Problemas Empuxo Resolvidos

Prévia do material em texto

0) Uma caixa de água de 800litros mede 1.0 x 1.0 x 0.80m. Determinar o
empuxo (E em kgf) que atua em uma de suas paredes laterais e a
profundidade de seu ponto de aplicação (Ycp) 
b=
1.0
m
d= 0.8m E
ycp
ycg
cg 0:=
cp 1:=
a ) Cálculo do módulo do empuxo: E hcg γ⋅ A⋅=
hcg 0.4m:= γ 1000
kgf
m
3
⋅:= A 0.8m 1.0⋅ m:=
E hcg γ⋅ A⋅:= E 320 kgf⋅=
b ) Cálculo da profundidade do centro de pressão :
( no caso da superfície vertical hcg= ycg)ycp ycg
Io
ycg A⋅
+=
d 0.8m:=ycg 0.4m:= A 0.8m 1.0⋅ m:=Io b d
3
⋅
12
= A 0.8m2=b 1.0m:=
Io
1.0 m⋅ 0.8 m⋅( )3⋅
12
:=
Io 0.043 m4= ycp 0.4m
1.0 m⋅ 0.8 m⋅( )3⋅
12
0.4m 0.8⋅ m2
+:=
b=
1.0
m
d= 0.8m E= 320 kgf
Ycp=0.533
Ycg=0.4m ycp 0.533 m=
4,57m
1,22m
θθθθ = 600
4,57m
1,22m
θθθθ = 600
1) -Uma comporta circular com diâmetro de
1,22m é esquematizada na figura ao lado.
1.a) Calcule as distâncias, medidas no plano
da superfície da comporta, até o centro de
gravidade (ycg) e até o centro de pressão
(ycp). 
Centro de
gravidade (Cg): ycg 4.57 m⋅
1.22 m⋅
2
+:= ycg 5.180 m=
Centro de
Pressão (Cp): ycp ycg
I0
A ycg⋅
+= Io
pi d4⋅
64
= Io
pi 1.22m( )4⋅
64
:=
Io 0.109 m4=
A 0.8m2=
A pi
d2
4
⋅= A
pi 1.22m( )2⋅
4
:=
4,5
7m
1,22m
y cg
=
5,1
8mCpCp
Cg
y cp
=
5,2
0m
θθθθ = 600
4,5
7m
1,22m
y cg
=
5,1
8mCpCp
Cg
y cp
=
5,2
0m
θθθθ = 600
ycp 5.18 m⋅
0.109m4
1.169m2 5.18⋅ m⋅
+:=
ycp 5.198 m=
1.b)
 Calcule a profundidade do
centro de gravidade
 
(hcg) e
do centro de pressão (hcp). 
θ
pi
3
:= hcg ycg sin θ( )⋅:=
seno θ( ) hcg
ycg
=
hcp
ycp
= hcg 4.486 m=
hcp ycp sin θ( )⋅:= hcp 4.50 m=
1.c) Calcule o valor do empuxo (E) atuando na comporta assumindo que o peso
específico da água (γγγγ) é 1000 kgf/m3. 
1,22m
Cp
Cg
Y cp
=
5,2
0m
E= 51 427N
θθθθ = 600
1,22m
Cp
Cg
Y cp
=
5,2
0m
E= 51 427N
θθθθ = 600
γ 1000
kgf
m
3
⋅:= E hcg γ⋅ A⋅:=
E 4.486 m⋅ 1000⋅ kgf
m
3
⋅
pi 1.22 m⋅( )2⋅
4
⋅:=
E 5244.07 kgf⋅= E 51426.8 N=
2- Para as dimensões mostradas na figura abaixo, calcule o mínimo valor do peso•
W para o qual se inicia a abertura da comporta de peso desprezível . 
1,52m
Articulação
60o
O,91m
1,83m
W
1,52m
Articulação
60o
O,91m
1,83m
W
Articulação
60o60o
O,91m
1,83m
WW
A distância ao centro de gravidade (ycg),•
medida ao longo do plano inclinado: 
ycg
1.83m
sin
pi
3






