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v v os fundamentos da física 1 1 Unidade B Capítulo 6 Gráficos do MU e do MUV Resoluções dos exercícios propostos Exercícios propostos Capítulo Testes propostosMenu Teste sua le i tura Resumo do capítulo 1Os fundamentos da Física • Volume 1 6 Gráficos. Gráficos do MU e do MUV P.109 a) s � 10 � 5t (s em metros e t em segundos) b) s � 8 � 2t (s em metros e t em segundos) t (s) s (m) 0 10 1 15 2 20 3 25 t (s) s (m) 0 8 1 6 2 4 3 2 4 0 s (m) v (m/s) 20 25 10 15 5 0 1 2 3 t (s) 0 t (s) 5 s (m) v (m/s) 8 4 6 2 0 0 1 2 3 4 t (s) t (s) �2 P.11 a) Quando t � 0, temos: s0 � �10 m b) Entre 0 e 2 s, o espaço s é constante, ou seja, o ponto material está em repouso. c) Quando s � 0, temos: t1 � 4 s e t2 � 9 s d) De 2 s a 6 s temos um MU e, por- tanto, a velocidade v é constante: tg θ1 � 102 � 5 Logo: v1 � 5 m/s 0 s (m) 10 1 2 3 4 5 θ1 θ2 6 7 8 9 t (s) �10 De 6 s a 9 s temos outro MU: tg θ2 � 103 � 3,3; logo: v2 � �3,3 m/s 1 Exercícios propostos 2Os fundamentos da Física • Volume 1 • Capítulo 6 P.110 a) tg θ � 20 2 � 10 v � �10 m/s b) tg θ � 8 4 � 2 v � �2 m/s c) tg θ � 10 4 � 2,5 v � �2,5 cm/s d) v � 0 (repouso, no intervalo de tempo de 0 a 4 s) s (m) 20 0 2 t (s) θ s (m) 8 �4 0 62 t (s) θ s (cm) 30 20 0 4 t (s) θ s (cm) 15 0 642 t (s) Exercícios propostos 2Os fundamentos da Física • Volume 1 • Capítulo 6 P.110 a) tg θ � 20 2 � 10 v � �10 m/s b) tg θ � 8 4 � 2 v � �2 m/s c) tg θ � 10 4 � 2,5 v � �2,5 cm/s d) v � 0 (repouso, no intervalo de tempo de 0 a 4 s) s (m) 20 0 2 t (s) θ s (m) 8 �4 0 62 t (s) θ s (cm) 30 20 0 4 t (s) θ s (cm) 15 0 642 t (s) Exercícios propostos 2Os fundamentos da Física • Volume 1 • Capítulo 6 P.110 a) tg θ � 20 2 � 10 v � �10 m/s b) tg θ � 8 4 � 2 v � �2 m/s c) tg θ � 10 4 � 2,5 v � �2,5 cm/s d) v � 0 (repouso, no intervalo de tempo de 0 a 4 s) s (m) 20 0 2 t (s) θ s (m) 8 �4 0 62 t (s) θ s (cm) 30 20 0 4 t (s) θ s (cm) 15 0 642 t (s) Exercícios propostos 2Os fundamentos da Física • Volume 1 • Capítulo 6 P.110 a) tg θ � 20 2 � 10 v � �10 m/s b) tg θ � 8 4 � 2 v � �2 m/s c) tg θ � 10 4 � 2,5 v � �2,5 cm/s d) v � 0 (repouso, no intervalo de tempo de 0 a 4 s) s (m) 20 0 2 t (s) θ s (m) 8 �4 0 62 t (s) θ s (cm) 30 20 0 4 t (s) θ s (cm) 15 0 642 t (s) v v os fundamentos da física 1 2 Unidade B Capítulo 6 Gráficos do MU e do MUV Resoluções dos exercícios propostos Exercícios propostos 2Os fundamentos da Física • Volume 1 • Capítulo 6 P.110 a) tg θ � 20 2 � 10 v � �10 m/s b) tg θ � 8 4 � 2 v � �2 m/s c) tg θ � 10 4 � 2,5 v � �2,5 cm/s d) v � 0 (repouso, no intervalo de tempo de 0 a 4 s) s (m) 20 0 2 t (s) θ s (m) 8 �4 0 62 t (s) θ s (cm) 30 20 0 4 t (s) θ s (cm) 15 0 642 t (s) Exercícios propostos Capítulo Testes