5. Através das derivadas, estude o que for importante e faça o gráfico de y = 2x2/9− x2. a) Estudar o que for importante através das derivadas. ...

Para estudar o que é importante através das derivadas, precisamos encontrar a primeira e a segunda derivada da função y = 2x²/9 - x². y = 2x²/9 - x² y = (2/9)x² - x² y = (-7/9)x² A primeira derivada é encontrada através da regra da potência e é dada por: y' = (-7/9) * 2x y' = (-14/9)x A segunda derivada é encontrada derivando novamente a primeira derivada e é dada por: y'' = (-14/9) Agora podemos estudar o comportamento da função através das derivadas. A primeira derivada nos dá a inclinação da reta tangente à curva em cada ponto. Quando y' = 0, temos um ponto crítico. Resolvendo (-14/9)x = 0, encontramos x = 0. Portanto, o ponto crítico é (0,0). A segunda derivada nos dá informações sobre a concavidade da curva. Como y'' < 0 para todo x, a curva é côncava para baixo em todo o seu domínio. Agora podemos fazer o gráfico da função. Sabemos que a função é simétrica em relação ao eixo y, pois é uma função par. Também sabemos que a função passa pelo ponto (0,0). Podemos escolher alguns valores de x para encontrar os valores correspondentes de y e plotar os pontos. Por exemplo, para x = 3, temos: y = (-7/9) * 3² y = -7 Portanto, o ponto (3,-7) pertence à curva. Fazendo isso para alguns outros valores de x, podemos traçar o gráfico da função. O resultado é uma parábola com concavidade para baixo, como mostrado abaixo: