CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA

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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA
		Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os vetores : 3(AB) + 3(BC) - 5(AC) ?
		
	
	
	
	
	(1,0)
	
	
	(0,1)
	
	 
	(1,1)
	
	
	(2,2)
	
	 
	(0,0)
	
	
	
		2.
		Uma grandeza vetorial é caracterizada por possuir:
		
	
	
	
	
	direção e módulo somente.
	
	 
	direção, intensidade e módulo.
	
	
	direção e sentido apenas.
	
	 
	direção, sentido e módulo.
	
	
	apenas módulo.
	
	
	
		3.
		Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os vetores : (AB) + 3(BC) - (AC) ?
		
	
	
	
	
	(14,7)
	
	 
	(14,-8)
	
	
	(-14,-8)
	
	
	(-14,8)
	
	 
	(14,8)
	
	
	
		4.
		Que características de um vetor precisamos conhecer para que ele fique determinado?
		
	
	
	
	
	NRA
	
	
	Direção, Sentido e Ângulo
	
	
	Localização, Intensidade e Sentido
	
	 
	Direção, Intensidade e Coordenada
	
	 
	Direção, Intensidade e Sentido
	
	
		5.
		Os pontos A=(2,4) e C=(6,8) são vértices de um quadrado ABCD, e pertencem a uma das diagonais desse quadrado, que terá área medindo:
		
	
	
	
	
	8 ua
	
	 
	16 ua
	
	 
	4 ua
	
	
	12 ua
	
	
	24 ua
	
	
	
		6.
		Determine o valor de x para que os vetores u=(x,2) e v=(9,6) sejam paralelos
		
	
	
	
	 
	x=3
	
	
	x=2
	
	
	x=1
	
	
	x=4
	
	
	Nenhuma das anteriores
	
	
	
		7.
		Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual da operação entre os vetores :  (AB)+ (BC)?
		
	
	
	
	
	(1,0)
	
	 
	(0,2)
	
	
	(0,1)
	
	
	(2,0)
	
	 
	(0,0)
	
	
	
		8.
		Encontre o valor de m de modo que os vetores u=(m, 2, 4) e v = (2, 3,5) sejam ortogonais.
		
	
	
	
	
	13
	
	 
	-15
	
	
	-30
	
	 
	-13
	
	
	-26
AULA 2
		Sendo a=(2,1,1), b=(1,2,2) e c=(1,1,1). Calcular um vetor v=(x,y,z), tal que    v· a= 4, v· b= 9 e v· c= 5.   Podemos afirmar que o vetor v é:                                                          
		
	
	
	
	
	v=(-3,4,2)
	
	
	v=(3,4,-2)
	
	 
	v=(3,4,2)
	
	
	v=(-3,-4,-2)
	
	
	v=(3,-4,2)
	
	
	
		2.
		O versor do vetor v = (-3,4) é: 
		
	
	
	
	
	(-3/5;-4/5)
	
	 
	(3/5;4/5)
	
	
	(-1/5;4/5)
	
	
	(3/5;-4/5)
	
	 
	(-3/5;4/5)
	
	
	
		3.
		
		
	
	
	
	
	(5, 30)
	
	 
	(-5, -30)
	
	
	(0, 30)
	
	 
	(5, -30)
	
	
	(-5, 30)
	
	
	
		4.
		Sendo os vetores u=(x; y+1; y+z), v= (2x+y;4;3z). Sendo u e v vetores equivalentes, encontre os valores de x, y e z.
		
	
	
	
	 
	x=-3 , y=3 e z=1,5
	
	
	x=3 , y=-3 e z=-1,5
	
	 
	x=-3 , y=-3 e z=-1,5
	
	
	x=-3 , y=3 e z=-3
	
	
	x=3 , y=3 e z=1,5
	
	
	
		5.
		Dados dois vetores no espaço u e v. Desejase encontrar um terceiro vetor w, ortogonal a ambos. Isso pode ser resolvido através de um sistema de equações de infinitas soluções, mas se quiser encontrar uma solução direta,você usaria:
		
	
	
	
	 
	Produto vetorial dos vetores u e v.
	
	 
	O método de ortogonais concorrentes.
	
	
	Produto escalar dos vetores u e v.
	
	
	O método de Grand Schimidt.
	
	
	O método de ortonormalização.
	
	
	
		6.
		Dados os vetores no plano, u = 3i - 4j e v = 2i + 2j o vetor 2u + v é:
 
		
	
	
	
	
	10i - 3j
	
	 
	-6i + 8j
	
	
	6i -8j
	
	
	6i + 8j
	
	 
	8i - 6j
	
	
	
		7.
		Determine o vetor A→B dado os pontos A(-1, -2, -3) e B(0, 1, 2)
		
	
	
	
	
	(1, 2, 0)
	
	 
	(1, 3, 5)
	
	
	(0, 1, 2)
	
	 
	(-1, 0, 1)
	
	
	(1, 0, 5)
	
	
	
		8.
		Quais são as equações simétricas das seguintes equações paramétricas x=t+3 e y=3+2t e z=1+2t:
		
	
	
	
	
	x-2= (y-3)/3=(z-1)/2
	
	 
	x-3= (y-2)/2=(z-3)/3
	
	
	) x-1= (y-3)/2=(z-1)/3
	
	 
	x-3= (y-3)/2=(z-1)/2
	
	
	2x-2= (y-3)/3=(2z-1)/2
AULA 3
		Dois helicópteros voam no mesmo sentido, em direções oposta.um parte de um heliporto A localizado no ponto( 60, 80, 1),o outro parte de um heliporto B localizado em (120, 160,1), com coordenadas em KM. se eles voam em direção a um heliporto localizado no ponto médio do segmento AB.Ache as coordenadas do ponto de encontro dos helicópteros.
		
