Lajes Aeca

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
ESCOLA POLITÉCNICA 
DEPARTAMENTO DE MECÂNICA APLICADA E ESTRUTURAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCRETO ARMADO I 
 
 
 
 
 
 
 
 Prof. Sergio Hampshire de Carvalho Santos 
 
 
 sergiohampshire@poli.ufrj.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 - 2009 - 
 2 
 SUMÁRIO PÁGINA 
 
1. INTRODUÇÃO ÀS ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 3 
 - Estrutura de um edifício de concreto armado. Plantas de arquitetura. Plantas de 
formas. 
2. FUNDAMENTOS DO CONCRETO ARMADO 5 
 - Histórico. Composição do concreto armado. Vantagens e desvantagens do material. 
Comportamento das estruturas de concreto armado. 
3. CARACTERÍSTICAS DO ESTADO LIMITE ÚLTIMO 8 
 - Estados limites. Coeficientes de ponderação. 
 - Diagramas tensão-deformação. Características dos aços e do concreto. Hipóteses 
 básicas no dimensionamento à flexão simples no estado limite último. 
4. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES 14 
 - Domínios de deformação na flexão simples. Dimensionamento à flexão simples. 
 - Tabelas de dimensionamento. Bitolas comerciais. 
 - Exemplos numéricos. 
5. ESFORÇOS ATUANTES NAS LAJES 22 
 - Cargas atuantes nas lajes. Normas de cargas em edifícios. 
 - Tipos de lajes: simples, contínuas e em balanço. Lajes armadas em uma direção. 
 - Cálculo dos momentos fletores nas lajes armadas em duas direções. 
 - Cálculo das reações de apoio nas lajes. O método das charneiras plásticas. 
6. DETALHAMENTO DAS LAJES 37 
 - Definição das espessuras das lajes. Flechas admissíveis. 
 - Detalhamento das armaduras de lajes. Recomendações de norma. Espaçamento das 
armaduras. Armadura mínima. Conceito de aderência. 
7. EXEMPLO NUMÉRICO COMPLETO 42 
 - Projeto completo de um painel de lajes de um edifício. 
 
 
 3 
1. INTRODUÇÃO ÀS ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 
 
1.1 Estrutura de um edifício de concreto armado. Plantas de arquitetura. Plantas de 
 formas. 
 
 Em uma obra civil, a estrutura é a parte da construção responsável por que esta possa resistir a 
todas as solicitações e esforços que poderão vir a ocorrer durante a sua vida útil. A estrutura deverá 
manter a segurança e a funcionalidade exigidas pelas normas de projeto e pela boa prática da 
Engenharia Civil. A Engenharia Estrutural está presente na maior parte das obras de construção civil: 
• na área de Energia, em usinas hidroelétricas, termoelétricas e nucleoelétricas; 
• na área de Transportes, em pontes e viadutos, túneis, portos e metrôs; 
• na área Industrial, em plantas industriais, petroquímicas e de mineração; 
• nas plataformas e outras estruturas ligadas à extração de petróleo "off-shore"; 
• e na área de edificações residenciais e comerciais. 
 Na construção das estruturas, dependendo das características específicas de cada obra, podem 
ser utilizados diversos materiais, como o aço estrutural, a madeira, a alvenaria, o concreto armado e o 
concreto protendido. Dentre estes, por uma série de vantagens que possui, o mais utilizado é, 
certamente, o concreto armado. Considera-se que a melhor forma de se iniciar o aprendizado da prática 
da Engenharia Estrutural é através do estudo dos projetos estruturais mais simples, que são os dos 
edifícios e residências em concreto armado. 
 Para a elaboração do projeto estrutural de um edifício ou residência, devem ser fornecidos, 
como dados de entrada para o engenheiro de estruturas, os desenhos do projeto de arquitetura e os 
boletins de sondagem do solo. A primeira fase do projeto estrutural consiste no lançamento das formas 
pelo calculista. Esta é a fase mais importante do projeto, a que exige maior talento, visão espacial e 
experiência por parte do engenheiro, sendo as etapas subseqüentes realizadas de acordo com 
metodologias mais ou menos mecânicas. Nesta fase, são tomadas as decisões qualitativas que irão ter 
impacto significativo na economia da construção. São definidos, juntamente com o arquiteto e o 
proprietário da obra, materiais de construção, alturas de vigas, pés direitos, posicionamento de colunas, 
tipo de fundação, necessidade de pilares de transição, sistemas de contraventamento, tipo de lajes a 
usar (convencional, cogumelo, nervurada, etc.), dimensões de pilares para embutimento nas alvenarias, 
etc. A principal dificuldade enfrentada no lançamento das estruturas, é a da continuidade dos pilares ao 
longo da altura do prédio, já que normalmente há alteração no posicionamento das paredes, de um 
pavimento para o outro. É freqüente a necessidade de vigas de transição, dos pavimentos-tipo para os 
pilotis e destes para os pavimentos de subsolo, vigas estas que o calculista deve reduzir a um mínimo, 
para otimizar o custo da estrutura. 
 Durante o lançamento das estruturas, é definido o posicionamento dos pilares que suportarão as 
vigas de cada pavimento, assim como o posicionamento de vigas principais e secundárias, o que 
definirá o esquema estrutural e os vãos das lajes dos pisos. Na definição da estrutura, a partir dos 
desenhos de arquitetura, deve-se atentar para os descontos que devem ser dados nas superfícies 
acabadas (revestidas) das paredes, para chegarmos às dimensões estruturais ("no osso") de vigas e 
pilares; estes descontos são da ordem de 2,5 cm de revestimento (a confirmar com os arquitetos), em 
cada face das paredes. O mesmo cuidado deve ser tomado na definição dos níveis estruturais das lajes. 
Esta fase é crucial para a economia, muito condicionada pelo lançamento judicioso da estrutura, que 
deve ser equilibrada em termos de vãos de lajes e vigas. 
 A segunda fase do projeto consiste no levantamento das cargas nos pilares do edifício, já que 
normalmente há urgência para a definição das fundações. Para este levantamento, é necessário um pré-
dimensionamento rápido da estrutura, ou seja, uma avaliação das espessuras das lajes e das dimensões 
de vigas e colunas. Novamente, o bom senso e a experiência anterior do calculista desempenham um 
papel fundamental, já que nesta fase não há tempo para cálculos exatos, e as dimensões dos elementos 
devem ser avaliadas, em função dos vãos e dos carregamentos atuantes, com o mínimo de erro, para 
reduzir futuros refazimentos em fases posteriores do projeto. Definidas estas dimensões, passa-se ao 
 4 
cálculo das cargas atuantes em cada uma das lajes, considerando o peso próprio, revestimento, cargas 
variáveis (acidentais), peso das alvenarias, etc. 
 Conhecidas as cargas nas lajes, passa-se ao cálculo de reações das lajes nas vigas. A partir 
destas reações das lajes, podemos determinar a carga em cada vão das vigas, através da soma com seu 
peso próprio e das alvenarias sobre elas diretamente apoiadas. 
 Conhecidas as cargas nos vários vãos das vigas, passamos à sua análise, considerando-as como 
vigas contínuas e observando os requisitos da norma, por exemplo, quanto a engastamento em pilares 
extremos e pilares internos largos, etc. Neste momento, é importante conferirmos a adequação das 
dimensões adotadas para as vigas, depois de conhecidos os esforços nos elementos mais solicitados. 
Após isso, são determinadas as reações das vigas nas colunas. Totalizando as reações das vigas, piso a 
piso da estrutura, e adicionando-se os pesos próprios das colunas, chegamos às cargas totais aplicadas 
pelas colunas às fundações. 
 A escolha do tipo de fundações a ser empregado em uma dada estrutura, é condicionada por 
diversos fatores: características dos materiais do subsolo; número de pavimentos; número e 
espaçamento dos pilares em planta e cargas nos pilares; facilidade (ou dificuldade) e preço de alocação 
de equipamentos para implementar determinadasolução de fundações, entre outros. As soluções em 
fundações diretas são naturalmente as primeiras a serem cogitadas, pois normalmente conduzem a um 
menor custo. Cargas elevadas, terrenos com pouca capacidade de carga, presença de pavimentos em 
subsolo, nível d'água elevado e outros complicadores, podem inviabilizar uma solução em fundações 
diretas, mesmo em "radier" (laje de fundação contínua em toda a área do prédio). Nestes casos, estuda-
se, dentro das diversas opções em termos de fundações profundas, a que conduzirá à solução mais 
adequada, mais econômica e de execução mais rápida para cada caso em questão. 
 Concluído o projeto das fundações, passa-se ao dimensionamento final de cada pavimento, 
definindo-se as dimensões finais de cada elemento estrutural, e calculando e detalhando as armaduras 
destes diversos elementos: pilares, vigas, lajes, escadas, etc. 
 O produto final do projeto estrutural, a ser entregue aos clientes, são os desenhos executivos de 
formas e de armaduras e, de acordo com as exigências de cada contrato, memoriais de cálculo, 
especificações construtivas e de materiais, etc. 
 
