RELEMBRANDO-DERIVADAS_APLICAÇÕES

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DERIVADA-
Aplicações
Cálculo II - 2º sem/2018
Profª Letícia Stefenon
A regra de L'Hôpital, também por vezes denominada regra de 
Cauchy, foi incorporada no primeiro livro de texto sobre cálculo 
diferencial, publicado por Guillaume François Antoine, Marquês de 
l'Hôpital, em 1712. Seu objetivo é calcular o limite de frações nos 
casos em que há indeterminações do tipo .
Regra de L’Hopital
Sejam e duas funções contínuas e deriváveis em um 
intervalo , com em todo , então
•Algumas das aplicações mais importantes do cálculo
diferencial são os problemas de otimização, em que
devemos encontrar a melhor maneira de fazer alguma
coisa. Esses problemas podem ser reduzidos a encontrar
os valores máximo ou mínimo de uma função.
Vemos que o ponto mais alto no gráfico da 
função f é o ponto (3, 5). 
O maior valor de f é f (3) = 5. 
O menor valor é f (6) = 2.
Exemplo:
• Qual é a forma da lata que minimiza o custo?
• Qual é a aceleração máximo de um ônibus espacial?
• Qual o raio da traqueia contraída que expele mais rapidamente 
o ar durante a tosse?
• Sob que ângulos os vasos sanguíneos devem ramificar de forma
a minimizar a energia despendida pelo coração no
bombeamento do sangue?
• Qual o lucro máximo?
1 2 1 2( ) ( )x x f x f x  
1 2 1 2( ) ( )x x f x f x  
Seja f uma função definida em um intervalo I:
i) f é crescente nesse intervalo se, para quaisquer x1,x2 I, tais que 
ii) f é decrescente nesse intervalo se, para quaisquer x1,x2 I, tais que 
Função crescente e decrescente
Teste Crescente/Decrescente ou 
Teste C/D
a) Se em um intervalo , então é crescente nele.
b) Se em um intervalo, então é decrescente nele.
'( ) 0f x  f
'( ) 0f x  f
Exemplo: Encontre onde a função é crescente e onde
ela é decrescente :
3( ) 4f x x x 
Vamos encontrar as raízes 
da função derivada
2'( ) 3 4f x x 
1 2
2 3 2 3
 e 
3 3
x x  
COMPORTAMENTO 
DA FUNÇÃO
'( ) 0f x 
'( ) 0f x 
'( ) 0f x 
GRÁFICO DA 
DERIVADA
Mas o que queremos dizer por valores
máximos e mínimos?
Definições: Seja c um ponto no domínio D de uma função f:
1) Uma função f tem um máximo absoluto (global ) em c se,
A imagem f( c ) é chamada valor máximo da f em D.
2) Uma função f tem um mínimo absoluto (global) em c se .
A imagem f( c ) é chamada valor mínimo da f em D.
3) Uma função f tem um máximo local (relativo) em c se , numa
vizinhança de c.
4) Uma função f tem um mínimo local (relativo) em c se próximo de c.
Os valores máximos e mínimos de f são chamados extremos de f.
( ) ( ),f c f x x D  
( ) ( ),f c f x x D  
( ) ( ),f c f x x 
( ) ( ),f c f x x 
Máximo absoluto
Mínimo absoluto
Mínimo local
Mínimo local
Máximo local
Exemplo 1:
Observe que qualquer que seja o x pertencente aos reais, logo
zero é seu ponto de mínimo absoluto da f e f(0) = 0 é seu valor mínimo
absoluto. Por outro lado não há um ponto onde a função assuma seu valor mais
alto na parábola, ou seja, a função f(x) = x 2 não tem valor máximo absoluto.
2( )f x x
( ) 0f x 
Exemplo 2: 
3( )f x x
Esta função não tem um valor máximo absoluto nem um valor mínimo 
absoluto. 
Ela também não apresenta nenhum valor extremo local.
Exemplo 3: ( ) cosf x x
Assume seu valor máximo 1 ( local e absoluto ) infinitas vezes, pois 
cos(2nπ )= 1 para todo inteiro n e para todo x. 
Da mesma , cos (2n+1)π = -1 é seu valor mínimo.
1 cos 1x  
Exemplo 4: 4 3 2( ) 3 16 18 1 4f x x x x x    
Você pode ver, pelo gráfico que:
f(1) = 5 é um máximo local da f; 
f(-1) = 37 é o máximo absoluto da f ;
f(0) = 0 é um mínimo local da f ; 
f(3) = -27 é um mínimo tanto local como 
absoluto da f
Observe que f não tem máximo local nem máximo 
absoluto em x=4
x=-1, x=0, x=1, x=3 Extremos da função
37, 0, 5, -27 Valores extremos da 
função
Toda função apresenta extremo? 
Quando se pode garantir a existência de extremos?
Não, no exemplo 2, 3( )f x x
O teorema do valor extremo dá condições que 
nos garante a existência de extremos.
Teorema do Valor Extremo
Se f for contínua em um intervalo fechado [a,b], então f assume 
um valor máximo absoluto f( c) e um valor mínimo f(d) em certos 
números c e d em [a,b].
f atinge máximo 
absoluto em x=c e min. 
Absoluto em x=d
f atinge máximo 
absoluto em x=c e min. 
Absoluto em x=d=b
Observe que o valor 
extremo pode ser atingido 
mais de uma vez.
Esta função valor mínimo f(2)=0, 
mas nenhum valor máximo
Essa função contínua g não tem 
valor mínimo nem máximo.
Observe ainda que: 
-extremos locais não ocorrem nos extremos dos intervalos, os 
absolutos podem ocorrer.
-um valor extremo absoluto também é local, mas, o inverso não é 
verdadeiro.
Pelos gráficos podemos ver que: nos pontos extremos, a reta 
tangente à curva é horizontal, ou seja, 
α = 0 portanto mtg = 0 f’(c ) = 0 = f’(d) 
O teorema de Fermat nos garante que isto é sempre verdadeiro.
Teorema de Fermat :
Se f tiver um máximo ou um mínimo local em c e se 
f’( c ) existir então f’( c)=0
Mas cuidado a recíproca do teorema não é verdadeira em geral, 
isto é, 
f’(c) =0 não implica que c seja ponto extremo. 
Lembre do exemplo acima; f(x) = x3 , f’(x) = 3x2 , f’(0) = 0 mas f não 
tem máximo nem mínimo em zero.
Então pelo teorema encontramos “candidatos” a extremos e esses 
candidatos recebem o nome de número crítico.
Definição: Um número crítico de uma função f é aquele nº c 
pertencente ao domínio da função onde 
) '( ) 0
) '( ) não existe
i f c
ii f c

