Cálculo Diferencial e Integral a uma Variável - Aula 4

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Calculo Diferencial Integral 
Aula 4: Aplicação de Derivadas 
 
 
 
Professor Guilherme Lemermeier Rodrigues 
 
 
 
 
Seja bem-vindo(a) à aula 4 de Cálculo Diferencial Integral! Estudaremos agora a aplicação de 
derivada. 
Confira a seguir os nossos temas de estudo para esta aula: 
 
Taxas relacionadas 
Funções Crescentes 
Funções Decrescentes 
 
Valor Máximo Absoluto 
Valor Mínimo Absoluto 
Concavidade 
Ponto de Inflexão
 
 
Uma boa prática das derivadas está na aplicação das taxas relacionadas. 
Quando duas variáveis x e y dependem do tempo, ou seja, e estão associadas através 
de uma equação, então as derivadas são taxas relacionadas entre si. 
Procedimento simples: 
 
1. Achar uma equação que relacione as grandezas envolvidas. 
2. Considerar que as taxas de variação são derivadas em relação ao tempo. 
 
 
 
 
Exemplo 1 
 
Considere um reservatório de água com formato de um cone invertido, como na figura. Esse reservatório 
está sendo alimentado à taxa de 3m³/h. 
Qual a taxa de aumento no nível de água quando a altura da água contida no reservatório 
for de 2 metros? 
 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
Equação relacionando as variáveis: 
Onde: (por relação de triângulos): 
Portanto: 
 
Derivando implicitamente em relação ao tempo, vem: 
 
Substituindo os valores conhecidos, resulta: 
 
O valor positivo no resultado significa que o nível da água no reservatório está subindo a 
uma taxa de 2,15 m/h. 
Exemplo 2 
Uma escada está apoiada em uma parede vertical como demonstra a figura. 
Sabendo-se que o pé da escada está escorregando à taxa de 0,5m/s qual a taxa de 
deslizamento do topo da escada quando o pé da escada estiver a 3 metros de distância da 
parede? 
 
 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
Equação relacionando as variáveis: 
 
Quando tem-se 
 ou 
Derivando implicitamente em relação ao tempo, resulta: 
 
 
Substituindo os valores conhecidos, temos: 
 
O sinal negativo significa que o topo da escada está descendo a uma taxa de 0,375 m/s. 
Exemplo 3 
Dois veículos estão se aproximando de um cruzamento como demonstra a figura. 
Qual a taxa de aproximação entre esses veículos, quando os veículos A e B estão a 30 metros e 40 
metros, respectivamente, do cruzamento? 
 
 
Dados: 
 
 
 
 
 
Equação relacionando as variáveis: 
Calculando valores: 
 
 
 
 
Derivando implicitamente em relação ao tempo: 
 
Substituindo os valores conhecidos: 
 
O sinal negativo significa que a distância entre os dois carros está diminuindo a uma taxa de 120 km/h. 
Exemplo 4 
 
O raio da esfera representada na figura está aumentando à taxa de 1cm/min. 
Qual será a taxa de aumento do volume quando o diâmetro da esfera for 12 cm? 
 
 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
Equação relacionando as variáveis: 
Derivando implicitamente em relação ao tempo: 
 
Substituindo os valores conhecidos: 
 
 
 
Exemplo 5 
Um tanque de formato cilíndrico tem geometria representada na figura a seguir. Supondo que esse 
tanque é alimentado à taxa de 4m³/h. Qual é a taxa de aumento da altura do nível da água? 
 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação relacionando as variáveis: 
Derivando implicitamente em relação ao tempo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um incêndio em um campo aberto se alastra em forma de círculo. O raio do círculo de fogo aumenta à 
razão de 2m/min. 
Qual a taxa à qual a área incendiada está aumentando quando o raio é de 20 m? 
Dados: 
 
 
Equação envolvendo as variáveis: 
 
Derivando implicitamente em relação ao tempo: 
 
 
 
Substituindo valores: 
 
 
Um homem em um cais puxa um bote por uma corda amarrada à proa do mesmo a 0,4 m acima do 
nível da água, e passando por uma polia simples situada na beira do cais a 2,4m acima do nível da 
água. 
Se o homem puxa a corda à razão de 0,6 m/s, com que velocidade o bote está se aproximado do cais 
quando está a 10m de um ponto diretamente abaixo da polia? 
 
