Equações para Bombas, Turbinas e Perda de Carga

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FCTM – Capítulo 5 – Bombas, Turbinas e Perda de carga – Exemplos Resolvidos 
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1 
 Equação da Energia e presença de uma 
máquina: 
2 2
1 2
1 1 2 2
2 2
v v
p g h p g h           
 
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
p v p v
h h
g g      
 
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
2 2
p v p v
H h h H
g g        
 
 Se colocarmos uma máquina entre os pontos 
(1) e (2), escreveremos a relação como: 
 
1 2MH H H 
 
 Se 
2 1 0MH H H   
Motor; 
 Se 
2 1 0MH H H   
Turbina. 
 Vazões: 
 Definimos como: 
 Vazão em Peso: 
eso
g
P
Q
t


 
 Vazão em Massa: 
m
m
Q
t


 
 Vazão em Volume: 
V
Q
t



 
 Potência de uma máquina 
 A potência de uma máquina é definida 
como: 
m
t
E
P
t


 
 
m m eso
t
eso
E E P
P
t P t
  
 
 
m
eso
E
H
P

 
 Como: 
eso
t
P
P H
t
 

 
t
m g
P H
t

 

 
t
V g
P H
t
  
 

 
V
Q
t


 
g  
 
tP H Q  
 
 Rendimento de uma máquina: 
O Rendimento de uma máquina é definido 
quanto a sua natureza. 
 Se a máquina for um motor: 
B
B
eixoB
P
P
 
 
B B
eixoB eixoB
B B
P Q H
P P

 
 
  
 
 Se a máquina for uma turbina: 
T
T
fT
P
P
 
 
T T fT T T TP P P Q H        
 
 Equação da continuidade: 
1 2 1 1 2 2m m V V     
 
1 1 1 2 2 2v A v A 
 
Para fluidos incompressíveis: 
1 1 2 2v A v A
{2} 
 Equação de Bernoulli: 
2 2
1 2
1 1 2 2
2 2
v v
p gy p gy
      
{3} 
1 2H H
 
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
v p v p
z z
g g
    
 
 
Substituindo {2} em {3}, a velocidade 
é dada por: 
2
2
2
q
H O
p
v c



 
Com: 
2 4
1 1
2 2 4 4
1 2 1 2
q
A d
c
A A d d
 
 
 
A vazão será: 
1 1 2 2Q A v A v  
 
 
 Equação da energia para fluido 
real 
Nesse item será retirada a hipótese de 
fluido ideal; logo, serão considerados os atritos 
internos no escoamento do fluido. São 
mantidas as hipóteses de regime permanente, 
fluido incompressível, propriedades uniformes 
na seção e sem trocas de calor induzidas. Esta 
última significa que não existe uma troca de 
calor provocada propositalmente; no entanto, 
ao se considerar os atritos no escoamento do 
fluido, deve-se imaginar que haverá uma perda 
de calor do fluido para o ambiente causada 
pêlos próprios atritos. Como será visto a 
seguir, a construção da equação da energia 
pode ser realizada sem se falar, explicitamente, 
dessa perda de calor. 
Da equação de Bernoulli sabe-se que, se 
o fluido fosse perfeito. H1 = H2 (Figura 4.8). 
 
 
 
 
 
 
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2 
 
Se, no entanto, houver atritos no transporte do 
fluido, entre as seções (l) e (2) haverá uma dissipação 
da energia, de forma que H1 > H2. 
Querendo restabelecer a igualdade, será 
necessário somar no segundo membro a energia dissi-
pada no transporte. 
121 2 p
H H H 
 
12p
H
: energia perdida entre (l) e (2) por 
unidade de peso do fluido. 
 
Como 
12 1 2p
H H H 
 e como H1 E H2 são 
chamados cargas totais, 
12p
H
 é denominado 'perda de 
carga'. 
Se for considerada também a presença de uma 
máquina entre (l) e (2), a equação da energia ficará: 
121 2M p
H H H H  
 
12
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
M p
v p v p
z H z H
g g
      
 
 
Da Equação deve-se notar que, no escoamento de 
um fluido real entre duas seções onde não existe máquina, a 
energia é sempre decrescente no sentido do escoamento, 
isto é, a carga total a montante é sempre maior que a de 
jusante, desde que não haja máquina entre as duas. 
A potência dissipada pêlos atritos é facilmente 
calculável raciocinando da mesma maneira que para o 
cálculo da potência do fluido. A potência dissipada ou 
perdida por atrito poderá ser calculada por: 
 
12diss p
N QH 
 
 Exemplos: 
1. Um tubo admite água ( = 1000 kg/m3) 
num reservatório cuja vazão é de 20 L/s. No mesmo 
reservatório é trazido óleo ( = 800 kg/m3) por outro 
tubo com vazão de 10L/s. A mistura homogênea 
formada é descarregada por um tubo cuja seção tem 
uma área de 30 cm
2
. Determinar a massa específica 
da mistura no tubo de descarga e a velocidade da 
mesma. 
 
33
1 20 20 10
mL
s s
Q   
; 
33
2 10 10 10
mL
s s
Q   
 
mQ Q
 
33
1 2 3 3 20 10 30 30 10
mL
s s
Q Q Q Q        
 
1 2 3 1 2 3m m m a o mQ Q Q Q Q Q      
 
31000 0,02 800 0,01 0,03 933,33
kg
m m m
      
 
3933,33
kg
m m
 
 
3
4
30 10
10
30 10
m m
m m m m s
Q
Q Av v v
A



     

 
10 mm sv 
 
 
2. No tubo da figura, transporta-se ar. 
Na área da maior seção do tubo a área vale 25 
cm
2
, a densidade 1,2 kg/m
3
 e a velocidade 10 
m/s; no ponto de menor seção a área vale 5 
cm
2
, a densidade 0,8 kg/m
3
. Determine na 
menor seção a velocidade e as vazões em 
massa, volume e em peso. 
 
v 
 
 
(1) (2) 
1 2
1 1 1
1 1 1 2 2 2 2
2 2
m m
Av
Q Q Av A v v
A
      
 
2 2
1,2 25 10
75
0,8 5
m
s
v v
 
  

 
34
2 2 2 2 25 10 75 0.0375
m
s
Q A v Q Q      
 
2 2 2 2 20.8 0.0375 0.03
kg
m m m s
Q Q Q Q      
2 2 2 29.81 0.03 0.29
N
g m g g s
Q gQ Q Q     
 
 
 Equação da energia para fluido 
real 
Nesse item será retirada a hipótese de 
fluido ideal; logo, serão considerados os atritos 
internos no escoamento do fluido. São 
mantidas as hipóteses de regime permanente, 
fluido incompressível, propriedades uniformes 
na seção e sem trocas de calor induzidas. Esta 
última significa que não existe uma troca de 
calor provocada propositalmente; no entanto, 
ao se considerar os atritos no escoamento do 
fluido, deve-se imaginar que haverá uma perda 
de calor do fluido para o ambiente causada 
pêlos próprios atritos. Como será visto a 
seguir, a construção da equação da energia 
pode ser realizada sem se falar, explicitamente, 
dessa perda de calor. 
Da equação de Bernoulli sabe-se que, se 
o fluido fosse perfeito. H1 = H2 . 
 
Se, no entanto, houver atritos no 
transporte do fluido, entre as seções (l) e (2) 
haverá uma dissipação da energia, de forma 
que H1 > H2. 
Querendo restabelecer a igualdade, será 
necessário somar no segundo membro a 
energia dissipada no transporte. 
121 2 p
H H H 
 
12p
H
: energia perdida entre (l) e (2) por 
unidade de peso do fluido. 
 
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Como 
12 1 2p
H H H 
 e como H1 E H2 são 
chamados cargas totais, 
12p
H
 é denominado 'perda 
de carga'. 
Se for considerada também a presença de uma 
máquina entre (l) e (2), a equação da energia ficará: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
121 2M p
H H H H  
 
12
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
M p
v p v p
z H z H
g g
      
 
 
 
Da Equação deve-se notar que, no escoamento 
de um fluido real entre duas seções onde não existe 
máquina, a energia é sempre decrescenteno sentido 
do escoamento, isto é, a carga total a montante é 
sempre maior que a de jusante, desde que não haja 
máquina entre as duas. 
A potência dissipada pêlos atritos é facilmente 
calculável raciocinando da mesma maneira que para 
o cálculo da potência do fluido. A potência dissipada 
ou perdida por atrito poderá ser calculada por: 
 
12diss p
N Q H   
 
Equação de Bernoulli: 
2 2
1 2
1 1 2 2
2 2
v v
p gh p gh
      
 
2 2
1 1 2 2
1 2 1 2
2 2
p v p v
h h H H
g g       
 
h 
 
 h2 (2) 
 H2( p2,
2v

,h2) 
 
 
 M 
 
 H1( p1,
1v

,h1) 
 
 h1 (1) 
 
 
 
121 2M p
H H H H  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Exemplos: 
 
l. Na instalação da figura, verificar se a 
máquina é uma bomba ou uma turbina e determinar a 
sua potência, sabendo que seu rendimento é 75%. 
Sabe-se que a pressão indicada por um manômetro 
instalado na seção (2) é 0,16 MPa, a vazão é l0 L/s, a 
área da seção dos tubos é l0 cm
2
 e a perda de carga 
entre as seções (l) e (4) é 2 m. 
Não é dado o sentido do escoamento, 
2
4 310H O N m 
; g = 10 m/s
2
. 
 