 5 
2. FUNDAMENTOS DO CONCRETO ARMADO 
 
2.1 Histórico 
 
 Cerca de 4000 A.C., povos nômades coletores e caçadores começaram a se fixar, tornando-se 
sedentários e agricultores (na Mesopotâmia e no Egito); isso exigiu a construção de moradias. Com a 
geração de excedentes e a centralização política, surgiu uma elite política e religiosa, levando à 
construção de obras públicas de irrigação, obras funerárias, palácios e templos. Os materiais de 
construção utilizados foram a madeira e a pedra; algumas obras de pedra resistiram aos séculos. 
 Dentre algumas obras notáveis da antiguidade, podem ser citados os canais de irrigação e 
pirâmides egípcias e os templos gregos e romanos. Um material de construção similar ao concreto 
armado moderno, na forma de uma argamassa de cal e pozolana, foi utilizado pelos romanos. Estradas 
e pontes foram essenciais para o desenvolvimento do Império Romano (a partir de 100 D.C.), 
podendo-se citar como obras notáveis, ainda existentes: Ponte du Gard (25 m de vão), Ponte de 
Alcântara (30 m de vão), Panteon (43 m de vão) e Muro de Adriano (120 km de extensão). Entre a 
época romana e o Séc. XIX, como obras notáveis de engenharia, podem ser citadas as catedrais góticas. 
 A partir do Séc. XIX, com a utilização do concreto e das ligas metálicas (como o ferro fundido 
e o aço), começa a fase moderna das grandes construções. O concreto armado foi viabilizado pelo 
desenvolvimento do cimento Portland, a partir de 1824, por Aspdin, na Inglaterra e pela idéia da 
colocação de barras de aço na parte tracionada de peças feitas de argamassa de cimento. Os primeiros 
resultados práticos da nova tecnologia e as primeiras patentes foram obtidos, a partir de 1849 por 
Lambot (com um pequeno barco, e depois com pilares e vigas) e por Monier (com vasos de flores). 
Monier chegou ao concreto armado como hoje o conhecemos, com a obtenção, a partir de 1867, de 
sucessivas patentes para a construção, com êxito, de tubos, tanques, lajes, escadas, canais e pontes, 
apesar de fazê-lo de forma totalmente empírica, sem nenhuma base teórica. 
 Foi a partir da compra das patentes de Monier pelas firmas que hoje constituem a "Wayss & 
Freytag", que o concreto pode se desenvolver com base cientificamente consistente, pela publicação, 
em 1902 das teorias de Emil Mörch e de Ritter. As idéias de Mörch, com seus modelos extremamente 
simples de bielas e tirantes, constituem até hoje a base da idealização do comportamento do concreto 
armado à flexão e ao cisalhamento. O concreto protendido foi criado por Freyssinet, que o patenteou 
em 1928. 
 Foram expressivas as contribuições da engenharia brasileira no desenvolvimento do concreto 
armado e protendido. O primeiro arranha-céu do mundo, em concreto armado, foi o edifício do jornal 
"A Noite", ainda existente na Praça Mauá, no Rio, projetado por Emílio Baumgart. A primeira ponte 
do mundo em balanços sucessivos, projetada por Paulo Fragoso, foi construída sobre o Rio Peixe, 
sendo por muito tempo o maior vão do mundo (68 m) em concreto armado. Estruturas como as de 
Brasília, são também internacionalmente conhecidas pela sua beleza plástica e arrojo. Inúmeros outros 
exemplos de obras notáveis construídas no Brasil, como a Ponte Rio-Niterói, projetada por B. Ernani 
Diaz, podem ser também citados. 
 O concreto armado é material de construção de estruturas mais utilizado hoje, no mundo. São 
produzidos alguns bilhões de metros cúbicos deste material, anualmente (aproximadamente 1m3, per 
capita, por ano). O concreto é, certamente, um dos fundamentos do desenvolvimento da civilização 
moderna. 
 
2.2 Composição do concreto armado. 
 
 O concreto é um aglomerado constituído de agregados e do cimento, atuando como aglutinante, 
formando uma rocha artificial. O cimento utilizado na fabricação do concreto é o que endurece na 
presença da água - o cimento hidráulico, usualmente o cimento Portland. Este cimento pode ser 
fornecido com algumas características especiais requeridas em uma determinada obra, como baixo 
calor de hidratação e alta resistência a sulfatos. 
 6 
A fabricação do concreto consiste na mistura, em proporções adequadas dos agregados (brita e 
areia), com cimento e água. À mistura são adicionados, se julgado conveniente ou adequado, aditivos, 
que influenciam nas características físicas e químicas do concreto. Os aditivos podem ter 
características, entre outras, de aceleradores do endurecimento do concreto ou de aumentar a 
resistência, a trabalhabilidade, a impermeabilidade e a durabilidade do concreto. 
 
“Cimento + água (hidratação) = pasta de cimento + areia = argamassa de cimento e areia + 
brita (+ aditivos, eventualmente) = concreto simples + armadura = concreto armado” 
 
A dosagem (que inclui a definição do traço do concreto e do fator água-cimento) deve ser 
definida para a construção, considerando-se os fatores: resistência mecânica mínima a ser atingida, 
trabalhabilidade (expressa pela consistência da mistura) e durabilidade (correspondente aos requisitos 
mínimos de impermeabilidade do concreto, prevenção quanto à retração exagerada e resistência ao 
desgaste, agentes agressivos e ação da umidade e temperatura). 
A resistência do concreto aumenta com o consumo de cimento, numa faixa usual de utilização 
entre 250 a 450 kg/m3. A resistência do concreto decresce com o fator água-cimento, que é a relação, 
em peso, da água para o cimento, utilizada em um determinado concreto. Este fator varia, tipicamente, 
entre 45% a 70%. Uma menor relação água-cimento é também benéfica do ponto de vista da 
durabilidade das estruturas, reduzindo, no entanto a trabalhabilidade do concreto novo. O concreto 
começa a endurecer em poucas horas e pode ser moldado no local ou ser pré-fabricado. 
O concreto novo deve ser curado, ou seja, protegido contra a desidratação, variações bruscas de 
temperatura e a ação de agentes nocivos. A umidade presente durante a concretagem deve ser mantida, 
pelo menos durante os primeiros sete dias. 
Uma nova tecnologia vem sendo desenvolvida, a do concreto de alto desempenho, e empregada 
em estruturas especiais, como pontes e edifícios muito altos. Esta tecnologia consiste na obtenção de 
um aumento radical na resistência mecânica do concreto, mantendo sua trabalhabilidade, pela 
incorporação na mistura de aditivos como micro-sílica, super-plastificantes e super-fluidificantes, pela 
redução do fator água-cimento e aumento do consumo de cimento no concreto. Concretos executados 
sem mico-sílica podem ter resistência à compressão de até fck = 50MPa; com a utilização da mico-sílica 
a resistência pode superar 100MPa. Outra tecnologia em desenvolvimento, é a dos materiais 
compósitos, que partem de uma matriz de concreto, com a adição de fibras (de aço, de carbono,poliméricas, vegetais, etc.), para a obtenção de outros materiais de características mecânicas mais 
adequadas para o uso na construção. 
 
2.3 Vantagens e desvantagens do material 
 
 Vantagens: 
• o concreto armado é usualmente mais econômico que outros materiais. 
• são empregados materiais que estão, geralmente, disponíveis nos locais das construções. 
• a tecnologia da produção do concreto é simples e sua execução é fácil. 
• o concreto se adapta a qualquer tipo de forma. 
• depois de produzido, o concreto permanece em estado plástico o tempo suficiente para ser 
transportado e colocado nas formas. 
• é facilmente obtida uma estrutura monolítica, hiperestática, com reservas de segurança. 
• é boa a resistência a efeitos térmicos, atmosféricos, ao desgaste mecânico e choques. 
• a manutenção e conservação são praticamente nulas, associadas a uma grande durabilidade. 
 
 Desvantagens: 
• peso próprio relativamente alto. 
• dificuldade para reformas e demolições. 
• grande consumo de formas e escoramentos; 
 7 
• possibilidade de fissuração inicial alta, devido à baixa resistência à tração, o que pode comprometer 
a durabilidade. 
 
2.4 Comportamento das estruturas de concreto armado 
 
 Por concreto armado se entende o material resultante da combinação do concreto com as barras 
de aço nele imersas. A finalidade das barras de aço é absorver as tensões de tração que surgem nas 
peças, quando submetidas a esforços de flexão, de cisalhamento, de torção e de tração. Assim, deve ser 
disposta armadura nas regiões tracionadas das peças. A alta resistência à compressão do concreto é 
aproveitada nas zonas comprimidas das peças fletidas e nas peças predominantemente comprimidas. 
Nessas peças comprimidas, como as colunas, as armaduras aumentam a resistência à compressão dada 
pelo concreto. Devido ao fenômeno da aderência, as deformações do aço e do concreto que o envolve 
são praticamente iguais, após a aplicação das cargas. Nos níveis de deformação que a armadura 
tracionada deve atingir, para que as suas tensões de trabalho na tração sejam desenvolvidas, o concreto 
tem a sua resistência à tração superada, dando início ao processo de fissuração. 
 A viabilidade do material concreto armado é assegurada por uma série de características do 
trabalho conjunto dos dois materiais: 
• aderência entre aço e concreto, verificada experimentalmente, que garante a igualdade de 
deformações entre os dois materiais quando submetidos a ações externas, e a transmissão de 
esforços de um material para o outro. O concreto, mesmo fissurado, ao se deformar arrasta consigo 
as barras de armadura, permitindo que estas absorvam as forças de tração. 
• praticamente igualdade entre os módulos de deformação térmica do concreto e do aço, em torno de 
α = 10-5 /0C. Assim, durante as variações térmicas, surgem tensões muito pequenas entre o concreto 
e o aço. Além disso, o concreto fornece boa proteção térmica para as armaduras, podendo, através 
de uma definição adequada dos cobrimentos, garantir a resistência da estrutura, mesmo em situações 
extremas, como incêndios. 
• o concreto pode garantir boa proteção quanto à corrosão das armaduras, seja por proteção física, 
condicionada à sua impermeabilidade, que é função da obtenção de um concreto compacto, 
adequadamente vibrado e dosado e da presença de um cobrimento adequado, seja por proteção 
química, pela presença das substâncias que se formam durante a pega. Estas substâncias formam 
uma camada quimicamente inibidora em torno da armadura, desde que seja garantida uma presença 
mínima de elementos nocivos, como cloretos na água de amassamento do concreto, constituindo 
assim um meio alcalino com pH em torno de 12 a 13,5. 
 A deformação lenta ou fluência é o fenômeno segundo o qual uma peça de concreto submetida 
a uma tensão constante, tem deformações crescentes ao longo do tempo. Este fenômeno se explica, 
entre outras causas, pela redução de volume decorrente da aplicação das cargas, conduzindo a um 
deslocamento da água quimicamente inerte para as regiões de onde ela já tenha sido expulsa. 
 O fenômeno da retração ocorre independentemente do carregamento, correspondendo ao 
encurtamento do concreto pela perda da água do concreto não quimicamente associada ao mesmo, nas 
suas regiões de contato com o ar. Este fenômeno decorre da expulsão da água da periferia antes das 
regiões mais centrais, gerando restrições ao encurtamento da periferia, e conseqüentemente, tensões de 
tração e fissuração. 
 
