UPE 2017 02 Raciocinio Logico

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UPE 
Administrador 
 
Princípio da Regressão ou Reversão. Lógica Dedutiva, Argumentativa e Quantitativa. Lógica 
matemática qualitativa, Sequências Lógicas envolvendo Números, Letras e Figuras. ............................. 1 
 
Geometria básica. ............................................................................................................................. 80 
 
Álgebra básica e sistemas lineares. ................................................................................................. 157 
 
Calendários...................................................................................................................................... 273 
 
Numeração. ..................................................................................................................................... 277 
 
Razões Especiais. .......................................................................................................................... 282 
 
Análise Combinatória e Probabilidade. ........................................................................................... 289 
 
Progressões Aritméticas e Geométricas. ........................................................................................ 310 
 
Conjuntos; as relações de pertinência, inclusão e igualdade; operações entre conjuntos, união, 
interseção e diferença. Comparações. ................................................................................................. 319 
 
 
 
 
 
Candidatos ao Concurso Público, 
O Instituto Maximize Educação disponibiliza o e-mail professores@maxieduca.com.br para dúvidas 
relacionadas ao conteúdo desta apostila como forma de auxiliá-los nos estudos para um bom 
desempenho na prova. 
As dúvidas serão encaminhadas para os professores responsáveis pela matéria, portanto, ao entrar 
em contato, informe: 
- Apostila (concurso e cargo); 
- Disciplina (matéria); 
- Número da página onde se encontra a dúvida; e 
- Qual a dúvida. 
Caso existam dúvidas em disciplinas diferentes, por favor, encaminhá-las em e-mails separados. O 
professor terá até cinco dias úteis para respondê-la. 
Bons estudos!
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Caro(a) candidato(a), antes de iniciar nosso estudo, queremos nos colocar à sua disposição, durante 
todo o prazo do concurso para auxiliá-lo em suas dúvidas e receber suas sugestões. Muito zelo e técnica 
foram empregados na edição desta obra. No entanto, podem ocorrer erros de digitação ou dúvida 
conceitual. Em qualquer situação, solicitamos a comunicação ao nosso serviço de atendimento ao cliente 
para que possamos esclarecê-lo. Entre em contato conosco pelo e-mail: professores @maxieduca.com.br 
 
DEFINIÇÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO 
 
Para melhor compreender os assuntos relacionados no presente tópico, é necessário ter conhecimento 
acerca do que é Raciocínio Lógico, e suas vertentes, vejamos: 
 
Raciocínio lógico é um processo de estruturação do pensamento de acordo com as normas da lógica 
que permite chegar a uma determinada conclusão ou resolver um problema. É aquele que se desvincula 
das relações entre os objetos e procede da própria elaboração do indivíduo. Surge através da 
coordenação das relações previamente criadas entre os objetos. 
 
Um raciocínio lógico requer consciência e capacidade de organização do pensamento. É possível 
resolver problemas usando o raciocínio lógico. No entanto, ele não pode ser ensinado diretamente, mas 
pode ser desenvolvido através da resolução de exercícios lógicos que contribuem para a evolução de 
algumas habilidades mentais. 
Muitas empresas utilizam exercícios de raciocínio lógico para testarem a capacidade dos candidatos. 
Este tipo de avaliação também é comum em concursos públicos. 
 
 - Raciocínio lógico matemático ou quantitativo 
O raciocínio lógico matemático ou quantitativo é o raciocínio usado para a resolução de alguns 
problemas e exercícios matemáticos. Esses exercícios são frequentemente usados no âmbito escolar, 
através de problemas matriciais, geométricos e aritméticos, para que os alunos desenvolvam 
determinadas aptidões. Este tipo de raciocínio é bastante usado em áreas como a análise combinatória. 
 
- Raciocínio analítico (crítico) ou Lógica informal - é a capacidade de raciocinar rapidamente 
através da percepção. Em concursos exigem bastante senso crítico do candidato e capacidade de 
interpretação, portanto exigem mecanismos próprios para a resolução das questões. O raciocínio analítico 
nada mais é que a avaliação de situações através de interpretação lógica de textos. 
 
Tipos de raciocínio 
 
Raciocínio verbal - consiste 
na capacidade de apreensão e 
estruturação de elementos 
verbais, culminando na 
formação de significados e uma 
ordem e relação entre eles. 
 
Raciocínio espacial - remete 
para a aptidão para criar e 
manipular representações mentais 
visuais. Está relacionada com a 
capacidade de visualização e de 
raciocinar em três dimensões. 
 
Raciocínio abstrato - 
responsável pelo pensamento 
abstrato e a capacidade para 
determinar ligações abstratas 
entre conceitos através de 
ideias inovadoras. 
 
 
Vejamos um exemplo que roda pela internet e redes sociais, os quais são chamados de Desafios, os 
mesmos envolvem o “raciocínio” para chegarmos ao resultado: 
 
Princípio da Regressão ou Reversão. Lógica Dedutiva, Argumentativa 
e Quantitativa. Lógica matemática qualitativa, Sequências Lógicas 
envolvendo Números, Letras e Figuras. 
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Solução: 4 em romanos é IV e 1 em inglês é ONE, logo juntando os dois temos: IVONE. 
 
 
CONCEITOS LÓGICOS 
 
A lógica a qual conhecemos hoje foi definida por Aristóteles, constituindo-a como uma ciência 
autônoma que se dedica ao estudo dos atos do pensamento (Conceito, Juízo, Raciocínio, Demonstração) 
do ponto de vista da sua estrutura ou forma lógica, sem ter em conta qualquer conteúdo material. 
Falar de Lógica durante séculos, era o mesmo que falar da lógica aristotélica. Apesar dos enormes 
avanços da lógica, sobretudo a partir do século XIX, a matriz aristotélica persiste até aos nossos dias. A 
lógica de Aristóteles tinha objetivo metodológico, a qual tratava de mostrar o caminho correto para a 
investigação, o conhecimento e a demonstração científicas. O método científico que ele preconizava 
assentava nos seguintes fases: 
 
1. Observação de fenômenos particulares; 
2. Intuição dos princípios gerais (universais) a que os mesmos obedeciam; 
3. Dedução a partir deles das causas dos fenômenos particulares. 
 
Por este e outros motivos Aristóteles é considerado o pai da Lógica Formal. 
 
A lógica matemática (ou lógica formal) estuda a lógica segundo a sua estrutura ou forma. A lógica 
matemática consiste em um sistema dedutivo de enunciados que tem como objetivo criar um grupo de 
leis e regras para determinar a validade dos raciocínios. Assim, um raciocínio é considerado válido se é 
possível alcançar uma conclusão verdadeira a partir de premissas verdadeiras. 
Em sentido mais amplo podemos dizer que a Lógica está relacionado a maneira específica de 
raciocinar de forma acertada, isto é, a capacidade do indivíduo de resolver problemas complexos que 
envolvem questões matemáticas, os sequências de números, palavras, entre outros e de desenvolver 
essa capacidade de chegar a validade do seu raciocínio. 
 
O estudo das estruturas lógicas, consiste em aprendemos a associar determinada preposição ao 
conectivo correspondente. Mas é necessário aprendermos alguns conceitos importantes para o 
aprendizado. 
 
Conceito de proposição 
Chama-se proposição a todo conjunto de palavras ou símbolos queexpressam um pensamento ou 
uma ideia de sentido completo. 
Assim, as proposições transmitem pensamentos, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que 
formamos a respeito de determinados conceitos ou entes. Esses fatos ou juízos afirmados pela 
proposição em questão deverão sempre ter um valor verdadeiro (V) ou um valor falso (F), senão a frase 
em si não constituirá uma proposição lógica, e sim apenas uma frase. 
Vejamos alguns exemplos de proposições: 
A) Júpiter é o maior planeta do sistema Solar. 
B) Salvador é a capital do Brasil. 
C) Todos os músicos são românticos. 
 
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Observe que a todas as frases podemos atribuir um valor lógico (V ou F). 
 
A Lógica matemática adota como regra fundamental dois princípios (ou axiomas): 
 
 
I – PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: uma proposição não pode ser 
verdadeira E falsa ao mesmo tempo. 
 
II – PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: toda proposição OU é 
verdadeira OU é falsa, verificamos sempre um desses casos, NUNCA existindo 
um terceiro caso. 
 
 
Valores lógicos das proposições 
Chamamos de valor lógico de uma proposição a verdade, se a proposição é verdadeira (V), e a 
falsidade, se a proposição é falsa (F). Designamos as letras V e F para abreviarmos os valores lógicos 
verdade e falsidade respectivamente. 
Com base nas duas regras fundamentais que norteiam a Lógica Matemática (Princípios da não 
Contradição e do Terceiro Excluído), podemos afirmar que: 
 
“Toda proposição tem um, e somente um, dos valores, que são: V ou F.” 
 
Consideremos as seguintes proposições e os seus respectivos valores lógicos: 
 
a) A velocidade de um corpo é inversamente proporcional ao seu tempo. (V) 
b) A densidade da madeira é maior que a da água. (F) 
 
A maioria das proposições são proposições contingenciais, ou seja, dependem 
do contexto para sua análise. Assim, por exemplo, se considerarmos a 
proposição simples: 
“Existe vida após a morte”, ela poderá ser verdadeira (do ponto de vista da 
religião espírita) ou falsa (do ponto de vista da religião católica); mesmo assim, 
em ambos os casos, seu valor lógico é único — ou verdadeiro ou falso. 
 
Classificação de uma proposição 
Uma proposição pode ser classificada como: 
 
1) Sentença aberta: quando não se pode atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso para ela (ou 
valorar a proposição!), portanto, não é considerada frase lógica. São consideradas sentenças abertas: 
a) Frases interrogativas: Quando será prova? - Estudou ontem? – Fez Sol ontem? 
b) Frases exclamativas: Gol! – Que maravilhoso! 
c) Frase imperativas: Estude e leia com atenção. – Desligue a televisão. 
d) Frases sem sentido lógico (expressões vagas, paradoxais, ambíguas, ...): “esta frase é verdadeira” 
(expressão paradoxal) – O cavalo do meu vizinho morreu (expressão ambígua) – 2 + 3 + 7 
 
2) Sentença fechada: quando a proposição admitir um único valor lógico, seja ele verdadeiro ou falso, 
nesse caso, será considerada uma frase, proposição ou sentença lógica. 
 
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Uma forma de identificarmos se uma frase simples é ou não considerada frase 
lógica, ou sentença, ou ainda proposição, é pela presença de: 
- sujeito simples: "Carlos é médico"; 
- sujeito composto: "Rui e Nathan são irmãos"; 
- sujeito inexistente: "Choveu" 
- verbo, que representa a ação praticada por esse sujeito, e estar sujeita à 
apreciação de julgamento de ser verdadeira (V) ou falsa (F), caso contrário, não será 
considerada proposição. 
 
Atenção: orações que não tem sujeito NÃO são consideradas proposições 
lógicas. 
 
 
Observe mais alguns exemplos: 
 
Frase Sujeito Verbo Conclusão 
Maria é baiana Maria (simples) É (ser) É uma frase lógica 
Lia e Maria têm dois 
irmãos 
Lia e Maria (composto) Têm (ter) É uma frase lógica 
Ventou hoje Inexistente Ventou (ventar) É uma frase lógica 
Um lindo livro de 
literatura 
Um lindo livro Frase sem verbo NÂO é uma frase lógica 
Manobrar esse carro Frase sem sujeito Manobrar NÂO é uma frase lógica 
Existe vida em Marte Vida Existir É uma frase lógica 
 
 
Sentenças representadas por variáveis 
a) x + 4 > 5; 
b) Se x > 1, então x + 5 < 7; 
c) x = 3 se, e somente se, x + y = 15. 
 
Classificação das proposições 
As proposições podem ser classificadas em quatro tipos diferentes: 
1. Proposições simples (ou atômicas). 
2. Proposições compostas (ou moleculares). 
3. Proposições categóricas. 
4. Proposições quantificadas (ou funcionais). 
 
Observação: Os termos “atômicos” e “moleculares” referem-se à quantidade de verbos presentes na 
frase. Consideremos uma frase com apenas um verbo, então ela será dita atômica, pois se refere a 
apenas um único átomo (1 verbo = 1 átomo); consideremos, agora, uma frase com mais de um verbo, 
então ela será dita molecular, pois se refere a mais de um átomo (mais de um átomo = uma molécula). 
 
Conceito de Tabela Verdade 
É uma forma usual de representação das regras da Álgebra Booleana. Nela, é representada cada 
proposição (simples ou composta) e todos os seus valores lógicos possíveis. Partimos do Princípio do 
Terceiro Excluído, toda proposição simples é verdadeira ou falsa , tendo os valores lógicos V (verdade) 
ou F (falsidade). 
Quando trabalhamos com as proposições compostas, determinamos o seu valor lógico partindo das 
proposições simples que a compõe. 
 
 
 
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O valor lógico de qualquer proposição composta depende UNICAMENTE dos valores lógicos 
das proposições simples componentes, ficando por eles UNIVOCAMENTE determinados. 
 
 
Questão 
 
01. (Cespe/UNB) Na lista de frases apresentadas a seguir: 
• “A frase dentro destas aspas é uma mentira.” 
• A expressão x + y é positiva. 
• O valor de √4 + 3 = 7. 
• Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. 
• O que é isto? 
Há exatamente: 
(A) uma proposição; 
(B) duas proposições; 
(C) três proposições; 
(D) quatro proposições; 
(E) todas são proposições. 
Resposta 
 
 
01. Resposta: B. 
Analisemos cada alternativa: 
(A) “A frase dentro destas aspas é uma mentira”, não podemos atribuir valores lógicos a ela, logo não 
é uma sentença lógica. 
(B) A expressão x + y é positiva, não temos como atribuir valores lógicos, logo não é sentença lógica. 
(C) O valor de √4 + 3 = 7; é uma sentença lógica pois podemos atribuir valores lógicos, independente 
do resultado que tenhamos 
(D) Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira, também podemos atribuir valores lógicos (não 
estamos considerando a quantidade certa de gols, apenas se podemos atribuir um valor de V ou F a 
sentença). 
(E) O que é isto? - como vemos não podemos atribuir valores lógicos por se tratar de uma frase 
interrogativa. 
 
 
ESTUDO DAS PROPOSIÇÕES E DOS CONECTIVOS 
 
Definições 
- Proposições simples (ou atômicas): aquela que NÃO contém nenhuma outra proposição como parte 
integrante de si mesma. As proposições simples são designadas pelas letras latinas minúsculas p,q,r, s..., 
chamadas letras proposicionais. 
Exemplos 
r: Carlos é careca. 
s: Pedro é estudante. 
a: O céu é verde. 
 
- Proposições compostas (ou moleculares): aquela formada pela combinação de duas ou mais 
proposições simples. Elas também são chamadas de estruturas lógicas. As proposições compostas são 
designadas pelas letras latinas maiúsculas P,Q,R, R..., também chamadas letras proposicionais. 
Exemplos 
P: Carlos é careca e Pedro é estudante. 
Q: Carlos é careca ou Pedro é estudante. 
R: Se Carlos é careca, então é triste. 
 
Observamos que todas as proposições compostas são formadas por duas proposições simples. 
 
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No campo gramatical conseguimos identificar uma 
porposição simples ou composta pela quantidade de 
verbos existentes na frase. Então uma frase que contenha 
um verbo é uma proposição simples, que contenha mais 
de um verbo é uma proposição composta. Este conceito 
não foge ao aplicado aos do princípios lógicos. 
 
 
Operadores Lógicos 
Temos dois tipos 
- os modificadores: têm por finalidade modificar (alterar) o valor lógico de uma proposição, seja ela 
qual for. 
 
Exemplo: 
 
Não vou trabalhar neste sábado. (o não modificou o valor lógico). 
 
- os conectivos (concectores lógicos): palavras usadas para formar novas proposições a partir de 
outras, ou seja, unindo-se ou conectando-se duas ou mais proposições simples. 
 
Exemplos: 
1) O número 2 é par E o número 16 é um quadrado perfeito. (conectivo “e”) 
2) OU Carlos viaja OU Pedro trabalha. (conectivo “ou”) 
3) SE o Brasil jogar com seriedade, ENTÂO Portugual não será campeã.(concectivo “ se ... então”) 
4) Luciana casa SE, E SOMENTE SE, Pedro arranjar um emprego (conectivo “se, e somente se..”) 
 
Em Lógica são considerados operadores lógicos as seguintes palavras: 
 
 
Também podemos representar a negação utilizando o símbolo “ ¬ ” (cantoneira). 
 
Estudo dos Operadores e Operações Lógicas 
Quando efetuamos certas operações sobre proposições chamadas operações lógicas, efetuamos 
cálculos proposicionais, semelhantes a aritmética sobre números, de forma a determinarmos os valores 
das proposições. 
 
1) Negação ( ~ ): chamamos de negação de uma proposição representada por “não p” cujo valor lógico 
é verdade (V) quando p é falsa e falsidade (F) quando p é verdadeira. Assim “não p” tem valor lógico 
oposto daquele de p. 
Pela tabela verdade temos: 
 
 
 
Simbolicamente temos: 
 ~V = F ; ~F = V 
V(~p) = ~V(p) 
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Exemplos 
 
Proposição (afirmações): p Negação: ~p 
Carlos é médico Carlos NÂO é médico 
Juliana é carioca Juliana NÂO é carioca 
Nicolas está de férias Nicolas NÂO está de férias 
Norberto foi trabalhar NÃO É VERDADE QUE Norberto foi trabalhar 
 
A primeira parte da tabela todas as afirmações são verdadeiras, logo ao negarmos temos passam a 
ter como valor lógico a falsidade. 
 
- Dupla negação (Teoria da Involução): vamos considerar as seguintes proposições primitivas, p:” 
Netuno é o planeta mais distante do Sol”; sendo seu valor verdadeiro ao negarmos “p”, vamos obter a 
seguinte proposição ~p: “Netuno NÂO é o planeta mais distante do Sol” e negando novamente a 
proposição “~p” teremos ~(~p): “NÃO É VERDADE que Netuno NÃO é o planta mais distante do Sol”, 
sendo seu valor lógico verdadeiro (V). Logo a dupla negação equivale a termos de valores lógicos a sua 
proposição primitiva. 
 
p ≡ ~(~p) 
 
Observação: O termo “equivalente” está associado aos “valores lógicos” de duas fórmulas lógicas, 
sendo iguais pela natureza de seus valores lógicos. 
Exemplo: 
1. Saturno é um planeta do sistema solar. 
2. Sete é um número real maior que cinco. 
 
Sabendo-se da realidade dos valores lógicos das proposições “Saturno é um planeta do sistema solar” 
e “Sete é um número rela maior que cinco”, que são ambos verdadeiros (V), conclui-se que essas 
proposições são equivalentes, em termos de valores lógicos, entre si. 
 
2) Conjunção – produto lógico (^): chama-se de conjunção de duas proposições p e q a proposição 
representada por “p e q”, cujo valor lógico é verdade (V) quando as proposições, p e q, são ambas 
verdadeiras e falsidade (F) nos demais casos. 
Simbolicamente temos: “p ^ q” (lê-se: “p E q”). 
 
Pela tabela verdade temos: 
 
Exemplos 
(a) 
p: A neve é branca. (V) 
q: 3 < 5. (V) 
V(p ^ q ) = V(p) ^ V(q) = V ^ V = V 
 
(b) 
p: A neve é azul. (F) 
q: 6 < 5. (F) 
V(p ^ q ) = V(p) ^ V(q) = F ^ F = F 
 
(c) 
p: Pelé é jogador de futebol. (V) 
q: A seleção brasileira é octacampeã. (F) 
V(p ^ q ) = V(p) ^ V(q) = V ^ F = F 
 
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(d) 
p: A neve é azul. (F) 
q: 7 é número impar. (V) 
V(p ^ q ) = V(p) ^ V(q) = F ^ V = F 
 
- O valor lógico de uma proposição simples “p” é indicado por V(p). Assim, 
exprime-se que “p” é verdadeira (V), escrevendo: 
V(p) = V 
 
- Analogamente, exprime-se que “p” é falsa (F), escrevendo: 
V(p) = F 
 
- As proposições compostas, representadas, por exemplo, pelas letras maiúsculas 
“P”, “Q”, “R”, “S” e “T”, terão seus respectivos valores lógicos representados por: 
V(P), V(Q), V(R), V(S) e V(T). 
 
 
3) Disjunção inclusiva – soma lógica – disjunção simples (v): chama-se de disjunção inclusiva de 
duas proposições p e q a proposição representada por “p ou q”, cujo valor lógico é verdade (V) quando 
pelo menos umas proposições, p e q, é verdadeira e falsidade (F) quando ambas são falsas. 
Simbolicamente: “p v q” (lê-se: “p OU q”). 
 Pela tabela verdade temos: 
 
 
Exemplos 
(a) 
p: A neve é branca. (V) 
q: 3 < 5. (V) 
V(p v q) = V(p) v V(q) = V v V = V 
 
(b) 
p: A neve é azul. (F) 
q: 6 < 5. (F) 
V(p v q) = V(p) v V(q) = F v F = F 
 
(c) 
p: Pelé é jogador de futebol. (V) 
q: A seleção brasileira é octacampeã. (F) 
V(p v q) = V(p) v V(q) = V v F = V 
 
(d) 
p: A neve é azul. (F) 
q: 7 é número impar. (V) 
V(p v q) = V(p) v V(q) = F v V = V 
 
4) Disjução exclusiva ( v ): chama-se dijunção exclusica de duas proposições p e q, cujo valor lógico 
é verdade (V) somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p e q são ambas 
veradeiras e a falsidade (F) quando p e q são ambas veradeiras ou ambas falsas. 
Simbolicamente: “p v q” (lê-se; “OU p OU q”; “OU p OU q, MAS NÃO AMBOS”). 
Pela tabela verdade temos: 
 
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Para entender melhor vamos analisar o exemplo. 
p: Nathan é médico ou professor. (ambas podem ser verdeiras, ele pode ser as duas coisas ao mesmo 
tempo, uma condição não exclui a outra – disjunção inclusiva). 
Podemos escrever: 
Nathan é médico ^ Nathan é professor 
 
q: Mario é carioca ou paulista (aqui temos que se Mario é carioca implica que ele não pode ser paulista, 
as duas coisas não podem acontecer ao mesmo tempo – disjunção exlcusiva). 
Reescrevendo: 
Mario é carioca v Mario é paulista. 
 
Exemplos 
a) Plínio pula ou Lucas corre, mas não ambos. 
b) Ou Plínio pula ou Lucas corre. 
 
5) Implicação lógica ou condicional (→): chama-se proposição condicional ou apenas condicional 
representada por “se p então q”, cujo valor lógico é falsidade (F) no caso em que p é verdade e q é falsa 
e a verdade (V) nos demais casos. 
 
Simbolicamente: “p → q” (lê-se: p é condição suficiente para q; q é condição necessária para p). 
p é o antecendente e q o consequente e “→” é chamado de símbolo de implicação. 
 
Pela tabela verdade temos: 
 
 
 
Exemplos 
(a) 
p: A neve é branca. (V) 
q: 3 < 5. (V) 
V(p → q) = V(p) → V(q) = V → V = V 
 
(b) 
p: A neve é azul. (F) 
q: 6 < 5. (F) 
V(p → q) = V(p) → V(q) = F → F = V 
 
(c) 
p: Pelé é jogador de futebol. (V) 
q: A seleção brasileira é octacampeã. (F) 
V(p → q) = V(p) → V(q) = V → F = F 
 
(d) 
p: A neve é azul. (F) 
q: 7 é número impar. (V) 
V(p → q) = V(p) → V(q) = F → V = V 
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6) Dupla implicação ou bicondicional (↔):chama-se proposição bicondicional ou apenas 
bicondicional representada por “p se e soemnete se q”, cujo valor lógico é verdade (V) quando p e q são 
ambas verdadeiras ou falsas e a falsidade (F) nos demais casos. 
Simbolicamente: “p ↔ q” (lê-se: p é condição necessária e suficiente para q; q é condição ncessária e 
suficiente para p). 
 
Pela tabela verdade temos:Exemplos 
(a) 
p: A neve é branca. (V) 
q: 3 < 5. (V) 
V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = V ↔ V = V 
 
(b) 
p: A neve é azul. (F) 
q: 6 < 5. (F) 
V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = F ↔ F = V 
 
(c) 
p: Pelé é jogador de futebol. (V) 
q: A seleção brasileira é octacampeã. (F) 
V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = V ↔ F = F 
 
(d) 
p: A neve é azul. (F) 
q: 7 é número impar. (V) 
V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = F ↔ V = F 
 
Transformação da linguaguem corrente para a simbólica 
Este é um dos tópicos mais vistos em diversas provas e por isso vamos aqui detalhar de forma a 
sermos capazes de resolver questões deste tipo. 
 
Sejam as seguintes proposições simples denotadas por “p”, “q” e “r” representadas por: 
p: Luciana estuda. 
q: João bebe. 
r: Carlos dança. 
 
Sejam, agora, as seguintes proposições compostas denotadas por: “P ”, “Q ”, “R ”, “S ”, “T ”, “U ”, “V ” 
e “X ” representadas por: 
P: Se Luciana estuda e João bebe, então Carlos não dança. 
Q: É falso que João bebe ou Carlos dança, mas Luciana não estuda. 
R: Ou Luciana estuda ou Carlos dança se, e somente se, João não bebe. 
 
O primeiro passo é destacarmos os operadores lógicos (modificadores e conectivos) e as proposições. 
Depois reescrevermos de forma simbólica, vajamos: 
 
 
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Juntando as informações temos que, P: (p ^ q) → ~r 
 
Continuando: 
 
Q: É falso que João bebe ou Carlos dança, mas Luciana estuda. 
 
 
Simbolicamente temos: Q: ~ (q v r ^ ~p). 
 
R: Ou Luciana estuda ou Carlos dança se, e somente se, João não bebe. 
(p v r) ↔ ~q 
 
Observação: os termos “É falso que”, “Não é verdade que”, “É mentira que” e “É uma falácia que”, 
quando iniciam as frases negam, por completo, as frases subsequentes. 
 
- O uso de parêntesis 
A necessidade de usar parêntesis na simbolização das proposições se deve a evitar qualquer tipo de 
ambiguidade, assim na proposição, por exemplo, p ^ q v r, nos dá a seguinte proposições: 
 
(I) (p ^ q) v r Conectivo principal é da disjunção. 
(II) p ^ (q v r) Conectivo principal é da conjunção. 
 
As quais apresentam significados diferentes, pois os conectivos principais de cada proposição 
composta dá valores lógicos diferentes como conclusão. 
Agora observe a expressão: p ^ q → r v s, dá lugar, colocando parêntesis as seguintes proposições: 
a) ((p ^ q) → r) v s 
b) p ^ ((q → r) v s) 
c) (p ^ (q → r)) v s 
d) p ^ (q → (r v s)) 
e) (p ^ q) → (r v s) 
 
Aqui duas quaisquer delas não tem o mesmo significado. Porém existem muitos casos que os 
parêntesis são suprimidos, a fim de simplificar as proposições simbolizadas, desde que, naturalmente, 
ambiguidade alguma venha a aparecer. Para isso a supressão do uso de parêntesis se faz mediante a 
algumas convenções, das quais duas são particularmente importantes: 
 
1ª) A “ordem de precedência” para os conectivos é: 
(I) ~ (negação) 
(II) ^, v (conjunção ou disjunção têm a mesma precedência, operando-se o que ocorrer primeiro, da 
esquerda para direita). 
(III) → (condicional) 
(IV) ↔ (bicondicional) 
Portanto o mais “fraco” é “~” e o mais “forte” é “↔”. 
 
Exemplo 
p → q ↔ s ^ r , é uma bicondicional e nunca uma condicional ou uma conjunção. Para convertê-la 
numa condicional há que se usar parêntesis: 
p →( q ↔ s ^ r ) 
E para convertê-la em uma conjunção: 
(p → q ↔ s) ^ r 
 
2ª) Quando um mesmo conectivo aparece sucessivamente repetido, suprimem-se os 
parêntesis, fazendo-se a associação a partir da esquerda. 
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. 12 
Segundo estas duas convenções, as duas seguintes proposições se escrevem: 
 
Proposição Nova forma de escrever a proposição 
((~(~(p ^ q))) v (~p)) ~~ (p ^ q) v ~p 
((~p) → (q → (~(p v r)))) ~p→ (q → ~(p v r)) 
 
- Outros símbolos para os conectivos (operadores lógicos): 
 
“¬” (cantoneira) para negação (~). 
“●” e “&” para conjunção (^). 
“ﬤ” (ferradura) para a condicional (→). 
 
Em síntese temos a tabela verdade das proposições que facilitará na resolução de diversas questões 
 
 
(Fonte: http://www laifi.com.) 
 
 
ESTUDO DA TABELA VERDADE 
 
Sabemos que tabela verdade é toda tabela que atribui, previamente, os possíveis valores lógicos que 
as proposições simples podem assumir, como sendo verdadeiras (V) ou falsas (F), e, por consequência, 
permite definir a solução de uma determinada fórmula (proposição composta). 
De acordo com o Princípio do Terceiro Excluído, toda proposição simples “p” é verdadeira ou falsa, ou 
seja, possui o valor lógico V (verdade) ou o valor lógico F (falsidade). 
Em se tratando de uma proposição composta, a determinação de seu valor lógico, conhecidos os 
valores lógicos das proposições simples componentes, se faz com base no seguinte princípio, vamos 
relembrar: 
 
 
O valor lógico de qualquer proposição composta depende 
UNICAMENTE dos valores lógicos das proposições simples 
componentes, ficando por eles UNIVOCAMENTE determinados. 
 
 
Para determinarmos esses valores recorremos a um dispositivo prático que é o objeto do nosso estudo: 
A tabela verdade. Em que figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição composta (sua 
solução) correspondente a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples 
componentes. 
 
Número de linhas de uma Tabela Verdade 
O número de linhas de uma proposição composta depende do número de proposições simples que a 
integram, sendo dado pelo seguinte teorema: 
 
“A tabela verdade de uma proposição composta com n* proposições simpleste componentes 
contém 2n linhas.” (* Algumas bibliografias utilizam o “p” no lugar do “n”) 
Os valores lógicos “V” e “F” se alteram de dois em dois para a primeira proposição “p” e de um em um 
para a segunda proposição “q”, em suas respectivas colunas, e, além disso, VV, VF, FV e FF, em cada 
linha, são todos os arranjos binários com repetição dos dois elementos “V” e “F”, segundo ensina a Análise 
Combinatória. 
 
 
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. 13 
Construção da tabela verdade de uma proposição composta 
Para sua construção começamos contando o número de proposições simples que a integram. Se há 
n proposições simples componentes, então temos 2n linhas. Feito isso, atribuimos a 1ª proposição simples 
“p1” 2n / 2 = 2n -1 valores V , seguidos de 2n – 1 valores F, e assim por diante. 
 
Exemplos: 
1) Se tivermos 2 proposições temos que 2n =22 = 4 linhas e 2n – 1 = 22 - 1 = 2, temos para a 1ª proposição 
2 valores V e 2 valores F se alternam de 2 em 2 , para a 2ª proposição temos que os valores se alternam 
de 1 em 1 (ou seja metade dos valores da 1ª proposição). Observe a ilustração, a primeira parte dela 
corresponde a árvore de possibilidades e a segunda a tabela propriamente dita. 
 
 
(Fonte: http://www.colegioweb.com.br/nocoes-de-logica/tabela-verdade.html) 
 
2) Neste caso temos 3 proposições simples, fazendo os cálculos temos: 2n =23 = 8 linhas e 2n – 1 = 23 
- 1 = 4, temos para a 1ª proposição 4 valores V e 4 valores F se alternam de 4 em 4 , para a 2ª proposição 
temos que os valores se alternam de 2 em 2 (metade da 1ª proposição) e para a 3ª proposição temos 
valores que se alternam de 1 em 1(metade da 2ª proposição). 
 
(Fonte: http://www.colegioweb.com.br/nocoes-de-logica/tabela-verdade.html) 
 
Exemplo 
Vamos construir a tabela verdade da proposição: 
P(p,q) = ~ (p ^ ~q) 
 
1º Resolução) Vamos formar os par de colunas correspondentes as duas proposições simples p e q. 
Em seguida a coluna para ~q , depois a coluna para p ^ ~q e a útima contento toda a proposição ~ (p ^ 
~q), atribuindo todos os valores lógicos possíveis de acordo com os operadores lógicos. 
 
p q ~q p ^~q ~ (p ^ ~q) 
V V F F V 
V F V V F 
F V F F V 
F F V FV 
 
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. 14 
2º Resolução) Vamos montar primeiro as colunas correspondentes a proposições simples p e q , 
depois traçar colunas para cada uma dessas proposições e para cada um dos conectivos que compõem 
a proposição composta. 
p q ~ (p ^ ~ q) 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
Depois completamos, em uma determinada ordem as colunas escrevendo em cada uma delas os 
valores lógicos. 
p q ~ (p ^ ~ q) p q ~ (p ^ ~ q) p q ~ (p ^ ~ q) 
V V V V V V V F V V V V F F V 
V F V F V F V V F V F V V V F 
F V F V F V F F V F V F F F V 
F F F F F F F V F F F F F V F 
 1 1 1 2 1 1 3 2 1 
 
p q ~ (p ^ ~ q) 
V V V V F F V 
V F F V V V F 
F V V F F F V 
F F V F F V F 
 4 1 3 2 1 
 
Observe que vamos preenchendo a tabela com os valores lógicos (V e F), depois resolvemos os 
operadores lógicos (modificadores e conectivos) e obtemos em 4 os valores lógicos da proposição que 
correspondem a todas possíveis atribuições de p e q de modo que: 
 
P(V V) = V, P(V F) = F, P(F V) = V, P(F F) = V 
 
A proposição P(p,q) associa a cada um dos elementos do conjunto U – {VV, VF, FV, FF} com um 
ÚNICO elemento do conjunto {V,F}, isto é, P(p,q) outra coisa não é que uma função de U em {V,F} 
 
P(p,q): U → {V,F} , cuja representação gráfica por um diagrama sagital é a seguinte: 
 
 
 
3ª Resolução) Resulta em suprimir a tabela verdade anterior as duas primeiras da esquerda relativas 
às proposições simples componentes p e q. Obtermos então a seguinte tabela verdade simplificada: 
 
~ (p ^ ~ q) 
V V F F V 
F V V V F 
V F F F V 
V F F V F 
4 1 3 2 1 
 
 
 
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. 15 
Vejamos mais alguns exemplos: 
(FCC) Com relação à proposição: “Se ando e bebo, então caio, mas não durmo ou não bebo”. O 
número de linhas da tabela-verdade da proposição composta anterior é igual a: 
(A) 2; 
(B) 4; 
(C) 8; 
(D) 16; 
(E) 32. 
 
Vamos contar o número de verbos para termos a quantidade de proposições simples e distintas 
contidas na proposição composta. Temos os verbos “andar’, “beber”, “cair” e “dormir”. Aplicando a fórmula 
do número de linhas temos: 
Número de linhas = 2n = 24 = 16 linhas. 
Resposta D. 
 
(Cespe/UnB) Se “A”, “B”, “C” e “D” forem proposições simples e distintas, então o número de linhas 
da tabela-verdade da proposição (A → B) ↔ (C → D) será igual a: 
(A) 2; 
(B) 4; 
(C) 8; 
(D) 16; 
(E) 32. 
 
Veja que podemos aplicar a mesma linha do raciocínio acima, então teremos: 
Número de linhas = 2n = 24 = 16 linhas. 
Resposta D. 
 
Conceitos de Tautologia , Contradição e Contigência 
Tautologia: possui todos os valores lógicos, da tabela verdade (última coluna), V (verdades). 
Contradição: possui todos os valores lógicos, da tabela verdade (última coluna), F (falsidades). 
Contigência: possui valores lógicos V e F ,da tabela verdade (última coluna). 
 
Questão 
 
01. (MEC – Conhecimentos básicos para os Postos 9,10,11 e 16 – CESPE/2015) 
 
 
A figura acima apresenta as colunas iniciais de uma tabela-verdade, em que P, Q e R representam 
proposições lógicas, e V e F correspondem, respectivamente, aos valores lógicos verdadeiro e falso. 
Com base nessas informações e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue o item subsecutivo. 
 
A última coluna da tabela-verdade referente à proposição lógica P v (Q↔R) quando representada na 
posição horizontal é igual a 
 
( ) Certo ( ) Errado 
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. 16 
Resposta 
 
01. Resposta: Certo. 
P v (Q↔R), montando a tabela verdade temos: 
 
R Q P [ P v (Q ↔ R) ] 
V V V V V V V V 
V V F F V V V V 
V F V V V F F V 
V F F F F F F V 
F V V V V V F F 
F V F F F V F F 
F F V V V F V F 
F F F F V F V F 
 
 
IMPLICAÇÃO LÓGICA 
 
Uma proposição P(p,q,r,...) implica logicamente ou apenas implica uma proposição Q(p,q,r,...) se 
Q(p,q,r,...) é verdadeira (V) todas as vezes que P(p,q,r,...) é verdadeira (V), ou seja, a proposição P implica 
a proposição Q, quando a condicional P → Q for uma tautologia. 
 
Representamos a implicação com o símbolo “⇒”, simbolicamente temos: 
 
P(p,q,r,...) ⇒ Q(p,q,r,...). 
 
A não ocorrência de VF na tabela verdade de P → Q, ou ainda que o valor lógico da condicional P → 
Q será sempre V, ou então que P → Q é uma tautologia. 
 
Observação: Os símbolos “→” e “⇒” são completamente distintos. O primeiro (“→”) representa a 
condicional, que é um conectivo. O segundo (“⇒”) representa a relação de implicação lógica que pode ou 
não existir entre duas proposições. 
 
Exemplo: 
A tabela verdade da condicional (p ^ q) → (p ↔ q) será: 
 
p q p ^ q p ↔ q (p ^ q) → (p ↔ q) 
V V V V V 
V F F F V 
F V F F V 
F F F V V 
 
Portanto, (p ^ q) → (p ↔ q) é uma tautologia, por isso (p ^ q) ⇒ (p ↔q). 
Em particular: 
- Toda proposição implica uma Tautologia: p ⇒ p v ~p 
 
p p v ~p 
V V 
F V 
 
- Somente uma contradição implica uma contradição: p ^ ~p ⇒ p v ~p → p ^ ~p 
 
p ~p p ^ ~p p v ~p → p ^ ~p 
V F F F 
F V F F 
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. 17 
Propriedades da Implicação Lógica 
A implicação lógica goza das propriedades reflexiva e transitiva: 
Reflexiva: P(p,q,r,...) ⇒ P(p,q,r,...) 
Uma proposição complexa implica ela mesma 
Transitiva: Se P(p,q,r,...) ⇒ Q(p,q,r,...) e 
 Q(p,q,r,...) ⇒ R(p,q,r,...), então 
 P(p,q,r,...) ⇒ R(p,q,r,...) 
 
Se P ⇒ Q e Q ⇒ R, então P ⇒ R 
 
Exemplificação e Regras de Inferência 
Inferência é o ato de derivar conclusões lógicas de proposições conhecidas ou decididamente 
verdadeiras. Em outras palavras: é a obtenção de novas proposições a partir de proposições verdadeiras 
já existentes. Vejamos as regras de inferência obtidas da implicação lógica: 
 
1 – A tabela verdade das proposições p ^ q, p v q , p ↔ q é: 
 
 
A proposição “p ^ q” é verdadeira (V) somente na 1ª linha, e também nesta linha as proposições “p v 
q” e “p → q” também são. Logo a primeira proposição IMPLICA cada uma das outras duas proposições. 
Então: 
p ^ q ⇒ p v q 
p ^ q ⇒ p → q 
 
A tabela acima também demonstram as importantes Regras de Inferência: 
Adição – p ⇒ p v q e q ⇒ p v q 
Simplificação – p ^ q ⇒ p e p ^ q ⇒ q 
 
2 – A tabela verdade das proposições p ↔ q, p → q e q → p, é: 
 
L p q p ↔ q p → q q → p 
1ª V V V V V 
2ª V F F F V 
3ª F V F V F 
4ª F F V V V 
 
A proposição “p ↔ q” é verdadeira (V) na 1ª e 4ª linha e as proposições “p → q” e “q → p” também são 
verdadeiras. Logo a primeira proposição IMPLICA cada uma das outras duas proposições. Então: 
 
p ↔ q ⇒ p → q e p ↔ q ⇒ q → p 
 
3 - Dada a proposição: (p v q) ^ ~p sua tabela verdade é: 
 
p q p v q ~p (p v q) ^ ~p 
V V V F F 
V F V F F 
F V V V V 
F F F V F 
 
Esta proposição é verdadeira somente na 3ª linha e nesta linha a proposição “q” também verdadeira, 
logo subsiste a IMPLICAÇÃO LÓGICA, denominada Regra do Silogismo disjuntivo. 
 
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. 18 
(p v q) ^ ~p ⇒ q 
 
É válido também: (p v q) ^ ~q ⇒ p 
 
4 – A tabela verdade da proposição (p → q) ^ p é: 
 
 
 
A proposição é verdadeira somente na 1ª linha, e nesta linha a proposição “q” também é verdadeira, 
logo subsiste a IMPLICAÇÃO LÓGICA, também denominada Regra de Modus ponens. 
 
(p → q) ^ p ⇒ q 
 
5 – A tabela verdade das proposições (p → q) ^ ~q e ~p é: 
 
 
 
A proposição (p → q) ^ ~q é verdadeira somente na 4º linha e nesta a proposição “~p” tambémé 
verdadeira, logo subsiste a IMPLICAÇÃO LÓGICA, denominada de Regra Modus tollens. 
 
(p → q) ^ ~q ⇒ ~p 
 
Observe que “~p” implica “p → q”, isto é: ~p ⇒ p → q 
 
Recapitulando as Regras de Inferência aplicadas a Implicação Lógica: 
 
Adição p ⇒ p v q 
q ⇒ p v q 
Simplificação p ^ q ⇒ p 
p ^ q ⇒ q 
Silogismo disjuntivo (p v q) ^ ~p ⇒ q 
(p v q) ^ ~q ⇒ p 
Modus ponens (p → q) ^ p ⇒ q 
Modus tollens (p → q) ^ ~q ⇒ ~p 
 
Questão 
 
01. (TJ/PI – Analista Judiciário – Escrivão Judicial – FGV/2015) Renato falou a verdade quando 
disse: 
• Corro ou faço ginástica. 
• Acordo cedo ou não corro. 
• Como pouco ou não faço ginástica. 
Certo dia, Renato comeu muito. 
 
É correto concluir que, nesse dia, Renato: 
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. 19 
(A) correu e fez ginástica; 
(B) não fez ginástica e não correu; 
(C) correu e não acordou cedo; 
(D) acordou cedo e correu; 
(E) não fez ginástica e não acordou cedo. 
Resposta 
 
01. Resposta: D. 
Na disjunção, para evitarmos que elas fiquem falsas, basta por uma das proposições simples como 
verdadeira, logo: 
"Renato comeu muito" 
Como pouco ou não faço ginástica 
 F V 
Corro ou faço ginástica 
 V F 
Acordo cedo ou não corro 
 V F 
Portanto ele: 
 Comeu muito 
 Não fez ginástica 
 Corrreu, e; 
 Acordou cedo 
 
EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS 
 
Diz-se que duas ou mais proposições compostas são equivalentes, quando mesmo possuindo 
estruturas lógicas diferentes, apresentam a mesma solução em suas respectivas tabelas verdade. 
Se as proposições P(p,q,r,...) e Q(p,q,r,...) são ambas TAUTOLOGIAS, ou então, são 
CONTRADIÇÕES, então são EQUIVALENTES. 
Exemplo: 
Dada as proposições “~p → q” e “p v q” verificar se elas são equivalentes. 
 
Vamos montar a tabela verdade para sabermos se elas são equivalentes. 
 
p q ~p → q p v q 
V V F V V V V V 
V F F V F V V F 
F V V V V F V V 
F F V F F F F F 
 
Observamos que as proposições compostas “~p → q” e “p ∨ q” são equivalentes. 
 
~p → q ≡ p ∨ q ou ~p → q ⇔ p ∨ q, onde “≡” e “⇔” são os símbolos que representam a equivalência 
entre proposições. 
 
Equivalência fundamentais (Propriedades Fundamentais): a equivalência lógica entre as 
proposições goza das propriedades simétrica, reflexiva e transitiva. 
1 – Simetria (equivalência por simetria) 
a) p ^ q ⇔ q ^ p 
 
p q p ^ q q ^ p 
V V V V V V V V 
V F V F F F F V 
F V F F V V F F 
F F F F F F F F 
b) p v q ⇔ q v p 
 
 
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. 20 
p q p v q q v p 
V V V V V V V V 
V F V V F F V V 
F V F V V V V F 
F F F F F F F F 
 
c) p ∨ q ⇔ q ∨ p 
p q p v q q v p 
V V V F V V F V 
V F V V F F V V 
F V F V V V V F 
F F F F F F F F 
d) p ↔ q ⇔ q ↔ p 
 
p q p ↔ q q ↔ p 
V V V V V V V V 
V F V F F F F V 
F V F F V V F F 
F F F V F F V F 
 
2 - Reflexiva (equivalência por reflexão) 
p → p ⇔ p → p 
 
p p p → p p → p 
V V V V V V V V 
F F F V F F V F 
 
3 – Transitiva 
Se P(p,q,r,...) ⇔ Q(p,q,r,...) E 
Q(p,q,r,...) ⇔ R(p,q,r,...) ENTÃO 
P(p,q,r,...) ⇔ R(p,q,r,...) . 
 
Equivalências notáveis: 
 
1 - Distribuição (equivalência pela distributiva) 
a) p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) 
 
p q r p ^ (q v r) (p ^ q) v (p ^ r) 
V V V V V V V V V V V V V V V 
V V F V V V V F V V V V V F F 
V F V V V F V V V F F V V V V 
V F F V F F F F V F F F V F F 
F V V F F V V V F F V F F F V 
F V F F F V V F F F V F F F F 
F F V F F F V V F F F F F F V 
F F F F F F F F F F F F F F F 
 
b) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) 
p q r p v (q ^ r) (p v q) ^ (p v r) 
V V V V V V V V V V V V V V V 
V V F V V V F F V V V V V V F 
V F V V V F F V V V F V V V V 
V F F V V F F F V V F V V V F 
F V V F V V V V F V V V F V V 
F V F F F V F F F V V F F F F 
F F V F F F F V F F F F F V V 
F F F F F F F F F F F F F F F 
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. 21 
2 - Associação (equivalência pela associativa) 
a) p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ (p ∧ r) 
 
p q r p ^ (q ^ r) (p ^ q) ^ (p ^ r) 
V V V V V V V V V V V V V V V 
V V F V F V F F V V V F V F F 
V F V V F F F V V F F F V V V 
V F F V F F F F V F F F V F F 
F V V F F V V V F F V F F F V 
F V F F F V F F F F V F F F F 
F F V F F F F V F F F F F F V 
F F F F F F F F F F F F F F F 
 
b) p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ (p ∨ r) 
 
p q r p v (q v r) (p v q) v (p v r) 
V V V V V V V V V V V V V V V 
V V F V V V V F V V V V V V F 
V F V V V F V V V V F V V V V 
V F F V V F F F V V F V V V F 
F V V F V V V V F V V V F V V 
F V F F V V V F F V V V F F F 
F F V F V F V V F F F V F V V 
F F F F F F F F F F F F F F F 
 
3 – Idempotência 
a) p ⇔ (p ∧ p) 
 
p p p ^ p 
V V V V V 
F F F F F 
 
b) p ⇔ (p ∨ p) 
 
p p p v p 
V V V V V 
F F F F F 
 
4 - Pela contraposição: de uma condicional gera-se outra condicional equivalente à primeira, apenas 
invertendo-se e negando-se as proposições simples que as compõem. 
1º caso – (p → q) ⇔ (~q → ~p) 
 
p q p → q ~q → ~p 
V V V V V F V F 
V F V F F V F F 
F V F V V F F V 
F F F V F V F V 
Exemplo: 
p → q: Se André é professor, então é pobre. 
~q → ~p: Se André não é pobre, então não é professor. 
 
2º caso: (~p → q) ⇔ (~q → p) 
p q ~p → q ~q → p 
V V F V V F V V 
V F F V F V V V 
F V V V V F V F 
F F V F F V F F 
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. 22 
Exemplo: 
~p → q: Se André não é professor, então é pobre. 
~q → p: Se André não é pobre, então é professor. 
 
3º caso: (p → ~q) ⇔ (q → ~p) 
 
p q p → ~q q → ~p 
V V V F F V F F 
V F V V V F V F 
F V F V F V V V 
F F F V V F V V 
Exemplo: 
p → ~q: Se André é professor, então não é pobre. 
q → ~p: Se André é pobre, então não é professor. 
 
4 º Caso: (p → q) ⇔ ~p v q 
 
p q p → q ~p v q 
V V V V V F V V 
V F V F F F F F 
F V F V V V F V 
F F F V F V F F 
 
Exemplo: 
p → q: Se estudo então passo no concurso. 
~p v q: Não estudo ou passo no concurso. 
 
5 - Pela bicondicional 
a) (p ↔ q) ⇔ (p → q) ∧ (q → p), por definição 
 
p q p ↔ q (p → q) ^ (q → p) 
V V V V V V V V V V V V 
V F V F F V F F F F V V 
F V F F V F V V F V F F 
F F F V F F V F V F V F 
 
b) (p ↔ q) ⇔ (~q → ~p) ∧ (~p → ~q), aplicando-se a contrapositiva às partes 
 
p q p ↔ q (~q → ~p) ^ (~p → ~q) 
V V V V V F V F V F V F 
V F V F F V F F F F V V 
F V F F V F V V F V F F 
F F F V F V V V V V V V 
 
c) (p ↔ q) ⇔ (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q) 
 
p q p ↔ q (p ^ q) v (~p ^ ~q) 
V V V V V V V V V F F F 
V F V F F V F F F F F V 
F V F F V F F V F V F F 
F F F V F F F F V V V V 
 
6 - Pela exportação-importação 
[(p ∧ q) → r] ⇔ [p → (q → r)] 
 
 
 
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. 23 
p q r [(p ^ q) → r] [p → (q → r)] 
V V V V V V V V V V V V V 
V V F V V V F F V F V F F 
V F V V F F V V V V F V V 
V F F V F F V F V V F V F 
F V V F F V V V F V V V V 
F V F F F V V F F V V F F 
F F V F F F V V F V F V V 
F F F F F F V F F V F V F 
 
Proposições Associadas a uma Condicional (se, então) 
Chama-se proposições associadas a p → q as três proposições condicionadas que contêm p e q: 
– Proposições recíprocas: p → q: q → p 
– Proposição contrária: p → q: ~p → ~q 
– Proposição contrapositiva: p → q: ~q → ~p 
 
Observe a tabela verdade dessas quatro proposições:Note que: 
 
 
 
Observamos ainda que a condicional p → q e a sua recíproca q → p ou a sua contrária ~p → ~q NÃO 
SÃO EQUIVALENTES. 
 
Exemplos: 
p → q: Se T é equilátero, então T é isósceles. (V) 
q → p: Se T é isósceles, então T é equilátero. (F) 
 
Exemplo: 
Vamos determinar: 
a) A contrapositiva de p → q 
b) A contrapositiva da recíproca de p → q 
c) A contrapositiva da contrária de p → q 
Resolução: 
a) A contrapositiva de p → q é ~q → ~p 
A contrapositiva de ~q → ~p é ~~p → ~~q ⇔ p → q 
 
b) A recíproca de p → q é q → p 
A contrapositiva q → q é ~p → ~q 
 
c) A contrária de p → q é ~p → ~q 
A contrapositiva de ~p → ~q é q → p 
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. 24 
Equivalência “NENHUM” e “TODO” 
 
1 – NENHUM A é B ⇔ TODO A é não B. 
Exemplo: 
Nenhum médico é tenista ⇔ Todo médico é não tenista (= Todo médico não é tenista) 
 
2 – TODO A é B ⇔ NENHUM A é não B. 
Exemplo: 
Toda música é bela ⇔ Nenhuma música é não bela (= Nenhuma música é bela) 
 
Questões 
 
01. (MRE – Oficial de Chancelaria – FGV/2016) Considere a sentença: 
“Corro e não fico cansado". 
Uma sentença logicamente equivalente à negação da sentença dada é: 
(A) Se corro então fico cansado. 
(B) Se não corro então não fico cansado. 
(C) Não corro e fico cansado. 
(D) Corro e fico cansado. 
(E) Não corro ou não fico cansado. 
 