 Solução 
Deve ser notado, inicialmente, que a seção (4) 
é o nível do reservatório inferior sem incluir a parte 
interna do tubo, já que nesta não se conhece a 
pressão. 
Sabe-se que o escoamento acontecerá no 
sentido das cargas decrescentes, num trecho onde não 
existe máquina. Para verificar o sentido, serão 
calculadas as cargas nas seções (l) e (2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
1 1
1 1 0 0 24 24
2
v p
H z m
g
      

 
2
2 2
2 2
2
v p
H z
g
  

 
3
2 4
10 10
10
10 10
Q
v m s
A



  

 
2
2 2
2 2
2
v p
H z
g
  

 2 6
2 4
10 0,16 10
4 25
2 10 10
H m

   

 
 Como H2> H1, conclui-se que o escoamento 
terá o sentido de (2) para (1) ou de baixo para coma, 
sendo a máquina, portanto, uma bomba. 
Aplicando-se a equação da energia entre as 
seções (4) e (1), que compreendem a bomba. 
Lembrar que a equação deve ser escrita 
no sentido do escoamento. 
144 1B p
H H H H  
 
2
4 4
4 4
2
v p
H z
g
  

 
1 24H m
 
4 0H 
14
2pH 
 
141 4
24 0 2 26B pH H H H      
 
4 310 10 10 26
3470 3,47
0,75B
B
ot
B
QH
P W kW
   
   

 
2. No escoamento lamelar de um fluido 
em condutos circulares, o diagrama de 
velocidades é representado pela equação: 
 
2
max 1
r
v r v
R
  
    
   
 
onde vmax é a velocidade no eixo do 
conduto, R é o raio do conduto e r é um raio 
genérico para o qual a velocidade v é genérica. 
Sendo vm a velocidade média: 
 
0
1
2
R
mv v r dA dA r dr
A
     
A figura mostra a variação de v(r) com 
r. 
 
 
 
 
 
 (a) Encontre a velocidade média: 
 
A
A
v r dA
v
dA



 
 (b) Mostre que: 
max
1
2
mv
v

 
3. No escoamento turbulento de um 
fluido em condutos circulares, o diagrama de 
velocidades é dado pela equação: 
 
1 7
max 1
r
v r v
R
 
   
 
 
Mostre que: 
max
49
60
mv
v

 
4. Na instalação da figura, a máquina é 
uma bomba e o fluido é água. A bomba tem 
uma potência de 5 kW e seu rendimento é 80 
%. A água é descarregada à atmosfera com 
uma velocidade de 5 m/s pelo tubo cuja área 
de seção é 10 cm
2
 Determinar a perda de carga 
do fluido entre (1) e (1) e a potência dissipada 
ao longo da tubulação. Dados: H2O=10
4
N/m
3
; 
g = 10m/s
2
. 
 
 (1) 
 
 
5m 
 
(2) 
 B 
 
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5 
 Solução: 
121 2B p
H H H H  
 
2
1 1
1 1 10 0 5 5
2
v p
H z H m
g
       

2 2
2 2
2 2
5
0 0
2 2 10
v p
H z
g
     
 
 
2 1.25H m
 
B
B
B
Q H
P
  

 
B B B B
B B
P P
H Q v A H
Q v A
   
     
    
3
4 4
0.8 5 10
10 5 10 10
BH 
 

   
80BH m
 
121 2B p
H H H H  
 
12 1 2p B
H H H H  
 
12
5 1.25 80pH   
 
12
83.75pH m
 
1,2diss p
P Q H   
 
410 5 10 83.75dissP    
 
4190dissP W
 
4.19dissP kW
 
 
5. A equação de Bernoulli, quando há uma 
máquina entre os pontos (1) e (2) e o deslocamento 
do fluido se dá de (1) para (2) pode ser reescrita da 
forma, considerando que há uma perda de carga Hp12 
(Energia perdida por unidade de peso) de 3m : 
 
h 
 
 h2 (2) 
 H2( p2,
2v
 ,h2) 
 
 
 M 
 
 H1( p1,
1v
 ,h1) 
 
 h1 (1) 
 
 
 
 
121 2M p
H H H H  
 
 
 
 
 
Se HM > 0  Bomba 
 
otP 
 
 
 
 
Bot
P
 
 
 
 
 Potência da Bomba e rendimento: 
B
ot
ot B B
ot
P
P QH
P
   
 
Se HM < 0  turbina 
 
otP 
 
 
 
 
 
Tot
P
 
 
 
 Potência da Turbina e rendimento: 
Tot
ot B T
ot
P
P QH
P
   
 
Considere que não há perda de carga 
(Hp12=0) na figura abaixo: 
 (1) 
(2) 
 
 
 24 m 
 5 m 
 
 
 
 Considere o reservatório grande 
fornecendo água para o tanque a 10L/s. 
Verifique se a máquina instalada é bomba ou 
turbina e determine sua potência, se o seu 
rendimento é de 75%. Supor fluido ideal. 
Dados: Atubos = 10 cm
2
; g = 10m/s
2
; 
a=10
4
N/m
3
. 
 
6. Na instalação da figura, verificar se a 
máquina é uma bomba ou uma turbina e 
determinar a sua potência, sabendo que seu 
rendimento é 70%. Sabe-se que a pressão 
indicada por um manômetro instalado na seção 
(2) é 0,17 MPa, a vazão é l2 L/s, a área da 
seção dos tubos é l0 cm
2
 e a perda de carga 
entre as seções (l) e (4) é 2 m. 
Não é dado o sentido do escoamento: 
2
4 310H O N m 
; g = 10 m/s
2
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
M 
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6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
2
1 1
1 1 0 0 24 24
2
v p
Hz m
g
      

 
3
2 4
12 10
12
10 10
Q
v m s
A



  

 
2
2 2
2 2
2
v p
H z
g
  

 2 6
2 4
12 0,17 10
4 27.2
2 10 10
H m

   

 
Como H2> H1, conclui-se que o escoamento 
terá o sentido de (2) para (1) ou de baixo para coma, 
sendo a máquina, portanto, uma bomba. 
Aplicando-se a equação da energia entre as 
seções (4) e (1), que compreendem a bomba. 
Lembrar que a equação deve ser escrita 
no sentido do escoamento. 
144 1B p
H H H H  
 
2
4 4
4 4
2
v p
H z
g
  

 
1 24H m
 
4 0H 
14
2pH 
 
141 4
24 0 2 26B pH H H H      
 
4 310 12 10 26
4457.14 4.457
0,70B
B
ot
B
QH
P W kW
   
   