propostosMenu Teste sua le i tura Resumo do capítulo 1Os fundamentos da Física • Volume 1 6 Gráficos. Gráficos do MU e do MUV P.109 a) s � 10 � 5t (s em metros e t em segundos) b) s � 8 � 2t (s em metros e t em segundos) t (s) s (m) 0 10 1 15 2 20 3 25 t (s) s (m) 0 8 1 6 2 4 3 2 4 0 s (m) v (m/s) 20 25 10 15 5 0 1 2 3 t (s) 0 t (s) 5 s (m) v (m/s) 8 4 6 2 0 0 1 2 3 4 t (s) t (s) �2 P.11 a) Quando t � 0, temos: s0 � �10 m b) Entre 0 e 2 s, o espaço s é constante, ou seja, o ponto material está em repouso. c) Quando s � 0, temos: t1 � 4 s e t2 � 9 s d) De 2 s a 6 s temos um MU e, por- tanto, a velocidade v é constante: tg θ1 � 102 � 5 Logo: v1 � 5 m/s 0 s (m) 10 1 2 3 4 5 θ1 θ2 6 7 8 9 t (s) �10 De 6 s a 9 s temos outro MU: tg θ2 � 103 � 3,3; logo: v2 � �3,3 m/s 1 v v os fundamentos da física 1 3 Unidade B Capítulo 6 Gráficos do MU e do MUV Resoluções dos exercícios propostosExercícios propostos 3Os fundamentos da Física • Volume 1 • Capítulo 6 P.112 Área � 10 � 2 � 20 Portanto: ∆s � 20 m t (s) s (m) 00 150 10 0 20 �50 30 0 40 150 P.113 s � 150 � 20t � 0,5t2 (s em metros e t em segundos) s (m) Q 100 150 50 0 10 20 30 40 t (s) �50 a) v � 0 no ponto Q (vértice da parábola). Portanto, o instante em que o móvel muda de sentido é: t � 20 s b) Quando s � 0, temos: t1 � 10 s e t2 � 30 s P.115 a) tg θ � 25 5 � 5 ⇒ α � 5 m/s2 b) Área A 5 25 2 � � ⇒ A � 62,5 Portanto: ∆s � 62,5 m c) ∆s � s � s0 ⇒ 62,5 � s � 15 ⇒ s � 77,5 m v (m/s) 25 0 5 A θ t (s) t (s) v (m/s) 0 8 2 4 4 0 6 �4 8 �8 P.114 v � 8 � 2t (v em m/s e t em s) v (m/s) 8 4 0 2 64 θ 8 t (s) �8 �4 Exercícios propostos 3Os fundamentos da Física • Volume 1 • Capítulo 6 P.112 Área � 10 � 2 � 20 Portanto: ∆s � 20 m t (s) s (m) 00 150 10 0 20 �50 30 0 40 150 P.113 s � 150 � 20t � 0,5t2 (s em metros e t em segundos) s (m) Q 100 150 50 0 10 20 30 40 t (s) �50 a) v � 0 no ponto Q (vértice da parábola). Portanto, o instante em que o móvel muda de sentido é: t � 20 s b) Quando s � 0, temos: t1 � 10 s e t2 � 30 s P.115 a) tg θ � 25 5 � 5 ⇒ α � 5 m/s2 b) Área A 5 25 2 � � ⇒ A � 62,5 Portanto: ∆s � 62,5 m c) ∆s � s � s0 ⇒ 62,5 � s � 15 ⇒ s � 77,5 m v (m/s) 25 0 5 A θ t (s) t (s) v (m/s) 0 8 2 4 4 0 6 �4 8 �8 P.114 v � 8 � 2t (v em m/s e t em s) v (m/s) 8 4 0 2 64 θ 8 t (s) �8 �4 Exercícios propostos 4Os fundamentos da Física • Volume 1 • Capítulo 6 P.116 v � 0,5 � t (v em m/s e t em s) v (m/s) A1 A2 0,5 0 0,5 θ 1 t (s) �0,5 s (m) 2,125 2 0 0,5 1 t (s) α (m/s2) 0 0,5 1 t (s) �1 A 0,5 0,5 2 � � � 0,125 Portanto: ∆s � �0,125 m A2 0,5 0,5 2 � � � 0,125 Portanto: ∆s � �0,125 m t (s) v (m/s) 0,0 0,5 0,5 0,0 1,0 �0,5 t (s) s (m) 0 2 0,5 2 � 0,125 � 2,125 1 2,125 � 0,125 � 2 tg θ � 0,5 0,5 � 1 Portanto: α � �1 m/s2 Com os valores da tabela, construímos o gráfico da velocida- de em função do tempo. A partir desse gráfico calculamos as variações de espaço nos intervalos 0 a 0,5 s e 0,5 s a 1 s. a) tg θ � 8 4 � 2 Portanto: α � �2 m/s2 b) Quando v � 0, temos: t � 4 s 1 v v os fundamentos da física 1 4 Unidade B Capítulo 6 Gráficos do MU e do MUV Resoluções dos exercícios propostos Exercícios propostos 4Os fundamentos da Física • Volume 1 • Capítulo 6 P.116 v � 0,5 � t (v em m/s e t em s) v (m/s) A1 A2 0,5 0 0,5 θ 1 t (s) �0,5 s (m) 2,125 2 0 0,5 1 t (s) α (m/s2) 0 0,5 1 t (s) �1 A 0,5 0,5 2 � � � 0,125 Portanto: ∆s � �0,125 m A2 0,5 0,5 2 � � � 0,125 Portanto: ∆s � �0,125 m t (s) v (m/s) 0,0 0,5 0,5 0,0 1,0 �0,5 t (s) s (m) 0 2 0,5 2 � 0,125 � 2,125 1 2,125 � 0,125 � 2 tg θ � 0,5 0,5 � 1 Portanto: α � �1 m/s2 Com os valores da tabela, construímos o gráfico da velocida- de em função do tempo. A partir desse gráfico calculamos as variações de espaço nos intervalos 0 a 0,5 s e 0,5 s a 1 s. a) tg θ � 8 4 � 2 Portanto: α � �2 m/s2 b) Quando v � 0, temos: t � 4 s 1 Exercícios propostos 3Os fundamentos da Física • Volume 1 • Capítulo 6 P.112 Área � 10 � 2 � 20 Portanto: ∆s � 20 m t (s) s (m) 00 150 100 20 �50 30 0 40 150 P.113 s � 150 � 20t � 0,5t2 (s em metros e t em segundos) s (m) Q 100 150 50 0 10 20 30 40 t (s) �50 a) v � 0 no ponto Q (vértice da parábola). Portanto, o instante em que o móvel muda de sentido é: t � 20 s b) Quando s � 0, temos: t1 � 10 s e t2 � 30 s P.115 a) tg θ � 25 5 � 5 ⇒ α � 5 m/s2 b) Área A 5 25 2 � � ⇒ A � 62,5 Portanto: ∆s � 62,5 m c) ∆s � s � s0 ⇒ 62,5 � s � 15 ⇒ s � 77,5 m v (m/s) 25 0 5 A θ t (s) t (s) v (m/s) 0 8 2 4 4 0 6 �4 8 �8 P.114 v � 8 � 2t (v em m/s e t em s) v (m/s) 8 4 0 2 64 θ 8 t (s) �8 �4 v v os fundamentos da física 1 5 Unidade B Capítulo 6 Gráficos do MU e do MUV Resoluções dos exercícios propostosExercícios propostos 5Os fundamentos da Física • Volume 1 • Capítulo 6 b) De 0 a 4 s a velocidade escalar é crescente e, portanto, a aceleração escalar é positiva. Logo, no gráfico s � f(t) de 0 a 4 s, temos um arco de parábola com concavidade para cima. De 4 s a 6 s, o arco de parábola tem concavidade para baixo, pois, sendo a velocidade escalar decrescente, a aceleração escalar é negativa. t � 0 ⇒ s � 0 t � 4 s ⇒ s � 100 cm t � 6 s ⇒ s � 150 cm tg 50 4 tg 12,5 12,5 cm/s tg tg 50 2 tg 25 25 cm/s 1 1 1 2 2 2 2 2 θ θ α θ β θ α � � � �� �� �� �� ⇒ ⇒ P.118 A1 � 20t1 ⇒ 14 � 20t1 ⇒ t1 � 0,7 h A t t 2 2 1 ( ) 20� � � 2 2 ( 0,7) 202� �t � 2 t2 � 0,9 h A t v3 2 máx. � � 2 16 0,9 máx.� � v 2 vmáx. � 35,5 km/h v (km/h) 20 0 t1 t2 A1 = 14 A2 = 2 t (h) v (km/h) vmáx. 0 t2 A3 = 16 t (h) θ1 β v (cm/s) s (cm) α (cm/s2) 150 0 0 0 100 50 50 12,5 �25 2 4 6 2 4 6 2 4 6 50100 t (s) t (s) t (s) θ2 P.117 a) A distância percorrida é numericamente igual à área no diagrama v � t: d0 6 � 150 cm v (cm/s) 50 0 2 4 6 50100 t (s) v v os fundamentos da física 1 6 Unidade B Capítulo 6 Gráficos do MU e do MUV Resoluções dos exercícios propostosExercícios propostos 6Os fundamentos da Física • Volume 1 • Capítulo 6 P.119 a) A v 20 máx.� � 2 500 � 10 � vmáx. vmáx. � 50 m/s b) α1 �N tg θ1 � 50 10 � 5,0 ⇒ α1 � 5,0 m/s2 α2 �N �tg θ2 � � 50 10 � �5,0 ⇒ α2 � �5,0 m/s2 Portanto, o módulo das acelerações nas duas metades do percurso é 5,0 m/s2. v (m/s) vmáx. 0 A t (s)2010 θ1 θ2 P.120 A � 5 � 5 � 25 Portanto: ∆v � 25 m/s P.121 a) Repouso: s constante ⇒ intervalo t1 a t2 b) Movimento uniforme: gráfico s � t reta inclinada em relação aos eixos ⇒ intervalo t3 a t4 c) Intervalo t2 a t3: s cresce com t ⇒ v � 0; concavidade para cima ⇒ α � 0 Logo, o movimento é progressivo e acelerado. d) Intervalo 0 a t1: s cresce com t ⇒ v � 0; concavidade para baixo ⇒ α � 0 Logo, o movimento é progressivo e retardado. ∆sA �N AA � 8,0 6,0 10� 2 � ∆sB �N AB � 8,0 3,0 12� 2 � ∆sA � 70 m ∆sB � 66 m Como ∆sA � ∆sB, temos que o corredor A lidera a competição na marca 8,0 s. P.122 Corredor A Corredor B v (m/s) 10 0 AA t (s)8,02,0 v (m/s) 12 0 AB t (s)8,05,0 v v os fundamentos da física 1 7 Unidade B Capítulo 6 Gráficos do MU e do MUV Resoluções dos exercícios propostosExercícios propostos 7Os fundamentos da Física • Volume 1 • Capítulo 6 P.123 a) • 0 a 6 s: tg θ1 � 126 � 2 ⇒ α1 � 2 m/s 2 • 6 s a 16 s: α2 � 0 • 16 s a 20 s: tg θ2 � 2 4 � 0,5 ⇒ α3 � �0,5 m/s2 Logo, a menor aceleração, em módulo, ocorre no intervalo 6 s a 16 s. b) O módulo da aceleração é máximo no intervalo 0 a 6 s. c) ∆s �N A1 � A2 � A3 � 6 12 2 � � 10 � 12 � 12 10 2 4� � ⇒ ∆s � 200 m d) v s t vm m 200 20 � �∆∆ ⇒ ⇒ vm � 10 m/s v (m/s) 12 0 10 A2A1 θ1 θ2 A3 t (s)16 206 5,0 15,00 v (m/s) t (s) 40 30 tE B A P.124 a) Cálculo de ∆sA e ∆sB até o instante t � 15,0 s: No gráfico v � f (t) a variação de espaço é numericamente igual à área: AA � 15,0 � 30 � 450 ∆sA � 450 m AB 10,0 40 2 200� �� ∆sB � 200 m Logo: d � ∆sA � ∆sB � 450 m � 200 m ⇒ d � 250 m b) No instante tE de encontro, temos: ∆sA � ∆sB 30 10,0 40 2 40 ( 15,0)E E� � �t t� � � 30tE � 200 � 40tE � 600 tE � 40,0 s O veículo B alcança o veículo A 40,0 s após A passar pelo posto policial. v v os fundamentos da física 1 8 Unidade B Capítulo 6 Gráficos do MU e do MUV Resoluções dos exercícios propostosExercícios propostos 8Os fundamentos da Física • Volume 1 • Capítulo 6 P.125 a) Móvel 1: tg 18 12 1,5 1,5 m/s1 1 2θ α� � �⇒ v1 v (m/s) 18 12 18 t (s)0 θ1 A1 Móvel 2: tg 18 9,0 2,0 2,0 m/s2 2 2θ α� � �⇒ v2 v (m/s) 18 θ2 A2 123,0 18 t (s)0 b) Móvel 1: v1 � α1 � t ⇒ v1 � 1,5 � 18 ⇒ v1 � 27 m/s De 0 a 18 s