02. (TCE/RN – Conhecimentos Gerais para o cargo 4 – CESPE/2015) Em campanha de incentivo à 
regularização da documentação de imóveis, um cartório estampou um cartaz com os seguintes dizeres: 
“O comprador que não escritura e não registra o imóvel não se torna dono desse imóvel". 
A partir dessa situação hipotética e considerando que a proposição P: “Se o comprador não escritura 
o imóvel, então ele não o registra" seja verdadeira, julgue o item seguinte. 
A proposição P é logicamente equivalente à proposição “O comprador escritura o imóvel, ou não o 
registra". 
( ) Certo ( ) Errado 
 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
A negação de P→Q é P ^ ~ Q 
A equivalência de P-->Q é ~P v Q ou pode ser: ~Q-->~P 
 
02. Resposta: Certo. 
Relembrando temos que: Se p então q = Não p ou q. (p → q = ~p v q) 
 
 
LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO 
 
A argumentação é a forma como utilizamos o raciocínio para convencer alguém de alguma coisa. A 
argumentação faz uso de vários tipos de raciocínio que são baseados em normas sólidas e argumentos 
aceitáveis. 
A lógica de argumentação é também conhecida como dedução formal e é a principal ferramenta 
para o raciocínio válido de um argumento. Ela avalia conclusões que a argumentação pode tomar e 
avalia quais dessas conclusões são válidas e quais são inválidas (falaciosas). O estudo das formas 
válidas de inferências de uma linguagem proposicional também faz parte da Teoria da argumentação. 
 
Conceitos 
Premissas (proposições): são afirmações que podem ser verdadeiras ou falsas. Com base nelas que 
os argumentos são compostos, ou melhor, elas possibilitam que o argumento seja aceito. 
 
Inferência: é o processo a partir de uma ou mais premissas se chegar a novas proposições. Quando 
a inferência é dada como válida, significa que a nova proposição foi aceita, podendo ela ser utilizada em 
outras inferências. 
 
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. 25 
Conclusão: é a proposição que contém o resultado final da inferência e que esta alicerçada nas 
premissas. Para separa as premissas das conclusões utilizam-se expressões como “logo, ...”, “portanto, 
...”, “por isso, ...”, entre outras. 
 
Sofisma: é um raciocínio falso com aspecto de verdadeiro. 
 
Falácia: é um argumento válido, sem fundamento ou tecnicamente falho na capacidade de provar 
aquilo que enuncia. 
 
Silogismo: é um raciocínio composto de três proposições, dispostas de tal maneira que a conclusão 
é verdadeira e deriva logicamente das duas primeiras premissas, ou seja, a conclusão é a terceira 
premissa. 
 
Argumento: é um conjunto finito de premissas – proposições –, sendo uma delas a consequência das 
demais. O argumento pode ser dedutivo (aquele que confere validade lógica à conclusão com base nas 
premissas que o antecedem) ou indutivo (aquele quando as premissas de um argumento se baseiam na 
conclusão, mas não implicam nela) 
O argumento é uma fórmula constituída de premissas e conclusões (dois elementos fundamentais da 
argumentação). 
 
Alguns exemplos de argumentos: 
 
1) 
Todo homem é mortal 
Premissas 
João é homem 
Logo, João é mortal Conclusão 
 
 
2) 
Todo brasileiro é mortal 
Premissas 
Todo paulista é brasileiro 
Logo, todo paulista é mortal Conclusão 
 
3) 
Se eu passar no concurso, então irei viajar 
Premissas 
Passei no concurso 
Logo, irei viajar Conclusão 
 
Todas as PREMISSAS tem uma CONCLUSÃO. Os exemplos acima são considerados silogismos. 
 
Um argumento de premissas P1, P2, ..., Pn e de conclusão Q, indica-se por: 
 
P1, P2, ..., Pn |----- Q 
 
Argumentos Válidos 
Um argumento é VÁLIDO (ou bem construído ou legítimo) quando a conclusão é VERDADEIRA (V), 
sempre que as premissas forem todas verdadeiras (V). Dizemos, também, que um argumento é válido 
quando a conclusão é uma consequência obrigatória das verdades de suas premissas.Ou seja: 
 
A verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão. 
 
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. 26 
Um argumento válido é denominado tautologia quando assumir, somente, valorações verdadeiras, 
independentemente de valorações assumidas por suas estruturas lógicas. 
 
Argumentos Inválidos 
Um argumento é dito INVÁLIDO (ou falácia, ou ilegítimo ou mal construído), quando as verdades das 
premissas são insuficientes para sustentar a verdade da conclusão. 
Caso a conclusão seja falsa, decorrente das insuficiências geradas pelas verdades de suas premissas, 
tem-se como conclusão uma contradição (F). 
Um argurmento não válido diz-se um SOFISMA. 
 
- A verdade e a falsidade são propriedades das proposições. 
- Já a validade e a invalidade são propriedades inerentes aos argumentos. 
- Uma proposição pode ser considerada verdadeira ou falsa, mas nunca válida e 
inválida. 
- Não é possível ter uma conclusão falsa se as premissas são verdadeiras. 
- A validade de um argumento depende exclusivamente da relação existente 
entre as premissas e conclusões. 
 
 
Critérios de Validade de um argumento 
Pelo teorema temos: 
 
Um argumento P1, P2, ..., Pn |---- Q é VÁLIDO se e somente se a condicional: 
(P1 ^ P2 ^ ...^ Pn) → Q é tautológica. 
 
 
Métodos para testar a validade dos argumentos 
Estes métodos nos permitem, por dedução (ou inferência), atribuirmos valores lógicos as premissas 
de um argumento para determinarmos uma conclusão verdadeira. 
Também podemos utilizar diagramas lógicos caso sejam estruturas categóricas (frases formadas pelas 
palavras ou quantificadores: todo, algum e nenhum). 
 
Os métodos constistem em: 
 
1) Atribuição de valores lógicos: o método consiste na dedução dos valores lógicos das premissas 
de um argumento, a partir de um “ponto de referência inicial” que, geralmente, será representado pelo 
valor lógico de uma premissa formada por uma proposição simples. Lembramos que, para que um 
argumento seja válido, partiremos do pressuposto que todas as premissas que compõem esse 
argumento são, na totalidade, verdadeiras. 
Para dedução dos valores lógicos, utilizaremos como auxílio a tabela-verdade dos conectivos. 
 
 
 
Exemplo 
Sejam as seguintes premissas: 
P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. 
P2: Se o rei fica nervoso, então o príncipe foge a cavalo. 
P3: Se a rainha fica na masmorra, então o bárbaro usa a espada. 
P4: Ora, a rainha fica namasmorra. 
 
Se todos os argumentos (P1,P2,P3 e P4) forem válidos, então todas premissas que compõem o 
argumento são necessariamente verdadeiras (V). E portanto pela premissa simples P4: “a rainha fica 
na masmorra”; por ser uma proposição simples e verdadeira, servirá de “referencial inicial” para a 
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. 27 
dedução dos valores lógicos das demais proposições que, também, compõem esse argumento. Teremos 
com isso então: 
P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. 
P2: Se o rei fica nervoso, então o príncipe foge a cavalo. 
P3: Se a rainha fica na masmorra, então o bárbaro usa a espada. 
P4: Ora, a rainha fica na masmorra. 
 (1º) V 
 
Já sabemos que a premissa simples “a rainha fica na masmorra” é verdadeira, portanto, tal valor lógico 
confirmará como verdade a 1a parte da condicional da premissa P3 (1º passo). 
P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. 
P2: Se o rei fica nervoso, então o príncipe foge a cavalo. 
P3: Se a rainha fica na masmorra, então o bárbaro usa a espada. 
 (2º) V 
P4: Ora, a rainha fica na masmorra. 
 (1º) V 
 
Lembramos que, se a 1ª parte de uma condicional for verdadeira, implicará que a 2ª parte também 
deverá ser verdadeira (2º passo), já que a verdade implica outra verdade (vide a tabela-verdade da 
condicional). Assim teremos como valor lógico da premissa uma verdade (V). 
P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. 
P2: Se o rei fica nervoso, então o príncipe foge a cavalo. 
P3: Se a rainha fica na masmorra, então o bárbaro usa a espada. 
 (2º) V (3º) V 
P4: Ora, a rainha fica na masmorra. 
 (1º) V 
 
Confirmando-se a proposição simples “o bárbaro usa a espada” como verdadeira (3º passo), logo, a 
1ª parte da disjunção simples da premissa P1, “o bárbaro não usa a espada”, será falsa (4º passo). 
P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. 
 (4º) F 
P2: Se o rei fica nervoso, então o príncipe foge a cavalo. 
P3: Se a rainha fica na masmorra, então o bárbaro usa a espada. 
 (2º) V (3º) V 
P4: Ora, a rainha fica na masmorra. 
 (1º) V 
 
Como a premissa P1 é formada por uma disjunção simples, lembramos que ela será verdadeira, se 
pelo menos uma de suas partes for verdadeira. Sabendo-se que sua 1ª parte é falsa, logo, a 2ª parte 
deverá ser, necessariamente, verdadeira (5º passo). 
P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. 
 (4º) F (5º) V 
P2: Se o rei fica nervoso, então o príncipe foge a cavalo. 
P3: Se a rainha fica na masmorra, então o bárbaro usa a espada. 
 (2º) V (3º) V 
P4: Ora, a rainha fica na masmorra. 
 (1º) V 
Ao confirmarmos como verdadeira a proposição simples “o príncipe não foge a cavalo”, então, 
devemos confirmar como falsa a 2a parte da condicional “o príncipe foge a cavalo” da premissa P2 (6o 
passo). 
P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. 
 (4º) F (5º) V 
P2: Se o rei fica nervoso, então o príncipe foge a cavalo. 
 (6º) F 
P3: Se a rainha fica na masmorra, então o bárbaro usa a espada. 
 (2º) V (3º) V 
P4: Ora, a rainha fica na masmorra. 
 (1º) V 
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. 28 
E, por último, ao confirmar a 2a parte de uma condicional como falsa, devemos confirmar, também, sua 
1a parte como falsa (7o passo). 
P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. 
 (4º) F (5º) V 
P2: Se o rei fica nervoso, então o príncipe foge a cavalo. 
 (7º) F (6º) F 
P3: Se a rainha fica na masmorra, então o bárbaro usa a espada. 
 (2º) V (3º) V 
P4: Ora, a rainha fica na masmorra. 
 (1º) V 
 
Através da analise das premissas e atribuindo os seus valores lógicos chegamos as seguintes 
conclusões: 
- A rainha fica na masmorra; 
- O bárbaro usa a espada; 
- O rei não fica nervoso; 
- o príncipe não foge a cavalo. 
 
Observe que onde as proposições são falsas (F) utilizamos o não para ter o seu correspondente como 
válido, expressando uma conclusão verdadeira. 
 
Caso o argumento não possua uma proposição simples “ponto de referência inicial”, 
devem-se iniciar as deduções pela conjunção, e, caso não exista tal conjunção, pela 
disjunção exclusiva ou pela bicondicional, caso existam. 
 
2) Método da Tabela – Verdade: para resolvermos temos que levar em considerações dois casos. 
1º caso: quando o argumento é representado por uma fómula argumentativa. 
 
Exemplo: 
A → B ~A = ~B 
 
Para resolver vamos montar uma tabela dispondo todas as proposições, as premissas e as conclusões 
afim de chegarmos a validade do argumento. 
 
(Fonte: http://www.marilia.unesp.br) 
O caso onde as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa esta sinalizada na tabela acima 
pelo asterisco.Observe também, na linha 4, que as premissas são verdadeiras e a conclusão é verdadeira. 
Chegamos através dessa análise que o argumento não é valido. 
 
2o caso: quando o argumento é representado por uma sequência lógica de premissas, sendo a última 
sua conclusão, e é questionada a sua validade. 
 
Exemplo: 
“Se leio, então entendo. Se entendo, então não compreendo. Logo, compreendo.” 
 
P1: Se leio, então entendo. 
P2: Se entendo, então não compreendo. 
C: Compreendo. 
Se o argumento acima for válido, então, teremos a seguinte estrutura lógica (fórmula) representativa 
desse argumento: 
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. 29 
P1 ∧ P2 → C 
 
Representando inicialmente as proposições primitivas “leio”, “entendo” e “compreendo”, 
respectivamente, por “p”, “q” e “r”, teremos a seguinte fórmula argumentativa: 
P1: p → q 
P2: q → ~r 
C: r 
[(p → q) ∧ (q → ~r)] → r ou 
 
𝑝 → 𝑞
𝑞 → ~𝑟
𝑟
 
 
Montando a tabela verdade temos (vamos montar o passo a passo): 
 
p q r [(p → q) ^ (q → ~r)] → r 
V V V V V V V F V 
V V F V V V V V F 
V F V V F F F F V 
V F F V F F F V F 
F V V F V V V F V 
F V F F V V V V F 
F F V F V F F F V 
F F F F V F F V F 
 1º 2º 1º 1º 1º 1º 
 
p q r [(p → q) ^ (q → ~r)] → r 
V V V V V V V F F V 
V V F V V V V V V F 
V F V V F F F V F V 
V F F V F F F V V F 
F V V F V V V F F V 
F V F F V V V V V F 
F F V F V F F V F V 
F F F F V F F V V F 
 1º 2º 1º 1º 3º 1º 1º 
 
p q r [(p → q) ^ (q → ~r)] → r 
V V V V V V F V F F V 
V V F V V V V V V V F 
V F V V F F F F V F V 
V F F V F F F F V V F 
F V V F V V F V F F V 
F V F F V V V V V V F 
F F V F V F V F V F V 
F F F F V F V F V V F 
 1º 2º 1º 4º 1º 3º 1º 1º 
 
p q r [(p → q) ^ (q → ~r)] → r 
V V V V V V F V F F V V 
V V F V V V V V V V F F 
V F V V F F F F V F V V 
V F F V F F F F V V V F 
F V V F V V F V F F V V 
F V F F V V V V V V F F 
F F V F V F V F V F V V 
F F F F V F VF V V F F 
 1º 2º 1º 4º 1º 3º 1º 5º 1º 
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. 30 
Sendo a solução (observado na 5a resolução) uma contingência (possui valores verdadeiros e falsos), 
logo, esse argumento não é válido. Podemos chamar esse argumento de sofisma embora tenha 
premissas e conclusões verdadeiras. 
 
Implicações tautológicas: a utilização da tabela verdade em alguns casos torna-se muito trabalhoso, 
principlamente quando o número de proposições simples que compõe o argumento é muito grande, então 
vamos aqui ver outros métodos que vão ajudar a provar a validade dos argumentos. 
3.1 - Método da adição (AD) 
p
p ∨ q
 ou p → (p ∨ q) 
 
 
3.2 - Método da adição (SIMP) 
 
1º caso: 
p ∧ q
p
 ou (p ∧ q) → p 
 
 
2º caso: 
p ∧ q
p
 ou (p ∧ q) → q 
 
3.3 - Método da conjunção (CONJ) 
 
1º caso: 
 
p
q
p ∧ q
 ou (p ∧ q) → (p ∧ q) 
 
2º caso: 
 
p
q
q ∧ p
 ou (p ∧ q) → (q ∧ p) 
 
3.4 - Método da absorção (ABS) 
 
p → q
p → (p ∧ q)
 ou (p → q) → [p → p ∧ q)] 
 
3.5 – Modus Ponens (MP) 
 
p→q
p
q
 ou [(p → q) ∧ p] → q 
 
3.6 – Modus Tollens (MT) 
 
p→q
~q
~p
 ou [(p → q) ∧ ~q] → p 
 
3.7 – Dilema construtivo (DC) 
 
p → q
r → s
p ∨ r
q ∨ s
 ou [(p → q) ∧ (r → s) ∧ (p ∨ r) ] → (q ∨ s) 
 
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. 31 
3.7 – Dilema destrutivo (DD) 
 
p → q
r → s
~q ∨ ~s
~p ∨ ~r
 ou [(p → q) ∧ (r → s) ∧ (~q ∨ ~s) ] → (~p ∨ ~r) 
 
 
3.8 – Silogismo disjuntivo (SD) 
 
1º caso: 
 
p ∨ q
~p
q
 ou [(p ∨ q) ∧ ~p] → q 
2º caso: 
 
p ∨ q
~q
p
 ou [(p ∨ q) ∧ ~q] → p 
3.9 – Silogismo hipotético (SH) 
 
p → q
q → r
p → r
 ou [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) 
 
 
 
3.10 – Exportação e importação. 
 
1º caso: Exportação 
 
(p ∧ q) → r
p → (q → r)
 ou [(p ∧ q) → r] → [p → (q → r)] 
 
2º caso: Importação 
 
p → (q → r)
(p ∧ q) → r
 ou [p → (q → r)] → [(p ∧ q) → r] 
 
 
Produto lógico de condicionais: este produto consiste na dedução de uma condicional conclusiva 
– que será a conclusão do argumento –, decorrente ou resultante de várias outras premissas formadas 
por, apenas, condicionais. 
Ao efetuar o produto lógico, eliminam-se as proposições simples iguais que se localizam em partes 
opostas das condicionais que formam a premissa do argumento, resultando em uma condicional 
denominada condicional conclusiva. Vejamos o exemplo: 
 
 
 
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. 32 
Nós podemos aplicar a soma lógica em três casos: 
 
1º caso - quando a condicional conclusiva é formada pelas proposições simples que aparecem apenas 
uma vez no conjunto das premissas do argumento. 
Exemplo 
Dado o argumento: Se chove, então faz frio. Se neva, então chove. Se faz frio, então há nuvens no 
céu. Se há nuvens no céu, então o dia está claro. 
 
Temos então o argumento formado pelas seguintes premissas: 
P1: Se chove, então faz frio. 
P2: Se neva, então chove. 
P3: Se faz frio, então há nuvens no céu. 
P4: Se há nuvens no céu, então o dia está claro. 
 
Vamos denotar as proposições simples: 
p: chover 
q: fazer frio 
r: nevar 
s: existir nuvens no céu 
t: o dia esta claro 
Montando o produto lógico teremos: 
 
𝑥 {
𝑝 → 𝑞
𝑟 → 𝑝
𝑞 → 𝑠
𝑠 → 𝑡
 ⇒ 𝑥 {
𝑝 → 𝑞
𝑟 → 𝑝
𝑞 → 𝑠
𝑠 → 𝑡
 ⇒ 𝑥 {
𝑟 → 𝑞
𝑞 → 𝑠
𝑠 → 𝑡
 ⇒ 𝑥 {
𝑟 → 𝑞
𝑞 → 𝑠
𝑠 → 𝑡
 ⇒ 𝑥 {
𝑟 → 𝑠
𝑠 → 𝑡
 ⇒ 𝑥 {
𝑟 → 𝑠
𝑠 → 𝑡
 ⇒ 𝑟 → 𝑡 
 
Conclusão: “Se neva, então o dia esta claro”. 
Observe que: As proposições simples “nevar” e “o dia está claro” só apareceram uma vez no conjunto 
de premissas do argumento anterior. 
 
2º caso - quando a condicional conclusiva é formada por, apenas, uma proposição simples que 
aparece em ambas as partes da condicional conclusiva, sendo uma a negação da outra. As demais 
proposições simples são eliminadas pelo processo natural do produto lógico. 
Neste caso, na condicional conclusiva, a 1ª parte deverá necessariamente ser FALSA, e a 2ª parte, 
necessariamente VERDADEIRA. 
 
Tome Nota: 
 
Nos dois casos anteriores, pode-se utilizar o recurso de equivalência da contrapositiva 
(contraposição) de uma condicional, para que ocorram os devidos reajustes entre as 
proposições simples de uma determinada condicional que resulte no produto lógico 
desejado. 
(p → q) ⇔ ~q → ~p 
 
 
Exemplo 
Seja o argumento: Se Ana trabalha, então Beto não estuda. Se Carlos não viaja, então Beto não 
estuda. Se Carlos viaja, Ana trabalha. 
 
Temos então o argumento formado pelas seguintes premissas: 
P1: Se Ana trabalha, então Beto não estuda. 
P2: Se Carlos não viaja, então Beto não estuda. 
P3: Se Carlos viaja, Ana trabalha. 
 
Denotando as proposições simples teremos: 
p: Ana trabalha 
q: Beto estuda 
r: Carlos viaja 
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. 33 
Montando o produto lógico teremos: 
 
{
𝑝 → ~𝑞
~𝑟 → ~𝑞
𝑟 → 𝑝
(𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎) ⇒ 𝑥 {
𝑝 → ~𝑞
𝑞 → 𝑟
𝑟 → 𝑝
 ⇒ 𝑥 {
𝑟 → ~𝑞
𝑞 → 𝑟 ⇒ 𝑞⏟
𝐹
→ ~𝑞⏟
𝑉
 
 
 
Conclusão: “Beto não estuda”. 
 
3º caso - aplicam-se os procedimentos do 2o caso em, apenas, uma parte das premissas do 
argumento. 
 
Exemplo 
Se Nivaldo não é corintiano, então Márcio é palmeirense. Se Márcio não é palmeirense, então Pedro 
não é são-paulino. Se Nivaldo é corintiano, Pedro é são-paulino. Se Nivaldo é corintiano, então Márcio 
não é palmeirense. 
 
Então as presmissas que formam esse argumento são: 
P1: Se Nivaldo não é corintiano, então Márcio é palmeirense. 
P2: Se Márcio não é palmeirense, então Pedro não é são-paulino. 
P3: Se Nivaldo é corintiano, Pedro é são-paulino. 
P4: Se Nivaldo é corintiano, então Márcio não é palmeirense. 
 
Denotando as proposições temos: 
 
p: Nivaldo é corintiano 
q: Márcio é palmerense 
r: Pedro é são paulino 
 
Efetuando a soma lógica: 
{
𝑃1:~𝑝 → 𝑞 
𝑃2:~𝑞 → ~𝑟 
𝑃3: 𝑝 → 𝑟 (𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎) 
𝑃4: 𝑝 → ~𝑞 
 ⇒ {
𝑃1:~𝑝 → 𝑞
𝑃2:~𝑞 → ~𝑟
𝑃3:~𝑟 → ~𝑝
𝑃4: 𝑝 → ~𝑞
 
 
Vamos aplicar o produto lógico nas 3 primeiras premissas (P1,P2,P3) teremos: 
 
{
~𝑝 → 𝑞
~𝑞 → ~𝑟
~𝑟 → ~𝑝
 ⇒ {
~𝑟 → 𝑞
~𝑞 → ~𝑟 ⇒ ~𝑞⏟
𝐹
→ 𝑞⏟
𝑉
 
 
 
Conclusão: “ Márcio é palmeirense”. 
 
Questões 
 
01. (DPU – Agente Administrativo – CESPE/2016) Considere que as seguintes proposições sejam 
verdadeiras. 
• Quando chove, Maria não vai ao cinema. 
• Quando Cláudio fica em casa, Maria vai ao cinema. 
• Quando Cláudio sai de casa, não faz frio. 
• Quando Fernando está estudando, não chove. 
• Durante a noite, faz frio. 
Tendo como referência as proposições apresentadas, julgue o item subsecutivo. 
Se Maria foi ao cinema, então Fernando estava estudando. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
02. (STJ – Conhecimentos Gerais para o cargo 17 – CESPE/2015) Mariana é uma estudante que 
tem grande apreço pela matemática, apesar de achar essa uma área muito difícil. Sempre que tem tempo 
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. 34 
suficiente para estudar, Mariana é aprovada nas disciplinas de matemática que cursa na faculdade. Neste 
semestre, Mariana está cursando a disciplina chamada Introdução à Matemática Aplicada. No entanto, 
ela não tem tempo suficiente para estudar e não será aprovada nessa disciplina. 
A partir das informações apresentadas nessa situação hipotética, julgue o item a seguir,acerca das 
estruturas lógicas. 
Considerando-se as seguintes proposições: p: “Se Mariana aprende o conteúdo de Cálculo 1, então 
ela aprende o conteúdo de Química Geral"; q: “Se Mariana aprende o conteúdo de Química Geral, então 
ela é aprovada em Química Geral"; c: “Mariana foi aprovada em Química Geral", é correto afirmar que o 
argumento formado pelas premissas p e q e pela conclusão c é um argumento válido. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
03. (Petrobras – Técnico (a) de Exploração de Petróleo Júnior – Informática – 
CESGRANRIO/2014) Se Esmeralda é uma fada, então Bongrado é um elfo. Se Bongrado é um elfo, 
então Monarca é um centauro. Se Monarca é um centauro, então Tristeza é uma bruxa. 
Ora, sabe-se que Tristeza não é uma bruxa, logo 
(A) Esmeralda é uma fada, e Bongrado não é um elfo. 
(B) Esmeralda não é uma fada, e Monarca não é um centauro. 
(C) Bongrado é um elfo, e Monarca é um centauro. 
(D) Bongrado é um elfo, e Esmeralda é uma fada 
(E) Monarca é um centauro, e Bongrado não é um elfo. 
 
04. (Petrobras – Técnico(a) de Informática Júnior – CESGRANRIO/2014) Suponha que as 
seguintes afirmações são simultaneamente verdadeiras: 
• Se Antígona toma leite e o leite está estragado, então ela fica doente. 
• Se Antígona fica doente, então ela passa mal e volta para o palácio. 
• Antígona vai ao encontro de Marco Antônio ou volta para o palácio. 
Qual afirmação também será verdadeira? 
(A) Se Antígona toma leite e o leite está estragado, então ela não vai ao encontro de Marco Antônio. 
(B) Se Antígona fica doente e volta para o palácio, então ela vai ao encontro de Marco Antônio. 
(C) Se o leite está estragado, então Antígona não o toma ou ela fica doente. 
(D) Se o leite está estragado ou Antígona fica doente, então ela passa mal. 
(E)Se Antígona toma leite e volta para o palácio, então o leite está estragado e ela não passa mal. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: Errado. 
A questão trata-se de lógica de argumentação, dadas as premissas chegamos a uma conclusão. 
Enumerando as premissas: 
A = Chove 
B = Maria vai ao cinema 
C = Cláudio fica em casa 
D = Faz frio 
E = Fernando está estudando 
F = É noite 
A argumentação parte que a conclusão deve ser (V) 
Lembramos a tabela verdade da condicional: 
 
 
A condicional só será F quando a 1ª for verdadeira e a 2ª falsa, utilizando isso temos: 
O que se quer saber é: Se Maria foi ao cinema, então Fernando estava estudando. // B → ~E 
 
Iniciando temos: 
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. 35 
4º - Quando chove (F), Maria não vai ao cinema. (F) // A → ~B = V – para que o argumento seja válido 
temos que Quando chove tem que ser F. 
3º - Quando Cláudio fica em casa (V), Maria vai ao cinema (V). // C → B = V - para que o argumento 
seja válido temos que Maria vai ao cinema tem que ser V. 
2º - Quando Cláudio sai de casa(F), não faz frio (F). // ~C → ~D = V - para que o argumento seja válido 
temos que Quando Cláudio sai de casa tem que ser F. 
5º - Quando Fernando está estudando (V ou F), não chove (V). // E → ~A = V. – neste caso Quando 
Fernando está estudando pode ser V ou F. 
1º- Durante a noite(V), faz frio (V). // F → D = V 
Logo nada podemos afirmar sobre a afirmação: Se Maria foi ao cinema (V), então Fernando estava 
estudando (V ou F); pois temos dois valores lógicos para chegarmos à conclusão (V ou F). 
 
02. Resposta: Errado. 
Se o argumento acima for válido, então, teremos a seguinte estrutura lógica (fórmula) representativa 
desse argumento: 
P1 ∧ P2 → C 
 
Organizando e resolvendo, temos: 
A: Mariana aprende o conteúdo de Cálculo 1 
B: Mariana aprende o conteúdo de Química Geral 
C: Mariana é aprovada em Química Geral 
Argumento: [(A → B) ∧ (B → C)] ⇒ C 
Vamos ver se há a possibilidade de a conclusão ser falsa e as premissas serem verdadeiras, para 
sabermos se o argumento é válido: 
Testando C para falso: 
(A → B) ∧ (B →C) 
(A →B) ∧ (B → F) 
Para obtermos um resultado V da 2º premissa, logo B têm que ser F: 
(A → B) ∧ (B → F) 
(A → F) ∧ (F → F) 
(F → F) ∧ (V) 
Para que a primeira premissa seja verdadeira, é preciso que o “A” seja falso: 
(A → F) ∧ (V) 
(F → F) ∧ (V) 
(V) ∧ (V) 
 (V) 
Então, é possível que o conjunto de premissas seja verdadeiro e a conclusão seja falsa ao mesmo 
tempo, o que nos leva a concluir que esse argumento não é válido. 
 
03. Resposta: B. 
Vamos analisar cada frase partindo da afirmativa Trizteza não é bruxa, considerando ela como (V), 
precisamos ter como conclusão o valor lógico (V), então: 
(4) Se Esmeralda é uma fada(F), então Bongrado é um elfo (F) → V 
(3) Se Bongrado é um elfo (F), então Monarca é um centauro (F) → V 
(2) Se Monarca é um centauro(F), então Tristeza é uma bruxa(F) → V 
(1) Tristeza não é uma bruxa (V) 
Logo: 
Temos que: 
Esmeralda não é fada(V) 
Bongrado não é elfo (V) 
Monarca não é um centauro (V) 
Como a conclusão parte da conjunção, o mesmo só será verdadeiro quando todas as afirmativas forem 
verdadeiras, logo, a única que contém esse valor lógico é: 
Esmeralda não é uma fada, e Monarca não é um centauro. 
 
04. Resposta: C. 
Temos as seguintes proposições: 
p: Antígona toma leite. 
q: O leite está estragado. 
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. 36 
r: Antígona fica doente. 
s: Antígona passa mal. 
t: Antígona volta para o palácio. 
u: Antígona vai ao encontro de Marco Antônio. 
Todas as afirmações do enunciado são verdadeiras, então teremos: 
Para a 1ª temos: 
(p ^ q) --> r VERDADE 
(V ^ V ) --> V 
Para 2ª temos: 
r --> ( s ^ t ) VERDADE 
V ---> (V ^ V ) 
De acordo com a hipótese da 1ª proposição composta, r possui valor verdadeiro. Para que a 2ª 
proposição seja verdadeira, (s ^ t) devem também possuir valor verdadeiro. 
Para a 3ª temos: 
(u v t) VERDADE 
( V ou F v V) 
De acordo com a análise da 2ª proposição composta, t possui valor verdadeiro. Entretanto, nada pode-
se afirmar sobre u, pois ambos valores (V ou F) atendem o valor VERDADE da 3ª proposição composta. 
Analisando todas as proposições, temos que a alternativa C será verdadeira: 
Se o leite está estragado, então Antígona não o toma ou ela fica doente. 
q --> (~p v r) 
V --> (F v V) 
V --> V 
PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS 
 
Uma proposição categórica é aquela formada por um quantificador associado a um sujeito (primeira 
classe de atributos) que se liga a um predicado (segunda classe de atributos) por meio de um elo (cópula). 
De um modo geral, são todas as proposições formadas ou iniciadas com o seguintes termos: “todo”, 
“algum” e “nenhum”. 
Exemplo: 
 
 
Numa proposição categórica, é importante que o sujeito se relacionar com o predicado de forma 
coerente e que a proposição faça sentido, não importando se é verdadeira ou falsa. 
 
Vejamos algumas formas: 
1) Todo A é B. 
2) Nenhum A é B. 
3) Algum A é B. 
4) Algum A não é B. 
 
Onde temos que A e B são os termos ou características dessas proposições categóricas. 
 
Exemplos: 
 
Proposição categórica Termos ou características 
TODO lutador é forte. lutador e forte 
NENHUM atleta é ocioso atleta e ocioso 
ALGUM estudante é canhoto estudante e canhoto 
ALGUMA ilha não é habitável ilha e habitável 
 
 
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. 37 
Classificação de uma proposição categórica de acordo com o tipo e a relação 
As proposições categóricas também podem ser classificadas de acordo com dois critérios 
fundamentais: qualidade e extensão ou quantidade. 
 
Qualidade: O critério de qualidade classifica uma proposição categórica em afirmativa ou negativa. 
Extensão: O critério de extensão ou quantidade classifica uma proposição categórica em universal ou 
particular. A classificação dependerá do quantificador que é utilizado na proposição.Universais {
universal afirmativa: TODO A é B.
universal negativa:NENHUM A é B.
 
 
Particulares {
particular afirmativa: ALGUM A é B.
partiular negativa: ALGUM A NÂO é B.
 
 
 
Entre as proposições existem tipos e relações, estas vem desde a época de Aristóteles, que de acordo 
com a qualidade e a extensão, classificam-se em quatro tipos, representados pelas letras A, E, I e O. 
 
Vejamos cada uma delas: 
 
Universal afirmativa (Tipo A) – “TODO A é B”. 
Tais proposições afirmam que o conjunto “A” está contido no conjunto “B”, ou seja, que todo e 
qualquer elemento de “A” é também elemento de “B”. Observe que “Toda A é B” é diferente de “Todo 
B é A”. 
 
Exemplo: 
“Todo sacerdote é altruísta” não significa o mesmo que “Toda pessoa altruísta é sacerdote”. 
 
São equivalentes as seguintes expressões categóricas: 
a) Todo animal é irracional. 
b) Qualquer animal é irracional. 
c) Cada animal é irracional. 
d) Se é animal, é irracional. 
 
Podemos representar esta universal afirmativa pelo seguinte diagrama (A C B): 
 
 
 
Universal negativa (Tipo E) – “NENHUM A é B”. 
Tais proposições afirmam que não há elementos em comum entre os conjuntos “A” e “B”. Observe que 
“nenhum A é B” é o mesmo que dizer “nenhum B é A”. 
 
Exemplo: 
“Nenhum político é corrupto” possui o mesmo significado que “nenhuma pessoa corrupta é político”. 
 
São equivalentes as seguintes expressões categóricas: 
a) Nenhum político é honesto. 
b) Todo político não é honesto. 
 
 
Podemos representar esta universal negativa pelo seguinte diagrama (A ∩ B = ø): 
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. 38 
 
 
Particular afirmativa (Tipo I) - “ALGUM A é B” 
Essas proposições Algum A é B estabelecem que o conjunto “A” tem pelo menos um elemento em 
comum com o conjunto “B”. Contudo, quando dizemos que Algum A é B, presumimos que nem todo A é 
B. Observe “Algum A é B” é o mesmo que “Algum B é A”. 
 
Exemplo: 
“Algum médico é estudioso” é o mesmo que “Alguma pessoa estudiosa é médico”. 
 
São equivalentes as seguintes expressões categóricas: 
a) Algum médico é estudioso. 
b) Pelo menos um médico é estudioso. 
c) Ao menos um médico é estudioso. 
d) Existem médicos que são estudiosos. 
e) Existe pelo menos um médico que é estudioso. 
 
Podemos representar esta universal negativa pelo seguinte diagrama (A ∩ B ≠ ø): 
 
 
 
Particular negativa (Tipo O) - “ALGUM A é B” 
Proposições nessa foram Algum A não é B estabelecem que o conjunto “A” tem pelo menos um 
elemento que não pertence ao conjunto “B”. Observe que: Algum A não é B não significa o mesmo que 
Algum B não é A. 
 
Exemplo: 
“Algum animal não é réptil” não é o mesmo que dizer que “Algum réptil não é animal”. 
Serão consideradas equivalentes as seguintes expressões categóricas: 
a) Algum químico não é matemático. 
b) Algum químico é não matemático. 
c) Algum não matemático é químico. 
d) Nem todo químico é matemático. 
e) Existe um químico que não é matemático. 
f) Pelo menos um químico não é matemático. 
g) Ao menos um químico não é matemático. 
h) Existe pelo menos um químico que não é matemático. 
 
Podemos representar esta universal negativa pelo seguinte diagrama (A ¢ B): 
 
 
 
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. 39 
Nas proposições categóricas, usam-se também as variações gramaticais 
dos verbos “ser” e “estar”, tais como “é”, “são”, “está”, “foi”, “eram”, ..., 
como “elo” entre A e B. 
 
Através dessas classificações, pôde-se construir um quadro, denominado Quadrado Geral de 
Oposição, que apresenta as relações existentes entre as proposições. Tal quadro é atribuído a 
Aristóteles. As letras S e P indicam, respectivamente, sujeito e predicado. A letra do meio identifica o tipo 
de proposição categórica. 
 
 
Representa-se SAP para descrever a ideia de que a sentença possui sujeito (S) relacionado ao 
predicado (P) por meio de uma proposição categórica do tipo A (universal afirmativa). Da mesma forma, 
ocorre com SEP, SIP ou SOP. 
Essas regras que relacionam as proposições são denominadas regras de contrariedade, 
contraditoriedade, subcontrariedade e subalternação. 
Vejamos as regras: 
 
Regra de contrariedade (contrárias): Duas proposições são contrárias quando ambas não podem 
ser verdadeiras ao mesmo tempo. Entretanto, em alguns casos, podem ser falsas ao mesmo tempo. Elas 
são universais e se opõem entre si. 
 
Exemplo: 
Todo homem é racional. (A) - verdadeira 
Nenhum homem é racional. (E) – falsa 
As duas não são verdadeiras ao mesmo tempo. 
 
Regra de contraditoriedade (contraditórias): Duas proposições são contraditórias quando ambas 
não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo, nem podem ser falsas ao mesmo tempo. Elas se opõem 
tanto em qualidade quanto em extensão. Enquanto uma é universal, a outra é particular; enquanto uma 
é afirmativa, a outra é negativa. 
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. 40 
 
Exemplo: 
Todo homem é racional (A) – verdade 
Algum homem não é racional (O) – falsa. 
 
Neste caso ocorre se uma é verdadeira, a outra, obrigatoriamente é falsa e vice versa. Logo uma é a 
negação da outra. 
 
Regra da subcontrariedade (subcontrárias): Duas proposições são subcontrárias quando ambas 
não podem ser falsas ao mesmo tempo. Entretanto, em alguns casos, podem ser verdadeiras ao mesmo 
tempo. 
 
Exemplo: 
Algum homem é racional (I) – verdadeira 
Algum homem não é racional (O) - falsa 
 
Neste caso não ocorre de ambas serem falsas ao mesmo tempo. 
 
Regra de subalternação (subalternação e superalternação): As proposições são ditas subalternas 
ou superalternas quando são iguais em qualidade e se opõem entre si apenas em extensão. Ou seja 
enquanto uma é universal, a outra é particular. 
 
 
 
A → I (válida): da verdade do todo podemos inferir pela verdade das partes, mas da verdade das 
partes não podemos inferir pela verdade do todo. 
Exemplo: 
Todos os alunos estão presentes. 
Algum aluno está presente. 
 
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. 41 
Observe que não podemos inferir a verdade partindo da parte (Algum aluno está presente), mas o 
contrário podemos fazer. 
 
I→ A (indeterminada): quando alguém diz que “algum aluno está presente” e conclui que “todos os 
alunos estão presentes”, está fazendo uso da subalternação. Observe que o raciocínio não é válido, pois 
não podemos afirmar, partindo do pressuposto que alguns alunos estão presentes, que todos os alunos 
estão presentes. 
 
E → O (válida): se dizermos que “nenhum aluno está presente”, concluímos que “algum aluno não 
está presente”, estamos fazendo uso da superalternação entre as proposições. Se não tem nenhum aluno 
presente isto significa que algum aluno NÃO está presente. 
 
O → E (indeterminada): se alguém diz “algum aluno não está presente” e conclui que “nenhum aluno 
está presente”, está utilizando uma subalternação entre as proposições. Este tipo de raciocínio não é 
valido, pois não se pode afirmar que nenhum aluno está presente apenas porque algum aluno não está 
presente. 
 
Negação das Proposições Categóricas 
Ao negarmos uma proposição categórica, devemos observar as seguintes convenções de 
equivalência: 
1) Ao negarmos uma proposição categórica universal geramos uma proposição categórica particular. 
2) Pela recíproca de uma negação, ao negarmos uma proposição categórica particular geramos uma 
proposição categórica universal. 
3) Negando uma proposição de natureza afirmativa geramos, sempre, uma proposição de natureza 
negativa; e, pela recíproca, negando uma proposição de natureza negativa geramos, sempre, uma 
proposição de natureza afirmativa. 
 
 
Exemplos: 
Vamos negar as proposições que se seguem, segundo atabela da negação: 
 
1) Todo jogador é esportista. – Algum jogador não é esportista. 
2) Nenhum carnívoro come vegetais – Algum carnívoro come vegetais. 
3) Algum executivo não é empreendedor – Todo executivo é empreendedor. 
4) Algum músico é romântico – Nenhum músico é romântico. 
 
Questão 
 
01. (MRE – Oficial de Chancelaria – FGV/2016) João olhou as dez bolas que havia em um saco e 
afirmou: 
“Todas as bolas desse saco são pretas". 
 
Sabe-se que a afirmativa de João é falsa. 
É correto concluir que: 
(A) nenhuma bola desse saco é preta; 
(B) pelo menos nove bolas desse saco são pretas; 
(C) pelo menos uma bola desse saco é preta; 
(D) pelo menos uma bola desse saco não é preta; 
(E) nenhuma bola desse saco é branca. 
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. 42 
Resposta 
 
01. Resposta: D. 
 
 
DIAGRAMAS LÓGICOS 
 
Os diagramas lógicos muito comuns em provas de raciocínio lógico, é uma ferramenta para 
resolvermos problemas que envolvam argumentos dedutivos, as quais as premissas deste argumento 
podem ser formadas por proposições categóricas, ou seja, proposições do tipo “Todo A é B”, “Nenhum 
A é B””, “Algum A é B” e “Algum A não é B”. Os diagramas lógicos ou digramas de Eulle-Venn, ajudam (e 
sustentam) a conclusão deste argumento dedutível. 
 
Exemplo 
Dado o argumento: em determinada empresa foi realizado um estudo para avaliar o grau de satisfação 
de seus empregados e diretores. O estudo mostrou que, naquela empresa, “nenhum empregado é 
completamente honesto” e “alguns diretores são completamente honestos”. 
Analisando os diagramas lógicos formados pelas proposições categóricas: “nenhum empregado é 
completamente honesto” e “alguns diretores são completamente honestos”, teremos: 
 
“Nenhum empregado é 
completamente honesto” 
 
 
 
“Alguns diretores são 
completamente honestos” 
 
 
Se correlacionarmos os dois diagramas lógicos, em um único diagrama, poderíamos obter dois 
resultados possíveis: 
 
1º possibilidade 
 
 
 
2ª possibilidade 
 
 
 
Como não foi afirmado se existem ou não empregados que são diretores, ou diretores que sejam 
empregados, então, podemos apenas supor tais possibilidades. 
 
Portanto, uma conclusão que podemos chegar através destas informações é que, naquela empresa, 
“os diretores que são honestos não são empregados”. Porém, podem existir ou não empregados que são 
diretores ou vice-versa e, como não podemos afirmar, por conseguinte, nada poderá ser concluído sobre 
essa última possibilidade. 
 
Vamos analisar as proposições e a aplicação nos diagramas. 
 
Para compreender melhor este assunto, é bom ter conhecimento 
sobre a Teoria dos Conjuntos, para saber como desenvolver as 
operações com conjuntos. 
 
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. 43 
Vejamos a tabela abaixo as proposições categóricas: 
 
Tipo Preposição Quantidade Extensão Diagramas 
A 
TODO A é B 
 
 
Afirmativa Universal 
 
 
Se um elemento pertence ao 
conjunto A, então pertence também a B. 
E NENHUM A é B Negativa Universal 
 
Existe pelo menos um elemento que 
pertence a A, então não pertence a B, e 
vice-versa. 
I ALGUM A é B Afirmativa Particular 
 
Existe pelo menos um elemento comum 
aos conjuntos A e B. 
Podemos ainda representar das 
seguintes formas: 
 
 
O ALGUM A NÃO é B Negativa Particular 
 
 
 
Perceba-se que, nesta sentença, a 
atenção está sobre o(s) elemento (s) de 
A que não são B (enquanto que, no 
“Algum A é B”, a atenção estava sobre 
os que eram B, ou seja, na intercessão). 
Temos também no segundo caso, a 
diferença entre conjuntos, que forma o 
conjunto A - B 
 
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. 44 
Temos ainda que: 
 
Proposição Equivalência Negação 
TODO A é B NENHUM NÂO ALGUM NÃO 
NENHUM A é B TODO NÃO ALGUM 
ALGUM A é B Existe A que é B NENHUM 
ALGUM A NÃO é B Pelo MENOS UM a que É B TODO 
 
- Inclusão 
Todo, toda, todos, todas. 
 
- Interseção 
Algum, alguns, alguma, algumas. 
 
Ex: Todos brasilienses são bons ciclistas. 
Negação lógica: Algum brasiliense não é bom ciclista. 
- Disjunção 
Nenhum A é B. 
 
Ex: Algum brasiliense não é bom ciclista. 
Negação lógica: Nenhum brasiliense é bom ciclista. 
 
Vamos ver mais um exemplo: 
1) (CETRO) Em um pote de doces, sabe-se que existe pelo menos um chiclete que é de hortelã. Sabe-
se, também, que todos os doces do pote, que são de sabor hortelã, são verdes. Segue-se, portanto, 
necessariamente que: 
(A) todo doce verde é de hortelã; 
(B) todo doce verde é chiclete; 
(C) nada que não seja verde é chiclete; 
(D) algum chiclete é verde; 
(E) algum chiclete não é verde. 
 
Primeiramente vamos separar as premissas e analisa-las colocando-as dentro dos seus respectivos 
diagramas. 
 
P1: existe pelo menos um chiclete que é de hortelã; 
P2: todos os doces do pote, que são de sabor hortelã, são verdes. 
Portanto, representando as premissas P1 e P2 na forma de diagramas lógicos, obteremos a seguinte 
situação conclusiva: 
P1: existe pelo menos um chiclete que é de hortelã; 
 
 
 
P2: todos os doces do pote, que são de sabor hortelã, são verdes. 
 
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. 45 
Por esses diagramas, podemos concluir que: 
a) nem todo chiclete é de hortelã e verde; 
b) algum chiclete é de hortelã e verde; 
c) todos os chicletes podem ser verdes ou não. 
 
Vamos analisar cada alternativa: 
a) todo doce verde é de hortelã (ERRADO, pois nem todo doce verde é de hortelã); 
b) todo doce verde é chiclete (ERRADO, pois nem todo doce verde é chiclete); 
c) nada que não seja verde é chiclete (ERRADO, pois alguns chicletes não são verdes); 
d) algum chiclete é verde (CERTO); 
e) algum chiclete não é verde (ERRADO, pois não podemos afirmar esse fato). 
Resposta D. 
Questão 
 
01. (GDF–Analista de Atividades Culturais Administração – IADES/2014) Considere as 
proposições: “todo cinema é uma casa de cultura”, “existem teatros que não são cinemas” e “algum teatro 
é casa de cultura”. Logo, é correto afirmar que 
(A) existem cinemas que não são teatros. 
(B) existe teatro que não é casa de cultura. 
(C) alguma casa de cultura que não é cinema é teatro. 
(D) existe casa de cultura que não é cinema. 
(E) todo teatro que não é casa de cultura não é cinema. 
 
Resposta 
 
01. Resposta: E. 
Vamos chamar de: 
Cinema = C 
Casa de Cultura = CC 
Teatro = T 
 
Analisando as proposições temos: 
- Todo cinema é uma casa de cultura 
 
 
- Existem teatros que não são cinemas 
 
 
- Algum teatro é casa de cultura 
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. 46 
 
 
Visto que na primeira chegamos à conclusão que C = CC 
 
Segundo as afirmativas temos: 
(A) existem cinemas que não são teatros- Observando o último diagrama vimos que não é uma 
verdade, pois temos que existe pelo menos um dos cinemas é considerado teatro. 
 
 
(B) existe teatro que não é casa de cultura. – Errado, pelo mesmo princípio acima. 
(C) alguma casa de cultura que não é cinema é teatro. – Errado, a primeira proposição já nos afirma o 
contrário. O diagrama nos afirma isso 
 
(D) existe casa de cultura que não é cinema. – Errado, a justificativa é observada no diagrama da 
alternativa anterior. 
(E) todo teatro que não é casa de cultura não é cinema. – Correta, que podemos observar no diagrama 
abaixo, uma vez que todo cinema é casa de cultura. Se o teatro não é casa de cultura também não é 
cinema. 
 
 
 
 
ARGUMENTOS FALACIOSOS 
 
Uma falácia (ou sofisma) é uma espécie de mentira, é um argumento logicamente inconsistente, 
inválido. São argumentosque se destinam à persuasão podem parecer convincentes para grande parte 
do público apesar de conterem falácias, mas não deixam de ser falsos por causa disso. Reconhecer as 
falácias é por vezes difícil. 
Os argumentos falaciosos podem ter validade emocional, íntima, psicológica, mas não validade lógica. 
É importante conhecer os tipos de falácia para evitar armadilhas lógicas na própria argumentação e para 
analisar a argumentação alheia. 
 
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. 47 
 
 
As falácias podem ser classificadas como: 
 
Formais: são erros de raciocínio que resultam exclusivamente da sua forma lógica, isto é, da sua 
estrutura interna. 
Não formais: são erros de raciocínio que não resultam exclusivamente da forma lógica, mas do 
conteúdo. Isto é, da sua relação com a realidade e com o contexto em que se inserem. 
 
 
 
Tipos de falácias 
 
Abaixo temos as mais comuns falácias lógicas argumentativas. Alguns tipos de falácias são chamadas 
de apelos. Os mesmo possuem a intenção de neutralizar o senso crítico do interlocutor para que uma 
mensagem errônea seja aceita de forma irrefletida. 
 
- Falso dilema: apresentar apenas duas opções, quando, na verdade, existem mais. 
Exemplos: 
Brasil: ame-o ou deixe-o. 
Você não suporta seu marido? Separe-se! 
Ou eu colo na prova ou eu serei reprovado. 
 
 
- Pergunta complexa: apresentar duas proposições conectadas como se fossem uma única 
proposição, tratando-se de assuntos que não tenham relação, pressupondo-se que já se tenha dado uma 
resposta a uma pergunta anterior. 
Exemplos: 
Você não é a favor do aborto e da liberdade feminina? 
Você é a favor da pena de morte e da luta contra impunidade? 
 
- Composição: concluir que uma propriedade compartilhada por um número de elementos em 
particular, também é compartilhada por um conjunto desses elementos; ou que as propriedades de uma 
parte do objeto devem ser as mesmas nele inteiro. 
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. 48 
Exemplo: 
Essa bicicleta é feita inteiramente de componentes de baixa densidade, logo é muito leve. 
 
- Divisão (oposto da composição): assumir que a propriedade de um elemento deve aplicar-se às 
suas partes; ou que uma propriedade de um conjunto de elementos é compartilhada por todos. 
Exemplos: 
Você deve ser rico, pois estuda em um colégio de ricos. 
Formigas podem destruir uma árvore. Logo, essa formiga também pode. 
 
- Petição por princípio: ocorre quando as premissas são pelo menos tão questionáveis quanto as 
conclusões atingidas. 
Exemplo: 
Não posso acreditar nisso, porque é mentira. 
 
- Causa Falsa ou falsa causa: uma relação real ou percebida entre duas coisas significa que uma é 
a causa da outra. 
Uma variação dessa falácia é a “cum hoc ergo propter hoc” (com isto, logo por causa disto), na qual 
alguém supõe que, pelo fato de duas coisas estarem acontecendo juntas, uma é a causa da outra. Este 
erro consiste em ignorar a possibilidade de que possa haver uma causa em comum para ambas, ou, 
como mostrado no exemplo abaixo, que as duas coisas em questão não tenham absolutamente nenhuma 
relação de causa, e a sua aparente conexão é só uma coincidência. 
Exemplo: 
Os fabricantes de bebida gaseificada apontam pesquisas que mostram que, dos cinco países onde a 
bebida é mais vendida, três estão na lista dos dez países mais saudáveis do mundo, logo, bebida 
gaseificada é saudável. 
 
- Causa complexa: supervalorizar uma causa que faz parte de um sistema, ou seja, é a identificação 
de apenas parte das causas de um evento. 
Exemplo: 
O acidente não teria ocorrido se não fosse a má localização da árvore. 
 
- Regra geral: ocorre quando uma regra geral é aplicada a um caso particular onde a regra não deveria 
ser aplicada. 
Exemplo: 
Cristãos geralmente não gostam de ateus. Você é um cristão, então você não deve gostar de ateus. 
 
 
- Falsa indução: é o oposto da Regra Geral Ocorre quando uma regra específica é atribuída ao caso 
genérico. 
Exemplos: 
Minha namorada me traiu. Logo, as mulheres tendem à traição. 
 
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. 49 
 
 
- Espantalho: consiste em criar ideias reprováveis ou fracas, atribuindo-as à posição oposta. 
Exemplos: 
Depois de Felipe dizer que o governo deveria investir mais em saúde e educação, Jader respondeu 
dizendo estar surpreso que Felipe odeie tanto o Brasil, a ponto de querer deixar o nosso país 
completamente indefeso, sem verba militar. 
 