 
 Turbinas Hidráulicas - Tipos 
 Basicamente existem dois tipos de turbinas 
hidráulicas: as de ação e as de reação. No primeiro 
caso, de ação, a energia hidráulica disponível é 
transformada em energia cinética para, depois de 
incidir nas pás do rotor, transformar-se em mecânica: 
tudo isto ocorre a pressão atmosférica Na turbina de 
reação, o rotor é completamente submergido na água, 
com o escoamento da água ocorre uma diminuição de 
pressão e de velocidade entre a entrada e a saída do 
rotor. 
 Tradicionalmente o uso de turbinas hidráulicas 
tem-se concentrado no tipo Pelton, com um ou mais 
jatos, no caso das máquinas de ação; na Francis, 
Hélice e Kaplan, no caso do tipo de reação. A escolha 
do tipo adequado baseia-se nas condições de vazão, 
queda líquida, na altitude do local, na 
conformação da rotação da turbina com a do 
gerador e na altura de sucção, no caso de 
máquinas de reação. 
 Conhecidos a altura (H) e a vazão (O) 
disponíveis no local, levando-se em conta: a 
rotação (n) imposta em valores discretos em 
função do número de pares de pólos (z), do 
gerador elétrico, e altura de sucção,(hs), no 
caso da turbina hidráulica ser de reação, 
determina-se uma rotação específica nq = 3 n 
Q05 / H~1’75 , que definirá o tipo de rotor da 
turbina hidráulica, adequado ao 
aproveitamento em questão. 
 Definido o tipo de máquina, a preocupação 
passa ser o tipo de carga a ser atendida. Deve-
se procurar adequar a curva de carga com a de 
comportamento da turbina. No caso de grandes 
variações na carga, divide-se a instalação em 
duas ou mais máquinas, de maneira que 
através de manobras, a instalação atenderá a 
demanda sempre com as máquinas trabalhando 
a cargas adequadas. Neste caso, faz-se 
necessário a mudança do tipo do rotor, já que a 
rotação específica mudou, devido a divisão da 
vazão. 
 Em grandes centrais hidroelétricas as 
turbinas somente serão construídas após a 
definição de todos os parâmetros topográficas, 
hidrológicos e operacionais. Com isto, existe 
uma perfeita caracterização da rotação 
específica. Neste caso é feito um projeto 
exclusivo para as condições impostas. A 
preocupação do fabricante é obter um ganho 
do rendimento que é resultante de extensos 
estudos hidrodinâmicos na máquina. O alto 
custo desta exclusividade é diluído, face às 
grandes potências geradas e ao considerável 
aumento de receita representado por cada 
percentual acrescido da turbina. 
 Já, em instalações de pequeno porte, mini e 
microcentrais hidroelétricas, a preocupação 
maior é obter energia elétrica a baixo custo. 
Neste caso, o estudo da escolha do tipo e do 
número de turbina, feita de maneira análoga às 
das grandes instalações, tem como fatores 
limitantes a rotação mínima admissível para o 
gerador, na ordem de 600 rpm (rotações por 
minuto), a necessidade de utilizar-se de 
modelos padronizados oferecidos pelo 
fabricante. Este as oferece dentro de um 
campo de aplicação pré-limitado, dividido em 
várias faixas, sendo cada uma atendida por um 
modelo padrão da turbina em questão. 
Conseqüentemente uma turbina assim 
especificada dificilmente irá operar no seu 
ponto ótimo de funcionamento. Além do que, 
cada máquina deverá atender a uma variação 
de carga preestabelecida. Impreterivelmente, 
quedas de rendimento da instalação deverão 
ocorrer. 
 No Brasil, os fabricantes nacionais mais 
conhecidos se contentam em oferecer modelos 
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7 
padronizados dos tipos: Pelton, Francis e Hélice. 
Recentemente é que, baseados em projetos 
desenvolvidos no exterior, se encorajaram e passaram 
a oferecer a Kaplan e suas derivações como: Bulbo, 
―S" e Tubular. 
 Objetivando diminuir os custos e aumentar o seu 
campo de aplicação as Francis, além de caixa espiral, 
são oferecidas em caixas cilíndricas e abertas. Já as 
Pelton são oferecidas com um ou dois injetores. 
Normalmente, em se tratando de PCHs, estas 
máquinas são instaladas com eixo horizontal. 
 Algumas empresas atuantes em outros segmentos 
do mercado, outras criadas especialmente para a 
fabricação de equipamentos hidromecânicos e até 
mesmo grandes empresas tradicionais no setor 
hidroelétrico voltaram seus interesses ao mercado das 
PCHs, procurando desenvolver modelos de turbinas 
hidráulicas possíveis de serem fabricadas em série. 
Poucas empresas, não tradicionais no mercado, 
trabalham exclusivamente com a muito divulgada, 
mas quase desconhecida, Michell-Banki, a maioria 
concentra suas atividades nas clássicas: Pelton, 
Francis e Hélice, deixando os caros rotores Kaplan 
para uma fase posterior, quando o mercado assim o 
permitir. Em caso das instalações exigirem este 
último tipo, os projetos geralmente são importados 
das sedes de origem do fornecedor. 
 Alguns tipos de turbinas que, embora bastante 
utilizadas, são consideradas não convencionais. Dos 
tipos descritos a seguir, somente a Michell-Banki 
encontra-se devidamente divulgada no país, é 
construída em pequena escala. Todas elas apresentam 
como vantagens comuns: simplicidade construtiva, 
adequação à padronização, baixo custo, simplicidade 
de operação e manutenção, robustez dos 
componentes, bom comportamento em sistemas 
isolados. Como desvantagem, conseqüentes das 
simplificações impostas, elas apresentam 
rendimentos ligeiramente inferiores às turbinas 
tradicionais. 
 Turbinas Convencionais 
 Turbina Pelton 
 As Turbinas Pelton são máquinas de ação, 
escoamento tangencial. Operam altas quedas e baixas 
vazões. Podem ser de um (01) jato, dois (02) jatos, 
quatro (04) jatos e seis (06) jatos. C controle da vazão 
é realizado na agulha e injetor. A figura 4 mostra uma 
turbina Pelton de dois (02) jatos, com suas partes 
principais. 
 
 Turbina Francis 
 As Turbinas Francis são máquinas de reação, 
escoamento radial (lenta e normal) e escoamento 
misto (rápida). Operam médias vazões e médias 
quedas. O controle da vazão é realizado no 
distribuidor ou sistema de pás móveis. 
 
 Turbina Axial: Hélice e Kaplan 
 As Turbinas axiais são máquinas de reação, de 
escoamento axial. Operam grandes vazões e baixas 
quedas. O controle de vazão é realizado: turbina 
Hélice — pás do distribuidor (simples regulagem) e 
turbina Kaplan - pás do distribuidor e pás do rotor. 
 
 Turbinas Não 
Convencionais 
 Turbina Michell Banki 
 Inicialmente patenteada na Inglaterra, em 
1903, por A G. Michell, engenheiro 
australiano, mais tarde, entre os anos de 1917 
e 1919, pesquisada e divulgada pelo professor 
húngaro Banki, esta turbina foi 
extensivamente comercializada pela empresa 
alemã Ossberger Turbinen Fabrikque 
associou-se a Michell por volta de 1923. 
Nestes últimos 65 anos esta empresa 
responsável pela entrega de mais de 7.000 
unidades em todo o mundo, especialmente 
para em desenvolvimento. Atualmente, o 
número de fabricante deste tipo de turbina 
supera uma centena. No Brasil, o objeto de 
pesquisa do LHPCH-UNIFEI desde 1983, a 
turbina Michell-Banki, ou fluxo-cruzado, 
como também é conhecido, já foi fabricada 
pela empresa Mescli, de Piracicaba-SP, na 
década de 60. Nesta mesma época a Fundição 
Brasil também a oferecia com o nome de 
Duplex. Atualmente, o país conta por volta de 
quatro fabricantes deste tipo de turbina. 
Devido às suas características específicas, 
estas turbinas cobrem o campo das turbinas 
tipo Pelton dois jatos até a Francis normal. 
Sendo classificada como uma máquina de ação 
ela apresenta características de reação na 
primeira passagem. 
 O seu campo de aplicação atende quedas 
de 3 a 100 m, vazões de 0,02 a 2,0 (m3/s) e 
potências de t a 100 kW Devido à sua 
facilidade de padronização pode apresentar 
rotações específicas, nqa, entre 40 a 200. 
 Devido à sua simplicidade construtiva e as 
peculiaridades quanto ao seu funcionamento, 
esta turbina mostra-se altamente indicada para 
ser usada em microcentrais hidroelétricas. 
Destaca-se: 
 
- Construção simples, poucas peças móveis, 
facilitando a manutenção; 
- Fácil instalação, diminuindo os custos de 
obras civis; 
- Custos iniciais inferiores aos dos outros tipos 
de turbinas usadas em centrais de baixa queda; 
 
 - Trabalha sob condições ideais de 
funcionamento, mesmo se funcionando a 
cargas parciais; 
- Pode trabalhar em várias situações de queda 
e vazão, permitindo a sua padronização, 
conseqüentemente diminuindo os custos de 
fabricação; 
- Componentes, como o disco do rotor, a 
tampa e as pás podem ser fabricados a partir 
de uma chapa de aço carbono; 
- Pás são apenas calandradas; 
- Adapta-se a tubos de sucção. 
 
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8 
 Turbina de Fluxo Partido 
 
 A turbina de Fluxo Partido, mostrada na figura 9, 
trata de uma variação da Michell-Banki. Originada 
no Nepal onde foi, pela primeira vez, construída e 
testada pela empresa N. Y 8., e mais tarde testada 
pela Escola Politécnica de Hong Kong, a Turbina de 
Fluxo-Partido, SplitFlow, assim denominada, foi 
concebida de maneira a estender o campo de 
aplicação das turbinas Michel-Banki à rotação 
específica, nq inferiores a 40 (de 15 a 40). Com um 
campo de aplicação limitado entre queda de 50 a 150 
(m) e vazões de 0,01 a 0,13 (m3/s), esta turbina 
deverá concorrer com a turbina Pelton de um jato. 
 O seu funcionamento ocorre da seguinte maneira: 
a água oriunda das tubulações, passa por uma peça de 
transição, que muda a secção transversal de circular 
para retangular, entra no injetor o qual, juntamente 
com a pá diretriz, direciona o fluxo d’água para o 
rotor primário, que está contido no interior do rotor 
secundário, que por sua vez é bi-partido, figura 5. A 
água escoa através das pás em formato de arco de 
círculo do rotor primário e o jato d’água é partido de 
maneira a incidir no interior das pás, também em arco 
de círculo, do rotor secundário e daí sair para o canal 
de fuga. Ambos os rotores são solidários a um eixo 
horizontal. Todo o conjunto é contido no interior de 
uma tampa. 
 Em testes feitos pela Politécnica de Hong Kong, 
obteve-se rendimentos na ordem de 58 a 610/o, sendo 
que o primário testado sozinho forneceu 46 a 56%. 
 A vantagem deste tipo de turbina, além de 
ampliar o campo de aplicação de Michel-Banki, é a 
sua facilidade de fabricação, já que pode usar 
processo de fundição para o rotor. A desvantagem 
consiste no rendimento sensivelmente inferior a 
Michel-Banki de rotações específicas equivalente, 
conforme os resultantes obtidos nos testes 
desenvolvidos na politécnica de Hong Kong. 
 
 Turbina Turgo 
 
 A turbina Turgo é fabricada pela Gilkers & 
Gordon Ltda, empresa inglesa. Trata-se de uma 
máquina de ação e diferencia da Pelton quanto ao 
ângulo de incidência do jato d’água. Quando na 
Pelton o jato é tangencial, na Turgo é lateral, O jato 
d’água incidente no injetor, e no rotor lateralmente, 
formando um ângulo ente 100 a 200. A água escoa 
pelas pás saindo livremente do outro lado para o 
canal de fuga. Com rotações específicas, nq, variando 
de 15 a 65, a Turgo atende quedas entre 15 a 100 m e 
vazões de 0,01 a 0,100 m3/s, com potências de 100W 
a 100 kW. 
 Devido às suas particularidades, a Turgo compete 
com a Pelton multijatos até a Francis Normal. Se com 
características semelhantes, a Turgo apresenta as 
seguintes vantagens diante da Pelton Multi-jatos: 
 - Devido a posição do jato, a turbina Turgo pode 
assumir diâmetros até a metade da roda Pelton para 
as mesmas condições. 
 - Como a Pelton, a Turgo pode ser dotada de ate 
três injetores. 
 - Devido às maiores vazões admissíveis 
nos injetores da roda turgo, ocorre uma 
diminuição do número de injetores, e 
conseqüentemente, há uma simplificação no 
sistema de controle de velocidade. 
 
 
 Com a diminuição do diâmetro há um 
aumento na rotação, logo, sob quedas 
menores, é possível obter rotações adequadas 
ao gerador. 
 Atualmente, além da Gilkers, existem 
propostas de outros modelos de turbinas Turgo 
mais simplificados, como a pesquisada pelos 
chineses. Estes propõem o uso de pás semi-
esféricas que, equacionadas, permitiram o 
dimensionamento e construção de um 
protótipo, cujos resultados obtidos em ensaios 
foram equivalentes ao fornecido pelas Gilkers. 
 No Chile, a exemplo das rodas Pelton, 
existe uma proposta para construção de 
simples rodas Turgo, construídas com pás 
semi-esféricas e setias, no lugar de injetores. 
 
 Turbina Shiele 
 
 A Turbina Schiele produzida somente pela 
empresa Water Power Engineering, 
Cambridge, Inglaterra, apresenta-se como um 
interessante tipo de turbina de reação. De rotor 
aberto, com fluxo em paralelo, ela opera 
submersa, abaixo do nível de jusante. 
 O seu campo de aplicação cobre quedas de 
1 a 10 m, vazões de 0,095 a 1,7m3/s, gerando 
potencias desde 1,7 a 58 kW. Pelos dados 
fornecidos pelo seu fabricante a rotação 
específica adotada é na ordem de 60. Trata-se 
de uma concorrente da Turbina Michell-Banki, 
sendo que as vantagens estão no fato de 
assumirem diâmetros menores e, 
conseqüentemente, maiores rotações que as 
turbinas de impulso. 
 O rotor, que é fabricado em diâmetros 
padrões: 200, 300, 400, 600 mm, é instalado 
com eixo vertical, dentro de uma caixa espiral 
que, por sua vez, é ligada à tomada d’água por 
uma tubulação de PVC. A água que vem 
escoando pelo rotor é dividida, saindo tanto 
pela parte superior e inferior do rotor, para daí 
escoar para o canal de fuga através de um 
curto tubo de sucção. 
 Devido ao emprego de polímeros na 
fundição do rotor, não se faz necessário a 
usinagem pós-fabricação. Com um 
acabamento extremamente liso e de alta 
integridade, o polímero por ser flexível, dá à 
turbina uma alta resistência à erosão dos 
detritos que por ventura passem pela grade. 
 O fabricante da turbina Schiele, ou de 
fluxo em paralelo como também é 
denominada, fornece-a em forma de pacote. 
Empregando materiais leves e resistentes, 
como é o caso de fibras de vidro, PVC e 
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9 
polímeros, são fornecidos todos os componentes 
básicos da microcentral de maneira a minimizar o 
emprego da mão-de-obra na construção da 
microcentral. A tomada d’água, feita de fibra de 
vidro, é dotada de uma comporta desviadora, uma 
grade, e um extravasor. A água é conduzida até a 
turbina, instalada dentro de um tanque, através de um 
conduto de PVC. A água após passar pela turbina 
escoa pelo tanque através de um pequeno tubo de 
sucção para sair pelo rio. A potência é transmitida 
para o gerador, através de um eixo e uma transmissão 
por polias, que se faz necessário para adequar a 
rotação da turbina ao gerador. A velocidade da 
instalação é controlada eletronicamente através de 
um banco de resistência, que pode ser usado para 
aquecer água dispondo assim a carga não consumida 
pela usuário. 
 
 Bombas Funcionando como Turbinas 
 
 Por fim, destaca-se o caso das bombas 
funcionando como turbinas (B.F.T.), que se tratam de 
a solução importante no caso de microcentrais. O uso 
da bomba funcionando corno turbina, B.F.T., mostra-
se altamente adequado para geração de potências 
inferiores a 50 W com a instalação trabalhando a 
plena carga. A experiência já adquirida no país, 
através de pesquisas desenvolvidas no LHPCH - 
UNIFEI, que iniciou os estudos em trabalhos publica-
os pela Worthington e alguns pesquisadores 
estrangeiros, demonstra que o uso da B.F.T. pode 
tornar-se de imediato uma solução altamente 
econômica para as microcentrais. 
 O funcionamento da instalação se dá pelo 
princípio de se operar uma bomba ao reverso, que 
motivos econômicos, pode ser de fabricação seriada, 
não sofrendo qualquer modificação. Ainda, admite-se 
somente o uso de um tubo de sucção cônico e o uso 
de uma válvula na entrada da B.F.T. para pequenas 
regulagens de carga. 
 
 
 Posta a operar, a B.F.T. tem se comportado 
excelentemente. Não ocorrem vibrações, o 
rendimento é igual ou, em alguns casos, superior ao 
rendimento da bomba quando em operação. 
 A dificuldade consiste em saber se o rendimento 
garantido pelo fabricante é real ou não, se o ponto 
ótimo de funcionamento é realmente para as 
condições de altura manométrica, vazão e rotação 
conforme mostrado em catálogos. As experiências 
têm demonstrado que, em se tratando de bombas 
fabricadas em série, dificilmente o apresentado 
em catálogos é obtido em ensaios no 
laboratório. 
 Devido ao baixo custo, as B.F.T.s 
apresentam os inconvenientes de não 
admitirem variações de carga. Problema este 
que pode facilmente ser solucionado com 
regulador eletrônico de carga constante. 
 
 Turbina Hidrocinética 
 
 Em 1982, J. H. Harwood, um pesquisador 
da Universidade do Amazonas, desenvolveu 
um tipo de turbina hidrocinética com 
tecnologia apropriada à geração de pequenas 
potências denominado cata-água. Tal como 
mostrado na figura 13. O dispositivo é 
constituído por um cata-vento, com um 
número menor de pás, imerso na água. O rotor, 
através de uma correia, aciona o gerador 
instalado estrategicamente sobre flutuadores, 
O conjunto é ancorado, através de cabos, de 
forma a melhor aproveitar a correnteza do rio. 
 A turbina de rotor hélice desenvolvida em 
Nova Iorque, pois este rotor permite maiores 
eficiências, permitindo gerar em ambos os 
sentidos, alcançando 25 kW Existe um 
exemplar desta turbina em Brasília na UNB. A 
figura 14 mostra esta turbina. 
 Uma outra proposta é a turbina 
hidrocinética axial, que foi elaborada pelo 
pesquisador do LHPCH-UNIFEI, cujo o 
arranjo está mostrado na figura 15. Nesta 
proposta o rotor, em forma de polia, aciona 
diretamente o gerador posicionado sobre os 
flutuadores. 
 Uma outra proposta é o uso do rotor eólico 
Darreus de pás retas como a turbina 
hidrocinética, mostrado na figura 16. Este tipo 
de turbina tem a vantagem de ter eixo na 
posição vertical, facilitando a instalação do 
gerador ou de polia multiplicadora de 
velocidade, e caracteriza-se, principalmente, 
em produzir energia independente da direção 
da correnteza. 
 
 
 
 Turbina Helicoidal (Gorlov) 
 
 A turbina Helicoidal, desenvolvida pelo 
pesquisador Alexander M.Gorlov também 
baseada na turbina Darreus, concebida na 
década de 1930, se difere da primeira pelo 
formato das pás. Tal turbina mostrada nas 
figuras 17 e 18, elas assumem forma helicoidal 
e apresentam um maior rendimento e menores 
vibrações, uma vez que sempre haverá uma pá 
em posição de receber o fluxo. 
 Os primeiros testes foram realizados em 
1996, no Laboratório de Turbinas Helicoidais 
de Massachusetts, Cambridge, USA. A partir 
destes testes, verificaram-se que esta é uma 
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10 
máquina que ocupa pouco espaço; é leve e fácil de 
manusear; apresenta baixo custo de fabricação e 
apresenta pequena vibração mecânica. 
 São turbinas hidráulicas capazes de gerar até 5 
kW de potência, operando independentemente da 
direção da correnteza. Esta turbina possui rotação 
unidirecional mantendo um escoamento livre, com 
um rendimento máximo que pode alcançar 35%, é 
fabricada em alumínio e revestida com uma camada 
de material antiaderente, reduzindo desta forma o 
atrito na água e prevenindo contra o acúmulo de 
crustáceos e sujeira. Esta pode ser usada na posição 
vertical ou horizontal. 
 