 
 8 
3 CARACTERÍSTICAS DO ESTADO LIMITE ÚLTIMO 
 
3.1 Estados limites 
 
 Na verificação da segurança das estruturas de concreto, devem ser atendidas as condições 
construtivas e as condições analíticas de segurança (item 12.5, pg.65 da NBR 6118). 
Do ponto de vista das condições analíticas, define-se que as resistências disponíveis não podem 
ser menores que as solicitações atuantes, com relação a todos os estados limites e a todos os 
carregamentos (os de Norma e os específicos para a construção considerada). Simbolicamente, Rd ≥ Sd. 
Define-se que uma estrutura ou parte dela atinge um estado limite quando, de modo efetivo ou 
convencional, se torna inutilizável, ou deixa de satisfazer às condições previstas para a sua utilização. 
Segundo a NBR 6118, em seus itens 3.2 (pg. 4) e 10.2 (pg. 50), devem ser considerados no projeto 
estados limites últimos (ELU) e de serviço (ELS). Simbolicamente, Rd = Sd , em um estado limite. 
 Os estados limites últimos estão relacionados ao colapso, ou a outra forma de ruína estrutural 
que determine a paralisação do uso das estruturas. O esgotamento da capacidade resistente da estrutura, 
no seu todo ou em parte, devido a solicitações normais e/ou tangenciais é uma das situações previstas 
no estado limite último. Outro exemplo é a perda de equilíbrio, como corpo rígido, de uma estrutura. 
Pretende-se que, no dimensionamento nas situações de flexão, a ruptura por ação do momento 
fletor ocorra antes de rupturas do tipo frágil, como por cisalhamento ou deficiência de ancoragem. Na 
própria ruptura à flexão simples, pretende-se que a situação de deformação plástica excessiva da 
armadura ocorra antes da ruptura na região comprimida do concreto 
Os estados limites de utilização (de serviço) abaixo devem ser atendidos nas estruturas de 
concreto armado. Outros estados limites não citados se aplicarão somente ao concreto protendido. 
• Estado limite de formação de fissuras (ELS-F): situação em que se inicia a formação de fissuras 
(verificado somente no caso de algumas estruturas particularmente sensíveis à fissuração, como 
alguns tanques contendo material perigoso). 
• Estado limite de abertura de fissuras (ELS-W): situação em que as fissuras atingem valores de 
abertura considerados como já prejudiciais ao uso ou à durabilidade das peças. 
• Estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF): situação em que as deformações ultrapassam 
os limites aceitáveis para a utilização normal da estrutura. 
• Estado limite de vibrações excessivas (ELS-VE): situação em que as vibrações atingem os limites 
estabelecidos para a utilização normal da construção. 
 
3.2 Coeficientes de ponderação 
 
A NBR 6118, em seus itens 11.6.1 (pg. 57) e 12.2 (pg. 63), define os valores característicos para as 
grandezas envolvidas nas verificações dos estados limites (respectivamente, as ações e as resistências). 
 
• Valores característicos para as resistências 
 
Os valores característicos fk a serem considerados para as resistências de um material, são definidos 
como os valores que têm uma probabilidade de apenas 5% de não serem atingidos pelos elementos de 
um determinado lote do material. Admite-se uma distribuição normal para estas resistências: 
 
 fck = fcm - 1,65 sc 
 fk = fm - 1,65 sfyk = fym - 1,65 sy 
 
 
1n
)ff(
s
n
1i
2
mi
−
−
=
∑
=
 
 9 
Isto corresponde ao quantil de 5% da distribuição normal. Nesta expressão, fk é a resistência 
característica, 
 
fm é a resistência média e s é o desvio padrão. 
A resistência característica do concreto à compressão é determinada a partir dos resultados de 
ensaios em corpos de prova cilíndricos, de 15 cm de diâmetro e 30 cm de altura, moldados de acordo 
com a NBR 5738, com a idade de 28 dias, com procedimento estatístico de acordo com a NBR 5739. 
A NBR 6118, em seu item 8.2.1 (pg. 22), define classes de resistência em MPa para o concreto. 
Para superestruturas de concreto armado, o concreto deve ser no mínimo de classe C20 ( fck = 20 MPa). 
Para estruturas de fundações e em obras provisórias, o concreto pode ser de classe C15 ( fck = 15 MPa). 
A Norma é aplicável para concretos de classe até C50. 
 A resistência do concreto à tração indireta fct,sp é determinada de acordo com a NBR 7222 
(ensaio de compressão transversal de Lobo Carneiro). A resistência à tração direta fct,m pode ser 
tomada como igual a 0,9 fct,sp. Na ausência de ensaios, seus valores médio e característicos (inferior e 
superior) podem ser estimados em função da resistência à compressão
 
fck como: 
 
fct,m = 0,3 fck 2/3 fctk,inf = 0,7 fct,m fctk,sup = 1,3 fct,m (MPa) 
 
Exemplo: 
ftk = 20 MPa, fct,m = 0,3.202/3 = 2,21 MPa, fctk,inf = 0,7. 2,21 = 1,55 MPa e fctk,sup = 1,3 . 2,21 =2,87 
MPa. 
 
(Obs: 1 tf = 10 kN; 1 MPa = 1000 kN/m2 = 100 tf /m2 = 10 kgf /cm2) 
 
A resistência característica do aço à tração, 
 
fyk (ou à compressão, fyck) é definida em função da 
tensão mínima de escoamento, real ou convencional, que é fixada como sendo a tensão correspondente 
à deformação específica permanente de 0,2%, determinada de acordo com a NBR 6152. 
 
• Valores de cálculo para as resistências 
 
 As resistências de cálculo são estabelecidas pela NBR 6118, no seu item 12.3 (pg. 63), a partir 
dos respectivos valores característicos definidos anteriormente e dos coeficientes de ponderação das 
resistências. Estes coeficientes levam em conta a variabilidade da resistência dos materiais envolvidos, 
as diferenças entre resistências medidas em corpos de provas e nas estruturas, desvios ocorridos na 
construção das estruturas e aproximações feitas no projeto, do ponto de vista das resistências. Para 
verificações estruturais realizadas com concreto de idade igual ou superior a 28 dias, as expressões 
abaixo se aplicam. Para idades inferiores a 28 dias, um coeficiente de redução na resistência do 
concreto se aplica, como definido no item 12.3.3 (pg. 64) da Norma. 
 
 fcd = fck /γc ftd = ftk / γ c fyd = fyk / γ s fycd = fyck / γ s 
 
 Os coeficientes de minoração (γc e γs ) são definidos na NBR 6118, item 12.4.1 (pg. 64): 
Concreto: γc = 1,4 , em condições normais. 
γc = 1,2 , em condições de construção. 
 
Estes coeficientes devem ser multiplicados por 1,1 em condições desfavoráveis, como más 
condições de transporte, adensamento manual, ou concretagem deficiente por concentração de 
armaduras. 
 
Aço: γs = 1,15 , em condições normais ou em condições de construção. 
 
Este coeficiente deve ser multiplicado por 1,1 em obras de pequena importância, em que seja 
empregado o aço CA-25 e sem a realização do controle de qualidade estabelecido na NBR 7480. 
 10 
 
 
 
• Valores característicos para as ações 
 
Os valores característicos a serem considerados para as ações Fk são definidos diretamente nas 
diversas Normas Brasileiras pertinentes, em função de uma probabilidade de estes valores serem 
ultrapassados durante a vida útil da construção. 
 
• Valores de cálculo para as ações e solicitações 
 
A NBR 6118, no seu item 11.7 (pg. 58), define valores de cálculo para as ações, por meio de 
coeficientes de majoração γf , que levam em conta: a variabilidade das ações, a simultaneidade da 
atuação das ações, desvios gerados na construção não explicitamente considerados no cálculo e as 
aproximações feitas no projeto do ponto de vista das solicitações.
 
 
Os valores de cálculo das ações (Fd) são genericamente, as ações características (Fk) vezes os 
coeficientes de majoração (γf): 
 Fd = γf Fk 
 
• Ponderação das ações nos estados limites últimos: 
 
Fd = 1,4 Fgk + 1,4 F qk + 1,2 Fεk. (condições normais, quando as ações são desfavoráveis) 
(ou 1,0
 
Fgk , 0,0 F qk , 0,0 Fεk.) (condições normais ou de construção, quando as ações são 
favoráveis) 
Fd = 1,3 Fgk + 1,2 F qk + 1,2 Fεk. (condições de construção, quando as ações são desfavoráveis) 
 
(Fqk pode ser ponderado com fatores de redução, conforme definido no item 11.7.1 (pg. 58) da 
NBR 6118, quando ocorrerem ações variáveis com possibilidade de atuação simultânea). 
. 
 
(Fgk - ação permanente característica, Fqk - ação variável característica, Fεk. - ação característica 
devida a deformações próprias e impostas: recalques de apoio, retração, temperatura, etc.)
 
 
• Ponderação das ações nos estados limites de serviço: 
Usualmente: 
 
Fd = Fgk + F qk + Fεk 
 
O que significa adotar, usualmente, nos estados limites de serviço γf =1,0. Outros coeficientes 
são definidos no item 11.7.2 (pg. 59) da NBR 6118, para combinações definidas pela Norma como 
freqüentes ou quase permanentes.
 
 
3.3 Diagramas tensão-deformação. Características dos aços e do concreto. 
 Os aços empregados nas barras das armaduras de concreto armado são ligas de ferro com 
carbono, sendo outros elementos (cromo, alumínio, níquel, cromo, silício, vanádio, nióbio, titânio, etc.) 
agregados para a melhoria de suas propriedades. Os aços para concreto armado são classificados pela 
NBR 7480, de acordo com o valor característico da sua resistência de escoamento, nas categorias CA-
25, CA-50 e CA-60. 
 O aço “comum” (aço CA-25, com fyk =25 kN/cm2), é fabricado por laminação a quente seguida 
de resfriamento ao ar livre, sem qualquer tratamento posterior. 
Os aços “especiais” (CA-50 e CA-60) podem ter seu acréscimo de resistência obtido por dois 
processos: 
 11 
- os aços com patamar de escoamento definido (“laminados a quente”, anteriormente 
denominados de aços tipo A), são fabricados pelo mesmo processo dos aços “comuns”, tendo sua 
resistência aumentada agregando-se elementos químicos adicionais para se obter ligas especiais. 
- os aços sem patamar de escoamento definido (anteriormente denominados de aços tipo B, 
“encruados a frio”), têm sua resistência aumentada por processos mecânicos, de encruamento por 
deformação a frio (por torção, tração, trefilação, etc.), após a laminação a quente. 
Os ensaios para a obtenção dos valores característicos da resistência do aço à tração, deverão 
ser feitos de acordo com a NBR 6152. 
Os aços encruados a frio podem perder sua resistência adicional quando aquecidos, por 
exemplo, em processo de soldagem não controlado. 
Para o cálculo nos estados limites últimos, considera-se o diagrama tensão-deformação 
genérico para o aço, definido pela NBR 6118, em seu item 8.3.6 (pg. 27). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 fyk 
εs 
σ s 
Ecs 
 fyd 
 
A aplicação dos critérios de dimensionamento que serão a seguir detalhados, leva ao diagrama 
tensão-deformação de projeto abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
T
R
A
Ç
À
O 
C
O
M
P 
R
E 
S 
S
Ã
O 
 fyd 
 f ycd 
3,50/00 ε ycd = ε yd 
 
σ s 
Es 
 ε
 yd 100/00 ε S 
 
Considera-se Es = 210 000 MPa = 21 000 kN/cm2 = 21 . 107 kN/m2.No caso, por exemplo, do aço CA-25: 
fyd = fycd = 25/1,15 = 21,74 kN/cm2 
εyd = fyd / Es = 21,74/21000 = 0,001035 = 1,035 0/00 
 
σ s 
σ s 
 12 
O diagrama tensão-deformação a ser usado nas análises no estado limite último, para o concreto 
à compressão, é definido abaixo, de acordo com a NBR 6118, item 8.2.10.1 (pg.24). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 fck 
20/00 3,50/00 
σc =0,85 fcd [1-(1-εc/0,002)2] 
 σc 
εc 
0,85 fcd 
 
Outras propriedades do concreto: 
 
• Estimativa para o módulo de deformação longitudinal tangente inicial (item 8.2.8, pg. 23, da 
Norma), que não pode ser avaliado na curva tensão-deformação: 
 
Eci = 5600 ckf (MPa). 
 
• Módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises estruturais elásticas, especialmente na 
determinação de esforços solicitantes e verificações dos estados limites em serviço: 
 
Ecs = 0,85 Eci 
 
• Coeficiente de Poisson = 0,2 (item 8.2.9 da Norma) 
• Coeficiente de dilatação térmica = 10-5 /0C (item 8.2.3 da Norma) 
 
3.4 Hipóteses básicas no dimensionamento à flexão simples no estado limite último. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d 
3,5 0/00 
 
20/00 
 
x 
 0,85 fcd 
y=0,8x 
 0,85 ou 0,8 fcd 
(Domínio 3) 
 εs 
 
 
O dimensionamento de uma peça composta de um material homogêneo, com comportamento 
suposto como elástico linear, pode ser efetuado pelo método das tensões admissíveis. Por exemplo, 
para uma viga de seção retangular (b x h), submetida à flexão simples (momento fletor igual a M), as 
tensões máximas de compressão e de tração são ambas iguais a σ = 6M/bh2, devendo esta tensão ser 
comparada com um valor de tensão admissível definido para este material. Para o dimensionamento do 
concreto armado, o problema é bem mais complexo, devendo ser considerados os diagramas não-
lineares tensão-deformação já definidos para o concreto e para o aço, e as hipóteses básicas a seguir 
enunciadas. 
 13 
As hipóteses para o dimensionamento à flexão, no estado limite último do concreto armado, 
segundo a NBR 6118, em seu item 17.2.2 (pg.107), são: 
• as seções transversais permanecem planas após a deformação. 
• a deformação das barras de aço é admitida como igual à deformação do concreto que o envolve. 
• a resistência à tração do concreto é desprezada. 
• a distribuição de tensões no concreto se faz com o diagrama parábola-retângulo, com a resistência 
do concreto igual a 0,85 fcd. Este diagrama pode ser simplificado para um diagrama retangular com 
profundidade igual a 0,8 x (sendo x igual à profundidade efetiva da linha neutra), e tensão igual a 
0,80 fcd ou 0,85 fcd, caso a largura da seção diminua ou não a partir da linha neutra em direção à 
borda mais comprimida. 
• a tensão nas armaduras é obtida dos diagramas tensão-deformação definidos no item 3.3. 
• atendendo conservadoramente ao item 14.6.4.3 da Norma (pg.81), considera-se, na flexão, os 
limites de x/d ≤ 0,50 (concretos com fck ≤ 35 MPa) ou de x/d ≤ 0,40 (concretos com fck > 35 MPa). 
• os estados limites últimos são caracterizados quando a distribuição de deformações na seção 
transversal atingir uma das configurações definidas nos diversos domínios de dimensionamento à 
compressão, tração e flexão simples ou composta, normal ou oblíqua, estabelecidos pela Norma (ver 
figura a seguir). 
 
 
Deformação plástica excessiva: 
reta a : tração uniforme. 
domínio 1 : tração não uniforme, sem compressão. 
domínio 2 : flexão simples ou composta, sem ruptura à compressão do concreto, aço a 100/00 
Ruptura: 
domínio 3 : flexão simples (seção sub-armada) ou composta, com ruptura à compressão do 
concreto, e com escoamento do aço. 
domínio 4 : flexão simples (seção super-armada) ou composta, com ruptura à compressão do 
concreto, e com aço tracionado sem escoamento. 
domínio 4a : flexão composta com armaduras comprimidas. 
domínio5 : compressão não uniforme, sem tração. 
reta b : compressão uniforme. 
 14 
4. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES 
 
4.1 Domínios de deformação na flexão simples. 
• Domínios de deformação. Descrição dos estádios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As 
 b σc = E c εc σc 0,85 fcd εc 
 
 
 
 
 h 
 
 
 
 
 
 
 
 σct = E c εci σs = E s εs σs = f yd εs 
 Estádio I Estádio II Estádio III 
 
 
 
M = 0 a Md 
F = 0 a Fd 
 Md Zd 
 
 Dd 
 
As figuras acima representam o desenvolvimento das tensões em uma viga retangular de 
concreto armado, submetida à flexão simples. Com a presença de um momento positivo, surgem 
tensões de tração (σct) na face inferior da seção e de compressão (σc) na face superior. Com o aumento 
progressivo do momento aplicado, vão se apresentando os chamados estádios de deformação do 
concreto armado. 
 O Estádio I corresponde à fase em que as tensões de tração no concreto são pequenas, inferiores 
às tensões de tração de ruptura. Atingido este limite, se configura o chamado estado limite de formação 
de fissuras. Observe-se que a linha neutra está um pouco abaixo do centro geométrico da seção, pela 
presença das armaduras, cujas áreas são "homogeneizadas", na relação entre os módulos de 
elasticidade do aço e do concreto. Podem assim ser utilizadas, no Estádio I, as fórmulas da Resistência 
dos Materiais. 
 O Estádio II corresponde à fase em que já não se considera mais a resistência à tração do 
concreto, mas as relações tensão-deformação neste material permanecem ainda lineares. O 
comportamento que é admitido para o concreto nesta fase é ainda elástico, ou seja, se retiradas as 
cargas, as peças retornam às suas situações iniciais. Observe-se que a linha neutra já subiu um pouco, 
pela desconsideração da resistência do concreto à tração. 
 O Estádio III corresponde à fase em que a resistência do concreto é explorada em sua 
totalidade, configurando-se o estado limite de ruptura. As relações tensão-deformação não são mais 
 15 
lineares (correspondendo agora ao diagrama parábola-retângulo), o que faz a linha neutra subir ainda 
um pouco mais. 
 A verificação do concreto no Estádio I é efetuada em casos muito especiais, em que não pode se 
admitir fissuração em hipótese nenhuma (o que pode ser exigido, por exemplo, no caso de alguns 
reservatórios de líquidos). O funcionamento no Estádio II é considerado nas verificações do concreto 
em serviço, como para os estados limites de abertura de fissuras, de limitação de deformações e de 
excesso de vibrações. Já o funcionamento no Estádio III é considerado nas verificações dos estados 
limites últimos, como para solicitações normais (flexão e forças normais) e tangenciais (forças de 
cisalhamento). 
 
4.2 Dimensionamento à flexão simples. 
 Serão considerados apenas os domínios 2 e 3 de deformação, no caso da flexão simples. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 εc 3,50/00Domínio 2: εc : 0 a 3,50/00 εs = 100/00 
 kx = 0,2593 Domínio 3: εc : 3,50/00 εs = 100/00 a εyd 
 Considerando-se as limitações: 
 x/d ≤ 0,50 ( fck ≤ 35 MPa) temos εs ≥ 3,50/00 
 2 x/d ≤ 0,40 ( fck > 35 MPa) temos εs ≥ 5,250/00 
 3 
100/00 εs εyd 
 
Notações para o dimensionamento de uma seção retangular de concreto à flexão simples, o que 
é o caso corrente no projeto de vigas e lajes, são definidas a seguir: 
b, h - largura e altura total da seção de concreto 
 d', d'' - distâncias dos centros de gravidade das armaduras de tração (As) e de compressão (A's), 
respectivamente, às faces do concreto mais próximas. 
 d = h - d' - altura útil da seção. 
c = d - d'' - distância entre centros de gravidade das armaduras de compressão e de tração. 
εc , εs , ε's - deformações específicas da seção, respectivamente aos níveis da fibra mais 
comprimida do concreto, da armadura de tração e da armadura de compressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 d'' 
 
 
 
 
 h d c 
 
 
 
 
 
 
 d’ 
 
 
 εc 
 
 
ε's 
 x 
 
 
 
 
 
 
 
 εs 
 
= 
 z 
 
 
 
 
 
 Zd1 
 
 0,85 fcd 
 Dd2 
 
 
 
 
c 
 MRd1 + MRd2 
 
 
 
 
 
 Zd2 
 
 b 
 A's 
 
 
 
 
 
 
 As 
 Dd1 0,8x 
MSd 
 
 Dd1 - força resultante das tensões de compressão no concreto. 
 Zd1 = Dd1 - primeira parte da força de tração na armadura inferior (parcela da armadura 
simples).
 
 
Dd2 - força de compressão na armadura superior. 
 16 
 Zd2 = Dd2 - segunda parte da força de tração na armadura inferior (parcela da armadura dupla). 
 Nos casos usuais, a norma admite considerar um diagrama retangular para a compressão no 
concreto, para uma profundidade igual a 0,8x. Conseqüentemente, z = d - 0,4 x. 
 
• Dimensionamento, no caso de armadura simples (A's = 0, As = As1) 
 
Dd1 = 0,85 fcd b 0,8 x 
Zd1 = Dd1 = As fyd 
Md = Zd1 . z 
 
 Temos MSd = MRd1. Como nos limitamos aos domínios 2 e 3 de deformação, definidos na NBR 
6118, devemos verificar se a profundidade da linha neutra (x) não ultrapassa um valor que leve a 
deformação específica da armadura de tração (εs) a um valor inferior ao de escoamento (εyd), 
correspondente ao tipo de aço utilizado (ver tabela a seguir). Esta situação corresponde ao limite dos 
domínios 3 e 4. Devem ser também verificados os limites definidos no item 3.4 para o parâmetro x/d. 
 