- Falácia da falácia: consiste em argumentar que uma proposição é falsa porque foi apresentada 
como a conclusão de um argumento falacioso. Lembre-se que um argumento falacioso pode chegar a 
conclusões verdadeiras. 
 Exemplo: 
Percebendo que Lia cometeu uma falácia ao defender que devemos comer alimentos saudáveis 
porque eles são populares, Alice resolveu ignorar a posição de Lia por completo e comer hambúrguer 
todos os dias. 
 
- Falácia da diversão: introdução de material irrelevante ao ponto em discussão, em geral com o 
objetivo de desviar o argumento para outra conclusão, muitas vezes mais fácil de ser combatido. 
Exemplo: 
Não acho que homens e mulheres devam ganhar o mesmo salário por funções iguais. Sou contra a 
igualdade entre os sexos. Em um shopping center, imagine o que aconteceria se os banheiros fossem 
unissex: tanto homens quanto mulheres se sentiriam desconfortáveis. Você não acha que tenho razão? 
 
 
 
 - Ataque à Pessoa (apelo): atacar ou desmoralizar a pessoa e não seus argumentos. Pensa-se que, 
ao se atacar a pessoa, pode-se enfraquecer ou anular sua argumentação. 
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. 50 
Exemplos: 
Se foi um burguês quem disse isso, certamente é engodo. 
Se foi um político que disse isso, certamente é desonesto. 
 
- Apelo à ignorância: concluir que algo é verdadeiro por não ter sido provado que é falso, ou que algo 
é falso por não ter sido provado que é verdadeiro. 
Exemplo: 
Existe vida em outro planeta, pois nunca provaram o contrário. 
 
 
- Apelo a força: ameaçar com consequências desagradáveis se não for aceita ou acatada a 
proposição apresentada. 
Exemplos: 
Você deve se enquadrar nas novas normas do setor. Ou quer perder o emprego? 
Acredite em Deus, senão queimará eternamente no Inferno. 
 
 
 
- Apelo à emoção: tenta-se manipular uma resposta emocional no lugar de um argumento válido ou 
convincente. 
Apelos à emoção são relacionados a medo, inveja, ódio, pena, orgulho, entre outros. 
É importante dizer que às vezes um argumento logicamente coerente pode inspirar emoção, ou ter um 
aspecto emocional, mas o problema e a falácia acontecem quando a emoção é usada no lugar de um 
argumento lógico. Ou, para tornar menos claro o fato de que não existe nenhuma relação racional e 
convincente para justificar a posição de alguém. 
Exemplos: 
O papai fica triste quando você faz isso, não faça mais isso. 
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. 51 
Me dê dinheiro, pois estou com fome. 
 
 
 
- Apelo popular: sustentar uma proposição por ser defendida pela população ou parte dela. Sugere 
que quanto mais pessoas defendem uma ideia mais verdadeira ou correta ela é. Incluem-se aqui os 
boatos, o "ouvi falar", o "dizem", o "sabe-se que". 
Exemplo: 
A maioria das pessoas acredita em alienígenas, portanto eles existem. 
 
- Apelo circunstancial: utilizar os interesses do interlocutor para que ele aceite o argumento sem 
refletir. 
Exemplo: 
Você não quer ganhar mais? Então vamos votar na chapa verde. 
 
- Apelo à autoridade: usa-se sua posição como figura ou instituição de autoridade no lugar de um 
argumento válido. (A popular “carteirada”.)É importante mencionar que, no que diz respeito a esta falácia, as autoridades de cada campo podem 
muito bem ter argumentos válidos, e que não se deve desconsiderar a experiência e expertise do outro. 
Para formar um argumento, no entanto, deve-se defender seus próprios méritos, ou seja, deve-se 
saber por que a pessoa em posição de autoridade tem aquela posição. No entanto, é claro, é 
perfeitamente possível que a opinião de uma pessoa ou instituição de autoridade esteja errada; assim 
sendo, a autoridade de que tal pessoa ou instituição goza não tem nenhuma relação intrínseca com a 
veracidade e validade das suas colocações. 
Exemplos: 
 - As maiores organizações de defesa dos direitos dos animais afirmam que uma dieta vegetariana é 
a mais saudável. 
Logo, uma dieta vegetariana é a mais saudável. 
 
 
 
Comunicação eficiente de argumentos 
A lógica nos permite organizar nossas ideias e ver com maior clareza se podemos chegar às 
conclusões às quais acreditamos poder chegar, a partir de nossas ideias. O pensador crítico exige a 
coerência que a lógica fornece mas reconhece seus limites. Para pensar criticamente, é necessário ser 
perspicaz, enxergar além da superfície, questionar onde não há perguntas já formuladas e ver facetas 
que outros não estão considerando. 
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. 52 
Ao formular argumentos, é possível distinguir alguns elementos explícitos, que aparecem 
claramente, e implícitos, que não estão descritos claramente no texto, mas podem ser subentendidos. 
Os elementos implícitos precisam ser decodificados pelo pensador crítico. São considerados elementos 
implícitos de um argumento: 
 
- Premissas subjacentes: são ideias necessárias para compreendermos adequadamente o 
significado das comunicações e cuja descoberta exige uma análise daquilo em que o autor baseou seu 
raciocínio. 
Exemplo: 
Dizem que o pessoal da ANATEL é muito competente, mas Luiz Carlos não tem se saído bem. (Para 
esse argumento ser coerente, a premissa subjacente é que Luiz Carlos seja funcionário da ANATEL) 
 
- Pressupostos semânticos: são ideias não expressas explicitamente mas, de alguma forma, 
contidas no próprio significado das palavras. 
Exemplo: 
Desde que casei, nunca mais morei sozinha. (Pela definição é possível que a pessoa morava sozinha 
antes e que depois que casou ela não mora mais sozinha). 
- Ideias subentendidas: referem-se àquelas não faladas explicitamente que, por uma questão de 
costumes sobre o uso linguagem, fazem parte íntegra das afirmativas em questão. 
Exemplo: 
Eu não acredito que você, uma pessoa honesta e sensata, se filiou ao sindicato. (Aqui fica 
subentendida que o autor é contra sindicalização) 
- Significado social: algumas palavras e expressões são utilizadas de forma diferente do conceito 
formal (aquele do dicionário), o que pode revelar um significado social mais amplo dotado de 
regionalismos, gírias e senso comum. Nesse sentido, é importante diferenciar denotação de conotação. 
Exemplo: 
Os donos soltaram os cachorros para proteger a fazenda. (Sentido denotativo = soltar o que estava 
preso.) 
Eles soltaram os cachorros quando perceberam que foram trapaceados. (Sentido conotativo = ficar 
bravo, ...). 
 
- Intertextualidade: entende-se a criação de um texto a partir de outro pré-existente. A 
intertextualidade pode apresentar funções diferentes, as quais dependem muito dos textos/contextos em 
que ela é inserida, ou seja, dependendo da situação. Exemplos de obras intertextuais incluem: alusão, 
versão, plágio, tradução, pastiche e paródia. Evidentemente, o fenômeno da intertextualidade está ligado 
ao "conhecimento do mundo", que deve ser compartilhado, ou seja, comum ao produtor e ao receptor de 
textos. O diálogo pode ocorrer ou não em diversas áreas do conhecimento, não se restringindo única e 
exclusivamente a textos literários. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
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. 53 
PRINCÍPIO DA REGRESSÃO OU REVERSÃO 
 
Princípio da regressão 
Este princípio tem como objetivo resolver determinados problemas de forma não algébrica, mas 
utilizando uma técnica baseada em raciocínio lógico, conhecida como princípio da regressão ou 
reversão. 
Esta técnica consiste em determinar um valor inicial pedido pelo problema a partir de um valor final 
dado. Utiliza-se para resolução dos problemas as operações matemáticas básicas com suas respectivas 
reversões. 
 
- Fundamento da regressão 
Utilizando as quatro operações fundamentais, podemos obter uma construção quantitativa lógica 
fundamentada no princípio da regressão, cujo objetivo é obter o valor inicial do problema proposto através 
da operação inversa. 
 
Soma ↔ a regressão é feita pela subtração. 
Subtração ↔ a regressão é feita pela soma. 
Multiplicação ↔ a regressão é feita pela divisão. 
Divisão ↔ a regressão é feita pela multiplicação. 
 
Veja os exemplos abaixo: 
1 – Uma pessoa gasta metade do seu capital mais R$ 10,00, ficando sem capital algum. Quanto ela 
possuía inicialmente? 
Solução: 
 
No problema acima, a pessoa gastou em dinheiro (– R$ 10,00), ou seja, houve uma perda. Pelo 
princípio da regressão, iremos supor que ele recuperará o dinheiro, para que possamos chegar à situação 
inicial (+ R$ 10,00). Posteriormente, ele gasta metade do seu capital (÷2). Para voltarmos a situação inicial 
devemos multiplicar por 2 o valor em dinheiro que ele possuía. Logo, 2 × R $10,00 = R$ 20,00. 
 
2 – Um indivíduo fez uma promessa a São Sebastião, se este dobrar o seu dinheiro, ele doará R$ 
20,00 para a igreja, no final da 3º dobra, nada mais lhe restara, quanto possuía o indivíduo inicialmente? 
(A) 14,50 
(B) 15,50 
(C) 16,50 
(D) 17,50 
(E) 18,50 
Solução: 
a) Solução Algébrica 
Valor que possuía inicialmente: x 
1º dobra: 2x – 20 
2° dobra: 2(2x – 20) – 20 
3° dobra: 2[2(2x – 20) – 20] – 20 = 0 
Resolvendo a equação encontramos x = 17,50 
Resposta: Inicialmente o indivíduo possui R$17,50 
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. 54 
b) Solução pelo método da regressão 
 
Pelo método da regressão, vamos abordar o problema do final para o início, ou seja, partiremos do 
passo IV até o passo I. 
IV) Se no final restou 0, significa que todo o dinheiro foi doado. 
III) No terceiro passo, ele dobrou o capital que tinha e deu 20 reais para a igreja, fazendo a regressão, 
podemos dizer se ele deu 20 reais para a igreja (representar – 20), então, ele os possuía inicialmente 20 
(representar +20). Como ele dobrou o capital, temos agora que reduzi-lo a metade (20 ÷ 2) = 10. 
Conclusão: na terceira etapa ele possuía 10 reais, que dobrados originaram 20 reais. Como doou 20 
reais, ficou com nada no quarto passo. 
II) No segundo passo, ele já possuía 10 reais, mas doou 20 para a igreja (-20) e ao recuperá-lo ficou 
com 10 + 20 = 30. Como ele dobrou o capital, temos agora que reduzi-lo a metade (30 ÷ 2) = 15. 
Conclusão: na segunda etapa ele possuía 15 reais, que dobrados originaram 30 reais. Como doou 20 
reais, ficou com 10 no terceiro passo. 
I) Inicialmente, ele possuirá os 15 reais mais 20 reais que serão recuperados, ou seja, 35 reais e reduzir 
o capital pela metade (35 ÷ 2) = 17,50. 
Resposta: Inicialmente, possuía R$ 17,50. 
Gabarito: D 
 
Explicações do item 2,3,4. 
2- Tabela verdade e equivalência lógica, negação e validade de um argumento. 
3- Regras de Inferência 
4- Diagramas de Euller-Venn 
O candidato deve ficar atento, após o entendimento da tabela verdade, este deve saber aplicar as 
regras de inferência, diagramas de Venn, equivalência e negação, assim ele verificará que não existe 
lógica pelas frases ou suas interpretações , veja o modelo abaixo( caso 1 e 2 ). 
Caso 1: validade de um argumento 
Um argumentoé válido caso satisfaça duas condições: 
I – A proposição 1, a proposição 2 e a conclusão (p1, p2, C), têm pelo menos uma linha verdadeira 
quando construída a sua tabela-verdade. 
II – (p1 p2) → C é tautológica, caso contrário, temos um sofisma. 
 
Nota: argumento possui 3 premissas no mínimo e uma conclusão e silogismo 2 premissas e 
uma conclusão, assim de início chamarei o silogismo de argumento sem o rigor da definição, pois 
a preocupação é quanto a validade, e percebe que não há correlação com o português, mas sim 
com a estrutura. 
Exemplo: 
Verifique se o argumento (silogismo) abaixo é válido: 
Premissa 1 (P1): p q 
Premissa 2 (P2): ~q 
Conclusão (C): p 
 
Condição I: P1, P2 e C devem ter pelo menos uma linha da tabela-verdade toda verdadeira. 
P1: p q P2: ~q C: p 
V F V 
V V V 
V F F 
F V F 
Condição II: (p1 p2) → C deve ser tautológica 
(p q) ~q → p 
F V V 
V V V 
F V F 
F V F 
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. 55 
Resposta: O argumento é válido, pois satisfaz as duas condições. 
 
1) Verifique se os argumentos abaixo são válidos: 
( ) p1: hoje é sábado ou domingo. 
p2: hoje não é sábado. 
C: hoje é domingo. 
Solução: 
Construindo a tabela, temos: 
p1: p q p2: ~p C: q 
V F V 
V F F 
V V V 
F V F 
De acordo com a tabela, podemos garantir que o argumento é válido, pois existe pelo menos uma linha 
toda verdadeira (V, V, V) e a verdade das premissas (V, V) garante a verdade da conclusão (V). 
Gabarito: V, pois o argumento é válido. 
 
( ) É correto o raciocínio lógico dado pela sequência de proposições seguintes: 
Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um bom emprego. 
Ela conseguiu um bom emprego. 
Portanto, Célia tem um bom currículo. 
Solução: 
p1: p → q p2: q C: p 
V V V 
F F V 
V V F 
V F F 
Neste caso, a primeira condição é satisfeita, ou seja, temos uma linha toda verdadeira (V, V, V). No 
entanto, a verdade das premissas, além de garantir a verdade da conclusão, também garantiu a sua 
falsidade, havendo assim uma contradição (também conhecido como princípio do terceiro excluído). 
Exemplo: 
p1 p2 C 
V V V 
V V F 
A conclusão não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo, logo o argumento não é válido. 
Gabarito: F 
 
Caso 2 
- DIAGRAMAS DE VENN- EULLER –EXPRESSÕES CATEGÓRICAS 
 
As expressões categóricas são: 
TODO 
ALGUM 
NENHUM 
 
NOTA: Deve ficar claro que a negação destas expressões não tem nenhuma relação com a gramática, 
língua Portuguesa ou relação com o seu antônimo como todo, nenhum ou coisa do gênero, na verdade a 
negação destas expressões tem relação direta com a cisão topológica do diagrama, podendo ainda ser 
associada à mecânica dos fluidos no que se refere a volume de controle, para não entramos no contexto 
da física será feito apenas uma abordagem topológica da estrutura. 
 
Caso 1: Negação da expressão Nenhum 
Qual a negação da proposição: “Nenhum rondoniense é casado” 
i) deve ficar claro que a negação de nenhum não é todo ou pelo menos um ou qualquer associação 
que se faça com o português, a topologia da estrutura nos fornecerá várias respostas, vejamos: 
Possíveis negações: Negar a frase é na verdade verificar os possíveis deslocamentos dos círculos. 
I) pelo menos 1 rondoniense é casado 
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. 56 
II) algum rondoniense é casado 
III) existe rondoniense casado 
IV) Todo rondoniense é casado 
V) Todo casado é rondoniense 
Definir: 
A = Rondoniense 
B= Casado 
 
CONCLUSÃO: Topologicamente o pelo menos 1 é a condição mínima de existência; algum e existe 
estão no mesmo nível de importância e o todo é a última figura sendo assim topologicamente possível 
mas a última, em termos de importância. 
Questões 
 
01. Uma senhora levava uma caixa de chocolates para dar aos seus netos. Ao primeiro ela deu a 
metade dos chocolates que levava mais meio chocolate. Ao segundo, deu a metade do que restou e mais 
meio chocolate. Por último, ao terceiro neto ela deu a metade do que ainda sobrou e mais meio chocolate, 
não sobrando nenhum com ela. Quantos chocolates havia inicialmente na caixa? 
 
02. Um homem gastou tudo o que tinha no bolso em três lojas. Em cada uma gastou R$ 1,00 a mais 
do que a metade do que tinha ao entrar. Quanto o homem tinha ao entrar na primeira loja? 
 
03. Um feirante vendeu 1/3 das frutas que possuía mais duas. A seguir, vendeu 4/5 das restantes mais 
uma, ficando, assim, com três frutas. Se n é o número inicial de frutas, então: 
(A) n > 100 
(B) 90 < n < 100 
(C) 70 < n < 90 
(D) 50 < n < 70 
(E) 30 < n < 50 
 
04. (SENAI 2015) O sr. Altair deu muita sorte em um programa de capitalização bancário. Inicialmente, 
ele apresentava um saldo devedor X no banco, mas resolveu depositar 500 reais, o que cobriu sua dívida 
e ainda lhe sobrou uma certa quantia A. Essa quantia A, ele resolveu aplicar no programa e ganhou quatro 
vezes mais do que tinha, ficando então com uma quantia B. Uma segunda vez, o sr. Altair resolveu aplicar 
no programa, agora a quantia B que possuía, e novamente saiu contente, ganhou três vezes o valor 
investido. Ao final, ele passou de devedor para credor de um valor de R$ 3 600,00 no banco. Qual era o 
saldo inicial X do sr. Altair? 
(A) -R$ 350,00. 
(B) -R$ 300,00. 
(C) -R$ 200,00. 
(D) -R$ 150,00. 
(E) -R$ 100,00. 
 
 
 
 
 
 
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. 57 
Respostas 
 
01. Resposta: 
 
 
 
02. Resposta: 
 
 
03. Resposta: 
 
 
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. 58 
04. Resposta: C. 
Devemos partir da última aplicação. Sabemos que a última aplicação é 3B, logo: 
3B = 3600 → B = 3600/3 → B = 1200 
A 1º aplicação resultou em B e era 4A: B = 4A → 1200 = 4A → A = 1200/4 → A = 300 
A é o saldo que sobrou do pagamento da dívida X com o 500 reais: A = 500 – X → 300 = 500 – X → 
-X = 300 – 500 → -X = -200. (-1) → X = 200. 
Como o valor de X representa uma dívida representamos com o sina negativo: a dívida era de R$ -
200,00. 
 
LÓGICA SEQUENCIAL 
 
O Raciocínio é uma operação lógica, discursiva e mental. Neste, o intelecto humano utiliza uma ou 
mais proposições, para concluir através de mecanismos de comparações e abstrações, quais são os 
dados que levam às respostas verdadeiras, falsas ou prováveis. Foi pelo processo do raciocínio que 
ocorreu o desenvolvimento do método matemático, este considerado instrumento puramente teórico e 
dedutivo, que prescinde de dados empíricos. Logo, resumidamente o raciocínio pode ser considerado 
também um dos integrantes dos mecanismos dos processos cognitivos superiores da formação de 
conceitos e da solução de problemas, sendo parte do pensamento. 
 
Sequências Lógicas 
As sequências podem ser formadas por números, letras, pessoas, figuras, etc. Existem várias formas 
de se estabelecer uma sequência, o importante é que existem pelo menos três elementos que caracterize 
a lógica de sua formação, entretanto algumas séries necessitam de mais elementos para definir sua 
lógica. Algumas sequências são bastante conhecidas e todo aluno que estuda lógica deve conhecê-las, 
tais como as progressões aritméticas e geométricas, a série de Fibonacci, os números primos e os 
quadrados perfeitos. 
 
Sequência de Números 
 
Progressão Aritmética: Soma-se constantemente um mesmo número. 
 
 
 
Progressão Geométrica: Multiplica-se constantemente um mesmo número. 
 
 
 
Incremento em Progressão: O valor somado é que está em progressão. 
 
 
 
Série de Fibonacci: Cada termo é igual a soma dos dois anteriores. 
 
1 1 2 3 5 8 13 
 
Números Primos: Naturais que possuem apenas dois divisores naturais. 
 
2 3 5 7 11 13 17 
 
Quadrados Perfeitos: Númerosnaturais cujas raízes são naturais. 
 
1 4 9 16 25 36 49 
 
 
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. 59 
Sequência de Letras 
As sequências de letras podem estar associadas a uma série de números ou não. Em geral, devemos 
escrever todo o alfabeto (observando se deve, ou não, contar com k, y e w) e circular as letras dadas para 
entender a lógica proposta. 
 
A C F J O U 
 
Observe que foram saltadas 1, 2, 3, 4 e 5 letras e esses números estão em progressão. 
 
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U 
 
B1 2F H4 8L N16 32R T64 
 
Nesse caso, associou-se letras e números (potências de 2), alternando a ordem. As letras saltam 1, 3, 
1, 3, 1, 3 e 1 posições. 
 
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T 
 
Sequência de Pessoas 
Na série a seguir, temos sempre um homem seguido de duas mulheres, ou seja, aqueles que estão 
em uma posição múltipla de três (3º, 6º, 9º, 12º,...) serão mulheres e a posição dos braços sempre alterna, 
ficando para cima em uma posição múltipla de dois (2º, 4º, 6º, 8º,...). Sendo assim, a sequência se repete 
a cada seis termos, tornando possível determinar quem estará em qualquer posição. 
 
 
 
Sequência de Figuras 
Esse tipo de sequência pode seguir o mesmo padrão visto na sequência de pessoas ou simplesmente 
sofrer rotações, como nos exemplos a seguir. 
 
 
 
 
 
Sequência de Fibonacci 
O matemático Leonardo Pisa, conhecido como Fibonacci, propôs no século XIII, a sequência numérica: 
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …). Essa sequência tem uma lei de formação simples: cada elemento, 
a partir do terceiro, é obtido somando-se os dois anteriores. Veja: 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5 e assim 
por diante. Desde o século XIII, muitos matemáticos, além do próprio Fibonacci, dedicaram-se ao estudo 
da sequência que foi proposta, e foram encontradas inúmeras aplicações para ela no desenvolvimento 
de modelos explicativos de fenômenos naturais. 
Veja alguns exemplos das aplicações da sequência de Fibonacci e entenda porque ela é conhecida 
como uma das maravilhas da Matemática. A partir de dois quadrados de lado 1, podemos obter um 
retângulo de lados 2 e 1. Se adicionarmos a esse retângulo um quadrado de lado 2, obtemos um novo 
retângulo 3 x 2. Se adicionarmos agora um quadrado de lado 3, obtemos um retângulo 5 x 3. Observe a 
figura a seguir e veja que os lados dos quadrados que adicionamos para determinar os retângulos formam 
a sequência de Fibonacci. 
 
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. 60 
 
 
Se utilizarmos um compasso e traçarmos o quarto de circunferência inscrito em cada quadrado, 
encontraremos uma espiral formada pela concordância de arcos cujos raios são os elementos da 
sequência de Fibonacci. 
 
 
 
O Partenon que foi construído em Atenas pelo célebre arquiteto grego Fidias. A fachada principal do 
edifício, hoje em ruínas, era um retângulo que continha um quadrado de lado igual à altura. Essa forma 
sempre foi considerada satisfatória do ponto de vista estético por suas proporções sendo chamada 
retângulo áureo ou retângulo de ouro. 
 
 
 
Como os dois retângulos indicados na figura são semelhantes temos: 
𝑦
𝑎
=
𝑎
𝑏
 (1). 
 
Como: b = y – a (2). 
Substituindo (2) em (1) temos: y2 – ay – a2 = 0. 
Resolvendo a equação: 
 
𝑦 =
𝑎(1±√5
2
 em que (
1−√5
2
< 0) não convém. 
 
Logo: 
𝑦
𝑎
=
(1+√5
2
= 1,61803398875 
 
Esse número é conhecido como número de ouro e pode ser representado por: 
 
𝜃 =
1 + √5
2
 
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. 61 
Todo retângulo e que a razão entre o maior e o menor lado for igual a 𝜃 é chamado retângulo áureo 
como o caso da fachada do Partenon. 
 
As figuras a seguir possuem números que representam uma sequência lógica. Veja os exemplos: 
 
Exemplo 1 
 
 
 
A sequência numérica proposta envolve multiplicações por 4. 
6 x 4 = 24 
24 x 4 = 96 
96 x 4 = 384 
384 x 4 = 1536 
 
Exemplo 2 
 
 
 
A diferença entre os números vai aumentando 1 unidade. 
13 – 10 = 3 
17 – 13 = 4 
22 – 17 = 5 
28 – 22 = 6 
35 – 28 = 7 
 
Exemplo 3 
 
 
 
Multiplicar os números sempre por 3. 
1 x 3 = 3 
3 x 3 = 9 
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. 62 
9 x 3 = 27 
27 x 3 = 81 
81 x 3 = 243 
243 x 3 = 729 
729 x 3 = 2187 
 
Exemplo 4 
 
 
 
A diferença entre os números vai aumentando 2 unidades. 
24 – 22 = 2 
28 – 24 = 4 
34 – 28 = 6 
42 – 34 = 8 
52 – 42 = 10 
64 – 52 = 12 
78 – 64 = 14 
 
Questões 
 
01. Observe atentamente a disposição das cartas em cada linha do esquema seguinte: 
 
 
 
A carta que está oculta é: 
 
(A) (B) (C) 
 
 
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. 63 
(D) (E) 
 
 
02. Considere que a sequência de figuras foi construída segundo um certo critério. 
 
 
 
Se tal critério for mantido, para obter as figuras subsequentes, o total de pontos da figura de número 
15 deverá ser: 
(A) 69 
(B) 67 
(C) 65 
(D) 63 
(E) 61 
 
03. O próximo número dessa sequência lógica é: 1000, 990, 970, 940, 900, 850, ... 
(A) 800 
(B) 790 
(C) 780 
(D) 770 
 
04. Na sequência lógica de números representados nos hexágonos, da figura abaixo, observa-se a 
ausência de um deles que pode ser: 
 
 
 
(A) 76 
(B) 10 
(C) 20 
(D) 78 
 
05. Uma criança brincando com uma caixa de palitos de fósforo constrói uma sequência de quadrados 
conforme indicado abaixo: 
 
............. 
1° 2° 3° 
 
Quantos palitos ele utilizou para construir a 7ª figura? 
(A) 20 palitos 
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. 64 
(B) 25 palitos 
(C) 28 palitos 
(D) 22 palitos 
 
06. Ana fez diversas planificações de um cubo e escreveu em cada um, números de 1 a 6. Ao montar 
o cubo, ela deseja que a soma dos números marcados nas faces opostas seja 7. A única alternativa cuja 
figura representa a planificação desse cubo tal como deseja Ana é: 
 
(A) (B) 
 
 
(C) (D) 
 
 
(E) 
 
07. As figuras da sequência dada são formadas por partes iguais de um círculo. 
 
 
 
Continuando essa sequência, obtém-se exatamente 16 círculos completos na: 
(A) 36ª figura 
(B) 48ª figura 
(C) 72ª figura 
(D) 80ª figura 
(E) 96ª figura 
 
08. Analise a sequência a seguir: 
 
 
 
Admitindo-se que a regra de formação das figuras seguintes permaneça a mesma, pode-se afirmar 
que a figura que ocuparia a 277ª posição dessa sequência é: 
 
(A) (B) (C) 
 
 
(D) (E) 
 
 
09. Observe a sequência: 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ... Qual é o próximo número? 
 
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. 65 
(A) 20 
(B) 21 
(C) 100 
(D) 200 
 
10. Observe a sequência: 3,13, 30, ... Qual é o próximo número? 
(A) 4 
(B) 20 
(C) 31 
(D) 21 
 
11. Os dois pares de palavras abaixo foram formados segundo determinado critério. 
 
LACRAÇÃO  cal 
AMOSTRA  soma 
LAVRAR  ? 
 
Segundo o mesmo critério, a palavra que deverá ocupar o lugar do ponto de interrogação é: 
(A) alar 
(B) rala 
(C) ralar 
(D) larva 
(E) arval 
12. Observe que as figuras abaixo foram dispostas, linha a linha, segundo determinado padrão. 
 
 
 
Segundo o padrão estabelecido, a figura que substitui corretamente o ponto de interrogação é: 
 
(A) (B) (C) (D)(E) 
 
13. Observe que na sucessão seguinte os números foram colocados obedecendo a uma lei de 
formação. 
 
 
 
Os números X e Y, obtidos segundo essa lei, são tais que X + Y é igual a: 
(A) 40 
(B) 42 
(C) 44 
(D) 46 
(E) 48 
 
14. A figura abaixo representa algumas letras dispostas em forma de triângulo, segundo determinado 
critério. 
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. 66 
 
 
Considerando que na ordem alfabética usada são excluídas as letra “K”, “W” e “Y”, a letra que substitui 
corretamente o ponto de interrogação é: 
(A) P 
(B) O 
(C) N 
(D) M 
(E) L 
 
15. Considere que a sequência seguinte é formada pela sucessão natural dos números inteiros e 
positivos, sem que os algarismos sejam separados. 
 
1234567891011121314151617181920... 
 
O algarismo que deve aparecer na 276ª posição dessa sequência é: 
(A) 9 
(B) 8 
(C) 6 
(D) 3 
(E) 1 
 
16. Em cada linha abaixo, as três figuras foram desenhadas de acordo com determinado padrão. 
 
 
 
Segundo esse mesmo padrão, a figura que deve substituir o ponto de interrogação é: 
 
(A) (B) 
 
(C) (D) 
 
(E) 
 
17. Observe que, na sucessão de figuras abaixo, os números que foram colocados nos dois primeiros 
triângulos obedecem a um mesmo critério. 
 
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. 67 
 
 
Para que o mesmo critério seja mantido no triângulo da direita, o número que deverá substituir o ponto 
de interrogação é: 
(A) 32 
(B) 36 
(C) 38 
(D) 42 
(E) 46 
 
18. Considere a seguinte sequência infinita de números: 3, 12, 27, __, 75, 108,... O número que 
preenche adequadamente a quarta posição dessa sequência é: 
(A) 36, 
(B) 40, 
(C) 42, 
(D) 44, 
(E) 48 
 
19. Observando a sequência (1, 
1
2
 , 
1
6
 , 
1
12
 , 
1
20
 , ...) o próximo numero será: 
(A) 
1
24
 
 
(B) 
1
30
 
 
(C) 
1
36
 
 
(D) 
1
40
 
 
20. Considere a sequência abaixo: 
 
BBB BXB XXB 
XBX XBX XBX 
BBB BXB BXX 
 
O padrão que completa a sequência é: 
 
(A) (B) (C) 
XXX XXB XXX 
XXX XBX XXX 
XXX BXX XXB 
 
(D) (E) 
XXX XXX 
XBX XBX 
XXX BXX 
 
21. Na série de Fibonacci, cada termo a partir do terceiro é igual à soma de seus dois termos 
precedentes. Sabendo-se que os dois primeiros termos, por definição, são 0 e 1, o sexto termo da série 
é: 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 4 
(D) 5 
(E) 6 
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. 68 
22. Nosso código secreto usa o alfabeto A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z. Do seguinte 
modo: cada letra é substituída pela letra que ocupa a quarta posição depois dela. Então, o “A” vira “E”, o 
“B” vira “F”, o “C” vira “G” e assim por diante. O código é “circular”, de modo que o “U” vira “A” e assim 
por diante. Recebi uma mensagem em código que dizia: BSA HI EDAP. Decifrei o código e li: 
(A) FAZ AS DUAS; 
(B) DIA DO LOBO; 
(C) RIO ME QUER; 
(D) VIM DA LOJA; 
(E) VOU DE AZUL. 
 
23. A sentença “Social está para laicos assim como 231678 está para...” é melhor completada por: 
(A) 326187; 
(B) 876132; 
(C) 286731; 
(D) 827361; 
(E) 218763. 
 
24. A sentença “Salta está para Atlas assim como 25435 está para...” é melhor completada pelo 
seguinte número: 
(A) 53452; 
(B) 23455; 
(C) 34552; 
(D) 43525; 
(E) 53542. 
 
25. Repare que com um número de 5 algarismos, respeitada a ordem dada, podem-se criar 4 números 
de dois algarismos. Por exemplo: de 34.712, podem-se criar o 34, o 47, o 71 e o 12. Procura-se um 
número de 5 algarismos formado pelos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8, sem repetição. Veja abaixo alguns 
números desse tipo e, ao lado de cada um deles, a quantidade de números de dois algarismos que esse 
número tem em comum com o número procurado. 
 
Número dado Quantidade de números de 2 algarismos em comum 
48.765 1 
86.547 0 
87.465 2 
48.675 1 
 
O número procurado é: 
(A) 87456 
(B) 68745 
(C) 56874 
(D) 58746 
(E) 46875 
 
26. Considere que os símbolos  e  que aparecem no quadro seguinte, substituem as operações 
que devem ser efetuadas em cada linha, a fim de se obter o resultado correspondente, que se encontra 
na coluna da extrema direita. 
36  4  5 = 14 
48  6  9 = 17 
54  9  7 = ? 
 
Para que o resultado da terceira linha seja o correto, o ponto de interrogação deverá ser substituído 
pelo número: 
(A) 16 
(B) 15 
(C) 14 
(D) 13 
(E) 12 
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. 69 
27. Segundo determinado critério, foi construída a sucessão seguinte, em que cada termo é composto 
de um número seguido de uma letra: A1 – E2 – B3 – F4 – C5 – G6 – .... Considerando que no alfabeto 
usado são excluídas as letras K, Y e W, então, de acordo com o critério estabelecido, a letra que deverá 
anteceder o número 12 é: 
(A) J 
(B) L 
(C) M 
(D) N 
(E) O 
 
28. Os nomes de quatro animais – MARÁ, PERU, TATU e URSO – devem ser escritos nas linhas da 
tabela abaixo, de modo que cada uma das suas respectivas letras ocupe um quadrinho e, na diagonal 
sombreada, possa ser lido o nome de um novo animal. 
 
 
 
 
 
Excluídas do alfabeto as letras K, W e Y e fazendo cada letra restante corresponder ordenadamente 
aos números inteiros de 1 a 23 (ou seja, A = 1, B = 2, C = 3,..., Z = 23), a soma dos números que 
correspondem às letras que compõem o nome do animal é: 
(A) 37 
(B) 39 
(C) 45 
(D) 49 
(E) 51 
 
Nas questões 29 e 30, observe que há uma relação entre o primeiro e o segundo grupos de letras. A 
mesma relação deverá existir entre o terceiro grupo e um dos cinco grupos que aparecem nas alternativas, 
ou seja, aquele que substitui corretamente o ponto de interrogação. Considere que a ordem alfabética 
adotada é a oficial e exclui as letras K, W e Y. 
 
29. CASA: LATA: LOBO: ? 
(A) SOCO 
(B) TOCO 
(C) TOMO 
(D) VOLO 
(E) VOTO 
 
30. ABCA: DEFD: HIJH: ? 
(A) IJLI 
(B) JLMJ 
(C) LMNL 
(D) FGHF 
(E) EFGE 
 
31. Os termos da sucessão seguinte foram obtidos considerando uma lei de formação (0, 1, 3, 4, 12, 
13, ...). Segundo essa lei, o décimo terceiro termo dessa sequência é um número: 
(A) Menor que 200. 
(B) Compreendido entre 200 e 400. 
(C) Compreendido entre 500 e 700. 
(D) Compreendido entre 700 e 1.000. 
(E) Maior que 1.000. 
 
Para responder às questões de números 32 e 33, você deve observar que, em cada um dos dois 
primeiros pares de palavras dadas, a palavra da direita foi obtida da palavra da esquerda segundo 
determinado critério. Você deve descobrir esse critério e usá-lo para encontrar a palavra que deve ser 
colocada no lugar do ponto de interrogação. 
 
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. 70 
32. Ardoroso  rodo 
 Dinamizar  mina 
 Maratona  ? 
(A) mana 
(B) toma 
(C) tona 
(D) tora 
(E) rato 
 
33. Arborizado  azar 
Asteróide  dias 
Articular  ? 
(A) luar 
(B) arar 
(C) lira 
(D) luta 
(E) rara 
34. Preste atenção nesta sequência lógica e identifique quais os números que estão faltando: 1, 1, 2, 
__, 5, 8, __,21, 34, 55, __, 144, __... 
 
35. Uma lesma encontra-se no fundo de um poço seco de 10 metros de profundidade e quer sair de 
lá. Durante o dia, ela consegue subir 2 metros pela parede; mas à noite, enquanto dorme, escorrega 1 
metro. Depois de quantos dias ela consegue chegar à saída do poço? 
 
36. Quantas vezes você usa o algarismo 9 para numerar as páginas de um livro de 100 páginas? 
 
37. Quantosquadrados existem na figura abaixo? 
 
 
 
 
 
 
38. Retire três palitos e obtenha apenas três quadrados. 
 
 
 
39. Qual será o próximo símbolo da sequência abaixo? 
 
 
 
40. Reposicione dois palitos e obtenha uma figura com cinco quadrados iguais. 
 
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. 71 
 
 
41. Observe as multiplicações a seguir: 
12.345.679 × 18 = 222.222.222 
12.345.679 × 27 = 333.333.333 
... ... 
12.345.679 × 54 = 666.666.666 
 
Para obter 999.999.999 devemos multiplicar 12.345.679 por quanto? 
 
42. Esta casinha está de frente para a estrada de terra. Mova dois palitos e faça com que fique de 
frente para a estrada asfaltada. 
 
 
 
43. Remova dois palitos e deixe a figura com dois quadrados. 
 
 
 
 
44. As cartas de um baralho foram agrupadas em pares, segundo uma relação lógica. Qual é a carta 
que está faltando, sabendo que K vale 13, Q vale 12, J vale 11 e A vale 1? 
 
 
 
45. Mova um palito e obtenha um quadrado perfeito. 
 
 
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. 72 
46. Qual o valor da pedra que deve ser colocada em cima de todas estas para completar a sequência 
abaixo? 
 
 
 
47. Mova três palitos nesta figura para obter cinco triângulos. 
 
 
 
48. Tente dispor 6 moedas em 3 fileiras de modo que em cada fileira fiquem apenas 3 moedas. 
 
 
 
49. Reposicione três palitos e obtenha cinco quadrados. 
 
 
 
50. Mude a posição de quatro palitos e obtenha cinco triângulos. 
 
 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
A diferença entre os números estampados nas cartas 1 e 2, em cada linha, tem como resultado o valor 
da 3ª carta e, além disso, o naipe não se repete. Assim, a 3ª carta, dentro das opções dadas só pode ser 
a da opção (A). 
 
02. Resposta: D. 
Observe que, tomando o eixo vertical como eixo de simetria, tem-se: 
Na figura 1: 01 ponto de cada lado  02 pontos no total. 
Na figura 2: 02 pontos de cada lado  04 pontos no total. 
Na figura 3: 03 pontos de cada lado  06 pontos no total. 
Na figura 4: 04 pontos de cada lado  08 pontos no total. 
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. 73 
Na figura n: n pontos de cada lado  2.n pontos no total. 
Em particular: 
Na figura 15: 15 pontos de cada lado  30 pontos no total. 
Agora, tomando o eixo horizontal como eixo de simetria, tem-se: 
Na figura 1: 02 pontos acima e abaixo  04 pontos no total. 
Na figura 2: 03 pontos acima e abaixo  06 pontos no total. 
Na figura 3: 04 pontos acima e abaixo  08 pontos no total. 
Na figura 4: 05 pontos acima e abaixo  10 pontos no total. 
Na figura n: (n+1) pontos acima e abaixo  2.(n+1) pontos no total. 
Em particular: 
Na figura 15: 16 pontos acima e abaixo  32 pontos no total. Incluindo o ponto central, que ainda não 
foi considerado, temos para total de pontos da figura 15: Total de pontos = 30 + 32 + 1 = 63 pontos. 
 
03. Resposta: B. 
Nessa sequência, observamos que a diferença: entre 1000 e 990 é 10, entre 990 e 970 é 20, entre o 
970 e 940 é 30, entre 940 e 900 é 40, entre 900 e 850 é 50, portanto entre 850 e o próximo número é 60, 
dessa forma concluímos que o próximo número é 790, pois: 850 – 790 = 60. 
 
04. Resposta: D. 
Nessa sequência lógica, observamos que a diferença: entre 24 e 22 é 2, entre 28 e 24 é 4, entre 34 e 
28 é 6, entre 42 e 34 é 8, entre 52 e 42 é 10, entre 64 e 52 é 12, portanto entre o próximo número e 64 é 
14, dessa forma concluímos que o próximo número é 78, pois: 76 – 64 = 14. 
 
05. Resposta: D. 
Observe a tabela: 
Figuras 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 
N° de 
Palitos 
4 7 10 13 16 19 22 
 
Temos de forma direta, pela contagem, a quantidade de palitos das três primeiras figuras. Feito isto, 
basta perceber que cada figura a partir da segunda tem a quantidade de palitos da figura anterior 
acrescida de 3 palitos. Desta forma, fica fácil preencher o restante da tabela e determinar a quantidade 
de palitos da 7ª figura. 
 
06. Resposta: A. 
Na figura apresentada na letra “B”, não é possível obter a planificação de um lado, pois o 4 estaria do 
lado oposto ao 6, somando 10 unidades. Na figura apresentada na letra “C”, da mesma forma, o 5 estaria 
em face oposta ao 3, somando 8, não formando um lado. Na figura da letra “D”, o 2 estaria em face oposta 
ao 4, não determinando um lado. Já na figura apresentada na letra “E”, o 1 não estaria em face oposta 
ao número 6, impossibilitando, portanto, a obtenção de um lado. Logo, podemos concluir que a 
planificação apresentada na letra “A” é a única para representar um lado. 
 
07. Resposta: B. 
Como na 3ª figura completou-se um círculo, para completar 16 círculos é suficiente multiplicar 3 por 
16: 3. 16 = 48. Portanto, na 48ª figura existirão 16 círculos. 
 
08. Resposta: B. 
A sequência das figuras completa-se na 5ª figura. Assim, continua-se a sequência de 5 em 5 
elementos. A figura de número 277 ocupa, então, a mesma posição das figuras que representam número 
5n + 2, com n ∈ N. Ou seja, a 277ª figura corresponde à 2ª figura, que é representada pela letra “B”. 
 
09. Resposta: D. 
A regularidade que obedece a sequência acima não se dá por padrões numéricos e sim pela letra que 
inicia cada número. “Dois, Dez, Doze, Dezesseis, Dezessete, Dezoito, Dezenove, ... Enfim, o próximo só 
pode iniciar também com “D”: Duzentos. 
 
10. Resposta: C. 
Esta sequência é regida pela inicial de cada número. Três, Treze, Trinta,... O próximo só pode ser o 
número Trinta e um, pois ele inicia com a letra “T”. 
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. 74 
11. Resposta: E. 
Na 1ª linha, a palavra CAL foi retirada das 3 primeiras letras da palavra LACRAÇÃO, mas na ordem 
invertida. Da mesma forma, na 2ª linha, a palavra SOMA é retirada da palavra AMOSTRA, pelas 4 primeira 
letras invertidas. Com isso, da palavra LAVRAR, ao se retirarem as 5 primeiras letras, na ordem invertida, 
obtém-se ARVAL. 
 
12. Resposta: C. 
Em cada linha apresentada, as cabeças são formadas por quadrado, triângulo e círculo. Na 3ª linha já 
há cabeças com círculo e com triângulo. Portanto, a cabeça da figura que está faltando é um quadrado. 
As mãos das figuras estão levantadas, em linha reta ou abaixadas. Assim, a figura que falta deve ter as 
mãos levantadas (é o que ocorre em todas as alternativas). As figuras apresentam as 2 pernas ou 
abaixadas, ou 1 perna levantada para a esquerda ou 1 levantada para a direita. Nesse caso, a figura que 
está faltando na 3ª linha deve ter 1 perna levantada para a esquerda. Logo, a figura tem a cabeça 
quadrada, as mãos levantadas e a perna erguida para a esquerda. 
 
13. Resposta: A. 
Existem duas leis distintas para a formação: uma para a parte superior e outra para a parte inferior. Na 
parte superior, tem-se que: do 1º termo para o 2º termo, ocorreu uma multiplicação por 2; já do 2º termo 
para o 3º, houve uma subtração de 3 unidades. Com isso, X é igual a 5 multiplicado por 2, ou seja, X = 
10. Na parte inferior, tem-se: do 1º termo para o 2º termo ocorreu uma multiplicação por 3; já do 2º termo 
para o 3º, houve uma subtração de 2 unidades. Assim, Y é igual a 10 multiplicado por 3, isto é, Y = 30. 
Logo, X + Y = 10 + 30 = 40. 
 
14. Resposta: A. 
A sequência do alfabeto inicia-se na extremidade direita do triângulo, pela letra “A”; aumenta a direita 
para a esquerda; continua pela 3ª e 5ª linhas; e volta para as linhas pares na ordem inversa – pela 4ª 
linha até a 2ª linha. Na 2ª linha, então, as letras são, da direita para a esquerda, “M”, “N”, “O”, e a letra 
que substitui corretamente o ponto de interrogação é a letra “P”. 
 
15. Resposta: B. 
A sequência de números apresentada representa a lista dos números naturais. Masessa lista contém 
todos os algarismos dos números, sem ocorrer a separação. Por exemplo: 101112 representam os 
números 10, 11 e 12. Com isso, do número 1 até o número 9 existem 9 algarismos. Do número 10 até o 
número 99 existem: 2 x 90 = 180 algarismos. Do número 100 até o número 124 existem: 3 x 25 = 75 
algarismos. E do número 124 até o número 128 existem mais 12 algarismos. Somando todos os valores, 
tem-se: 9 + 180 + 75 + 12 = 276 algarismos. Logo, conclui-se que o algarismo que ocupa a 276ª posição 
é o número 8, que aparece no número 128. 
 
16. Resposta: D. 
Na 1ª linha, internamente, a 1ª figura possui 2 “orelhas”, a 2ª figura possui 1 “orelha” no lado esquerdo 
e a 3ª figura possui 1 “orelha” no lado direito. Esse fato acontece, também, na 2ª linha, mas na parte de 
cima e na parte de baixo, internamente em relação às figuras. Assim, na 3ª linha ocorrerá essa regra, 
mas em ordem inversa: é a 3ª figura da 3ª linha que terá 2 “orelhas” internas, uma em cima e outra em 
baixo. Como as 2 primeiras figuras da 3ª linha não possuem “orelhas” externas, a 3ª figura também não 
terá orelhas externas. Portanto, a figura que deve substituir o ponto de interrogação é a 4ª. 
 
17. Resposta: B. 
No 1º triângulo, o número que está no interior do triângulo dividido pelo número que está abaixo é igual 
à diferença entre o número que está à direita e o número que está à esquerda do triângulo: 40 : 5 = 21 - 
13 = 8. 
A mesma regra acontece no 2º triângulo: 42 ÷ 7 = 23 - 17 = 6. 
Assim, a mesma regra deve existir no 3º triângulo: 
? ÷ 3 = 19 – 7 
? ÷ 3 = 12 
? = 12 x 3 = 36. 
 
 
 
 
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. 75 
18. Resposta: E. 
Verifique os intervalos entre os números que foram fornecidos. Dado os números 3, 12, 27, __, 75, 
108, obteve-se os seguintes 9, 15, __, __, 33 intervalos. Observe que 3x3, 3x5, 3x7, 3x9, 3x11. Logo 3x7 
= 21 e 3x 9 = 27. Então: 21 + 27 = 48. 
 
19. Resposta: B. 
Observe que o numerador é fixo, mas o denominador é formado pela sequência: 
 
Primeiro Segundo Terceiro Quarto Quinto Sexto 
1 1 x 2 = 2 2 x 3 = 6 3 x 4 = 12 4 x 5 = 20 5 x 6 = 30 
 
20. Resposta: D. 
O que de início devemos observar nesta questão é a quantidade de B e de X em cada figura. Vejamos: 
 
BBB BXB XXB 
XBX XBX XBX 
BBB BXB BXX 
7B e 2X 5B e 4X 3B e 6X 
 
Vê-se, que os “B” estão diminuindo de 2 em 2 e que os “X” estão aumentando de 2 em 2; notem 
também que os “B” estão sendo retirados um na parte de cima e um na parte de baixo e os “X” da mesma 
forma, só que não estão sendo retirados, estão, sim, sendo colocados. Logo a 4ª figura é: 
 
XXX 
XBX 
XXX 
1B e 8X 
 
21. Resposta: D. 
Montando a série de Fibonacci temos: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... A resposta da questão é a 
alternativa “D”, pois como a questão nos diz, cada termo a partir do terceiro é igual à soma de seus dois 
termos precedentes. 2 + 3 = 5 
 
22. Resposta: E. 
A questão nos informa que ao se escrever alguma mensagem, cada letra será substituída pela letra 
que ocupa a quarta posição, além disso, nos informa que o código é “circular”, de modo que a letra “U” 
vira “A”. Para decifrarmos, temos que perceber a posição do emissor e do receptor. O emissor ao escrever 
a mensagem conta quatro letras à frente para representar a letra que realmente deseja, enquanto que o 
receptor, deve fazer o contrário, contar quatro letras atrás para decifrar cada letra do código. No caso, 
nos foi dada a frase para ser decifrada, vê-se, pois, que, na questão, ocupamos a posição de receptores. 
Vejamos a mensagem: BSA HI EDAP. Cada letra da mensagem representa a quarta letra anterior de 
modo que: 
VxzaB: B na verdade é V; 
OpqrS: S na verdade é O; 
UvxzA: A na verdade é U; 
DefgH: H na verdade é D; 
EfghI: I na verdade é E; 
AbcdE: E na verdade é A; 
ZabcD: D na verdade é Z; 
UvxaA: A na verdade é U; 
LmnoP: P na verdade é L; 
 
23. Resposta: B. 
A questão nos traz duas palavras que têm relação uma com a outra e, em seguida, nos traz uma 
sequência numérica. É perguntado qual sequência numérica tem a mesma ralação com a sequência 
numérica fornecida, de maneira que, a relação entre as palavras e a sequência numérica é a mesma. 
Observando as duas palavras dadas, podemos perceber facilmente que têm cada uma 6 letras e que as 
letras de uma se repete na outra em uma ordem diferente. Tal ordem, nada mais é, do que a primeira 
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. 76 
palavra de trás para frente, de maneira que SOCIAL vira LAICOS. Fazendo o mesmo com a sequência 
numérica fornecida, temos: 231678 viram 876132, sendo esta a resposta. 
 
24. Resposta: A. 
A questão nos traz duas palavras que têm relação uma com a outra, e em seguida, nos traz uma 
sequência numérica. Foi perguntado qual a sequência numérica que tem relação com a já dada de 
maneira que a relação entre as palavras e a sequência numérica é a mesma. Observando as duas 
palavras dadas podemos perceber facilmente que tem cada uma 6 letras e que as letras de uma se repete 
na outra em uma ordem diferente. Essa ordem diferente nada mais é, do que a primeira palavra de trás 
para frente, de maneira que SALTA vira ATLAS. Fazendo o mesmo com a sequência numérica fornecida 
temos: 25435 vira 53452, sendo esta a resposta. 
 
25. Resposta: E. 
Pelo número 86.547, tem-se que 86, 65, 54 e 47 não acontecem no número procurado. Do número 
48.675, as opções 48, 86 e 67 não estão em nenhum dos números apresentados nas alternativas. 
Portanto, nesse número a coincidência se dá no número 75. Como o único número apresentado nas 
alternativas que possui a sequência 75 é 46.875, tem-se, então, o número procurado. 
 
26. Resposta: D. 
O primeiro símbolo representa a divisão e o 2º símbolo representa a soma. Portanto, na 1ª linha, tem-
se: 36  4 + 5 = 9 + 5 = 14. Na 2ª linha, tem-se: 48  6 + 9 = 8 + 9 = 17. Com isso, na 3ª linha, ter-se-á: 
54  9 + 7 = 6 + 7 = 13. Logo, podemos concluir então que o ponto de interrogação deverá ser substituído 
pelo número 13. 
 
27. Resposta: A. 
As letras que acompanham os números ímpares formam a sequência normal do alfabeto. Já a 
sequência que acompanha os números pares inicia-se pela letra “E”, e continua de acordo com a 
sequência normal do alfabeto: 2ª letra: E, 4ª letra: F, 6ª letra: G, 8ª letra: H, 10ª letra: I e 12ª letra: J. 
 
28. Resposta: D. 
Escrevendo os nomes dos animais apresentados na lista – MARÁ, PERU, TATU e URSO, na seguinte 
ordem: PERU, MARÁ, TATU e URSO, obtém-se na tabela: 
 
P E R U 
M A R A 
T A T U 
U R S O 
 
O nome do animal é PATO. Considerando a ordem do alfabeto, tem-se: P = 15, A = 1, T = 19 e 0 = 14. 
Somando esses valores, obtém-se: 15 + 1 + 19 + 14 = 49. 
 
29. Resposta: B. 
Na 1ª e na 2ª sequências, as vogais são as mesmas: letra “A”. Portanto, as vogais da 4ª sequência de 
letras deverão ser as mesmas da 3ª sequência de letras: “O”. A 3ª letra da 2ª sequência é a próxima letra 
do alfabeto depois da 3ª letra da 1ª sequência de letras. Portanto, na 4ª sequência de letras, a 3ª letra é 
a próxima letra depois de “B”, ou seja, a letra “C”. Em relação à primeira letra, tem-se uma diferença de 7 
letras entre a 1ª letra da 1ª sequência e a 1ª letra da 2ª sequência. Portanto, entre a 1ª letra da 3ª 
sequência e a 1ª letra da 4ª sequência, deve ocorrer o mesmo fato. Com isso, a 1ª letra da 4ª sequência 
é a letra “T”. Logo, a 4ª sequência de letras é: T, O, C, O, ou seja, TOCO. 
 
30. Resposta: C. 
Na 1ª sequência de letras, ocorrem as 3 primeiras letras do alfabeto e, em seguida, volta-se para a 1ª 
letra da sequência. Na 2ª sequência, continua-seda 3ª letra da sequência anterior, formando-se DEF, 
voltando-se novamente, para a 1ª letra desta sequência: D. Com isto, na 3ª sequência, têm-se as letras 
HIJ, voltando-se para a 1ª letra desta sequência: H. Com isto, a 4ª sequência iniciará pela letra L, 
continuando por M e N, voltando para a letra L. Logo, a 4ª sequência da letra é: LMNL. 
 
 
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. 77 
31. Resposta: E. 
Do 1º termo para o 2º termo, ocorreu um acréscimo de 1 unidade. Do 2º termo para o 3º termo, ocorreu 
a multiplicação do termo anterior por 3. E assim por diante, até que para o 7º termo temos 13 . 3 = 39. 8º 
termo = 39 + 1 = 40. 9º termo = 40 . 3 = 120. 10º termo = 120 + 1 = 121. 11º termo = 121 . 3 = 363. 12º 
termo = 363 + 1 = 364. 13º termo = 364 . 3 = 1.092. Portanto, podemos concluir que o 13º termo da 
sequência é um número maior que 1.000. 
 
32. Resposta: D. 
Da palavra “ardoroso”, retiram-se as sílabas “do” e “ro” e inverteu-se a ordem, definindo-se a palavra 
“rodo”. Da mesma forma, da palavra “dinamizar”, retiram-se as sílabas “na” e “mi”, definindo-se a palavra 
“mina”. Com isso, podemos concluir que da palavra “maratona”. Deve-se retirar as sílabas “ra” e “to”, 
criando-se a palavra “tora”. 
 
33. Resposta: A. 
Na primeira sequência, a palavra “azar” é obtida pelas letras “a” e “z” em sequência, mas em ordem 
invertida. Já as letras “a” e “r” são as 2 primeiras letras da palavra “arborizado”. A palavra “dias” foi obtida 
da mesma forma: As letras “d” e “i” são obtidas em sequência, mas em ordem invertida. As letras “a” e 
“s” são as 2 primeiras letras da palavra “asteroides”. Com isso, para a palavras “articular”, considerando 
as letras “i” e “u”, que estão na ordem invertida, e as 2 primeiras letras, obtém-se a palavra “luar”. 
 
34. O nome da sequência é Sequência de Fibonacci. O número que vem é sempre a soma dos dois 
números imediatamente atrás dele. A sequência correta é: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... 
 
35. 
Dia Subida Descida 
1º 2m 1m 
2º 3m 2m 
3º 4m 3m 
4º 5m 4m 
5º 6m 5m 
6º 7m 6m 
7º 8m 7m 
8º 9m 8m 
9º 10m ---- 
 
Portanto, depois de 9 dias ela chegará na saída do poço. 
 
36. 09 – 19 – 29 – 39 – 49 – 59 – 69 – 79 – 89 – 90 – 91 – 92 – 93 – 94 – 95 – 96 – 97 – 98 – 99. 
Portanto, são necessários 20 algarismos. 
 
37. 
 
 
 = 16 
 
 
= 09 
 
 
 
= 04 
 
 
 
 
=01 
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. 78 
Portanto, há 16 + 9 + 4 + 1 = 30 quadrados. 
 
38. 
 
 
39. Os símbolos são como números em frente ao espelho. Assim, o próximo símbolo será 88. 
 
 
 
40. 
 
 
41. 
12.345.679 × (2×9) = 222.222.222 
12.345.679 × (3×9) = 333.333.333 
... ... 
12.345.679 × (4×9) = 666.666.666 
Portanto, para obter 999.999.999 devemos multiplicar 12.345.679 por (9x9) = 81 
 
42. 
 
 
 
43. 
 
 
44. Sendo A = 1, J = 11, Q = 12 e K = 13, a soma de cada par de cartas é igual a 14 e o naipe de paus 
sempre forma par com o naipe de espadas. Portanto, a carta que está faltando é o 6 de espadas. 
 
 
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. 79 
45. 
 
 
 
46. Observe que: 
 
3 6 18 72 360 2160 15120 
 x2 x3 x4 x5 x6 x7 
 
Portanto, a próxima pedra terá que ter o valor: 15.120 x 8 = 120.960 
 
47. 
 
 
 
48. 
 
 
 
49. 
 
 
50. 
 
 
 
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. 80 
 
 
PONTO – RETA E PLANO 
 
Ao estudo das figuras em um só plano chamamos de Geometria Plana. 
A Geometria estuda, basicamente, os três princípios fundamentais (ou também chamados de “entes 
primitivos”) que são: Ponto, Reta e Plano. Estes três princípios não tem definição e nem dimensão 
(tamanho). 
 
Para representar um ponto usamos. e para dar nome usamos letras maiúsculas do nosso alfabeto. 
Exemplo: . A (ponto A). 
 
Para representar uma reta usamos ↔ e para dar nome usamos letras minúsculas do nosso alfabeto 
ou dois pontos por onde esta reta passa. 
Exemplo: t ( reta t ou reta 𝐴𝐵 ⃡ ). 
 
 
Para representar um plano usamos uma figura chamada paralelogramo e para dar nome usamos letras 
minúsculas do alfabeto grego (α, β, π, θ,....). 
Exemplo: 
 
 
Semi plano: toda reta de um plano que o divide em outras duas porções as quais denominamos de 
semi plano. Observe a figura: 
 
 
 
Partes de uma reta 
Estudamos, particularmente, duas partes de uma reta: 
 
- Semirreta: é uma parte da reta que tem origem em um ponto e é infinita. 
Exemplo: (semirreta 𝐴𝐵 ), tem origem em A e passa por B. 
 
 
- Segmento de reta: é uma parte finita (tem começo e fim) da reta. 
Exemplo: (segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ). 
 
 
Observação: 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴 e 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐴̅̅ ̅̅ . 
 
Geometria básica. 
 
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. 81 
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS 
 
- Retas concorrentes: duas retas são concorrentes quando se interceptam em um ponto. Observe 
que a figura abaixo as retas c e d se interceptam no ponto B. 
 
 
 
- Retas paralelas: são retas que por mais que se prolonguem nunca se encontram, mantêm a mesma 
distância e nunca se cruzam. O ângulo de inclinação de duas ou mais retas paralelas em relação a outra 
é sempre igual. Indicamos retas paralelas a e b por a // b. 
 
 
 
- Retas coincidentes: duas retas são coincidentes se pertencem ao mesmo plano e possuem todos 
os pontos em comum. 
 
 
 
- Retas perpendiculares: são retas concorrentes que se cruzam num ponto formando entre si ângulos 
de 90º ou seja ângulos retos. 
 
 
 
 
PARALELISMO 
 
Ângulos formados por duas retas paralelas com uma transversal 
 
Lembre-se: Retas paralelas são retas que estão no mesmo plano e não possuem ponto em comum. 
Vamos observar a figura abaixo: 
 
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. 82 
 
 
Ângulos colaterais internos: (colaterais = mesmo lado) 
 
 
 
A soma dos ângulos 4 e 5 é igual a 180°. 
 
A soma dos ângulos 3 e 6 é igual a 180° 
 
Ângulos colaterais externos: 
 
 
A soma dos ângulos 2 e 7 é igual a 180° 
 
 
 
A soma dos ângulos 1 e 8 é igual a 180° 
 
Ângulos alternos internos: (alternos = lados diferentes) 
 
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. 83 
 
Os ângulos 4 e 6 são congruentes (iguais) 
 
 
Os ângulos 3 e 5 são congruentes (iguais) 
 
 
Ângulos alternos externos: 
 
 
Os ângulos 1 e 7 são congruentes (iguais) 
 
 
Os ângulos 2 e 8 são congruentes (iguais) 
 
Ângulos correspondentes: são ângulos que ocupam uma mesma posição na reta transversal, um na 
região interna e o outro na região externa. 
 
 
Os ângulos 1 e 5 são congruentes (iguais) 
 
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. 84 
 
os ângulos 2 e 6 são congruentes (iguais) 
 
 
os ângulos 3 e 7 são congruentes (iguais) 
 
 
os ângulos 4 e 8 são congruentes (iguais) 
 
Questões 
 
01. Na figura abaixo, o valor de x é: 
 
(A) 10° 
(B) 20° 
(C) 30° 
(D) 40° 
(E) 50° 
 
02. O valor de x na figura seguinte, em graus, é: 
 
(A) 32° 
(B) 32° 30’ 
(C) 33° 
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. 85 
(D) 33° 30’ 
(E) 34° 
 
03. Na figura abaixo, sabendo que o ângulo  é reto, o valor de 𝛼 é: 
 
(A) 20° 
(B) 30° 
(C) 40° 
(D) 50° 
(E) 60° 
 
04. Qual é o valor de x na figura abaixo? 
 
 
(A) 100° 
(B) 60°(C) 90° 
(D) 120° 
(E) 110° 
 
05. Na figura seguinte, o valor de x é: 
 
(A) 20° 
(B) 22° 
(C) 24° 
(D) 26° 
(E) 28° 
 
Respostas 
 
01. Resposta: E. 
Na figura, os ângulos assinalados são correspondentes, portanto são iguais. 
 
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. 86 
 
 
x + 2x + 30° = 180° 
3x = 180°- 30° 
3x = 150° 
x = 150° : 3 
x = 50° 
 
02. Resposta: B. 
Na figura dada os ângulos 47° e 2x – 18° são correspondentes e, portanto tem a mesma medida, 
então: 
 
2x – 18° = 47° 
2x = 47° + 18° 
2x = 65° 
x = 65°: 2 
x = 32° 30’ 
 
 
 
 
03. Resposta: C. 
Precisamos traçar uma terceira reta pelo vértice A paralela às outras duas. 
 
 
 
Os ângulos são dois a dois iguais, portanto 𝛼 = 40° 
 
04. Resposta: A. 
Aqui também precisamos traçar um terceira reta pelo vértice. 
 
x = 80° + 20° 
x = 100° 
Obs.: neste tipo de figura, o ângulo do meio sempre será a soma dos outros dois. 
 
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. 87 
05. Resposta: D. 
Os ângulos assinalados na figura, x + 20° e 4x + 30°, são colaterais internos, portanto a soma dos dois 
é igual a 180°. 
 
 
 
x + 20° + 4x + 30° = 180° 
5x + 50° = 180° 
5x = 180° - 30° 
5x = 130° 
x = 130° : 5 
x = 26° 
 
 
 TEOREMA DE TALES 
 
- Feixe de paralelas: é todo conjunto de três ou mais retas e paralelas entre si. 
 
- Transversal: é qualquer reta que intercepta todas as retas de um feixe de paralelas. 
 
- Teorema de Tales: Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas então a razão entre 
as medidas de dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre as medidas dos segmentos 
correspondentes da outra. 
 
 
 
r//s//t//u (//  símbolo de paralelas); a e b são retas transversais. Então, temos que os segmentos 
correspondentes são proporcionais. 
 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐸𝐹̅̅ ̅̅
=
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝐹𝐺̅̅ ̅̅
=
𝐶𝐷̅̅ ̅̅
𝐺𝐻̅̅ ̅̅
=
𝐴𝐷̅̅ ̅̅
𝐸𝐻̅̅ ̅̅
= ⋯. 
 
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. 88 
Teorema da bissetriz interna: 
“Em todo triângulo a bissetriz de um ângulo interno divide o lado oposto em dois segmentos 
proporcionais ao outros dois lados do triângulo”. 
 
 
Questões 
 
 01. Na figura abaixo, o valor de x é: 
 
 (A) 1,2 
(B) 1,4 
(C) 1,6 
(D) 1,8 
(E) 2,0 
 
 02. Na figura abaixo, qual é o valor de x? 
 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
 
03. Calcular o valor de x na figura abaixo. 
 
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. 89 
 
 
04. Os valores de x e y, respectivamente, na figura seguinte é: 
 
 
 (A) 30 e 8 
(B) 8 e 30 
(C) 20 e 10 
(D) 10 e 20 
(E) 5 e 25 
 
05. Na figura abaixo, qual é o valor de x? 
 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
 
 06. (PUC-RJ) Considere um triângulo ABC retângulo em A, onde AB̅̅ ̅̅ = 21 e AC̅̅̅̅ = 20. BD̅̅ ̅̅ é a bissetriz 
do ângulo AB̂C. Quanto mede AD̅̅ ̅̅ ? 
(A) 42/5 
(B) 21/10 
(C) 20/21 
(D) 9 
(E) 8 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
2
5
=
𝑥
4
 
5x = 2.4 → 5x = 8 → x = 8 : 5 = 1,6 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 90 
02. Resposta: B. 
2𝑥 − 3
𝑥 + 2
=
5
6
 
6.(2x – 3) = 5(x + 2) 
12x – 18 = 5x + 10 
12x – 5x = 10 + 18 
7x = 28 → x = 28 : 7 = 4 
03. Resposta: 06. 
10
30
=
𝑥
18
 
 
30x = 10.18 
30x = 180 
x = 180 : 30 = 6 
 
04. Resposta: A. 
𝑥
45
=
20
30
 
3x = 45.2 
3x = 90 
x = 90 : 3 = 30 
𝑦
30
=
12
45
 
45y = 12.30 
45y = 360 
y = 360 : 45 = 8 
 
05. Resposta: D. 
𝑥−3
𝑥−2
=
𝑥
𝑥+2
 
(x – 3). (x + 2) = x.(x – 2) 
x2 + 2x – 3x – 6 = x2 – 2x 
-x – 6 = - 2x 
-x + 2x = 6 → x = 6 
 
06. Resposta: A. 
Do enunciado temos um triângulo retângulo em A, o vértice A é do ângulo reto. B e C pode ser em 
qualquer posição. E primeiro temos que determinar a hipotenusa. 
 
 
Teorema de Pitágoras: 
y2 = 212 + 202 
y2 = 441 + 400 
y2 = 841 
𝑦 = √841 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 91 
y = 29 
Pelo teorema da bissetriz interna: 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐴𝐷̅̅ ̅̅
=
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝐶𝐷̅̅ ̅̅
 
 
21
𝑥
=
29
20 − 𝑥
 
 
29. 𝑥 = 21(20 − 𝑥) 
29𝑥 = 420 − 21𝑥 
29𝑥 + 21𝑥 = 420 
50𝑥 = 420 
𝑥 =
420
50
=
42
5
 
 
 
ÂNGULOS 
 
Ângulo: É uma região limitada por duas semirretas de mesma origem. 
 
Elementos de um ângulo: 
- LADOS: são as duas semirretas 𝑂𝐴 e 𝑂𝐵 . 
-VÉRTICE: é o ponto de intersecção das duas semirretas, no exemplo o ponto O. 
 
 
 
Ângulo Agudo: É o ângulo, cuja medida é menor do que 90º. 
 
 
 
Ângulo Central: 
 
- Da circunferência: é o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência; 
- Do polígono: é o ângulo, cujo vértice é o centro do polígono regular e cujos lados passam por 
vértices consecutivos do polígono. 
 
 
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. 92 
Ângulo Circunscrito: É o ângulo, cujo vértice não pertence à circunferência e os lados são 
tangentes a ela. 
 
Ângulo Inscrito: É o ângulo cujo vértice pertence a uma circunferência. 
 
 
 
Ângulo Obtuso: É o ângulo cuja medida é maior do que 90º. 
 
 
 
Ângulo Raso: 
 - É o ângulo cuja medida é 180º; 
- É aquele, cujos lados são semirretas opostas. 
 
 
 
Ângulo Reto: 
- É o ângulo cuja medida é 90º; 
- É aquele cujos lados se apoiam em retas perpendiculares. 
 
 
 
Ângulos Complementares: Dois ângulos são complementares se a soma das suas medidas é 90
0
. 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 93 
 
 
Ângulos Replementares: Dois ângulos são ditos replementares se a soma das suas medidas é 360
0
. 
 
 
 
 
Ângulos Suplementares: Dois ângulos são ditos suplementares se a soma das suas medidas de dois 
ângulos é 180º. 
 
 
Então, se x e y são dois ângulos, temos: 
- se x + y = 90°  x e y são Complementares. 
- se x + y = 180°  x e y são Suplementares. 
- se x + y = 360°  x e y são Replementares. 
 
Ângulos Congruentes: São ângulos que possuem a mesma medida. 
 
 
 
Ângulos Opostos pelo Vértice: Dois ângulos são opostos pelo vértice se os lados de um são as 
respectivas semirretas opostas aos lados do outro. 
 
 
 
Ângulos consecutivos: são ângulos que tem um lado em comum. 
 
Ângulos adjacentes: são ângulos consecutivos que não tem ponto interno em comum. 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 94 
 
 
- Os ângulos AÔB e BÔC, AÔB e AÔC, BÔC e AÔC são pares de ângulos consecutivos. 
- Os ângulos AÔB e BÔC são ângulos adjacentes. 
 
Unidades de medida de ângulos: 
Grado: (gr.): dividindo a circunferência em 400 partes iguais, a cada arco unitário que corresponde a 
1/400 da circunferência denominamos de grado. 
 
Grau: (º): dividindo a circunferência em 360 partes iguais, cada arco unitário que corresponde a 1/360 
da circunferência denominamos de grau. 
- o grau tem dois submúltiplos: minuto e segundo. E temos que 1° = 60’ (1 grau equivale a 60 minutos) 
e 1’ = 60” (1 minuto equivale a 60 segundos). 
 
Questões 
 
01. As retas f e g são paralelas (f // g). Determine a medida do ângulo â, nos seguintes casos: 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
02. As retas a e b são paralelas. Quanto mede o ângulo î? 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES. 95 
 
 
03. Obtenha as medidas dos ângulos assinalados: 
 
 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
04. Quantos segundos tem um ângulo que mede 6° 15’? 
 
05. A medida de um ângulo é igual à metade da medida do seu suplemento. Qual é a medida desse 
ângulo? 
 
06. O complemento de um ângulo é igual a um quarto do seu suplemento. Qual é o complemento 
desse ângulo? 
 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 96 
07. Dois ângulos que medem x e x + 20° são adjacentes e complementares. Qual a medida desses 
dois ângulos? 
 
08. Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. Calcule y. 
 
09. Observe a figura abaixo e determine o valor de m e n. 
 
 
 
 
10. Determine o valor de a na figura seguinte: 
 
 
 
Respostas 
 
01. Respostas: 
a) 55˚ 
b) 74˚ 
c) 33˚ 
 
02. Resposta: 130. 
Imagine uma linha cortando o ângulo î, formando uma linha paralela às retas "a" e "b". 
Fica então decomposto nos ângulos ê e ô. 
 
 
 
Sendo assim, ê = 80° e ô = 50°, pois o ângulo ô é igual ao complemento de 130° na reta b. 
Logo, î = 80° + 50° = 130°. 
 
03. Respostas: 
a) 160° - 3x = x + 100° 
160° - 100° = x + 3x 
60° = 4x 
x = 60°/4 → x = 15° 
Então 15°+100° = 115° e 160°-3*15° = 115° 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 97 
b) 6x + 15° + 2x + 5º = 180° 
6x + 2x = 180° -15° - 5° 
8x = 160° 
x = 160°/8 
x = 20° 
Então, 6*20°+15° = 135° e 2*20°+5° = 45° 
 
c) Sabemos que a figura tem 90°. 
Então x + (x + 10°) + (x + 20°) + (x + 20°) = 90° 
4x + 50° = 90° 
4x = 40° 
x = 40°/4 
x = 10° 
 
d) Sabemos que os ângulos laranja + verde formam 180°, pois são exatamente a metade de um círculo. 
Então, 138° + x = 180° 
x = 180° - 138° 
x = 42° 
Logo, o ângulo x mede 42°. 
 
04. Resposta: 22.500 
Sabemos que 1° = 60’ e 1’ = 60”, temos: 
6°.60 = 360’ (multiplicamos os graus por 60 para converter em minutos). 
360’ + 15’ = 375’ (somamos os minutos) 
375’.60 = 22.500” (multiplicamos os minutos por 60 para converter em segundos). 
Portanto 6° 15’ equivale a 22.500”. 
 
05. Resposta: 60˚. 
- sendo x o ângulo, o seu suplemento é 180° - x, então pelo enunciado temos a seguinte equação: 
x =
180°−x
2
 (multiplicando em “cruz”) 
 
2x = 180° - x 
2x + x = 180° 
3x = 180° 
x = 180° : 3 = 60° 
 
06. Resposta:30˚. 
- sendo x o ângulo, o seu complemento será 90° – x e o seu suplemento é 180° – x. Então, temos: 
90° - x = 
180°−x
4
 (o 4 passa multiplicando o primeiro membro da equação) 
4.(90° - x) = 180° - x (aplicando a distributiva) 
360° - 4x = 180° - x 
360° - 180° = - x + 4x 
180° = 3x 
x = 180° : 3 = 60º 
- o ângulo x mede 60º, o seu complemento é 90° - 60° = 30° 
 
07. Resposta: 35° e 55°”. 
- do enunciado temos a seguintes figura: 
 
Então: 
x + x + 20° = 90° 
2x = 90° - 20° → 2x = 70° x = 70° : 2 = 35° 
- os ângulos são: 35° e 35° + 20° = 55° 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 98 
08. Resposta: 135˚. 
Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. Calcule y. 
Então vale lembrar que: 
x + y = 180 então y = 180 – x. 
E também como x e z são opostos pelo vértice, x = z 
E de acordo com a figura: o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. 
Calcule y. 
x = y / 6 + z / 2 
Agora vamos substituir lembrando que y = 180 - x e x = z 
Então: 
x = 180° - x/6 + x/2 agora resolvendo fatoração: 
6x = 180°- x + 3x | 6x = 180° + 2x 
6x – 2x = 180° 
4x = 180° 
x=180°/4 
x=45º 
Agora achar y, sabendo que y = 180° - x 
y=180º - 45° 
y=135°. 
 
09. Resposta: 11º; 159º. 
3m - 12º e m + 10º, são ângulos opostos pelo vértice logo são iguais. 
3m - 12º = m + 10º 
3m - m = 10º + 12º 
2m = 22º 
m = 22º/2 
m = 11º 
m + 10º e n são ângulos suplementares logo a soma entre eles é igual a 180º. 
(m + 10º) + n = 180º 
(11º + 10º) + n = 180º 
21º + n = 180º 
n = 180º - 21º 
n = 159º 
 
10. Resposta:45˚. 
É um ângulo oposto pelo vértice, logo, são ângulos iguais. 
 
 
POLÍGONOS 
 
Um polígono é uma figura geométrica fechada, simples, formada por segmentos consecutivos e não 
colineares. 
 
Elementos de um polígono 
 
 
 
Um polígono possui os seguintes elementos: 
 
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. 99 
- Lados: cada um dos segmentos de reta que une vértices consecutivos: AB̅̅ ̅̅ , BC̅̅̅̅ , CD̅̅̅̅ , DE̅̅ ̅̅ e AE̅̅̅̅ . 
 
- Vértices: ponto de intersecção de dois lados consecutivos: A, B, C, D e E. 
 
- Diagonais: Segmentos que unem dois vértices não consecutivos: AC̅̅̅̅ , AD̅̅ ̅̅ , BD̅̅ ̅̅ , CE̅̅̅̅ e BE̅̅̅̅ . 
 
- Ângulos internos: ângulos formados por dois lados consecutivos (assinalados em azul na figura): 
, , , , . 
 
- Ângulos externos: ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo 
(assinalados em vermelho na figura): , , , , . 
 
Classificação: os polígonos são classificados de acordo com o número de lados, conforme a tabela 
abaixo. 
N° de lados Nome 
3 Triângulo 
4 Quadrilátero 
5 Pentágono 
6 Hexágono 
7 Heptágono 
8 Octógono 
9 Eneágono 
10 Decágono 
11 Undecágono 
12 Dodecágono 
15 Pentadecágono 
20 Icoságono 
 
Fórmulas: na relação de fórmulas abaixo temos a letra n que representa o números de lados ou de 
ângulos ou de vértices de um polígonos, pois um polígono de 5 lados tem também e vértices e 5 ângulos. 
 
1 – Diagonais de um vértice: dv = n – 3. 
 
2 - Total de diagonais: 𝐝 =
(𝐧−𝟑).𝐧
𝟐
. 
 
3 – Soma dos ângulos internos: Si = (n – 2).180°. 
 
4 – Soma dos ângulos externos: para qualquer polígono o valor da soma dos ângulos externos é uma 
constante, isto é, Se = 360°. 
 
Polígonos Regulares: um polígono é chamado de regular quando tem todos os lados congruentes 
(iguais) e todos os ângulos congruentes. Exemplo: o quadrado tem os 4 lados iguais e os 4 ângulos de 
90°, por isso é um polígono regular. E para polígonos regulares temos as seguintes fórmulas, além das 
quatro acima: 
 
1 – Ângulo interno: 𝐚𝐢 =
(𝐧−𝟐).𝟏𝟖𝟎°
𝐧
 ou 𝐚𝐢 =
𝐒𝐢
𝐧
. 
 
2 - Ângulo externo: 𝐚𝐞 =
𝟑𝟔𝟎°
𝐧
 ou 𝐚𝐞 =
𝐒𝐞
𝐧
. 
 
Semelhança de Polígonos: Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes 
são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. 
Vejamos: 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 100 
 
Fonte: http://www.somatematica.com.br 
1) Os ângulos correspondentes são congruentes: 
 
 
2) Os lados correspondentes (homólogos) são proporcionais: 
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′
=
𝐵𝐶
𝐵′𝐶′
=
𝐶𝐷
𝐶′𝐷′
=
𝐷𝐴
𝐷′𝐴′
 𝑜𝑢 
 
3,8
5,7
=
4
6
=
2,4
3,6
=
2
3
 
 
Podemos dizer que os polígonos são semelhantes. Mas a semelhança só 
será válida se ambas condições existirem simultaneamente. 
 
 A razão entre dois lados correspondentes em polígonos semelhante denomina-se razão de 
semelhança, ou seja: 
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′
=
𝐵𝐶
𝐵′𝐶′
=
𝐶𝐷
𝐶′𝐷′
=
𝐷𝐴
𝐷′𝐴′
= 𝑘 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 =
2
3
 
 
Outras figuras semelhantes (formas iguais e tamanhos diferentes): 
 
Fonte: http://www.somatematica.com.br 
 
Questões 
 
01. A soma dos ângulos internos de um heptágono é: 
(A) 360° 
(B) 540° 
(C) 1400° 
(D) 900° 
(E) 180° 
 
02. Qual é o número de diagonais de um icoságono? 
(A) 20 
(B) 70 
(C) 160 
(D) 170 
(E) 200 
 
 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 101 
03. O valor de x na figura abaixo é: 
 
(A) 80° 
(B) 90° 
(C) 100° 
(D) 70° 
(E) 50° 
 
04. Um joalheiro recebe uma encomenda para uma joiapoligonal. O comprador exige que o número 
de diagonais seja igual ao número de lados. Sendo assim, o joalheiro deve produzir uma joia: 
(A) Triangular 
(B) Quadrangular 
(C) Pentagonal 
(D) Hexagonal 
(E) Decagonal 
 
05. Num polígono convexo, a soma dos ângulos internos é cinco vezes a soma dos ângulos externos. 
O número de lados e diagonais desse polígono, respectivamente, são: 
(A) 54 e 12 
(B) 18 e 60 
(C) 12 e 54 
(D) 60 e 18 
(E) 15 e 30 
 
06. Cada um dos ângulos externos de um polígono regular mede 15°. Quantos lados tem esse 
polígono? 
(A) 20 
(B) 24 
(C) 26 
(D) 30 
(E) 32 
 
Respostas 
 
01. Resposta: D. 
Heptágono (7 lados)  n = 7 
Si = (n – 2).180° 
Si = (7 – 2).180° 
Si = 5.180° = 900° 
 
02. Resposta: D. 
Icoságono (20 lados)  n = 20 
 
𝑑 =
(𝑛−3).𝑛
2
 
 
𝑑 =
(20−3).20
2
= 17.10 
 
d = 170 
 
 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 102 
03. Resposta: A. 
A soma dos ângulos internos do pentágono é: 
Si = (n – 2).180º 
Si = (5 – 2).180º 
Si = 3.180º → Si = 540º 
540º = x + 3x / 2 + x + 15º + 2x – 20º + x + 25º 
540º = 5x + 3x / 2 + 20º 
520º = 10x + 3x / 2 
1040º = 13x 
X = 1040º / 13 → x = 80º 
 
04. Resposta: C. 
Sendo d o números de diagonais e n o número de lados, devemos ter: 
d = n 
 
(𝑛−3).𝑛
2
= 𝑛 (passando o 2 multiplicando) 
 
(n – 3).n = 2n 
n – 3 = 2 
n = 2 + 3 
n = 5  pentagonal 
 
05. Resposta: C. 
Do enunciado, temos: 
Si = 5.Se 
(n – 2).180º = 5.360° 
(n – 2).180° = 1800° 
n – 2 = 
1800
180
 
n – 2 = 10 
n = 10 + 2 = 12 lados 
 
𝑑 =
(𝑛−3).𝑛
2
 
 
𝑑 =
(12−3).12
2
 
 
d = 9.6 = 54 diagonais 
 
06. Resposta: B. 
Temos que ae = 15° 
 
𝑎𝑒 =
360°
𝑛
 
 
15° =
360°
𝑛
 
 
15n = 360 
n = 360 : 15 
n = 24 lados 
 
POLÍGONOS REGULARES 
 
Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência. E temos fórmulas para calcular o lado 
e o apótema desse triângulo em função do raio da circunferência. Apótema e um segmento que sai do 
centro das figuras regulares e divide o lado em duas partes iguais. 
 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 103 
I) Triângulo Equilátero: 
 
 
 
II) Quadrado: 
 
 
III) Hexágono Regular 
 
 
 
Questões 
 
01. O apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 8 cm, vale, em 
centímetros: 
(A) 4 
(B) 4√3 
(C) 8 
(D) 8√2 
(E) 12 
 
02. O apótema de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência mede 10 cm, o raio dessa 
circunferência é: 
(A) 15 cm 
(B) 10 cm 
(C) 8 cm 
(D) 20 cm 
(E) 25 cm 
 
03. O apótema de um quadrado mede 6 dm. A medida do raio da circunferência em que esse quadrado 
está inscrito, em dm, vale: 
- Lado: l = r√3 
- Apótema: a =
r
2
 
- Lado: l = r√2 
- Apótema: a =
r√2
2
 
- Lado: l = r 
- Apótema: a =
r√3
2
 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 104 
(A) 4√2 dm 
(B) 5√2 dm 
(C) 6√2 dm 
(D) 7√2 dm 
(E) 8√2 dm 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
Basta substituir r = 8 na fórmula do hexágono 
𝑎 =
𝑟√3
2
 𝑎 =
8√3
2
= 4√3 cm 
 
02. Resposta: D. 
Basta substituir a = 10 na fórmula do triangulo equilátero. 
𝑎 =
𝑟
2
  10 =
𝑟
2
  r = 2.10  r = 20 cm 
 
03. Resposta: C. 
Sendo a = 6, temos: 
𝑎 =
𝑟√2
2
 
 
6 =
𝑟√2
2
  𝑟√2 = 2.6  𝑟√2 = 12 (√2 passa dividindo) 
r = 
12
√2
 (temos que racionalizar, multiplicando em cima e em baixo por √2) 
 
𝑟 =
12.√2
√2.√2
  𝑟 =
12√2
2
  𝑟 = 6√2 dm 
 
RAZÃO ENTRE ÁREAS 
 
- Razão entre áreas de dois triângulos semelhantes 
 
 
Vamos chamar de S1 a área do triângulo ABC = S1 e de S2 a do triângulo A’B’C’ = S2 
 
Δ ABC ~ Δ A’B’C’ → 
𝑏1
𝑏2
=
ℎ1
ℎ2
= 𝑘 (𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎𝑛ç𝑎) 
 
Sabemos que a área do triângulo é dada por 𝑆 = 
𝑏.ℎ
2
 
 
Aplicando as razões temos que: 
𝑆1
𝑆2
=
𝑏1. ℎ1
2
𝑏2. ℎ2
2
=
𝑏1
𝑏2
.
ℎ1
ℎ2
= 𝑘. 𝑘 = 𝑘2 →
𝑆1
𝑆2
= 𝑘2 
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. 105 
 
A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes 
é igual ao quadrado da razão de semelhança. 
 
 
- Razão entre áreas de dois polígonos semelhantes 
 
 
 
Área de ABCDE ... MN = S1 Área de A’B’C’D’ ... M’N’ = S2 
 
ABCDE ... MN = S1 ~ A’B’C’D’ ... M’N’ = S2 → ΔABC ~ ΔA’B’C’ e ΔACD ~ ΔAMN → 
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′
=
𝐵𝐶
𝐵′𝐶′
= ⋯ =
𝑀𝑁
𝑀′𝑁′
= 𝑘 (𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎𝑛ç𝑎) 
 
Fazendo: 
 
Área ΔABC = t1, Área ΔACD = t2, ..., Área ΔAMN = tn-2 
 
Área ΔA’B’C’ = T1, Área ΔA’C’D’ = T2, ..., Área ΔA’M’N’ = Tn-2 
 
Anteriormente vimos que: 
𝑡𝑖
𝑇𝑖
= 𝑘2 → 𝑡𝑖 = 𝑘
2𝑇𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1,2,3,… , 𝑛 − 2 
 
Então: 
 
𝑆1
𝑆2
=
𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 +⋯+ 𝑡𝑛−2
𝑇1 + 𝑇2 + 𝑇3 +⋯+ 𝑇𝑛−2
→
𝑆1
𝑆2
= 𝑘2 
 
 
 
A razão entre as áreas de dois polígonos semelhantes 
é igual ao quadrado da razão de semelhança. 
 
 
 
Observação: A propriedade acima é extensiva a quaisquer superfícies semelhantes e, por isso, vale 
 
 
A razão entre as áreas de duas superfícies semelhantes é igual ao 
quadrado da razão de semelhança. 
 
 
 
TRIÂNGULOS 
 
Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o menor número de lados. É o único 
polígono que não tem diagonais. Todo triângulo possui alguns elementos e os principais são: vértices, 
lados, ângulos, alturas, medianas e bissetrizes. 
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. 106 
 
1. Vértices: A, B e C. 
2. Lados: AB̅̅ ̅̅ ,BC̅̅̅̅ e AC̅̅̅̅ . 
3. Ângulos internos: a, b e c. 
 
Altura: É um segmento de reta traçada a partir de um vértice de forma a encontrar o lado oposto ao 
vértice formando um ângulo reto. BH̅̅ ̅̅ é uma altura do triângulo. 
 
 
 
Mediana: É o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. BM̅̅ ̅̅ é uma mediana. 
 
 
 
Bissetriz: É a semi-reta que divide um ângulo em duas partes iguais. O ângulo B̂ está dividido ao meio 
e neste caso Ê = Ô. 
 
 
 
Ângulo Interno: Todo triângulo possui três ângulos internos, na figura são Â, B̂ e Ĉ 
 
 
Ângulo Externo: É formado por um dos lados do triângulo e pelo prolongamento do lado adjacente a 
este lado, na figura são D̂, Ê e F̂ (na cor em destaque). 
 
 Classificação 
 
O triângulo pode ser classificado de duas maneiras: 
 
1- Quanto aos lados: 
Triângulo Equilátero: Os três lados têm medidas iguais, m(AB̅̅ ̅̅ ) = m(BC̅̅̅̅ ) = m(AC̅̅̅̅ ) e os três ângulos 
iguais. 
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. 107 
 
 
Triângulo Isósceles: Tem dois lados com medidas iguais, m(AB̅̅ ̅̅ ) = m(AC̅̅̅̅ ) e dois ângulos iguais. 
 
 
 
Triângulo Escaleno: Todos os três lados têm medidas diferentes, m(AB̅̅ ̅̅ ) ≠ m(AC̅̅̅̅ ) ≠ m(BC̅̅̅̅ ) e os três 
ângulos diferentes. 
 
 
2- Quanto aos ângulos: 
Triângulo Acutângulo: Todos os ângulos internos são agudos, isto é, as medidas dos ângulos são 
menores do que 90º. 
 
 
Triângulo Obtusângulo: Um ângulo interno é obtuso, isto é, possui um ângulo com medida maior do 
que 90º. 
 
 
Triângulo Retângulo: Possui um ângulo interno reto (90° graus). 
 
 
 Propriedade dos ângulos 
 
1- Ângulos Internos: a soma dos três ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°. 
 
 
a + b + c = 180º 
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. 108 
2- Ângulos Externos: Consideremos o triânguloABC onde as letras minúsculas representam os 
ângulos internos e as respectivas letras maiúsculas os ângulos externos. Temos que em todo triângulo 
cada ângulo externo é igual à soma de dois ângulos internos apostos. 
 
 
 
 = b̂ + ĉ; B̂ = â + ĉ e Ĉ = â + b̂ 
 
Semelhança de triângulos 
Dois triângulos são semelhantes se tiverem, entre si, os lados correspondentes proporcionais e os 
ângulos congruentes (iguais). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Critérios de semelhança 
1- Dois ângulos congruentes: Se dois triângulos tem, entre si, dois ângulos correspondentes 
congruentes iguais, então os triângulos são semelhantes. 
 
 
 
2- Dois lados congruentes: Se dois triângulos tem dois lados correspondentes proporcionais e os 
ângulos formados por esses lados também são congruentes, então os triângulos são semelhantes. 
 
 
 
3- Três lados proporcionais: Se dois triângulos têm os três lados correspondentes proporcionais, 
então os triângulos são semelhantes. 
 
Dados os triângulos acima, onde: 
AB̅̅ ̅̅
DE̅̅ ̅̅
=
BC̅̅̅̅
EF̅̅̅̅
=
AC̅̅̅̅
DF̅̅̅̅
 
 
e  = D̂ B̂ = Ê Ĉ = F̂, então os triângulos ABC e DEF 
são semelhantes e escrevemos ABC~DEF. 
Nas figuras ao lado: 
AB̅̅ ̅̅
EF̅̅̅̅
=
BC̅̅̅̅
FG̅̅̅̅
→
6
3
=
8
4
= 2 
então: ABC ~ EFG 
Nas figuras ao lado: Â = D̂ e Ĉ = F̂ 
 
então: ABC ~ DEF 
 
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. 109 
 
 
Observação: temos três critérios de semelhança, porém o mais utilizado para resolução de exercícios, 
isto é, para provar que dois triângulos são semelhantes, basta provar que eles tem dois ângulos 
correspondentes congruentes (iguais). 
 
Questões 
 
01. O valor de x na figura abaixo é: 
 
(A) 30° 
(B) 40° 
(C) 50° 
(D) 60° 
(E) 70° 
 
02. Na figura abaixo AB̅̅ ̅̅ = AC̅̅̅̅ , CB̅̅̅̅ = CD̅̅̅̅ , a medida do ângulo DĈB é: 
 
(A) 34° 
(B) 72° 
(C) 36° 
(D) 45° 
(E) 30° 
 
03. Na figura seguinte, o ângulo AD̂C é reto. O valor em graus do ângulo CB̂D é igual a: 
 
(A) 120° 
(B) 110° 
(C) 105° 
(D) 100° 
(E) 95° 
 
04. Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A, ADEF é um quadrado, AB = 1 e AC = 3. Quanto 
mede o lado do quadrado? 
Nas figuras ao lado: 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝑅𝑇̅̅ ̅̅
=
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝑅𝑆̅̅̅̅
=
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝑆𝑇̅̅̅̅
→
3
1,5
=
5
2,5
=
4
2
= 2 
 
então: ABC ~ RST 
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. 110 
 
(A) 0,70 
(B) 0,75 
(C) 0,80 
(D) 0,85 
(E) 0,90 
 
05. Em uma cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em forma de disco, 
que estacionou a aproximadamente 50 m do solo. Um helicóptero do Exército, situado a 
aproximadamente 30 m acima do objeto iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura seguinte. 
A sombra projetada pelo disco no solo tinha em torno de 16 m de diâmetro. 
 
Sendo assim, pode-se concluir que a medida, em metros, do raio desse disco-voador é 
aproximadamente: 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
Da figura temos que 3x é um ângulo externo do triângulo e, portanto, é igual à soma dos dois 
internos opostos, então: 
3x = x + 80º 
3x – x = 80º 
2x = 80° 
x = 80° : 2 
x = 40° 
 
02. Resposta: C. 
Na figura dada, temos três triângulos: ABC, ACD e BCD. Do enunciado AB = AC, o triângulo ABC 
tem dois lados iguais, então ele é isósceles e tem dois ângulos iguais: 
AĈB = AB̂C = x. A soma dos três ângulos é igual a 180°. 
36° + x + x = 180° 
2x = 180° - 36° 
2x = 144 
x = 144 : 2 
x = 72 
Logo: AĈB = AB̂C = 72° 
Também temos que CB = CD, o triângulo BCD é isósceles: 
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. 111 
CB̂D = CD̂B = 72°, sendo y o ângulo DĈB, a soma é igual a 180°. 
72° + 72° + y = 180° 
144° + y = 180° 
y = 180° - 144° 
y = 36º 
 
03. Resposta: D. 
Na figura temos três triângulos. Do enunciado o ângulo AD̂C = 90° (reto). 
O ângulo BD̂C = 30°  AD̂B = 60º. 
 
O ângulo CB̂D (x) é ângulo externo do triângulo ABD, então: 
x = 60º + 40° (propriedade do ângulo externo) 
x = 100° 
 
04. Resposta: B. 
Sendo x o lado do quadrado: 
 
 
Temos que provar que dois dos triângulos da figura são semelhantes. 
O ângulo BÂC é reto, o ângulo CF̂E é reto e o ângulo AĈB é comum aos triângulos ABC e CEF, logo 
estes dois triângulos são semelhantes. As medidas de seus lados correspondentes são proporcionais: 
AB̅̅ ̅̅
EF̅̅ ̅̅
=
AC̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅
CF̅̅ ̅̅
 
1
x
=
3
3−x
 (multiplicando em “cruz”) 
 
3x = 1.(3 – x) 
3x = 3 – x 
3x + x = 3 
4x = 3 
x = ¾ 
x = 0,75 
 
05. Resposta: A. 
Da figura dada, podemos observar os seguintes triângulos: 
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. 112 
 
Os triângulos ABC e ADE são isósceles. A altura divide as bases em duas partes iguais. E esses dois 
triângulos são semelhantes, pois os dois ângulos das bases de cada um são congruentes. Então: 
CG̅̅ ̅̅
EF̅̅ ̅̅
=
AG̅̅ ̅̅
AF̅̅ ̅̅
 
 
8
r
=
80
30
 
 
8r = 8.3 
r = 3 m 
 
 
PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO 
 
Em um triângulo qualquer nós temos alguns elementos chamados de cevianas. Estes elementos são: 
- Altura: segmento que sai do vértice e forma um ângulo de 90° com o lado oposto a esse vértice. 
- Mediana: segmento que sai do vértice e vai até o ponto médio do lado oposto a esse vértice, isto é, 
divide o lado oposto em duas partes iguais. 
- Bissetriz do ângulo interno: semirreta que divide o ângulo em duas partes iguais. 
- Mediatriz: reta que passa pelo ponto médio do lado formando um ângulo de 90° 
 
 
 
E todo triângulo tem três desses elementos, isto é, o triângulo tem três alturas, três medianas, três 
bissetrizes e três mediatrizes. Os pontos de intersecção desses elementos são chamados de pontos 
notáveis do triângulo. 
 
- Baricentro: é o ponto de intersecção das três medianas de um triângulo. É sempre um ponto interno. 
E divide as medianas na razão de 2:1. É ponto de gravidade do triângulo. 
- AH̅̅ ̅̅ : altura relativa ao vértice A (ou ao lado BC̅̅̅̅ ). 
- AS̅̅̅̅ : bissetriz interna relativa ao vértice A. 
- AM̅̅̅̅̅: mediana relativa do vértice A (ou al lado BC̅̅̅̅ ) 
- r: mediatriz relativa ao lado BC̅̅̅̅ . 
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. 113 
 
 
- Incentro: é o ponto de intersecção das três bissetrizes de um triângulo. É sempre um ponto interno. 
É o centro da circunferência circunscrita (está dentro do triângulo tangenciando seus três lados). 
 
 
- Circuncentro: é o ponto de intersecção das três mediatrizes de um triângulo. É o centro da 
circunferência circunscrita (está por fora do triângulo passando por seus três vértices). No triângulo 
acutângulo o circuncentro é um ponto interno, no triângulo obtusângulo é um ponto externo e no triângulo 
retângulo é o ponto médio da hipotenusa. 
 
 
- Ortocentro: é o ponto de intersecção das três alturas de um triângulo. No triângulo acutângulo é um 
ponto interno, no triângulo retângulo é o vértice do ângulo reto e no triângulo obtusângulo é um ponto 
externo. 
 
 
Um triângulo cujos vértices são os “pés” das alturas de um outro triângulo chama-se triângulo órtico 
do primeiro triângulo. 
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. 114 
 
Observações: 
1) Num triângulo isósceles (dois lados iguais) os quatro pontos notáveis são colineares (estão numa 
alinhados). 
2) Num triângulo equilátero (três lados iguais) os quatro pontos notáveis são coincidentes, isto é, um 
só ponto já é o Baricentro, Incentro, Circuncentro eOrtocentro. 
3) As iniciais dos quatro pontos formam a palavra BICO. 
 
Questões 
 
01. Assinale a afirmação falsa: 
(A) Os pontos notáveis de um triângulo equilátero são coincidentes. 
(B) O encentro de qualquer triângulo é sempre um ponto interno. 
(C) O ortocentro de um triângulo retângulo é o vértice do ângulo reto. 
(D) O circuncentro de um triângulo retângulo é o ponto médio da hipotenusa. 
(E) O baricentro de qualquer triângulo é o ponto médio de cada mediana. 
 
02. (UC-MG) Na figura, o triângulo ABC é equilátero e está circunscrito ao círculo de centro O e raio 2 
cm. AD̅̅ ̅̅ é altura do triângulo. Sendo E ponto de tangência, a medida de AE̅̅̅̅ , em centímetros, é: 
 
 
(A) 2√3 
(B) 2√5 
(C) 3 
(D) 5 
(E) √26 
 
03. Qual das afirmações a seguir é verdadeira? 
(A) O baricentro pode ser um ponto exterior ao triângulo e isto ocorre no triângulo acutângulo. 
(B) O baricentro pode ser um ponto de um dos lados do triângulo e isto ocorre no triângulo escaleno. 
(C) O baricentro pode ser um ponto exterior ao triângulo e isto ocorre no triângulo retângulo. 
(D) O baricentro pode ser um ponto dos vértices do triângulo e isto ocorre no triângulo retângulo. 
(E) O baricentro sempre será um ponto interior ao triângulo. 
 
04. Na figura a seguir, H é o ortocentro do triângulo ABC, AĈH = 30° e BĈH = 40°. Determine as 
medidas dos ângulos de vértices A e B. 
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. 115 
 
 
05. O ponto de intersecção das três mediatrizes de um triângulo é o: 
(A) Baricentro 
(B) Incentro 
(C) Circuncentro 
(D) Ortocentro 
 
Respostas 
 
01. Resposta: E. 
O baricentro divide as medianas na razão de 2 para 1, logo não é ponto médio. 
 
02. Resposta: A. 
Do enunciado temos que O é o circuncentro (centro da circunferência inscrita) então O também é 
baricentro (no triângulo equilátero os 4 pontos notáveis são coincidentes), logo pela propriedade do 
baricentro temos que AO̅̅ ̅̅ é o dobro de OD̅̅ ̅̅ . Se OD̅̅ ̅̅ = 2 (raio da circunferência)  AO̅̅ ̅̅ = 4 cm. 
O ponto E é ponto de tangência, logo o raio traçado no ponto de tangência forma ângulo reto (90°) e 
OE̅̅ ̅̅ = 2 cm. Portanto o triângulo AEO é retângulo, basta aplicar o Teorema de Pitágoras e sendo AE̅̅̅̅ = x: 
 
(AO̅̅ ̅̅ )2 = (AE̅̅̅̅ )2 + (OE̅̅ ̅̅ )2 
42 = x2 + 22 
16 − 4 = x2 
x2 = 12 
x = √12 
x = 2√3 cm 
 
03. Resposta: E. 
O baricentro é sempre interno, pois as 3 medianas de um triângulo são segmentos internos. 
 
04. Respostas: A = 60° e B = 50° 
Ortocentro é ponto de intersecção das alturas de um triângulo, então se prolongarmos o segmento CH 
até a base formará um ângulo de 90° (reto). Formando dois triângulos retângulos ACD e BCD, de acordo 
com a figura abaixo: 
 
 
A soma do ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. 
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. 116 
No triângulo ACD: A + 90° + 30° = 180°  A = 180° - 90° - 30° = 60° 
No triângulo BCD: B + 90° + 40° = 180°  B = 180° - 90° - 40° = 50° 
 
05. Resposta: C. 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
Na figura abaixo temos um triângulo retângulo cuja hipotenusa é a base e h é a altura relativa a essa 
hipotenusa: 
 
Sendo: 
A= hipotenusa 
b e c = catetos 
h= altura 
m e n = projeções do catetos 
Por semelhança de triângulos temos quatro relações métricas válidas somente para triângulos 
retângulos que são: 
 
I) Teorema de Pitágoras: O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. 
 
HIP2 = CAT2 + CAT2 
 
II) O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção do cateto. 
 
CAT2 = HIP.PROJ 
 
III) O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos. 
 
ALT2 = PROJ.PROJ 
 
IV) O produto da hipotenusa pela altura é igual ao produto dos catetos. 
 
HIP.ALT = CAT.CAT 
Questões 
 
01. A área de um triângulo retângulo é 12 dm2. Se um dos catetos é 2/3 do outro, calcule a medida da 
hipotenusa desse triângulo. 
 
02. (UEL) Pedrinho não sabia nadar e queria descobrir a medida da parte mais extensa (AC) da "Lagoa 
Funda". Depois de muito pensar, colocou 3 estacas nas margens da lagoa, esticou cordas de A até B e 
de B até C, conforme figura abaixo. Medindo essas cordas, obteve: 
AB
= 24 m e 
BC
 = 18 m. Usando 
seus conhecimentos matemáticos, Pedrinho concluiu que a parte mais extensa da lagoa mede: 
 
(A) 30 
(B) 28 
(C) 26 
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. 117 
(D) 35 
(E) 42 
 
03. Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 10 cm e um dos catetos mede 6 cm, pede-se 
determinar as medidas do outro cateto, a altura e as projeções dos catetos. 
 
04. Em um triângulo ABC, figura a seguir, as medianas que partem de A e de B são perpendiculares. 
Se 
BC
 = 8 e 
AC
 = 6, o valor de 
AB
 é: 
 
(A) 
63
 
(B) 
34
 
(C) 
712
 
(D) 
52
 
(E) 
24 
 
05. Em um triângulo retângulo os catetos medem 6 cm e 8 cm. Determinar a medida da hipotenusa, 
da altura e das projeções dos catetos desse triângulo. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: 𝟐√𝟏𝟑 
Do enunciado se um cateto é x o outro é 
2𝑥
3
, e em um triângulo retângulo para calcular a área, uma 
cateto é a base e o outro é a altura, e a fórmula da área é 𝐴 =
𝑏.ℎ
2
, então: 
A = 12 
𝑥.
2𝑥
3
2
= 12 
 
2𝑥2
6
= 12 → 2x2 = 12.6 → 2x2 = 72 → x2 = 72 : 2 
 
x2 = 36 → 𝑥 = √36 = 6 
 
Uma cateto mede 6 e o outro 
2.6
3
= 4, pelo teorema de Pitágoras, sendo a a hipotenusa: 
a2 = 62 + 42 
a2 = 36 + 16 
a2 = 52 
𝑎 = √52 
𝑎 = √13.4 
𝑎 = 2√13 
 
02. Resposta: A. 
Pelo teorema de Pitágoras: 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 242 + 182 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 576 + 324 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 900 
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. 118 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = √900 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 30 
 
03. Resposta: 8 cm. 
Do enunciado um cateto mede 6 cm e a hipotenusa 10 cm, pelo teorema de Pitágoras: 
102 = x2 + 62 
100 = x2 + 36 
100 – 36 = x2 
x2 = 64 
x = √64 
x = 8 cm 
 
04. Resposta: D. 
Mediana divide o lado oposto em duas partes iguais. 
 
 
Pelo teorema de Pitágoras: 
x2 = (2a)2 + (2b)2 
x2 = 4a2 + 4b2 (colocando o 4 em evidência) 
x2 = 4.(a2 + b2) (I) 
 
32 = (2a2) +b2 
9 = 4a2 + b2 (II) 
 
42 = a2 + (2b)2 
16 = a2 + 4b2 (III) 
 
Somando, membro a membro, as equações (II) e (III): 
 
 9 = 4a2 + b2 
16 = a2 + 4b2 
25 = 5a2 + 5b2 (dividindo por 5) 
 
5 = a2 + b2 (substituindo em (I)): 
 
x2 = 4.5 
x2 = 20 
x = √20 
x = 2√5 
 
05. Respostas: 10 cm, 4,8 cm, 3,6 cm e 6,4 cm 
Utilizando as relações métricas, temos: 
 
 
Teorema de Pitágoras: 
a2 = 82 + 62 
a2 = 64 + 36 
+ 
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. 119 
a2 = 100 
a = √100 
a = 10 cm 
HIP.ALT = CAT.CAT 
10.h = 8.6 
10h = 48 → h = 48 : 10 = 4,8 cm 
CAT2 = HIP.PROJ 
62 = 10.n 
36 = 10 n 
n = 36 : 10 = 3,6 cm 
 
82 = 10.m 
64 = 10m 
m = 64 : 10 = 6,4 cm 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO QUALQUER 
 
1 - Lado oposto a um ângulo agudo do Triangulo. 
Temos a seguinte relação: “Num triângulo qualquer, o quadrado da medida do lado a um ângulo agudo 
é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto de um 
desses lados pela medida da projeção do outro lado sobre ele”. 
 
 
 
 
 
 
 
2 - Lado oposto a um ângulo obtuso do Triângulo. 
Temos a seguinte relação: “Num triângulo obtusângulo, o quadrado da medida do lado oposto ao 
ângulo obtuso é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados mais duas vezes o 
produto de um desses lados pela medidada projeção do outro lado sobre ele”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 - Outras relações (relações métricas no Triângulo Retângulo) 
 
h² = m . n 
b² = m . a 
c² = a . n 
b . c = a . h 
No triângulo da figura ao 
lado: a2 = b2 + c2 - 2cm 
 
No triângulo da figura ao lado: 
a2 = b2 + c2 + 2cm 
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. 120 
 Natureza dos Triângulos 
Quantos aos ângulos, um triângulo pode ser classificado em Acutângulo (tem os três ângulos agudos), 
Obtusângulo (tem um ângulo obtuso) e Retângulo (tem um ângulo reto). 
Sendo a, b e c os três lados de um triângulo e, a é o maior lado, temos: 
 
I) a2 = b2 + c2  o triângulo é retângulo (Teorema de Pitágoras). 
 
II) a2 < b2 + c2  o triângulo é acutângulo. 
 
III) a2 > b2 + c2 o triângulo é obtusângulo. 
 
Questões 
 
01. Na figura abaixo, o valor de x é: 
(A)10 
(B)11 
(C)12 
(D)13 
(E)14 
 
02. O valor de x na figura seguinte é: 
 
 
(A)10,775 
(B)10 
(C)11,775 
(D)11 
(E)12 
 
03. O valor de x na figura abaixo é: 
 
(A)14√2 
(B)15√2 
(C)16√2 
(D)17√2 
(E)18√2 
 
04. Qual é o valor de x na figura dada? 
 
(A) 1 
 
 
 
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. 121 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 5 
 
05. Um triângulo tem lados medindo 10 cm, 4 cm e 9 cm. Esse triângulo é: 
(A) Isósceles 
(B) Equilátero 
(C) Acutângulo 
(D) Retângulo 
(E) Obtusângulo 
 
06. Os lados de um triângulo são iguais a 13, 5 e 12. Esse triângulo é: 
(A) Isósceles 
(B) Acutângulo 
(C) Equilátero 
(D) Retângulo 
(E) Obtusângulo 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
x2 = 82 + 102 – 2.8.1,25 
x2 = 64 + 100 – 20 
x2 = 144 
x = √144 
x = 12 
 
02. Resposta: A. 
152 = 202 + 162 – 2.20.x 
115 = 400 + 256 – 40x 
40x = 656 – 225 
40x = 431 
x = 431 : 40 
x = 10,775 
 
03. Resposta: B. 
x2 = 122 + 92 + 2.12.9,375 
x2 = 144 + 81 + 225 
x2 = 450 
x = √450 (dividindo 450 por 2 obtemos 225 que tem raiz exata e é 15) 
x = √225.2 
x = 15√2 
 
04. Resposta: A. 
72 = 42 + 52 + 2.4.x 
49 = 16 + 25 + 8x 
49 – 16 – 25 = 8x 
8x = 8 
x = 8 : 8 
x = 1 
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. 122 
05. Resposta: E. 
O maior lado do triângulo é 10 cm, então: 
102 = 100 
42 + 92 = 16 + 81 = 97 
100 > 97 → triângulo obtusângulo. 
 
06. Resposta: D. 
O maior lado do triângulo é 13, então: 
132 = 169 
52 + 122 = 25 + 144 = 169 
169 = 169 → triângulo retângulo (Teorema de Pitágoras) 
 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
 
Em todo triângulo retângulo, o maior lado é chamado de hipotenusa e os outros dois lados são os 
catetos. 
 
 
 
- “Em todo triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”. 
 
a2 = b2 + c2 
 
Questões 
 
01. Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática, escreveu um poema do qual extraímos 
o fragmento abaixo: 
Às folhas tantas de um livro de Matemática, um Quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma 
Incógnita. 
Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a do Ápice à Base: uma figura Ímpar; olhos romboides, boca 
trapezoide, corpo retangular, seios esferoides. 
Fez da sua uma vida paralela à dela, até que se encontraram no Infinito. 
“Quem és tu” – indagou ele em ânsia Radical. 
“Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.” (Millôr Fernandes – 
Trinta Anos de Mim Mesmo). 
A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao Teorema de Pitágoras, deveria dar a 
seguinte resposta: 
(A) “Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.” 
(B) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.” 
(C) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da Hipotenusa.” 
(D) “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da Hipotenusa.” 
(E) Nenhuma das anteriores. 
 
02. Um barco partiu de um ponto A e navegou 10 milhas para o oeste chegando a um ponto B, depois 
5 milhas para o sul chegando a um ponto C, depois 13 milhas para o leste chagando a um ponto D e 
No exemplo ao lado: 
- a é a hipotenusa. 
- b e c são os catetos. 
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. 123 
finalmente 9 milhas para o norte chegando a um ponto E. Onde o barco parou relativamente ao ponto de 
partida? 
(A) 3 milhas a sudoeste. 
(B) 3 milhas a sudeste. 
(C) 4 milhas ao sul. 
(D) 5 milhas ao norte. 
(E) 5 milhas a nordeste. 
 
03. Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos mede 5 cm, qual é a medida 
do outro cateto? 
(A) 10 
(B) 11 
(C) 12 
(D) 13 
(E) 14 
 
04. A diagonal de um quadrado de lado l é igual a: 
(A) 𝑙√2 
(B) 𝑙√3 
(C) 𝑙√5 
(D) 𝑙√6 
(E) Nenhuma das anteriores. 
 
05. Durante um vendaval, um poste de iluminação de 9 m de altura quebrou-se em um ponto a certa 
altura do solo. A parte do poste acima da fratura inclinou-se e sua extremidade superior encostou no solo 
a uma distância de 3 m da base dele, conforme a figura abaixo. A que altura do solo se quebrou o poste? 
 
(A) 4 m 
(B) 4,5 m 
(C) 5 m 
(D) 5,5 m 
(E) 6 m 
 
Respostas 
 
01. Resposta: D. 
 
02. Resposta: E. 
 
 
x2 = 32 + 42 
x2 = 9 + 16 
x2 = 25 
x = √25 = 5 
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. 124 
03. Resposta: C. 
132 = x2 + 52 
169 = x2 + 25 
169 – 25 = x2 
x2 = 144 
x = √144 = 12 cm 
 
04. Resposta: A. 
 
 
𝑑2 = 𝑙2 + 𝑙2 
𝑑2 = 2𝑙2 
𝑑 = √2𝑙2 
𝑑 = 𝑙√2 
 
05. Resposta: A. 
(9 – x)2 = x2 + 33 
92 – 2.9.x + x2 = x2 + 9 
81 – 18x = 9 
81 – 9 = 18x 
72 = 18x 
x =
72
18
 
x = 4 m 
 
 
QUADRILÁTEROS 
 
Quadrilátero é todo polígono com as seguintes propriedades: 
- Tem 4 lados. 
- Tem 2 diagonais. 
- A soma dos ângulos internos Si = 360º 
- A soma dos ângulos externos Se = 360º 
 
Observação: é o único polígono em que Si = Se 
 
 
 
No quadrilátero acima, observamos alguns elementos geométricos: 
- Os vértices são os pontos: A, B, C e D. 
- Os ângulos internos são A, B, C e D. 
- Os lados são os segmentos AB̅̅ ̅̅ , BC̅̅̅̅ , CD̅̅̅̅ e AD̅̅ ̅̅ . 
 
Observação: Ao unir os vértices opostos de um quadrilátero qualquer, obtemos sempre dois triângulos 
e como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus, concluímos que a soma 
dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360 graus. 
 
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. 125 
 
 
 
 Quadriláteros Notáveis: 
Trapézio: É todo quadrilátero tem dois paralelos. 
 
 
- AB̅̅ ̅̅ é paralelo a CD̅̅̅̅ 
 
Os trapézios podem ser: 
 
- Retângulo: dois ângulos retos. 
- Isósceles: lados não paralelos congruentes (iguais). 
- Escaleno: os quatro lados diferentes. 
 
 
 
Paralelogramo: É o quadrilátero que tem lados opostos paralelos. Num paralelogramo, os ângulos 
opostos são congruentes e os lados apostos também são congruentes. 
 
 
 
 
 
- AB̅̅ ̅̅ //CD̅̅̅̅ e AD̅̅ ̅̅ //BC̅̅̅̅ 
- AB̅̅ ̅̅ = CD̅̅̅̅ e AD̅̅ ̅̅ = BC̅̅̅̅ (lados opostos iguais) 
- Â = Ĉ e B̂ = D̂ (ângulos opostos iguais) 
- AC̅̅̅̅ ≠ BD̅̅ ̅̅ (duas diagonais diferentes) 
 
Os paralelogramos mais importantes recebem nomes especiais: 
 
- Losango: 4 lados congruentes 
- Retângulo: 4 ângulos retos (90 graus) 
- Quadrado: 4 lados congruentes e 4 ângulos retos. 
 
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. 126- Observações: 
 
 - No retângulo e no quadrado as diagonais são congruentes (iguais) 
 - No losango e no quadrado as diagonais são perpendiculares entre si (formam ângulo de 90°) e 
são bissetrizes dos ângulos internos (dividem os ângulos ao meio). 
 
Fórmulas da área dos quadriláteros: 
 
1- Trapézio: A =
(B+b).h
2
, onde B é a medida da base maior, b é a medida da base menor e h é 
medida da altura. 
2- Paralelogramo: A = b.h, onde b é a medida da base e h é a medida da altura. 
3- Retângulo: A = b.h 
4- Losango: A =
D.d
2
, onde D é a medida da diagonal maior e d é a medida da diagonal menor. 
5- Quadrado: A = l2, onde l é a medida do lado. 
 
Questões 
 
01. Determine a medida dos ângulos indicados: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
02. Com relação aos quadriláteros, assinale a alternativa incorreta: 
(A) Todo quadrado é um trapézio. 
(B) Todo retângulo é um paralelogramo. 
(C) Todo quadrado é um losango. 
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. 127 
(D) Todo trapézio é um paralelogramo. 
(E) Todo losango é um paralelogramo. 
 
03. Corta-se um arame de 30 metros em duas partes. Com cada uma das partes constrói-se um 
quadrado. Se S é a soma das áreas dos dois quadrados, assim construídos, então o menor valor possível 
para S é obtido quando: 
(A) o arame é cortado em duas partes iguais. 
(B) uma parte é o dobro da outra. 
(C) uma parte é o triplo da outra. 
(D) uma parte mede 16 metros de comprimento. 
 
04. Um terreno retangular de perímetro 200m está à venda em uma imobiliária. Sabe-se que sua 
largura tem 28m a menos que o seu comprimento. Se o metro quadrado cobrado nesta região é de R$ 
50,00, qual será o valor pago por este terreno? 
(A) R$ 10.000,00. 
(B) R$ 100.000,00. 
(C) R$ 125.000,00. 
(D) R$ 115.200,00. 
(E) R$ 100.500,00. 
 
 05. Na figura, ABCD é um trapézio isósceles, onde AD = 4, CD = 1, A = 60° e a altura vale 2√3. A área 
desse trapézio é 
 
(A) 4. 
(B) (4√3)/3. 
(C) 5√3. 
(D) 6√3. 
(E) 7. 
 
06. Uma pessoa comprou 30 m2 de piso para colocar em uma sala retangular de 4 m de largura, 
porém, ao medir novamente a sala, percebeu que havia comprado 3,6 m2 de piso a mais do que o 
necessário. O perímetro dessa sala, em metros, é de: 
(A) 21,2. 
(B) 22,1. 
(C) 23,4. 
(D) 24,3. 
(E) 25,6. 
 
07. A figura abaixo é um trapézio isósceles, onde a, b, c representam medidas dos ângulos internos 
desse trapézio. Determine a medida de a, b, c. 
 
(A) a = 63°, b = 117° e c = 63° 
(B) a = 117°, b = 63° e c = 117° 
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. 128 
(C) a = 63°, b = 63° e c = 117° 
(D) a = 117°, b = 117° e c = 63° 
(E) a = b = c = 63° 
 
08. Sabendo que x é a medida da base maior, y é a medida da base menor, 5,5 cm é a medida da 
base média de um trapézio e que x - y = 5 cm, as medidas de x e y são, respectivamente: 
(A) 3 e 8 
(B) 5 e 6 
(C) 4 e 7 
(D) 6 e 5 
(E) 8 e 3 
 
Respostas 
 
01. Respostas: a = 70º; b = 162º e c = 18º. 
a) x + 105° + 98º + 87º = 360º 
x + 290° = 360° 
x = 360° - 290° 
x = 70º 
 
b) x + 80° + 82° = 180° 
x + 162° = 180° 
x = 180º - 162º 
x = 18° 
18º + 90º + y + 90º = 360° 
y + 198° = 360° 
y = 360º - 198° 
y = 162º 
 
c) 3a / 2 + 2a + a / 2 + a = 360º 
(3a + 4a + a + 2a) / 2 = 720° /2 
10a = 720º 
a = 720° / 10 
a = 72° 
 72° + b + 90° = 180° 
b + 162° = 180° 
b = 180° - 162° 
b = 18°. 
 
02. Resposta: D. 
Trata-se de uma pergunta teórica. 
a) V  o quadrado tem dois lados paralelos, portanto é um trapézio. 
b) V  o retângulo tem os lados opostos paralelos, portanto é um paralelogramo. 
c) V  o quadrado tem os lados opostos paralelos e os 4 lados congruentes, portanto é um 
losango. 
d) F 
e) V  o losango tem lados opostos paralelos, portanto é um paralelogramo. 
 
03. Resposta: A. 
 
 
- um quadrado terá perímetro x  o lado será l =
x
4
 e o outro quadrado terá perímetro 30 – x  o lado 
será l1 =
30−x
4
, sabendo que a área de um quadrado é dada por S = l2, temos: 
 
S = S1 + S2  S = l2 + l1
2 
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. 129 
S = (
x
4
)
2
+ (
30−x
4
)
2
  S =
x2
16
+
(30−x)2
16
, como temos o mesmo denominador 16: 
S =
x2+302−2.30.x+x2
16
  S =
x2+900−60x+x2
16
  S =
2x2
16
−
60x
16
+
900
16
, sendo uma equação do 2º 
grau onde a = 2/16; b = -60/16 e c = 900/16 e o valor de x será o x do vértice que e dado pela fórmula: 
x =
−b
2a
, então: 
 
xv =
−(
−60
16
)
2.
2
16
=
60
16
4
16
  xv =
60
16
.
16
4
=
60
4
= 15, logo l = 15 e l1 = 30 – 15 = 15. 
 
04. Resposta: D. 
Comprimento: x 
Largura: x – 28 
Perímetro = 200 
x + x + x – 28 + x – 28 = 200 
4x – 56 = 200 
4x = 200 + 56 
x = 256 : 4 
x = 64 
Comprimento: 64 
Largura: 64 – 28 = 36 
 
Área: A = 64.36 = 2304 m2 
Preço = 2304.50,00 = 115.200,00 
 
05. Resposta: D. 
De acordo com e enunciado, temos: 
 
 
- sen60º = 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
  
√3
2
=
ℎ
4
  2h = 4√3  h = 2√3 
 
- cos60º = 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
  
1
2
=
𝑥
4
  2x = 4  x = 2 
 
- base maior AB = x + 1 + x = 2 + 1 + 2 = 5 
 
- base menor CD = 1 
 
A = 
(𝐵+𝑏).ℎ
2
  A = 
(5+1).2√3
2
  A = 6√3 
 
06. Resposta: A. 
Do enunciado temos que foram comprados 30 m2 de piso e que a sala tem 4 m de largura. Para saber 
o perímetro temos que calcular o comprimento desta sala. 
- houve uma sobra de 3,6 m2, então a área da sala é: 
A = 30 – 3,6 → A = 26,4 m2 
- sendo x o comprimento: 
x.4 = 26,4 → x = 26,4 : 4 → x = 6,6 m (este é o comprimento da sala) 
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. 130 
- o perímetro (representado por 2p na geometria) é a soma dos 4 lados da sala: 
2p = 4 + 4 + 6,6 + 6,6 = 21,2 m 
 
07. Resposta: C. 
Em um trapézio isósceles como o da figura, os ângulos da base são congruentes e os ângulos 
superiores também são congruentes. E a soma de uma superior mais um da base é igual a 180°. 
c = 117° 
a + 117° = 180° 
a = 180° - 117° 
a = 63° 
b = 63° 
 
08. Resposta: E. 
 
x + y = 11 
x - y = 5 
_________ 
 
2x + 0 = 16 
2x = 16/2 
x = 8 
 
x + y = 11 
8 + y = 11 
y = 11 – 8 
y = 3 
 
 
CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 
 
Circunferência: A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão 
localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência. Esta talvez 
seja a curva mais importante no contexto das aplicações. 
 
 
 
Círculo: (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é 
menor ou igual que uma distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O 
círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. No gráfico 
acima, a circunferência é a linha de cor verde escuro que envolve a região verde claro, enquanto o círculo 
é toda a região pintada de verde reunida com a circunferência. 
 
Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo 
 
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. 131 
Pontos interiores: Os pontos interiores de um círculo são os pontos do círculo que não estão na 
circunferência. 
 
 
 
Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um círculo são os pontos localizados fora do círculo. 
 
Raio, Corda e Diâmetro 
 
Raio: Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no 
centro da circunferência (ou do círculo) ea outra extremidade num ponto qualquer da circunferência. Na 
figura abaixo, os segmentos de reta OA̅̅ ̅̅ , OB̅̅ ̅̅ e OC̅̅̅̅ são raios. 
 
Corda: Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas extremidades pertencem à 
circunferência (ou seja, um segmento que une dois pontos de uma circunferência). Na figura abaixo, os 
segmentos de reta AC̅̅̅̅ e DE̅̅ ̅̅ são cordas. 
 
Diâmetro: Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda que passa pelo centro da 
circunferência. Observamos que o diâmetro é a maior corda da circunferência. Na figura abaixo, o 
segmento de reta AC̅̅̅̅ é um diâmetro. 
 
 
 
Posições relativas de uma reta e uma circunferência 
 
Reta secante: Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta intercepta a circunferência em 
dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contém uma corda. 
 
Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência 
em um único ponto P. Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura 
ao lado, o ponto P é o ponto de tangência e a reta que passa pelos pontos E e F é uma reta tangente à 
circunferência. 
 
 
 
Reta externa (ou exterior): é uma reta que não tem ponto em comum com a circunferência. Na figura 
abaixo a reta t é externa. 
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. 132 
 
 
Propriedades das secantes e tangentes 
Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos 
distintos A e B e se M é o ponto médio da corda AB, então o segmento de reta OM é perpendicular à reta 
secante s. 
 
Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos 
distintos A e B, a perpendicular às retas que passam pelo centro O da circunferência, passa também pelo 
ponto médio da corda AB. 
 
 
Seja OP um raio de uma circunferência, onde O é o centro e P um ponto da circunferência. Toda reta 
perpendicular ao raio OP é tangente à circunferência no ponto de tangência P. 
 
 
Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. 
 
Posições relativas de duas circunferências 
 
Reta tangente comum: Uma reta que é tangente a duas circunferências ao mesmo tempo é 
denominada uma tangente comum. Há duas possíveis retas tangentes comuns: a interna e a externa. 
 
 
Ao traçar uma reta ligando os centros de duas circunferências no plano, esta reta separa o plano em 
dois semi-planos. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão no mesmo semi-plano, 
temos uma reta tangente comum externa. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão 
em semi-planos diferentes, temos uma reta tangente comum interna. 
 
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. 133 
Circunferências internas: Uma circunferência C1 é interna a uma circunferência C2, se todos os 
pontos do círculo C1 estão contidos no círculo C2. Uma circunferência é externa à outra se todos os seus 
pontos são pontos externos à outra. 
 
 
 
Circunferências concêntricas: Duas ou mais circunferências com o mesmo centro, mas com raios 
diferentes são circunferências concêntricas. 
 
Circunferências tangentes: Duas circunferências que estão no mesmo plano, são tangentes uma à 
outra, se elas são tangentes à mesma reta no mesmo ponto de tangência. 
 
 
As circunferências são tangentes externas uma à outra se os seus centros estão em lados opostos da 
reta tangente comum e elas são tangentes internas uma à outra se os seus centros estão do mesmo lado 
da reta tangente comum. 
 
Circunferências secantes: são aquelas que possuem somente dois pontos distintos em comum. 
 
 
 
Segmentos tangentes: Se AP e BP são segmentos de reta tangentes à circunferência nos ponto A e 
B, então esses segmentos AP e BP são congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÂNGULOS (OU ARCOS) NA CIRCURFERÊNCIA 
 
Ângulo central: é um ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência. Este ângulo 
determina um arco na circunferência, e a medida do ângulo central e do arco são iguais. 
 
 
 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 134 
O ângulo central determina na circunferência um arco𝐴�̂� e sua medida é igual a esse arco. 
 
α = AB̂ 
Ângulo Inscrito: é um ângulo cujo vértice está sobre a circunferência. 
 
 
 
O ângulo inscrito determina na circunferência um arco 𝐴�̂� e sua medida é igual à metade do arco. 
α =
AB̂
2
 
 
Ângulo Excêntrico Interno: é formado por duas cordas da circunferência. 
 
 
 
O ângulo excêntrico interno determina na circunferência dois arcos AB e CD e sua medida é igual à 
metade da soma dos dois arcos. 
α =
AB̂ + CD̂
2
 
 
Ângulo Excêntrico Externo: é formado por duas retas secantes à circunferência. 
 
O ângulo excêntrico externo determina na circunferência dois arcos 𝐴�̂� e 𝐶�̂� e sua medida é igual à 
metade da diferença dos dois arcos. 
 
 α =
AB̂ − CD̂
2
 
 
 
Questões 
 
01. O valor de x na figura abaixo é: 
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. 135 
 
 
(A) 90° 
(B) 92° 
(C) 96° 
(D) 98° 
(E) 100° 
 
02. Na figura abaixo, qual é o valor de y? 
 
 
(A) 30° 
(B) 45° 
(C) 60° 
(D) 35° 
(E) 25° 
 
03. Na figura seguinte, a medida do ângulo x, em graus, é: 
 
(A) 80° 
(B) 82° 
(C) 84° 
(D) 86° 
(E) 90° 
 
04. A medida do arco x na figura abaixo é: 
 
(A) 15° 
(B) 20° 
(C) 25° 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 136 
(D) 30° 
(E) 45° 
 
05. Uma reta é tangente a uma circunferência quando: 
(A) tem dois pontos em comum. 
(B) tem três pontos em comum. 
(C) não tem ponto em comum. 
(D) tem um único ponto em comum. 
(E) nda 
 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
O ângulo dado na figura (46°) é um ângulo inscrito, portanto é igual à metade do arco x: 
 
46° =
𝑥
2
 
 
 x = 46°.2 
 x = 92° 
 
02. Resposta: D. 
O ângulo da figura é um ângulo excêntrico externo, portanto é igual à metade da diferença dos dois 
arcos dados. 
 
𝑦 =
110° − 40°
2
 
 
𝑦 =
70°
2
= 35° 
 
03. Resposta: C. 
O ângulo x é um ângulo excêntrico interno, portanto é igual à metade da soma dos dois arcos. 
 
𝑥 =
108° + 60°
2
 
 
𝑥 =
168°
2
= 84° 
 
04. Resposta: A. 
O ângulo de 55 é um ângulo excêntrico interno, portanto é igual à metade da soma dos dois arcos. 
 
55° =
95° + 𝑥
2
 
 
55°. 2 = 95° + 𝑥 
110° − 95° = 𝑥 
𝑥 = 15° 
 
05. Resposta: D. 
Questão teórica 
 
MEDIDAS DE ARCOS E ÂNGULOS 
 
Arcos (e ângulos) na circunferência 
Se forem tomados dois pontos A e B sobre uma circunferência, ela ficará dividida em duas partes 
chamadas arcos. Estes dois pontos A e B são as extremidades dos arcos. 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 137 
 
 
Usamos a seguinte representação: AB. 
Observação: quando A e B são pontos coincidentes, um arco é chamado de nulo e o outro arco de 
uma volta. 
 
Unidades de medidas de arcos (e ângulos) 
I) Grau: para medir ângulos a circunferência foi dividida em 360° partes iguais, e cada uma dessas 
partes passou a ser chamada de 1 grau (1°). 
1° =
1
360
 (𝑢𝑚 𝑡𝑟𝑒𝑧𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒 𝑠𝑒𝑠𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑎𝑣𝑜𝑠) 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎. 
- submúltiplos do grau 
O grau tem dois submúltiplos (medidas menores que o grau). São o minuto e o segundo, de forma que: 
1° = 60′ ou seja 1 minutos é igual a 1/60 do grau. 
1’ =60” ou seja 1 segundo é igual a 1/60 do minuto. 
 
II) Radiano 
A medida de um arco, em radianos, é a razão (divisão) entre o comprimento do arco e o raio da 
circunferência sobre a qual está arco está determinado. 
 
Sendo α o ângulo (ou arco), r o raio e l o comprimento do arco, temos: 
α =
l
r
 
O arco l terá seu comprimento máximo (ou maior) quando for igual ao comprimento total de uma 
circunferência (C = 2πr – fórmula do comprimento da circunferência), ou seja lmáximo = C  lmax = 2πr. 
Então, o valor máximo do ângulo α em radianos será: 
α =
2πr
r
 ==> α = 2π rad 
 
Observação: uma volta na circunferência é igual a 360° ou 2π rad. 
 
Conversões 
- graus para radianos: para converter grau para radianos usamos uma regra de três simples. 
 
exemplo: 
Converter 150° para radianos. 
r 
l 
α 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 138 
180° π rad 
150° x rad 
 
180°
150°
=
π
x
 
180𝑥 = 150𝜋 
x =
150π
180
 (simplificando) 
x =
5π
6
 rad 
 
- radianos para graus: basta substituir o π por 180°. 
 
exemplo: 
Converter 
3π
2
 rad para graus (ou podemos usar regra de três simples também). 
3𝜋
2
=
3.180
2
=
540
2
= 270° 
 
Questões 
 
01. Um ângulo de 120° equivale a quantos radianos? 
 
02. Um ângulo de 
5𝜋
4
 rad equivale a quantos graus? 
 
03. (FUVEST) Quantos graus, mede aproximadamente, um arco de 0,105 rad? (usar π = 3,14) 
 
Respostas 
 
01. Resposta: 
𝟐𝝅
𝟑
 𝒓𝒂𝒅 
 
180° π rad 
120° x rad 
 
180°
120°
=
𝜋
𝑥
 
 
180x = 120π 
𝑥 =
120𝜋
180
 (simplificando) 
𝑥 =
2𝜋
3
 𝑟𝑎𝑑 
 
02. Resposta: 225° 
 
5𝜋
4
=
5.180°
4
=
900°
4
= 225° 
 
03. Resposta: 6° 
Neste caso, usamos regra de três: 
180° π rad 
 x 0,105 rad 
 
180°
𝑥
=
𝜋
0,105
 
 
π.x = 180°.0,105 
3,14x = 18,9 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 139 
x = 18,9 : 3,14 ≅ 6,01 
x ≅ 6° 
 
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL E NÃO DECIMAL 
 
→ Sistema de Medidas Decimais 
Um sistema de medidas é um conjunto de unidades de medida que mantém algumas relações entre 
si. O sistema métrico decimal é hoje o mais conhecido e usado no mundo todo. Na tabela seguinte, 
listamos as unidades de medida de comprimento do sistema métrico. A unidade fundamental é o metro, 
porque dele derivam as demais. 
 
 
 
Há, de fato, unidades quase sem uso prático, mas elas têm uma função. Servem para que o sistema 
tenha um padrão: cada unidade vale sempre 10 vezes a unidade menor seguinte. 
Por isso, o sistema é chamado decimal. 
 
E há mais um detalhe: embora o decímetro não seja útil na prática, o decímetro cúbico é muito usado 
com o nome popular de litro. 
As unidades de área do sistema métrico correspondem às unidades de comprimento da tabela anterior. 
São elas: quilômetro quadrado (km2), hectômetro quadrado (hm2), etc. As mais usadas, na prática, são 
o quilômetro quadrado, o metro quadrado e o hectômetro quadrado, este muito importante nas atividades 
rurais com o nome de hectare (há): 1 hm2 = 1 há. 
No caso das unidades de área, o padrão muda: uma unidade é 100 vezes a menor seguinte e não 10 
vezes, como nos comprimentos. Entretanto, consideramos que o sistema continua decimal, porque 100 
= 102. 
Existem outras unidades de medida mas que não pertencem ao sistema métrico decimal. Vejamos 
as relações entre algumas essas unidades e as do sistema métrico decimal (valores aproximados): 
1 polegada = 25 milímetros 
1 milha = 1 609 metros 
1 légua = 5 555 metros 
1 pé = 30 centímetros 
 
 
A nomenclatura é a mesma das unidades de comprimento acrescidas de quadrado. 
 
Agora, vejamos as unidades de volume. De novo, temos a lista: quilômetro cúbico (km3), hectômetro 
cúbico (hm3), etc. Na prática, são muitos usados o metro cúbico(m3) e o centímetro cúbico(cm3). 
Nas unidades de volume, há um novo padrão: cada unidade vale 1000 vezes a unidade menor 
seguinte. Como 1000 = 103, o sistema continua sendo decimal. 
 
 
 
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. 140 
A noção de capacidade relaciona-se com a de volume. Se o volume da água que enche um tanque é 
de 7.000 litros, dizemos que essa é a capacidade do tanque. A unidade fundamental para medir 
capacidade é o litro (l); 1l equivale a 1 dm3. 
Cada unidade vale 10 vezes a unidade menor seguinte. 
 
 
 
O sistema métrico decimal inclui ainda unidades de medidas de massa. A unidade fundamental é o 
grama(g). 
 
Unidades de Massa e suas Transformações 
 
 
Nomenclatura: 
Kg – Quilograma 
hg – hectograma 
dag – decagrama 
g – grama 
dg – decigrama 
cg – centigrama 
mg – miligrama 
 
Dessas unidades, só têm uso prático o quilograma, o grama e o miligrama. No dia-a-dia, usa-se ainda 
a tonelada (t). 
Medidas Especiais: 
1 Tonelada(t) = 1000 Kg 
1 Arroba = 15 Kg 
1 Quilate = 0,2 g 
 
Relações entre unidades: 
 
 
 
Temos que: 
1 kg = 1l = 1 dm3 
1 hm2 = 1 ha = 10.000m2 
1 m3 = 1000 l 
 
 
 
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. 141 
Questões 
 
01. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP/2014) O suco existente em uma 
jarra preenchia 
3
4
 da sua capacidade total. Após o consumo de 495 mL, a quantidade de suco restante na 
jarra passou a preencher 
1
5
 da sua capacidade total. Em seguida, foi adicionada certa quantidade de suco 
na jarra, que ficou completamente cheia. Nessas condições, é correto afirmar que a quantidade de suco 
adicionada foi igual, em mililitros, a 
(A) 580. 
(B) 720. 
(C) 900. 
(D) 660. 
(E) 840. 
 
02. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) Em uma casa há um filtro de barro que contém, 
no início da manhã, 4 litros de água. Desse filtro foram retirados 800 mL para o preparo da comida e meio 
litro para consumo próprio. No início da tarde, foram colocados 700 mL de água dentro desse filtro e, até 
o final do dia, mais 1,2 litros foram utilizados para consumo próprio. Em relação à quantidade de água 
que havia no filtro no início da manhã, pode-se concluir que a água que restou dentro dele, no final do 
dia, corresponde a uma porcentagem de 
(A) 60%. 
(B) 55%. 
(C) 50%. 
(D) 45%. 
(E) 40%. 
 
03. (UFPE – Assistente em Administração – COVEST/2014) Admita que cada pessoa use, 
semanalmente, 4 bolsas plásticas para embrulhar suas compras, e que cada bolsa é composta de 3 g de 
plástico. Em um país com 200 milhões de pessoas, quanto plástico será utilizado pela população em um 
ano, para embrulhar suas compras? Dado: admita que o ano é formado por 52 semanas. Indique o valor 
mais próximo do obtido. 
(A) 108 toneladas 
(B) 107 toneladas 
(C) 106 toneladas 
(D) 105 toneladas 
(E) 104 toneladas 
 
04. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) Uma chapa de alumínio com 1,3 m2 de área 
será totalmente recortada em pedaços, cada um deles com 25 cm2 de área. Supondo que não ocorra 
nenhuma perda durante os cortes, o número de pedaços obtidos com 25 cm2 de área cada um, será: 
(A) 52000. 
(B) 5200. 
(C) 520. 
(D) 52. 
(E) 5,2. 
 
05. (CLIN/RJ - Gari e Operador de Roçadeira - COSEAC/2015) Uma peça de um determinado tecido 
tem 30 metros, e para se confeccionar uma camisa desse tecido são necessários 15 decímetros. Com 
duas peças desse tecido é possível serem confeccionadas: 
(A) 10 camisas 
(B) 20 camisas 
(C) 40 camisas 
(D) 80 camisas 
 
06. (CLIN/RJ - Gari e Operador de Roçadeira - COSEAC/2015) Um veículo tem capacidade paratransportar duas toneladas de carga. Se a carga a ser transportada é de caixas que pesam 4 quilogramas 
cada uma, o veículo tem capacidade de transportar no máximo: 
(A) 50 caixas 
(B) 100 caixas 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 142 
(C) 500 caixas 
(D) 1000 caixas 
 
07. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) Um trecho de uma estrada com 5,6 km de 
comprimento está sendo reparado. A empresa A, responsável pelo serviço, já concluiu 
3
7
 do total a ser 
reparado e, por motivos técnicos, 
2
5
 do trecho que ainda faltam reparar serão feitos por uma empresa B. 
O número total de metros que a empresa A ainda terá que reparar é 
(A) 1920. 
(B) 1980. 
(C) 2070. 
(D) 2150. 
(E) 2230. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
Vamos chamar de x a capacidade total da jarra. Assim: 
 
3
4
 . 𝑥 − 495 = 
1
5
 . 𝑥 
 
3
4
 . 𝑥 − 
1
5
 . 𝑥 = 495 
 
5.3.𝑥 − 4.𝑥=20.495 
20
 
 
15x – 4x = 9900 
11x = 9900 
x = 9900 / 11 
x = 900 mL (capacidade total) 
Como havia 1/5 do total (1/5 . 900 = 180 mL), a quantidade adicionada foi de 900 – 180 = 720 mL 
 
02. Resposta: B. 
4 litros = 4000 ml; 1,2 litros = 1200 ml; meio litro = 500 ml 
4000 – 800 – 500 + 700 – 1200 = 2200 ml (final do dia) 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
ml % 
4000 ------- 100 
2200 ------- x 
4000.x = 2200 . 100 x = 220000 / 4000 = 55% 
 
03. Resposta: D. 
4 . 3 . 200000000 . 52 = 1,248 . 1011 g = 1,248 . 105 t 
 
04. Resposta: C. 
1,3 m2 = 13000 cm2 (.1000) 
13000 / 25 = 520 pedaços 
 
05. Resposta: C. 
Como eu quero 2 peças desse tecido e 1 peça possui 30 metros logo: 
30 . 2 = 60 m. Temos que trabalhar com todas na mesma unidade: 1 m é 10dm assim temos 60m . 10 
= 600 dm, como cada camisa gasta um total de 15 dm, temos então: 
600/15 = 40 camisas. 
 
06. Resposta: C. 
Uma tonelada(ton) é 1000 kg, logo 2 ton. 1000kg= 2000 kg 
Cada caixa pesa 4kg  2000 kg/ 4kg = 500 caixas. 
 
 
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. 143 
07. Resposta: A. 
Primeiramente, vamos transformar Km em metros: 5,6 Km = 5600 m (.1000) 
Faltam 
7
7
−
3
7
=
4
7
 do total, ou seja, 
4
7
 𝑑𝑒 5600 =
4.5600
7
= 3200𝑚 
A empresa B vai reparar 
2
5
 𝑑𝑒 3200 =
2.3200
5
= 1280𝑚 
Então, a empresa A vai reparar 3200 – 1280 = 1920m 
 
→ Não Decimais 
 
Medidas de Tempo (Hora) e suas Transformações 
 
 
Desse grupo, o sistema hora – minuto – segundo, que mede intervalos de tempo, é o mais conhecido. 
A unidade utilizada como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo. 
 
1h → 60 minutos → 3 600 segundos 
 
Para passar de uma unidade para a menor seguinte, multiplica-se por 60. 
 
Exemplo: 
0,3h não indica 30 minutos nem 3 minutos, quantos minutos indica 0,3 horas? 
 
1 hora 60 minutos 
0,3 x 
 
Efetuando temos: 0,3 . 60 = 1. x → x = 18 minutos. Concluímos que 0,3horas = 18 minutos. 
 
- Adição e Subtração de Medida de tempo 
Ao adicionarmos ou subtrairmos medidas de tempo, precisamos estar atentos as unidades. Vejamos 
os exemplos: 
 
A) 1 h 50 min + 30 min 
Hora Minutos 
1 50 
+ 30 
1 80 
 
Observe que ao somar 50 + 30, obtemos 80 minutos, como sabemos que 1 hora tem 60 minutos, 
temos, então acrescentamos a hora +1, e subtraímos 80 – 60 = 20 minutos, é o que resta nos minutos: 
 
Hora Minutos 
1 50 
+ 30 
1 80 
+1 -60 
 
 
 
2 20 
 
 
Logo o valor encontrado é de 2 h 20 min. 
 
B) 2 h 20 min – 1 h 30 min 
 
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. 144 
Hora Minutos 
2 20 
-1 30 
 
Observe que não podemos subtrair 20 min de 30 min, então devemos passar uma hora (+1) dos 2 
para a coluna minutos. 
Hora Minutos 
-1 +60 
2 
 
 
20 
-1 30 
 
Então teremos novos valores para fazermos nossa subtração, 20 + 60 = 80: 
 
Hora Minutos 
1 80 
-1 30 
0 50 
 
Logo o valor encontrado é de 50 min. 
 
Questões 
 
01. (PREF. CAMAÇARI/BA – TÉC. VIGILÂNCIA EM SAÚDE NM – AOCP/2014) Joana levou 3 horas 
e 53 minutos para resolver uma prova de concurso, já Ana levou 2 horas e 25 minutos para resolver a 
mesma prova. Comparando o tempo das duas candidatas, qual foi a diferença encontrada? 
(A) 67 minutos. 
(B) 75 minutos. 
(C) 88 minutos. 
(D) 91 minutos. 
(E) 94 minutos. 
 
02. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP/2014) A tabela a seguir mostra o tempo, 
aproximado, que um professor leva para elaborar cada questão de matemática. 
 
Questão (dificuldade) Tempo (minutos) 
Fácil 8 
Média 10 
Difícil 15 
Muito difícil 20 
 
O gráfico a seguir mostra o número de questões de matemática que ele elaborou. 
 
 
 
O tempo, aproximado, gasto na elaboração dessas questões foi 
(A) 4h e 48min. 
(B) 5h e 12min. 
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. 145 
(C) 5h e 28min. 
(D) 5h e 42min. 
(E) 6h e 08min. 
 
03. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO/2014) Para obter um bom acabamento, 
um pintor precisa dar duas demãos de tinta em cada parede que pinta. Sr. Luís utiliza uma tinta de 
secagem rápida, que permite que a segunda demão seja aplicada 50 minutos após a primeira. Ao terminar 
a aplicação da primeira demão nas paredes de uma sala, Sr. Luís pensou: “a segunda demão poderá ser 
aplicada a partir das 15h 40min.” 
Se a aplicação da primeira demão demorou 2 horas e 15 minutos, que horas eram quando Sr. Luís 
iniciou o serviço? 
(A) 12h 25 min 
(B) 12h 35 min 
(C) 12h 45 min 
(D) 13h 15 min 
(E) 13h 25 min 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
 
Como 1h tem 60 minutos. 
Então a diferença entre as duas é de 60+28=88 minutos. 
 
02. Resposta: D. 
T = 8 . 4 + 10 . 6 + 15 . 10 + 20 . 5 = 
 = 32 + 60 + 150 + 100 = 342 min 
Fazendo: 342 / 60 = 5 h, com 42 min (resto) 
 
03. Resposta: B. 
15 h 40 – 2 h 15 – 50 min = 12 h 35min 
 
 
PERÍMETRO E ÁREA DAS FIGURAS PLANAS 
 
Perímetro: é a soma de todos os lados de uma figura plana. 
Exemplo: 
 
 
Perímetro = 10 + 10 + 9 + 9 = 38 cm 
Perímetros de algumas das figuras planas: 
 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 146 
 
 
 
 
Área é a medida da superfície de uma figura plana. 
A unidade básica de área é o m2 (metro quadrado), isto é, uma superfície correspondente a um 
quadrado que tem 1 m de lado. 
 
 
Fórmulas de área das principais figuras planas: 
 
1) Retângulo 
 - sendo b a base e h a altura: 
 
 
2. Paralelogramo 
- sendo b a base e h a altura: 
 
 
3. Trapézio 
- sendo B a base maior, b a base menor e h a altura: 
 
 
4. Losango 
- sendo D a diagonal maior e d a diagonal menor: 
 
 
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. 147 
5. Quadrado 
- sendo l o lado: 
 
6. Triângulo: essa figura tem 6 fórmulas de área, dependendo dos dados do problema a ser resolvido. 
 
I) sendo dados a base b e a altura h: 
 
 
II) sendo dados as medidas dos três lados a, b e c: 
 
 
III) sendo dados as medidas de dois lados e o ângulo formado entre eles: 
 
 
IV) triângulo equilátero (tem os três lados iguais): 
 
 
V) circunferência inscrita: 
 
VI) circunferência circunscrita: 
 
 
Questões 
 
01. A área de um quadrado cuja diagonal mede 2√7 cm é, em cm2, igual a: 
(A) 12 
(B) 13 
(C) 14 
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. 148 
(D) 15 
(E) 16 
 
02. (BDMG - Analista de Desenvolvimento – FUMARC/2011) Corta-se um arame de 30 metros em 
duas partes. Com cada uma das partes constrói-se um quadrado. Se S é a soma das áreasdos dois 
quadrados, assim construídos, então o menor valor possível para S é obtido quando: 
(A) o arame é cortado em duas partes iguais. 
(B) uma parte é o dobro da outra. 
(C) uma parte é o triplo da outra. 
(D) uma parte mede 16 metros de comprimento. 
 
03. (TJM-SP - Oficial de Justiça – VUNESP/2011) Um grande terreno foi dividido em 6 lotes 
retangulares congruentes, conforme mostra a figura, cujas dimensões indicadas estão em metros. 
 
 
Sabendo-se que o perímetro do terreno original, delineado em negrito na figura, mede x + 285, conclui-
se que a área total desse terreno é, em m2, igual a: 
(A) 2 400. 
(B) 2 600. 
(C) 2 800. 
(D) 3000. 
(E) 3 200. 
 
04. (TRT/4ª REGIÃO - Analista Judiciário - Área Judiciária – FCC/2011) Ultimamente tem havido 
muito interesse no aproveitamento da energia solar para suprir outras fontes de energia. Isso fez com 
que, após uma reforma, parte do teto de um salão de uma empresa fosse substituída por uma superfície 
retangular totalmente revestida por células solares, todas feitas de um mesmo material. Considere que: 
- células solares podem converter a energia solar em energia elétrica e que para cada centímetro 
quadrado de célula solar que recebe diretamente a luz do sol é gerada 0,01 watt de potência elétrica; 
- a superfície revestida pelas células solares tem 3,5m de largura por 8,4m de comprimento. 
Assim sendo, se a luz do sol incidir diretamente sobre tais células, a potência elétrica que elas serão 
capazes de gerar em conjunto, em watts, é: 
(A) 294000. 
(B) 38200. 
(C) 29400. 
(D) 3820. 
(E) 2940. 
 
05. (CPTM - Médico do trabalho – MAKIYAMA/2011) Um terreno retangular de perímetro 200m está 
à venda em uma imobiliária. Sabe-se que sua largura tem 28m a menos que o seu comprimento. Se o 
metro quadrado cobrado nesta região é de R$ 50,00, qual será o valor pago por este terreno? 
(A) R$ 10.000,00. 
(B) R$ 100.000,00. 
(C) R$ 125.000,00. 
(D) R$ 115.200,00. 
(E) R$ 100.500,00. 
 
06. Uma pessoa comprou 30 m2 de piso para colocar em uma sala retangular de 4 m de largura, porém, 
ao medir novamente a sala, percebeu que havia comprado 3,6 m2 de piso a mais do que o necessário. O 
perímetro dessa sala, em metros, é de: 
(A) 21,2. 
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. 149 
(B) 22,1. 
(C) 23,4. 
(D) 24,3. 
(E) 25,6 
 
07. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES/2011) A pipa, também conhecida como 
papagaio ou quadrado, foi introduzida no Brasil pelos colonizadores portugueses no século XVI. Para 
montar a pipa, representada na figura, foram utilizados uma vareta de 40 cm de comprimento, duas 
varetas de 32 cm de comprimento, tesoura, papel de seda, cola e linha. 
As varetas são fixadas conforme a figura, formando a estrutura da pipa. A linha é passada em todas 
as pontas da estrutura, e o papel é colado de modo que a extremidade menor da estrutura da pipa fique 
de fora. 
 
Na figura, a superfície sombreada corresponde ao papel de seda que forma o corpo da pipa. A área 
dessa superfície sombreada, em centímetros quadrados, é: 
(A) 576. 
(B) 704. 
(C) 832. 
(D) 1 150. 
(E) 1 472. 
 
08. (TJ/SP – Escrevente Técnico Judiciário – VUNESP/2014) Para efeito decorativo, um arquiteto 
dividiu o piso de rascunho um salão quadrado em 8 regiões com o formato de trapézios retângulos 
congruentes (T), e 4 regiões quadradas congruentes (Q), conforme mostra a figura: 
 
 
Se a área de cada região com a forma de trapézio retângulo é igual a 24 m², então a área total 
desse piso é, em m², igual a 
(A) 324 
(B) 400 
(C) 225 
(D) 256 
(E) 196 
Respostas 
 
01.Resposta: C. 
Sendo l o lado do quadrado e d a diagonal: 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 150 
 
Utilizando o Teorema de Pitágoras: 
d2 = l2 + l2 
(2√7)
2
= 2l2 
4.7 = 2l2 
2l2 = 28 
l2 =
28
2
 
A = 14 cm2 
 
02. Resposta: A. 
- um quadrado terá perímetro x 
 o lado será l =
x
4
 e o outro quadrado terá perímetro 30 – x 
o lado será l1 =
30−x
4
, sabendo que a área de um quadrado é dada por S = l2, temos: 
S = S1 + S2 
S=l²+l1² 
S = (
x
4
)
2
+ (
30−x
4
)
2
 
S =
x2
16
+
(30−x)2
16
, como temos o mesmo denominador 16: 
 
S =
x2 + 302 − 2.30. x + x2
16
 
S =
x2 + 900 − 60x + x2
16
 
 S =
2x2
16
−
60x
16
+
900
16
, 
 
sendo uma equação do 2º grau onde a = 2/16; b = -60/16 e c = 900/16 e o valor de x será o x do vértice 
que e dado pela fórmula: x =
−b
2a
, então: 
 
xv =
−(
−60
16 )
2.
2
16
=
60
16
4
16
 
xv =
60
16
.
16
4
=
60
4
= 15, 
 
logo l = 15 e l1 = 30 – 15 = 15. 
 
03. Resposta: D. 
Observando a figura temos que cada retângulo tem lados medindo x e 0,8x: 
Perímetro = x + 285 
8.0,8x + 6x = x + 285 
6,4x + 6x – x = 285 
11,4x = 285 
x = 285:11,4 
x = 25 
 
Sendo S a área do retângulo: 
S= b.h 
S= 0,8x.x 
S = 0,8x2 
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. 151 
 
Sendo St a área total da figura: 
St = 6.0,8x2 
St = 4,8.252 
St = 4,8.625 
St = 3000 
 
04. Resposta: E. 
Retângulo com as seguintes dimensões: 
Largura: 3,5 m = 350 cm 
Comprimento: 8,4 m = 840 cm 
A = 840.350 
A = 294.000 cm2 
Potência = 294.000.0,01 = 2940 
 
05. Resposta: D. 
Comprimento: x 
Largura: x – 28 
Perímetro = 200 
x + x + x – 28 + x – 28 = 200 
4x – 56 = 200 
4x = 200 + 56 
x = 256 : 4 
x = 64 
Comprimento: 64 
Largura: 64 – 28 = 36 
Área: A = 64.36 = 2304 m2 
Preço = 2304.50,00 = 115.200,00 
 
06. Resposta: A. 
Do enunciado temos que foram comprados 30 m2 de piso e que a sala tem 4 m de largura. Para saber 
o perímetro temos que calcular o comprimento desta sala. 
- houve uma sobra de 3,6 m2, então a área da sala é: 
A = 30 – 3,6 
A = 26,4 m2 
 
- sendo x o comprimento: 
x.4 = 26,4 
x = 26,4 : 4 
x = 6,6 m (este é o comprimento da sala) 
 
- o perímetro (representado por 2p na geometria) é a soma dos 4 lados da sala: 
2p = 4 + 4 + 6,6 + 6,6 = 21,2 m 
 
07. Resposta: C. 
A área procurada é igual a área de um triângulo mais a área de um retângulo. 
 
A = AT + AR 
 
A = 
32.20
2
+ 16.32 
 
A = 320 + 512 = 832 
 
08. Resposta: D. 
 
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. 152 
 
O destaque da figura corresponde a base maior do nosso trapézio, e podemos perceber que equivale 
a 2x e a base menor x, portanto: 
𝐴 =
𝑏 + 𝐵
2
∙ ℎ 
24 =
𝑥 + 2𝑥
2
∙ 𝑥 
 
48 = 3𝑥2 
X²=16 
Substituindo: Atotal =4x 4x=16x²=1616=256 m² 
 
ÁREA DO CIRCULO E SUAS PARTES 
 
I- Círculo: 
Quem primeiro descreveu a área de um círculo foi o matemático grego Arquimedes (287/212 a.C.), de 
Siracusa, mais ou menos por volta do século II antes de Cristo. Ele concluiu que quanto mais lados tem 
um polígono regular mais ele se aproxima de uma circunferência e o apótema (a) deste polígono tende 
ao raio r. Assim, como a fórmula da área de um polígono regular é dada por A = p.a (onde p é 
semiperímetro e a é o apótema), temos para a área do círculo 𝐴 =
2𝜇𝑟
2
. 𝑟, então temos: 
 
 
 
II- Coroa circular: 
É uma região compreendida entre dois círculos concêntricos (tem o mesmo centro). A área da coroa 
circular é igual a diferença entre as áreas do círculo maior e do círculo menor. A = 𝜋R2 – 𝜋r2, como temos 
o 𝜋 como fator comum, podemos colocá-lo em evidência, então temos: 
 
 
 
III- Setor circular: 
É uma região compreendida entre dois raios distintos de um círculo. O setor circular tem como 
elementos principais o raio r, um ângulo central 𝛼 e o comprimento do arco l, então temos duas fórmulas: 
 
 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES. 153 
IV- Segmento circular: 
É uma região compreendida entre um círculo e uma corda (segmento que une dois pontos de uma 
circunferência) deste círculo. Para calcular a área de um segmento circular temos que subtrair a área de 
um triângulo da área de um setor circular, então temos: 
 
 
 
 
Questões 
 
01. (SEDUC/RJ – Professor – Matemática – CEPERJ/2011) A figura abaixo mostra três círculos, 
cada um com 10 cm de raio, tangentes entre si. 
 
Considerando √3 ≅ 1,73 e 𝜋 ≅ 3,14, o valor da área sombreada, em cm2, é: 
(A) 320. 
(B) 330. 
(C) 340. 
(D) 350. 
(E) 360. 
 
02. (Câmara Municipal de Catas Altas/MG - Técnico em Contabilidade – FUMARC/2011) A área 
de um círculo, cuja circunferência tem comprimento 20𝜋 cm, é: 
(A) 100𝜋 cm2. 
(B) 80 𝜋 cm2. 
(C) 160 𝜋 cm2. 
(D) 400 𝜋 cm2. 
 
03. (Petrobrás - Inspetor de Segurança - CESGRANRIO/2011) Quatro tanques de armazenamento 
de óleo, cilíndricos e iguais, estão instalados em uma área retangular de 24,8 m de comprimento por 20,0 
m de largura, como representados na figura abaixo. 
 
Se as bases dos quatro tanques ocupam 
2
5
 da área retangular, qual é, em metros, o diâmetro da base 
de cada tanque? 
Dado: use 𝜋=3,1 
(A) 2. 
(B) 4. 
(C) 6. 
(D) 8. 
(E) 16. 
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. 154 
04. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES/2011) Na figura a seguir, OA = 10 cm, 
OB = 8 cm e AOB = 30°. 
 
Qual, em cm², a área da superfície hachurada. Considere π = 3,14? 
(A) 5,44 cm². 
(B) 6,43 cm². 
(C) 7,40 cm². 
(D) 8,41 cm². 
(E) 9,42 cm². 
 
05. (U. F. de Uberlândia-MG) Uma indústria de embalagens fábrica, em sua linha de produção, discos 
de papelão circulares conforme indicado na figura. Os discos são produzidos a partir de uma folha 
quadrada de lado L cm. Preocupados com o desgaste indireto produzido na natureza pelo desperdício de 
papel, a indústria estima que a área do papelão não aproveitado, em cada folha utilizada, é de (100 - 25π) 
cm2. 
 
Com base nas informações anteriores, é correto afirmar que o valor de L é: 
(A) Primo 
(B) Divisível por 3. 
(C) Ímpar. 
(D) Divisível por 5. 
 
06. Na figura abaixo está representado um quadrado de lado 4 cm e um arco de circunferência com 
centro no vértice do quadrado. Qual é a área da parte sombreada? 
 
(A) 2(4 – π) cm2 
(B) 4 – π cm2 
(C) 4(4 – π) cm2 
(D) 16 cm2 
(E) 16π cm2 
 
07. Calcular a área do segmento circular da figura abaixo, sendo r = 6 cm e o ângulo central do setor 
igual a 60°: 
 
 
 
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. 155 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
Unindo os centros das três circunferências temos um triângulo equilátero de lado 2r ou seja l = 2.10 = 
20 cm. Então a área a ser calculada será: 
 
𝐴 = 𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐 + 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 +
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐
2
 
𝐴 =
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐
2
+ 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 
𝐴 =
𝜋𝑟2
2
+ 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 
 
𝐴 =
𝜋𝑟2
2
+
𝑙2√3
4
 
𝐴 =
(3,14 ∙ 102)
2
+
202 ∙ 1,73
4
 
𝐴 = 1,57 ∙ 100 +
400 ∙ 1,73
4
 
 𝐴 = 157 + 100 ∙ 1,73 = 157 + 173 = 330 
 
02. Resposta: A. 
A fórmula do comprimento de uma circunferência é C = 2π.r, Então: 
C = 20π 
2π.r = 20π 
r =
20π
2π
 
r = 10 cm 
A = π.r2 
A = π.102 
A = 100π cm2 
 
03. Resposta: D. 
Primeiro calculamos a área do retângulo (A = b.h) 
Aret = 24,8.20 
Aret = 496 m2 
 
4.Acirc = 
2
5
.Aret 
 
4.πr2 = 
2
5
.496 
4.3,1.r2 = 
992
5
 
12,4.r2 = 198,4 
r2 = 198,4 : 12, 4 
r2 = 16 
r = 4 
d = 2r =2.4 = 8 
 
04. Resposta: E. 
OA = 10 cm (R = raio da circunferência maior), OB = 8 cm (r = raio da circunferência menor). A área 
hachurada é parte de uma coroa circular que é dada pela fórmula Acoroa = π(R2 – r2). 
 
Acoroa = 3,14.(102 – 82) 
Acoroa = 3,14.(100 – 64) 
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. 156 
Acoroa = 3,14.36 = 113,04 cm2 
- como o ângulo dado é 30° 
360° : 30° = 12 partes iguais. 
Ahachurada = 113,04 : 12 = 9,42 cm2 
 
05. Resposta: D. 
A área de papelão não aproveitado é igual a área do quadrado menos a área de 9 círculos. Sendo que 
a área do quadrado é A = L2 e a área do círculo A = π.r2. O lado L do quadrado, pela figura dada, é igual 
a 6 raios do círculo. Então: 
 
 
06. Resposta: C. 
A área da região sombreada é igual a área do quadrado menos ¼ da área do círculo (setor com ângulo 
de 90°). 
 
 
07. Resposta: 3(2π - 3√𝟑) cm2. 
 
 
 
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. 157 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS - N 
 
O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são 
construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos 
indo-arábicos. Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de 
objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as 
mesmas propriedades algébricas que estes números. 
Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este 
conjunto como: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} 
 
As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos 
números. 
 
Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por: 
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} 
 
Subconjuntos notáveis em N: 
 
1 – Números Naturais não nulos 
N* ={1,2,3,4,...,n,...}; N* = N-{0} 
 
2 – Números Naturais pares 
Np = {0,2,4,6,...,2n,...}; com n ∈ N 
 
3 - Números Naturais ímpares 
Ni = {1,3,5,7,...,2n+1,...} com n ∈ N 
 
4 - Números primos 
P={2,3,5,7,11,13...} 
 
 
A construção dos Números Naturais 
- Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando 
também o zero. 
Exemplos: Seja m um número natural. 
a) O sucessor de m é m+1. 
b) O sucessor de 0 é 1. 
c) O sucessor de 3 é 4. 
 
- Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números 
consecutivos. 
Exemplos: 
a) 1 e 2 são números consecutivos. 
b) 7 e 8 são números consecutivos. 
c) 50 e 51 são números consecutivos. 
 
- Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do 
primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente. 
Exemplos: 
a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos. 
b) 7, 8 e 9 são consecutivos. 
c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos. 
 
Álgebra básica e sistemas lineares. 
 
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. 158 
- Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número 
dado). 
Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero. 
a) O antecessor do número m é m-1. 
b) O antecessor de 2 é 1. 
c) O antecessor de 56 é 55. 
d) O antecessor de 10 é 9. 
 
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma sequência 
real seja outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação 
sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares: P = {0, 
2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} 
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também 
chamados, a sequência dos números ímpares. I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...} 
 
Operações com Números Naturais 
Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais. 
Praticamente, toda a Matemática é construída a partir dessas duas operações: adição e multiplicação. 
 
- Adição de Números NaturaisA primeira operação fundamental da Aritmética tem por finalidade reunir em um só número, todas as 
unidades de dois ou mais números. 
Exemplo: 
5 + 4 = 9, onde 5 e 4 são as parcelas e 9 soma ou total 
 
 
-Subtração de Números Naturais 
É usada quando precisamos tirar uma quantia de outra, é a operação inversa da adição. A operação 
de subtração só é válida nos naturais quando subtraímos o maior número do menor, ou seja quando a-b 
tal que a≥ 𝑏. 
Exemplo: 
254 – 193 = 61, onde 254 é o Minuendo, o 193 Subtraendo e 061 a diferença. 
 
Obs.: o minuendo também é conhecido como aditivo e o subtraendo como subtrativo. 
 
- Multiplicação de Números Naturais 
É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, 
tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominadas multiplicador. 
Exemplo: 
2 x 5 = 10, onde 2 e 5 são os fatores e o 10 produto. 
 
- 2 vezes 5 é somar o número 2 cinco vezes: 2 x 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10. Podemos no lugar do “x” 
(vezes) utilizar o ponto “. “, para indicar a multiplicação). 
 
- Divisão de Números Naturais 
Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no 
primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o 
divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente 
obteremos o dividendo. 
No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um 
número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata. 
 
 
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. 159 
Relações essenciais numa divisão de números naturais: 
 
- Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo. 
35 : 7 = 5 
- Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente. 
35 = 5 x 7 
 
- A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos que o quociente 
fosse q, então poderíamos escrever: n ÷ 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q = 0 o que não é correto! 
Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível. 
 
Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Naturais 
Para todo a, b e c ∈ 𝑁 
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 
2) Comutativa da adição: a + b = b + a 
3) Elemento neutro da adição: a + 0 = a 
4) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c) 
5) Comutativa da multiplicação: a.b = b.a 
6) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a 
7) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b +c ) = ab + ac 
8) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .(b –c) = ab –ac 
9) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, 
continua como resultado um número natural. 
 
Questões 
 
01. (SABESP – APRENDIZ – FCC/2012) A partir de 1º de março, uma cantina escolar adotou um 
sistema de recebimento por cartão eletrônico. Esse cartão funciona como uma conta corrente: coloca-se 
crédito e vão sendo debitados os gastos. É possível o saldo negativo. Enzo toma lanche diariamente na 
cantina e sua mãe credita valores no cartão todas as semanas. Ao final de março, ele anotou o seu 
consumo e os pagamentos na seguinte tabela: 
 
No final do mês, Enzo observou que tinha 
(A) crédito de R$ 7,00. 
(B) débito de R$ 7,00. 
(C) crédito de R$ 5,00. 
(D) débito de R$ 5,00. 
(E) empatado suas despesas e seus créditos. 
 
02. (PREF. IMARUI/SC – AUXILIAR DE SERVIÇOS GERAIS - PREF. IMARUI/2014) José, funcionário 
público, recebe salário bruto de R$ 2.000,00. Em sua folha de pagamento vem o desconto de R$ 200,00 
de INSS e R$ 35,00 de sindicato. Qual o salário líquido de José? 
(A) R$ 1800,00 
(B) R$ 1765,00 
(C) R$ 1675,00 
(D) R$ 1665,00 
 
03. (Professor/Pref.de Itaboraí) O quociente entre dois números naturais é 10. Multiplicando-se o 
dividendo por cinco e reduzindo-se o divisor à metade, o quociente da nova divisão será: 
(A) 2 
(B) 5 
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. 160 
(C) 25 
(D) 50 
(E) 100 
 
04. (PREF. ÁGUAS DE CHAPECÓ – OPERADOR DE MÁQUINAS – ALTERNATIVE CONCURSOS) 
Em uma loja, as compras feitas a prazo podem ser pagas em até 12 vezes sem juros. Se João comprar 
uma geladeira no valor de R$ 2.100,00 em 12 vezes, pagará uma prestação de: 
(A) R$ 150,00. 
(B) R$ 175,00. 
(C) R$ 200,00. 
(D) R$ 225,00. 
 
05. PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA/2013) Ontem, eu 
tinha 345 bolinhas de gude em minha coleção. Porém, hoje, participei de um campeonato com meus 
amigos e perdi 67 bolinhas, mas ganhei outras 90. Sendo assim, qual a quantidade de bolinhas que tenho 
agora, depois de participar do campeonato? 
(A) 368 
(B) 270 
(C) 365 
(D) 290 
(E) 376 
 
06. (Pref. Niterói) João e Maria disputaram a prefeitura de uma determinada cidade que possui apenas 
duas zonas eleitorais. Ao final da sua apuração o Tribunal Regional Eleitoral divulgou a seguinte tabela 
com os resultados da eleição. A quantidade de eleitores desta cidade é: 
 
 1ª Zona 
Eleitoral 
2ª Zona 
Eleitoral 
João 1750 2245 
Maria 850 2320 
Nulos 150 217 
Brancos 18 25 
Abstenções 183 175 
(A) 3995 
(B) 7165 
(C) 7532 
(D) 7575 
(E) 7933 
 
07. (PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA/2013) Durante 
um mutirão para promover a limpeza de uma cidade, os 15.000 voluntários foram igualmente divididos 
entre as cinco regiões de tal cidade. Sendo assim, cada região contou com um número de voluntários 
igual a: 
(A) 2500 
(B) 3200 
(C) 1500 
(D) 3000 
(E) 2000 
 
08. EBSERH/HU-UFGD – Técnico em Informática – AOCP/2014) Joana pretende dividir um 
determinado número de bombons entre seus 3 filhos. Sabendo que o número de bombons é maior que 
24 e menor que 29, e que fazendo a divisão cada um dos seus 3 filhos receberá 9 bombons e sobrará 1 
na caixa, quantos bombons ao todo Joana possui? 
(A) 24. 
(B) 25. 
(C) 26. 
(D) 27. 
(E) 28 
 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 161 
09. (CREFITO/SP – ALMOXARIFE – VUNESP/2012) O sucessor do dobro de determinado número é 
23. Esse mesmo determinado número somado a 1 e, depois, dobrado será igual a 
(A) 24. 
(B) 22. 
(C) 20. 
(D) 18. 
(E) 16. 
 
10. (Prefeitura Municipal de Ribeirão Preto/SP – Agente de Administração – VUNESP/2014) Em 
uma gráfica, a máquina utilizada para imprimir certo tipo de calendário está com defeito, e, após imprimir 
5 calendários perfeitos (P), o próximo sai com defeito (D), conforme mostra o esquema. 
 
Considerando que, ao se imprimir um lote com 5 000 calendários, os cinco primeiros saíram perfeitos 
e o sexto saiu com defeito e que essa mesma sequência se manteve durante toda a impressão do lote, é 
correto dizer que o número de calendários perfeitos desse lote foi 
(A) 3 642. 
(B) 3 828. 
(C) 4 093. 
(D) 4 167. 
(E) 4 256. 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
Crédito: 40 + 30 + 35 + 15 = 120 
Débito: 27 + 33 + 42 + 25 = 127 
120 – 127 = - 7 
Ele tem um débito de R$ 7,00. 
 
02. Resposta: B. 
2000 – 200 = 1800 – 35 = 1765 
O salário líquido de José é R$ 1.765,00. 
 
03. Resposta: E. 
D= dividendo 
d= divisor 
Q = quociente = 10 
R= resto = 0 (divisão exata) 
Equacionando: 
D = d.Q + R 
D = d.10 + 0  D = 10d 
Pela nova divisão temos: 
5𝐷 =
𝑑
2
. 𝑄 → 5. (10𝑑) =
𝑑
2
. 𝑄 , isolando Q temos: 
 
𝑄 = 
50𝑑
𝑑
2
 → 𝑄 = 50𝑑.
2
𝑑
 → 𝑄 = 50.2 → 𝑄 = 100 
 
04. Resposta: B. 
 
2100
12
= 175 
 
Cada prestação será de R$175,00 
 
05. Resposta: A. 
345 – 67 = 278 
Depoisganhou 90 
278 + 90 = 368 
 
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. 162 
06. Resposta: E. 
Vamos somar a 1ª Zona: 1750 + 850 + 150 + 18 + 183 = 2951 
2ª Zona: 2245 + 2320 + 217 + 25 + 175 = 4982 
Somando os dois: 2951 + 4982 = 7933 
 
07. Resposta: D. 
15000
5
= 3000 
Cada região terá 3000 voluntários. 
 
08. Resposta: E. 
Sabemos que 9. 3 = 27 e que, para sobrar 1, devemos fazer 27 + 1 = 28. 
 
09. Resposta: A. 
Se o sucessor é 23, o dobro do número é 22, portanto o número é 11. 
(11 + 1)2 = 24 
 
10. Resposta: D. 
Vamos dividir 5000 pela sequência repetida (6): 
5000 / 6 = 833 + resto 2. 
Isto significa que saíram 833. 5 = 4165 calendários perfeitos, mais 2 calendários perfeitos que restaram 
na conta de divisão. 
Assim, são 4167 calendários perfeitos. 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS – Z 
 
Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais N = {0, 
1, 2, 3, 4,..., n,...}, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela 
letra Z (Zahlen = número em alemão). 
 
 
 
 
O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos notáveis: 
 
- O conjunto dos números inteiros não nulos: 
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}; 
Z* = Z – {0} 
 
- O conjunto dos números inteiros não negativos: 
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...} 
Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N 
 
- O conjunto dos números inteiros positivos: 
Z*+ = {1, 2, 3, 4,...} 
 
- O conjunto dos números inteiros não positivos: 
Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} 
 
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. 163 
- O conjunto dos números inteiros negativos: 
Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1} 
 
Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância ou afastamento desse número até o zero, 
na reta numérica inteira. Representa-se o módulo por | |. 
O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0 
O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7 
O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9 
O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo. 
 
Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma 
zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem. 
Exemplo: O oposto do número 3 é -3, e o oposto de -3 é 3, pois 3 + (-3) = (-3) + 3 = 0 
No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e vice-versa; particularmente o oposto de 
zero é o próprio zero. 
 
 
Adição de Números Inteiros 
Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a ideia de 
ganhar e aos números inteiros negativos a ideia de perder. 
Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+ 5) + (+ 3) = (+8) 
Perder 3 + perder 4 = perder 7 (- 3) + (- 4) = (- 7) 
Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+ 8) + (- 5) = (+ 3) 
Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (- 8) + (+ 5) = (- 3) 
 
O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (–) antes do número negativo 
nunca pode ser dispensado. 
 
Subtração de Números Inteiros 
A subtração é empregada quando: 
- Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade; 
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais que a outra; 
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra. 
 
A subtração é a operação inversa da adição. 
Observe que em uma subtração o sinal do resultado é sempre do maior número!!! 
4 + 5 = 9 
4 – 5 = -1 
 
Considere as seguintes situações: 
 
1 - Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de +3 graus para +6 graus. Qual foi a 
variação da temperatura? 
Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +3 
 
2 - Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia, era de +6 graus. À Noite, a temperatura 
baixou de 3 graus. Qual a temperatura registrada na noite de terça-feira? 
Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3 
Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – (+3) é o mesmo que (+6) + (–3). 
Temos: 
(+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3 
(+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3 
(–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3 
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. 164 
Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto 
do segundo. 
 
Fique Atento: todos parênteses, colchetes, chaves, números, ..., entre outros, precedidos de sinal 
negativo, tem o seu sinal invertido, ou seja, é dado o seu oposto. 
 
Multiplicação de Números Inteiros 
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são 
repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma 
quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e 
está repetição pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30 
Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + (–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = –60 
Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos. 
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem 
nenhum sinal entre as letras. 
 
Divisão de Números Inteiros 
 
- Divisão exata de números inteiros. 
 Veja o cálculo: 
(– 20): (+ 5) = q  (+ 5) . q = (– 20)  q = (– 4) 
Logo: (– 20): (+ 5) = - 4 
 
Considerando os exemplos dados, concluímos que, para efetuar a divisão exata de um número inteiro 
por outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. 
Exemplo: (+7): (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem ser realizadas em Z, pois o resultado 
não é um número inteiro. 
- No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade da existência 
do elemento neutro. 
- Não existe divisão por zero. 
- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de zero, é zero, pois o produto de qualquer 
número inteiro por zero é igual a zero. 
Exemplo: 0: (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0 
 
Regra de Sinais da Multiplicação e Divisão: 
→ Sinais iguais (+) (+); (-) (-) = resultado sempre positivo. 
→ Sinais diferentes (+) (-); (-) (+) = resultado sempre negativo. 
 
Potenciação de Números Inteiros 
A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é 
denominado a base e o número n é o expoente.an = a x a x a x a x ... x a , a é multiplicado por a n vezes 
 
 
Exemplos: 
33 = (3) x (3) x (3) = 27 
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. 165 
(-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125 
(-7)² = (-7) x (-7) = 49 
(+9)² = (+9) x (+9) = 81 
 
- Toda potência de base positiva é um número inteiro positivo. 
Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9 
 
- Toda potência de base negativa e expoente par é um número inteiro positivo. 
Exemplo: (– 8)2 = (–8) . (–8) = +64 
 
- Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um número inteiro negativo. 
Exemplo: (–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125 
 
- Propriedades da Potenciação: 
 
1) Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e somam-se os expoentes. (–7)3 
. (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9 
 
2) Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. (-
13)8 : (-13)6 = (-13)8 – 6 = (-13)2 
 
3) Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. [(-8)5]2 = (-8)5 . 2 = (-8)10 
 
4) Potência de expoente 1: É sempre igual à base. (-8)1 = -8 e (+70)1 = +70 
 
5) Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual a 1. 
Exemplo: (+3)0 = 1 e (–53)0 = 1 
 
Radiciação deNúmeros Inteiros 
A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro 
não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto 
que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). 
A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro 
não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número a. 
 
Atenção: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números 
inteiros. 
 
Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas 
aparecimento de: 
9
 = ± 3, mas isto está errado. O certo é: 
9
 = +3 
 
Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte 
em um número negativo. 
 
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro 
que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos 
números não negativos. 
 
Exemplos: 
(a) 
3 8
 = 2, pois 2³ = 8. 
(b) 
3 8
 = –2, pois (–2)³ = -8. 
(c) 
3 27
= 3, pois 3³ = 27. 
(d) 
3 27
 = –3, pois (–3)³ = -27. 
 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 166 
Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que: 
(1) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo. 
(2) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro. 
 
Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Inteiros 
Para todo a, b e c ∈ 𝑍 
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 
2) Comutativa da adição: a + b = b +a 
3) Elemento neutro da adição : a + 0 = a 
4) Elemento oposto da adição: a + (-a) = 0 
5) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c) 
6) Comutativa da multiplicação : a.b = b.a 
7) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a 
8) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b +c ) = ab + ac 
9) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .(b –c) = ab –ac 
10) Elemento inverso da multiplicação: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso 
 z –1 = 1/z em Z, tal que, z x z–1 = z x (1/z) = 1 
11) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, 
continua como resultado um número natural. 
 
Questões 
 
01 (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE EDUCACIONAL – VUNESP/2013) Para zelar pelos jovens 
internados e orientá-los a respeito do uso adequado dos materiais em geral e dos recursos utilizados em 
atividades educativas, bem como da preservação predial, realizou-se uma dinâmica elencando “atitudes 
positivas” e “atitudes negativas”, no entendimento dos elementos do grupo. Solicitou-se que cada um 
classificasse suas atitudes como positiva ou negativa, atribuindo (+4) pontos a cada atitude positiva e (-
1) a cada atitude negativa. Se um jovem classificou como positiva apenas 20 das 50 atitudes anotadas, 
o total de pontos atribuídos foi 
(A) 50. 
(B) 45. 
(C) 42. 
(D) 36. 
(E) 32. 
 
02. (UEM/PR – AUXILIAR OPERACIONAL – UEM/2014) Ruth tem somente R$ 2.200,00 e deseja 
gastar a maior quantidade possível, sem ficar devendo na loja. 
Verificou o preço de alguns produtos: 
TV: R$ 562,00 
DVD: R$ 399,00 
Micro-ondas: R$ 429,00 
Geladeira: R$ 1.213,00 
 
Na aquisição dos produtos, conforme as condições mencionadas, e pagando a compra em dinheiro, o 
troco recebido será de: 
(A) R$ 84,00 
(B) R$ 74,00 
(C) R$ 36,00 
(D) R$ 26,00 
(E) R$ 16,00 
 
03. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO/2013) Multiplicando-se o maior número 
inteiro menor do que 8 pelo menor número inteiro maior do que - 8, o resultado encontrado será 
(A) - 72 
(B) - 63 
(C) - 56 
(D) - 49 
(E) – 42 
 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 167 
04. (SEPLAG - POLÍCIA MILITAR/MG - ASSISTENTE ADMINISTRATIVO - FCC/2012) Em um jogo 
de tabuleiro, Carla e Mateus obtiveram os seguintes resultados: 
 
Carla Mateus 
1ª Partida Ganhou 520 pontos 1ª Partida Perdeu 280 pontos 
2ª Partida Perdeu 220 pontos 2ª Partida Ganhou 675 pontos 
3ª Partida Perdeu 485 pontos 3ª Partida Ganhou 295 pontos 
4ª partida Ganhou 635 pontos 4ª partida Perdeu 115 pontos 
 
Ao término dessas quatro partidas, 
(A) Carla perdeu por uma diferença de 150 pontos. 
(B) Mateus perdeu por uma diferença de 175 pontos. 
(C) Mateus ganhou por uma diferença de 125 pontos. 
(D) Carla e Mateus empataram. 
 
05. (PREFEITURA DE PALMAS/TO – TÉCNICO ADMINISTRATIVO EDUCACIONAL – COPESE - 
UFT/2013) Num determinado estacionamento da cidade de Palmas há vagas para carros e motos. 
Durante uma ronda dos agentes de trânsito, foi observado que o número total de rodas nesse 
estacionamento era de 124 (desconsiderando os estepes dos veículos). Sabendo que haviam 12 motos 
no estacionamento naquele momento, é CORRETO afirmar que estavam estacionados: 
(A) 19 carros 
(B) 25 carros 
(C) 38 carros 
(D) 50 carros 
 
06. (CASA DA MOEDA) O quadro abaixo indica o número de passageiros num voo entre Curitiba e 
Belém, com duas escalas, uma no Rio de Janeiro e outra em Brasília. Os números positivos indicam a 
quantidade de passageiros que subiram no avião e os negativos, a quantidade dos que desceram em 
cada cidade. 
Curitiba +240 
Rio de Janeiro -194 
+158 
Brasília -108 
+94 
O número de passageiros que chegou a Belém foi: 
(A) 362 
(B) 280 
(C) 240 
(D) 190 
(E) 135 
 
07. (Pref.de Niterói) As variações de temperatura nos desertos são extremas. Supondo que durantes 
o dia a temperatura seja de 45ºC e à noite seja de -10ºC, a diferença de temperatura entre o dia e noite, 
em ºC será de: 
(A) 10 
(B) 35 
(C) 45 
(D) 50 
(E) 55 
 
08. (Pref.de Niterói) Um trabalhador deseja economizar para adquirir a vista uma televisão que custa 
R$ 420,00. Sabendo que o mesmo consegue economizar R$ 35,00 por mês, o número de meses que ele 
levará para adquirir a televisão será: 
(A) 6 
(B) 8 
(C) 10 
(D) 12 
(E) 15 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 168 
09. (Pref.de Niterói) Um estudante empilhou seus livros, obtendo uma única pilha 52cm de altura. 
Sabendo que 8 desses livros possui uma espessura de 2cm, e que os livros restantes possuem espessura 
de 3cm, o número de livros na pilha é: 
(A) 10 
(B) 15 
(C) 18 
(D) 20 
(E) 22 
 
10. (FINEP – Assistente – Apoio administrativo – CESGRANRIO/2014) Um menino estava parado 
no oitavo degrau de uma escada, contado a partir de sua base (parte mais baixa da escada). A escada 
tinha 25 degraus. O menino subiu mais 13 degraus. Logo em seguida, desceu 15 degraus e parou 
novamente. 
A quantos degraus do topo da escada ele parou? 
(A) 8 
(B) 10 
(C) 11 
(D) 15 
(E) 19 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
50-20=30 atitudes negativas 
20.4=80 
30.(-1)=-30 
80-30=50 
 
02. Resposta: D. 
Geladeira + Micro-ondas + DVD = 1213 + 429 + 399 = 2041 
Geladeira + Micro-ondas + TV = 1213 + 429 + 562 = 2204, extrapola o orçamento 
Geladeira + TV + DVD = 1213 + 562 + 399 = 2174, é a maior quantidade gasta possível dentro do 
orçamento. 
Troco:2200 – 2174 = 26 reais 
 
03. Resposta: D. 
Maior inteiro menor que 8 é o 7 
Menor inteiro maior que - 8 é o - 7. 
Portanto: 7(- 7) = - 49 
 
04. Resposta: C. 
Carla: 520 – 220 – 485 + 635 = 450 pontos 
Mateus: - 280 + 675 + 295 – 115 = 575 pontos 
Diferença: 575 – 450 = 125 pontos 
 
05. Resposta: B. 
Moto: 2 rodas 
Carro: 4 
12.2=24 
124-24=100 → 100/4=25 carros 
 
06. Resposta: D. 
240 - 194 + 158 - 108 + 94 = 190 
 
07. Resposta: E. 
45 – (- 10) = 55 
 
08. Resposta: D. 
420 : 35 = 12 meses 
1342548 E-book geradoespecialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 169 
09. Resposta: D. 
São 8 livros de 2 cm: 8.2 = 16 cm 
Como eu tenho 52 cm ao todo e os demais livros tem 3 cm, temos: 
52 - 16 = 36 cm de altura de livros de 3 cm 
36 : 3 = 12 livros de 3 cm 
O total de livros da pilha: 8 + 12 = 20 livros ao todo. 
 
10. Resposta: E. 
 8 + 13 = 21 
21– 15 = 6 
25 – 6 = 19 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS – Q 
 
Um número racional é o que pode ser escrito na forma 
n
m
, onde m e n são números inteiros, sendo 
que n deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. 
Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números 
inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum 
encontrarmos na literatura a notação: 
Q = {
n
m
: m e n em Z, n diferente de zero} 
 
 
No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos: 
- Q* = conjunto dos racionais não nulos; 
- Q+ = conjunto dos racionais não negativos; 
- Q*+ = conjunto dos racionais positivos; 
- Q _ = conjunto dos racionais não positivos; 
- Q*_ = conjunto dos racionais negativos. 
 
Representação Decimal das Frações 
Tomemos um número racional 
q
p , tal que p não seja múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal, 
basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. 
Nessa divisão podem ocorrer dois casos: 
1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos: 
5
2
= 0,4 
4
1
= 0,25 
4
35
= 8,75 
50
153
= 3,06 
 
2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-
se periodicamente Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas: 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 170 
3
1
= 0,333... 
22
1
= 0,04545... 
66
167
= 2,53030... 
 
Existem frações muito simples que são representadas por formas decimais infinitas, com uma 
característica especial: existe um período. 
 
 
 Aproveitando o exemplo acima temos 0,333... = 3. 1/101 + 3 . 1/102 + 3 . 1/103 + 3 . 1/104 ... 
 
Representação Fracionária dos Números Decimais 
Trata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos 
escrevê-lo na forma de fração. Temos dois casos: 
1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o 
denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do 
número decimal dado: 
 
0,9 = 
10
9
 
5,7 = 
10
57
 
0,76 = 
100
76
 
3,48 = 
100
348
 
0,005 = 
1000
5
= 
200
1
 
 
2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento 
através de alguns exemplos: 
 
Exemplos: 
1) Seja a dízima 0, 333.... 
Veja que o período que se repete é apenas 1(formado pelo 3)  então vamos colocar um 9 no 
denominador e repetir no numerador o período. 
 
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração
9
3
. 
2) Seja a dízima 5, 1717.... 
O período que se repete é o 17, logo dois noves no denominador (99). Observe também que o 5 é a 
parte inteira, logo ele vem na frente: 
 
5
17
99
 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 → (5.99 + 17) = 512, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶ 
512
99
 
 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 171 
Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 
99
512
. 
 
 
 
3) Seja a dízima 1, 23434... 
O número 234 é a junção do ante período com o período. Neste caso temos um dízima periódica é 
composta, pois existe uma parte que não se repete e outra que se repete. Neste caso temos um ante 
período (2) e o período (34). Ao subtrairmos deste número o ante período(234-2), obtemos 232, o 
numerador. O denominador é formado por tantos dígitos 9 – que correspondem ao período, neste caso 
99(dois noves) – e pelo dígito 0 – que correspondem a tantos dígitos tiverem o ante período, neste caso 
0(um zero). 
 
 
1
232
990
 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 − 𝑎 → (1.990 + 232) = 1222, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶ 
1222
990
 
 
Simplificando por 2, obtemos x = 
495
611
, a fração geratriz da dízima 1, 23434... 
 
Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que representa esse número ao ponto de abscissa 
zero. 
 
 
Exemplos: 
1) Módulo de – 
2
3
 é 
2
3
. Indica-se 
2
3

 = 
2
3 
 
2) Módulo de + 
2
3
 é 
2
3
. Indica-se 
2
3

 = 
2
3 
 
Números Opostos: Dizemos que –
2
3
 e 
2
3
 são números racionais opostos ou simétricos e cada um 
deles é o oposto do outro. As distâncias dos pontos – 
2
3
 e 
2
3
 ao ponto zero da reta são iguais. 
 
Inverso de um Número Racional 
 
(
𝒂
𝒃
)
−𝒏
, 𝒂 ≠ 𝟎 = (
𝒃
𝒂
)
𝒏
, 𝒃 ≠ 𝟎 
 
Neste caso para transformarmos uma dízima periódica 
simples em fração basta utilizarmos o dígito 9 no 
denominador para cada quantos dígitos tiver o período da 
dízima. 
 
 
 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 172 
Representação geométrica dos Números Racionais 
 
 
Observa-se que entre dois inteiros consecutivos existem infinitos números racionais. 
 
Soma (Adição) de Números Racionais 
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a 
adição entre os números racionais 
b
a
e 
d
c
, da mesma forma que a soma de frações, através de: 
 
b
a
 + 
d
c
 = 
bd
bcad 
 
 
Subtração de Números Racionais 
 A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o 
oposto de q, isto é: p – q = p + (–q) 
b
a
 - 
d
c
 = 
bd
bcad 
 
 
Multiplicação (Produto) de Números Racionais 
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o 
produto de dois números racionais 
b
a
e 
d
c
, da mesma forma que o produto de frações, através de: 
b
a
 x 
d
c
 = 
bd
ac
 
 
O produto dos números racionais a/b e c/d também pode ser indicado por a/b × c/d, a/b.c/d . Para 
realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em 
toda a Matemática: 
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o 
produto de dois números com sinais diferentes é negativo. 
 
 
(+1) x (+1) = (+1) 
(+1) x (-1) = (-1) 
(-1) x (+1) = (-1) 
(-1) x (-1) = (+1) 
 
 
 Propriedades da Adição e Multiplicação de Números Racionais 
1) Fechamento: O conjunto Q é fechado para a operação de adição e multiplicação, isto é, a soma e a 
multiplicação de dois números racionais ainda é um número racional. 
2) Associativa da adição: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c 
3) Comutativa da adição: Para todos a, b em Q: a + b = b + a 
4) Elemento neutro da adição: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, 
isto é: q + 0 = q 
5) Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que q + (–q) = 0 
6) Associativa da multiplicação: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c 
7) Comutativa da multiplicação: Para todos a, b em Q: a × b = b × a 
8) Elemento neutro da multiplicação: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o 
próprio q, isto é: q × 1 = q 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 173 
9) Elemento inverso da multiplicação: Para todo q = 
b
a
 em Q, q diferente de zero, existe : 
q-1 = 
a
b
em Q: q × q-1 = 1 
ba
x 
a
b
 = 1 
10) Distributiva da multiplicação: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) 
 
 Divisão(Quociente) de Números Racionais 
 A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo 
inverso de q, isto é: p ÷ q = p × q-1 
𝒂
𝒃
:
𝒄
𝒅
=
𝒂
𝒃
.
𝒅
𝒄
 
 
Potenciação de Números Racionais 
A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a 
base e o número n é o expoente. 
qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes) 
 
Exemplos: 
a) 3
5
2






= 






5
2 . 






5
2 . 






5
2 = 
125
8
 
 
b) 3
2
1







= 







2
1 . 







2
1 . 







2
1 = 
8
1

 
 
- Propriedades da Potenciação: 
 
1) Toda potência com expoente 0 é igual a 1. 
0
5
2







 = 1 
 
2) Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.
 
 
1
4
9







 = 
4
9

 
 
3) Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a outra 
potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente 
anterior. 
2
5
3








= 2
3
5







= 
9
25
 
 
4) Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base. 
3
3
2






= 






3
2 . 






3
2 . 






3
2 = 
27
8
 
 
5) Toda potência com expoente par é um número positivo. 
2
5
1







= 







5
1 . 







5
1 = 
25
1
 
 
6) Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma 
só potência, conservamos a base e somamos os expoentes. 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 174 
2
5
2






. 3
5
2






= 532
5
2
5
2
5
2
.
5
2
.
5
2
.
5
2
.
5
2
























 
 
7) Quociente de potências de mesma base. Para reduzir um quociente de potências de mesma base 
a uma só potência, conservamos a base e subtraímos os expoentes. 
32525
2
3
2
3
2
3
.
2
3
2
3
.
2
3
.
2
3
.
2
3
.
2
3
2
3
:
2
3

























 
 
8) Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente, 
conservamos a base e multiplicamos os expoentes. 
623222222
3
2
2
1
2
1
2
1
2
1
.
2
1
.
2
1
2
1



















































 ou 62.332
2
1
2
1
2
1


























 
 
Radiciação de Números Racionais 
Se um número representa um produto de dois ou mais fatores iguais, então cada fator é chamado raiz 
do número. 
Exemplos: 
1) 
9
1
 Representa o produto 
3
1
.
3
1
ou 2
3
1






.Logo,
3
1
é a raiz quadrada de 
9
1
. 
Indica-se 
9
1 = 
3
1
 
 
2) 0,216 Representa o produto 0,6 . 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 0,6 é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 
3 216,0
= 0,6. 
 
Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o número zero ou um número racional positivo. 
Logo, os números racionais negativos não têm raiz quadrada em Q. 
O número 
9
100

 não tem raiz quadrada em Q, pois tanto 
3
10

 como 
3
10

, quando elevados ao 
quadrado, dão 
9
100
. 
Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um 
quadrado perfeito. 
O número 
3
2
 não tem raiz quadrada em Q, pois não existe número racional que elevado ao quadrado 
dê 
3
2
. 
Questões 
 
01. (PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA/2013) Na escola 
onde estudo, ¼ dos alunos tem a língua portuguesa como disciplina favorita, 9/20 têm a matemática como 
favorita e os demais têm ciências como favorita. Sendo assim, qual fração representa os alunos que têm 
ciências como disciplina favorita? 
(A) 1/4 
(B) 3/10 
(C) 2/9 
(D) 4/5 
(E) 3/2 
 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 175 
02. (UEM/PR – AUXILIAR OPERACIONAL – UEM/2014) Dirce comprou 7 lapiseiras e pagou R$ 8,30, 
em cada uma delas. Pagou com uma nota de 100 reais e obteve um desconto de 10 centavos. Quantos 
reais ela recebeu de troco? 
(A) R$ 40,00 
(B) R$ 42,00 
(C) R$ 44,00 
(D) R$ 46,00 
(E) R$ 48,00 
 
03. (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE DE APOIO OPERACIONAL – VUNESP/2013) De um total de 180 
candidatos, 2/5 estudam inglês, 2/9 estudam francês, 1/3estuda espanhol e o restante estuda alemão. O 
número de candidatos que estuda alemão é: 
(A) 6. 
(B) 7. 
(C) 8. 
(D) 9. 
(E) 10. 
 
04. (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE DE APOIO OPERACIONAL – VUNESP/2013) Em um estado do 
Sudeste, um Agente de Apoio Operacional tem um salário mensal de: salário-base R$ 617,16 e uma 
gratificação de R$ 185,15. No mês passado, ele fez 8 horas extras a R$ 8,50 cada hora, mas precisou 
faltar um dia e foi descontado em R$ 28,40. No mês passado, seu salário totalizou 
(A) R$ 810,81. 
(B) R$ 821,31. 
(C) R$ 838,51. 
(D) R$ 841,91. 
(E) R$ 870,31. 
 
05. (Pref. Niterói) Simplificando a expressão abaixo 
 
Obtém-se 
1,3333…+
3
2
1,5+
4
3
 : 
(A) ½ 
(B) 1 
(C) 3/2 
(D) 2 
(E) 3 
 
06. (SABESP – APRENDIZ – FCC/2012) Em um jogo matemático, cada jogador tem direito a 5 cartões 
marcados com um número, sendo que todos os jogadores recebem os mesmos números. Após todos os 
jogadores receberem seus cartões, aleatoriamente, realizam uma determinada tarefa que também é 
sorteada. Vence o jogo quem cumprir a tarefa corretamente. Em uma rodada em que a tarefa era colocar 
os números marcados nos cartões em ordem crescente, venceu o jogador que apresentou a sequência 
 (𝐴) − 4; −1; √16; √25;
14
3
 
(𝐵) − 1; −4; √16; 
14
3
; √25 
(𝐶) − 1; −4; 
14
3
; √16; ; √25 
(𝐷) − 4; −1; √16;
14
3
; √25 
(𝐸 ) − 4; −1; 
14
3
; √16; √25 
 
 07. (Sabesp/SP – Agente de Saneamento Ambiental – FCC/2014) Somando-se certo número 
positivo x ao numerador, e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da fração 2/3 obtém-se 
como resultado, o número 5. Sendo assim, x é igual a 
(A) 52/25. 
(B) 13/6. 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 176 
(C) 7/3. 
(D) 5/2. 
(E) 47/23. 
 
08. (SABESP – APRENDIZ – FCC/2012) Mariana abriu seu cofrinho com 120 moedas e separou-as: 
 − 1 real: ¼ das moedas 
− 50 centavos: 1/3 das moedas 
− 25 centavos: 2/5 das moedas 
− 10 centavos: as restantes 
 Mariana totalizou a quantia contida no cofre em 
(A) R$ 62,20. 
(B) R$ 52,20. 
(C) R$ 50,20. 
(D) R$ 56,20. 
(E) R$ 66,20. 
 
09. (PM/SE – SOLDADO 3ªCLASSE – FUNCAB/2014) Numa operação policial de rotina, que abordou 
800 pessoas, verificou-se que 3/4 dessas pessoas eram homens e 1/5 deles foram detidos. Já entre as 
mulheres abordadas, 1/8 foram detidas. 
Qual o total de pessoas detidas nessaoperação policial? 
(A) 145 
(B) 185 
(C) 220 
(D) 260 
(E) 120 
 
10. (PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA/2013) Quando 
perguntado sobre qual era a sua idade, o professor de matemática respondeu: 
“O produto das frações 9/5 e 75/3 fornece a minha idade!”. 
Sendo assim, podemos afirmar que o professor tem: 
(A) 40 anos. 
(B) 35 anos. 
(C) 45 anos. 
(D) 30 anos. 
(E) 42 anos. 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
Somando português e matemática: 
1
4
+
9
20
=
5 + 9
20
=
14
20
=
7
10
 
O que resta gosta de ciências: 
1 −
7
10
=
3
10
 
 
02. Resposta: B. 
 8,3 ∙ 7 = 58,1 
Como recebeu um desconto de 10 centavos, Dirce pagou 58 reais 
Troco:100 – 58 = 42 reais 
 
03. Resposta: C. 
 
2
5
+
2
9
+
1
3
 
Mmc(3,5,9)=45 
 
18+10+15
45
=
43
45
 
O restante estuda alemão: 2/45 
 
 180 ∙
2
45
= 8 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 177 
04. Resposta: D. 
 𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙: 617,16 + 185,15 = 802,31 
 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑠: 8,5 ∙ 8 = 68 
 𝑚ê𝑠 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑑𝑜: 802,31 + 68,00 − 28,40 = 841,91 
Salário foi R$ 841,91. 
 
05. Resposta: B. 
1,3333...= 12/9 = 4/3 
1,5 = 15/10 = 3/2 
 
4
3 +
3
2
3
2 +
4
3
=
17
6
17
6
= 1 
 
06. Resposta: D. 
 √16 = 4 
 √25 = 5 
 
14
3
= 4,67 
A ordem crescente é : −4; −1; √16;
14
3
; √25 
 
07. Resposta B. 
2 + 𝑥
3 − 𝑥
= 5 
15 − 5𝑥 = 2 + 𝑥 
6𝑥 = 13 
𝑥 =
13
6
 
 
08. Resposta: A. 
1 𝑟𝑒𝑎𝑙: 120 ∙
1
4
= 30 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 50 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠:
1
3
∙ 120 = 40 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 25 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠:
2
5
∙ 120 = 48 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 10 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠: 120 − 118 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 = 2 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 30 + 40 ∙ 0,5 + 48 ∙ 0,25 + 2 ∙ 0,10 = 62,20 
 
Mariana totalizou R$ 62,20. 
 
09. Resposta: A. 
 800 ∙
3
4
= 600 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 
 
 600 ∙
1
5
= 120 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠 
Como 3/4 eram homens, 1/4 eram mulheres 
 800 ∙
1
4
= 200 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠 ou 800-600=200 mulheres 
 
 200 ∙
1
8
= 25 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠 
 
Total de pessoas detidas: 120+25=145 
 
10. Resposta: C. 
 
9
5
∙
75
3
=
675
15
= 45 𝑎𝑛𝑜𝑠 
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. 178 
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS - I 
 
Os números racionais, são aqueles que podem ser escritos na forma de uma fração a/b onde a e b são 
dois números inteiros, com a condição de que b seja diferente de zero, uma vez que sabemos 
da impossibilidade matemática da divisão por zero. 
Vimos também, que todo número racional pode ser escrito na forma de um número decimal periódico, 
também conhecido como dízima periódica. 
 
Vejam os exemplos de números racionais a seguir: 
3 / 4 = 0,75 = 0, 750000... 
- 2 / 3 = - 0, 666666... 
1 / 3 = 0, 333333... 
2 / 1 = 2 = 2, 0000... 
4 / 3 = 1, 333333... 
- 3 / 2 = - 1,5 = - 1, 50000... 
0 = 0, 000... 
 
Existe, entretanto, outra classe de números que não podem ser escritos na forma de fração a/b, 
conhecidos como números irracionais. 
 
Exemplo: 
O número real abaixo é um número irracional, embora pareça uma dízima periódica: x = 
0,10100100010000100000... 
 
Observe que o número de zeros após o algarismo 1 aumenta a cada passo. Existem infinitos números 
reais que não são dízimas periódicas e dois números irracionais muito importantes, são: 
 
e = 2,718281828459045..., 
Pi (𝜋) = 3,141592653589793238462643... 
 
Que são utilizados nas mais diversas aplicações práticas como: cálculos de áreas, volumes, centros 
de gravidade, previsão populacional, etc. 
 
 Classificação dos Números Irracionais 
Existem dois tipos de números irracionais: 
 
- Números reais algébricos irracionais: são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Todo 
número real que pode ser representado através de uma quantidade finita de somas, subtrações, 
multiplicações, divisões e raízes de grau inteiro a partir dos números inteiros é um número algébrico, por 
exemplo: 
 . 
A recíproca não é verdadeira: existem números algébricos que não podem ser expressos através de 
radicais, conforme o teorema de Abel-Ruffini. 
 
- Números reais transcendentes: não são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Várias 
constantes matemáticas são transcendentes, como pi ( ) e o número de Euler ( ). Pode-se dizer que 
existem mais números transcendentes do que números algébricos (a comparação entre conjuntos infinitos 
pode ser feita na teoria dos conjuntos). 
A definição mais genérica de números algébricos e transcendentes é feita usando-se números 
complexos. 
 
 Identificação de números irracionais 
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. 179 
 
 
Exemplos: 
1) √3 - √3 = 0 e 0 é um número racional. 
 
- O quociente de dois números irracionais, pode ser um número racional. 
 
2) √8 : √2 = √4 = 2 e 2 é um número racional. 
 
- O produto de dois números irracionais, pode ser um número racional. 
 
3) √5 . √5 = √25 = 5 e 5 é um número racional. 
 
- A união do conjunto dos números irracionais com o conjunto dos números racionais, resulta num 
conjunto denominado conjunto R dos números reais. 
- A interseção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais, não possui 
elementos comuns e, portanto, é igual ao conjunto vazio ( ∅ ). 
Simbolicamente, teremos: 
 
Q ∪ I = R 
Q ∩ I = ∅ 
 
Questões 
 
01. (TRF 2ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC/2012) Considere as seguintes afirmações: 
I. Para todo número inteiro x, tem-se 
4𝑥−1 + 4𝑥 + 4𝑥+1
4𝑥−2 + 4𝑥−1
= 16,8 
 
II. (8
1
3 + 0,4444…) :
11
135
= 30 
 
III. Efetuando-se (√6 + 2√5
4
) 𝑥(√6 − 2√5
4
) obtém-se um número maior que 5. 
 
Relativamente a essas afirmações, é certo que 
(A) I,II, e III são verdadeiras. 
(B) Apenas I e II são verdadeiras. 
(C) Apenas II e III são verdadeiras. 
(D) Apenas uma é verdadeira. 
(E) I,II e III são falsas. 
Fundamentado nas explanações anteriores, podemos afirmar que: 
- Todas as dízimas periódicas são números racionais. 
- Todos os números inteiros são racionais. 
- Todas as frações ordinárias são números racionais. 
- Todas as dízimas não periódicas são números irracionais. 
- Todas as raízes inexatas são números irracionais. 
- A soma de um número racional com um número irracional é sempre um número irracional. 
- A diferença de dois números irracionais, pode ser um número racional. 
 
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. 180 
02. (DPE/RS – ANALISTA ADMINISTRAÇÃO – FCC/2013) A soma S é dada por: 
𝑆 = √2 + √8 + 2√2 + 2√8 + 3√2 + 3√8 + 4√2 + 4√8 + 5√2 + 5√8 
Dessa forma, S é igual a 
(𝐴) √90 
(𝐵) √405 
(𝐶) √900 
(𝐷) √4050 
(𝐸) √9000 
 
03. (CÂMARA DE CANITAR/SP – RECEPCIONISTA – INDEC/2013) O resultado do produto: (2√2 +
1) ∙ (√2 − 1) é: 
(𝐴) √2 − 1 
(B) 2 
(𝐶) 2√2 
(𝐷) 3 − √2 
 
04. (CBTU – METROREC – Analista de Gestão – Advogado – CONSULPLAN/2014) Sejam os 
números irracionais: x = √3, y = √6, z = √12 e w = √24. Qual das expressões apresenta como resultado 
um número natural? 
(A) yw – xz. 
(B) xw + yz. 
(C) xy(w – z). 
(D) xz(y + w). 
 
05. (DETRAN/RJ- Assistente Técnico de identificação Civil - MAKIYAMA/2013) Assinale a seguir 
o conjunto a que pertence o número √2: 
(A) Números inteiros. 
(B) Números racionais. 
(C) Números inteiros e naturais. 
(D) Números racionais e irracionais. 
(E) Números irracionais. 
 
06. (UFES – Técnico em Contabilidade – UFES/2015) Sejam x e y números reais. É CORRETO 
afirmar: 
 (A) Se x e y são números racionais e não inteiros, então y. x é um número racional e não inteiro. 
 (B) Se x é umnúmero irracional e y é um número racional, então y+ x é um número irracional. 
 (C) Se x e y são números racionais e não inteiros, então y + x é um número racional e não inteiro. 
 (D) Se x é um número irracional e y é um número racional, então y. x é um número irracional. 
 (E) Se x e y são números irracionais, então y. x é um número irracional. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
 
I 
4𝑥(4−1+1+4)
4𝑥(4−2+4−1)
 
 
 
1
4
+5
1
16
+
1
4
=
1+20
4
1+4
16
=
21
4
5
16
=
21
4
∙
16
5
=
21∙4
5
= 16,8 
 
II 
 8
1
3 = √8
3
= 2 
10x = 4,4444... 
- x = 0,4444..... 
9x = 4 → x = 4/9 
 (2 +
4
9
) :
11
135
=
18+4
9
∙
135
11
=
22
9
∙
135
11
=
2∙135
9
= 30 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 181 
III 
 √62 − 20
4
= √16
4
= 2 
Portanto, apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. 
 