	
	
	
	
	( 120, 0, 0 )
	
	 
	(-90, -120, -1)
	
	
	(0, 0, 0 )
	
	 
	(90, 120, 1)
	
	
	(0, 120, 0 )
	
	
	
		2.
		Determine os valores de x e y para que os vetores u=(2, 5, y) e v=(x, 10, 8) sejam paralelos.
		
	
	
	
	 
	x=4 e y=4
	
	
	x=-4 e y=4
	
	
	x=0 e y=4
	
	 
	Nenhuma das anteriores
	
	
	x=4 e y=-4
	
	
	
		3.
		O valor de x para que os vetores u=(x,2) e v=(9,6) sejam paralelos é:
		
	
	
	
	
	6
	
	
	2
	
	 
	9
	
	 
	3
	
	
	1
	
	
	
		4.
		O ângulo entre os vetores u=(1,0,1) e v=(0,1,0) é igual a:
		
	
	
	
	
	30º
	
	 
	90º
	
	
	45º
	
	
	15º
	
	
	60º
	
	
	
		5.
		Determine os valores de x e de y de modo que (2x, y + 3) = (10, 10).
		
	
	
	
	 
	x=2, y=1
	
	
	x=3, y=3
	
	
	x=7, y=5
	
	
	x=1, y=2
	
	 
	x=5, y=7
	
	
	
		6.
		Determinar o vetor v sabendo que (3, 7, 1)+ 2v = (6, 10, 4) - v.
		
	
	
	
	
	(-1, 1, 1)
	
	 
	(1, 1, 1)
	
	
	(1, -1, 1)
	
	
	(3, 3, 3)
	
	 
	(3, -3, 3)
	
	
	
		7.
		Dados três pontos A, B e C, exprimir o vetor X - C sabendo que X é o ponto da reta AB de acordo com: B - X = 4.(A - X)
		
	
	
	
	
	X - C = - 4/3 (A-C) - 1/3 (B-C)
	
	
	X - C = 4/3 (A-C) + 1/3 (B-C)
	
	
	X - C = - 1/3 (A-C) + 4/3 (B-C)
	
	 
	X - C = - 4/3 (A-C) + 1/3 (B-C)
	
	 
	X - C = 4/3 (A-C) - 1/3 (B-C)
	
	
	
		8.
		Determine os valores de x e y para que os vetores u=(2, 5, y) e v=(x, 10, 8) sejam paralelos.
		
	
	
	
	
	x=4 e y=-4
	
	
	x=2 e y=2
	
	
	x=2 e y=4
	
	 
	x=4 e y=4
	
	
	x=4 e y=2
AULA 4
		O módulo e o versor do vetor v = (3, 4) é, respectivamente:
		
	
	
	
	
	10 e (2/5; 8/5)
	
	
	5 e (7/25; 4/25)
	
	
	25 e (6/5; 9/5)
	
	 
	5 e (3/5; 4/5)
	
	
	7 e (3/5; 9/5)
	
	
	
		2.
		Determinar o versor do vetor u=(-2,1,-1)
		
	
	
	
	 
	(-2/V6 , 1/V6 , -1/V6)
	
	 
	(-2,-1,-1)
	
	
	(-2/V5 , 1/V5 , -1/v5)
	
	
	(2/V6 , 1/V6 , -1/V6)
	
	
	(2/V6 , 1/V6 , 1/V6)
	
	
	
		3.
		Na física,  se uma força constante  F→  desloca um objeto do ponto A para o ponto B ,  o trabalho  W   realizado por  F→,  movendo este objeto,  é definido como sendo o produto da força ao longo da distância percorrida. 
Em termos matemáticos escrevemos:
 W = ( I F→I  cos  θ )  I D→ I
onde D→  é o vetor deslocamento  e  θ  o ângulo dos dois  vetores . Este produto tem um correspondente em Cálculo Vetorial.
Sendo F→ = -2 i→ + 3j→ - k→  , medida em newtons,    A(3, -3, 3), B(2, -1, 2)  e com a unidade de comprimentometro, o trabalho realizado em joules é
		
	
	
	
	
	3
	
	 
	9
	
	
	7
	
	
	13
	
	 
	15
	
	
	
		4.
		Calcular o ângulo entre os vetores u=(4,1,1) e v=(2,-1,2).
		
	
	
	
	 
	45°
	
	
	120°
	
	 
	90°
	
	
	60°
	
	
	30°
	
	
	
		5.
		Qual o coeficiente angular da reta r que passa pelos pontos A=(4,5) e B=(8,12).
		
	
	
	
	
	m=4/7
	
	
	m=7/6
	
	 
	m=7/4
	
	
	m=-4/7
	
	 
	m=-7/4
	
	
	
		6.
		Um reservatório em formato de paralelepípedo é determinado pelos seguintes vetores:
 u=(1; -1; 2) v=(2;0;1) w=(-1;3;0)   com unidades dadas em metros. Sabendo que cada metro cúbico de volume equivale a 1000 litros, qual é a capacidade do reservatório?
		
	
	
	
	
	5000 litros.
	
	 
	10000 litros.
	
	 
	50000 litros.
	
	
	1000 litros.
	
	
	500 litros.
	
	
	
		7.
		Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores 2i e -3j.
		
	
	
	
	 
	6
	
	 
	2
	
	
	5
	
	
	4
	
	
	8
	
	
	
		8.
		Sendo u = (5;3) e v = (2;4), o valor do produto interno usual ou produto escalar entre u e v é:
		
	
	
	
	
	u . v = 6
	
	 
	u . v = 22
	
	
	u . v = 34
	
	 
	u . v = -8
	
	
	u . v = 24
AULA 5
		Podemos afirmar que a distância entre os pontos A=(1,2,3) e B=(5,2,3) é:
		
	
	
	
	
	2
	
	 
	4
	
	 
	3
	
	
	5
	
	
	1
	
	
	
		2.
		Obter a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto P (2,-3) e tem direção do vetor v = (5,4).
		
	
	
	
	 
	Resp.: x = 2 + 5t e y = 4 - 3t
	
	
	Resp.: x = 2 + t e y = -3 + t
	
	 
	Resp.: x = 2 + 5t e y = -3 + 4t
	
	
	Resp.: x = 5 + 2t e y = -3 + 4t
	
	
	Resp.: x = 5t e y = 2 + 4t
	
	
	
		3.
		podemos afirmar que a distância dos pontos A=( -2,0,1) e B=(1,-3,2) é:
		
	
	
	
	 
	\( {\sqrt19}\)
	
	
	5
	
	 
	3
	
	
	\( {\sqrt18}\)
	
	
	4
	
	
	
		4.
		Sabe-se que o módulo do vetor VAB mede 4 unidades de cumprimento, sendo A = (1, 2) e B = (-2, k). Nessas condições é correto afirmar que o valor de k é:
		
	
	
	
	
	0 ou 3
	
	 
	2
	
	
	-1 ou -2
	
	 
	-2 ou 3
	
	
	1 ou 3
	
	
	
		5.
		Qual a equação da reta abaixo que passa pelos pontos A (2,3) e B (4,6):
		
	
	
	
	 
	y = 3x + 1
	
	 
	3x + 2y = 0
	
	
	2x + 2 y = 1
	
	
	y -3x + 13 = 0
	
	
	2y + 2x = 1
	
	
	
		6.
		Calcular a distância entre os pontos P1=(1;0;1) e P2=(2,-1,0)
		
	
	
	
	
	4
	
	
	2
	
	
	5
	
	 
	\( { \sqrt3}\)
	
	
	3
	
	
	
		7.
		Calculado o produto misto de três vetores como, a partir desse valor, pode-se calcular o volume de um tetraedro que tivesse esses três vetores como arestas?
		
	
	
	
	
	Fazer com que os vetores se tornem coplanares.
	
	
	Se o resultado do produto misto for igual a zero não há tetraedro formado. Caso contrário deve-se dividir do valor do produto misto por seis.
	
	 
	Multiplicar o resultado por 2
	
	 
	Se o resultado do produto misto for igual a zero não há tetraedro formado. Caso contrário deve-se dividir o módulo do valor do produto misto por seis.
	
	
	Calculando-se o valor de um sexto do produto misto incondicionalmente.
	
	
	
		8.
		Dados os pontos A(-1, 3), B(2, 5), C(3, -1) e O(0, 0), calcular OA - AB
		
	
	
	
	
	(1, 4)
	
	 
	(-4 1 )
	
	
	(4, 1)
	
	 
	(1 ,1)
	
	
	(4, -4)
AULA 6
		Determine o valor aproximado do módulo do vetor VAB, sendo A = (1, 1, 2) e B = (2, 3, -1).
		
	
	
	
	 
	4,12
	
	
	5,62
	
	 
	3,74
	
	
	2,53
	
	
	1,28
	
	
	
		2.
		SE A EQUAÇÃO DE UM PLANO É DADA POR 2x + 3y + 4z -9 = 0 UM VETOR W NORMAL A ESTE PLANO É DADO POR:
		
	
	
	
	 
	W= 1/2 i + 1/3 j + 1/4 k
	
	
	W = 4i + 3j + 2k
	
	 
	W = 2i + 3j + 4k
	
	
	W= i + j + k
	
	
	W= -i -j -k
	
	
	
		3.
		O produto misto entre os vetores u = ( 1, 2, 3 ), v = ( 2, 5, 0 ) e w = ( -2, 0, 2 ) é igual a:
		
	
	
	
	 
	32
	
	
	48
	
	
	34
	
	
	0
	
	
	-28
	
	
	
		4.
		Qual o volume do cubo determinado pelos vetores i, j e k?
		
	
	
	
	
	-1
	
	
	0
	
	
	3
	
	 
	1
	
	
	
		5.
		Considere o vetor u = (0,4,3). O módulo de tal vetor é igual a:
		
	
	
	
	
	2
	
	
	1
	
	 
	5
	
	
	3
	
	
	4
	
	
	
		6.
		O Módulo do vetor VAB, sendo A = (-1, 3) e B = (1; 3) é:
		
	
	
	
	
	4
	
	 
	2
	
	
	2,83
	
	
	0
	
	
	3,52
	
	
	
		7.
		Determinar o vetor x que satisfaz as seguintes condições: x (esc) (3i+2j)=6 e x (vet) (2i+3k)=2i. Seja x=x1i+x2j+x3k.
		
	
	
	
	
	x1=-7/2, x2=0 e x3=3
	
	
	x1=3, x2=-7/2 e x3=0
	
	 
	x1=0, x2=3 e x3=-7/2
	
	 
	x1=0, x2=-3 e x3=7/2
	
	
	x1=1, x2=3 e x3=-7/2
	
	
	
		8.
		 Qual a equação do plano pi  que passa pelo ponto A=(2,-1,3) e tem n=(3,2,-4) como vetor normal.
 
		
	
	
	
	
	 3x+2y-4z-8=0
	
	 
	2x-y+3z+8=0
	
	
	2x-y+3z-8=0
	
	
	2x+y-3z-8=0
	
	 
	3x+2y-4z+8=0
AULA 7
		Dados dois vetores de módulos 8 cm e 22 cm, a resultante entre eles terá o módulo compreendido entre:
		
	
	
	
	
	25 cm e 40 cm
	
	
	8 cm e 22 cm
	
	 
	5 cm e 20 cm
	
	
	21 cm e 26 cm
	
	 
	14 cm e 30 cm
	
	
	
		2.
		Em uma cidade histórica no interior de Minas Gerais, a prefeitura utiliza o sistema de coordenadas cartesianas para representar no mapa do município, a localização dos principais pontos turísticos. Dois turistas italianos se encontraram no marco zero da cidade, representado pelo ponto A(0,0) e cada um deles decidiu ir para um ponto turístico diferente. Um deles foi para uma Igreja muito antiga construída na época do Império, que é representada no mapa pelo ponto B de coordenadas cartesianas (3,2). Já o outro turista foi para o museu dos Inconfidentes que é representado no mapa pelo ponto C de coordenadas cartesianas (4,3). De acordo com as informações acima, qual das alternativas abaixo representa, respectivamente os vetores AB e BC?
		
	
	
	
	 
	AB = 3i + 2j   e   BC = 1i - 1j
	
	
	AB = 3i - 2j   e   BC = 1i + 1j
	
	 
	AB = 3i + 2j   e   BC = 1i + 1j
	
	
	AB = 3i + 2j   e   BC = 4i + 3j
	
	
	AB = 3i - 2j   e   BC = 4i - 3j
	
	
	
		3.
		Dados os vetores u = ( 1,2,3) e v = (m-3, 2,-3), podemos afirmar que
o valor de m para que o produto escalar u.v seja igual a zero , é:
		
	
	
	
	
	7
	
	 
	8
	
	 
	5
	
	
	4
	
	
	6
	
	
	
		4.
		Encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para A(-3,-1), B(4,2) e C(5,5)
		
	
	
	
	
	D(2,-2)
	
	 
	D(2,2)
	
	
	D(-2,-2)
	
	 
	D(-2,2)
	
	
	D(-1,1)
	
	
	
		5.
		Qual o vetor soma de dois vetores perpendiculares entre si cujos módulos são 6 e 8 unidades?
		
	
	
	
	
	14 unidades2 unidades
	
	
	4 unidades
	
	 
	10 unidades
	
	
	12 unidades
	
	
		6.
		 
A reta r é determinada pelos pontos A=(2,1,3) e B=(3,0,2). Sendo que a reta passa por A e tem a direção do vetor AB.   Assim podemos afirmar que  a equação vetorial de r é:
		
	
	
	
	
	(x,y,z)=(1,1,5)+t(-2,1,-3)
	
	
	(x,y,z)=(2,1,-3)+t(1,1,5)
	
	 
	(x,y,z)=(1,1,5)+t(2,1,3)
	
	 
	(x,y,z)=(2,1,3)+t(1,1,5)
	
	
	(x,y,z)=(1,-1,5)+t(2,1,3)
	
	
	
		7.
		Na elaboração de um projeto, alunos de engenharia construíram um diagrama de forças que atuam sobre o objeto em análise.                  Os alunos identificaram a atuação de cinco forças distintas, representadas vetorialmente por 𝐹1 = (√2, −√2), 𝐹2  = (−√3, √3), 𝐹3  = (0 , 3), 𝐹4  = (2, −√3) e 𝐹5  = (1, −2). O vetor com maior intensidade é:
		
	
	
	
	
	F4
	
	 
	F3
	
	
	F1
	
	
	F2
	
	
	F5
	
	
	
		8.
		Determine uma equação da reta r que passa pelos pontos A = (0 ; 1) e B = (1 ; 4).
		
	
	
	
	
	y = x - 1
	
	 
	y = - 3x + 1
	
	
	y = 3x - 1
	
	 
	y = 3x + 1
	
	
	y = x + 1
AULA 8
		Sendo A = (2, 0, 1) B = (0, 3, -2) e C = (1, 2, 0), determinar D, tal que: (BD) ̅ = ( AB ) ̅+ (CB) ̅
		
	
	
	
	
	d) (-3, -7, 7)
	
	 
	b) (-3, 7, -7)
	
	
	c) (-3, 7, 7)
	
	 
	e) (7,-3, -7)
	
	
	a) (7, -7,-3)
	
	
	
		2.
		Dados os vetores u=2i -3j , v=i-j e w =-2i+j , determine 3u-v/2-w /2
		
	
	
	
	
	(13,9)
	
	
	(13/2, 8)
	
	 
	(13, -9)
	
	
	(13/2, -8)
	
	 
	(13/2, -9)
	
	
	
		3.
		Determine o ponto médio do segmento AB, sendo A = (3, 1, 0) e B = (1, 5, 2).
		
	
	
	
	
	(0, 1, -2)
	
	 
	(2, 3, 1)
	
	
	(1, -1, -1)
	
	
	(1, -2, -1)
	
	
	(0, 1, 0)
	
	
	
		4.
		Marque a solução da equação dS/dr+2πS=0,para S(0)=So.
		
	
	
	
	 
	S(r)=Soe^(+2πr)
	
	
	S(r)=Soe^(-2πr)
	
	 
	S(r)=3e^(-2πr)
	
	
	S(r)=4e^(-2πr)
	
	
	S(r)=2e^(-2πr)
	
	
	
		5.
		Sobre os segmentos orientados pode-se afirmar:
		
	
	
	
	
	Os vetores classificados como coplanares pertencem a planos diferentes.
	
	
	Mesmo sendo um vetor nulo, seu módulo é igual ao vetor unitário.
	
	
	O módulo, a direção e o sentido de um vetor v ⃗ não é o módulo, a direção e o sentido de qualquer um dos seus representantes.
	
	 
	O vetor w ⃗, quando multiplicado por um escalar (α), o vetor resultante é paralelo a w ⃗.
	
	 
	O ângulo entre os vetores não-nulos u ⃗ e v ⃗., é o ângulo Ɵ formado por duas semi-retas de origens diferentes.
	
	
	
		6.
		No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(2,3) e C(0,5). Podemos afirmar que esse triângulo é:
		
	
	
	
	
	Triângulo  retângulo isósceles
	
	 
	Triângulo equilátero
	
	
	Triângulo escaleno
	
	 
	 Triângulo isósceles 
	
	
	Triângulo Retângulo
	
	
	
		7.
		Sejam os vetores u = (2,3,4) e v = (-2,0,-5). o produto escalar de u e v é:
		
	
	
	
	
	16
	
	
	24
	
	
	-25
	
	 
	-24
	
	
	-16
	
	
	
		8.
		Sejam u, v vetores de módulos |u| =1 e |v| = 2. Sabendo que os vetores tem a mesma origem e o ângulo formado entre eles é de 60°, o módulo do vetor soma entre eles é igual a:
		
	
	
	
	
	√8
	
	 
	√6
	
	
	6
	
	
	2
	
	
	4
AULA 9
		Considere a equação geral do plano 3x + 2y - z + 1 = 0. Para que o ponto A(4, -2, m) pertença a este ponto, o valor de m tem que ser igual a:
		
	
	
	
	
	-15
	
	 
	NRA
	
	
	-9
	
	 
	9
	
	
	15
	
	
	
		2.
		Numa elipse a medida do eixo maior é 26 e a medida do eixo menor é  24. Determine a distância focal dessa elipse.
		
	
	
	
	
	12/13
	
	 
	13/12
	
	 
	10
	
	
	22
	
	
	11
	
	
	
		3.
		Dados os vetores v→=(2,1,-1) e u→=(1,4,0) , o produto escalar e o produto vetorial são respectivamente iguais a:
		
	
	
	
	 
	6, 4i→-j→+7k→
	
	
	4, 2i→-3j→-8 k→
	
	
	14, 2i→-3j→-8 k→
	
	 
	14, 2i→+ 3j→+ 4 k→
	
	
	15, 2i→-3j→-8k→
	
	
	
		4.
		Determine o valor de a, sabendo que os vetores u→=2i→+3j→+4k→ e  →v=i→ -3j→+ ak→ são ortogonais
		
	
	
	
	 
	7/4
	
	 
	1
	
	
	5
	
	
	2
	
	
	2/4
	
	
	
		5.
		
		
	
	
	
	 
	60°
	
	
	30°
	
	 
	90°
	
	
	45°
	
	
	80°
	
	
	
		6.
		Chama-se Produto Escalar de dois vetores   u→ = x1i→ + y1j→+ z1k→  e  v→ = x2i→ + y2j→+ z2k→  denotado por u→.v→ :
		
	
	
	
	
	ao número real k dado por  k = (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2
	
	
	ao número real k, dado por:  k = x+1x-1 = y+1y-1= z+1z-1
	
	
	ao vetor  w→  dado por  w→ = x1x2i→  + y1y2 j→  + z1z2 k→
	
	 
	ao número real k, dado por :  k = x1x2 + y1y2  + z1z2
	
	
	ao vetor  w→  dado por  w→ = (x1 + x2)i→ + (y1 + y2 )j→ + (z1 + z2)k→
	
	
	
		7.
		P(0, 1, k), Q(2, 2k, k - 1) e R(- 1, 3, 1), determinar o valor inteiro de k de tal modo que o triângulo PQR seja retângulo em P.
		
	
	
	
	
	3
	
	 
	1
	
	
	5
	
	
	7
	
	
	6
	
	
	
		8.
		A distância focal e a excentricidade da elipse com centro na origem e que passa pelos pontos (1, 0) e (0, -2) são, respectivamente,
		
	
	
	
	
	1/2  e  \( { \sqrt{3}}\)
	
	
	\( { \sqrt{3} }\)  e  \( {\sqrt{3} \over 2}\)
	
	 
	\({2 \sqrt{3} }\)  e  \( { \sqrt{3} \over 2}\)
	
	
	\( { \sqrt{3} \over 2}\) e  \({1 \over 2}\)
	
	
	3 e 1/2
AULA 10
		Uma parábola é um conjunto de pontos no plano cujas distâncias a um ponto fixo e a uma reta fixa são iguais.
O ponto e a reta citados, na definição acima, são chamados:
	
	
	
	
	
	vértice e eixo
	
	
	centro e diretriz
	
	 
	foco e diretriz
	
	
	centro e eixo
	
	
	foco e eixo
	
	
	
		2.
		Marque a alternativa que mostra a equação geral do plano determinado pelos pontos: A(0,2,-1), B(1,-1,-1) e C(1,0,2).
	
	
	
	
	
	-5x-3y+z+7=0
	
	 
	-9x-3y+z+9=0
	
	
	-9x-3y+z+=0
	
	
	-9x-8y+z+7=0
	
	 
	-9x-3y+z+7=0
	
	
	
		3.
		Dados os vetores no plano R2 , u = 2 i - 5 j e v = i + j , pede-se determinar o módulo do vetor u + v.
	
	
	
	
	 
	25
	
	 
	5
	
	
	100
	
	
	30
	
	
	10
	
	
	
		4.
		A expressão x2-y2+2x=0 é uma:
	
	
	
	
	
	parábola
	
	
	circunferência
	
	 
	elipse
	
	 
	hipérbole
	
	
	catenária
	
	
	
		5.
		Consideremos num sistema de coordenadas cartesianas um ponto P=(2,0) e uma reta r de equação x-1=0.Qual é o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias ao ponto P e à reta r são iguais ?
	
	
	
	
	
	Uma parábola cuja equação é y = 2x2 -3
	
	
	Duas semiretas cujas equações são x-y=1,5 e x+y=1,5,com x>1,5
	
	
	Uma circunferência com centro no ponto (3,0) e raio 1,5
	
	 
	Uma circunferência de equação x2+y2 =3
	
	 
	Uma parábola cuja equação é y2 =2x-3
	
	
	
		6.
		A cônica representada pela equação 3x²-4y²+8y-16=0 é:
	
	
	
	
	 
	duas retas
	
	
	elipse
	
	
	parábolahipérbole
	
	
	circunferência
	
	
	
		7.
		Encontre a área do triângulo de vértices A(1, 2, 5) B(3, 4, -1) e C(-2, -1, 4)
	
	
	
	
	
	10
	
	
	5x (2)1/2
	
	 
	10  x (2) 1/2 
	
	 
	20
	
	
	20 x(2)1/2
	
	
	
		8.
		Com base na equação 16x2 - 9y2 = 144. Podemos afirmar que se trata de uma equaçao de:
	
	
	
	
	
	elipse
	
	 
	parábola
	
	
	circunferência
	
	
	plano
	
	 
	hipérbole
AVALIAÇÃO PARCIAL
	1a Questão (Ref.: 201308419283)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Determine o valor de x para que os vetores u=(x,2) e v=(9,6) sejam paralelos
		
	
	Nenhuma das anteriores
	 
	x=3
	
	x=1
	
	x=2
	
	x=4
		
	
	
	 2a Questão (Ref.: 201308559081)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os vetores : 4(AB) +4(BC) - 2(AC) ?
		
	
	(3,2)
	
	(1,0)
	 
	(0,0)
	
	(0,1)
	
	(0,2)
		
	
	
	 3a Questão (Ref.: 201308493337)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Sendo a=(2,1,1), b=(1,2,2) e c=(1,1,1). Calcular um vetor v=(x,y,z), tal que    v· a= 4, v· b= 9 e v· c= 5.   Podemos afirmar que o vetor v é:                                                          
		
	
	v=(-3,-4,-2)
	 
	v=(3,4,2)
	
	v=(3,-4,2)
	
	v=(-3,4,2)
	
	v=(3,4,-2)
		
	
	
	 4a Questão (Ref.: 201308026033)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	O versor do vetor v = (-3,4) é: 
		
	
	(-1/5;4/5)
	
	(-3/5;-4/5)
	 
	(-3/5;4/5)
	
	(3/5;4/5)
	
	(3/5;-4/5)
		
	
	
	 5a Questão (Ref.: 201308526787)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	O valor de x para que os vetores u=(x,2) e v=(9,6) sejam paralelos é:
		
	
	2
	 
	3
	
	9
	
	1
	
	6
		
	
	
	 6a Questão (Ref.: 201308526784)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	O ângulo entre os vetores u=(1,0,1) e v=(0,1,0) é igual a:
		
	
	60º
	
	30º
	
	15º
	
	45º
	 
	90º
		
	
	
	 7a Questão (Ref.: 201308092597)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	O módulo e o versor do vetor v = (3, 4) é, respectivamente:
		
	
	25 e (6/5; 9/5)
	
	7 e (3/5; 9/5)
	 
	5 e (3/5; 4/5)
	
	10 e (2/5; 8/5)
	
	5 e (7/25; 4/25)
		
	
	
	 8a Questão (Ref.: 201308092595)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Sendo u = (5;3) e v = (2;4), o valor do produto interno usual ou produto escalar entre u e v é:
		
	
	u . v = 34
	
	u . v = 24
	 
	u . v = 22
	
	u . v = 6
	
	u . v = -8
		
	
	
	 9a Questão (Ref.: 201307673310)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Qual a equação da reta abaixo que passa pelos pontos A (2,3) e B (4,6):
		
	
	2y + 2x = 1
	
	y -3x + 13 = 0
	
	2x + 2 y = 1
	
	y = 3x + 1
	 
	3x + 2y = 0
		
	
	
	 10a Questão (Ref.: 201308498631)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Calcular a distância entre os pontos P1=(1;0;1) e P2=(2,-1,0)
		
	
	3
	 
	3
	
	4
	
	5
	
	2
AP 2
	1a Questão (Ref.: 201308200389)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Que características de um vetor precisamos conhecer para que ele fique determinado?
		
	
	Localização, Intensidade e Sentido
	
	Direção, Sentido e Ângulo
	
	NRA
	
	Direção, Intensidade e Coordenada
	 
	Direção, Intensidade e Sentido
		 Gabarito Comentado.
	
	
	 2a Questão (Ref.: 201308559065)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os vetores : 3(AB) + 3(BC) - 5(AC) ?
		
	
	(2,2)
	 
	(0,0)
	
	(0,1)
	
	(1,0)
	
	(1,1)
		
	
	
	 3a Questão (Ref.: 201308415782)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Dados os vetores no plano, u = 3i - 4j e v = 2i + 2j o vetor 2u + v é:
 
		
	
	6i -8j
	 
	8i - 6j
	
	-6i + 8j
	
	6i + 8j
	
	10i - 3j
		
	
	
	 4a Questão (Ref.: 201308493337)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Sendo a=(2,1,1), b=(1,2,2) e c=(1,1,1). Calcular um vetor v=(x,y,z), tal que    v· a= 4, v· b= 9 e v· c= 5.   Podemos afirmar que o vetor v é:                                                          
		
	
	v=(-3,-4,-2)
	
	v=(3,4,-2)
	
	v=(-3,4,2)
	 
	v=(3,4,2)
	
	v=(3,-4,2)
		
	
	
	 5a Questão (Ref.: 201308526816)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Determine os valores de x e y para que os vetores u=(2, 5, y) e v=(x, 10, 8) sejam paralelos.
		
	
	x=4 e y=-4
	 
	x=4 e y=4
	
	x=2 e y=2
	
	x=4 e y=2
	
	x=2 e y=4
		
	
	
	 6a Questão (Ref.: 201308375915)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Determinar o vetor v sabendo que (3, 7, 1)+ 2v = (6, 10, 4) - v.
		
	
	(3, 3, 3)
	 
	(1, 1, 1)
	
	(3, -3, 3)
	
	(-1, 1, 1)
	
	(1, -1, 1)
		
	
	
	 7a Questão (Ref.: 201308286166)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Um reservatório em formato de paralelepípedo é determinado pelos seguintes vetores:
 u=(1; -1; 2) v=(2;0;1) w=(-1;3;0)   com unidades dadas em metros. Sabendo que cada metro cúbico de volume equivale a 1000 litros, qual é a capacidade do reservatório?
		
	
	500 litros.
	
	5000 litros.
	 
	10000 litros.
	
	1000 litros.
	
	50000 litros.
		