• Dimensionamento, no caso de armadura dupla (A's > 0, As = As1 + As2) 
 No caso de se adotar armadura de compressão, temos MSd = MRd1 + MRd2. O momento MRd1 é 
absorvido pela armadura simples e pela compressão no concreto, calculado como mostrado acima. O 
momento MRd2 é absorvido pela armadura dupla: 
 
Dd2 = A's fy'd 
Zd2 = Dd2 = As2 fyd 
 
 Calculam-se A's e As2 a partir de MRd2: 
 Acréscimo na armadura inferior: 
 
c.f
MA
yd
2Rd
2s = 
 Armadura superior: 
 
c.f
MA
d'y
2Rd
2s = f y’d - tensão no aço correspondente ao nível de deformação específica ε's 
 
 Aproximando ε's para 3,50/00 , temos as tensões f y'd = fyd = fyk / γ s abaixo, em kN/cm2: 
 
Aço CA-25 CA-50 CA-60 
f
 y 'd 21,7 43,5 52,2 
 
4.3 Tabelas de dimensionamento. 
 Os problemas básicos do dimensionamento são dois: 
1º problema: dados fck , fyk e M, obter b e dMIN (altura útil mínima); 
2º problema: dados fck , fyk , M, b e d, obter As (e A’s quando e d < dMIN). 
 
 Para o 2º problema do dimensionamento, definem-se as variáveis adimensionais abaixo, para 
utilização nas tabelas: 
 
sc
c
xk
ε+ε
ε
= (x = kx . d) 
 kz = (1 - 0,4 kx) (z = kz . d) 
 
 Md = Dd1 . z Md = 0,85 fcd b 0,8 x . z 
 17 
 
• Dimensionamento com o fator Kmd (B.E.Diaz, Tabelas de dimensionamento com bloco retangular 
de tensões, Rio de Janeiro, Escola Politécnica da UFRJ, 2002) 
A vantagem do dimensionamento com o fator Kmd é que, neste caso, as Tabelas de 
Dimensionamento independem da resistência fck do concreto. 
 
Md = 0,85 fcd b 0,8 kx d kz d 
 
Chamando Kmd = Md , temos que: Kmd = 0,85 . 0,8 . kx . kz 
 b d2 fcd 
Assim, calculando-se Kmd em função de M, b, d e fcd, pode-se determinar kx , kz , εc e εs . Os valores de 
Kmd, calculados de acordo com a segunda expressão acima, são apresentados nas Tabelas de 
Dimensionamento. 
Pode-se também avaliar os parâmetros kx e kz analiticamente, como mostrado a seguir: 
Kmd = 0,85 . 0,8 . kx . kz 
Kmd = 0,68 . kx . (1 – 0,4 . kx ) 
0,68 
 
. 0,4 kx 2 - 0,68 kx + Kmd = 0 
kx 2 – 2,5 kx + 3,6765 Kmd = 0 
xLIM
md
mdx k8,0
85,0
K.211
K.676,3563,125,1k ≤
−−
=−−= (= 0,50 para fck ≤ 35 MPa) 
Finalmente considera-se que kz = (1 - 0,4 kx) 
Para o cálculo da armadura, temos que: 
Md = Zd1 . z Md = As fyd . z 
Md = As fyk kz d 
 γs 
As = Md . 1,15 
 fyk . kz . d 
• Dimensionamento com o fator KII 
A vantagem do dimensionamento com o fator KII é que, neste caso, o número de operações 
numéricas envolvidas no dimensionamento é menor. 
Md = 0,85 fcd b 0,8 x . z 
 
M . γf = 0,85 fck . b 0,8 kx d . kz d 
 γc 
 M = 0,85 . 0,8 fck . kx . kz (considerou-se que γf = γc= 1,40) 
b d2 1,4 . 1,4 
Chamando 2d.b
MKII = , temos que 
4,1.4,1
k.k.f.8,0.85,0KII zxck= 
Assim, calculando-se KII em função de M, b e d, pode-se determinar kx , kz , εc e εs. Os valores 
de KII, calculados de acordo com a segunda expressão acima, são apresentados na Tabelas de 
Dimensionamento, para diferentes valores de fck. Para o cálculo da armadura, temos que: 
Md = As fyk kz d 
 γs 
M . γf = As fyk kz d 
 γs 
As d = 1,4 . 1,15 (considerou-se que γs = 1,15) 
 M fyk . kz 
 18 
 
Chamando α = 1,4 . 1,15 , temos que : As = α . M 
 fyk . kz d 
 Os valores de α são tabelados em função de kz, para cada um dos valores de fyk . Com o valor 
de α, calcula-se As a partir de M e d. 
1º problema do dimensionamento: Determinação da altura útil mínima (dMIN) de uma peça. para um 
determinado valor de momento atuante em serviço M. 
 É introduzida a variável kMIN, para determinação das alturas úteis mínimas. 
 Como: 
 M = 0,85 . 0,8 fck . kx . kz ; d2 = 1,4 . 1,4 . M ; d = dMIN → (kX . kZ)MAX → kx MAX e kz MIN 
b d2 1,4 . 1,4 0,85 . 0,8 . kx . kz fck . b 
b.f
M
.kd
ck
MINMIN = (d, b em m ; M em kN.m ; fck em kN/m2) 
MAXzx
MIN )k.k.(8,0.85,0
4,1.4,1k = 
Consideram-se as limitações definidas no item 3.4 para kx = x/d. Estas limitações são sempre 
mais desfavoráveis do que as limitações de εs ≥ εyd. Assim, os valores de kMIN são determinados 
somente como função de fck e independentemente do tipo de aço. 
Os valores de kMIN e os valores correspondentes para os demais parâmetros são dados na tabela 
abaixo. 
 
Concreto εc kx kz εs > εyd kMINKmd,MAX 
 fck ≤ 35 MPa 3,5 0,5 0,8 3,5 2,684 0,272 
 fck > 35 MPa 3,5 0,4 0,84 5,25 2,928 0,228 
 
4.4 Bitolas comerciais 
 As barras a serem utilizadas como armaduras em concreto armado são fornecidas em 
comprimentos de cerca de 11m, nos diâmetros, em milímetros, listados na tabela abaixo, conforme 
padronização da NBR 7480. É dada também na tabela, a área correspondente a cada bitola. A bitola de 
Φ = 22 mm não está sendo disponibilizada pelos principais fornecedores. 
 
 
 
Em lajes, a determinação do espaçamento das barras (esp, em cm), em função da área de aço 
total calculada (em cm2/m) e da área de 1 barra do diâmetro escolhido (em cm2) é facilitada pela 
expressão abaixo: 
 19 
esp = Área de 1 barra x 100 
 Área total calculada 
Recomenda-se a utilização de espaçamentos padronizados, como os definidos abaixo (em cm): 
Espaçamentos: cada 5, cada 7,5, cada 10, cada 12,5, cada 15, cada 17,5 e cada 20. 
 
4.5 Exemplos numéricos 
• Exemplo numérico 1 
Qual a altura mínima para uma viga para não haver necessidade de armadura de compressão, 
sendo esta submetida a um momento em serviço M= 450 kN.m, com largura de 0,20m, usando-se 
fck = 20 MPa e aço CA-50 e qual a armadura correspondente? 
 
 M = 450 kN.m; fck = 20000 kPa; kMIN = 2,684 (fck = 20 MPa) 
 
dMIN = kMIN M 
 fck b 
 
dMIN = 2,684 450 = 0,90 m 
 20000 . 0,20 
 
Md = As fyd . z As = M . γf (fyk em kN/cm2) 
 
 fyk /γs . dMIN . kz 
 
As = 450 x 1,4 = 20,1 cm2 (7 φ 20 mm)
 
 
 (50
 
/ 1,15)
 
. 0,90 . 0,8 
 
Alternativamente, usando a Tabela de Dimensionamento: 
 
 KII = M 
 b d2 
 
 KII = 450 = 52,7 , α= 0,0403 , As = α . M = 0,0403 . 450 = 20,1 cm2 
 0,2 0,902 d 0,90 
 
Situação de equilíbrio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dd1 = 0,85 . (20000 / 1,4) . 0,20 . 0,8 . 0,5 . 0,90 = 874 kN 
 
 Dd1 0,8 x = 0,8 . 0,50 . 0,90 = 0,36m 
 
 
 z = 0,8 . 0,90 = 0,72m (Dd1 = Md /z =1,4 . 450/ 0,72 = 875 kN) 
 
 
 Zd1= Dd1 As = Zd1 .1,15/ 50 = 20,1 cm2 
 
 20 
 
• Exemplo numérico 2 
 
Qual a armadura para uma laje, submetida a um momento de serviço M = 12 kN.m/m, com 
altura útil de 0,08 m, usando-se fck = 20 MPa e aço CA-60 ? 
 
 KII = M = 12 = 43,3 ; α= 0,0308 , As = α . M = 0,0308 . 12 = 4,6 cm2/m 
 
 b d2 1,00 0,082 d 0,08 (φ 8 mm c/10) 
 Situação de equilíbrio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A altura útil mínima da laje teria sido: 
 
dMIN = kMIN M = 2,684 12 = 0,066m (7cm) 
 fck b 20000.1,00 
 
• Exemplo numérico 3 
 
Qual a armadura para uma viga, submetida a um momento de serviço M = 500 kN.m, com 
altura total de 1,00m, valores de d’=d’’ iguais a 0,05 m e largura de 0,15 m, usando-se fck = 22 MPa e 
aço CA-50? 
Kmd = Md = 1,4 . 500 = 0,329 > 0,272 
 b d2 fcd 0,15 . 0,952 . 22000/ 1,4 
Dd2 = A's fy'd 
Zd2 = Dd2 = As2 fyd 
 
 Parcela de armadura correspondente à armadura simples: 
 
 1,4 . M1 = 0,272; M1 = 413 kN.m; α= 0,0403; As1= α . M = 0,0403 . 413 = 17,5 cm2 
 0,15 0,952 22000/1,4 d 0,95 
 
Parcela de armadura correspondente à armadura dupla: 
 
Acréscimo na armadura inferior: 
As2 = MRd2 = 1,4 . (500-413) = 3,1 cm2; Área de aço total, As = 17,5 + 3,1 = 20,6 cm2 (7 φ 20 mm) 
 f
 yd . c 43,5 . 0,90 
 
Armadura superior = Acréscimo na armadura inferior: 
A's = 3,1 cm2 (3 φ 12,5 mm)
 
 
 εc = 3,5%0 Dd1 = 0,85.(20000 /1,4). 1,00.1,00.0,8.0,315.0,08 = 245 kN/m 
 
 0,025m Dd1 0,8 x = 0,8.0,315.0,08 = 0,020m 
 
 
 0,08m 0,055m z = 0,875.0,08 = 0,070m (Dd1 = Md/z = 1,4.12/ 0,070=243kN/m) 
 
 
 εs = 7,8%0 Zd1= Dd1 As = Zd1 .1,15/ 60 = 4,7 cm2/m 
 
 21 
TABELAS DE DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO - ESTÁDIO III 
 
15MPa 20MPa 25MPa 30MPa CA-25 CA-50 CA-60
0,02 0,99 0,20 10,0 0,013 10,2 11,7 13,1 14,4 0,0649 0,0325 0,0270
0,04 0,98 0,42 10,0 0,027 14,3 16,5 18,5 20,2 0,0654 0,0327 0,0273
0,06 0,98 0,64 10,0 0,040 17,5 20,2 22,5 24,7 0,0660 0,0330 0,0275
0,08 0,97 0,87 10,0 0,053 20,1 23,2 25,9 28,4 0,0665 0,0333 0,0277
0,1 0,96 1,11 10,0 0,065 22,4 25,8 28,9 31,6 0,0671 0,0335 0,0280
0,12 0,95 1,36 10,0 0,078 24,4 28,2 31,5 34,5 0,0676 0,0338 0,0282
0,14 0,94 1,63 10,0 0,090 26,2 30,3 33,9 37,1 0,0682 0,0341 0,0284
0,16 0,94 1,90 10,0 0,102 27,9 32,2 36,0 39,5 0,0688 0,0344 0,0287
0,18 0,93 2,20 10,0 0,114 29,5 34,0 38,1 41,7 0,0694 0,0347 0,0289
0,2 0,92 2,50 10,0 0,125 30,9 35,7 39,9 43,8 0,0700 0,0350 0,0292
0,22 0,91 2,82 10,0 0,136 32,3 37,3 41,7 45,7 0,0706 0,0353 0,0294
0,24 0,90 3,16 10,0 0,148 33,6 38,8 43,4 47,5 0,0712 0,0356 0,0297
0,26 0,90 3,5 10,0 0,158 34,8 40,2 45,0 49,2 0,0719 0,0359 0,0299
0,28 0,89 3,5 9,00 0,169 36,0 41,5 46,4 50,9 0,0725 0,0363 0,0302
0,3 0,88 3,5 8,17 0,180 37,1 42,8 47,9 52,4 0,0732 0,0366 0,0305
0,32 0,87 3,5 7,44 0,190 38,1 44,0 49,2 53,9 0,0739 0,0369 0,0308
0,34 0,86 3,5 6,79 0,200 39,1 45,1 50,5 55,3 0,0745 0,0373 0,0311
0,36 0,86 3,5 6,22 0,210 40,0 46,2 51,7 56,6 0,0752 0,0376 0,0313
0,38 0,85 3,5 5,71 0,219 41,0 47,3 52,9 57,9 0,0759 0,0380 0,0316
0,4 0,84 3,5 5,25 0,228 41,8 48,3 54,0 59,1 0,0767 0,0383 0,0319
0,42 0,83 3,5 4,83 0,238 42,6 49,2 55,1 60,3 0,0774 0,0387 0,0323
0,44 0,82 3,5 4,45 0,247 43,4 50,2 56,1 61,4 0,0782 0,0391 0,0326
0,46 0,82 3,5 4,11 0,255 44,2 51,0 57,1 62,5 0,0789 0,0395 0,0329
0,48 0,81 3,5 3,79 0,264 44,9 51,9 58,0 63,5 0,0797 0,0399 0,0332
0,5 0,80 3,5 3,50 0,272 45,6 52,7 58,9 64,5 0,0805 0,0403 0,0335
K II α 
Kx Kz εC εS Kmd
 
 
cd
2
d
md f.d.b
MK = (x/d ≤ 0,40 para fck > 35 MPa) 
2d.b
MKII =
 
 
d
M.AS
α
= 
 
(d, b em m ; M,
 
Md em kN.m ; fck , fcd em kN/m2 ; fyk em kN/cm2; As em cm2) 
 
Na aplicação do fator K II, está sendo considerado que γf = γc= 1,40 e γs = 1,15 
 22 
5. ESFORÇOS ATUANTES NAS LAJES 
 
5.1 Cargas atuantes nas lajes. Normas de cargas em edifícios. 
 
• Classificação das lajes 
 As lajes são elementos essenciais em uma estrutura, sendo as de concreto armado as mais 
utilizadas na construção civil. Chamamos de lajes aos elementos estruturais em que duas das 
dimensões predominam sobre uma terceira (espessura da laje), sendo os carregamentos predominantes 
aplicados em suas direções transversais. Encontramos as lajes em edificações residenciais, industriais e 
comerciais, pontes, reservatórios, etc. Nas construções convencionais, as lajes têm como função resistir 
às cargas verticais a elas diretamente aplicadas e transmiti-las aos elementos estruturais que as 
suportam (vigas, paredes e pilares). 
As lajes podem ser classificadas, com relação ao método construtivo, como maciças (em 
construção convencional, apoiadas em vigas), lajes cogumelo (lajes lisas, apoiadas diretamentesobre 
colunas) e lajes nervuradas (lajes apoiadas em uma única direção sobre vigotas ou nervuras, havendo 
ou não preenchimento com material inerte entre as nervuras). São também muito utilizadas, na 
construção, lajes pré-moldadas, compostas por nervuras pré-fabricadas de concreto armado, blocos 
cerâmicos entre as nervuras e uma camada de concreto de capeamento, aplicada “in loco” para 
solidarizar o conjunto. A vantagem deste tipo de laje é a rapidez da sua execução e a economia em 
formas e escoramento. 
 
• Carregamentos básicos aplicados nas lajes 
 As cargas atuantes nas lajes, em geral, são definidas pela NBR 6118, em seu item 11 (pg. 51). 
Deve ser considerada a influência das cargas permanentes e variáveis e de todas as ações que possam 
produzir esforços importantes, de acordo com as normas e das condições peculiares a cada obra. 
Simbolicamente, as cargas nas lajes são: p = g + q + ε (carga total = carga permanente + carga 
variável + carga devida a deformações próprias e impostas). Cargas excepcionais são também previstas 
pela NBR 6118, mas somente serão consideradas se exigências específicas de segurança forem 
definidas no projeto de uma determinada estrutura. 
Cargas durante as fases construtivas devem ser verificadas, inclusive os esforços decorrentes da 
montagem de peças pré-moldadas e os que apareçam durante a fase de retirada dos escoramentos. 
 
• Cargas em estruturas de edificações 
A NBR 6120 define as cargas para o cálculo de estruturas de edificações. Outras normas 
brasileiras de cargas podem ser citadas, como a NBR 6123 para as ações de vento e a NBR 15421 para 
a ação dos terremotos. No caso de obras industriais, deve ser considerado o peso dos equipamentos a 
serem instalados na edificação e as cargas variáveis que poderão ocorrer durante as diferentes fases de 
montagem, operação e manutenção da instalação. Na avaliação das cargas variáveis, estas devem ser 
consideradas as suas posições mais desfavoráveis. 
 A tabela 2.2.1.1 da NBR 6120, resumida a seguir, define o peso específico a ser tomado para 
diversos materiais de construção. 
 23 
 
 Para a avaliação da carga por metro quadrado devida a paredes de alvenaria, deve-se considerar 
a espessura do revestimento de argamassa de cal, cimento e areia. Por exemplo, para uma parede de 
tijolos furados, de 15 cm de espessura, considerando-se que um total de 5 cm correspondem ao 
revestimento, a carga total, por metro quadrado de parede, será de: 
 
 γa = 0,10 x 13 + 0,05 x 19 = 2,25 kN/m2 
 
Para paredes de alvenaria com posições não definidas nas lajes (por exemplo, divisórias com 
posições que podem ser posteriormente alteradas), deve ser tomado, na área da laje analisada, um terço 
do peso por metro linear da parede pronta, respeitando o mínimo de 1 kN/m2. 
 A norma NBR 6120, em sua tabela 2.2.1.2, reproduzida na página seguinte, define valores 
mínimos para cargas acidentais em compartimentos de edifícios. 
 O item 2.2.1.5 da Norma define que, ao longo dos parapeitos e balcões, devem ser consideradas 
aplicadas uma carga acidental horizontal de 0,8 kN/m e uma acidental vertical de 2 kN/m na altura do 
corrimão. 
• Avaliação das cargas nas lajes 
 As cargas aplicadas nas faces superiores das lajes podem ser espraiadas a 45° até o seu plano 
médio, como ilustrado abaixo. 
 
 As cargas devidas ao peso próprio das lajes são obtidas multiplicando-se as suas respectivas 
espessuras pelo peso específico do material: 
 
 gp = h . 25 (kN/m2) 
 
 As cargas devidas ao peso dos revestimentos podem ser tomadas iguais a: 
 
 gr = 0,6 kN/m2 (pisos de madeira) 
 gr = 0,7 kN/m2 (pisos cerâmicos) 
 
 As cargas devidas a enchimentos atuam no caso, por exemplo, de lajes com rebaixos. Rebaixos 
em banheiros, usuais no passado, foram modernamente substituídos por forros falsos em gesso. Cargas 
de enchimentos são obtidas multiplicando-se as suas respectivas espessuras pelo peso específico do 
material. Supondo o enchimento feito com entulho da obra, e considerando-se o seu peso específico 
igual ao de tijolos maciços: 
 24 
 
 gp = h . 18 (kN/m2) 
 
 As cargas das alvenarias nas lajes podem, em geral, ser consideradas como uniformemente 
distribuídas. A carga total da alvenaria é igual ao peso por metro quadrado da parede, vezes a sua altura 
e vezes o seu comprimento em planta, dividido pela área da laje (produto de seus vãos teóricos lx e ly). 
Obtém-se a carga distribuída final de alvenaria a ser considerada: 
 
 ga = γa .h . l (kN/m2) 
 lx . ly 
• Exemplo numérico de avaliação da carga total em uma laje 
 
Seja a laje abaixo, com espessura h=10cm, com revestimento cerâmico, com utilização prevista 
para dormitório. Paredes de tijolos furados de 15cm de espessura. 
 
 
γa = 2,25 kN/m2 
Sem descontar o vão da porta: 
ga = 2,25 x 2,90 x (5,00 + 4,00) / (5,00 x 6,00) = 1,96 kN/m2 
p = g + q = (25 x 0,10 + 0,7 + 1,96) + 1,5 = 5,16 + 1,5 = 6,66 kN/m2 
Descontando o vão da porta: 
ga = 2,25 x (2,90 x 9,00 - 0,9 x 2,1) / (5,00 x 6,00) = 1,82 kN/m2 
p = g + q = (25 x 0,10 + 0,7 + 1,82) + 1,5 = 5,02 + 1,5 = 6,52 kN/m2 
 25 
 
 26 
 
5.2 Tipos de lajes: simples, contínuas e em balanço. Lajes armadas em uma direção. 
 
• Classificação das lajes de acordo com seus apoios 
 
As lajes, quanto às condições de apoio, as lajes podem ser simplesmente apoiadas, engastadas, 
contínuas ou em balanço. A influência desfavorável de engastamentos elásticos deve ser considerada, 
se não puder se garantir as condições ideais de apoio simples ou de engastamento perfeito. 
 
 
 
 Laje simplesmente apoiada Laje contínua, apoiada sobre vigas, com um 
 sobre paredes de alvenaria balanço e com um engastamento à esquerda 
 
 As lajes continuamente apoiadas são classificadas como armadas em uma ou em duas direções, 
dependendo se a relação entre o maior e o menor vão da laje, for maior ou menor do que dois, 
respectivamente. A NBR 6118, no seu item 14.7.2.2 (pg.84), define as dimensões dos vãos teóricos 
como as distâncias entre os centros dos apoios, não sendo, no entanto, necessário considerar valores 
superiores ao vão livre acrescido, em cada apoio, do menor valor entre a largura do apoio vezes 0,5 e a 
espessura da laje no meio do vão vezes 0,3. 
 
• Lajes armadas em uma direção. Cálculo para cargas distribuídas 
 Quando a relação entre o vão maior e o vão menor em uma laje é superior a dois, pode-se 
considerar a laje como armada em uma só direção. Para estas lajes se considera que as curvaturas na 
direção do vão menor são preponderantes com relação às do vão maior, o que conduz a que somente os 
esforços internos na direção do vão menor sejam significativos. 
 As lajes contínuas armadas em uma direção podem ser calculadas como vigas contínuas. Não 
devem ser considerados momentos positivos menores que os correspondentes aos vãos considerados 
como engastados, quando houver continuidade. 
 Nos casos em que as lajes possam ser consideradas como perfeitamente apoiadas ou 
engastadas, os momentos fletores podem ser avaliados através da expressão M = (g + q) l2 / ß, sendo os 
valores de ß dados abaixo para diversas condições de apoio e engaste das lajes. As reações de apoio 
podem ser avaliados através da expressão R = (g + q) l .ψ , sendo os valores de ψ também dados 
abaixo (entre parênteses). 
 
 -2 -8 -12 -12 
 8 14,22 24 
 (1,0) (0,5) (0,5) (0,625) (0,375) (0,5) (0,5) 
 
 
 
 27 
 
• Lajesarmadas em uma direção. Cálculo para cargas concentradas 
 No caso de lajes armadas em uma direção, sob a ação de cargas concentradas, será considerado 
o cálculo como viga equivalente, através da definição da largura efetiva bw. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b = a + h (ver item 5.1) 
 
 
 
 
 
 
 L 
 a1 (a seção considerada 
 encontra-se neste 
 intervalo) 
 
 
 
 
 bw 
 
 A largura efetiva bw é igual à largura b da carga, se b for maior que o vão teórico L do vão ou 
do comprimento do balanço, e no caso contrário, igual a b acrescido dos valores a seguir: 
 
a) para momentos fletores positivos: 
2 a1 (L - a1) ( 1 - b ) 
 L L 
b) para momentos fletores negativos: 
 a1 (2L - a1) ( 1 - b ) 
 L L 
c) para forças cortantes: 
 a1 (1 - b ) 
 L 
d) para momentos fletores em lajes em balanço: 
1,5 a1 ( 1 - b ) 
 L 
e) para cortantes em lajes em balanço: 
0,5 a1 ( 1 - b ) 
 L 
• Exemplo:
 
 
 
p = 10 kN/m 2 
P = 20 kN 
a1 = 
2,5m 
L =5m 
M, V 
 20 
 
 
20 
h = 10 cm 
b = 0,2 + 0,1 = 0,3m 
Para o momento: 
bw = 0,3+ 2 . 2,5 (5 – 2,5) (1 – 0,3) = 2,65m 
 5 5 
mp = p L2 = 10 . 52 = 31,25 kN.m/m 
 8 8 
MP= PL = 25 kNm mP= 25 = 9,43 kNm/m 
4 2,65 
m= 40,68 kNm/m 
 28 
 Para o cortante: 
bw = 0,3 + 2,5 . (1 – 0,3) = 2,65m vp = p L = 10 . 5 = 25,0 kN/m 
 5 2 2 
VP= P = 20 = 10 kN vP= 10 = 3,77 kN/m v = 28,77 kN/m 
 2 2 2,65 
 
• Momentos em engastes no vão maior 
Em situações como as esquematizadas abaixo, em que há engastamento em ao menos um dos 
vãos menores, surgem momentos negativos não desprezíveis nestes engastes (na direção secundária, 
portanto). Estes momentos podem ser avaliados, com base nas tabelas de Czerny, como: 
y
2
x
y
m
l.p
m
−
=
−
 
Os valores de -my são definidos em função das condições de engastamento: 
 
 
 
 
 
 -my = -8 -my = -12 -my = -17,5 
my
-
 my
-
 
 
my
-
 
 
 
 Surgem também momentos positivos nas direções secundárias, mas com valores numéricos 
muito menores, podendo ser desprezados. 
 
• Exemplo numérico 
Calcular as armaduras para o painel de lajes esquematizado abaixo. 
Dados: h=10cm, d=8cm, fck = 20 MPa, aço CA-60. 
 Lajes servindo para piso de lojas, revestidas de piso cerâmico. 
 Carga total: g + q = 0,1 x 25 + 0,7 + 4,0 = 7,2 kN/m2 
 
 4m 4m 4m 
 
 
 10m L1 L2 L3 
 
 
 
 
 
Momento M K II α As (cm2/m) Armação 
Pos., L1 +8,10 35,58 0,0292 2,96 φ 8 mm c 15 
Neg.,L1/L2 -12,00 43,30 0,0308 4,62 φ 8 mm c 10 
Pos.,L2 +4,80 27,39 0,0282 1,70 φ 8 mm c 20 
Obs: o momento negativo entre L1 e L2 é o maior valor absoluto entre a média (-12,0 kNm/m) e 80% 
do maior momento (-11,52 kNm/m) nas duas lajes. 
Armação secundária : φ 6,3 mm c 20 = 1,56 cm2/m (ver item 6.2) 
 29 
5.3 Cálculo dos momentos fletores nas lajes armadas em duas direções. 
• O Método das Grelhas 
 
 O cálculo de momentos fletores e esforços cortantes em lajes armadas em duas direções é 
efetuado por meio de tabelas, baseadas em algum tipo de simplificação da Teoria da Elasticidade, pelo 
Método das Linhas de Ruptura (charneiras plásticas), ou numericamente por processos como o Método 
dos Elementos Finitos. O processo de cálculo mais elementar é o Método das Grelhas, que é aqui 
apresentado principalmente por fornecer uma primeira visão do comportamento das lajes funcionando 
em duas direções e por poder servir como base para métodos mais elaborados. 
 Seja uma laje retangular, apoiada nas quatro bordas, com vão menor igual a lx e vão maior igual 
a ly. Sendo a laje armada em duas direções, ao receber um carregamento distribuído, ela flete em suas 
duas direções, atingido uma flecha máxima igual a "f " no centro do vão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 py lx fx 
 
 
px 
 
 
 
ly 
 
 
 
fy 
 
Este método considera, para a obtenção dos esforços, duas faixas independentes, com largura 
unitária, nas duas direções ortogonais da laje. A carga total "p" aplicada à laje é dividida em duas 
partes, px e py (p = px + py), entre as duas direções. O fato de se considerar as duas direções como 
independentes faz com que os esforços obtidos estejam muito a favor da segurança, relativamente a 
resultados mais precisos, obtidos a partir da Teoria da Elasticidade. 
 A carga px atuando no vão lx provoca uma flecha fx e, analogamente, a carga py atuando no vão 
ly provoca uma flecha fy . No ponto central da laje, naturalmente, devemos ter igualdade destas flechas 
com a flecha máxima: f = fx = fy . 
 Considera-se o valor das flechas nas faixas ortogonais como sendo iguais a: 
 
 f = α p l4 
 384 EI 
 
 E, I, l são o módulo de deformação longitudinal, o momento de inércia e o vão da laje, 
respectivamente; α é fornecido abaixo, em função das condições de apoio: 
 
 
 α = 5 α = 2 α = 1 α = 48 
 
 
 Igualando-se as flechas nas duas direções, temos: 
 
 αx px lx4 = αy py ly4 
 
 
 
 
 30 
 Ou: 
 
 
 
px = αy ly4 py 
 
 
αx lx4 
 
 Como p = px + py , 
 
 
 
(αy ly4 + 1) py = p 
 
 
αx lx4 
 
 
 
 
 
ky = py = 1 / ( αy ly4 + 1 ) 
 p 
 
αx lx4 
 
 kx = 1 – ky 
 
 
Os esforços internos para cada uma das faixas são obtidos considerando-se vigas isoladas de 
largura unitária, submetidas ao quinhão de carga correspondente. Para a direção "x", por exemplo: 
 
 px = kx . p 
 
 Momento negativo: 
 
 mx
- 
= px . lx2 
 
 nx'
 
 
 Momento positivo: 
 
 mx
+ 
= px . lx2 
 
 mx'
 
 
 Reações = cortantes máximos: 
 
 v1 = ψ 1x px lx v2 = ψ 2x px lx 
 
 Valores de n', m' , ψ 1 , ψ 2 , no caso geral (direção x ou y), em função das condições de apoio: 
 
 n'
 
= 8
 
n'
 
= 12 
 
n'
 
= 12
 
 
 m' = 8 m' = 14,22 m' = 24 
 
 ψ1 = 0,5 ψ2 = 0,5 ψ1 = 0,625 ψ2 = 0,375 ψ1 = 0,5 ψ2 = 0,5 
 
 
 31 
• O Método de Marcus 
 
 O Método de Marcus, bastante utilizado na prática de projeto, parte do Método das Grelhas e 
introduz fatores de redução empíricos, apenas para os momentos positivos. Estes fatores procuram 
corrigir as simplificações consideradas no Método das Grelhas, relativamenteao comportamento das 
lajes como faixas independentes nas duas direções. 
 Os fatores de redução, a serem multiplicados aos momentos positivos, considerados nas 
direções "x" e "y" são, respectivamente: 
 
vx = 1 – 20 kx lx2 
 3 mx' ly2 
vy = 1 – 20 ky ly2 
 3 my' lx2 
 
 Nestas expressões, kx , lx , mx' , ky , ly , my' têm o mesmo significado definido anteriormente 
para o Método das Grelhas. A vantagem do método de Marcus é a sua simplicidade, que o torna 
particularmente adequado para sua automatização em calculadoras ou microcomputadores. 
 