1.52 m⋅
2
+:=
ycg 2.113m 0.76 m⋅+:=
ycg 2.873 m=
hcg ycg sin
pi
3






⋅:=
hcg 2.488 m=A profundidade do centro de gravidade (hcg):•
O valor do empuxo (E):• E hcg γ⋅ A⋅= hcg 2.488 m= γ 9806 N
m
3
:=
A 0.91 m⋅ 1.52⋅ m⋅:= E 2.488 m⋅ 9806⋅ N
m
3
⋅ 1.383m2( )⋅:= E 3.374 104× N=
Articulação
E
60o
Ycp
2,11m
Articulação
E
60o60o
Ycp
2,11m
 Em relação a articulação o•
momento anti-horário
(ME) é :
ycp 2.113m−( ) E⋅
ycp ycp
Io
A ycp⋅
+= Io
0.91 m⋅ 1.52 m⋅( )3⋅
12
:=
ycp 2.873m
0.266m4
1.383m2 2.873⋅ m
+:= ycp 2.94 m=
ME 2.94m 2.113m−( ) 3.374 104× N( )⋅:= ME 2.79 104× m N⋅⋅=
Articulação
W
W seno(30o)
1,52m
60o
Articulação
W
W seno(30o)
1,52m
60o
Em relação a•
articulação o
momento horário é:
 
1.52 m⋅ W⋅ sin pi
6






⋅
Igualando os•
momentos
horário e
anti-horário: 
W
ME
1.52 m⋅ sin pi
6






⋅
:=
W 3.671 104× N=
•
1.3 m
O
2
. 4
 m
obstáculo
•
X
O
Eixo de
Articulação
obstáculo
2.4m
1.1 m
NA
•
1.3 m
O
2
. 4
 m
obstáculo
•
X
O
Eixo de
Articulação
obstáculo
2.4m
1.1 m
NA3- A comporta quadrada representada
ao lado é articulada no ponto O. A
altura do nível da água (x) a partir do
qual se inicia a abertura da comporta
(giro horário em torno do ponto O).
Observe que o obstáculo impede o
giro da comporta no sentido
anti-horário. O giro no sentido horário
(seta) ocorre somente quando a linha
de ação do empuxo (centro de
pressão) se 
localiza acima do eixo de articulação.
NA
ycp
2
. 4
m
•
X
O
Eixo de
Articulação
obstáculo 2.4m
1.2 m
E
ycg
1.1 m
NA
ycp
2
. 4
m
•
X
O
Eixo de
Articulação
obstáculo 2.4m
1.2 m
E
ycg
1.1 m
A abertura se inicia quando o•
centro de pressão atinge uma
posição pouco acima do eixo de
articulação. Vamos assumir que a
abertura se inicia quando a linha
de ação do empuxo esta na mesma
altura do eixo de articulação:
ycp x 1.1 m⋅−= (I)
Quando o NA atinge uma altura•
igual a 2.4m (altura da comporta),
os valores de área molhada (A) e
momento de inércia (Io) da
comporta param de crescer.
Quando Io/A é constante, a
distância do NA ao centro de
pressão (ycp) é :
A 2.4m 2.4⋅ m⋅:=
Io
2.4 m⋅ 2.4 m⋅( )3⋅
12
:=
Io
A
0.480 m2.000= ycp ycg
Io
A ycg⋅
+= ycp ycg
0.480 m2⋅
ycg
+= (II)
Quando o NA esta acima da altura da comporta•
(X >2.4m), a distância do NA até o centro de
gravidade da comporta (ycg) é: ycg x
2.4m
2
−= ycg x 1.2 m⋅−=
Substituindo a distância ao centro de•
gravidade (ycg) na equação II, de cálculo da
distância ao Centro de Pressão (ycp): ycp x 1.2 m⋅−( )
0.480 m2⋅
x 1.2 m⋅−
+= (III)
Considerando que as equações I e III são equivalentes, podemos calcular a altura x•
através da seguinte expressão:
x 1.1m− x 1.2 m⋅−( ) 0.480 m
2
⋅
x 1.2 m⋅−
+= 0.1m
0.480 m2⋅
x 1.2 m⋅−
= x 1.2m
0.480 m2⋅
0.1 m⋅
+:=
x 6m=
1,1m
O 
2
,4
m
Eixo de 
Articulação
obstáculo
E
yp=0.8m •
x
=
1,
2m
0.4m 1,1m
O 
2
,4
m
Eixo de 
Articulação
obstáculo
E
yp=0.8m •
x
=
1,
2m
0.4m 1,1m
O 
2
,4
m
Eixo de 
Articulação
obstáculo
E
yp =1,6m
•
0.8mX
=
2,
4 
m
1,1m
O 
2
,4
m
Eixo de 
Articulação
obstáculo
E
yp =1,6m
•
0.8mX
=
2,
4 
m
Efeito da altura do nível de água (x) na profundidade 
(yp) e na altura do centro de pressão (x-yp) de uma 
superfície plana retangular e vertical.
(Note Superfície plana vertical hp=yp)
(a) (b)
1,1m
O 
2
,4
m
Eixo de 
Articulação
obstáculo
E
Yp =2,6m
•
1,0m
X
=
3,
6 
m
(c)
1,1m
O 
2
,4
m
Eixo de 
Articulação
obstáculo
E
Yp =2,6m
•
1,0m
X
=
3,
6 
m
(c)
1,1m
O 
2
,4
m
Eixo de 
Articulação
obstáculo
E
Yp =4,9m
•1,1m
X
=
6,
0 
m
(d)
1,1m
O 
2
,4
m
Eixo de 
Articulação
obstáculo
E
Yp =4,9m
•1,1m
X
=
6,
0 
m
1,1m
O 
2
,4
m
Eixo de 
Articulação
obstáculo
E
Yp =4,9m
•1,1m
X
=
6,
0 
m
(d)
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6 7
Profundidade do NA (x em m)
Pr
o
f. 
do
 
C
P 
(yp
 
e
m
 
m
)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6 7
Profundidade do NA (x em m)
Al
tu
ra
 
do
 
Cp
 
(x-
yp
 
e
m
 
m
)
N A
A rticu lação
Fr
30 o
3m
6m
4- Calcular a mínima força
Fr, normal à comporta
retangular de 4m x 6m ,
que deve ser aplicada na
base da comporta
esquematizada para
mante-la fechada . 
γ 9806 N
m
3
⋅:=
cos 30( ) cos pi
6






=
a) Solução:
 O esquema abaixo indica o
cálculo da distância ao centro de
gravidade da comporta (ycg)
medida no eixo y que passa no
plano da comporta. 
 
30o
y
3m
30o
ycg
(3m) /cos(300)
3m
hcg
cg
30o
y
3m
30o
ycg
(3m) /cos(300)
3m
hcg
cg
3m
cos
pi
6






3.464 m= ycg 3.464 m⋅ 3m+:=
ycg 6.464 m=
A profundidade docg (hcg) é
 
:
6.464m cos pi
6






⋅ 5.598 m=
A pressão no cg multiplicada pela área da
comporta é o empuxo :
E 5.598 m⋅ 9806⋅ N
m
3
⋅ 6m 4⋅ m( )⋅:=
E 1.317 106× N=
A distância, tomada no plano da
comporta, até a linha de ação do
empuxo, é:
E
y
3
.464
 m
Y
cp
 =
 6
.928m
Fr
6m
3
.464
 m
Artic.
E
y
3
.464
 m
Y
cp
 =
 6
.928m
Fr
6m
3
.464
 m
Artic.
ycp 2.94 m=
ycp 6.464 m⋅
4 m⋅ 6 m⋅( )3⋅
12
6.464m 4m 6⋅ m( )⋅+:=
Para a comporta ficar fechada, o momento
anti-horário causado pelo empuxo (E), em
relação à articulação, é igual ao momento
horário causado por Fr, em relação à
articulação:
6.928 m⋅ 3.464 m⋅−( ) E⋅ Fr 6⋅ m=
Fr
6.928 m⋅ 3.464 m⋅−( ) E⋅
6m
:=
Fr 7.606 105× N=
5- Calcular o valor da miníma força Fr normal à comporta quadrada, de
4m x 4m, esquematizada abaixo que é aplicada na sua base para
mante-la fechada . 
Fr
2 m
10 m
NA
2 m
Comporta 
retangular 
4mx4m
Solução
 : o valor do empuxo :
E hcg γ⋅ A⋅:=
γ 9806 N
m
3
⋅:=
hcg 10m:=
E 10m 9806⋅ N
m
3
⋅ 4m 4⋅ m( )⋅:=
E 1.569 106× N=
A distância ao centro de
pressão (ycp):
ycp 10 m⋅
4 m⋅ 4 m⋅( )3⋅
12
10 m⋅ 4m 4⋅ m( )⋅+:=
ycp 10.133 m=
Para manter a comporta fechada, o momento anti horário exercido pelo
empuxo, em relação à articulação, deve ser igual ao momento horário
exercido pela força Fr, em relação à articulação: 
2.133 m
Ycp = 10.133 m
NA
Comporta 
