos juros, no entanto, sabemos que PMj −= , ou seja, montante menos o capital. 
Então, devemos, inicialmente, encontrar o valor do montante, conforme abaixo: 
 
TECLA VISOR 
f CLx 0,00 
12.500 CHS 
-12.500,00 
5 
5,00 
3,1 
3,10 
 
14.561,41 
12.500 - 2.061,41 
 
Logo, o juro dessa operação é de R$2.061,41. 
 
Foi mencionado acima que devemos nos atentar para que taxa de juros e período estejam, 
ambas, na mesma unidade de tempo, certo? Mas, e se isso não acontecer, qual procedimento 
seguir? 
 
Temos dois caminhos a percorrer: 
1) transformar o período para a mesma unidade de tempo da taxa a partir de uma 
regra de três simples, ou; 
2) transformar a taxa dada em uma taxa equivalente1 à unidade de tempo 
mencionada no período. 
 
7.2.1. Taxas Equivalentes 
A fórmula mais utilizada para o cálculo de taxas equivalentes é: 
 
( ) 10011100 ×



−+÷= tenho
quero
dadae ii 
 
 
 
 
 
1 Aplicadas a um mesmo capital, geram um mesmo valor futuro (montante), no mesmo intervalo de tempo. 
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Os comandos na HP ficam: 
COMANDOS HP 
f CLx 0,00 
Taxa dada ENTER 
100 ÷ 
1 + 
quero ENTER 
tenho ÷ xy 
1 - 
100 × 
 
Exemplo 6: Qual a taxa mensal equivalente a 15%a.a.? 
COMANDOS HP VISOR 
f CLx 0,0000 
15 ENTER 15,0000 
100 ÷ 0,1500 
1 + 1,1500 
1 ENTER 1,0000 
12 ÷ xy 1,0117 
1 - 0,0117 
100 × 1,1715 
 
7.3. Séries de Pagamentos ou Anuidades 
Nos dois itens anteriores foram abordados os regimes de juros simples e composto como 
pagamentos únicos, agora vamos estudar os pagamentos/recebimentos parcelados. 
 
Será considerando, neste primeiro momento, todas as prestações com o mesmo valor. Tais 
pagamentos podem acontecer no final ou no início do período; quando utilizamos fórmulas 
matemáticas temos fórmulas específicas para cada situação, mas e quando estamos utilizando a 
HP, como “informá-la” se o pagamento é antecipado (início) ou postecipado (final)? 
 
Neste caso, devemos utilizar as teclas: 
 g BEG → indica que os pagamentos acontecerão no inicio do período; 
 g END → indica que os pagamentos acontecerão no final do período. 
 
Vejamos alguns exemplos: 
Exemplo 7: Qual o montante gerado pela aplicação de 8 parcelas mensais de R$1.500,00 cada, a 
uma taxa de 1,5% ao mês, sabendo-se que as aplicações serão realizadas no final de cada mês? 
Como as prestações serão realizadas no final de cada mês, basta digitar g8, ou seja, corresponde 
ao comando, gEND; indicando, assim que os depósitos acontecerão ao final de cada mês, em 
seguida, armazenar os dados na parte financeira conforme abaixo: 
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TECLA VISOR 
f CLx 0,00 
g8 0,00 
1.500 CHS 
-1.500,00 
8 
8,00 
1,5 
1,5 
 
12.649,26 
 
Resposta: Logo, o valor resgatado ao final do período será de R$12.649,26. 
Exemplo 8: Um empréstimo no valor de R$95.000,00 foi contraído para ser pago em 18 parcelas 
bimestrais. A taxa cobrada foi de 5,75% ao bimestre. Qual o valor das parcelas a serem pagas, 
considerando que o primeiro pagamento acontecerá ato da compra? 
TECLA VISOR 
f CLx 0,00 
g7 0,00 
95.000 CHS-95.000,00 
18 
18,00 
5,75 
5,75 
 
8.141,74 
 
Resposta: Portanto, o empréstimo deverá ser quitado em 18 prestações de R$8.141,74, sendo a 
primeira antecipada. 
 
OBSERVAÇÃO: Quando estamos trabalhando com séries de pagamento ou anuidades, não 
podemos fazer regra de três no tempo, pois estaríamos alterando a estrutura da série, portanto, 
se a taxa de juros não estiver na mesma unidade de tempo do período, devemos 
necessariamente utilizar o conceito de “taxa equivalente”. 
 
7.4. FLUXO DE CAIXA DESCONTADO 
Até o momento, trabalhos os conceitos de juros simples e composto, considerando 
pagamentos/recebimentos únicos ou ainda parcelamentos fixos (uniformes), ou seja, o valor da 
parcela é o mesmo para todo o período. Porém, neste tópico vamos abordar as séries de 
pagamento, cujo valor não é uniforme. Para tanto, utilizaremos os métodos usuais de avaliação 
de fluxos de caixa. 
 
As teclas básicas necessárias aos cálculos serão: 
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 16 
 
Das teclas acima mencionadas duas delas merece nossa atenção: NPV e IRR. 
→NPV Valor presente Líquido: 
O cálculo do valor presente liquido (VPL) de uma série de pagamentos, quer represente 
um financiamento ou um projeto, consiste em obter um único valor na data zero que seja 
equivalente à série original, numa determinada taxa de juros. Ao calcular o VPL o que 
estamos fazendo é somando o valor atual (PV) de cada um dos termos que compõe a série 
de pagamentos. O valor presente líquido de um fluxo de caixa é comumente chamado de 
“fluxo de caixa descontado”. 
(ARAUJO, R., 1997, p.28) 
 
→IRR Taxa Interna de Retorno: 
O cálculo da taxa interna de retorno (TIR) de uma série de pagamentos consiste em obter 
a taxa de juros que torna o valor presente (VP) das receitas igual ao valor presente das 
despesas, ou seja, consiste em obter a taxa de juros que torna nulo o valor presente 
liquido, ou seja, VPL igual à zero. Portanto, a taxa interna de retorno nada mais é que a 
taxa interna de juro. 
(ARAUJO, R., 1997, p.29) 
 
Para melhor entendimento dos assuntos abordados, vejamos a resolução de dois exemplos: 
 
Exemplo 9: Um carro pode ser adquirido em 12 parcelas mensais de R$1.345,00 e mais 04 
prestações trimestrais (reforço) de R$675,00. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo 
estabelecimento comercial foi de 5,5% a.m., pede-se calcular o valor do bem adquirido (valor 
financiado). 
TECLA VISOR 
f CLx 0,00 
1.345 g CFj 1.345,00 
2 g Nj 2,00 
2.020 g CFj 2.020,00 
1.345 g CFj 1.345,00 
2 g Nj 2,00 
2.020 g CFj 2.020,00 
1.345 g CFj 1.345,00 
2 g Nj 2,00 
2.020 g CFj 2.020,00 
1.345 g CFj 1.345,00 
2 g Nj 2,00 
2.020 g CFj 2.020,00 
5,5 i 5,50 
f NPV 13.428,22 
Curso de Extensão: Matemática Financeira utilizando a Calculadora HP-12C 
Instrutor: Gislene Garcia Nora de Oliveira 
 17 
Resposta: O valor do carro à vista é de R$13.428,22, considerando uma taxa de 5,5%a.m. 
 
Exemplo 10: Um comerciante está estudando a viabilidade de instalar um carrinho de cachorro 
quente na porta da Faculdade UNA de Contagem. O quadro abaixo apresenta o preço atual de 
mercado deste empreendimento, o fluxo de caixa anual projetado para os próximos 08 meses 
(tempo máximo que o investidor espera que o investimento se pague). Sabendo-se que o 
investimento só será realizado caso o retorno seja superior a 3,5%a.m., analisar se o investimento 
deve ou não ser realizado. 
Investimento 
Inicial 
1º mês 2º mês 3º mês 4º mês 5º mês 6º mês 7º mês 8º mês 
R$2.500,00 -1.875 -1.250 -750 100 850 1.350 2.500 2.650 
 
Solução: 
TECLA VISOR 
f CLx 0,00 
2.500 CHS g CF0 2.500,00 
1.875 CHS g CFj - 1.875,00 
1.250 CHS g CFj - 1.250,00 
750 CHS g CFj - 750,00 
100 g CFj 100,00 
850 g CFj 850,00 
1.350 g CFj 1.350,00 
2.500 g CFj 2.500,00 
2.650 g CFj 2.650,00 
f IRR 2,69 
 
Resposta: Como a taxa interna deste retorno é inferior ao mínimo desejável, não é viável a 
efetivação deste investimento. 
 
7. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
01) Resolva as expressões abaixo: 
a) 25,012)742()317( ×−÷×− 
b) )3,08,0()2,036()5,124( −××÷× 
c) [ ]{ } 112 1004,01)04,1( −×÷− 
d) 50005,1 24 × 
e) 100)101,1()01,00112,1( 12 ×−÷× 
f) 450.242,1)07,047,1( 5,030
62
×





−− 
g) 15log 
Curso de Extensão: Matemática Financeira utilizando a Calculadora HP-12C 
Instrutor: Gislene Garcia Nora de Oliveira 
 18 
h) 5log2 
i) 32 =x 
 
02) Verifique o dia da semana que você nasceu utilizando a HP-12c. 
 
03) Quantos dias você tem de existência? 
 
04) Qual o número de dias existentes entre as datas: 
a) 25/05/2007 e 02/06/2007 
b) 29/01/2007 e 26/08/2007 
 
05) Qual o vencimento para um CDB realizado no dia 21/03/2007 por 31 dias? 
 
06) Sabendo que um financiamento foi realizado por 39 dias e que seu vencimento será no 
dia 02/06/2007, em que dia foi feita a aplicação? 
 
07) Uma pessoa compra um imóvel pelo valor de R$80.000,00. A condição de pagamento é de 
45% a vista e o restante em 30 dias acrescidos de 25%. Pede-se: 
a) Qual o valor pago vista? 
b) Qual o valor pago no final dos 30 dias? 
 
08) Em certo dia a cotação de uma determinada ação era de R$5,84. Nos dias que se 
seguiram as variações foram de R$6,00; R$5,94; R$5,69; R$5,72 e R$5,93. Pede-se calcular 
qual a oscilação ocorrida em cada um dos dias. 
 
09) A venda total de uma empresa é composta pela contribuição dos setores I, II, III e IV. 
Sabendo-se que cada setor faturou R$259.873,50; R$783.921,10; R$42.300,00 e R$300.780,00 
respectivamente, pede-se: 
a) Venda total da empresa 
b) % de contribuição do setor I, II, III e IV. 
 
10) Os juros simples de um investimento de R$2.500,00, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 1 
ano, 4 meses e 10 dias é de? 
 
11) Uma pessoa investiu um capital de R$60.000,00 durante 146 dias, à taxa de juros simples 
de 9% a.m. Os juros simples desse investimento foram de? 
Curso de Extensão: Matemática Financeira utilizando a Calculadora HP-12C 
Instrutor: Gislene Garcia Nora de Oliveira 
 19 
 
12) O montante de uma aplicação de R$80.000,00 a juros simples de 3,5% a.m. pelo prazo de 
9 meses e? 
 
13) Os juros simples de uma aplicação de R$350.000,00 à taxa de 4% a.m., aplicados por 72 
dias, são de? 
 
14) Calcular a taxa mensal equivalente às taxas abaixo: 
Taxa Taxa mensal equivalente 
60%a.a. __________ 
77% a.s. __________ 
40% a.t. __________ 
39% a.b. __________ 
85% em 8 meses __________ 
 
15) Determinar as taxa anuais equivalentes para as taxas abaixo: 
Taxa Taxa Anual equivalente 
10%a.b. __________ 
15% a.s. __________ 
 7% a.m. __________ 
 9% a.t. __________ 
 
16) Uma pessoa toma R$300,00 emprestados a juros compostos de 3% ao mês, pelo prazo de 
10 meses. O montante a ser devolvido é de: 
(a) R$365,19 (b) R$382,18 (c) R$397,22 (d) R$403,17 (e) R$421,31 
 
17) O capital inicial que, no prazo de 5 meses, a 3% ao mês, produziu montante composto de 
R$405,75 era de: 
(a) R$320,00 (b) R$330,00 (c) R$340,000 (d) R$350,00 (e) R$360,00 
 
18) Os juros de uma aplicação de R$2.000,00 a 4,5% ao mês, durante 8 meses, são de: 
(a) R$802,98 (b) R$810,18 (c) R$824,20 (d) R$836,30 (e) R$844,20 
 
19) O capital de R$1.800,00 foi aplicado por, 4 meses, a 20% ao ano. O valor futuro 
(montante) gerado será de: 
(a) R$2.318,94 (b) R$2.468,15 (c) R$2.498,13 (d) R$2.588,18 (e) R$1.912,79 
 