 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
Equação relacionando as variáveis: 
 
Quando tem-se: 
 
Derivando a equação em relação ao tempo: 
 
Substituindo os valores conhecidos. 
 
 
A parte superior de um silo tem a forma de um hemisfério de 3 m de raio e está recoberto de gelo. Se a 
espessura da camada de gelo derrete a uma taxa de 1 cm/h, qual a taxa de variação do volume de gelo 
quando a camada tem 10 cm de espessura? 
 
 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
Equações: 
Volume da esfera 
Volume de um hemisfério (metade da esfera) 
Raio de gelo 
Derivando implicitamente em relação ao tempo: 
 
Simplificando: 
 
Substituindo os valores conhecidos: 
 
Calculando, resulta: 
 
Um cabo de 50 m de comprimento e 10cm de diâmetro está submerso em água do mar. Em virtude da 
corrosão, a área de superfície do cabo decresce à razão de . A que taxa o diâmetro está 
diminuindo? (despreze a corrosão nas extremidades). 
Dados: 
 
 
D =10cm ou r = 5 cm L = 50 m = 5 000 cm 
1 
 
 
Equação relacionando as variáveis: 
 
Derivando em relação ao tempo: 
 
(Considerando que não há corrosão nas extremidades, então o comprimento é constante). 
Substituindo os valores conhecidos, resulta: 
 
 
Funções Crescentes e Decrescentes 
 
Uma função é chamada de crescente em certo intervalo se: 
 
f( ) < f( ), quando < no intervalo estabelecido. 
 
E é chamada de decrescente em certo intervalo se: 
 
f( ) > f( ), quando < no intervalo estabelecido. 
 
 
 
 
Exemplo 
O gráfico de uma função f é dado: 
 
Em observação ao gráfico, é possível determinar valores da função para 
qualquer valor x do domínio. Temos, por exemplos, f(1) = 3 e f(-1) = 
0,5(aprox.). 
 
Também é possível visualizar as regiões do domínio onde ocorre 
crescimento e decrescimento da função. Estas regiões são apresentadas 
como intervalos, tais como: 
Crescente: 
Decrescente: 
Pensando nas derivadas, temos que: 
 
Se f’(x)>0 em um intervalo, então f é crescente neste intervalo 
Se f’(x)<0 em um intervalo, então f é decrescente neste intervalo 
 
Lembramos que o resultado de uma derivada de primeira ordem, quando calculado em valor numérico de 
domínio pertencente à função, obtemos o valor do coeficiente angular da reta tangente no ponto. 
Considere a função . Vamos determinar: 
As coordenadas do vértice da parábola. 
As coordenadas do vértice são calculadas por: 
 
 
 
 
A região de crescimento e de decrescimento da função. 
A função é decrescente à esquerda do vértice, ou seja, e é crescente à direita do vértice, ou seja, 
 
A reta tangente à curva no ponto P(1;4) 
 
No ponto P(1;4) tem-se 
Equação da reta tangente e substituindo resulta em: 
 ou 
A reta tangente à curva no ponto Q(-1;4) 
No ponto P(-1;4) tem-se 
Equação da reta tangente e substituindo resulta em: 
 ou 
A reta tangente à curva no ponto V(0; 3) 
No ponto V(0;3) (vértice da parábola), tem-se 
Equação da reta tangente e substituindo resulta em: 
 ou 
Analise os resultados obtidos relacionando o coeficiente angular e crescimento ou 
decrescimento da função. 
Quando a função é crescente a reta tangente apresenta coeficiente angular positivo no ponto 
considerado, e quando a função é decrescente a reta tangente apresenta coeficiente angular negativo no 
 
 
ponto considerado. No vértice da parábola, a reta tangente é horizontal (coeficiente angular nulo) sendo 
característica de pontos extremos da função. 
Considere as funções a seguir. Determinaremos as regiões de crescimento e decrescimento das mesmas. 
a) 
Calculando a derivada: 
Igualando a zero: 
 (extremo) 
À esquerda do extremo (por exemplo em x=2) 
 
Primeira derivada negativa, significa que a esquerda do extremo a função é decrescente, ou seja, no 
intervalo . 
À direita do extremo, por exemplox=3, faz: 
 
Primeira derivada positiva, significa que a direita do extremo a função é crescente, ou seja, no intervalo 
. 
b) 
Calculando a derivada: 
Igualando a zero: 
 
 
 (extremo) 
À esquerda do extremo (por exemplo em x=1) 
 
Primeira derivada positiva, significa que a esquerda do extremo a função é crescente, ou seja, no 
intervalo . 
À direita do extremo, por exemplo x=2, faz: 
 
Primeira derivada negativa, significa que a direita do extremo a função é decrescente, ou seja, no 
intervalo . 
c) 
Calculando a derivada: 
Igualando a zero: 
 
 e (extremos) 
À esquerda do extremo x=0 (por exemplo em x=-1) 
 
 
 
Primeira derivada positiva, significa que a esquerda do extremo x=0 a função é crescente, ou seja, no 
intervalo . 
Entre os extremos x=0 e x=8/3 (por exemplo em x=1) 
 
Primeira derivada negativa, significa que a direita do extremo x=0 e à esquerda de x=8/3 a função é 
decrescente, ou seja, no intervalo 
À direita do extremo x=8/3, por exemplo x=3, faz: 
 
Primeira derivada positiva, significa que a direita do extremo a função é crescente, ou seja, no intervalo 
. 
Máximo e Mínimo 
Uma das melhores aplicações da teoria do cálculo, objetivamente, a parte de derivadas, são os 
problemas de otimização. 
 
Otimizar a resolução de um problema significa dentre todas as possíveis soluções, encontrar a melhor de 
todas, ou seja, a solução ótima, que poderá envolver: 
 
 Um máximo: em casos de lucro, receita, capacidade, rendimento, potência, etc. 
 Um mínimo: em casos de custos, perdas, quantidade de material utilizado, etc. 
 
 
 
Por definição, temos a ideia de Valor Máximo Absoluto e Valor Mínimo Absoluto. Na acepção de Stewart 
(2014, p.248): 
 
Seja c um número no domínio D de uma função f. Então f(c) é o 
Valor Máximo Absoluto de f em D se f(c) f(x) para todo x em D. 
Valor Mínimo Absoluto de f em D se f(c) f(x) para todo x em D. 
 
Esses pontos, pela própria definição também são chamados de Valores Extremos da função. 
 
 
 
Entretanto, se limitarmos a função ao um intervalo seguindo a mesma analogia anterior, somente com o 
detalhe de um intervalo de análise no domínio da função e consequentemente na imagem, podemos nos 
deparar com Valor Máximo Local e Valor Mínimo Local. Em casos de análise de valores de Máximo ou 
Mínimos, tomaremos alguns passos, simples para verificarmos os valores: 
 
1. Calcular a primeira derivada, f’(x). 
2. Igualar a zero a primeira derivada, f’(x)=0, que resultará os pontos críticos ou extremos (máximo ou 
mínimo ou inflexão). 
3. Calcular a segunda derivada, f’’(x), e verificar junto a segunda derivada os pontos críticos ou 
extremos. Para pontos de máximo, a segunda derivada resulta um valor negativo, ou seja, . 
Para pontos de mínimo, a segunda derivada resultará um valor positivo, ou seja, , e para os 
pontos de inflexão a segunda derivada se anula, ou seja, . 
 
 
Determine os extremos das funções a seguir, e classifique-os. 
a) 
 
 (extremo) 
 
Segunda derivada positiva, corresponde a um ponto de MÍNIMO. 
b) 
 
 (extremo) 
 
Segunda derivada negativa, corresponde a um ponto de MÁXIMO. 
c) 
 
 (primeiro extremo) e (segundo extremo) 
 
No primeiro extremo ( ), resulta 
 
 
 , então é um ponto de MÍNIMO. 
No segundo extremo ( ), resulta 
 , então é um ponto de MÁXIMO. 
Ponto de Inflexão (faz-se ), então: 
 ou é ponto de inflexão. 
d) 
 
 
Extremos 
 
Em ocorre : ponto de inflexão 
Em ocorre : ponto de mínimo. 
 
 
 
 
 
Qual é o valor de x para se obter a área máxima da figura destacada? 
 
 
 
1º passo: Derivar a função. 
 
2º passo: Calcular os pontos críticos. 
 
 
 
 (candidato a extremo) 
3° passo: Verificação do candidato a extremo. 
 
Nesse caso o resultado é negativo, logo o candidato a extremo é um ponto de máximo. 
Enfim, trata-se do valor que se obtém o valor máximo da área desejada, resultando: 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
Uma caixa sem tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão com dimensões 12 cm 
por 20 cm. Para isso, devem-se cortar quadrados de lados x em cada canto e depois dobrar, conforme 
mostra a figura a seguir. Expresse o volume V da caixa como uma função de x. Determine as dimensões 
da caixa de volume máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo da primeira derivada: 
 
Pontos Críticos: 
 
 
 e 
 
Cálculo da segunda derivada: 
Classificando os pontos críticos: 
Para resulta 
 
 
Então em ocorre um ponto de mínimo. Este valor deve ser desprezado, pois o corte é de um 
quadrado cujo lado deve ser menor que 6 cm. 
 
Para resulta . Então em ocorre um ponto de máximo. 
O volume máximo é obtido quando , resultando para o volume: 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
O perímetro (2p) de um quadrilátero regular é 82 metros. Determine os lados desse quadrilátero para 
que a área seja máxima. 
 
 
 
Da primeira equação vem: 
Logo, 
 
 
 
 
1º passo: Derivar a função. 
 
2º passo: Calcular os pontos críticos. 
 
 
3° passo: Verificação do candidato a extremo. 
 
 
Nesse caso o resultado é negativo, logo o candidato a extremo é um ponto de máximo. 
Portanto, metros é o valor de a que corresponde à área máxima, que é: 
 
 
Um livro será impresso em páginas com com 2,5 cm de margem superior e 1,5 cm de 
margem inferior e margens laterais. Determine as dimensões da página com a maior área impressa. 
Equação principal (envolve a quantidade a ser maximizada ou 
minimizada) 
 
 
Equação auxiliar (para reduzir o número de variáveis da equação 
principal; com algum dado conhecido) 
 Logo 
 
 
Substituindo na equação principal, vem: 
 
 
 
Derivando resulta: 
 
Igualando a zero 
 
 
 
 e 
Cálculo da segunda derivada para verificar se é um máximo ou um mínimo. 
 
 
 
O valor obtido para a segunda derivada foi negativo, logo a área impressa é máxima. 
Um hotel cobra R$ 150,00 a diária e dá descontos especiais a grupos de hóspedes que reservarem entre 
30 e 80 quartos. Para cada reserva superior a 30 quartos, a diária de cada quarto é reduzida em R$ 2,00 
para cada quarto reservado. Quantos quartos devem ser reservados para o hotel ter receita máxima? 
Número de quartos Valor da diária Receita 
30 150,00 30 . 150,00 
31= 30 + 1 150,00 - 2,00 31 . 148,00 
32 = 30 + 2 150,00 - 4,00 32 . 146,00 
... ... ... 
30 + x 150 - 2x (30 +x).(150-2x) 
 
Equação principal 
 
 
 
Derivando 
 
Igualando a zero 
 
 
 
 
 
O número total de quartos será quartos. 
Cálculo da segunda derivada. 
 
A segunda derivada resultou em um valor negativo, o que caracteriza um máximo para a receita. 
 
 
Duas fábricas A e B estão a 4 km de distância uma da outra, e emitem partículas que poluem a área 
entre elas. Considerando que a poluição é inversamente proporcional ao cubo da distância até cada 
fábrica, e que a fábrica A emite 3 vezes mais partículas que a fábrica B, em que posição entre A e B a 
poluição é mínima? 
Dados: 
 
Onde é a poluição da fábrica A, e é 
a poluição da fábrica B. 
 
 
 
 
A poluição entre as fábricas é a soma das poluições de cada fábrica. 
 