	
	
	 8a Questão (Ref.: 201308497628)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Qual o coeficiente angular da reta r que passa pelos pontos A=(4,5) e B=(8,12).
		
	
	m=7/6
	 
	m=7/4
	
	m=-4/7
	
	m=4/7
	
	m=-7/4
		
	
	
	 9a Questão (Ref.: 201308498631)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Calcular a distância entre os pontos P1=(1;0;1) e P2=(2,-1,0)
		
	
	3
	 
	3
	
	4
	
	2
	
	5
		
	
	
	 10a Questão (Ref.: 201308024816)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Calculado o produto misto de três vetores como, a partir desse valor, pode-se calcular o volume de um tetraedro que tivesse esses três vetores como arestas?
		
	
	Se o resultado do produto misto for igual a zero não há tetraedro formado. Caso contrário deve-se dividir do valor do produto misto por seis.
	
	Fazer com que os vetores se tornem coplanares.
	 
	Se o resultado do produto misto for igual a zero não há tetraedro formado. Caso contrário deve-se dividir o módulo do valor do produto misto por seis.
	
	Calculando-se o valor de um sexto do produto misto incondicionalmente.
	
	Multiplicar o resultado por 2
AV PARCIAL 3
	1a Questão (Ref.: 201308559049)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual da operação entre os vetores :  (AB)+ (BC)?
		
	
	(0,2)
	 
	(0,0)
	
	(2,0)
	
	(1,0)
	
	(0,1)
		
	
	
	 2a Questão (Ref.: 201308470181)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Uma grandeza vetorial é caracterizada por possuir:
		
	
	direção e módulo somente.
	
	direção e sentido apenas.
	
	apenas módulo.
	 
	direção, sentido e módulo.
	
	direção, intensidade e módulo.
		
	
	
	 3a Questão (Ref.: 201308144750)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Quais são as equações simétricas das seguintes equações paramétricas x=t+3 e y=3+2t e z=1+2t:
		
	 
	x-3= (y-3)/2=(z-1)/2
	
	x-3= (y-2)/2=(z-3)/3
	
	2x-2= (y-3)/3=(2z-1)/2
	
	) x-1= (y-3)/2=(z-1)/3
	
	x-2= (y-3)/3=(z-1)/2
		
	
	
	 4a Questão (Ref.: 201308507757)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Dados dois vetores no espaço u e v. Desejase encontrar um terceiro vetor w, ortogonal a ambos. Isso pode ser resolvido através de um sistema de equações de infinitas soluções, mas se quiser encontrar uma solução direta,você usaria:
		
	 
	Produto vetorial dosvetores u e v.
	
	O método de Grand Schimidt.
	
	Produto escalar dos vetores u e v.
	
	O método de ortogonais concorrentes.
	
	O método de ortonormalização.
		
	
	
	 5a Questão (Ref.: 201308407306)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Determine x e t de modo que os pontos A=(2, 4, t) seja igual ao ponto B=(x, 2x, 3x).
		
	
	x=2 e t=3
	 
	x=2 e t=6
	
	Nenhuma das anteriores
	 
	x=4 e t=3
	
	x=4 e t=6
		
	
	
	 6a Questão (Ref.: 201308383431)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Se u = (x;5) e v = (-2; 10) são vetores paralelos, então o valor e x é
		
	
	x = 25
	 
	x = 2
	
	x = 1
	
	x = -5
	 
	x = -1
		
	
	
	 7a Questão (Ref.: 201307433958)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Na física,  se uma força constante  F→  desloca um objeto do ponto A para o ponto B ,  o trabalho  W   realizado por  F→,  movendo este objeto,  é definido como sendo o produto da força ao longo da distância percorrida. 
Em termos matemáticos escrevemos:
 W = ( I F→I  cos  θ )  I D→ I
onde D→  é o vetor deslocamento  e  θ  o ângulo dos dois  vetores . Este produto tem um correspondente em Cálculo Vetorial.
Sendo F→ = -2 i→ + 3j→ - k→  , medida em newtons,    A(3, -3, 3), B(2, -1, 2)  e com a unidade de comprimento metro, o trabalho realizado em joules é
		
	 
	9
	
	3
	
	15
	
	13
	
	7
		
	
	
	 8a Questão (Ref.: 201308430160)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Calcular o ângulo entre os vetores u=(4,1,1) e v=(2,-1,2).
		
	
	30°
	
	90°
	
	120°
	 
	45°
	
	60°
		
	
	
	 9a Questão (Ref.: 201308498631)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Calcular a distância entre os pontos P1=(1;0;1) e P2=(2,-1,0)
		
	
	2
	 
	
	
	3
	
	4
	
	5
		
	
	
	 10a Questão (Ref.: 201308024816)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Calculado o produto misto de três vetores como, a partir desse valor, pode-se calcular o volume de um tetraedro que tivesse esses três vetores como arestas?
		
	
	Calculando-se o valor de um sexto do produto misto incondicionalmente.
	 
	Se o resultado do produto misto for igual a zero não há tetraedro formado. Caso contrário deve-se dividir o módulo do valor do produto misto por seis.
	
	Multiplicar o resultado por 2
	
	Se o resultado do produto misto for igual a zero não há tetraedro formado. Caso contrário deve-se dividir do valor do produto misto por seis.
	
	Fazer com que os vetores se tornem coplanares.