20) O montante de uma aplicação de R$12.000,00, à taxa de juros de 22% ao ano, durante 8meses, será de: 
(a) R$13.701,07 (b) R$16.521,37 (c) R$16.692,30 (d) R$17.308,21 (e) R$7.492,38 
 
Curso de Extensão: Matemática Financeira utilizando a Calculadora HP-12C 
Instrutor: Gislene Garcia Nora de Oliveira 
 20 
21) O capital de R$920,00 foi aplicado durante 1 anos e 9 meses à taxa de 36% ao ano. O 
valor futuro (montante) foi de: 
(a) R$1.575,73 (b) R$1.642,94 (c) R$1.662,19 (d) R$1.672,18 (e) R$1.681,79 
 
22) O montante de um capital de R$500,00, ao fim de 12 dias, com juros de 24% ao ano, será 
de: 
(a) R$503,60 (b) R$799,18 (c) R$812,34 (d) R$824,57 (e) R$842,15 
 
23) Os juros compostos de R$25.000,00, aplicados durante 9 meses à taxa de 6% a.m., serão 
de: 
(a) R$15.980,14 (b) R$16.020,12 (c) R$16.075,80 (d) R$16.192,30 (e) R$17.236,97 
 
24) Aplicamos R$820,00 a juros compostos de 2,3% ao semestre, durante 1 bimestre. O valor 
dos juros foi de: 
(a) R$6,24 (b) R$9,32 (c) R$7,18 (d) R$3,15 (e) R$4,94 
 
25) Um notebook é vendido à vista por R$2.150,00 ou então a prazo, sendo 20% do preço à 
vista como entrada, mais uma parcela de R$2.000,00 4 meses após a compra. Qual a taxa 
de juros (quadrimestral) praticada nessa operação, considerando o regime de 
capitalização composto? 
(a) 14,2591% (b) 15,4792% (c) 16,2791% (d) 17,2549% (e) 18,2659% 
 
26) O valor atual de um título de valor nominal de R$1.120,00 com vencimento para 2 anos e 
6 meses, à taxa de 36% ao ano, considerando o regime de capitalização composta, é de: 
(a) R$489,56 (b) R$491,18 (c) R$499,18 (d) R$519,24 (e) R$558,19 
 
27) Um título no valor nominal de R$1.500,00 foi resgatado 3 meses antes de seu 
vencimento, tendo sido contratado à taxa de 30% ao ano. O desconto racional composto 
concedido foi de: 
(a) R$95,23 (b) R$102,20 (c) R$107,10 (d) R$112,80 (e) R$116,20 
 
28) Uma firma toma emprestado de um banco a importância de R$20.000,00, por um prazo 
de 10 meses, à taxa de 3,5% ao mês, em regime de juros compostos. Sabendo-se que a 
taxa de desconto composto é de 3% ao mês, e desejando antecipar para 4 meses o 
pagamento, essa firma pagaria ao banco: 
(a) R$23.425,30 (b) R$23.512,80 (c) R$23.627,09 (d) R$23.830,18 (e) R$23.929,15 
 
Curso de Extensão: Matemática Financeira utilizando a Calculadora HP-12C 
Instrutor: Gislene Garcia Nora de Oliveira 
 21 
29) Um título no valor nominal de R$750,00, com vencimento em 5 meses, é trocado por 
outro com vencimento em 3 meses. Sabendo-se que a taxa de juros corrente no mercado 
é de 3% ao mês, o valor nominal do novo título é de: 
(a) R$706,95 (b) R$709,18 (c) R$712,91 (d) R$714,15 (e) R$721,95 
 
30) Uma pessoa devedora de um título de R$1.000,00 a vencer em 6 meses deseja substituí-lo 
por um outro com vencimento em 9 meses. Sendo a taxa de desconto composto de 3% 
a.m., o valor nominal do novo título será de: 
(a) R$1.077,15 (b) R$1.088,30 (c) R$1.092,73 (d) R$1.098,38 (e) R$1.102,30 
 
31) Um título de R$85.000,00 é descontado 5 meses antes do vencimento a 8%a.m. Qual o 
desconto composto retido no resgate? 
(a) R$27.080,92 (b) R$27.150,43 (c) R$27.220,12 (d) R$27.320,48 (e) R$27.381,15 
 