quadrada 
4mx4m
Fr
E 4 m
Articulação
2.133 m⋅ 1.569⋅ 106⋅ N⋅ 4m Fr⋅=
Fr
2.133 m⋅ 1.569⋅ 106⋅ N⋅
4 m⋅
:=
Fr 8.367 105× N=
6- Calcular a miníma força Fr normal à comporta, de formato elíptico,
esquematizada abaixo que é aplicada na sua base para poder abri-la.
Despreze o atrito e o peso próprio da comporta. 
b = 2 m
a = 2.5 m cg
Articulação
8 m
4 m
FR
4 m
5 m
b = 2 m
a = 2.5 m cg
Articulação
8 m
4 m
FR
4 m
5 m
Solução assumindo
 γ 9806 N
m
⋅:=
x
8 m⋅
5m
4m
= x 10m:= ycg 10 m⋅ 2.5 m⋅+:=
Articulação
8 m
FR
4 m5 
m
x8 m
5 m 4 m
ycg 12.5 m=
hcg
ycg
4m
5 m⋅
=
hcp
12.5 m⋅
=
hcg
12.5 m⋅ 4⋅ m⋅
5 m⋅
:=
hcg 10 m= E hcg γ⋅ A⋅:=
E 10 m⋅ 9806⋅ N
m
3
⋅ pi 2⋅ m 2.5⋅ m( )⋅:=
E 1.54 106× N=
Distância ao centro de pressão ycp, tomada no plano da comporta :
ycp ycg
Io
ycg A⋅
+=
Io
pi b⋅ a3⋅
4
=
ycp 12.5 m⋅
pi 2⋅ m⋅ 2.5 m⋅( )3⋅
4
12.5m pi 2⋅ m 2.5⋅ m( )⋅+:= ycp 12.625 m=
Para iniciar a abertura, o momento, em relação à articulação, da força normal Fr deve
superar o momento, em relação a articulação, exercido pelo empuxo (E).;
2.625 m⋅ E⋅ Fr 5⋅ m⋅=
Fr
2.625 m⋅ 1.54 106⋅ N⋅
5 m⋅
:=
Fr 8.085 105× N=
2 m
2 m
3 m W1
W2
y
x
a
a'
2 m
2 m
3 m W1
W2
y
x
2 m
2 m
3 m W1
W2
y
x
a
a'2 Calcule a força resultante ( módulo elinha de ação) da comporta cilindrica,
com raio de 2m e comprimento de 1m,
esquematizada ao lado. 
A componente vertical é o peso w1+w2
W1 3m 2⋅ m 1⋅ m 9806⋅ N
m
3
⋅:=
W1 5.884 104× N=
W2
pi 2m( )2⋅
4
1⋅ m 9806⋅ N
m
3
⋅:=
W2 3.081 104× N=
FV W1 W2+:=
FV 8.964 104× N=
A linha de ação de FV= w1+ w2 é calculada
com base na soma dos momentos em
relação ao eixo aa
W1 1 m⋅( )⋅ W2 4 2 m⋅( )⋅
3 pi⋅
⋅+ W1 W2+( ) Xv⋅=
Xv
W1 1 m⋅( )⋅ W2 4 2 m⋅( )⋅
3 pi⋅
⋅+
W1 W2+
:=
Xv 0.948m=
2 m
4.083 m FV
0.948m
y
x
a
a'
FH
2 m
4.083 m FV
0.948m
y
x
a
a'
FH
2 m
4.083 m FV
0.948m
y
x
a
a'
FH
A componente horizontal e a sua linha de
ação são calculadas em relação à
projeção vertical 
FH 4 m⋅ 9806⋅ N
m
3
⋅ 2m 1⋅ m( )⋅:=
FH 7.845 104× N=
ycp 4m
1m 2m( )3⋅
12
4m 2m 1⋅ m( )⋅+:=
ycp 4.083 m=
A resultante: 
FH2 FV2+ 1.191 105× N=