• Tabelas de Czerny 
 
 Existem disponíveis diversas tabelas para o cálculo de esforços, baseadas na Teoria Matemática 
da Elasticidade. Entre estas, estão as tabelas de Czerny, reproduzidas nas páginas que se seguem, para 
todas as situações de lajes retangulares perfeitamente apoiadas ou engastadas em seu contorno. 
 Para a aplicação das tabelas de Czerny, deve-se considerar que o vão menor é sempre lx . Os 
momentos positivos e negativos nas duas direções das lajes são obtidos em função de parâmetros 
obtidos nas tabelas, em função da relação dos vãos ly / lx : 
 Momento negativo no vão menor: 
 mx
- 
= p
 
. lx2 
 
–mx
 
 
 Momento positivo no vão menor: 
 mx
+ 
= p
 
. lx2 
 
 mx
 
 
 Momento negativo no vão maior: 
 my
- 
= p
 
. lx2 
 
–my
 
 
 Momento positivo no vão maior: 
 my
+ 
= p
 
. lx2 
 
 my
 
 
Observar sempre a simetria de momentos quando há dois engastamentos em uma direção. 
 
• Outras tabelas para lajes 
 
Uma alternativa para o cálculo de lajes são as tabelas de Stiglat/Wippel, bastante completas, 
cobrindo situações de lajes de comprimento infinito, lajes retangulares com bordos livres e com 
carregamentos diferentes do uniforme (como o triangular, em linha, concentrados, etc.), lajes 
triangulares, lajes apoiadas em pontos, lajes circulares, anelares, apoiadas no solo, etc. Outras 
referências com tabelas para cálculo de lajes são os livros de Barès e de Szilard. 
 32 
 
• Caso de diferentes condições de engastamento em uma aresta 
 
No caso de um lado que seja, por exemplo, apoiado em um trecho e engastada em outro trecho, 
uma destas duas condições pode ser considerada como preponderante se corresponder pelo menos a 2/3 
do lado. Caso contrário, a laje deverá ser calculada para as duas condições de bordo, devendo ser 
tomados os esforços mais desfavoráveis para cada situação. 
 
• Compatibilização dos momentos negativos 
 
No caso de lajes com cargas acidentais pequenas relativamente às cargas permanentes, o que é 
o caso usual em estruturas de edificações prediais, o cálculo dos momentos fletores pode ser feito para 
as cargas totais atuantes nas lajes (permanentes + acidentais). As condições de suporte consideradas 
são de engastamento ou de apoio simples, dependendo de haver ou não continuidade com lajes 
vizinhas. Para compatibilizar os momentos negativos em lajes vizinhas, pode ser adotado o critério de 
considerar-se como momento para o dimensionamento, a média entre os momentos negativos nas lajes 
calculadas como perfeitamente engastadas, desde que este valor não seja inferior a 80 % do maior dos 
dois momentos e desde que uma das duas não seja uma laje em balanço. Neste último caso, o momento 
da laje em balanço é isostático e é o que deve ser considerado na interface. 
 
• Caso de grandes sobrecargas 
 
 No caso de grandes sobrecargas, que é o caso usual em edificações industriais, deve-se analisar 
o caso das sobrecargas não aplicadas simultaneamente em todas as lajes. As sobrecargas devem ser 
dispostas de forma a fornecer os máximos valores de momentos fletores positivos e negativos nas lajes. 
No caso das lajes estarem dispostas regularmente, em painéis retangulares, a configuração que fornece 
os maiores momentos negativos é a que considera as sobrecargas como um tabuleiro de xadrez. Como 
aproximação para a situação que fornece os momentos máximos devidos às cargas acidentais, podemos 
calcular as lajes isoladamente, supondo-as perfeitamente engastadas para os momentos negativos e 
simplesmente apoiadas para o cálculo dos momentos positivos. 
 33 
 
 TIPO 1 2 3 4 5 
 ly / lx m x my m x -my my -mx m x my m x -my my -mx m x my 
 1,00 27,2 27,2 41,2 11,9 29,4 11,9 31,4 41,2 63,3 14,3 35,1 14,3 35,1 61,7 
 1,05 24,5 27,5 36,5 11,3 29,0 11,3 29,2 43,2 52,2 13,4 33,7 13,8 33,0 64,5 
 1,10 22,4 27,9 31,9 10,9 28,8 10,9 27,3 45,1 46,1 12,7 32,9 13,5 31,7 67,2 
 1,15 20,7 28,4 28,3 10,4 28,8 10,5 25,8 47,1 39,8 12,0 32,2 13,2 30,4 69,6 
 1,20 19,1 29,1 25,9 10,1 28,9 10,2 24,5 48,8 35,5 11,5 31,7 13,0 29,4 71,5 
 1,25 17,8 29,9 23,4 9,8 29,2 9,9 23,4 50,3 31,5 11,1 31,3 12,7 28,5 72,8 
 1,30 16,8 30,9 21,7 9,6 29,7 9,7 22,4 51,8 28,5 10,7 31,2 12,6 27,8 73,5 
 1,35 15,8 31,8 20,1 9,3 30,2 9,4 21,6 53,2 25,8 10,3 31,2 12,4 27,1 74,1 
 1,40 15,0 32,8 18,8 9,2 30,8 9,3 21,0 54,3 23,7 10,0 31,4 12,3 26,6 74,6 
 1,45 14,3 33,8 17,5 9,0 31,6 9,1 20,3 55,0 22,0 9,75 31,7 12,2 26,1 75,3 
 1,50 13,7 34,7 16,6 8,9 32,3 9,0 19,8 55,6 20,4 9,5 32,1 12,2 25,8 75,8 
 1,55 13,2 35,4 15,7 8,8 33,0 8,9 19,4 56,2 19,0 9,3 32,7 12,1 25,4 76,5 
 1,60 12,7 36,1 15,0 8,7 33,6 8,8 19,0 56,8 17,9 9,2 33,3 12,0 25,2 77,0 
 1,65 12,3 36,7 14,3 8,6 34,3 8,7 18,6 57,3 16,9 9,05 34,0 12,0 24,9 77,0 
 1,70 11,9 37,3 13,8 8,5 34,9 8,6 18,3 57,8 16,0 8,9 34,9 12,0 24,7 77,0 
 1,75 11,5 37,9 13,2 8,45 35,6 8,5 18,0 58,2 15,2 8,8 35,9 12,0 24,5 77,0 
 1,80 11,3 38,5 12,8 8,4 36,2 8,4 17,8 58,6 14,6 8,7 37,1 12,0 24,4 77,0 
 1,85 11,0 38,9 12,3 8,35 36,9 8,3 17,5 58,8 13,9 8,6 38,3 12,0 24,3 77,0 
 1,90 10,8 39,4 12,0 8,3 37,5 8,3 17,4 59,0 13,4 8,5 39,7 12,0 24,3 77,0 
 1,95 10,6 39,8 11,6 8,25 38,2 8,3 17,2 59,1 12,9 8,4 41,1 12,0 24,2 77,0 
 2,00 10,4 40,3 11,4 8,2 38,8 8,3 17,1 59,2 12,5 8,4 42,4 12,0 24,1 77,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 my 
 
 
 
m
 x 
 
 
 
 
 
 my 
 
 
 
m
 x 
 
 
 -m
 y 
 
 
 
 
 
 my 
 
 
 -mx mx 
 
 
 
 
 
 
 
 my 
 
 
 
 m
 x 
 
 
 -m
 y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 my 
 
 
 
 -mx mx 
 
 
 
 
 
 TIPO 1 TIPO 2 TIPO 3 TIPO 4 TIPO 5 
 
 
 
 TABELAS DE CZERNY 
 
 34 
 
TIPO 6 
 7 8 9 
ly / lx -m x m x -my my -m x m x -my my -m x m x -my my -m x m x -my my 
1,00 14,3 40,2 14,3 40,2 18,3 59,5 16,2 44,1 16,2 44,1 18,3 55,9 19,4 56,8 19,4 56,8 
1,05 13,3 38,0 13,8 41,0 16,6 51,6 15,4 43,6 15,3 40,5 17,9 57,5 18,2 50,6 18,8 58,2 
1,10 12,7 35,1 13,6 42,0 15,4 46,1 14,8 43,7 14,8 37,9 17,7 60,3 17,1 46,1 18,4 60,3 
1,15 12,0 32,2 13,3 42,9 14,4 41,4 14,3 44,2 14,2 35,5 17,6 64,2 16,3 42,4 18,1 62,6 
1,20 11,5 30,0 13,1 44,0 13,5 37,5 13,9 44,8 13,9 33,8 17,5 66,2 15,5 39,4 17,9 65,8 
1,25 11,1 28,0 12,9 45,6 12,7 34,2 13,5 45,8 13,5 32,3 17,5 67,7 14,9 37,0 17,7 69,4 
1,30 10,7 26,5 12,8 47,6 12,2 31,8 13,3 46,9 13,2 31,0 17,5 69,0 14,5 34,8 17,6 73,6 
1,35 10,3 25,2 12,7 49,6 11,6 29,6 13,1 48,6 12,9 29,9 17,5 70,5 14,0 33,3 17,5 78,4 
1,40 10,0 24,1 12,6 51,0 11,2 28,0 13,0 50,3 12,7 29,0 17,5 72,0 13,7 31,9 17,5 83,4 
1,45 9,8 23,1 12,5 52,1