32) Um empréstimo de R$20.000,00 vai ser pago, sem carência, pelo CDC, em 6 parcelas à 
taxa de 4% a.m. O valor da prestação será de: 
(a) R$3.720,15 (b) R$3.781,12 (c) R$3.815,24 (d) R$3.920,18 (e) R$3.980,26 
 
33) Ao comprar uma casa no valor de R$32.000,00 à vista, uma pessoa deu R$20.000,00 de 
entrada e pagou o restante, financiado pelo CDC, em 10 parcelas fixas mensais a uma 
taxa de 30% ao ano. O valor da prestação foi de: 
(a) R$1.350,67 (b) R$1.392,80 (c) R$1.412,40 (d) R$1.451,20 (e) R$1.482,30 
 
34) Um telefone celular foi comprado da seguinte forma: R$300,00 de entrada e o restante 
em 6 prestações mensais de R$188,00. Sabendo-se que a taxa de juros foi de 5,75% ao 
mês, o preço à vista do telefone era de: 
(a) R$957,42 (b) R$1.083,24 (c) R$1.231,76 (d) R$1.231,76 (e) R$1.391,63 
 
35) Uma pessoa compra um automóvel e paga, à vista, aproximadamente R$15.650,00. 
Suponha que tal pessoa desejasse pagar o automóvel em 36 parcelas mensais, a uma taxa 
de juros compostos de 2,95% a.m., sendo a primeira parcela paga no momento da 
compra. Qual seria o valor da prestação a ser paga? 
(a) R$434,72 (b) R$430,72 (c) R$440,00 (d) R$441,00 (e) R$691,10 
 
36) Calcular o montante de uma anuidade postecipada de R$1.000,00 a uma taxa de juros de 
2,5% a.m., durante 36 meses. 
(a) R$36.078,01 (b) R$36.902,36 (c) R$40.315,25 (d) R$50.316,43 (e) R$57.301,41 
Curso de Extensão: Matemática Financeira utilizando a Calculadora HP-12C 
Instrutor: Gislene Garcia Nora de Oliveira 
 22 
37) Flávia comprou um computador em 6 prestações mensais de R$600,00. A 1ª prestação 
será paga 1 mês após a compra. O vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros 
compostos de 2,5%a.m. Qual o preço do computador à vista? 
(a) R$2.900,45 (b) R$3.100,47 (c) R$3.304,88 (d) R$3.512,20 (e) R$6.600,00 
 
38) Um investidor fez 12 aplicações consecutivas de valor unitário e de periodicidade mensal 
(série antecipada), capitalizando integralmente cada um desses valores. Sabendo que a 
taxa de juros compostos utilizados nas aplicações foi de 2,35% a.m., calcule o montante 
obtido pelo investido. 
 
39) Um investidor institucional está estudando a conveniência de adquirir uma pequena 
empresa. O quadro abaixo apresenta o preço atual de mercado da empresa, o fluxo de 
caixa anual projetado para os próximos 08 anos (tempo máximo que o investidor se 
dispõe a permanecer com o investimento) e seu valor provável de comercialização no 
final de 08 anos. Sabendo-se que a aquisição só será feita caso o retorno seja superior a 
17% ao ano, analisar se o investimento deve ou não ser feito. 
Inv. Inicial 1º Ano 2º Ano 3º Ano 4º Ano 5º Ano 6º Ano 7º Ano 8º Ano + venda 
4.000.000 -60.870 -43.200 -15.800 35.700 48.600 50.300 88.300 88.300+6.700.000 
 
 
40) Uma empresa está estudando a viabilidade de adquirir uma outra empresa de menor 
porte. O quadro abaixo apresenta o valor total do investimento inicial para a aquisição, o 
fluxo de caixa anual projetado para os próximos 10 anos e o provável valor de mercado 
da nova empresa ao final de 10 anos. Considere os valores em milhares de reais. 
Inicial 1º Ano 2º Ano 3º Ano 4º Ano 5º Ano 6º Ano 7º Ano 8º Ano 9º Ano 10º Ano + 
venda 
-8.500 -75,4 -35,8 12,5 25,0 -18,9 35,0 35,0 35,0 40,7 38,4 + 20.000 
 
Sabendo-se que o investimento só será feito se a taxa de retorno for superior ao mínimo 
estabelecido, pede-se: 
a) A aquisição deve ser feita considerando uma taxa mínima de retorno de 6,5%a.a.? 
b) Qual a taxa interna de retorno? 
 