Derivando a equação: 
 
 
Igualando a zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calculando a segunda derivada, vem: 
 
 
 
Substituindo, resulta: 
 
 
A segunda derivada resultou em um valor positivo, o que caracteriza um mínimo de poluição a uma 
distância de 2,2729 km a partir da fábrica A. 
Um campo petrolífero tem 10 poços de petróleo que produzem um total de1800 barris/dia. Para cada 
poço adicional perfurado no campo, há um decréscimo de 10 barris por poço (média). Quantos poços 
adicionais devem ser perfurados para maximizar a produção? 
 
 
 
Número de poços Produção/poço Produção do campo 
10 180 10 . 180 =1800 
10 + 1 180 - 10 11 . 170 =1870 
10 + 2 180- 20 12 . 160 =1920 
10 + x 180 – 10x (10+x).(180-10x) 
 
Equação: 
 
 
 
Derivando: 
 
Igualando a zero: 
 
 
 
Calculando a segunda derivada: 
O valor para a segunda derivada é negativo, indicando que haverá produção máxima de petróleo quando 
forem perfurados mais quatro poços, resultando então 14 poços no campo petrolífero. 
 
 
Dois postes verticais de 3m e 4,5m de altura estão a uma distância de 5m entre si. Determine o 
comprimento do menor cabo que saindo do topo de um poste, toque o chão e atinja o topo do outro 
poste. 
 
 
 
 
 
 
 
Usando o teorema de Pitágoras: 
 e 
O comprimento total do cabo será a soma de e 
 
 
 
 
 
 
 
Elevando ambos os lados da igualdade ao quadrado, resulta: 
 
 
 
 
 
 
Obtendo-se: 
 e 
Observando a figura, tem-se que os valores para x, devem estar entre 0 e 5m, logo a primeira solução é 
desprezada. 
A solução é para , resultando 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Concavidade 
Levando em consideração a ideia de derivadas, na análise da concavidade, vemos que: 
Se o gráfico de f estiver acima de todas as suas tangentes no intervalo I, então f é chamada de côncava 
para cima em I. Se o gráfico de f estiver abaixo de todas as suas tangentes no intervalo I, então f é 
chamada de côncava para baixo em I. 
 
 
 
 
Portanto, em um teste de concavidade, temos que: 
Se f’’(x)>0 para todos x em I, então o gráfico f é côncavo para cima em I. 
Se f’’(x)<0 para todos x em I, então o gráfico f é côncavo para baixo em I. 
 
 
Ponto de Inflexão 
Um ponto P na curva y=f(x) é chamado Ponto de Inflexão se f é contínua no ponto e a curva mudar de 
côncavo para cima para côncavo para baixo ou vice-versa em P. 
Em suma, graficamente, quando há uma mudança na tendência de movimento ou de concavidade. 
 
 
 
 
Exemplo 
Determine o ponto de inflexão da função: 
 
 
 
Portanto: 
 
 
, 
Então: 
 
 
 
 
Dadas as funções a seguir, identifique os intervalos onde a função é côncava para cima e côncava para 
baixo. 
a) 
 
 
Segunda derivada sendo positiva, a função é côncava para cima em todo o domínio, ou seja, nos reais. 
b) 
 
 
Segunda derivada sendo negativa, a função é côncava para baixo em todo o domínio. 
c) 
 
 
O cálculo da segunda derivada terá valores que dependem da abscissa de cada ponto. 
É necessário determinar os pontos de inflexão (fazendo ) e verificar a concavidade à esquerda e à 
direita de cada ponto de inflexão. 
 
 
 
 (ponto de inflexão) 
À esquerda de , por exemplo para obtém-se: 
 
Valor negativo indica função côncava para baixo no intervalo . 
À direita de , por exemplo para obtém-se: 
 
Valor positivo indica função côncava para cima no intervalo . 
 
SÍNTESE 
Encerramos aqui nossa quarta aula de Cálculo Diferencial Integral! 
Agora você já entendeu como aplicar derivadas em diferentes situações. 
Não deixe de realizar os exercícios da aula e os complementares para fixar os conhecimentos! 
 
 
 
Referências 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2010. 7.ed. 
E. W. SWOKOWSKI. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Makron, 1994. 2. ed. 
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. São Paulo: 
Makron, 2007. 6. ed. 
ANTON, H. Cálculo: Um novo horizonte. Porto Alegre: Bookman, 2014. 10.ed.