Exemplo:
1) Encontre os números críticos de 
3 2( ) 3 ,f x x x x
2) Encontre os números críticos de , no 
intervalo [-2 ; 1/2] 
3 2( ) 1f x x x x   
Como encontrar os pontos de máximo e mínimo?
Método do intervalo fechado
Teste da Derivada Primeira
Teste da Derivada Segunda
Método do Intervalo fechado
Como encontrar os valores máximos e mínimos de uma 
função em um intervalo [a,b]
1)Encontre os valores de f nos pontos críticos de f em (a,b);
2)Calcule f nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo;
O maior valor entre as etapas (1) e (2) é o valor máximo absoluto, 
e o menor o valor é o mínimo.
Exemplo: 
Encontre o valor máximo e mínimo absolutos da 
função 3 2 1( ) 3 1 , - 4
2
f x x x x    
        






x
y
Exercícios: 
1) Seja a função . Determinar os pontos críticos 
de f. 
2)Calcular os pontos críticos da função . 
3)Calcular os pontos críticos da função no 
intervalo [-2, 1/2] .
3 2( ) 3 ,f x x x x
2/3( ) ( 1)f x x 
3 2( ) 1f x x x x   
Teste da Primeira Derivada
Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a,b] que
possui derivada em todo ponto do intervalo aberto (a,b), exceto
possivelmente num ponto c.
) Se '( ) 0 para todo e '( ) 0 para todo tem máximo relativo
ii) Se '( ) 0 para todo e '( ) 0 para todo tem mínimo relativo
i f x x c f x x c f
f x x c f x x c f
    
    
Teste da Segunda Derivada
Suponha que f” seja contínua na proximidade de c:
i) Se então f tem um mínimo local em c.
ii) Se então f tem um máximo local em c.
'( ) 0 e "( ) 0f c f c 
Exemplo: Consideremos a função encontre o
ponto de máximo e mínimo usando o teste da segunda derivada:
4 3 24( ) 4
3
f x x x x  
'( ) 0 e "( ) 0f c f c 
Como estudar a concavidade?
Teste da Concavidade
Ponto de Inflexão
Teste da Concavidade
A segunda derivada nos ajuda a determinar os intervalos de
concavidade.
i) Se o gráfico de f é côncavo para cima.
ii) Se o gráfico de f é côncavo para baixo.
''( ) 0 f x x I   
''( ) 0 f x x I   
Exemplo:
Consideremos a função estudemos seu
comportamentono que diz respeito à concavidade
3 2( ) 6 4 10,f x x x x   
Ponto de inflexão
Um ponto P na curva é chamado Ponto de Inflexão
se f é contínua no ponto e a curva mudar de côncava para cima
para côncava para baixo e vice-versa em P.
(Será onde a 2ª derivada é zero)
Se f ’’(x) > 0para todo x em (a, b), então a função primeira derivada f ’(x) é 
crescente em (a, b) e a concavidade do seu gráfico é voltada para cima, 
conforme mostra a figura abaixo:
Analogamente, se f ’’(x) < 0 para todo x em (a, b), então a 
função primeira derivada f ’(x) é decrescente em (a, b) e a 
concavidade do seu gráfico é voltada para baixo: 
Exemplo: Consideremos a função encontre o ponto de
inflexão:
2( ) 4 5
'( ) 2 4
''( ) 2 "( ) 0
f x x x
f x x
f x f x x
  
 
    Neste caso, a concavidade é sempre para cima e não 
há ponto de inflexão.
Em vista do teste da Concavidade, há ponto de inflexão sempre 
que a 2ª derivada trocar de sinal
2( ) 4 5,f x x x  
Como as derivadas afetam a forma de um gráfico: