Cálculo III trabalho 2,0pts

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Cálculo III
Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) 
Equações Diferenciais Ordinárias é a função que depende de uma única variável independente, essa função pode ser expressa como ) ()( x yy k = , onde x é a variável 
independente, y é a variável dependente e o valor k representa a ordem da derivada da função.
ALGUMAS APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS A maioria das descobertas matemáticas ocorreu na tentativa de resolver algum problema aplicado, problemas envolvendo cálculos de áreas, de probabilidade de ganhar ou perder nos “jogos de azar”, cobrança de juros em transações financeiras, entre outros, que sempre contribuíram para essas descobertas. A matemática em si teria pouco valor caso não fosse suas diversas formas de aplicações, com as equações diferenciais essa realidade não muda, elas são utilizadas para resolver vários tipos de problemas matemáticos que em sua maioria tem suas aplicações. 
Essas formas de aplicações estão espalhadas e sevem como base de estudos de muitas ciências, como na física, demonstradas na Lei de Variação de Temperatura de Newton, na queda de corpos com a resistência do ar ou na própria variação da velocidade. Na Química, cita-se a equação com problemas de diluição, na Economia os problemas envolvendo taxas de juros compostos, na Estatística e na Geografia com o modelo de crescimento e decrescimento Populacional (Modelo de Mauthus), na Biologia utilizando-se do Modelo de Mauthus para estudos do crescimento de outras formas de população, com bactérias, por exemplo, entre outras.
1-APLICAÇÃO NA VARIAÇÃO DE TEMPERATURA (LEI DE VARIAÇÃO DE TEMPERATURA DE NEWTON) 
 Esta forma de aplicação é ligada diretamente a física, mas cálculos voltados para as leis de temperatura são de grande utilidade em várias outras ciências, alguns exemplos são os utilizados nas engenharias, na variação de temperatura de uma simples xícara de café durante o seu resfriamento ou no derretimento de uma bola de sorvete, ou ainda no processo de resfriamento de um bolo, entre outras aplicabilidades deste modelo.
Ex: 1
De acordo com a lei de arrefecimento4 de Newton, a taxa de resfriamento de uma substância numa corrente de ar é proporcional à diferença (de temperatura) da substância e a do ar. Sendo a temperatura do ar 30°C e resfriando a substância de 120ºC para 80ºC em 20 minutos, achar o momento em que a temperatura desta substância será 50ºC.
Ex: 2
Um bolo é retirado do forno a uma temperatura de 150°C, passado quatro minutos essa temperatura cai para 90°C. Quanto tempo levará para que o bolo resfrie até a temperatura de 30ºC, sabendo que a temperatura ambiente é de 25°C?
2 APLICAÇÃO COM JUROS COMPOSTOS.
Ex: 3
Uma pessoa deposita R$2.000,00 em uma conta poupança a uma taxa de juro composto de 10 % ao ano, considerando que não foi feito nenhum depósito e nenhum saque nesse intervalo de tempo, qual será o saldo dessa conta após um período de três anos? Em quanto tempo a quantia depositada terá seu valor dobrado?
3-Decaimento radioativo
Exemplo:4 
Um isótopo radioativo tem uma meia-vida de 16 dias. Você deseja ter 30 g do 
isótopo no final de 30 dias. Calcule a quantidade inicial do isótopo. 
 
Solução: Seja Q(t) a quantidade presente no instante t e Q(0)=Qo a quantidade inicial. 
Resolvendo a equação dQ/dt = - k Q(t) temos que: 
 
Q(t) = Qo e –k.t e, para t = 16, Q(16) = ½Qo, logo e -16.k = ½. 
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da igualdade, obtemos 
 
k = [ln(2)]/16 = 0,0433 dias-1 
 
e dessa forma temos a função que determina a quantidade de isótopo radioativo em qualquer 
instante: 
 
Q(t) = Qo e -0,0433 t 
 
Para t = 30 dias e Q(30) = 30 g: Qo = 30/e -0,0433x30 ≅ 110 g 
Exemplo 5:
 Sabendo que em 2001, a população de Ji-Paraná era de 107.869 habitantes e em 2010 a população passou a ser de 115.593 habitantes. De acordo com o modelo de crescimento e decrescimento populacional de Malthus, qual será a população estimada para esta cidade em 2020?
Exemplo 6.Em uma cultura, há inicialmente bactérias.Uma hora depois, t=1 o numero de bactérias passa a ser .Se a taxa de crescimento é proporcional ao numero de bactérias presentes, determine o tempo necessário para que o numero de bactérias triplique
2º ordem eq. Ordinárias:
Circuitos elétricos