02. Resposta: D. 
𝑆 = 15√2 + 15√8 
√8 = 2√2 
𝑆 = 15√2 + 30√2 = 45√2 
𝑆 = √452. 2 
𝑆 = √4050 
 
03. Resposta: D. 
(2√2 + 1) ∙ (√2 − 1) = 2(√2)
2
− 2√2 + √2 − 1 
= 4 − √2 − 1 = 3 − √2 
 
04. Resposta: A. 
Vamos testar as alternativas: 
A) √6 . √24 − √3 . √12 = √6 . 24 − √3 . 12 = √144 − √36 = 12 − 6 = 6 
 
05. Resposta: E. 
Como √2, não tem raiz exata, logo é um número Irracional 
 
06. Resposta: B. 
Esta questão pede as propriedades dos números irracionais: 
-A soma de um número racional r com um número irracional i é um número irracional r'. 
-O produto de um número racional r, não nulo, por um número irracional i é um número irracional r'. 
-Vejam que a D só estaria correta se cita-se "não nulo". 
-Na letra E não é aplicável a propriedade do fechamento para os irracionais. 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS - R 
 
O conjunto dos números reais R é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba 
não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais. 
Assim temos: 
 
R = Q U I , sendo Q ∩ I = Ø ( Se um número real é racional, não irracional, e vice-versa). 
 
 
 
Lembrando que N Ϲ Z Ϲ Q , podemos construir o diagrama abaixo: 
 
 
 
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. 182 
O conjunto dos números reais apresenta outros subconjuntos importantes: 
- Conjunto dos números reais não nulos: R* = {x ϵ R| x ≠ 0} 
- Conjunto dos números reais não negativos: R+ = {x ϵ R| x ≥ 0} 
- Conjunto dos números reais positivos: R*+ = {x ϵ R| x > 0} 
- Conjunto dos números reais não positivos: R- = {x ϵ R| x ≤ 0} 
- Conjunto dos números reais negativos: R*- = {x ϵ R| x < 0} 
 
Representação Geométrica dos números reais 
 
 
 
Propriedades 
É válido todas as propriedades anteriormente vistos nos outros conjuntos, assim como os conceitos 
de módulo, números opostos e números inversos (quando possível). 
 
Ordenação dos números Reais 
A representação dos números Reais permite definir uma relação de ordem entre eles. Os números 
Reais positivos são maiores que zero e os negativos, menores. Expressamos a relação de ordem da 
seguinte maneira: Dados dois números Reais a e b, 
 
a ≤ b ↔ b – a ≥ 0 
Exemplo: -15 ≤ ↔ 5 – (-15) ≥ 0 
 5 + 15 ≥ 0 
 
Operações com números Reais 
Operando com as aproximações, obtemos uma sucessão de intervalos fixos que determinam um 
número Real. É assim que vamos trabalhar as operações adição, subtração, multiplicação e divisão. 
Relacionamos, em seguida, uma série de recomendações úteis para operar com números Reais. 
 
Intervalos reais 
O conjunto dos números reais possui também subconjuntos, denominados intervalos, que são 
determinados por meio de desiguladades. Sejam os números a e b , com a < b. 
Em termos gerais temos: 
- A bolinha aberta = a intervalo aberto (estamos excluindo aquele número), utilizamos os símbolos: 
> ;< ; ] ; [ 
- A bolinha fechada = a intervalo fechado (estamos incluindo aquele número), utilizamos os símbolos: 
≥ ; ≤ ; [ ; ] 
Podemos utilizar ( ) no lugar dos [ ] , para indicar as extremidades abertas dos intervalos. 
[a,b[ = [a,b) ; ]a,b] = (a,b] ; e ]a,b[ = (a,b) 
 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 183 
 
a) Às vezes, aparecem situações em que é necessário registrar numericamente variações de valores 
em sentidos opostos, ou seja, maiores ou acima de zero (positivos), como as medidas de temperatura ou 
reais em débito ou em haver etc... Esses números, que se estendem indefinidamente, tanto para o lado 
direito (positivos) como para o lado esquerdo (negativos), são chamados números relativos. 
b) Valor absoluto de um número relativo é o valor do número que faz parte de sua representação, sem 
o sinal. 
c) Valor simétrico de um número é o mesmo numeral, diferindo apenas o sinal. 
 
Operações com Números Relativos 
 
1) Adição e Subtração de números relativos 
a) Se os numerais possuem o mesmo sinal, basta adicionar os valores absolutos e conservar o sinal. 
b) Se os numerais possuem sinais diferentes, subtrai-se o numeral de menor valor e dá-se o sinal do 
maior numeral. 
 
Exemplos: 
3 + 5 = 8 
4 - 8 = - 4 
- 6 - 4 = - 10 
- 2 + 7 = 5 
 
2) Multiplicação e Divisão de Números Relativos 
a) O produto e o quociente de dois números relativos de mesmo sinal são sempre positivos. 
b) O produto e o quociente de dois números relativos de sinais diferentes são sempre negativos. 
Exemplos: 
- 3 x 8 = - 24 
- 20 (-4) = + 5 
- 6 x (-7) = + 42 
28 2 = 14 
 
Questões 
01. (EBSERH/ HUPAA – UFAL – Analista Administrativo – Administração – IDECAN/2014) Mário 
começou a praticar um novo jogo que adquiriu para seu videogame. Considere que a cada partida ele 
conseguiu melhorar sua pontuação, equivalendo sempre a 15 pontos a menos que o dobro marcado na 
partida anterior. Se na quinta partida ele marcou 3.791 pontos, então, a soma dos algarismos da 
quantidade de pontos adquiridos na primeira partida foi igual a 
(A) 4. 
(B) 5. 
(C) 7. 
(D) 8. 
(E) 10. 
 
02. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES/2014) Considere m um 
número real menor que 20 e avalie as afirmações I, II e III: 
I- (20 – m) é um número menor que 20. 
II- (20 m) é um número maior que 20. 
III- (20 m) é um número menor que 20. 
É correto afirmar que: 
A) I, II e III são verdadeiras. 
B) apenas I e II são verdadeiras. 
C) I, II e III são falsas. 
D) apenas II e III são falsas. 
Observações 
Podemos utilizar ( ) no lugar dos [ ] , para indicar as extremidades 
abertas dos intervalos. 
[a,b[ = [a,b) ; ]a,b] = (a,b] ; e ]a,b[ = (a,b) 
 
 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 184 
03. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES/2014) Na figura abaixo, o 
ponto que melhor representa a diferença 
3
4
−
1
2
 na reta dos números reais é: 
 
 
(A) P. 
(B) Q. 
(C) R. 
(D) S. 
 
04. (TJ/PR - Técnico Judiciário – TJ/PR/2014) Uma caixa contém certa quantidade de lâmpadas. Ao 
retirá-las de 3 em 3 ou de 5 em 5, sobram 2 lâmpadas na caixa. 
Entretanto, se as lâmpadas forem removidas de 7 em 7, sobrará uma única lâmpada. Assinale a 
alternativa correspondente à quantidade de lâmpadas que há na caixa, sabendo que esta comporta um 
máximo de 100 lâmpadas. 
(A) 36. 
(B) 57. 
(C) 78. 
(D) 92. 
 
05. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP/2014) Para ir de sua casa à 
escola, Zeca percorre uma distância igual a 
3
4
 da distância percorrida na volta, que é feita por um trajeto 
diferente. Se a distância percorrida por Zeca para ir de sua casa à escola e dela voltar é igual a 
7
5
 de um 
quilômetro, então a distância percorrida por Zeca na ida de sua casa à escola corresponde, de umquilômetro, a 
(A) 
2
3
 
 
(B) 
3
4
 
 
(C) 
1
2
 
 
(D) 
4
5
 
 
(E) 
3
5
 
06. (TJ/SP - AUXILIAR DE SAÚDE JUDICIÁRIO - AUXILIAR EM SAÚDE BUCAL – VUNESP/2013) 
Para numerar as páginas de um livro, uma impressora gasta 0,001 mL por cada algarismo impresso. Por 
exemplo, para numerar as páginas 7, 58 e 290 gasta-se, respectivamente, 0,001 mL, 0,002 mL e 0,003 
mL de tinta. O total de tinta que será gasto para numerar da página 1 até a página 1 000 de um livro, em 
mL, será 
(A) 1,111. 
(B) 2,003. 
(C) 2,893. 
(D) 1,003. 
(E) 2,561. 
 
07. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC/2014) Um funcionário de uma 
empresa deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. 
Na 2 a semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o 
funcionário termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia 
executado na 4 a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª 
semana é igual a 
(A) 5/16. 
(B) 1/6. 
(C) 8/24. 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 185 
(D)1/ 4. 
(E) 2/5. 
 
08. (CODAR – Coletor de lixo reciclável – EXATUS/2016) Numa divisão com números inteiros, o 
resto vale 5, o divisor é igual ao resto somado a 3 unidades e o quociente é igual ao dobro do divisor. 
Assim, é correto afirmar que o valor do dividendo é igual a: 
(A) 145. 
(B) 133. 
(C) 127. 
(D) 118. 
 
09. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC/2014) Quatro números inteiros serão 
sorteados. Se o número sorteado for par, ele deve ser dividido por 2 e ao quociente deve ser acrescido 
17. Se o número sorteado for ímpar, ele deve ser dividido por seu maior divisor e do quociente deve ser 
subtraído 15. Após esse procedimento, os quatro resultados obtidos deverão ser somados. Sabendo que 
os números sorteados foram 40, 35, 66 e 27, a soma obtida ao final é igual a 
(A) 87. 
(B) 59. 
(C) 28. 
(D) 65. 
(E) 63. 
 
10. (UNESP – Assistente de Informática I – VUNESP/2014) O valor de uma aposta em certa loteria 
foi repartido em cotas iguais. Sabe-se que a terça parte das cotas foi dividida igualmente entre Alex e 
Breno, que Carlos ficou com a quarta parte das cotas, e que Denis ficou com as 5 cotas restantes. Essa 
aposta foi premiada com um determinado valor, que foi repartido entre eles de forma diretamente 
proporcional ao número de cotas de cada um. Dessa forma, se Breno recebeu R$ 62.000,00, então Carlos 
recebeu 
(A) R$ 74.000,00. 
(B) R$ 93.000,00. 
(C) R$ 98.000,00. 
(D) R$ 102.000,00. 
(E) R$ 106.000,00. 
 
Respostas 
01. Resposta: D. 
Pontuação atual = 2 . partida anterior – 15 
* 4ª partida: 3791 = 2.x – 15 
2.x = 3791 + 15 
x = 3806 / 2 
x = 1903 
* 3ª partida: 1903 = 2.x – 15 
2.x = 1903 + 15 
x = 1918 / 2 
x = 959 
* 2ª partida: 959 = 2.x – 15 
2.x = 959 + 15 
x = 974 / 2 
x = 487 
* 1ª partida: 487 = 2.x – 15 
2.x = 487 + 15 
x = 502 / 2 → x = 251 
Portanto, a soma dos algarismos da 1ª partida é 2 + 5 + 1 = 8. 
 
02. Resposta: C. 
I. Falso, pois m é Real e pode ser negativo. 
II. Falso, pois m é Real e pode ser negativo. 
III. Falso, pois m é Real e pode ser positivo. 
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. 186 
03. Resposta: A. 
3
4
−
1
2
= 
3 − 2
4
= 
1
4
= 0,25 
 
04. Resposta: D. 
Vamos chamar as retiradas de r, s e w: e de T o total de lâmpadas. 
Precisamos calcular os múltiplos de 3, 5 e de 7, separando um múltiplo menor do que 100 que sirva 
nas três equações abaixo: 
De 3 em 3: 3 . r + 2 = Total 
De 5 em 5: 5 . s + 2 = Total 
De 7 em 7: 7 . w + 1 = Total 
Primeiramente, vamos calcular o valor de w, sem que o total ultrapasse 100: 
7 . 14 + 1 = 99, mas 3 . r + 2 = 99 vai dar que r = 32,333... (não convém) 
7 . 13 + 1 = 92, e 3 . r + 2 = 92 vai dar r = 30 e 5 . s + 2 = 92 vai dar s = 18. 
 
05. Resposta: E. 
Ida + volta = 7/5 . 1 
3
4
 . 𝑥 + 𝑥 =
7
5
 
 
5.3𝑥+ 20𝑥=7.4
20
 
 
15𝑥 + 20𝑥 = 28 
35𝑥 = 28 
 
𝑥 =
28
35
 (: 7/7) 
 
𝑥 =
4
5
 (volta) 
 
Ida: 
3
4
 .
4
5
= 
3
5
 
 
06. Resposta: C. 
1 a 9 = 9 algarismos = 0,0019 = 0,009 ml 
De 10 a 99, temos que saber quantos números tem. 
99 – 10 + 1 = 90. 
OBS: soma 1, pois quanto subtraímos exclui-se o primeiro número. 
90 números de 2 algarismos: 0,00290 = 0,18ml 
De 100 a 999 
999 – 100 + 1 = 900 números 
9000,003 = 2,7 ml 
1000 = 0,004ml 
Somando: 0,009 + 0,18 + 2,7 + 0,004 = 2,893 
 
07. Resposta: B. 
Tarefa: x 
Primeira semana: 3/8x 
2 semana:
1
3
∙
3
8
𝑥 =
1
8
𝑥 
1ª e 2ª semana:
3
8
𝑥 +
1
8
𝑥 =
4
8
𝑥 =
1
2
𝑥 
Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade. 
3ªsemana: 2y 
4ª semana: y 
 2𝑦 + 𝑦 =
1
2
𝑥 
 3𝑦 =
1
2
𝑥 
 𝑦 =
1
6
𝑥 
 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 187 
08. Resposta: B. 
Tendo D = dividendo; d = divisor; Q = quociente e R = resto, podemos escrever essa divisão como: 
D = d.Q + R 
Sabemos que o R = 5 
O divisor é o R + 3 → d = R + 3 = 5 + 3 = 8 
E o quociente o dobro do divisor → Q = 2d = 2.8 = 16 
Montando temos: D = 8.16 + 5 = 128 + 5 = 133. 
 
09. Resposta: B. 
* número 40: é par. 
40 / 2 + 17 = 20 + 17 = 37 
* número 35: é ímpar. 
Seu maior divisor é 7. 
35 / 35 – 15 = 1 – 15 = – 14 
* número 66: é par. 
66 / 2 + 17 = 33 + 17 = 50 
* número 27: é ímpar. 
Seu maior divisor é 27. 
27 / 27 – 15 = 1 – 15 = – 14 
* Por fim, vamos somar os resultados: 
37 – 14 + 50 – 14 = 87 – 28 = 59 
 
10. Resposta: B. 
Vamos chamar o valor de cada cota de ( x ). Assim: 
* Breno: 
𝟏
𝟐
 .
𝟏
𝟑
 . 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎 
 
𝟏
𝟔
 . 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎 
 
x = 62000 . 6 
x = R$ 372000,00 
* Carlos: 
 
𝟏
𝟒
 . 𝟑𝟕𝟐𝟎𝟎𝟎 = 𝑹$ 𝟗𝟑𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 
PORCENTAGEM 
 
Razões de denominador 100 que são chamadas de razões centesimais ou taxas percentuais ou 
simplesmente de porcentagem. Servem para representar de uma maneira prática o "quanto" de um "todo" 
se está referenciando. 
Costumam ser indicadas pelo numerador seguido do símbolo % (Lê-se: “por cento”). 
 
𝒙% =
𝒙
𝟏𝟎𝟎
 
 
Exemplos: 
1) A tabela abaixo indica, em reais, os resultados das aplicações financeiras de Oscar e Marta entre 
02/02/2013 e 02/02/2014. 
 
 Banco Saldo em 
02/02/2013 
Saldo em 
02/02/2014 
Rendimento 
Oscar A 500 550 50 
Marta B 400 450 50 
 
Notamos que a razão entre os rendimentos e o saldo em 02/02/2013 é: 
 
50
500
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟, 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐴; 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 188 
50
400
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐵. 
 
Quem obteve melhor rentabilidade? 
 
Uma das maneiras de compará-las é expressá-las com o mesmo denominador (no nosso caso o 100), 
para isso, vamos simplificar as frações acima: 
 
𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟 ⇒
50
500
=
10
100
,= 10% 
 
𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎 ⇒
50
400
=
12,5
100
,= 12,5% 
 
Com isso podemos concluir, Marta obteve uma rentabilidade maior que Oscar ao investir no Banco B. 
 
2) Em uma classe com 30 alunos, 18 são rapazes e 12 são moças. Qual é a taxa percentual de rapazes 
na classe? 
Resolução: 
 
A razão entre o número de rapazes e o total de alunos é 
18
30
 . Devemos expressar essa razão na forma 
centesimal, isto é, precisamos encontrar x tal que: 
 
18
30
=
𝑥
100
⟹ 𝑥 = 60 
 
E a taxa percentual de rapazes é 60%. Poderíamos ter divido 18 por 30, obtendo: 
 
18
30
= 0,60(. 100%) = 60% 
 
- Lucro e Prejuízo 
É a diferença entre o preço de venda e o preço de custo. 
Caso a diferençaseja positiva, temos o lucro(L), caso seja negativa, temos prejuízo(P). 
 
Lucro (L) = Preço de Venda (V) – Preço de Custo (C). 
 
Podemos ainda escrever: 
C + L = V ou L = V - C 
P = C – V ou V = C - P 
 
A forma percentual é: 
 
 
 
Exemplos: 
1) Um objeto custa R$ 75,00 e é vendido por R$ 100,00. Determinar: 
a) a porcentagem de lucro em relação ao preço de custo; 
b) a porcentagem de lucro em relação ao preço de venda. 
 
Resolução: 
 
Preço de custo + lucro = preço de venda  75 + lucro =100  Lucro = R$ 25,00 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 189 
 
a) b) 
 
2) O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre 
o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é: 
A) R$ 25,00 
B) R$ 70,50 
C) R$ 75,00 
D) R$ 80,00 
E) R$ 125,00 
 
Resolução: 
𝐿
𝐶
. 100% = 25% ⇒ 0,25 , o lucro é calculado em cima do Preço de Custo(PC). 
 
C + L = V  C + 0,25.C = V  1,25 . C = 100  C = 80,00 
Resposta D 
 
- Aumento e Desconto Percentuais 
A) Aumentar um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V . 
Logo: 
VA = (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V 
 
Exemplos: 
 1 - Aumentar um valor V de 20% , equivale a multiplicá-lo por 1,20, pois: 
(1 +
20
100
).V = (1+0,20).V = 1,20.V 
 
2 - Aumentar um valor V de 200% , equivale a multiplicá-lo por 3 , pois: 
(1 +
200
100
).V = (1+2).V = 3.V 
 
3) Aumentando-se os lados a e b de um retângulo de 15% e 20%, respectivamente, a área do retângulo 
é aumentada de: 
A)35% 
B)30% 
C)3,5% 
D)3,8% 
E) 38% 
 
Resolução: 
Área inicial: a.b 
Com aumento: (a.1,15).(b.1,20)  1,38.a.b da área inicial. Logo o aumento foi de 38%. 
Resposta E 
 
B) Diminuir um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V. 
Logo: 
V D = (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V 
 
Exemplos: 
1) Diminuir um valor V de 20%, equivale a multiplicá-lo por 0,80, pois: 
(1 −
20
100
). V = (1-0,20). V = 0, 80.V 
 
2) Diminuir um valor V de 40%, equivale a multiplicá-lo por 0,60, pois: 
(1 −
40
100
). V = (1-0,40). V = 0, 60.V 
 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 190 
3) O preço do produto de uma loja sofreu um desconto de 8% e ficou reduzido a R$ 115,00. Qual era 
o seu valor antes do desconto? 
 
Temos que V D = 115, p = 8% e V =? é o valor que queremos achar. 
V D = (1 −
𝑝
100
). V  115 = (1-0,08).V  115 = 0,92V  V = 115/0,92  V = 125 
O valor antes do desconto é de R$ 125,00. 
 
 
 
Abaixo a tabela com alguns fatores de multiplicação: 
 
% Fator de multiplicação - Acréscimo Fator de multiplicação - Decréscimo 
10% 1,1 0,9 
15% 1,15 0,85 
18% 1,18 0,82 
20% 1,2 0,8 
63% 1,63 0,37 
86% 1,86 0,14 
100% 2 0 
 
 - Aumentos e Descontos Sucessivos 
São valores que aumentam ou diminuem sucessivamente. Para efetuar os respectivos descontos ou 
aumentos, fazemos uso dos fatores de multiplicação. 
 
 Vejamos alguns exemplos: 
1) Dois aumentos sucessivos de 10% equivalem a um único aumento de...? 
 
Utilizando VA = (1 +
𝑝
100
).V  V. 1,1 , como são dois de 10% temos  V. 1,1 . 1,1  V. 1,21 
Analisando o fator de multiplicação 1,21; concluímos que esses dois aumentos significam um único 
aumento de 21%. 
Observe que: esses dois aumentos de 10% equivalem a 21% e não a 20%. 
2) Dois descontos sucessivos de 20% equivalem a um único desconto de: 
Utilizando VD = (1 −
𝑝
100
).V  V. 0,8 . 0,8  V. 0,64 . . Analisando o fator de multiplicação 0,64, 
observamos que esse percentual não representa o valor do desconto, mas sim o valor pago com o 
desconto. Para sabermos o valor que representa o desconto é só fazermos o seguinte cálculo: 
 100% - 64% = 36% 
Observe que: esses dois descontos de 20% equivalem a 36% e não a 40%. 
 
3) Certo produto industrial que custava R$ 5.000,00 sofreu um acréscimo de 30% e, em seguida, um 
desconto de 20%. Qual o preço desse produto após esse acréscimo e desconto? 
 
Utilizando VA = (1 +
𝑝
100
).V para o aumento e VD = (1 −
𝑝
100
).V, temos: 
VA = 5000 .(1,3) = 6500 e VD = 6500 .(0,80) = 5200, podemos, para agilizar os cálculos, juntar tudo 
em uma única equação: 
5000 . 1,3 . 0,8 = 5200 
Logo o preço do produto após o acréscimo e desconto é de R$ 5.200,00 
 
Questões 
 
01. (EBSERH/ HUSM-UFSM/RS - Técnico em Informática – AOCP/2014) Uma loja de camisas 
oferece um desconto de 15% no total da compra se o cliente levar duas camisas. Se o valor de cada 
camisa é de R$ 40,00, quanto gastará uma pessoa que aproveitou essa oferta? 
(A) R$ 68,00. 
(B) R$ 72,00. 
(C) R$ 76,00. 
A esse valor final de (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
) ou (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
), é o que chamamos de fator de 
multiplicação, muito útil para resolução de cálculos de porcentagem. O mesmo 
pode ser um acréscimo ou decréscimo no valor do produto. 
 
 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 191 
(D) R$ 78,00. 
(E) R$ 80,00. 
 
02. (Câmara Municipal de São José dos Campos/SP – Analista Técnico Legislativo – Designer 
Gráfico – VUNESP/2014) O departamento de Contabilidade de uma empresa tem 20 funcionários, sendo 
que 15% deles são estagiários. O departamento de Recursos Humanos tem 10 funcionários, sendo 20% 
estagiários. Em relação ao total de funcionários desses dois departamentos, a fração de estagiários é 
igual a 
(A) 1/5. 
(B) 1/6. 
(C) 2/5. 
(D) 2/9. 
(E) 3/5. 
 
03. (EBSERH/ HUSM – UFSM/RS – Analista Administrativo – Administração – AOCP/2014) 
Quando calculamos 32% de 650, obtemos como resultado 
(A) 198. 
(B) 208. 
(C) 213. 
(D) 243. 
(E) 258. 
 
04. (ALMG – Analista de Sistemas – Administração de Rede – FUMARC/2014) O Relatório Setorial 
do Banco do Brasil publicado em 02/07/2013 informou: 
[...] Após queda de 2,0% no mês anterior, segundo o Cepea/Esalq, as cotações do açúcar fecharam o 
último mês com alta de 1,2%, atingindo R$ 45,03 / saca de 50 kg no dia 28. De acordo com especialistas, 
o movimento se deve à menor oferta de açúcar de qualidade, além da firmeza nas negociações por parte 
dos vendedores. Durante o mês de junho, o etanol mostrou maior recuperação que o açúcar, com a 
cotação do hidratado chegando a R$ 1,1631/litro (sem impostos), registrando alta de 6,5%. A demanda 
aquecida e as chuvas que podem interromper mais uma vez a moagem de cana-de-açúcar explicam 
cenário mais positivo para o combustível. 
Fonte: BB-BI Relatório Setorial: Agronegócios-junho/2013 - publicado em 02/07/2013. 
 
Com base nos dados apresentados no Relatório Setorial do Banco do Brasil, é CORRETO afirmar que 
o valor, em reais, da saca de 50 kg de açúcar no mês de maio de 2013 era igual a 
(A) 42,72 
(B) 43,86 
(C) 44,48 
(D) 54,03 
 
05. (Câmara de Chapecó/SC – Assistente de Legislação e Administração – OBJETIVA/2014) Em 
determinada loja, um sofá custa R$ 750,00, e um tapete, R$ 380,00. Nos pagamentos com cartão de 
crédito, os produtos têm 10% de desconto e, nos pagamentos no boleto, têm 8% de desconto. Com base 
nisso, realizando-se a compra de um sofá e um tapete, os valores totais a serem pagos pelos produtos 
nos pagamentos com cartão de crédito e com boleto serão, respectivamente: 
(A) R$ 1.100,00 e R$ 1.115,40. 
(B) R$ 1.017,00 e R$ 1.039,60. 
(C) R$ 1.113,00 e R$ 1.122,00. 
(D) R$ 1.017,00 e R$ 1.010,00. 
 
06. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST/2014) Um vendedor recebe comissões 
mensais da seguinte maneira: 5% nos primeiros 10.000 reais vendidos no mês, 6% nos próximos 
10.000,00 vendidos, e 7% no valor das vendas que excederem 20.000 reais. Se o total de vendas em 
certo mês foi de R$ 36.000,00, quanto será a comissão do vendedor? 
(A) R$ 2.120,00 
(B) R$ 2.140,00 
(C)R$ 2.160,00 
(D) R$ 2.180,00 
(E) R$ 2.220,00 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 192 
07. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST/2014) Uma loja compra televisores por R$ 
1.500,00 e os revende com um acréscimo de 40%. Na liquidação, o preço de revenda do televisor é 
diminuído em 35%. Qual o preço do televisor na liquidação? 
(A) R$ 1.300,00 
(B) R$ 1.315,00 
(C) R$ 1.330,00 
(D) R$ 1.345,00 
(E) R$ 1.365,00 
 
08. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC/2014) O preço de venda de um 
produto, descontado um imposto de 16% que incide sobre esse mesmo preço, supera o preço de compra 
em 40%, os quais constituem o lucro líquido do vendedor. Em quantos por cento, aproximadamente, o 
preço de venda é superior ao de compra? 
(A) 67%. 
(B) 61%. 
(C) 65%. 
(D) 63%. 
(E) 69%. 
 
09. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB/2014) Numa liquidação de bebidas, um atacadista fez a 
seguinte promoção: 
 
 
 
Alexandre comprou duas embalagens nessa promoção e revendeu cada unidade por R$3,50. O lucro 
obtido por ele com a revenda das latas de cerveja das duas embalagens completas foi: 
(A) R$ 33,60 
(B) R$ 28,60 
(C) R$ 26,40 
(D) R$ 40,80 
(E) R$ 43,20 
 
10. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB/2014) Na queima de estoque de uma loja, uma família 
comprou dois televisores, três aparelhos de ar-condicionado, uma geladeira e uma máquina de lavar. 
 
Produtos Valores unitários antes da liquidação Desconto 
Televisor R$ 2.000,00 20% 
Ar condicionado R$ 1.000,00 10% 
Geladeira R$ 900,00 30% 
Máquina de lavar R$ 1.500,00 40% 
 
Calcule o valor total gasto por essa família. 
(A) R$ 7.430,00 
(B) R$ 9.400,00 
(C) R$ 5.780,00 
(D) R$ 6.840,00 
(E) R$ 8.340,00 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
Como são duas camisas 40.2 = 80,00 
O desconto é dado em cima do valor das duas camisas. Usando o fator de multiplicação temos 1-0,15 
= 0,85 (ele pagou 85% do valor total): 80 .0,85 = 68,00 
 
Cerveja em lata: R$ 2,40 a unidade. 
 
Na compra de duas embalagens com 12 unidades cada, ganhe 25% de desconto no valor da segunda 
embalagem. 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 193 
02. Resposta: B. 
* Dep. Contabilidade: 
15
100
. 20 =
30
10
= 3  3 (estagiários) 
 
* Dep. R.H.: 
20
100
. 10 =
200
100
= 2  2 (estagiários) 
 
∗ 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑔𝑖á𝑟𝑖𝑜𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑜𝑠
=
5
30
=
1
6
 
 
 
03. Resposta: B. 
32
100
 . 650 = 
32 .65
10
= 
2080
10
 = 208 
 
04. Resposta: C. 
1,2% de 45,03 = 
1,2
100
 . 45,03 = 0,54 
Como no mês anterior houve queda, vamos fazer uma subtração. 
45,03 – 0,54 = 44,49 
 
05. Resposta: B. 
 Cartão de crédito: 10/100 . (750 + 380) = 1/10 . 1130 = 113 
1130 – 113 = R$ 1017,00 
Boleto: 8/100 . (750 + 380) = 8/100 . 1130 = 90,4 
1130 – 90,4 = R$ 1039,60 
 
06. Resposta: E. 
5% de 10000 = 5 / 100 . 10000 = 500 
6% de 10000 = 6 / 100 . 10000 = 600 
7% de 16000 (= 36000 – 20000) = 7 / 100 . 16000 = 1120 
Comissão = 500 + 600 + 1120 = R$ 2220,00 
 
07. Resposta: E. 
 Preço de revenda: 1500 + 40 / 100 . 1500 = 1500 + 600 = 2100 
 Preço com desconto: 2100 – 35 / 100 . 2100 = 2100 – 735 = R$ 1365,00 
 
08. Resposta: A. 
Preço de venda: V 
Preço de compra: C 
V – 0,16V = 1,4C 
0,84V = 1,4C 
𝑉
𝐶
=
1,4
0,84
= 1,67 
O preço de venda é 67% superior ao preço de compra. 
 
09. Resposta: A. 
2,40 ∙ 12 = 28,80 
 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑒𝑚𝑏𝑎𝑙𝑎𝑔𝑒𝑚: 28,80 ∙ 0,75 = 21,60 
 𝑎𝑠 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑒𝑚𝑏𝑎𝑙𝑎𝑔𝑒𝑛𝑠: 28,80 + 21,60 = 50,40 
 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑛𝑑𝑎: 3,5 ∙ 24 = 84,00 
 𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜: 𝑅$84,00 − 𝑅$50,40 = 𝑅$33,60 
O lucro de Alexandre foi de R$ 33,60 
 
10. Resposta: A. 
Como é desconto, devemos fazer cada porcentagem: 1-desconto, assim teremos o valor de cada item. 
Televisor:1-0,2=0,8 
Ar-condicionado:1-0,1=0,9 
Geladeira:1-0,3=0,7 
Máquina:1-04=0,6 
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. 194 
 𝑡𝑒𝑙𝑒𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟: 2.000 ∙ 0,8 = 1.600 
 𝑎𝑟 − 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜: 1.000 ∙ 0,9 = 900 
 𝑔𝑒𝑙𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎: 900 ∙ 0,7 = 630 
 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎: 1.500 ∙ 0,6 = 900 
 1600 ∙ 2 + 900 ∙ 3 + 630 + 900 = 7430 
O valor total gasto pela família foi de R$7.430,00. 
 
MDC 
 
O máximo divisor comum(MDC) de dois ou mais números é o maior número que é divisor comum de 
todos os números dados. Consideremos: 
 
- o número 18 e os seus divisores naturais: 
D+ (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}. 
 
- o número 24 e os seus divisores naturais: 
D+ (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. 
 
Podemos descrever, agora, os divisores comuns a 18 e 24: 
D+ (18) ∩ D+ (24) = {1, 2, 3, 6}. 
 
Observando os divisores comuns, podemos identificar o maior divisor comum dos números 18 e 24, 
ou seja: MDC (18, 24) = 6. 
 
Outra técnica para o cálculo do MDC: 
 
Decomposição em fatores primos 
Para obtermos o MDC de dois ou mais números por esse processo, procedemos da seguinte maneira: 
 
- Decompomos cada número dado em fatores primos. 
- O MDC é o produto dos fatores comuns obtidos, cada um deles elevado ao seu menor expoente. 
Exemplo: 
 
 
MMC 
 
O mínimo múltiplo comum(MMC) de dois ou mais números é o menor número positivo que é múltiplo 
comum de todos os números dados. Consideremos: 
 
- O número 6 e os seus múltiplos positivos: 
M*+ (6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ...} 
 
- O número 8 e os seus múltiplos positivos: 
M*+ (8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, ...} 
 
Podemos descrever, agora, os múltiplos positivos comuns: 
M*+ (6) M*+ (8) = {24, 48, 72, ...} 
 
Observando os múltiplos comuns, podemos identificar o mínimo múltiplo comum dos números 6 e 8, 
ou seja: MMC (6, 8) = 24 
 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 195 
Outra técnica para o cálculo do MMC: 
 
Decomposição isolada em fatores primos 
Para obter o MMC de dois ou mais números por esse processo, procedemos da seguinte maneira: 
 
- Decompomos cada número dado em fatores primos. 
- O MMC é o produto dos fatores comuns e não-comuns, cada um deles elevado ao seu maior 
expoente. 
Exemplo: 
 
O produto do MDC e MMC é dado pela fórmula abaixo: 
 
MDC(A, B).MMC(A,B)= A.B 
 
Questões 
 
01. (SAAE/SP – Técnico em Informática – VUNESP/2014) Uma pessoa comprou um pote com 
ovinhos de chocolate e, ao fazer pacotinhos, todos com a mesma quantidade de ovinhos, percebeu que, 
colocando 8 ou 9 ou 12 ovinhos em cada pacotinho sempre sobrariam 3 ovinhos no pote. O menor número 
de ovinhos desse pote é 
(A) 38. 
(B) 60. 
(C) 75. 
(D) 86. 
(E) 97. 
 
02. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB/2014) O policiamento em uma praça da cidade é 
realizado por um grupo de policiais, divididos da seguinte maneira: 
 
Grupo Intervalo de passagem 
Policiais a pé 40 em 40 minutos 
Policiais de moto 60 em 60 minutos 
Policiais em viaturas 80 em 80 minutos 
Toda vez que o grupo completo se encontra, troca informações sobre as ocorrências. O tempo mínimo 
em minutos, entre dois encontros desse grupo completo será: 
(A) 160 
(B) 200 
(C) 240 
(D) 150 
(E) 180 
 
03. (METRÔ/SP – Usinador Ferramenteiro – FCC/2014) Na linha 1 de um sistema de Metrô, os trens 
partem 2,4 em 2,4 minutos. Na linha 2 desse mesmo sistema, os trens partem de 1,8 em 1,8 minutos. Se 
dois trens partem, simultaneamente das linhas 1 e 2 às 13 horas, o próximo horário desse dia em que 
partirão dois trens simultaneamente dessas duas linhas será às 13 horas, 
(A) 10 minutos e 48 segundos. 
(B) 7 minutos e 12 segundos. 
(C) 6 minutos e 30 segundos. 
(D) 7 minutos e 20 segundos. 
(E) 6 minutos e 48 segundos. 
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. 196 
04. (SAAE/SP – Auxiliarde Manutenção Geral – VUNESP/2014) Fernanda divide as despesas de 
um apartamento com suas amigas. À Fernanda coube pagar a conta de água a cada três meses, a conta 
de luz a cada dois meses e o aluguel a cada quatro meses. Sabendo-se que ela pagou as três contas 
juntas em março deste ano, esses três pagamentos irão coincidir, novamente, no ano que vem, em 
(A) fevereiro. 
(B) março. 
(C) abril. 
(D) maio. 
(E) junho. 
 
05. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB/2014) Marcelo é encarregado de dividir as 
entregas da empresa em que trabalha. No início do seu turno, ele observou que todas as entregas do dia 
poderão ser divididas igualmente entre 4, 6, 8, 10 ou 12 entregadores, sem deixar sobras. 
Assinale a alternativa que representa o menor número de entregas que deverão ser divididas por ele 
nesse turno. 
(A) 48 
(B) 60 
(C) 80 
(D) 120 
(E) 180 
 
06. (Prefeitura Municipal de Ribeirão Preto/SP – Agente de Administração – VUNESP/2014) Em 
janeiro de 2010, três entidades filantrópicas (sem fins lucrativos) A, B e C, realizaram bazares 
beneficentes para arrecadação de fundos para obras assistenciais. Sabendo-se que a entidade A realiza 
bazares a cada 4 meses (isto é, faz o bazar em janeiro, o próximo em maio e assim sucessivamente), a 
entidade B realiza bazares a cada 5 meses e C, a cada 6 meses, então a próxima vez que os bazares 
dessas três entidades irão coincidir no mesmo mês será no ano de 
(A) 2019. 
(B) 2018. 
(C) 2017. 
(D) 2016. 
(E) 2015. 
 
07. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB/2014) Osvaldo é responsável pela manutenção 
das motocicletas, dos automóveis e dos caminhões de sua empresa. Esses veículos são revisados 
periodicamente, com a seguinte frequência: 
Todas as motocicletas a cada 3 meses; 
Todos os automóveis a cada 6 meses; 
Todos os caminhões a cada 8 meses. 
 
Se todos os veículos foram revisados, ao mesmo tempo, no dia 19 de maio de 2014, o número mínimo 
de meses para que todos eles sejam revisados juntos novamente é: 
(A) 48 
(B) 32 
(C) 24 
(D) 16 
(E) 12 
 
08. (PRODEST/ES – Assistente de Tecnologia da Informação – VUNESP/2014) Dois produtos 
líquidos A e B estão armazenados em galões separados. Em um dos galões há 18 litros do produto A e 
no outro, há 42 litros do produto B. Carlos precisa distribuir esses líquidos, sem desperdiçá-los e sem 
misturá-los, em galões menores, de forma que cada galão menor tenha a mesma quantidade e o maior 
volume possível de cada produto. Após essa distribuição, o número total de galões menores será 
(A) 6. 
(B) 8. 
(C) 10. 
(D) 12. 
(E) 14. 
 
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. 197 
09. (UNIFESP – Mestre em Edificações - Infraestrutura – VUNESP/2014) Uma pessoa comprou um 
pedaço de tecido de 3 m de comprimento por 1,40 m de largura para confeccionar lenços. Para isso, 
decide cortar esse tecido em pedaços quadrados, todos de mesmo tamanho e de maior lado possível. 
Sabendo que não ocorreu nenhuma sobra de tecido e que o tecido todo custou R$ 31,50, então o preço 
de custo, em tecido, de cada lenço foi de 
(A) R$ 0,30. 
(B) R$ 0,25. 
(C) R$ 0,20. 
(D) R$ 0,15. 
(E) R$ 0,10. 
 
10. (UNIFESP – Engenheiro Mecânico – VUNESP/2014) Iniciando seu treinamento, dois ciclistas 
partem simultaneamente de um mesmo ponto de uma pista. Mantendo velocidades constantes, Lucas 
demora 18 minutos para completar cada volta, enquanto Daniel completa cada volta em 15 minutos. 
Sabe-se que às 9 h 10 min eles passaram juntos pelo ponto de partida pela primeira vez, desde o início 
do treinamento. Desse modo, é correto afirmar que às 8 h 25 min, Daniel já havia completado um número 
de voltas igual a 
(A) 2. 
(B) 3. 
(C) 4. 
(D) 5 
(E) 7. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
m.m.c. (8, 9, 12) = 72 
Como sobram 3 ovinhos, 72 + 3 = 75 ovinhos 
 
02. Resposta: C. 
Devemos achar o mmc (40,60,80) 
 
 
 
𝑚𝑚𝑐(40,60,80) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 240 
 
03. Resposta: B. 
Como os trens passam de 2,4 e 1,8 minutos, vamos achar o mmc(18,24) e dividir por 10, assim 
acharemos os minutos 
 
Mmc(18,24)=72 
Portanto, será 7,2 minutos 
1 minuto---60s 
0,2--------x x = 12 segundos 
Portanto se encontrarão depois de 7 minutos e 12 segundos 
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. 198 
04. Resposta: B. 
Devemos fazer o m.m.c. (3, 2, 4) = 12 meses 
Como ela pagou as três contas juntas em MARÇO, após 12 meses, pagará as três contas juntas 
novamente em MARÇO. 
 
05. Resposta: D. 
m.m.c. (4, 6, 8, 10, 12) = 120 
 
06. Resposta: E. 
m.m.c. (4, 5, 6) = 60 meses 
60 meses / 12 = 5 anos 
Portanto, 2010 + 5 = 2015 
 
07. Resposta: C. 
m.m.c. (3, 6, 8) = 24 meses 
 
08. Resposta: C. 
m.d.c. (18, 42) = 6 
Assim: 
* Produto A: 18 / 6 = 3 galões 
* Produto B: 42 / 6 = 7 galões 
Total = 3 + 7 = 10 galões 
 
09. Resposta: A. 
m.d.c. (140, 300) = 20 cm 
* Área de cada lenço: 20 . 20 = 400 cm² 
* Área Total: 300 . 140 = 42000 cm² 
42000 / 400 = 105 lenços 
31,50 / 105 = R$ 0,30 (preço de 1 lenço) 
 
10. Resposta: B. 
m.m.c. (15, 18) = 90 min = 1h30 
Portanto, às 9h10, Daniel completou: 90 / 15 = 6 voltas. 
Como 9h10 – 8h25 = 45 min, equivale à metade do que Daniel percorreu, temos que: 
6 / 2 = 3 voltas. 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais podem ser 
resolvidos através de um processo prático, chamado regra de três simples. 
Vejamos a tabela abaixo: 
 
Grandezas Relação Descrição 
Nº de funcionário x serviço Direta 
MAIS funcionários contratados demanda 
MAIS serviço produzido 
Nº de funcionário x tempo Inversa 
MAIS funcionários contratados exigem 
MENOS tempo de trabalho 
Nº de funcionário x eficiência Inversa 
MAIS eficiência (dos funcionários) exige 
MENOS funcionários contratados 
Nº de funcionário x grau 
dificuldade 
Direta 
Quanto MAIOR o grau de dificuldade de 
um serviço, MAIS funcionários deverão ser 
contratados 
Serviço x tempo Direta 
MAIS serviço a ser produzido exige MAIS 
tempo para realiza-lo 
Serviço x eficiência Direta 
Quanto MAIOR for a eficiência dos 
funcionários, MAIS serviço será produzido 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 199 
Serviço x grau de dificuldade Inversa 
Quanto MAIOR for o grau de dificuldade 
de um serviço, MENOS serviços serão 
produzidos 
Tempo x eficiência Inversa 
Quanto MAIOR for a eficiência dos 
funcionários, MENOS tempo será 
necessário para realizar um determinado 
serviço 
Tempo x grau de dificuldade Direta 
Quanto MAIOR for o grau de dificuldade 
de um serviço, MAIS tempo será 
necessário para realizar determinado 
serviço 
 
Exemplos: 
1) Um carro faz 180 km com 15L de álcool. Quantos litros de álcool esse carro gastaria para percorrer 
210 km? 
 
O problema envolve duas grandezas: distância e litros de álcool. 
Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido. 
Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies 
diferentes que se correspondem em uma mesma linha: 
 
Distância (km) Litros de álcool 
180 15 
210 x 
 
Na coluna em que aparece a variável x (“litros de álcool”), vamos colocar uma flecha: 
 
Distância (km) Litros de álcool 
180 15 
210 x 
 
Observe que, se duplicarmos a distância, o consumo de álcool também duplica. Então, as grandezas 
distância e litros de álcool são diretamente proporcionais. No esquema que estamos montando, 
indicamos esse fato colocando uma flecha na coluna “distância” no mesmo sentido da flecha da coluna 
“litros de álcool”: 
 
Distância (km) Litros de álcool 
180 15 
210 x 
As setas estão no mesmo sentido 
 
Armando a proporção pela orientação das flechas, temos: 
 
180
210=
15
𝑥
→ 𝑐𝑜𝑚𝑜 180 𝑒 210 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑟 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 30, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
180: 30
210: 30
=
15
𝑥
 
 
1806
2107
=
15
𝑥
→ 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑑𝑜(𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑖𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠) → 6𝑥 = 7.15 
6𝑥 = 105 → 𝑥 =
105
6
= 𝟏𝟕, 𝟓 
 
Resposta: O carro gastaria 17,5 L de álcool. 
 
2) Viajando de automóvel, à velocidade de 50 km/h, eu gastaria 7 h para fazer certo percurso. 
Aumentando a velocidade para 80 km/h, em quanto tempo farei esse percurso? 
Indicando por x o número de horas e colocando as grandezas de mesma espécie em uma mesma 
coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha, temos: 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 200 
Velocidade (km/h) Tempo (h) 
50 7 
80 x 
 
Na coluna em que aparece a variável x (“tempo”), vamos colocar uma flecha: 
 
Velocidade (km/h) Tempo (h) 
50 7 
80 x 
 
Observe que, se duplicarmos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. Isso significa que as 
grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. No nosso esquema, esse fato é 
indicado colocando-se na coluna “velocidade” uma flecha em sentido contrário ao da flecha da coluna 
“tempo”: 
Velocidade (km/h) Tempo (h) 
50 7 
80 x 
As setas estão em sentido contrário 
 
Na montagem da proporção devemos seguir o sentido das flechas. Assim, temos: 
7
𝑥
=
80
50
, 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 →
7
𝑥
=
808
505
→ 7.5 = 8. 𝑥 → 𝑥 =
35
8
→ 𝑥 = 4,375 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
 
Como 0,375 corresponde 22 minutos (0,375 x 60 minutos), então o percurso será feito em 4 horas e 
22 minutos aproximadamente. 
 
3) Ao participar de um treino de fórmula Indy, um competidor, imprimindo a velocidade média de 180 
km/h, faz o percurso em 20 segundos. Se a sua velocidade fosse de 300 km/h, que tempo teria gasto no 
percurso? 
 
Vamos representar pela letra x o tempo procurado. 
Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade (180 km/h e 300 km/h) com dois valores 
da grandeza tempo (20 s e x s). 
Queremos determinar um desses valores, conhecidos os outros três. 
 
Velocidade (km/h) Tempo (s) 
180 20 
300 x 
 
Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto para fazer o percurso cairá para a metade; 
logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Assim, os números 180 e 300 são inversamente 
proporcionais aos números 20 e x. 
Daí temos: 
180.20 = 300. 𝑥 → 300𝑥 = 3600 → 𝑥 =
3600
300
→ 𝑥 = 12 
 
Conclui-se, então, que se o competidor tivesse andando em 300 km/h, teria gasto 12 segundos para 
realizar o percurso. 
 
Questões 
 
01. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) Em 3 de maio de 2014, o jornal Folha de S. 
Paulo publicou a seguinte informação sobre o número de casos de dengue na cidade de Campinas. 
 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 201 
 
 
De acordo com essas informações, o número de casos registrados na cidade de Campinas, até 28 de 
abril de 2014, teve um aumento em relação ao número de casos registrados em 2007, aproximadamente, 
de 
(A) 70%. 
(B) 65%. 
(C) 60%. 
(D) 55%. 
(E) 50%. 
 
02. (FUNDUNESP – Assistente Administrativo – VUNESP/2014) Um título foi pago com 10% de 
desconto sobre o valor total. Sabendo-se que o valor pago foi de R$ 315,00, é correto afirmar que o valor 
total desse título era de 
(A) R$ 345,00. 
(B) R$ 346,50. 
(C) R$ 350,00. 
(D) R$ 358,50. 
(E) R$ 360,00. 
 
03. (PREF. IMARUÍ – AGENTE EDUCADOR – PREF. IMARUÍ/2014) Manoel vendeu seu carro por 
R$27.000,00(vinte e sete mil reais) e teve um prejuízo de 10%(dez por cento) sobre o valor de custo do 
tal veículo, por quanto Manoel adquiriu o carro em questão? 
(A) R$24.300,00 
(B) R$29.700,00 
(C) R$30.000,00 
(D)R$33.000,00 
 (E) R$36.000,00 
 
04. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES/2014) Em um mapa, cuja 
escala era 1:15.104, a menor distância entre dois pontos A e B, medida com a régua, era de 12 
centímetros. Isso significa que essa distância, em termos reais, é de aproximadamente: 
(A) 180 quilômetros. 
(B) 1.800 metros. 
(C) 18 quilômetros. 
(D) 180 metros. 
 
05. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO/2014) A Bahia (...) é o maior produtor de 
cobre do Brasil. Por ano, saem do estado 280 mil toneladas, das quais 80 mil são exportadas. 
O Globo, Rio de Janeiro: ed. Globo, 12 mar. 2014, p. 24. 
Da quantidade total de cobre que sai anualmente do Estado da Bahia, são exportados, 
aproximadamente, 
(A) 29% 
(B) 36% 
(C) 40% 
(D) 56% 
(E) 80% 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 202 
06. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) Um comerciante comprou uma caixa com 90 
balas e irá vender cada uma delas por R$ 0,45. Sabendo que esse comerciante retirou 9 balas dessa 
caixa para consumo próprio, então, para receber o mesmo valor que teria com a venda das 90 balas, ele 
terá que vender cada bala restante na caixa por: 
(A) R$ 0,50. 
(B) R$ 0,55. 
(C) R$ 0,60. 
(D) R$ 0,65. 
(E) R$ 0,70. 
 
07. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) Em 25 de maio de 2014, o jornal Folha de S. 
Paulo publicou a seguinte informação sobre a capacidade de retirada de água dos sistemas de 
abastecimento, em metros cúbicos por segundo (m3/s): 
 
 
 
De acordo com essas informações, o número de segundos necessários para que o sistema Rio Grande 
retire a mesma quantidade de água que o sistema Cantareira retira em um segundo é: 
(A) 5,4. 
(B) 5,8. 
(C) 6,3. 
(D) 6,6. 
(E) 6,9. 
 
08. (FUNDUNESP – Auxiliar Administrativo – VUNESP/2014) Certo material para laboratório foi 
adquirido com desconto de 10% sobre o preço normal de venda. Sabendo-se que o valor pago nesse 
material foi R$ 1.170,00, é possível afirmar corretamente que seu preço normal de venda é 
(A) R$ 1.285,00. 
(B) R$ 1.300,00. 
(C) R$ 1.315,00. 
(D) R$ 1.387,00. 
(E) R$ 1.400,00. 
 
09. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) A mais antiga das funções do Instituto Médico 
Legal (IML) é a necropsia. Num determinado período, do total de atendimentos do IML, 30% foram 
necropsias. Do restante dos atendimentos, todos feitos a indivíduos vivos, 14% procediam de acidentes 
no trânsito, correspondendo a 588. Pode-se concluir que o total de necropsias feitas pelo IML, nesse 
período, foi 
(A) 2500. 
(B) 1600. 
(C) 2200. 
(D) 3200. 
(E) 1800. 
 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 203 
10. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP/2014) A expectativa de vida do Sr. Joel é 
de 75 anos e, neste ano, ele completa 60 anos. Segundo esta expectativa, pode-se afirmar que a fração 
de vida que ele já viveu é 
(A) 
4
7
 
 
(B) 
5
6
 
 
(C) 
4
5
 
 
(D) 
3
4
 
 
(E) 
2
3
 
 
11. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP/2014) Foram digitados 10 livros de 200 
páginas cada um e armazenados em 0,0001 da capacidade de um microcomputador. Utilizando-se a 
capacidade total desse microcomputador, o número de livros com 200 páginas que é possível armazenar 
é 
(A) 100. 
(B) 1000. 
(C) 10000. 
(D) 100000. 
(E) 1000000. 
 
12. (IF/GO – Assistente de Alunos – UFG/2014) Leia o fragmento a seguir 
 
A produção brasileira de arroz projetada para 2023 é de 13,32 milhões de toneladas, correspondendo 
a um aumento de 11% em relação à produção de 2013. 
Disponível em: <http://www.agricultura.gov.br/arq_editor/projecoes-ver saoatualizada.pdf>. Acesso em: 24 fev. 2014. (Adaptado). 
 
De acordo com as informações, em 2023, a produção de arroz excederá a produção de 2013, em 
milhões de toneladas, em: 
(A)1,46 
(B) 1,37 
(C) 1,32 
(D) 1,22 
 
13. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB/2014) Numa transportadora, 15 caminhões de 
mesma capacidade transportam toda a carga de um galpão em quatro horas. Se três deles quebrassem, 
em quanto tempo os outros caminhões fariam o mesmo trabalho? 
(A) 3 h 12 min 
(B) 5 h 
(C) 5 h 30 min 
(D) 6 h 
(E) 6 h 15 min 
 
14. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC/2014) Uma receita para fazer 35 
bolachas utiliza 225 gramas de açúcar. Mantendo-se as mesmas proporções da receita, a quantidade de 
açúcar necessária para fazer 224 bolachas é 
(A) 14,4 quilogramas. 
(B) 1,8 quilogramas. 
(C) 1,44 quilogramas. 
(D) 1,88 quilogramas. 
(E) 0,9 quilogramas. 
 
