AulaTeorica 9 Aplicações de Derivadas

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Aplicações da 
Derivada 
Universidade Federal de Santa Catarina 
 
Centro Tecnológico de Joinville 
Prof. Victor Simões Barbosa 
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Conteúdos da Aula 
 Máximos e Mínimos; 
 Teorema sobre Derivadas; 
 Funções Crescentes e Decrescentes; 
 Critério para encontrar Pontos Extremantes; 
 Concavidade e Pontos de Inflexão. 
 
3 
Máximos e Mínimos 
Pontos extremos da função: 
 Pontos de abscissas  𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 
 
 Os valores f(x1) e f(x3)  máximos relativos 
 
 Os valores f(x2) e f(x4)  mínimos relativos 
 
4 
Máximos e Mínimos 
 Definição: 
 Uma função f tem um máximo relativo em c, se existir 
um intervalo aberto I, contendo c, tal que f(c)  f(x) para 
todo x  I  D(f). 
 
 Definição: 
 Uma função f tem um mínimo relativo em c, se existir 
um intervalo aberto I, contendo c, tal que f(c)  f(x) para 
todo x  I  D(f). 
 
5 
Exemplo 1 
 A função 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 − 12𝑥2 tem um máximo 
relativo 𝑐1 = 0, pois existe o intervalo (−2, 2), tal 
que 𝑓 0 ≥ 𝑓(𝑥) para todo 𝑥  (−2, 2). 
 
 Em 𝑐2 = − 2 e 𝑐3 = 2, a função 
dada tem mínimos relativos, pois 
𝑓 − 2 ≤ 𝑓 𝑥 para todo 
x ∈ (−2,0) e 𝑓 2 ≤ 𝑓 𝑥 para 
todo 𝑥 ∈ (0,2). 
 
6 
Máximos e Mínimos 
 Proposição: 
 Suponhamos que f(x) existe para todos os valores x  (a, b) e 
que f tem um extremo relativo em c, onde 
 a < c < b. Se f ’(c) existe, então f ’(c) = 0. 
 
 OBS: “Se f ’(c) existe, então f ’(c) = 0” 
é condição necessária mas não 
suficiente p/ existência de extremo 
relativo. 
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Máximos e Mínimos 
 O ponto c  D(f) tal que f ’(c) = 0 ou f ’(c) não existe, é 
chamado ponto crítico de f. 
8 
Máximos e Mínimos 
 Definições: 
 Dizemos que f(c) é o valor máximo absoluto da função 
f, se c  D(f) e f(c)  f(x) para todos os valores de x no 
domínio de f. 
 
 Dizemos que f(c) é o valor mínimo absoluto da função 
f, se c  D(f) e f(c)  f(x) para todos os valores de x no 
domínio de f. 
 
 Proposição: 
 Seja f: [a,b]  IR uma função contínua, definida em 
um intervalo fechado [a, b]. Então f assume valor 
máximo e valor mínimo absoluto em [a, b]. 
 
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Exemplo 2 
 (i) - A função 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟑 tem um valor 
mínimo absoluto igual a −𝟏𝟐 em 𝒄 = −𝟑. (graf. a ) 
 
 (ii) - A função 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟑 tem um valor 
máximo absoluto igual a 𝟔 em 𝒄 = 𝟑. (graf. b ) 
 
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Teoremas sobre Derivadas 
 Teorema de Rolle: 
 Seja f uma função definida e contínua em [a, b] e 
derivável em (a, b). Se f(a) = f(b), então existe pelo 
menos um ponto c entre a e b tal que f ’(c) = 0. 
 