o móvel 1 percorreu: ∆s1 �N A1 ⇒ ∆s1 18 272� � ⇒ ∆s1 � 243 m Móvel 2: v2 � α2(t � 3,0) ⇒ v2 � 2,0(18 � 3,0) ⇒ v2 � 30 m/s De 3,0 s a 18 s o móvel 2 percorreu: ∆s2 �N A2 ⇒ ∆s2 15 302� � ⇒ ∆s2 � 225 m Logo, até o instante 18 s, o móvel (2) não conseguiu alcançar o móvel (1). P.126 No gráfico α � t, A �N ∆v. Portanto, A1 � 4,0 � 4,0 � 16 ⇒ ∆v1 � �16 m/s ⇒ v4 � v0 � �16 m/s ⇒ v4 � �16 m/s A2 � 4,0 � 2,0 � 8,0 ⇒ ∆v2 � 8,0 m/s ⇒ v8 � v4 � 8,0 m/s ⇒ v8 � �8,0 m/s o gráfico da velocidade será: 4,0 0 v (m/s) t (s) –8 –16 8,0 No gráfico v � t, A �N ∆s. Então: A 4,0 16 2 (16 8,0) 4,0 2 80 m 80 m 0� � � � � � � �� � ⇒ ⇒ ⇒∆s s s ⇒ s �100 � �80 ⇒ s � 20 m v v os fundamentos da física 1 9 Unidade B Capítulo 6 Gráficos do MU e do MUV Resoluções dos exercícios propostosExercícios propostos 9Os fundamentos da Física • Volume 1 • Capítulo 6 t (s)0 10 40 50 v (m/s) 25 b) Área � 50 30 2 25 � �� 1.000 Portanto: ∆s � 1.000 m P.127 a) P.128 a) v s t vm m 2.520 m 180 s � �∆∆ ⇒ ⇒ vm � 14 m/s b) t (s)0 x y x 180 v (m/s) 16 A P.129 b) vm � ∆∆ s t v v 2 0� � ⇒ 9 3 0 2 0� � v ⇒ v0 � 6 m/s a) v � v0 � αt ⇒ 0 � 6 � α � 3 ⇒ α � �2 m/s2 Como α � �g, temos: g � 2 m/s2 P.130 As distâncias percorridas (1,0 cm; 4,0 cm; 7,0 cm; ...), em intervalos de tempo iguais e sucessivos, estão em progressão aritmética, de razão igual a 3,0 cm. Assim, no quarto segundo, a partícula percorre 10 cm e, no quinto segundo, 13 cm. ∆s �N A ⇒ 2.520 180 2 16� � y � ⇒ y � 135 s Pelo gráfico acima, temos: x � y � x � 180 ⇒ 2x � 135 � 180 ⇒ x � 22,5 s v v os fundamentos da física 1 10 Unidade B Capítulo 6 Gráficos do MU e do MUV Resoluções dos exercícios propostosExercícios propostos 10Os fundamentos da Física • Volume 1 • Capítulo 6 P.131 a) O corpo atinge a altura máxima no instante em que sua velocidade se anula, isto é, t � 6 s (tempo de subida). t (s)0 v (m/s) 60 A 6 12 b) Sendo o tempo de subida igual ao de descida, concluímos que o tempo total é de 12 s. c) A � 6 60 2 � � 180 ⇒ hmáx. � 180 m d) Da análise dos dois triângulos da figura resulta que a velocidade escalar do corpo, ao retornar ao ponto de lançamento, é �60 m/s. P.132 a) tg θ1 � 50010 � 50 ⇒ α � 50 m/s 2 b) A1 � 10 5002 � � 2.500 h � 2.500 m c) tg θ2 � 500 10 500 10 1 1t t g� � �⇒ ⇒ ⇒ 500 101t � � 10 ⇒ t1 � 60 s d) A2 � (60 10) 500 2 � � � 12.500 hmáx. �N A1 � A2 ⇒ hmáx. � 15.000 m e) e f) tg θ2 � � �� � � � � v t t v t t ’ ’ 10 2 1 2 1 ⇒ ⇒ �v’ � � 10 � (t2 � t1) � A3 � ( ) ’ 2 ( ) ’ 2 15.0002 1 2 1 t t v t t v�� � � � � �� �⇒ � Substituindo � em �: ( ) 10 ( ) 2 2 1 2 1t t t t� �� � � 15.000 ⇒ (t2 � 60)2 � 3.000 ⇒ t2 � 114,8 s � Substituindo � em �, temos: �v ’� � 10 � (114,8 � 60) ⇒ �v ’� � 548 m/s ⇒ v ’ � �548 m/s t (s)0 v (m/s) 500 t1 A1 θ1 θ2 θ2 A2 A3 t2 10 v'