A turbina Gorlov também pode ser denominada de 
turbina ―ecológica‖ em razão do seu aspecto 
construtivo, ou seja, dimensão, ângulo e 
distanciamento entre suas pás, que permitem a 
passagem fácil de peixes, não contribuindo para 
denegrir o meio ambiente. 
 As turbinas Gorlov têm sido testadas para 
diferentes finalidades, a saber: em plataformas 
marítimas, onde produzem a eletricidade usada na 
eletrólise da água para fornecer hidrogênio e 
oxigênio; e na produção de eletricidade para 
abastecer pequenas propriedades rurais nas regiões 
ribeirinhas de rios, nos EUA, China e Coréia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exercício 4.5 – Quais são as vazões 
de óleo em massa e em peso do tubo 
convergente da figura, para elevar uma coluna 
de 20 cm de óleo no ponto (0)? 
 
 80 mm 40 mm 
 
 20 cm 
 
 
 
 
 
 
(0) (1) 
 Solução: 
2 2
0 0 1 1
0 1
2 2
v p v p
z z
g g
    
 
 
0 0.2
p


 
22
0 01
2 2
v pv
g g
 

 
2 2
1 0 0.2 20v v  
 
2 2
1 0 4v v 
 
0 0 1 1A v A v  
 
2 2
0 1
0 1
4 4
D D
v v
 
  
 
2 2
0 1 1 0
80 40
4
4 4
v v v v
 
    
 
2 2
0 0 016 4 0.52
m
v v v
s
   
 
2
0 0
4
Q D v

 
 
20.08 0.52
4
Q

 
 
3
0.0026 2.6
m l
Q Q
s s
  
 
mQ Q 
 
mQ Q
g

 
 
8000
0.0026
10
mQ  
 
2.1m
kg
Q
s

 
g mQ g Q 
 
21gQ N s
 
 
 
 
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11 
 Exercício 4.7 – Na extremidade de uma 
tubulação de diâmetro D, acha-se instalado um bocal 
que lança um jato de água na atmosfera com diâmetro 
de 2 cm. O manômetro metálico registra uma pressãode 20 kPa e a água sobe no tubo de Pitot até a altura 
de 2.5 m. Nessas condições, determinar: 
(a) A vazão em peso do escoamento. 
(b) O diâmetro D do tubo admitindo escoamento 
permanente e sem atrito. a = 10 N/L 
 
 
 
 
 D 
 (1) (2) 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
(a) 
2
2
2 22 7.07
2
m
s
v
h v g h v
g
      
 
2
2 2
4
gQ D v

   
 
4 210 0.02 7.07
4
gQ

  
 
22.2g
N
Q
s

 
(b) 2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
v p v p
z z
g g
    
 
 
2 2
1 2 1
2 2
v v p
g g
 
 
2 2 3
1
14
7.07 20 10
3.16
2 2 10 10
m
s
v
v
g

   

 
2 2
1 2
1 2
4 4
D D
v v
 
  
 
2
1 2
1
v
D D
v
 
 
1 3D cm
 
 
 Exercício 4.9 – Um dos métodos para se 
produzir vácuo numa câmara é descarregar água por 
um tubo convergente-divergente, como é mostrado na 
figura. Qual deve ser a vazão em massa de água pelo 
convergente-divergente para produzir uma depressão 
de 22 cm de mercúrio na câmara da figura? Dados: 
desprezar as perdas de carga. 
2
4
3
10H O
N
m
 
; 
5
3
1.36 10Hg
N
m
  
 
2
10
m
g
s

 
1 72D mm 2 36D mm
 
 Câmara 
patm 
 
 
 
 
 
 
 
 
(1) (2) 
 
 
 Solução: 
5
2 2 1.36 10 0.22Hgp h p       
 
2 29920p Pa 
 
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
v p v p
z z
g g
    
 
 
 
2 2 2
2 1 2
p
v v g  

 
2 2
2 1 4
29920
20
10
v v

  
 
2 2
2 1 59.84v v 
 
1 1 2 2A v A v  
 
2 2
1 2
1 2
4 4
D D
v v
 
  
 
2 14v v
 
1 2
m
s
v 
 
mQ Q
g

 
 
1 1mQ A v
g

  
 
2
1
1
4
m
D
Q v
g

  
 
4 210 0.072
2
10 4
mQ

  
 
8.14
kg
m s
Q 
 
 
 Exercício 4.11 – Desprezando os 
atritos do pistão da figura, determinar: 
 
(a) a potência da bomba em kW se seu 
rendimento for 80%. 
 (b) a força que o pistão pode equilibrar a 
haste. 
 
 
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12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
H2O 
 
 Dados: A2 = A3 = A4 = A5 = A6 = 10 cm
2
 
 AG = 8 cm
2
; Ap = 20 cm
2
; AH = 10 cm
2
 
 Hp1,2 = Hp1,4 = 0.5 m; Hp4,5 = 0. 
 
 Solução: 
(a) 
1,6
22
6 61 1
1 6
2 2
B p
v pv p
z H z H
g g
      
 
 
1,6
2
6
1
2
B p
v
z H H
g
  
 
1,6
2
6
1
2
B p
v
H H z
g
  
 
210
2 4
20
BH   
 
3BH m
 
6 6Q A v 
 
410 10 10Q   
 
3
0.01
m
Q
s

 
B
B
B
Q H
P
  


 
410 0.01 3
0.80
BP
 

 
375BP W
 
(b) 
 4 p G p Hp A p A A F    
 
 4 p G p HF p A p A A    
 
4,6
22
6 64 4
4 6
2 2
p
v pv p
z z H
g g
     
 
 
4,6 4,6
4
4p p
p
H p H    

 
4 4
4 410 1 10p p Pa   
 
22
4 4
4
2 2
G G
G
v pv p
z z
g g
    
 
 
2 2
44
2
G Gp v vp
g

 
 
 
 
G G G
G
Q
Q A v v
A
   
 
4
0.01
8 10
Gv  
 
12.5G
m
v
s

 
2 2
44
2
G Gp v vp
g

 
 
 
4 2 2
4 4
10 10 12.5
10 10 20
Gp  
 
41.81 10Gp Pa  
 
 4 p G p HF p A p A A    
 
   4 4 4 4 410 20 10 1.81 10 20 10 10 10F            
38.1F N
 
 
 Exemplo 4.13 – Sabendo que a 
potência da bomba é 3 kW, seu rendimento é 
75 % e que o escoamento é de (1) para (2), 
determinar: 
 
 (a) a vazão. 
 (b) a carga manométrica da bomba. 
 (c) a pressão do gás. 
 Dados: 
 3A5 = A4 = 100 cm
2
 
 Hp1,2 = Hp5,6 = 1.5 m; Hp1,4 = 0.7m. 
2
4
3
10H O
N
m
 
 
 
 Gás 
 (6) 
 4m 
 (2) (3) (4) (5) 
 
 B 
 2m 
 h = 0.8m 
 (1) 
 F =1.2.10
5N/m3 
 
  
 (H2O) 
 
 
 Solução: 
(a) 
22
5 54 4
4 5
2 2
v pv p
z z
g g
    
 
 
2 2 4 5
5 4 2
p p
v v g

 

 
Equação manométrica: 
 4 5 Fp p h     
 
 5 44 5 1.2 10 10 0.8p p    
 
4
4 5 8.8 10p p Pa  
 
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13 
4
2 2
5 4 4
8.8 10
2 10
10
v v

  
 
2 2
5 4 176v v 
 
4 4 5 5A v A v  
 
5 4 5 53 A v A v   
 
5 43v v 
 
 
2 2 2 2
4 4 4 43 176 9 176v v v v    
 
4 4
176
4.7
8
m
v v
s
  
 
4
4 4 4 4 100 10 4.7Q A v Q
     
 
3
4 0.047
m
Q
s

 
 (b) 
B
B
B
Q H
P
  


 
B B
B
P
H
Q


  
3
4
3 10 0.75
10 0.047
BH
 


 
4.8BH m
 
 (c) 
 
1,6
22
6 61 1
1 6
2 2
B p
v pv p
z H z H
g g
      
 
 
1,6 1,6
6 6
6 6B p B p
p p
H z H H z H      
 
 
1,6 1,6
6 6
6 6B p B p
p p
H z H H z H      
 
 
1,66 6B p
p H z H    
 
1,6 1,2 3,4 5,6p p p p
H H H H  
 
1,6
1.5 1.5 0.7pH   
 
1,6
3.7pH m
 
 46 10 4.8 6 3.7p    
 
4
6 4.9 10p Pa  
 
4
6 4.9 10p Pa  
 
6 49p kPa 
 
 Exemplo 4.6 - 
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
v p v p
z z
g g
    
 
 
2 2
1 2 2 1
2
p p v v
g
 


 
 
 1 2 mp p h     
 
 4 41 2 6 10 1 10 0.2p p     
 
2
1 2 1 10p p Pa  
 
2 2
1 2 2 1
2
p p v v
g
 


 
1p h
   
 
4
1 3.8 10p Pa
  
 
2
1 2 1 10p p Pa   
2 20p kPa
 
3 2
1 20 10 1 10p     
1 20100p Pa 
1
2 p
v



 
1 1 2 2A v A v  
 
 Exemplos resolvidos 
1. Determinar a vazão de água no 
tubo Venturi, mostrado na figura abaixo, 
sabendo-se que a diferença de pressão entre os 
pontos A e B é igual a 5.286kgf/m². 
Resp.: Q = 172 L/s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
2 2
2 2
A A B B
A B
v p v p
y y
g g
    
 
 
A A B BA v A v   
2 2
4 4
A B
A Bv v
 
   
2
2
B
A B
A
v v

 

 
2
2
150
300
A Bv v  
1
4
4
A B B Av v v v   
 
2 2
2 2
A A B B
A B
v p v p
y y
g g
    
 
 
2 2
2
A B B A
B A
p p v v
y y
g
 
  

 
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14 
 
2 2
4
45286 10
0.75
10 2 9.81
A Av v 

 
2 216
5.286 0.75
19.62
A Av v 
 
219.62 5.286 19.62 0.75 15 Av   
 
2103.711 14.715 15 Av 
 
2 103.711 14.715 88.996
15 15
A Av v

  
 
2.436A
m
v
s

 
A AQ A v 
 
2
4
A
AQ v

 
 
20.3
2.436
4
Q

 
 
3
0.1722
m
Q
s

 
1000
0.1722
L
Q
s

 
172.2
L
Q
s

 
2. Calcular a pressão relativa no início do 
duto de 250mm de diâmetro e a altura ―h‖ de água, 
sabendo-se que a vazão é de 105 L/s e descarrega na 
atmosfera. 
Resp.: p1 = 0,350 kgf/cm2 h = 3,73 m 
 
 
(A) 
 
 
 (C) 
(B) 
 
 
 
 Solução: 
2 2
2 2
A A B B
A B
v p v p
y y
g g
    
 
 
220 0 0
0 2
2 2
B
B
v
h v g h
g g
        
 
 
2 2
2 2
C C B B
C B
v p v p
y y
g g
    
 
 
3
105 0.105C C B B
L m
A v A v
s s
    
 
2 2
4 4
C B
C Bv v
 
  
 
2
2
B
C B
C
v v

 

 
2
2
125
250
C Bv v 
 
1
4
4
C B B Cv v v v     
2 2
4
4
C C
C C
Q Q
v v

  
 
 
2
4 0.105
2.139
0.250
C C
m
v v
s

  

 
4 4 2.139 8.556B C B B
m
v v v v
s
      
 
2 2 0
0 0
2 2
C C B
v p v
g g
    
 
 
2 2
4
2.139 8.556 0
0 0
2 9.81 10 2 9.81
Cp    
  
 
4
0.233196 3.731148
10
Cp 
 
4
3.731148 0.233196
10
Cp  
 
34979.53Cp Pa
 
2 4 2
1
1 1
9.81 10
N kgf
Pa
m cm
 
 
2
0.35C
kgf
p
cm

 
2
2
2
B
B
v
v g h h
g
    

 
28.556
2 9.81
h 
 
3.7311h m
 3. Sabe-se que, no sistema abaixo, as 
pressões relativas nos pontos ―A‖ e ―B‖ são 
respectivamente 1,5 e -0,35 kgf/cm
2
 e a vazão 
de água é igual a Q = 0,21 m
3
/s. Determinar a 
potência real da turbina, para rendimento de 
60%. 
Resp.: PrT = 33,5 cv 
 
 
 
 
 
 
 
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15 
 Solução:
 2
3 4
3
9.81 10 10H O
N
m
   
 
A B TH H H 
 
2 2
2 2
A A B B
A B T
v p v p
y y H
g g
     
  
A A B BA v A v   
2 2
0.21
4 4
A B
A BQ v v
 
    
 
2 2300 600
4
4 4
A B A Bv v v v
 
    
 
4
2 2
1 9.81 10
kgf N
cm m
 
 
2 20.3 0.6
0.21
4 4
A Bv v
 
   
 
2
4 0.21
2.97
0.3
A A
m
v v
s

  
 
2.97
0.743
4 4
A
B B B
v m
v v v
s
    
 
2 2
2 2
A A B B
A B T
v p v p
y y H
g g
     
  
  42 4 2
3 3
0.35 9.81 102.97 1.5 9.81 10 0.743
1
2 9.81 9.81 10 2 9.81 9.81 10
TH
  
    
   
0.44959 15 1 0.028137 3.5 TH    
 
16.44959 3.471863 TH  
 
19.921453TH m
 
T T TP Q H     
 
30.6 9.81 10 0.21 19.921453TP     
 
24624.11TP W
 
1 735 1 1.014cv W HP CV  
 
24624.11
33.5
735
T TP W P cv  
 
4. Calcular a potência real da turbina (ηT = 
70%) e as pressões relativas nos pontos 1 e 2, do 
sistema mostrado na figura abaixo. 
Resp.: PrT = 38 cv p1 = 2,99 kgf/cm
2
 p2 = 0,481 
kgf/cm
2
 
 
 Solução:
 2
3 4
3
9.81 10 10H O
N
m
   
 
2 2 3 3Q A v A v   
 
22
32
2 3
4 4
v v

  
 
2 2
3
2 3 22 2
2
150
9.15
250
v v v

    

 
2 3.294
m
v
s

 
2 3H H
 
22
3 32 2
2 3
2 2
v pv p
y y
g g
    
  
2 2 4
2
3 3
3.294 9.15 0.5 9.81 10
0 6.1
2 9.81 9.81 10 2 9.81 9.81 10
p   
    
   
2
3
0.553029 4.2672 0.5 6.1
9.81 10
p
   

2
3
9.8672 0.553029
9.81 10
p
 
 
2
3
9.314171
9.81 10
p

 
2 91372.02p Pa
 
2 4 2
1
91372.02
9.81 10
kgf
p
cm

 
2 2
0.9314
kgf
p
cm

 
1 2
2 2 1 1 2 1 3.294
m
Q A v A v v v
s
 
      
0 1H H
 
2 2
0 0 1 1
0 1
2 2
v p v p
y y
g g
    
 
 
2 2
1
3
0 0 3.394
30.5 0
2 2 9.81 9.81 10
p
g
    
  
1
3
30.5 0.58711
9.81 10
p
 
 
  31 30.5 0.58711 9.81 10p    
 
1 293445.4509p Pa
 
1 4 2
1
293445.4509
9.81 10
kgf
p
cm


 
1 2
2.99
kgf
p
cm

 
1 2TH H H 
 
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
T
v p v p
y H y
g g
     
 
 
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16 
2 2
2 2 1 1
2 1
2 2
T
v p v p
H y y
g g
 
      
  
 
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
T
v p v p
H y y
g g
     
 
 
1 2
T
p p
H



 
3
293445.4509 91372.02
9.81 10
TH



 
20.598TH m
 
T T TP Q H     
 
3 3Q A v 
 
2
3
3
4
Q v

 
 
20.15
9.15
4
Q

 
 
3
0.16169
m
Q
s

 
30.7 9.81 10 0.16169 20.598TP     
 
22870.47TP W
 
1 735 1 1.014cv W HP CV  
 
22870.47
31.11
735
T TP W P cv  
 
 
5. Calcular a potência teórica da bomba, no 
sistema mostrado na figura abaixo, sabendo-se que as 
pressões relativas nos pontos 1, 2 e 3 são 
respectivamente: -2.290 kgf/m²; 15.000 kgf/m² e 
11.220 kgf/m². 
Resp.: PtB = 7,9 cv 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 
2 2 1 1 3 3Q A v A v A v     
 
22 2
31 2
1 2 3
4 4 4
v v v
 
    
 
2 2
1
2 1 2 1 2 12 2
2
300
4
150
v v v v v v

       
 
2 2
1
3 1 3 1 3 12 2
3
300
18.367
70
v v v v v v

       

 
2 3H H 
22
3 32 2
2 3
2 2
v pv p
y y
g g
    
  
   
2 2
1 1
3 3
4 18.36715000 9.81 11220 9.81
2 9.81 9.81 10 2 9.81 9.81 10
v v 
  
   
2 2
1 10.81549 15 17.194 11.22v v   
2 2
1 115 11.22 17.194 0.81549v v   
2
1 1
3.78
16.37853 3.78
16.37853
v v  
 
1 0.4804
m
v
s
 
2 1 2 24 4 0.4804 1.9216
m
v v v v
s
      
 
3 1 318.367 18.367 0.4804v v v     
3 8.8235
m
v
s
 
1 2BH H H 
 
2 2
2 2 1 1
2 1
2 2
B
v p v p
H y y
g g
 
      
  
 
2 2
2 1 2 1
2
B
v v p p
H
g
 
 

 
 2 2
3
15000 2290 9.811.9216 0.481675
2 9.81 9.81 10
BH
      
 
 
0.17637 17.29BH  
 
17.46637BH m
 
B BP Q H   
 
2
1
1
4
B BP v H

    
 
2
3 0.39.81 10 0.4804 17.46637
4
BP

    
 
5818.446BP W
 
1
1
735
W cv
 
5818.446
735
BP cv
 
7.91BP cv
 
 
6. Calcular a vazão de água no 
sistema abaixo, sabendo-se que a potência 
teórica da bomba é de 11,8 cv e a tubulação 
tem diâmetro constante. 
Resp.: Q = 0,203 m
3
/s 
 
 
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17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
1 735cv W 
11.8 735BP W 
 
8673BP W
 
B BP Q H    
1 2BH H H  
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
B
v p v p
y H y
g g     
 
 
2 2
2 1
2 1
2 2
B
p pv v
H y y
g g

    

 
2 1
2 1B
p p
H y y

  

 
  4
3
1.035 2.1 9.81 10
15
9.81 10
BH
  
 

 
4.35BH m
 
B BP Q H    
B
B
P
Q
H

 
 
3
8673
9.81 10 4.35
Q 
 
 
3
0.203
m
Q
s

 
 
 7. Calcular a potência teórica da turbina, no 
sistema abaixo, sabendo-se que a água sai na 
atmosfera no final do tubo de diâmetro 75 mm. 
Resp.: PrT = 13.7 cv 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 
2
4
Q A v v

   
 
2 30.075
9 0.03976
4
m
Q Q
s

   
 
0 3TH H H  
2 2
0 0 3 3
0 3
2 2
T
v p v p
y H y
g g
     
 
 
2 20 0 9 0
30 0
2 2 9.81
TH
g
     
  
 
30 4.128 25.872T TH H m   
 
T TP Q H   
 
39.81 10 0.03976 25.872TP    
 
10091.088TP W
 
 
 
 
 
1
1
735
W cv
 
10091.088
735
TP cv
 
13.729TP cv
 
 
8. No sistema abaixo, a velocidade no 
ponto ―C‖ é igual a 3.66 m/s, onde a água sai 
na atmosfera. A pressão relativa no ponto ―A‖ 
é igual a – 0.35 kgf/cm2. A perda de carga 
entre os pontos ―A‖ e ―C‖ é igual a Δh = 
3.05m. A potência real da bomba é igual a 20 
cv, com rendimento de 70%. Até que altura 
―H‖ , a bomba poderá elevar água, sabendo-se 
que o sistema tem diâmetro constante e igual a 
150 mm? 
Resp.: H = 7,8 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
e
B
B
B
Q H
P
  


 
eB B
B
P
H
Q


 
 
C CQ A v 
 
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18 
2
4
C
CQ v

 
 
20.15
3.66
4
Q

 
 
3
0.064677
m
Q
s

 
3
20 735 0.7
9.81 10 0.064677
BH
 

  
16.2179BH m
 
ACA B C p
H H H H   
22
2 2 AC
C CA A
A B C p
v pv p
y H y H
g g
      
 
 
2 24
3
0.35 9.81 10 0
0 16.2179 1.8 3.05
2 9.81 10 2
A Av v H
g g
  
       
 
3.5 16.2179 1.8 3.05H     
12.7179 4.85 12.7179 4.85H H    
 
7.8679H m
 
 
 
9. Determinar a potência real da bomba (ηB 
= 80%) e as pressões relativas nos pontos 1 e 2 , no 
sistema abaixo, sabendo-se que: a vazão de água é de 
40 L/s, a perda de carga entre os pontos A e 1 é 3 
vezes a carga cinética do ponto 1 e a perda de carga 
entre os pontos 2 e B é 20 vezes a carga cinética do 
ponto 2. 
Resp.: PrB = 66 cv p1 = 0,496 kgf/cm2 p2 = 10,408 
kgf/cm
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
e
Bomba
B
B
Q H
P
  


 
,1 1
3
AP c
H E 
 
,1
2
13
2A
P
v
H
g
 
 
2, 2
20
BP c
H E 
 
2,
2
220
2B
P
v
H
g
 
 
3
1 1 2 2 40 0.04
L m
Q A v A v
s s
     
 
2 2 22 2 2
2 2
0.04 0.16 0.16
0.1
4
v v v    
  
 
2 5.0929
m
v
s

 
1 1 12 2 2
1 1
0.04 0.16 0.16
0.15
4
v v v    
  
 
1 2.2635
m
v
s

 
,11 AA p
H H H  
2 2 2
1 1 1
1 3
2 2 2
A A
A
v p v p v
y y
g g g
      
 
 
2 2
1
3
0 0 2.2635 2.2635
0 6 3
2 2 10 2
p
g g g g
      
 
 
 
1
3
0 0.261133 6 0.7833994
9.81 10
p
   

 
3
1 4.9554675 9.81 10p   
 
1 48613,1369p Pa
 
1 4 2
1
48613,1369
9.81 10
kgf
p
cm
 

 
1 2
0.495546
kgf
p
cm

 
2,2 BB p
H H H  
2 2 2
2 2 2
2 20
2 2 2
B B
B
v p v p v
y y
g g g
      
 
 
2 2 2
25.0929 0 0 5.09296 73 20
2 2 2
p
g g g
      
 
2
3
1.289033 6 73 26.43999
9.81 10
p
   

 
3
2 98.15095 9.81 10p   
 
2 962860.89p Pa
 
2 4 2
1
962860.89
9.81 10
kgf
p
cm
 

 
2 2
9.815
kgf
p
cm

 
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19 
1 2BombaH H H  
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
Bomba
v p v p
y H y
g g
     
 
 
3 3
2.2635 48613,1369 5.0929 962860.89
6 6
2 9.81 9.81 10 2 9.81 9.81 10
BombaH     
   
 
0.11536697 4.955467 0.2595769 98.150957BombaH   
 
4.8401 98.410534BombaH 
 
93.5704BombaH m
 
e
Bomba
B
B
Q H
P
  


 
39.81 10 0.04 93.5704
0.8e
BP
  

 
45896.28
eB
P W
 
45896.28
735e
BP cv
 
62.44
eB
P cv
 
 
10. Supondo que no sistema do exercício nº 
9, os dois reservatórios estejam fechados (pA e pB ≠ 
0) e sabendo-se que as pressões relativas nos pontos 1 
e 2 são respectivamente 0,2 kgf/cm
2
 e 9,5 kgf/cm
2
 . 
Calcular as pressões nos pontos ―A‖ e ―B‖ e potência 
real da bomba (ηB = 80%), para essa nova situação. 
Obs.: utilizar as mesmas perdas de carga do exercício 
nº 9. 
Resp.: PrB = 63 cv pA = - 0,296 kgf/cm
2
 pB = - 
0,912 kgf/cm
2
 
 
11. Óleo de viscosidade dinâmica μ = 0,01 
kgf.s/m² e peso específico γ = 850 kgf/m³ , escoa em 
regime permanente e com vazão Q = 50,0 L/s, através 
de 3.000,0 m de comprimento de tubo de Ferro 
Fundido (FºFº), com diâmetro φ = 300,0 mm. Pede-se 
calcular a perda de carga distribuída através da 
fórmula Universal de perda de carga. 
Resp.: Δhd ≅ 8,9 m 
R X L
h
A
 
 
 
 
 X: Perímetro. 
 L: comprimento 
 R: Tensão de atrito em kgf/cm
2
. 
 
 Solução: 
R X L
h
A
 
 
 
 
R dv
R
dv dy
dy
    
 
v
R
y

 

 
Q
Q A v v
A
    
 
 Q A Q
R R
y A y

   
 
 
X L
h R
A

  
 
 
Q X L
h
A y A
 
  
  
 
2
Q X L
h y
A
  
  
 
 
2
2
4
Q X L
h y
  
  
 
  
 
 
2 4
16 Q X L
h y
  
  
  
 
3
2 4
16 0.01 50 10 3000
850 0.3
h y
X
    

  
0.35
h y
m
X
 
 
2
2
f
L v
h f
g
  

 
 Experiência de Nikuradse: 
 
 
,Rf f N
K
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 2
4
4
Q Q
Q A v v v

     
 
 
3
2
4 50 10
0.7074
0.3
m
v v
s
 
  

 
Número de Reynolds: 
R
v
N
 


 
g
g

     
 
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20 
R
v
N
g
  


 
850 0.7074 0.3
9.81 0.01
RN
 


 
1838.8RN  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ferro Fundido: K = 2.59.10
-4
m
 
 40.3 1158.32.59 10K K
 
  

 
A função f deve ser calculada no 
ponto: 
1838.8, 1158.3Rf f N
K
 
   
 
 
0.0195f  
2
2
f
L v
h f
g
  

 
23000 0.7074
0.0195
0.3 2 9.81
fh   
 
4.97fh m 
Ou 
Como NRe é<2000: 
Re
64
f
N
 
64
0.0348
1838.8
f f   
2
2
f
L v
h f
g
  

 
23000 0.7074
0.0348
0.32 9.81
fh   
 
8.87fh m
 
12. Calcular a perda de carga 
distribuída em uma tubulação de aço revestido 
nova, com 900,0 m de comprimento e 100,0 
mm de diâmetro, devido ao escoamento de 
378.500,0 L/dia de óleo combustível à 
temperatura de 20ºC ( γ = 855,0 kgf/m³ , ν = 
3,94x10-6 m²/s), em regime permanente. 
Resp.: Δhd = 4,93 m 
 Solução: 
3 3 3
310375000 375000 4.34 10
24 3600
L m m
Q Q
dia s s

    

 
3
2
4.34 10
0.5529
0.1
4
m
Q A v v v
s

     


    

 
g
g

      
g

  
 
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21 
6 8553.94 10
g
g
    
 
3
2
3.3687 10
N s
m
   
 
 
Número de Reynolds: 
R
v
N
 


 
R
v
N
g
  

 
3
855 0.5529 0.1
3.3687 10
R
g
N
g 
  

 
 
14032.99RN 
 
2
2
f
L v
h f
g
  

 
 Tubulação de aço: 
K = 4.6.10
-5
m
 
 50.1 2173.94.6 10K K
 
  

 
A função f deve ser calculada no ponto: 
14032.99, 2173.9Rf f N
K
 
   
 
 
0.03f 
 
2
2
f
L v
h f
g
  

 
2900 0.5529
0.03
0.1 2 9.81
fh   

 
4.2fh m
 
13. Calcular a perda de carga distribuída em 
uma tubulação de aço soldado nova, com 3.200,0 m 
de comprimento e 300,0 mm de diâmetro, devido ao 
escoamento de 10.6x10
6 
L/dia de gasolina à 
temperatura de 25ºC ( γ = 720,0 kgf/m³ , ν = 6,21x10-
6
 m²/s), em regime permanente. 
Resp.: Δhd ≅ 23,82 m 
 Solução: 
3 3 3
6 6 1010.6 10 10.6 10 0.122685
24 3600
L m m
Q Q
dia s s

     

2
0.122685
1.7356
0.3
4
m
Q A v v v
s
     

 
Aço: L = 3200m 
R = 4.6.10
-5
m 
5
0.3
6521.7
4.6 10K K
 
  

 
Número de Reynolds: 
R
v
N
 


 
g
g

     
 
g

    
 
R R
v v
N N
g
g
   
  
 
 
 
6
1.7356 0.3
83845.4
6.21 10
R RN N

  

 
A função f deve ser calculada no 
ponto: 
83845.4, 6521.7Rf f N
K
 
   
 
 
Pelo diagrama de Moody-Rouse: 
0.019f 
 
2
2
f
L v
h f
g
  

 
23200 1.7356
0.019
0.3 2 9.81
fh   
 
29.47fh m
 
 
14. Um óleo combustível à 10ºC (γ = 
861.0 kgf/m³ , ν = 5.16x10-6 m²/s) escoando 
em regime permanente com vazão Q = 0,2 
m³/s, é bombeado para o tanque "C", como 
mostra a figura abaixo, através de uma 
tubulação de aço rebitado nova, com diâmetro 
constante φ = 400,0 mm e comprimento de 
recalque L = 2.000,0 m. O reservatório em "C" 
está em contato com a pressão atmosférica. 
Sabe-se que a pressão relativa do ponto "A" é 
igual a 0,14 kgf/cm². Pede-se calcular a 
potência real da bomba, para rendimento de 
80%. 
Resp.: PtB ≅ 282,0 cv 
 
 
 R 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
3
0.2
m
Q
s

2
0.2
1.5915
0.4
4
m
Q A v v v
s
     

 
Aço: L = 3200m 
R = 4.6.10
-5
m 
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22 
5
0.4
8695.6
4.6 10K K
 
  

 
Número de Reynolds: 
R
v
N



 
5
6
1.5915 0.4
1.2337 10
5.16 10
R RN N

   

 
A função f deve ser calculada no ponto: 
51.2337 10 , 8695.6Rf f N
K
 
    
 
 
Pelo diagrama de Moody-Rouse: 
0.03f 
 
2
2
f
L v
h f
g
  

 
22000 1.5915
0.03
0.4 2 9.81
fh   
 
19.36fh m
 
A Bomba f RH H h H  
 
2 2
2 2
A A R R
A Bomba f R
v p v p
y H h y
g g
      
 
21.5915 13734 0 0
100 19.36 180
2 9.81 861 9.81 2
BombaH
g
      
  
0.12909 1.626 100 199.36BombaH   
 
199.36 101.755BombaH  
 
97.605BombaH m
 
e
Bomba
B
B
Q H
P
  


 
861 9.81 0.2 97.605
0.8e
BP
  

 
206102.962
eB
P W
 
206102.962
735e
BP cv
 
280.4
eB
P cv
 
 
 
15. No sistema mostrado na figura abaixo, a 
vazão de água à 20ºC em regime permanente é Q = 
22.1 L/s. No trecho 0-1 o comprimento é 60.0 m e o 
diâmetro é 200.0 mm. No trecho 2-3 o comprimento 
é 260.0 m e o diâmetro é 150.0 mm. A tubulação em 
toda sua extensão 
é de ferro fundido nova. Pede-se calcular: a) as 
pressões relativas nos pontos 1 e 2; b) a potência real 
da bomba para rendimento de 60%. 
Obs.: -Utilizar a fórmula Universal da perda de carga 
e o método do comprimento equivalente. 
-No desenho: 
a, b = curva 90º R/D = 1 1/2; c, d = cotovelo 90º RM 
Resp.: a) p1 ≅ 1.760,0 kgf/m² ; p2 ≅ 1,652 
kgf/cm²; 
 b) PrB ≅ 7,26 cv 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
3
322.1 22.1 10
L m
Q Q
s s
   
1 1 1 12 2
01
0.0221
0.703
0.2
44
Q m
Q A v v v
s
      
 
2
2
60.7 10H O
m
s
  
 
(viscosidade cinemática da água) 
 Perda de carga no trecho 0-1: 
Aço: L 01 = 60m 
R = 2.59.10
-4
m 
01
4
0.2
772
2.59 10K K
 
  

 
Número de Reynolds no trecho 01: 
1
1 01
R
v
N



 
1 1
5
6
0.703 0.2
2 10
0.7 10
R RN N

   

 
A função f deve ser calculada no ponto: 
1
5 012 10 , 772Rf f N
K
 
    
 
 
Pelo diagrama de Moody-Rouse: 
0.021f 
 
01
2
01 1
01 2
f
L v
h f
g
  

 
01
260 0.703
0.021
0.2 2 9.81
fh   
 
01
0.1586fh m
 
 As perdas de carga singulares 
ocorrem quando há perturbações bruscas 
(válvulas, cotovelos, etc.) no escoamento do 
fluido e são calculadas por expressões que 
envolvem análise dimensional, dadas por: 
2
2
s s
v
h K
g
 
 
2 20.703
0.9 0.02267
2 2 9.81a
a b s a
v
h h K h m
g
      

 
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2 20.703
0.2 0.005037
2 2 9.81R
R s R
v
h K h m
g
     

 
010 1a b R p
H h h h h H    
 
01
2 2
0 0 1 1
0 1
2 2
a b R f
v p v p
y h h h h y
g g
        
 
 
2 2
10 0 0.7032 0.02267 0.02267 0.005037 0.1586 0
2 2 9.81
p
g
        
  
 
12 0.208977 0.02518
p
  

 
1 1.7658
p

 
3
1 2
1.7658 1.7658 9.81 10
N
p
m
     
 
1 2
1765.8
kgf
p
m

 
Singularidade Esquema Ks 
 
 
Alargamento 
 
 
1
2
1
A
A

 
 
 
Caso limite 
 
 
1
 
 
 
Estreitamento 
 
 
 
1
2
A
A

 
 
 
 
 
 
Caso Limite 
 
 
0.5
 
 
 
Cotovelo a 90° 
 
 
0.9
 
 
 
Válvula de 
gaveta 
 
 
0.2
 
Totalmen
te aberta 
 
 
Válvula tipo 
globo 
 
 
10
 
Totalmen
te aberta 
 
Válvula de 
retenção 
 
 
0.5
 
 
23
4
0.15
579.15
2.59 10K K
 
  

 
Cálculo da velocidade no trecho 2-3: 
2 2 2 22 2
23
0.0221
1.2506
0.15
44
Q m
Q A v v v
s
      
 
 
Número de Reynolds no trecho 23: 
2
2 23
R
v
N



 
2 2
5
6
1.2506 0.15
2.679810
0.7 10
R RN N

   

 
A função f deve ser calculada no ponto: 
1
5 232.67 10 , 579.15Rf f N
K
 
    
 
 
Pelo diagrama de Moody-Rouse: 
0.0225f 
 
23
2
23 2
23 2
f
L v
h f
g
  

 
01
2260 1.2506
0.0225
0.15 2 9.81
fh   
 
01
3.108fh m
 
232 3f vr vga c d
H h h h h h H     
 
2 21.2506
0.9 0.07174
2 2 9.81d
c d s c
v
h h K h m
g
      

2 21.2506
0.5 0.03985
2 2 9.81vr
vr s vr
v
h K h m
g
     

 
2 21.2506
10 0.797
2 2 9.81vg
vg s vg
v
h K h m
g
     

 
23
22
3 32 2
2 3
2 2
f vr vga c d
v pv p
y h h h h h y
g g
         
 
 
2 2
21.2506 0 00 3.108 0.03985 0.797 0.07174 0.07174 12
2 9.81 2
p
g
         
  
 
20.07971 16.08833
p
 

 
2 16.00862
p


 
3
2 2
16.00862 16.00862 9.81 10
N
p
m
     
 
3
2 4 2
1
16.00862 16.00862 9.81 10
9.81 10
kgf
p
cm
     

 
2 2
1.600862
kgf
p
cm

 
1 2BombaH H H 
 
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
Bomba
v p v p
y H y
g g
     
 
 
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24 
2 2
3 3
0.703 18839.16 1.2506 157044.56
0 0
2 9.81 9.81 10 2 9.81 9.81 10
BombaH     
   
 
0.02518 1.9204 0.0797 16.0086BombaH   
 
16.0883 1.94588BombaH  
 
14.14272BombaH m
 
e
Bomba
B
B
Q H
P
  


 
3 39.81 10 22.1 10 14.14272
0.6e
BP
   

 
5110.259
eB
P W
 
5110.259
735e
BP cv
 
6.95
eB
P cv