15. (METRÔ/SP – Usinador Ferramenteiro – FCC/2014) Laerte comprou 18 litros de tinta látex que, 
de acordo com as instruções na lata, rende 200m² com uma demão de tinta. Se Laerte seguir 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 204 
corretamente as instruções da lata, e sem desperdício, depois de pintar 60 m² de parede com duas 
demãos de tinta látex, sobrarão na lata de tinta comprada por ele 
(A) 6,8L. 
(B) 6,6L. 
(C) 10,8L. 
(D) 7,8L. 
(E) 7,2L. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: E. 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
 ano % 
 11442 ------- 100 
 17136 ------- x 
11442.x = 17136 . 100 x = 1713600 / 11442 = 149,8% (aproximado) 
149,8% – 100% = 49,8% 
Aproximando o valor, teremos 50% 
 
02. Resposta: C. 
Se R$ 315,00 já está com o desconto de 10%, então R$ 315,00 equivale a 90% (100% - 10%). 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
 $ % 
 315 ------- 90 
 x ------- 100 
90.x = 315 . 100 x = 31500 / 90 = R$ 350,00 
 
03. Resposta: C. 
Como ele teve um prejuízo de 10%, quer dizer 27000 é 90% do valor total. 
Valor % 
27000 ------ 90 
 X ------- 100 
 
27000
𝑥
 = 
909
10010
  
27000
𝑥
 = 
9
10
  9.x = 27000.10  9x = 270000  x = 30000. 
 
 
04.Resposta: C. 
1: 15.104 equivale a 1:150000, ou seja, para cada 1 cm do mapa, teremos 150.000 cm no tamanho 
real. Assim, faremos uma regra de três simples: 
mapa real 
 1 --------- 150000 
 12 --------- x 
1.x = 12 . 150000 x = 1.800.000 cm = 18 km 
 
05. Resposta: A. 
Faremos uma regra de três simples: 
cobre % 
280 --------- 100 
80 ---------- x 
280.x = 80 . 100 x = 8000 / 280 x = 28,57% 
 
06. Resposta: A. 
Vamos utilizar uma regra de três simples: 
Balas $ 
 1 ----------- 0,45 
 90 ---------- x 
1.x = 0,45 . 90 
x = R$ 40,50 (total) 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 205 
* 90 – 9 = 81 balas 
Novamente, vamos utilizar uma regra de três simples: 
Balas $ 
81 ----------- 40,50 
1 ------------ y 
81.y = 1 . 40,50 
y = 40,50 / 81 
y = R$ 0,50 (cada bala) 
 
07. Resposta: D. 
Utilizaremos uma regra de três simples INVERSA: 
m3 seg 
33 ------- 1 
5 ------- x 
5.x = 33 . 1 x = 33 / 5 = 6,6 seg 
08. Resposta: B. 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
 $ % 
1170 ------- 90 
 x ------- 100 
90.x = 1170 . 100 x = 117000 / 90 = R$ 1.300,00 
 
09. Resposta: E. 
O restante de atendimento é de 100% – 30% = 70% (restante) 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
Restante: 
 atendimentos % 
 588 ------------ 14 
 x ------------ 100 
14.x = 588 . 100 x = 58800 / 14 = 4200 atendimentos (restante) 
Total: 
atendimentos % 
 4200 ------------ 70 
 x ------------ 30 
70.x = 4200 . 30 x = 126000 / 70 = 1800 atendimentos 
 
10. Resposta: C. 
Considerando 75 anos o inteiro (1), utilizaremos uma regra de três simples: 
 idade fração 
 75 ------------ 1 
 60 ------------ x 
75.x = 60 . 1 x = 60 / 75 = 4 / 5 (simplificando por 15) 
 
11. Resposta: D. 
Neste caso, a capacidade total é representada por 1 (inteiro). 
Assim, utilizaremos uma regra de três simples: 
 livros capacidade 
 10 ------------ 0,0001 
 x ------------ 1 
0,0001.x = 10 . 1 x = 10 / 0,0001 = 100.000 livros 
 
12. Resposta: C. 
Toneladas % 
13,32 ----------- 111 
 x ------------- 11 
111 . x = 13,32 . 11 
x = 146,52 / 111 
x = 1,32 
 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 206 
13. Resposta: B. 
Vamos utilizar uma Regra de Três Simples Inversa, pois, quanto menos caminhões tivermos, mais 
horas demorará para transportar a carga: 
caminhões horas 
 15 ---------------- 4 
 (15 – 3) ------------- x 
12.x = 4 . 15 
x = 60 / 12 
x = 5 h 
 
14. Resposta: C. 
Bolachas açúcar 
 35----------------225 
 224----------------x 
𝑥 =
224.225
35
= 1440 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 = 1,44 𝑞𝑢𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 
 
15. Resposta: E. 
18L----200m² 
x-------120 
x=10,8L 
Ou seja, pra 120m²(duas demãos de 60 m²) ele vai gastar 10,8 l, então sobraram: 
18-10,8=7,2L 
 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
O processo usado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas, diretamente ou 
inversamente proporcionais, é chamado regra de três composta. 
 
Exemplos: 
 1) Em 4 dias 8 máquinas produziram 160 peças. Em quanto tempo 6 máquinas iguais às primeiras 
produziriam 300 dessas peças? 
Indiquemos o número de dias por x. Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma só coluna 
e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha. Na coluna em que 
aparece a variável x (“dias”), coloquemos uma flecha: 
 
Máquinas Peças Dias 
8 160 4 
6 300 x 
 
Comparemos cada grandeza com aquela em que está o x. 
 
As grandezas peças e dias são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será indicado 
colocando-se na coluna “peças” uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “dias”: 
 
Máquinas Peças Dias 
8 160 4 
6 300 x 
 Mesmo sentido 
 
As grandezas máquinas e dias são inversamente proporcionais (duplicando o número de máquinas, 
o número de dias fica reduzido à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna 
(máquinas) uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “dias”: 
 
 
 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 207 
Máquinas Peças Dias 
8 160 4 
6 300 x 
 Sentido contrários 
 
Agora vamos montar a proporção, igualando a razão que contém o x, que é 
x
4
, com o produto das 
outras razões, obtidas segundo a orientação das flechas 






300
160
.
8
6
: 
 
Simplificando as proporções obtemos: 
 
4
𝑥
=
2
5
→ 2𝑥 = 4.5 → 𝑥 =
4.5
2
→ 𝑥 = 10 
 
Resposta: Em 10 dias. 
 
2) Uma empreiteira contratou 210 pessoas para pavimentar uma estrada de 300 km em 1 ano. Após 4 
meses de serviço, apenas 75 km estavam pavimentados. Quantos empregados ainda devem ser 
contratados para que a obra seja concluída no tempo previsto? 
 
Em 
1
3
 de ano foi pavimentada 
1
4
 de estrada. 
 
Comparemos cada grandeza com aquela em que está o x. 
 
Pessoas Estrada Tempo 
210 75 4 
x 225 8 
 Sentido contrários 
 
As grandezas “pessoas” e “tempo” são inversamente proporcionais (duplicando o número de 
pessoas, o tempo fica reduzido à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna 
“tempo” uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “pessoas”: 
 
Pessoas Estrada Tempo 
210 75 4 
x 225 8 
 Mesmo sentido 
 
As grandezas “pessoas” e “estrada” são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso seráindicado colocando-se na coluna “estrada” uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “pessoas”: 
 
 
Como já haviam 210 pessoas trabalhando, logo 315 – 210 = 105 pessoas. 
Reposta: Devem ser contratados 105 pessoas. 
 
 
 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 208 
Questões 
 
01. (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC/2014) O trabalho de 
varrição de 6.000 m² de calçada é feita em um dia de trabalho por 18 varredores trabalhando 5 horas por 
dia. Mantendo-se as mesmas proporções, 15 varredores varrerão 7.500 m² de calçadas, em um dia, 
trabalhando por dia, o tempo de 
(A) 8 horas e 15 minutos. 
(B) 9 horas. 
(C) 7 horas e 45 minutos. 
(D) 7 horas e 30 minutos. 
(E) 5 horas e 30 minutos. 
 
02. (PREF. CORBÉLIA/PR – CONTADOR – FAUEL/2014) Uma equipe constituída por 20 operários, 
trabalhando 8 horas por dia durante 60 dias, realiza o calçamento de uma área igual a 4800 m². Se essa 
equipe fosse constituída por 15 operários, trabalhando 10 horas por dia, durante 80 dias, faria o 
calçamento de uma área igual a: 
(A) 4500 m² 
(B) 5000 m² 
(C) 5200 m² 
(D) 6000 m² 
(E) 6200 m² 
 
03. (PC/SP – OFICIAL ADMINISTRATIVO – VUNESP/2014) Dez funcionários de uma repartição 
trabalham 8 horas por dia, durante 27 dias, para atender certo número de pessoas. Se um funcionário 
doente foi afastado por tempo indeterminado e outro se aposentou, o total de dias que os funcionários 
restantes levarão para atender o mesmo número de pessoas, trabalhando uma hora a mais por dia, no 
mesmo ritmo de trabalho, será: 
(A) 29. 
(B) 30. 
(C) 33. 
(D) 28. 
(E) 31. 
 
04. (TRF 3ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC/2014) Sabe-se que uma máquina copiadora imprime 80 
cópias em 1 minuto e 15 segundos. O tempo necessário para que 7 máquinas copiadoras, de mesma 
capacidade que a primeira citada, possam imprimir 3360 cópias é de 
(A) 15 minutos. 
(B) 3 minutos e 45 segundos. 
(C) 7 minutos e 30 segundos. 
(D) 4 minutos e 50 segundos. 
(E) 7 minutos. 
 
05. (METRÔ/SP – Analista Desenvolvimento Gestão Júnior – Administração de Empresas – 
FCC/2014) Para inaugurar no prazo a estação XYZ do Metrô, o prefeito da cidade obteve a informação 
de que os 128 operários, de mesma capacidade produtiva, contratados para os trabalhos finais, 
trabalhando 6 horas por dia, terminariam a obra em 42 dias. Como a obra tem que ser terminada em 24 
dias, o prefeito autorizou a contratação de mais operários, e que todos os operários (já contratados e 
novas contratações) trabalhassem 8 horas por dia. O número de operários contratados, além dos 128 
que já estavam trabalhando, para que a obra seja concluída em 24 dias, foi igual a 
(A) 40. 
(B) 16. 
(C) 80. 
(D) 20. 
(E) 32. 
 
06. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB/ 2014) Para digitalizar 1.000 fichas de cadastro, 16 
assistentes trabalharam durante dez dias, seis horas por dia. Dez assistentes, para digitalizar 2.000 fichas 
do mesmo modelo de cadastro, trabalhando oito horas por dia, executarão a tarefa em quantos dias? 
(A) 14 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 209 
(B) 16 
(C) 18 
(D) 20 
(E) 24 
 
07. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO/2014) No Brasil, uma família de 4 pessoas 
produz, em média, 13 kg de lixo em 5 dias. Mantida a mesma proporção, em quantos dias uma família de 
5 pessoas produzirá 65 kg de lixo? 
(A) 10 
(B) 16 
(C) 20 
(D) 32 
(E) 40 
 
08. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST/2014) Na safra passada, um fazendeiro usou 
15 trabalhadores para cortar sua plantação de cana de 210 hectares. Trabalhando 7 horas por dia, os 
trabalhadores concluíram o trabalho em 6 dias exatos. Este ano, o fazendeiro plantou 480 hectares de 
cana e dispõe de 20 trabalhadores dispostos a trabalhar 6 horas por dia. Em quantos dias o trabalho 
ficará concluído? 
Obs.: Admita que todos os trabalhadores tenham a mesma capacidade de trabalho. 
(A) 10 dias 
(B) 11 dias 
(C) 12 dias 
(D) 13 dias 
(E) 14 dias 
 
09. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) Dez funcionários de uma repartição trabalham 
8 horas por dia, durante 27 dias, para atender certo número de pessoas. 
Se um funcionário doente foi afastado por tempo indeterminado e outro se aposentou, o total de dias 
que os funcionários restantes levarão para atender o mesmo número de pessoas, trabalhando uma hora 
a mais por dia, no mesmo ritmo de trabalho, será 
(A) 29. 
(B) 30. 
(C) 33. 
(D) 28. 
(E) 31. 
 
10. (BNB – Analista Bancário – FGV/2014) Em uma agência bancária, dois caixas atendem em média 
seis clientes em 10 minutos. Considere que, nesta agência, todos os caixas trabalham com a mesma 
eficiência e que a média citada sempre é mantida. Assim, o tempo médio necessário para que cinco 
caixas atendam 45 clientes é de: 
(A) 45 minutos; 
(B) 30 minutos; 
(C) 20 minutos; 
(D) 15 minutos; 
(E) 10 minutos. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: D. 
Comparando- se cada grandeza com aquela onde esta o x. 
M² varredores horas 
6000--------------18-------------- 5 
7500--------------15--------------- x 
Quanto mais a área, mais horas (diretamente proporcionais) 
Quanto menos trabalhadores, mais horas (inversamente proporcionais) 
 
5
𝑥
=
6000
7500
∙
15
18
 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 210 
6000 ∙ 15 ∙ 𝑥 = 5 ∙ 7500 ∙ 18 
90000𝑥 = 675000 
𝑥 = 7,5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
Como 0,5 h equivale a 30 minutos, logo o tempo será de 7 horas e 30 minutos. 
 
02. Resposta: D. 
Operários horas dias área 
 20-----------------8-------------60-------4800 
 15----------------10------------80-------- x 
Todas as grandezas são diretamente proporcionais, logo: 
 
 
4800
𝑥
=
20
15
∙
8
10
∙
60
80
 
 20 ∙ 8 ∙ 60 ∙ 𝑥 = 4800 ∙ 15 ∙ 10 ∙ 80 
 9600𝑥 = 57600000 
 𝑥 = 6000𝑚² 
03. Resposta: B. 
Temos 10 funcionários inicialmente, com os afastamento esse número passou para 8. Se eles 
trabalham 8 horas por dia , passarão a trabalhar uma hora a mais perfazendo um total de 9 horas, nesta 
condições temos: 
Funcionários horas dias 
 10---------------8--------------27 
 8----------------9-------------- x 
 
Quanto menos funcionários, mais dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
Quanto mais horas por dia, menos dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
Funcionários horas dias 
 8---------------9-------------- 27 
 10----------------8----------------x 
 
27
𝑥
=
8
10
∙
9
8
  x.8.9 = 27.10.8  72x = 2160  x = 30 dias. 
 
04. Resposta: C. 
Transformando o tempo para segundos: 1 min e 15 segundos = 75 segundos 
 Quanto mais máquinas menor o tempo (flecha contrária) e quanto mais cópias, mais tempo (flecha 
mesma posição) 
 Máquina cópias tempo 
 1----------------80-----------75 segundos 
 7--------------3360-----------x 
 
Devemos deixar as 3 grandezas da mesma forma, invertendo os valores de” máquina”. 
 Máquina cópias tempo 
 7----------------80----------75 segundos 
 1--------------3360--------- x 
 
 
75
𝑥
=
7
1
∙
80
3360
  x.7.80 = 75.1.3360  560x = 252000  x = 450 segundos 
 
Transformando 
1minuto-----60segundos 
 x-------------450 
x = 7,5 minutos = 7 minutos e 30segundos. 
 
05. Resposta: A. 
Vamos utilizar a Regra de Três Composta: 
 
Operários  horas dias 
 128 ----------- 6 -------------- 42 
 x ------------- 8 -------------- 24 
 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 211 
Quanto mais operários, menos horas trabalhadas (inversamente) 
Quanto mais funcionários, menos dias (inversamente) Operários  horas dias 
 x -------------- 6 -------------- 42 
 128 ------------ 8 -------------- 24 
 
𝑥
128
=
6
8
∙
42
24
 
𝑥
128
=
1
8
∙
42
4
 
𝑥
128
=
1
8
∙
21
2
 
16𝑥 = 128 ∙ 21 
𝑥 = 8 ∙ 21 = 168 
 
168 – 128 = 40 funcionários a mais devem ser contratados. 
 
06. Resposta: E. 
Fichas Assistentes dias horas 
 1000 --------------- 16 -------------- 10 ------------ 6 
 2000 -------------- 10 -------------- x -------------- 8 
 
Quanto mais fichas, mais dias devem ser trabalhados (diretamente proporcionais). 
Quanto menos assistentes, mais dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
Quanto mais horas por dia, menos dias (inversamente proporcionais). 
Fichas Assistentes dias horas 
 1000 --------------- 10 -------------- 10 ------------ 8 
 2000 -------------- 16 -------------- x -------------- 6 
 
10
𝑥
=
1000
2000
 ∙ 
10
16
 .
8
6
 
 
10
𝑥
=
80000
192000
 
 
80. 𝑥 = 192.10 
 
𝑥 = 
1920
80
 
 
 𝑥 = 24 𝑑𝑖𝑎𝑠 
 
07. Resposta: C. 
Faremos uma regra de três composta: 
Pessoas Kg dias 
 4 ------------ 13 ------------ 5 
 5 ------------ 65 ------------ x 
 
Mais pessoas irão levar menos dias para produzir a mesma quantidade de lixo (grandezas 
inversamente proporcionais). 
Mais quilos de lixo levam mais dias para serem produzidos (grandezas diretamente proporcionais). 
 
5
𝑥
= 
5
4
 .
13
65
 
 
5
𝑥
= 
65
260
 
 
65.x = 5 . 260 
x = 1300 / 65 
x = 20 dias 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 212 
08. Resposta: C. 
Faremos uma regra de três composta: 
Trabalhadores Hectares h / dia dias 
 15 ------------------ 210 ---------------- 7 ----------------- 6 
 20 ------------------ 480 ---------------- 6 ----------------- x 
 
Mais trabalhadores irão levar menos dias para concluir o trabalho (grandezas inversamente 
proporcionais). 
Mais hectares levam mais dias para se concluir o trabalho (grandezas diretamente proporcionais). 
Menos horas por dia de trabalho serão necessários mais dias para concluir o trabalho (grandezas 
inversamente proporcionais). 
6
𝑥
= 
20
15
 .
210
480
 .
6
7
 
 
6
𝑥
= 
25200
50400
 
 
25200.x = 6 . 50400 
x = 302400 / 25200 
x = 12 dias 
 
09. Resposta: B. 
Funcionários horas dias 
 10 ----------------- 8 ----------- 27 
 8 ------------------ 9 ----------- x 
 
Quanto menos funcionários, mais dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
Quanto mais horas por dia, menos dias (inversamente proporcionais). 
Funcionários horas dias 
 10 ----------------- 8 ----------- x 
 8 ------------------ 9 ----------- 27 
 
 
𝑥
27
=
10
8
∙
8
9
 
 
 72𝑥 = 2160 
 
 𝑥 = 30 𝑑𝑖𝑎𝑠 
 
10. Resposta: B. 
 caixas clientes minutos 
 2 ----------------- 6 ----------- 10 
 5 ----------------- 45 ----------- x 
 
Quanto mais caixas, menos minutos levará para o atendimento (inversamente proporcionais). 
Quanto mais clientes, mais minutos para o atendimento (diretamente proporcionais). 
 caixas clientes minutos 
 5 ----------------- 6 ----------- 10 
 2 ----------------- 45 ----------- x 
 
 
10
𝑥
=
5
2
∙
6
45
 
10
𝑥
=
30
90
 
 
 30. 𝑥 = 90.10 𝑥 = 
900
30
 
 
 𝑥 = 30 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
 
 
 
 
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. 213 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU OU LINEAR 
 
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade e uma incógnita 
ou variável (x, y, z,...). 
Observe a figura: 
 
A figura acima mostra uma equação (uma igualdade), onde precisamos achar o valor da variável x, 
para manter a balança equilibrada. Equacionando temos: 
x + x + 500 + 100 = x + 250 + 500 → 2x + 600 = x + 750. 
Exemplos: 
2x + 8 = 0 
5x – 4 = 6x + 8 
3a – b – c = 0 
 
- Não são equações: 
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) 
x – 5 < 3 (Não é igualdade) 
5 ≠ 7 (não é sentença aberta, nem igualdade) 
 
Termo Geral da equação do 1º grau 
Onde a e b (a≠0) são números conhecidos e a diferença de 0, se resolve de maneira simples: 
subtraindo b dos dois lados obtemos: 
 
ax +b – b = 0 – b  ax = -b  x = -b/a 
 
Termos da equação do 1º grau 
 
Nesta equação cada membro possui dois termos: 
1º membro composto por 5x e -1 
2º membro composto pelo termo x e +7 
 
Resolução da equação do 1º grau 
O método que usamos para resolver a equação de 1º grau é isolando a incógnita, isto é, deixar a 
incógnita sozinha em um dos lados da igualdade. O método mais utilizado para isso é invertermos as 
operações. Vejamos 
Resolvendo a equação 2x + 600 = x + 750, passamos os termos que tem x para um lado e os números 
para o outro invertendo as operações. 
2x – x = 750 – 600, com isso eu posso resolver minha equação.  x = 150 
 
Outros exemplos: 
1) Resolução da equação 3x – 2 = 16, invertendo operações. 
 
Procedimento e justificativa: Se 3x – 2 dá 16, conclui-se que 3x dá 16 + 2, isto é, 18 (invertemos a 
subtração). Se 3x é igual a 18, é claro que x é igual a 18 : 3, ou seja, 6 (invertemos a multiplicação por 3). 
Registro: 
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. 214 
 3x – 2 = 16 
 3x = 16 + 2 
 3x = 18 
 x = 
3
18
 
 x = 6 
 
2) Resolução da equação: 1 – 3x + 
5
2
= x + 
2
1
, efetuando a mesma operação nos dois lados da 
igualdade(outro método de resolução). 
 
Procedimento e justificativa: Multiplicamos os dois lados da equação pelo mmc (2;5) = 10. Dessa 
forma, são eliminados os denominadores. Fazemos as simplificações e os cálculos necessários e 
isolamos x, sempre efetuando a mesma operação nos dois lados da igualdade. No registro, as operações 
feitas nos dois lados da igualdade são indicadas com as setas curvas verticais. 
Registro: 
1 – 3x + 2/5 = x + 1 /2 
 
1. (10) − 3𝑥. (10) + 2. (2)
10
= 
𝑥. (10) + 1. (5)
10
 
 
10 – 30x + 4 = 10 x + 5 
-30x -10x = 5 – 10 – 4 
-40x = -9 (-1) 
40x = 9 
x = 9/40 
x = 0,225 
 
Há também um processo prático, bastante usado, que se baseia nessas ideias e na percepção de um 
padrão visual. 
- Se a + b = c, conclui-se que a = c – b. 
 
Na primeira igualdade, a parcela b aparece somando no lado esquerdo; na segunda, a parcela b 
aparece subtraindo no lado direito da igualdade. 
- Se a . b = c, conclui-se que a = c : b, desde que b ≠ 0. 
 
Na primeira igualdade, o número b aparece multiplicando no lado esquerdo; na segunda, ele aparece 
dividindo no lado direito da igualdade. 
 
O processo prático pode ser formulado assim: 
- Para isolar a incógnita, coloque todos os termos com incógnita 
de um lado da igualdade e os demais termos do outro lado. 
- Sempre que mudar um termo de lado, inverta a operação. 
 
 
Questões 
 
01. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) O gráfico mostra o número de gols marcados, 
por jogo, de um determinado time de futebol, durante um torneio. 
 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 215 
 
 
Sabendo que esse time marcou, durante esse torneio, um total de 28 gols, então, o número de jogos 
em que foram marcados 2 gols é: 
(A) 3. 
(B) 4. 
(C) 5. 
(D) 6. 
(E) 7. 
 
02. (PREF. IMARUÍ – AGENTE EDUCADOR – PREF. IMARUÍ/2014) Certa quantia em dinheiro foi 
dividida igualmente entre três pessoas, cadapessoa gastou a metade do dinheiro que ganhou e 1/3(um 
terço) do restante de cada uma foi colocado em um recipiente totalizando R$900,00(novecentos reais), 
qual foi a quantia dividida inicialmente? 
(A) R$900,00 
(B) R$1.800,00 
(C) R$2.700,00 
(D) R$5.400,00 
 
03. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB/2014) Um grupo formado por 16 motoristas 
organizou um churrasco para suas famílias. Na semana do evento, seis deles desistiram de participar. 
Para manter o churrasco, cada um dos motoristas restantes pagou R$ 57,00 a mais. 
O valor total pago por eles, pelo churrasco, foi: 
(A) R$ 570,00 
(B) R$ 980,50 
(C) R$ 1.350,00 
(D) R$ 1.480,00 
(E) R$ 1.520,00 
 
04. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC/2014) Uma linha de Metrô inicia-se na 1ª 
estação e termina na 18ª estação. Sabe-se que a distância dentre duas estações vizinhas é sempre a 
mesma, exceto da 1ª para a 2ª, e da 17ª para a 18ª, cuja distância é o dobro do padrão das demais 
estações vizinhas. Se a distância da 5ª até a 12ª estação é de 8 km e 750 m, o comprimento total dessa 
linha de Metrô, da primeira à última estação, é de 
(A) 23 km e 750 m. 
(B) 21 km e 250 m. 
(C) 25 km. 
(D) 22 km e 500 m. 
(E) 26 km e 250 m. 
 
05. (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC/2014) Um funcionário de 
uma empresa deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a 
semana. Na 2a semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o 
funcionário termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia 
executado na 4a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª 
semana é igual a 
(A) 5/16. 
(B) 1/6. 
(C) 8/24. 
(D)1/ 4. 
(E) 2/5. 
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. 216 
06. (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC/2014) Bia tem 10 anos a 
mais que Luana, que tem 7 anos a menos que Felícia. Qual é a diferença de idades entre Bia e Felícia? 
(A) 3 anos. 
(B) 7 anos. 
(C) 5 anos. 
(D) 10 anos. 
(E) 17 anos. 
 
07. (DAE AMERICANAS/SP – ANALISTA ADMINSTRATIVO – SHDIAS/2013) Em uma praça, 
Graziela estava conversando com Rodrigo. Graziela perguntou a Rodrigo qual era sua idade, e ele 
respondeu da seguinte forma: 
- 2/5 de minha idade adicionados de 3 anos correspondem à metade de minha idade. 
Qual é a idade de Rodrigo? 
(A) Rodrigo tem 25 anos. 
(B) Rodrigo tem 30 anos. 
(C) Rodrigo tem 35 anos. 
(D) Rodrigo tem 40 anos. 
 
08. (METRO/SP - AGENTE DE SEGURANÇA METROVIÁRIA I - FCC/2013) Dois amigos foram a 
uma pizzaria. O mais velho comeu 
3
8
 da pizza que compraram. Ainda da mesma pizza o mais novo comeu 
7
5
 da quantidade que seu amigo havia comido. Sendo assim, e sabendo que mais nada dessa pizza foi 
comido, a fração da pizza que restou foi 
(𝐴)
3
5
 
 
(𝐵)
7
8
 
 
(𝐶)
1
10
 
 
(𝐷)
3
10
 
 
(𝐸)
36
40
 
 
09. (METRO/SP - AGENTE DE SEGURANÇA METROVIÁRIA I - FCC/2013) Glauco foi à livraria e 
comprou 3 exemplares do livro J. Comprou 4 exemplares do livro K, com preço unitário de 15 reais a mais 
que o preço unitário do livro J. Comprou também um álbum de fotografias que custou a terça parte do 
preço unitário do livro K. 
Glauco pagou com duas cédulas de 100 reais e recebeu o troco de 3 reais. Glauco pagou pelo álbum 
o valor, em reais, igual a 
(A) 33. 
(B) 132. 
(C) 54. 
(D) 44. 
(E) 11. 
 
10. AGENTE DE SEGURANÇA METROVIÁRIA I - FCC/2013) Hoje, a soma das idades de três irmãos 
é 65 anos. Exatamente dez anos antes, a idade do mais velho era o dobro da idade do irmão do meio, 
que por sua vez tinha o dobro da idade do irmão mais novo. Daqui a dez anos, a idade do irmão mais 
velho será, em anos, igual a 
(A) 55. 
(B) 25. 
(C) 40. 
(D) 50. 
(E) 35. 
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. 217 
Respostas 
 
 01. Resposta: E. 
0.2 + 1.8 + 2.x + 3.2 = 28 
0 + 8 + 2x + 6 = 28 
2x = 28 – 14 
x = 14 / 2 
x = 7 
 
02. Resposta: D. 
Quantidade a ser recebida por cada um: x 
Se 1/3 de cada um foi colocado em um recipiente e deu R$900,00, quer dizer que cada uma colocou 
R$300,00. 
𝑥
3
=
𝑥
3
2
+ 300 
 
𝑥
3
=
𝑥
6
+ 300 
 
𝑥
3
−
𝑥
6
= 300 
 
2𝑥 − 𝑥
6
= 300 
 
𝑥
6
= 300 
x = 1800 
Recebida: 1800.3=5400 
 
03. Resposta: E. 
Vamos chamar de ( x ) o valor para cada motorista. Assim: 
16 . x = Total 
Total = 10 . (x + 57) (pois 6 desistiram) 
Combinando as duas equações, temos: 
16.x = 10.x + 570 
16.x – 10.x = 570 
6.x = 570 
x = 570 / 6 
x = 95 
O valor total é: 16 . 95 = R$ 1520,00. 
 
04. Resposta: A. 
 
 
Sabemos que da 5ª até a 12ª estação = 8 km + 750 m = 8750 m. 
A quantidade de “espaços” da 5ª até a 12ª estação é: (12 – 5). x = 7.x 
Assim: 7.x = 8750 
x = 8750 / 7 
x = 1250 m 
Por fim, vamos calcular o comprimento total: 
17 – 2 = 15 espaços 
2.x + 2.x + 15.x = 
= 2.1250 + 2.1250 + 15.1250 = 
= 2500 + 2500 + 18750 = 23750 m 23 km + 750 m 
 
 
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. 218 
05. Resposta: B. 
Tarefa: x 
Primeira semana: 3/8x 
 
2 semana:
1
3
∙
3
8
𝑥 =
1
8
𝑥 
 
1ª e 2ª semana:
3
8
𝑥 +
1
8
𝑥 =
4
8
𝑥 =
1
2
𝑥 
 
Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade, pois ele executou a metade na 1ª e 2ª semana 
como consta na fração acima (1/2x). 
3ªsemana: 2y 
4ª semana: y 
 2𝑦 + 𝑦 =
1
2
𝑥 
 3𝑦 =
1
2
𝑥 
 𝑦 =
1
6
𝑥 
06. Resposta: A. 
Luana: x 
Bia: x + 10 
Felícia: x + 7 
Bia – Felícia = x + 10 – x – 7 = 3 anos. 
 
07. Resposta: B. 
Idade de Rodrigo: x 
 
2
5
𝑥 + 3 =
1
2
𝑥 
 
2
5
𝑥 −
1
2
𝑥 = −3 
 
Mmc(2,5)=10 
 
 
4𝑥−5𝑥
10
= −3 
 
 4𝑥 − 5𝑥 = −30 
 𝑥 = 30 
 
08. Resposta: C. 
𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎: 𝑥 ∴ 𝑦: 𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜𝑢 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 
 
𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑣𝑒𝑙ℎ𝑜:
3
8
𝑥 
 
𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑛𝑜𝑣𝑜 ∶
7
5
∙
3
8
𝑥 =
21
40
𝑥 
 
3
8
𝑥 +
21
40
𝑥 + 𝑦 = 𝑥 
 
𝑦 = 𝑥 −
3
8
𝑥 −
21
40
𝑥 
 
𝑦 =
40𝑥 − 15𝑥 − 21𝑥
40
=
4𝑥
40
=
1
10
𝑥 
 
Sobrou 1/10 da pizza. 
 
09. Resposta: E. 
Preço livro J: x 
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. 219 
Preço do livro K: x+15 
á𝑙𝑏𝑢𝑚:
𝑥 + 15
3
 
Valor pago:197 reais (2.100 – 3) 
 
3𝑥 + 4(𝑥 + 15) +
𝑥 + 15
3
= 197 
 
9𝑥 + 12(𝑥 + 15) + 𝑥 + 15
3
= 197 
 
9𝑥 + 12𝑥 + 180 + 𝑥 + 15 = 591 
22𝑥 = 396 
𝑥 = 18 
á𝑙𝑏𝑢𝑚:
𝑥 + 15
3
=
18 + 15
3
= 11 
O valor pago pelo álbum é de R$ 11,00. 
 
10. Resposta: C. 
Irmão mais novo: x 
Irmão do meio: 2x 
Irmão mais velho:4x 
Hoje: 
Irmão mais novo: x + 10 
Irmão do meio: 2x + 10 
Irmão mais velho:4x + 10 
x + 10 + 2x + 10 + 4x + 10 = 65 
7x = 65 – 30 
7x = 35 
x = 5 
hoje: 
Irmão mais novo: x + 10 = 5 + 10 = 15 
Irmão do meio: 2x + 10 = 10 + 10 = 20 
Irmão mais velho:4x + 10 = 20 + 10 = 30 
Daqui a dez anos 
Irmão mais novo: 15 + 10 = 25 
Irmão do meio: 20 + 10 = 30 
Irmão mais velho: 30 + 10 = 40 
O irmão mais velho terá 40 anos. 
 
 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, 
expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de 
uma das incógnitas. 
 
 
Em que a, b, c são números reais e a ≠ 0. 
 
Nas equações de 2º grau com uma incógnita, os números reais expressos por a, b, c são chamados 
coeficientes da equação: 
 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES. 220 
Equação completa e incompleta: 
- Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação do 2º grau se diz completa. 
 
Exemplos: 
x2 - 5x + 6 = 0= 0 é uma equação completa (a = 1, b = – 5, c = 6). 
-3y2 + 2y - 15 = 0 é uma equação completa (a = -3, b = 2, c = -15). 
 
- Quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0, a equação do 2º grau se diz incompleta. 
 
Exemplos: 
x² - 36 = 0 é uma equação incompleta (b=0). 
x² - 10x = 0 é uma equação incompleta (c = 0). 
4x² = 0 é uma equação incompleta (b = c = 0). 
 
Todas essas equações estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0, que é denominada forma normal ou 
forma reduzida de uma equação do 2º grau com uma incógnita. 
Há, porém, algumas equações do 2º grau que não estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0; por meio 
de transformações convenientes, em que aplicamos o princípio aditivo e o multiplicativo, podemos reduzi-
las a essa forma. 
 
Exemplo: Pelo princípio aditivo. 
2x2 – 7x + 4 = 1 – x2 
2x2 – 7x + 4 – 1 + x2 = 0 
2x2 + x2 – 7x + 4 – 1 = 0 
3x2 – 7x + 3 = 0 
 
Exemplo: Pelo princípio multiplicativo. 
42
12


x
x
x 
 
   
   42
2
42
44.4 2




xx
x
xx
xxx 
4(x – 4) – x(x – 4) = 2x2 
4x – 16 – x2 + 4x = 2x2 
– x2 + 8x – 16 = 2x2 
– x2 – 2x2 + 8x – 16 = 0 
– 3x2 + 8x – 16 = 0 
 
 Raízes de uma equação do 2º grau 
Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença 
verdadeira. As raízes formam o conjunto verdade ou solução de uma equação. 
 
 Resolução das equações incompletas do 2º grau com uma incógnita. 
Primeiramente devemos saber duas importante propriedades dos números Reais que é o nosso 
conjunto Universo. 
 
 
 
1º Caso) A equação é da forma ax2 + bx = 0. 
x2 – 9x = 0  colocamos x em evidência 
x . (x – 9) = 0 , aplicando a 1º propriedade dos reais temos: 
x = 0 ou x – 9 = 0 
 x = 9 
 
1º) Se x ϵ R, y ϵ R e x.y=0, então x= 0 ou y=0 
 
2º) Se x ϵ R, y ϵ R e x2=y, então x= √y ou x=-√y 
 
 
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. 221 
Logo, S = {0, 9} e os números 0 e 9 são as raízes da equação. 
 
2º Caso) A equação é da forma ax2 + c = 0. 
x2 – 16 = 0  Fatoramos o primeiro membro, que é uma diferença de dois quadrados. 
(x + 4) . (x – 4) = 0, aplicando a 1º propriedade dos reais temos: 
 
x + 4 = 0 x – 4 = 0 
x = – 4 x = 4 
ou 
x2 – 16 = 0  x2 = 16  √x2 = √16  x = ± 4, (aplicando a segunda propriedade). 
Logo, S = {–4, 4}. 
 
 Resolução das equações completas do 2º grau com uma incógnita. 
Para este tipo de equação utilizaremos a Fórmula de Bháskara. 
Usando o processo de Bháskara e partindo da equação escrita na sua forma normal, foi possível 
chegar a uma fórmula que vai nos permitir determinar o conjunto solução de qualquer equação do 2º grau 
de maneira mais simples. 
 
Essa fórmula é chamada fórmula resolutiva ou fórmula de Bháskara. 
 
 
 
Nesta fórmula, o fato de x ser ou não número real vai depender do discriminante Δ; temos então, três 
casos a estudar. 
 
1º caso 
Δ > 0 
(Positivo) 
Duas raízes reais distintas. 
a
b
x
.2
' 
 
a
b
x
.2
'' 
 
2º caso 
Δ = 0 
(Nulo) 
Duas raízes reais iguais. 
x’ = x” = 
a
b
2

 
3º caso 
Δ < 0 
(Negativo) 
Não temos raízes reais. 
 
 
A existência ou não de raízes reais e o fato de elas serem duas ou uma única dependem, 
exclusivamente, do discriminante Δ = b2 – 4.a.c; daí o nome que se dá a essa expressão. 
 
Exemplos: 
1) Resolver a equação 3x2 + 7x + 9 = 0 no conjunto R. 
Temos: a = 3, b = 7 e c = 9 
 
 
𝑥 =
−7 ± √−59
6
 
Como Δ < 0, a equação não tem raízes reais. 
Então: S = ᴓ 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 222 
2) Resolver a equação 5x2 – 12x + 4=0 
Temos que a= 5, b= -12 e c = 4. 
Aplicando na fórmula de Bháskara: 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−(−12) ± √(−12)2 − 4.5.4
2.5
=
12 ± √144 − 80
10
=
12 ± √64
10
 
 
Como Δ > 0, logo temos duas raízes reais distintas: 
 
𝑥 =
12 ± 8
10
 → 𝑥′ = 
12 + 8
10
=
20
10
= 2 𝑒 𝑥′′ =
12 − 8
10
=
4: 2
10: 2
=
2
5
 
 
S= {2/5, 2} 
 Relação entre os coeficientes e as raízes 
As equações do 2º grau possuem duas relações entre suas raízes, são as chamadas relações de 
Girard, que são a Soma (S) e o Produto (P). 
 
 
 
Logo podemos reescrever a equação da seguinte forma: 
 
x2 – Sx + P=0 
Exemplos: 
1) Determine uma equação do 2º grau cujas raízes sejam os números 2 e 7. 
Resolução: 
Pela relação acima temos: 
S = 2+7 = 9 e P = 2.7 = 14  Com esses valores montamos a equação: x2 -9x +14 =0 
 
2) Resolver a equação do 2º grau: x2 -7x +12 =0 
Observe que S=7 e P=12, basta agora pegarmos dois números aos quais somando obtemos 7 e 
multiplicados obtemos 12. 
S= 3+4 = 7 e P = 4.3=12, logo o conjunto solução é: S={3,4} 
 
Questões 
 
01. (PREF. JUNDIAI/SP – ELETRICISTA – MAKIYAMA/2013) Para que a equação (3m-9)x²-7x+6=0 
seja uma equação de segundo grau, o valor de m deverá, necessariamente, ser diferente de: 
 (A) 1. 
 (B) 2. 
 (C) 3. 
 (D) 0. 
 (E) 9. 
 
02. (CÂMARA DE CANITAR/SP – RECEPCIONISTA – INDEC/2013) Qual a equação do 2º grau cujas 
raízes são 1 e 3/2? 
(A) x²-3x+4=0 
(B) -3x²-5x+1=0 
(C) 3x²+5x+2=0 
(D) 2x²-5x+3=0 
 
03. (CÂMARA DE CANITAR/SP – RECEPCIONISTA – INDEC/2013) O dobro da menor raiz da 
equação de 2º grau dada por x²-6x=-8 é: 
(A) 2 
(B) 4 
(C) 8 
1) Soma das raízes é dada por: 𝑺 = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −
𝒃
𝒂
 
 
2) Produto das raízes é dada por: 𝑷 = 𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 =
𝒄
𝒂
 
 
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. 223 
(D) 12 
 
04. (CGU – ADMINISTRATIVA – ESAF/2012) Um segmento de reta de tamanho unitário é dividido 
em duas partes com comprimentos x e 1-x respectivamente. 
Calcule o valor mais próximo de x de maneira que 
 x = (1-x) / x, usando 5=2,24. 
(A) 0,62 
(B) 0,38 
(C) 1,62 
(D) 0,5 
(E) 1/ 𝜋 
 
05. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB/ 2014) Hoje João tem oito anos a mais que sua irmã, e o 
produto das suas idades é 153. Daqui a dez anos, a soma da idade de ambos será: 
(A) 48 anos. 
(B) 46 anos. 
(C) 38 anos. 
(D) 36 anos. 
(E) 32 anos. 
 
06. (PREF. PAULISTANA/PI – PROFESSOR DE MATEMÁTICA – IMA/2014) Temos que a raiz do 
polinômio p(x) = x² – mx + 6 é igual a 6. O valor de m é: 
(A) 15 
(B) 7 
(C) 10 
(D) 8 
(E) 5 
 
07. (CBTU – METROREC – Analista de Gestão – Advogado – CONSULPLAN/2014) Considere a 
seguinte equação do 2º grau: ax2 + bx + c = 0. Sabendo que as raízes dessa equação são x’ = 6 e x’’ = –
10 e que a + b = 5, então o discriminante dessa equação é igual a 
(A) 196. 
(B) 225. 
(C) 256. 
(D) 289. 
 
08. (SAAE/SP - Fiscal Leiturista – VUNESP/2014) O dono de uma papelaria comprou 98 cadernos e 
ao formar pilhas, todas com o mesmo número de cadernos, notou que o número de cadernos de uma 
pilha era igual ao dobro do número de pilhas. O número de cadernos de uma pilha era 
(A) 12. 
(B) 14. 
(C) 16. 
(D) 18. 
(E) 20. 
 
09. (Prefeitura de São Paulo - SP - Guarda Civil Metropolitano - MS CONCURSOS) Se x1 > x2 são 
as raízes da equação x2 - 27x + 182 = 0, então o valor de 
1
𝑥2
 - 
1
𝑥1
 é: 
(A) 
1
27
. 
 
(B) 
1
13
. 
(C) 1. 
(D) 
1
182
. 
 
(E) 
1
14
. 
 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 224 
10. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES) A soma das raízes da equação (k - 2)x² 
- 3kx + 1 = 0, com k ≠ 2, é igual ao produto dessas raízes. Nessas condições. Temos: 
(A) k = 1/2. 
(B) k = 3/2. 
(C) k = 1/3. 
(D)k = 2/3. 
(E) k = -2. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
Neste caso o valor de a ≠ 0, 𝑙𝑜𝑔𝑜: 
3m-9≠0 
3m≠9 
m≠3 
 
02. Resposta: D. 
Como as raízes foram dadas, para saber qual a equação: 
x² - Sx +P=0, usando o método da soma e produto; S= duas raízes somadas resultam no valor 
numérico de b; e P= duas raízes multiplicadas resultam no valor de c. 
 
𝑆 = 1 +
3
2
=
5
2
= 𝑏 
 
𝑃 = 1 ∙
3
2
=
3
2
= 𝑐 ; 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 
 
𝑥2 −
5
2
𝑥 +
3
2
= 0 
 
2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0 
 
03. Resposta: B. 
x²-6x+8=0 
 ∆= (−6)2 − 4.1.8 ⇒ 36 − 32 = 4 
 
 𝑥 =
−(−6)±√4
2.1
⇒ 𝑥 =
6±2
2
 
 
 𝑥1 =
6+2
2
= 4 
 
 𝑥2 =
6−2
2
= 2 
 
Dobro da menor raiz: 22=4 
 
04. Resposta: A. 
𝑥 =
1 − 𝑥
𝑥
 
 
x² = 1-x 
x² + x -1 =0 
∆= (1)2 − 4.1. (−1) ⇒ ∆= 1 + 4 = 5 
𝑥 =
−1 ± √5
2
 
 
𝑥1 =
(−1 + 2,24)
2
= 0,62 
 
1342548 E-book gerado especialmente para SANDRA ROSA VESPASIANO BORGES
 
. 225 
𝑥2 =
−1 − 2,24
2
= −1,62 (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚) 
 
05. Resposta: B. 
Hoje: 
J = IR + 8 ( I ) 
J . IR = 153 ( II ) 
Substituir ( I ) em ( II ): 
(IR + 8). IR = 153 
IR² + 8.IR – 153 = 0 (Equação do 2º Grau) 
𝛥 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
𝛥 = 82 − 4.1. (−153) 
𝛥 = 64 + 612 
𝛥 = 676 
 
𝑥 =
−𝑏±√𝛥
2𝑎
 
 
𝑥 =
−8±√676
2.1
= 
−8±26
2
 
 
𝑥1 = 
−8+26
2
=
18
2
= 9 
 
𝑥2 = 
−8−26
2
=
34
2
= 17 
 
Portanto, hoje, as idades são 9 anos e 17 anos. 
Daqui a 10 anos, serão 19 anos e 27 anos, cuja soma será 19 + 27 = 46 anos. 
 
06. Resposta: B. 
Lembrando que a fórmula pode ser escrita como :x²-Sx+P, temos que P(produto)=6 e se uma das 
raízes é 6, a outra é 1. 
Então a soma é 6+1=7 
S=m=7 
 
07. Resposta: C. 
O discriminante é calculado por ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
Antes, precisamos calcular a, b e c. 
* Soma das raízes = – b / a 
 – b / a = 6 + (– 10) 
– b / a = – 4 . (– 1) 
b = 4 . a 
Como foi dado que a + b = 5, temos que: a + 4.a = 5. Assim: 
5.a = 5 e a = 1 
* b = 4 . 1 = 4 
Falta calcular o valor de c: 
* Produto das raízes = c / a 
c / 1 = 6 . (– 10) 
c = – 60 
Por fim, vamos calcular o discriminante: 
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆ = 42 − 4.1. (−60) = 16 + 240 = 256 
 
08. Resposta: B. 
Chamando de (c o número de cadernos em cada pilha, e de ( p ) o número de pilhas, temos: 
c = 2.p (I) 
p.c = 98 (II) 
Substituindo a equação (I) na equação (II), temos: 
p.2p = 98 
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. 226 
2.p² = 98 
p² = 98 / 2 
p = √49 
p = 7 pilhas 
Assim, temos 2.7 = 14 cadernos por pilha. 
 
09. Resposta: D. 
Primeiro temos que resolver a equação: 
a = 1, b = - 27 e c = 182 
∆ = b2 – 4.a.c 
∆ = (-27)2 – 4.1.182 
∆ = 729 – 728 
∆ = 1 
 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 = 
−(−27)±√1
2.1
 = 
27±1
2
  x1 = 14 ou x2 = 13 
 
O mmc entre x1 e x2 é o produto x1.x2 
 
1
𝑥2
−
1
𝑥1
=
𝑥1 − 𝑥2
𝑥2. 𝑥1
=
14 − 13
14.13
=
1
182
 
 
 
10. Resposta: C. 
Vamos usar as fórmulas da soma e do produto: S = 
−𝑏
𝑎
 e P = 
𝑐
𝑎
. 
 
(k – 2)x2 – 3kx + 1 = 0; a = k – 2, b = - 3k e c = 1 
 
S = P 
 
−𝑏
𝑎
=
𝑐
𝑎
  - b = c  -(-3k) = 1  3k = 1  k = 1/3 
 
 
SISTEMA DO 1º GRAU 
 
- Definição 
Observe o raciocínio: João e José são colegas. Ao passarem por uma livraria, João resolveu comprar 
2 cadernos e 3 livros e pagou por eles R$ 15,40, no total dos produtos. José gastou R$ 9,20 na compra 
de 2 livros e 1 caderno. Os dois ficaram satisfeitos e foram para casa. 
No dia seguinte, encontram um outro colega e falaram sobre suas compras, porém não se lembrava 
do preço unitário dos livros. Sabiam, apenas que todos os livros, como todos os cadernos, tinham o 
mesmo preço. 
Bom, diante deste problema, será que existe algum modo de descobrir o preço de cada livro ou caderno 
com as informações que temos? Será visto mais à frente. 
Um sistema de equação do primeiro grau com duas incógnitas x e y, pode ser definido como um 
conjunto formado por duas equações do primeiro grau. Lembrando que equação do primeiro grau é aquela 
que em todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. 
 
- Observações gerais 
Já estudamos sobre equações do primeiro grau com duas incógnitas, como exemplo: x + y = 7; x – y 
= 30 ; x + 2y = 9 x – 3y = 15 
Foi visto também que as equações do 1º grau com duas variáveis admitem infinitas soluções: 
x + y = 6 x – y = 7 
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. 227 
 
 
Vendo a tabela acima de soluções das duas equações, é possível checar que o par (4;2), isto é, x = 4 
e y = 2, é a solução para as duas equações. 
 
Assim, é possível dizer que as equações 
x + y = 6 
x – y = 7 
 
Formam um sistema de equações do 1º grau. 
Exemplos de sistemas: 
 
 
{ Observe este símbolo. A matemática convencionou neste caso para indicar que duas ou mais 
equações formam um sistema. 
 
- Resolução de sistemas 
Resolver um sistema significa encontrar um par de valores das incógnitas x e y que faça verdadeira 
as equações que fazem parte do sistema. 
Exemplos: 
a) O par (4,3 ) pode ser a solução do sistema 
x – y = 2 
x + y = 6 
 
Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta substituir os valores em ambas as equações: 
x - y = 2 ; x + y = 6 
4 – 3 = 1 ; 4 + 3 = 7 
1 ≠ 2 (falso) 7 ≠ 6 (falso) 
 
A resposta então é falsa. O par (4,3) não é a solução do sistema de equações acima. 
b) O par (5,3 ) pode ser a solução do sistema 
x – y = 2 
x + y = 8 
 
Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta substituir os valores em ambas as equações: 
x – y = 2 ; x + y = 8 
5 – 3 = 2 ; 5 + 3 = 8 
2 = 2 (verdadeiro 8 = 8 (verdadeiro) 
 
A resposta então é verdadeira. O par (5, 3) é a solução do sistema de equações acima. 
 
 
 
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. 228 
- Métodos para solução de sistemas do 1º grau. 
 
Método de substituição 
Esse método de resolução de um sistema de 1º grau estabelece que “extrair” o valor de uma incógnita 
é substituir esse valor na outra equação. 
Observe: 
x – y = 2 
x + y = 4 
Vamos escolher uma das equações para “extrair” o valor de uma das incógnitas, ou seja, estabelecer 
o valor de acordo com a outra incógnita, desta forma: 
x – y = 2  x = 2 + y 
Agora iremos substituir o “x” encontrado acima, na “x” da segunda equação do sistema: 
x + y = 4 
(2 + y ) + y = 4 
2 + 2y = 4 2y = 4 – 2  2y = 2  y = 1 
Temos que: x = 2 + y, então 
x = 2 + 1 
x = 3 
Assim, o par (3, 1) torna-se a solução verdadeira do sistema. 
 
Método da adição 
Este método de resolução de sistema do 1º grau consiste apenas em somas os termos das equações 
fornecidas. 
Observe: 
x – y = - 2 
3x + y = 5 
Neste caso de resolução, somam-se as equações dadas: 
x – y = -2 
3x + y = 5 + 
4x = 3 
x = 3/4 
Veja nos cálculos que quando somamos as duas equações o termo “y” se anula. Isto tem que ocorrer 
para que possamos achar o valor de “x”. 
Agora, e quando ocorrer de somarmos as equações e os valores de “x” ou “y” não se anularem para 
ficar somente uma incógnita? 
Neste caso, é possível usar uma técnica de cálculo de multiplicação pelo valor excludente negativo. 
Ex.: 
3x + 2y = 4 
2x + 3y = 1 
 
Ao somarmos os termos acima, temos: 
5x + 5y = 5, então para anularmos o “x” e encontramos o valor de “y”, fazemos o seguinte: 
» multiplica-se a 1ª equação por +2 
» multiplica-se a 2ª equação por – 3 
 
Vamos calcular então: 
3x + 2y = 4 ( x +2) 
2x + 3y = 1 ( x -3) 
6x +4y = 8 
-6x - 9y = -3 + 
-5y = 5 
y = -1 
 
Substituindo: 
2x + 3y = 1 
2x + 3.(-1) = 1 
2x = 1 + 3 
x = 2 
 
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