41) Um equipamento que custa à vista R$15.000,00 foi financiado da seguinte maneira: 
a) uma entrada de 25%; 
b) 18 prestações mensais de R$1.000,00 
c) R$1.415,36, a serem pagos junto com a última prestação. 
Calcular a taxa de juros efetiva da operação. 
 
 
Curso de Extensão: Matemática Financeira utilizando a Calculadora HP-12C 
Instrutor: Gislene Garcia Nora de Oliveira 
 23 
GABARITO 
01) 
a) 81 b) 2,5 c) 1,502580548 
d) 56,35798880 e) 7,973189519 f) 1.991,42 
g) 1,176091259 h) 2,321928094 i) 1,584962501 
 
04) a) 08 dias b) 209 dias 
05) 21/04/2007 – sábado 
06) 24/04/2007 – 3ª feira 
07) a) 36.000 b) 55.000 
08) 
2,74% -1% -4,21% 0,53% 3,67% 
 
09) a) 1.386.874,60 b)18,74% - 56,52% - 3,05% - 21,69% 
10) 1.225 
11) 26.280,00 
12) 105.200 
13) 33.600 
 
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
3,9944% 
9,9838% 
11,8689% 
17,8983% 
7,9932% 
77,1561% 
32,25% 
125,2192% 
41,1582% 
 
d d e e a a a e a c d a c a c b 
 32 33 34 35 36 37 
 c a c e e c 
 
 
 
 
 
 
 
38) 13,68 
39) TIR = 6,98% a. a. O negócio não deve ser aceito 
40) a) Sim, pois terá um VPL de 2.179.350,00 
 b) TIR = 8,94% a.a 
41) taxa = 6,08% a. m. 
 
 
 
Curso de Extensão: Matemática Financeira utilizando a Calculadora HP-12C 
Instrutor: Gislene Garcia Nora de Oliveira 
 24 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
ARAÚJO, R. Matemática Financeira Aplicada – Belo Horizonte, 1997, 32p; 
BECKER, R. HP-12C Uso e Aplicações e Matemática Financeira – Rio de Janeiro, 40p; 
BERTUCCI, L. Manual de Operação da Calculadora HP-12C – Belo Horizonte, 2000, 19p; 
FUNENSEG, Manual de Fundamentos de Matemática Financeira – 6.ed – Rio de Janeiro, 2007, 
p.96 e 100. 
HP-12C. GUIA DO USUÁRIO, 4.ed – 2004, 218p. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso de Extensão: Matemática Financeira utilizando a Calculadora HP-12C 
Instrutor: Gislene Garcia Nora de Oliveira 
 25 
 
 
APENDICE I: 
 
Criando um programa, por Renato Becker: 
 
Para criar um programa primeiro é necessário escrevê-lo, para então armazená-lo. 
 
1) Escrever a seqüência de teclas que seriam usadas para calcular o que se deseja. 
 
2) Pressionar a tecla f P/R para colocar a calculadora no modo de programação. O 
indicador PRGM ficará acesso no visor, indicando que tal modo está ativo. 
 
3) Pressionar a tecla f CLEAR PRGM para apagar qualquer programa anteriormente 
armazenado. 
 
4) Introduzir a seqüência de teclas que foram escritas no passo 1. 
 
5) Pressionar g GTO 00 após a última instrução (este passo não é obrigatório, podendo 
passar direto para o 6º passo). 
 
6) Pressionar f P/R para retornar a calculadora para o modo execução. 
 
7) Para “rodar” o programa, pressione R/S. 
 
 
Curiosidade: Durante a confecção do programa ou na sua conferência, percebemos que 
códigos aparecem no visor da calculadora. Os dígitos que aparecem no lado esquerdo do 
visor representam o número de ordem da linha (passo) do programa utilizado (um 
programa pode ter até 99 passos). Os dígitos que aparecem no lado direito indicam as 
teclas digitadas (sua posição no teclado). 
 
Podemos comparar o teclado com uma matriz composta por linhas e colunas. Dessa forma 
quando se introduz, por exemplo, a instrução RCL 3 na memória de programação, a 
calculadora apresentará no visor "01- 45 3": isto indica que esta é a primeira linha do 
programa e que estão sendo usadas as teclas RCL (4a. linha e 5a. coluna) o dígito 3 (nº. 3 
bem à direita). 
 
(BECKER, R. p.38_adaptado)