 
11 
12 
Teoremas sobre Derivadas 
 Teorema do Valor Médio: 
 Seja f uma função contínua em [a, b] e derivável em (a, b). 
Então existe um número c no intervalo (a, b) tal que: 
 
   
ab
afbf
cf


'
13 
 
   
ab
afbf
cf


'
Teorema do Valor Médio: 
Interpretação Geométrica 
A reta tangente a curva 
𝑦 = 𝑓(𝑥) que passa pelo 
ponto 𝑹(𝒄, 𝒇 𝒄 ) é paralela a 
reta que liga os ponto 
𝐏(𝒂, 𝒇(𝒂)) e 𝐐 𝒃, 𝒇 𝒃 . 
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Funções Crescentes e Decrescentes 
 Definição: 
 Dizemos que uma função f, definida num intervalo I, é 
crescente neste intervalo se para quaisquer x1, x2  I, x1 < x2, 
temos f(x1)  f(x2). 
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Funções Crescentes e Decrescentes 
 Definição: 
 Dizemos que uma função f, definida num intervalo I, é 
decrescente neste intervalo se para quaisquer x1, x2  I, 
x1 < x2,temos f(x1)  f(x2). 
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Funções Crescentes e Decrescentes 
 Proposição: 
 Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e 
derivável no intervalo (a, b). 
 
 (i) Se f ’(x) > 0 para todo x  (a, b), então f é crescente 
em [a, b]; 
 
 (ii) Se f ’(x) < 0 para todo x  (a, b), então f é 
decrescente em [a, b]. 
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Exemplo 3 
 Determinar os intervalos nos quais a função 
f(x) = x2 - x + 5 é crescente ou decrescente. 
 
18 
 
. 
2
1
ou 
012 para Então, .12' Temos
 x
 x xxf


. 
2
1
ou 012 Para  x x 
Exemplo 3 
Resolução: 
Portanto a função é crescente em 
[
1
2
, +∞) e decrescente em −∞,
1
2
. 
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Critérios para determinar os Extremos 
de uma Função 
 Teorema: (Critério da derivada primeira para 
determinação de extremos) 
 Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b] que 
possui derivada em todo o ponto do intervalo (a, b), exceto 
possivelmente num ponto c. 
 (i) Se f ’(x) > 0 para todo x < c e f ’(x) < 0 para todo x > c, 
então f tem um máximo relativo em c; 
 (ii) Se f ’(x) < 0 para todo x < c e f ’(x) > 0 para todo x > c, 
então f tem um mínimo relativo em c. 
 
20 
Exemplo 4 
 Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento e 
os máximos e mínimos relativos da função 








5 se ),7(
2
1
5 se ,3)2(
)(
2
xx
xx
xf
OBSERVAÇÃO: 
Para aplicar o critério da derivada primeira temos que buscar todos 
os pontos críticos da função, pois temos que analisar onde 
𝑓′ 𝑥 > 0 e onde 𝑓′ 𝑥 < 0. 
21 
Exemplo 4 
 Resolvendo: 







5 se ),7(
2
1
5 se ,3)2(
)(
2
xx
xx
xf
.
2
1
)( temos
5, se e, )2(2)( temos5, Se
'
'


xf
xxxfx
. de crítico ponto um é 5 então e 
existe não )5( Logo,.6)5( e 
2
1
)5(Ainda '''
f
fff  
.0)2( pois crítico, ponto um é também2 ponto O '  fx
22 
Exemplo 4 
 Resolvendo: 








5 se ),7(
2
1
5 se ,3)2(
)(
2
xx
xx
xf
2]. ,(- em edecrescent é Então,
negativa. é )( 2, Se '


f
xfx
.) [5, em crescente é Então,
 positiva. é )( 5, Se '


f
xfx
2. em relativo
mínimo um tem que concluímos
 derivada,primeira da critério Pelo
x
f
2,5]. [ em crescente é Então,
positiva. é )( ,52 Se '
f
xfx 
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Critérios para determinar os Extremos 
de uma Função 
 Teorema: (Critério da derivada segunda para 
determinação de extremos) 
 Sejam f uma função derivável num intervalo (a, b) e c 
∈ (𝑎, 𝑏) um ponto tal que f ’(c) = 0 (ponto crítico). Se f 
admite a segunda derivada, f ’’, em (a, b), temos: 
 (i) Se f ’’(c) < 0, f tem um valor máximo relativo em c. 
 (ii) Se f ’’(c) > 0, f tem um valor mínimo relativo em c. 
 
24 
Exemplo 5 
 Encontre os máximos e os mínimos relativos de f 
aplicando o critério da segunda derivada. 
32 4318)( xxxxf 
25 
Exemplo 5 
 Resolvendo: 
 
primeiraderivada 12618)( 2'  xxxf segundaderivada 4x 26)(
e
'' xf
012618 temos,0)( Fazendo 2'  xxxf32 4318)( xxxxf 
1.- xe 
2
3
 x 
:críticos pontos os obtemos ,Resolvendo

26 
Exemplo 5 
 Resolvendo: 
 
 
1. em relativo mínimo
 valorum tem ,0301 Como ''

 ff .
2
3
 em relativo máximo
 valorum tem ,030
2
3
 Como '' ff 





4x26)('' xf
27 
Concavidade 
 A curva é denominada côncava para cima se esta 
fica acima das retas tangentes. 
 
28 
Concavidade 
 A curva é denominada côncava para baixo se esta 
fica abaixo das retas tangentes. 
 
29 
Concavidade 
 Definição: 
 Uma função f é dita côncava para cima no intervalo (a, 
b), se f ’(x) é crescente neste intervalo. 
 Definição: 
 Uma função f é dita côncava para baixo no intervalo (a, 
b), se f ’(x) for decrescente neste intervalo. 
30Concavidade 
 Proposição: 
 Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável 
até segunda ordem no intervalo (a, b). 
 (i) Se f ’’(x) > 0 para todo x  (a, b), então f é côncava para 
cima em (a, b). 
 (ii) Se f ’’(x) < 0 para todo x  (a, b), então f é côncava 
para baixo em (a, b). 
 
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Pontos de Inflexão 
 Definição: 
 Um ponto P(c, f(c)) do gráfico de uma função contínua 
f é chamado um ponto de inflexão, se existe um 
intervalo (a, b) contendo c, tal que uma das seguintes 
situações ocorra: 
 (i) f é côncava para cima em (a, c) e côncava para 
baixo em (c, b). 
 (ii) f é côncava para baixo em (a, c) e côncava para 
cima em (c, b). 
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Os pontos de abscissa 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, 𝑒 𝑐4 são pontos de inflexão. 
Vale observar que 𝑐2 e 𝑐3 são pontos de extremos de f e que f 
não é derivável nesses pontos. 
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Exemplo 6 
3)1()(  xxf
 Determinar o ponto de inflexão e reconhecer os 
intervalos onde a função seguinte tem concavidade 
voltada para cima ou para baixo. 
 Resolvendo: 
 


)(
)(
''
'
xf
xf
2)1(3 x ).1(6 x :esequivalent desdesigualda
 seguintes as temos,0)( Fazendo '' xf
1010)1(6  xxx
34 
3)1()(  xxf ).1 ,( em baixopara côncava é Logo,
.0)( ),1 ,( intervalo no te,Analogamen ''


-f
xf-
). (1, emcima para côncava é Logo,
 .0)( ), (1, em Assim, ''


f
xf
inflexão. de ponto um tem ponto nesse e
 sentido demuda econcavidada 1 em Assim,
f 
c 
35 
3)1()(  xxf
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Exercício: 
 Considere . Determinar: 
a) Os pontos de máximo e mínimo relativos da função; 
Máximo: e Mínimo: 
b) Os intervalos de crescimento e decrescimento; 
Decrescente: Crescente: 
c) Os intervalos onde a função tem concavidade voltada 
para cima ou para baixo e os pontos de inflexão; 
p/ cima: p/ baixo: 
 
24)( xxxf 
0x 2
2
 e 
2
2
 xx

















2
2
,0
2
2
, 















 ,
2
2
0,
2
2
















 ,
6
6
6
6
, 








6
6
,
6
6
37 
 Gráfico de: 
24)( xxxf 
Pontos de inflexão; 
6
6
,
6
6
21  cc